CAPITOLUL CURBE ÎN PLAN Rezuma Se defineşe noţiunea de curbă plană şi e abilec reprezenările!!!! analiice: r = r( I R r' ( y = f ( x x I # F( x y = cu Fx + Fy > Se crie ecuaţia angenei şi normalei înr-un punc în oae cele rei cazuri Se defineşe lungimea arcului de curbă C e abileşe b LC x y d şi e inroduce funcţia lungime de arc a ca parameru naural Se conideră reperul Serre Frene forma din verorii angenei şi normalei n! Variaţia aceui reper ee decriă de formulele!! d! dn! Serre Frene: = k( n = k( unde k( cu lungime d d de arc ee funcţia curbură Se araă că înr-o paramerizare oarecare avem x' ( y'' ( y' ( x'' (!! k( = Cu θ ( = $ ( i e araă că are loc x ' + y ' ' ' formula = ( + ( ( ( ( dθ( formula k( = Pe baza aceeia e demonrează că daă funcţia d coninuă k: k( exiă o infiniae de curbe penru care ee lungimea de arc şi k ee funcţia curbură In final e dă procedeul de reprezenare grafică x= x y= y I # a curbelor plane dae în forma ( ( Definiţii Reprezenări analiice ale curbelor în plan Fie un plan rucura ca paţiu euclidian E cu paţiu direcor V O!! R = i j { } mulţimea vecorilor din acel plan În prezenţa unui reper oronorma în E unei aplicaţii c: I! E unde I ee un inerval dechi în! i e aociază aplicaţia vecorială r: I! definiă prin ( r( = ( x( y( I unde funcţiile x( y( un coordonaele puncului c( în reperul O!! R = i j ##### au funcţiile coordonae ale vecorului Oc( în baza oronormaă { } ( i j adică
Capiolul Curbe în plan ##### ( Oc( = x( i + y( j Imaginea aplicaţiei c în E corepunde noţiunii inuiive de curbă în plan: raiecoria unui mobil urma lăaă de un po lumino pe un ecran şa Aceaă imagine poae fi implă: un egmen de dreapă un arc de cerc o curbă clopo a lui Gau dar poae fi şi foare complicaă cum ee de exemplu o elecrocardiogramă Penru a udia curbele complicae rebuie mai înâi ă udiem pe cele imple care e obţin când aplicaţia c are proprieăţi convenabile din puncul de vedere al calculului diferenţial O ipoeză naurală ee aceea că aplicaţia c ee diferenţiabilă de claă C ( au echivalen aplicaţiile coordonae x( şi y( un C pe I de claă ( dx d Maricea Jacobiană a aplicaţiei c ee Jc = şi deci c ee imerie pe I dy d dacă şi numai dacă dx dy (3 + > pe I! d d Aceaă condiţie ee echivalenă cu! dr (4 pe I d Aminim că imeria c ee cufundare dacă aplicaţia vecorială r ee homeomorfim pe imaginea a Definiţia O ubmulţime C în E e numeşe arc elemenar de curbă C = c I cu I inerval dechi în! şi aplicaţia c cufundare a lui I în E dacă Perchea ( I c e numeşe paramerizare a arcului elemenar C Fie J un al inerval dechi din! şi ϕ: J I τ ϕ( τ dϕ difeomorfim adică ϕ ee bijecţie şi J dτ = un Ic Propoziţia Fie C un arc elemenar de curbă cu paramerizarea ( Aunci ( Jc = c ϕ $ % ee o nouă paramerizare a lui C Demonraţie Avem mai înâi ϕ rapor cu τ a funcţiei vecoriale $ c J = c J = c I = C Prin derivare în # ρ τ = r ( ϕ τ obţinem d # ρ dτ = dr dϕ = ( ϕτ d dτ
Capiolul Curbe în plan # # dρ dr dϕ d ρ şi deci = ( ϕτ Rezulă că dτ d dτ dτ pe J adică aplicaţia $ c ee # # imerie Ea ee chiar cufundare penru că aplicaţia ρ = r% ϕ: J ρ( J ee compunerea a două homeomorfime Fie f : I!! cu I inerval dechi o funcţie diferenţiabilă de {( } claă C ( Mulţimea (graful funcţiei f Propoziţia Mulţimea Demonraţie Definim G = x f x x I din plan e numeşe graficul f G f ee un arc elemenar de curbă c: I E ca aplicaţia care aociază lui x I puncul P de coordonae x f ( x şi avem eviden G c( I f = Aplicaţia vecorială dr ' ( f x dx = aociaă aplicaţiei c ee x r( x = ( x f ( x şi funcţia vecorială ' are norma egală cu f ( x r: I r( I + pe I Aşadar c ee imerie Aplicaţia ee eviden injecivă Ea ee coninuă penru că ee de claă C ( Invera ei ee de forma x f x x eviden coninuă Aşadar c ee cufundare Obervaţia În mod imilar cu demonraţia Propoziţiei e araă că mulţimea de forma { } g y y y I cu g: I C ee! o funcţie de claă ( un arc elemenar de curbă Exiă mulţimi în plan depre care inuiţia ne pune că un curbe dar care nu un arce elemenare de curbă Aceaă iuaţie a condu la Definiţia Se numeşe curbă în plan o ubmulţime & a planului cu proprieaea că orice punc al ei aparţine cel puţin unui arc elemenar de curbă inclu în & Aceaă definiţie nu acoperă în oaliae noţiunea inuiivă de curbă în plan Ea numai delimiează o claă de curbe în plan uficien de amplă penru a meria ă fie udiaă şi care are proprieăţi inereane şi uile Aceaă claă de curbe ee obiecul prezenului capiol Vom începe prin a vedea cum e reprezină analiic în repere oronormae acee curbe O!! R = i j noa uneori şi prin Oxy vom crie { } În reperul oronorma P( x y au ( careziene ( P r penru a indica fapul că puncul P din E are coordonaele xy au vecorul de poziţie r = xi+ yj
Capiolul Curbe în plan 3 Teorema Mulţimea & = { Pr ( r= r ( ( ab cu aplicaţia vecorială!! r( de claă C ( şi cu r' ( pe ( a b } ee o curbă în plan Demonraţie Vom arăa că orice punc din & aparţine cel puţin unui arc elemenar de curbă conţinu în & P r r = r a b x' y' Să & cu Aşadar preupunem penru a face o alegere că '( x ' pe I ( ε ε ε : Fie x Rezulă din coninuiae că = + > şi în conecinţă funcţia reală x x( definiă pe I ee ric monoonă pe I deci injecivă şi ca aare bijecţie de la I în J = x( I Noăm invera ei prin x : x = h( x Mai mul penru că funcţia reală x ee diferenţiabilă de claă C şi x ' pe I x ee de aemenea diferenţiabilă de claă C Înlocuim = h( x în ecuaţia y = y( şi obţinem y = y( h( x = f ( x cu x J inerval dechi în! Funcţia f : J! ee diferenţiabilă de claă ( Coniderăm graficul C penru că ee compunerea a două funcţii diferenţiabile de claă f {( } C G = x f x x J al aplicaţiei f După Propoziţia acea ee un arc elemenar de curbă Puncul P G f El e obţine penru valoarea x = x( Mulţimea G f ee incluă în & penru că ee formaă din puncele lui & dae de valorile din inervalul I Aşadar P aparţine unui arc elemenar de curbă conţinu în & În curul demonraţiei am făcu preupunerea că x' ( Dacă x' ( = aunci în mod necear y' ( şi cu acelaşi raţionamen arăăm că P aparţine unui arc elemenar de forma {( g( y y } cu y înr-un inerval dechi conţinu în & Pe baza Teoremei ecuaţia (5 r = r( ( a b r' ( ( a b reprezină analiic o curbă în plan Aceaă reprezenare e numeşe reprezenarea vecorial paramerică a unei curbe în plan Reprezenarea (5 e poae explicia în forma x= x( (5 y = y( ( a b x' ( + y' ( > ( a b şi e obţine aşa numia reprezenare paramerică a unei curbe în plan
4 Capiolul Curbe în plan Fie D o mulţime dechiă în! şi o aplicaţie F: D # ( x y F( x y diferenţiabilă de claă C ( Vom noa derivaele parţiale ale ei prin Fx Fy Fxx F xy ec Teorema Dacă mulţimea C = { P( x y F( x y = unde!! cu D mulţime dechiă ee o funcţie diferenţiabilă de claă F: D C ( şi Fx Fy pe D} + > ee nevidă aunci ea ee o curbă în plan P x y Fx y = Vom arăa că P aparţine cel puţin unui arc elemenar de curbă conţinu în C Condiţia F x y F x y F x y fără a Demonaţie Fie ( C adică x ( + y ( > ne araă că fie Fx ( x y fie y ( exclude poibiliaea ca ambele iuaţii ă aibă loc Preupunem y ( caz conrar avem ( F x y În Fx x y şi e face un raţionamen aemănăor cu cel ce urmează Din coninuiaea funcţiei F rezulă că F pe o mulţime dechiă D cenraă în ( y x y Prinr-o evenuală micşorare a a puem lua D de forma D' = I J cu I un inerval dechi cenra în x şi J un inerval dechi cenra în y Teorema funcţiilor implicie ne pune că puem explicia y din ecuaţia F( x y = cu ( xy D' D Mai preci exiă o aplicaţie unică f : I J x f ( x diferenţiabilă de claă {( x f ( x x I } C încâ i f ( x y y F x f x pe I Mulţimea = ii C = ee un arc elemenar de curbă conform Prop Egaliaea i ne pune că acea conţine P iar ideniaea ii ne araă că el ee conţinu în C Pe baza Teoremei ecuaţia F x y = x y D (6 cu D dechiă în! şi condiţia Fx + Fy > pe D reprezină analiic o curbă în plan Aceaă reprezenare e numeşe reprezenare impliciă a curbei în plan La reprezenările analiice (5 şi (6 ale unei curbe în plan vom adăuga şi reprezenările analiice (7 y = f ( x x ( a b au (7 x= g( y y ( c d numie şi reprezenări explicie ale unei curbe în plan Ecuaţiile (7 şi (7 reprezină analiic înodeauna arce elemenare de curbă în plan dar cum aceea un curbe plane pariculare vom pune că ecuaţiile (5 (5 (6 (7 şi (7 coniuie reprezenări analiice ale curbelor în plan
Capiolul Curbe în plan 5 Cele rei reprezenări analiice ale curbelor în plan un local echivalene în enul că fiecare punc al curbei ee conţinu de un arc elemenar de curbă pe care e poae rece de la una din oricare cele rei reprezenări la celelale două De exemplu dacă curba (arc elemenar ee daă prin ecuaţia y = f ( x x ( a b cu noaţia x= obţinem reprezenarea paramerică x= y = f ( ( a b x + y = + f > ( a b Cu noaţia F ( x y y f ( x F( x y = ( xy D= ( ab f( a f( b penru ca ' ' ' pe penru că = obţinem reprezenarea impliciă F + F = + f ' > pe D x y Dacă avem curba daă parameric în demonraţia Teoremei am văzu cum penru orice punc P puem găi un arc elemenar ce-l conţine de ecuaţie expliciă (7 au (7 De la (7 au (7 puem rece la (6 În fârşi dacă dipunem de reprezenarea analiică (6 în demonraţia Teoremei am văzu cum penru orice punc P al curbei e găeşe un arc elemenar ce-l conţine de ecuaţie (7 au (7 iar de la aceea e rece imedia la reprezenarea paramerică (5 Funcţiile care apar în cele rei reprezenări analiice ale unei curbe în plan un diferenţiabile de claă C ( pe domeniul lor de definiţie În coninuare vom foloi numai adjecivul diferenţiabile fără a mai menţiona explici claa de diferenţiabiliae Dar vom preupune că aceaa ee uficienă penru a deriva ori de 3 câe ori avem nevoie În cele mai mule iuaţii claa de diferenţiabiliae C e dovedeşe a fi uficienă Tangenă şi normală înr-un punc al unei curbe în plan Penru începu vom decrie proprieăţi puncuale (care au loc înr-un punc al curbei şi proprieăţi locale (care au loc pe un arc elemenar ale curbelor în plan De regulă nu vom lua curba în înregime ci ne vom plaa pe un arc elemenar al ei care admie oae cele rei reprezenări analiice găie în Un aemenea arc va fi noa prin C şi-l vom numi curbă plană penru impliae Fie penru începu arcul elemenar de curbă C da explici prin y = f x x a b (
6 Capiolul Curbe în plan P x f x un punc pe C vecin cu P în Fie P x f ( x C şi ( enul că x ( x δ x + δ δ > uficien de mic Dreapa f ( x f ( x m( x x = x rezulă lim m( x x f '( x PP are pana Dacă fixăm = (limia x x x x exiă! Dreapa prin P de pană f '( x poae ă e numeacă dreapă angenă la curbă penru că exiă un arc elemenar ce conţine P care are în comun cu ea numai P Conideraţii de Mecanică juifică de aemenea aceaă denumire Aşadar avem Definiţia Fie o curbă C în plan reprezenaă de ecuaţia ( Dreapa prin puncul P ( x y C de pană ' f x e numeşe angenă la C în Obervaţia Dacă x'( = vom lua angena paralelă cu Oy Ecuaţia angenei la C în P ee ( y f ( x = f '( x( x x Fie curba C reprezenaă parameric prin (5 Ne propunem ă criem ecuaţia angenei la curbă înr-un punc P( x y cu x = x( şi y = y( penru care x' ( După cum am văzu în demonaţia Teoremei penru ( ε + ε puem invera funcţia x( şi obţinem funcţia inveră = ( x care înlocuiă în ecuaţia y = y( ne conduce la reprezenarea expliciă a unui arc elemenar ce conţine puncul P şi ee inclu în C de forma y = f ( x = y( ( x y f x y x x = unde eviden = = şi Penru a foloi ecuaţia ( avem nevoie de '( dy d în rapor cu x în egaliaea f ( x = y( ( x obţinem f '( x ( ( x ( x P f x Prin derivare compuă = d dx Prin derivarea ideniăţii ( x( în rapor cu ( ε + ε obţinem d dx d y' ( ( x( ( = deci ( x = Aşadar f '( x dx d dx dx = ( x' ( şi după ( d y' ( ecuaţia angenei în P la C e crie în forma y y = x x x' au în forma x x y y (3 = x' y'
Capiolul Curbe în plan 7 Forma (3 a ecuaţiei angenei la C în puncul P ne pune că direcţia angenei ee daă de vecorul r' ( = ( x' ( y' ( unde r ee funcţia vecorială care dă reprezenarea vecorial paramerică a curbei Ecuaţia (3 e mai poae crie în forma x= x( + λx' ( (3 y = y( + λy' ( λ # au vecorial (3 r = r( + λr' ( λ! În fârşi fie curba C reprezenaă implici prin (6 Ne propunem ă P x y C Preupunem că criem ecuaţia angenei la C înr-un punc ( Fy ( x y Exiă un arc elemenar care conţine explici în forma y = f ( x cu y = f ( x şi P inclu în C reprezena F x f x pe I (ne referim la noaţiile din demonaţia Teoremei Prin derivare în rapor cu x a ideniăţii Fx ( x y F( x f ( x obţinem Fx + Fy f ' = şi deci f '( x = După ( Fy ( x y Fx ( x y ecuaţia angenei la C în puncul P e crie în forma y y = x x Fy x y au în forma x x F x y + y y F x y = (4 x y Coninuăm ă coniderăm curba plană C şi puncul P C Definiţia Perpendiculara pe angena la C în puncul P e numeşe normala la curba C în P Dacă avem penru C reprezenarea expliciă ( cum pana angenei ee f '( x pana normalei va fi f ' x dacă f ' ( x au va fi paralelă cu Oy dacă f ' x = şi deci ecuaţia normalei în ace caz ee y f x = f ' x x x (5 dacă ' x= x dacă f '( x = f x repeciv În cazul reprezenării paramerice am conaa că direcţia angenei ee ( x' y' Direcţia normalei va fi daă de un vecor ( y' x' Ecuaţia normalei ee în ace caz daă de vecorul perpendicular pe acea de exemplu de vecorul
8 Capiolul Curbe în plan ( (6 x x( x' + y y y' = Fie acum C reprezenaă implici Pana angenei în puncul ( Fx ( x y Fy ( x y ee Deci pana normalei ee dacă x ( Fy ( x y Fx ( x y normala ee paralelă cu Oy dacă x ( (7 ( x x Fy( x y ( y y Fx( x y = x= x dacă F ( x y = P x y C F x y au F x y = Ecuaţia normalei ee în ace caz repeciv x Tangena şi normala fiind perpendiculare po fi luae ca axele unui iem carezian de coordonae cu originea în P iem de coordonae care variază odaă cu puncul P pe C adică ee mobil pe curba C Vom reveni mai ârziu aupra aceei idei 3 Lungimea unui arc de curbă plană Paramerizaţii naurale Fie un arc elemenar de curbă plană reprezena explici în forma y = f x x a b (3 [ ] Coniderarea inervalului închi [ ab ] creează probleme în definirea diferenţiabiliăţii funcţiei f Dar e convine că f ee diferenţiabilă pe [ ab ] dacă exiă o funcţie ' f diferenţiabilă pe I [ a b] f = f unde ca mai u I ee cu ' [ ab ] un inerval dechi în! = a = x < x < < x < x < < x = b o diviziune a inervalului Fie ( i i+ n [ ab ] Puncele A= A( x f ( x ( ( i( i ( i n( n ( n A x f x A x f x A x f x = B deermină o linie poligonală încriă în arcul elemenar ( AB da Lungimea aceei linii poligonale ee n (3 l = ( xi+ xi + ( f ( xi+ f ( xi i= Inegaliaea riunghiulară ne araă că la o rafinare a diviziunii lungimea l nu decreşe (Fig B y A O x = a x i x i+ b = x n x
Capiolul Curbe în plan 9 Aceaă obervaţie ne arage aenţia aupra mărginirii uperioare a mulţimii ab { l } când parcurge mulţimea diviziunilor lui [ ] Definiţia 3 Se pune că arcul de curbă ( AB are lungime au că ee recifiabil dacă mulţimea { l } ee mărginiă uperior Marginea uperioară a aceei mulţimi e numeşe lungimea arcului ( AB x x + Pe baza eoremei lui Lagrange aplicaă funcţiei f pe inervalele [ ] lungimea l e crie în forma n Fig l = + f ' x x x < ξ < x (33 ( ξ i i+ i i i i+ i= şi e conaă că l are forma umei Riemann penru funcţia f ' ( x + Inegrala Riemann a aceei funcţii exiă dacă de exemplu f ' ee funcţie coninuă încâ avem Teorema 3 Fie arcul de curbă ( AB reprezena prin (3 cu f funcţie diferenţiabilă de claă C Aunci arcul de curbă ( AB are lungime Aceaa e calculează cu formula (34 l b ( = f ' ( x dx AB + a Fie acum un arc elemenar de curbă ( AB în plan reprezena parameric în forma x= x( (35 y = y( [ ] Preupunem că x' ( > pe [ ] şi deci funcţia x= x( e poae invera obţinându-e funcţia h( x cu x a b Înlocuind în ecuaţia y = y( obţinem = [ ] reprezenarea expliciă y f ( x y( h( x = = cu f diferenţiabilă Din conideraţiile precedene ee uficien ca f ă fie diferenţiabilă de claă i i C penru ca arcul ( AB ă
Capiolul Curbe în plan aibă lungime Ori f ee afel dacă funcţiile x( x şi y( un diferenţiabile de claă C Ne inereează o formulă de calcul a lungimii când e dă reprezenarea (35 a arcului ( AB Cu experienţa din formula (34 ne dă au b dy dh l( = ( h( x ( x dx AB + a d dx x h x x obţinem Prin derivarea ideniăţii dh x' ( h( x ( x = dx dh ( x = dx x' h x ( Deci b dx (* l( = ' ( ' ( AB x h x + y h x a x' ( h( x unde prin x y am noa derivaele aceor funcţii în rapor cu h x În inegrala obţinuă efecuăm chimbarea de variabilă ipoeza că x' h( x > pe ab Avem '( [ ] dh dx d = ( x dx = încâ inegrala devine dx x h x (36 l( = x' ( + y' ( Dacă AB d [ ] = mai înâi în h a = h b = şi x' h x < pe a b în formula (* apare un emn minu şi o inverare a limielor de inegrare fenomene care e anulează reciproc şi e obţine aceeaşi formulă (36 care ee formula de calcul a lungimii unui arc de curbă reprezena parameric Ee eviden că inegrala (34 ee un caz paricular al inegralei (36 şi x= x anume când paramerizarea arcului ee de forma y = f ( x x [ a b] Ele dau acelaşi rezula lungimea arcului ( AB Obervaţia ugerează că ar rebui ă ne aigurăm că inegrala din (36 nu depinde de paramerizarea arcului ( AB Ace lucru e poae face efecuând o chimbare de parameru pe ( AB (exerciţiu! dar rezulă şi direc din obervaţia că orice paramerizare am lua pe ( AB prin expliciare ajungem la aceeaşi funcţie f din (3
Capiolul Curbe în plan Coninuăm ă foloim reprezenarea paramerică (35 a arcului ( AB Coniderăm funcţia (37 ( = x' ( τ + y' ( τ dτ numiă funcţie lungime de arc d Din = ( = l( = L şi = x' ( + y' ( > rezulă că : [ ] [ ] AB L d ( ee o funcţie ric monoon crecăoare deci inverabilă cu invera h: [ L] [ ] = h( În plu funcţia ee diferenţiabilă Penru că funcţia d ee bijecivă şi pe aceaă funcţie ee difeomorfim d [ ] Efecuăm chimbarea de parameru pe ( AB prin înlocuirea lui cu = h( Obţinem x= $ x( = x( h( (38 y = $ y( = y( h( [ L] Vom pune că am parameriza arcul ( AB prin lungimi de arc Aceaa îneamnă că precizăm poziţia unui punc P pe ( AB prin indicarea lungimii arcului ( AP moiv penru care aceaă paramerizare e numeşe şi naurală au canonică Paramerizarea prin lungime de arc are o proprieae pecială şi anume dx $ dy $ (39 + = d d adică mărimea vecorului angen la curbă ee conană egală cu dx $ dh dy $ dh Înr-adevăr = x'( ( şi = y'( ( şi prin ridicare la păra şi d d d d înumare obţinem dx $ dy $ + = ( x' ( ( + y' ( ( dh d d d dh = Prin derivarea ideniăţii h ( ( ( + ' ( d x y ' dh d rezulă = Obţinem funcţia d d care înlocuiă mai u conduce la (39
Capiolul Curbe în plan În coninuare vom foloi frecven paramerizarea naurală penru rezolvarea unor probleme eoreice În pracică inegrala din (37 nu ee uşor de calcula încâ e operează cu paramerizări care nu aifac în mod necear (39 Se poae arăa că egaliaea (39 ee verificaă în eenţă numai penru paramerizările prin lungime de arc (exerciţiu! 4 Reperul Serre Frene înr-un punc al unei curbe plane Curbură Fie o curbă plană reprezenaă parameric cu lungimea de arc ca parameru dr (4 r = r( [ L] r( = = d r ( Verorul angenei la curbă ee ( = = r ( Noăm prin n( r verorul normalei la curbă în puncul ( fie poziiv orienaă P R= n Definiţie Reperul ( ( ( (!! P Alegem enul lui n! încâ baza ( n { } ă e numeşe reperul Serre Frene al curbei plane (4 Cu variabil în [ L ] avem un reper mobil pe curba (4 { } În reperul O ( i j fixa în plan ecuaţia curbei e crie pe componene în forma x= x( (4 ( [ ] ( y = y L x + y ( = Rezulă ( x( y( = iar condiţia n = ne araă că puem lua n( y( x( = Poziţia emnului - e impune penru a ne aigura că baza n!! i j ă ee poziiv orienaă adică maricea chimbării aceei baze cu baza
Capiolul Curbe în plan 3 fie de deermina Înr- adevăr cu aceaă alegere maricea în dicuţie ee x y şi are deerminanul egal cu y x Prin derivare în rapor cu a egaliăţii ( = = obţinem ( ( Aşadar vecorul ( ee perpendicular pe ( El ee deci coliniar cu n( Punem ( = κ ( n( Prin acelaşi raţionamen dar plecând de la n ( = n = κ n = obţinem obţinem ( ' (( n + n = ( ( ( ( rezulă ' ( ( Prin derivarea egaliăţii ( ( şi foloind expreiile ocmai găie penru ( şi n( κ + κ = Rezumând am obţinu formulele lui Serre Frene penru o curbă plană = κ n n = κ (43 ( ( ( ( (( În acee formule apare funcţia κ :L [ ] # numiă curbura curbei plane (4! κ = = x + y Din prima formulă (43 rezulă ( ( % %% %% Vom da o inerpreare geomerică foare uilă a curburii unei curbe plane Fie θ ( unghiul forma de verorul ( cu verorul i Ace unghi ee deena în Fig y! θ! j Fig x
4 Capiolul Curbe în plan co Rezulă imedia x( = ( i = θ ( y j ( = ( = inθ ( = = prin derivare în rapor cu obţinem x θ( θ( y θ( θ( dθ ( θ ( = in co d Prima formulă Serre Frene e crie pe componene în forma x= κ y y = κ x care combinaă cu formulele ocmai obţinue penru x şi y ne conduce la (44 dθ κ ( = [ L] d Aceaa ee inerprearea geomerică a curburii unei curbe în plan Formula (44 ne permie ă obţinem o formulă de calcul a curburii în paramerizaţie naurală Un calcul implu ne araă că are loc egaliaea x( y( ( ( = θ ( y x şi deci κ = (45 ( x( y( y( x( [ L] Să preupunem că lungimea de arc provine de la o paramerizare a curbei cu adică ( = r' ( τ dτ Inegrala care dă e calculează greu şi de mule ori funcţia ( nu e poae deermina explici Încâ în pracică formula (45 nu ee aifăcăoare penru calculul funcţiei curbură Vom deduce o formulă care ne permie ă calculăm curbura plecând de la o paramerizare oarecare Reţinem că d r' ( x' ( y' ( d = = + Punem = ( în ecuaţiile (4 şi obţinem x= x y = y Derivăm acee funcţii în rapor cu de două ori şi ( ( ( ( d obţinem: x' ( x( ( y' ( y( ( Evaluăm expreia ( ( ( ( d d ( ( = d d x'' ( = x ( + x d d d d d y'' ( = y( ( + y( ( d d x' y'' y' x'' Foloind şi (45 obţinem d x' ( y'' ( y' ( x'' ( = κ ( ( d Aşadar avem urmăoarea formulă de calcul a curburii unei curbe plane 3 şi
Capiolul Curbe în plan 5 ( ( ( ( x' y'' y' x'' (46 κ ( = ( ( ( 3 x' + y' Obervaţia 4 Funcţia curbură a curbei plane C nu depinde de reperul oronorma ale în E Fapul decurge din (44 Înr-adevăr la o ranlaţie a reperului funcţia θ ( rămâne aceeaşi iar la o roaţie de unghi α (acea nu depinde de funcţia θ ( rece în θ( ± α Acee funcţii au aceeaşi derivaă O!! R = i j şi efecuăm o ranlaţie şi { } Obervaţia 4 Fixăm reperul apoi o roaţie de unghi α a planului E Curba C îşi modifică poziţia în plan dar ca mai u e conaă că derivaa funcţiei θ ( ee aceeaşi adică funcţia curbură a curbei rămâne aceeaşi Compunerea unei ranlaţii cu o roaţie direcă e numeşe deplaare în planul E Deplaările un izomerii ale lui E Obervaţia 43 Penru divere paramerizări ale curbei obţinem funcţii curbură care au domenii de definiţie diferie dar au aceeaşi mulţime de valori Înradevăr cu un calcul aemănăor celui prin care am obţinu (46 e araă că avem κ( ϕ( = κ( I cu ϕ : I J un difeomorfim al inervalelor dechie I şi J din! 5 Teorema fundamenală a geomeriei curbelor plane Am văzu că oricărei curbe în plan i e aociază funcţia curbură care e poae calcula prin formula (46 au (45 Aceaă funcţie curbură deermină comple curba în enul eoremei urmăoare numiă şi eorema fundamenală a curbelor plane Teorema 5 Fiind daă o funcţie k: [ L] # κ ( de claă r C r exiă o curbă unică până la o deplaare în plan penru care ee lungime de arc şi funcţia k ee funcţia curbură a curbei Demonraţia exienei Fie [ L Coniderăm ecuaţia diferenţială θ = ( k( Prin inegrarea ei obţinem (5 ( = + ( unde θ θ( θ θ k τ dτ = ee un număr real oarecare Fie iemul de ecuaţii diferenţiale în necunocuele x y
6 Capiolul Curbe în plan x( = coθ ( y( = in θ ( L şi unghiul θ ( da de (5 Prin inegrarea aceui iem obţinem x( = x + coθ( σ dσ (5 y( = y + inθ( σ dσ x = x y = y numere reale oarecare cu [ ] cu Aplicaţia x( y( ee curba căuaă adică o curbă plană penru care ee lungime de arc şi k funcţia curbură a ei Înr-adevăr lungimea ei de arc ( σ ( σ σ x + y d = d = iar curbura = θco θ + θin θ = θ = ( ( [ ] xy yx k L Comenariu aupra uniciăţii În demonraţia exienţei apar condiţiile iniţiale: punc ( x y direcţie θ arbirare Deci exiă o infiniae de curbe penru care ee lungime de arc şi k funcţie curbură Sinagma unică până la o deplaare în plan îneamnă că oricare două dinre acee curbe e po uprapune prinr-o deplaare în plan Penru demonraţie a e vedea [ p5] Rezulă că prin deplaări convenabile le puem uprapune pe oae pee una fixaă Aplicaţie Să e deermine curbele plane de curbură conană k Rezulă θ( = θ + k( şi x( = in ( θ + k( k y( co ( θ k( = k + Aşadar x ( + y ( = deci curba plană de curbură conană k k ee un arc de cerc de rază k Curbele plane de curbură zero un eviden drepe în plan
Capiolul Curbe în plan 7 6 Forma arcului unei curbe plane în vecinăaea unui punc Punce ingulare x= x( Fie curba plană (C y = y( [ L] ( ( ( Q( x( + y( + cu Serre Frene {! ( (! n( } În ace reper vecorul PQ e crie în forma! (6 &! &! PQ = x + y( n!!! Pe de ală pare PQ = r ( + r = x ( + x y ( + y cu parameru naural şi P x y un punc al curbei C Coniderăm un punc vecin lui P o mică variaţie a lui În puncul P avem reperul au după aplicarea formulei lui Taylor şi omierea ermenilor care conţin pueri 3 ale lui ( ( ( (! % %% % %%!%!%% PQ= x + x y + y = ( ( ( r + r!!!!!! Coninuăm prin aplicarea formulelor lui Frene Rezulă! ( ( ( PQ =! + kn!!! Prin comparaţie cu (6 obţinem & x( =! (6 & ( y( = k ( εε! cu ε uficien de mic în valoare aboluă Formula (6 ne permie ă deenăm arcul de curbură în vecinăaea puncului P Din (6 rezulă (6 & k y = x& formulă care ne araă că arcul de curbură în vecinăaea lui P are forma unui arc de parabolă cu vârful în P şi dechiderea indicaă de enul normalei principale (baza!! ( n ee poziiv orienaă dacă are loc k > şi cu dechiderea în en opu dacă are loc k < Conideraţiile de mai u un valabile penru puncul P neinflexionar Dacă P ee inflexionar coniderând în dezvolarea Taylor a funcţiilor ( ( şi ermeni ce conţin ( 3 x y formulele (6 e înlocuiec cu
8 Capiolul Curbe în plan ( & x( = k! 3! (6 3 & ( % ( y( = k + k ( εε! 3! care în ipoeza k( = e reduc la & x( =! (63 3 & % ( y( = k ( εε 3! Rezulă (63 & y = k % x& 3 Deci arcul curbei C în vecinăaea puncului inflexionar P are forma unui arc de parabolă cubică (Fig 4 3 n!! % Fig 4 Arcul plin reprezină cazul k > % iar cel punca reprezină cazul k < Formulele (6 şi (63 ne permi ă conruim graficul curbei C Începem cu un punc P conruim un arc ce-l conţine luăm pe ace arc un punc P şi conruim un arc ce-l conţine şamd Penru a reuşi ne rebuie paramerizarea naurală a curbei şi curbura ei Procedeul acea de conrucţie ee foare incomod în pracică Exiă poibiliăţi mai comode de a deena graficul curbei C De exmplu puem încerca ă expliciăm (cel puţin un arc al curbei C în forma y = f x x a b (64
Capiolul Curbe în plan 9 şi ă reprezenăm grafic ace arc prin meoda învăţaă în liceu Expliciăm apoi un al arc al curbei C şamd Dacă ace procedeu ee greoi penru că fie expliciarea ee dificilă fie rebuie ă împărţim curba penru expliciare în foare mule arce puem ă raăm graficul curbei plecând direc de la o paramerizare oarecare a ei de forma x= x( (65 y = y( x' ( + y' ( > I # În ace cop e udiază variaţia emnelor derivaelor x' y ' şi x'' y '' Dar înaine de aceaa rebuie ă ne ocupăm de Aimpoe penru curbe plane Fie ( ( P x y un punc pe curba C de ecuaţie (65 Să preupunem că penru ( fini au ± fie x ( fie y( inde căre + au Vom pune că puncul P inde căre infini pe curba C şi arcul decri de P e va numi ramură infiniă a curbei C Ee poibil ca ace arc ă e lim di P d = În ace caz e apropie oricâ de mul de o dreapă d în enul că pune că dreapa d ee aimpoă penru curba C Apar urmăoarele iuaţii: a Penru I #limx( = x (fini şi lim y( =± În aceaă iuaţie dreapa x= x ee aimpoă (vericală penru că dianţa lui P la aceaă dreapă are limia zero penru b Penru I # lim x( =± lim y( = y (fini Aunci dreapa de ecuaţie y = y ee aimpoă (orizonală la curba C c Penru I # lim x( =± lim y( =± În aceaă iuaţie căuăm aimpoe (oblice de forma y = mx+ n Condiţia de aimpoă mx( y( + n x lim = ( y ( n recriă în forma lim m + = ne ± + m ± + m x ( x ( y( araă că în mod necear m = lim Forma ecuaţiei aimpoei ne conduce la x n lim( y( mx ( dianţa de la ( ( ( = Inver dacă limiele care definec m şi n exiă şi un finie P x y la dreapa y = mx+ n inde la zero penru deci dreapa y = mx+ n ee aimpoă a curbei C
3 Capiolul Curbe în plan Exemplu Să e reprezine grafic curba numiă foliul lui Decare de 3 3 ecuaţie x + y 3axy = a # a > Încercăm ă găim o paramerizare a curbei prin inerecţia ei cu dreapa y = x (Procedeu demn de reţinu! Înlocuind y = x în ecuaţia curbei obţinem 3a x = 3 + (66 3a y = # 3 + Obervăm că penru funcţiile x şi y devin imulan infinie Căuăm y( aimpoe oblice Avem lim = şi lim ( ( x ( ( y mx = a Aşadar dreapa x+ y+ a= ee aimpoă oblică 3 3 3a( 3a ( Primele derivae un x' ( = y' ( = Ele e 3 3 + + anulează penru 3 şi repeciv penru = şi = 3 Inroducem acee valori şi emnele funcţiilor x y înr-un abel ca mai jo - 3 3 x + + + + + + + + + + + + + + + + + + - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - y - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - + + + + - - - - - - - - - - - - - - - - x ' ' + a 3 ( ( ( y ( ( + ( ' ' Din ace abel reiee graficul curbei C (penru a 3 4 ( ( a = 3
Capiolul Curbe în plan 3 Fig 5 Săgeţile indică deplaarea puncului P al curbei când variază de la la + Se conaă imedia că axa Ox ee angenă la curbă în puncul O Acea ee şi punc dublu penru curbă El e obţine penru = =± După chimbarea de parameru = ' calculând primele derivae e conaă că şi axa Oy ee angenă curbei în originea O Reprezenarea paramerică (66 ne araă că foliul lui Decare ee curbă în enul Definiţiei Aminim că în reprezenările paramerică (5 impliciă (6 şi expliciă (7 ale curbelor plane e impuneau urmăoarele condiţii: a Funcţiile foloie ă fie de claă C ( b În reprezenarea paramerică (5 derivaele x şi y ă nu fie imulan nule c În reprezenarea impliciă (6 derivaele F x şi F y ă nu fie imulan nule Exiă mulţimi în plan decrie înr-un reper carezian de ecuaţii de ipul (5 (6 (7 care au punce în care nu oae condiţiile a b c un aifăcue Aemenea punce e numec punce ingulare şi mulţimile în cauză e numec curbe cu ingulariăţi Lăăm în eama Analizei maemaice udiul curbelor cu ingulariăţi produe de neaifacerea condiţiei a şi ne ocupăm de punce ingulare dae de neaifacerea condiţiei b repeciv c Fie o curbă cu ingulariăţi daă parameric prin (5 Înr-un punc ingular avem x' = y' = Conaăm că nu mai puem foloi (3 penru a crie ecuaţia
3 Capiolul Curbe în plan angenei în ace punc Aminim că înr-un punc neingular da de = pana y' ( y( + y( angenei la curbă ee m = = lim x '( x ( + x ( Aceaă formulă conduce la ideea de a defini angena înr-un punc ingular după cum urmează Să preupunem mai general că în puncul ingular da de valoarea = u avem ( ( x' = x'' = = x = y' = y'' = = y = ( ( şi că cel puţin una din derivaele x y ee diferiă de zero în ace punc Formula lui Taylor ne permie ă criem ( ( xu ( + xu = x ( u + θ! ( ( y( u + y( u = y ( u + θ! unde θ şi θ un numere reale din inervalul ( Definind pana angenei ca şi în punce neingulare rezulă ( ( y ( u + θ y ( u m = lim = Limia exiă penru că funcţiile în cauză un x u + θ x u ( de claă C ( ( Ecuaţia angenei e crie în forma x x( u y y( u = x u y u ( ( Fie acum o curbă cu ingulariăţi daă de ecuaţia ( xy ale unui punc ingular un oluţii ale iemului F( x y = F ( x y = F ( x y = x y F x y = Coordonaele Căuăm pana angenei înr-un aemenea punc Fie P' ( x+ x y+ y un punc vecin lui P( x y Pana angenei în P va y fi m = lim Puncul P fiind pe curbă avem x x F( x+ x y+ y = Aplicăm funcţiei F formula lui Taylor oprindu-ne la ermeni de ordin Obţinem F x y x + F x y x y+ F x y y = xx xy yy Împărţim prin ( x şi facem x Rezulă
Capiolul Curbe în plan 33 Fxx x y + mfxy x y + Fyy x y m = Preupunem că cel puţin una din derivaele de ordinul al doilea a funcţiei F ee diferiă de zero în P Ecuaţia de gradul în m conduce la urmăoarea dicuţie Dacă Fxy FxxFyy > în P avem două angene în P de pane m şi m Curba araă ca în Fig 6 Dacă F xy xx yy Fig 6 F F = în P avem o ingură angenă care rebuie ouşi ocoiă de două ori Curba are una din formele 3 Dacă F xy xx yy Fig 7 F F < în P aunci P ee un punc izola al mulţimii de punce definiă de ecuaţia F x y = în enul că exiă un dic cenra în P care nu conţine nici un punc al aceei mulţimi Dacă oae derivaele de ordinul al doilea ale funcţiei F un nule în P e face un raţionamen imilar coniderând în formula lui Taylor derivae de ordin 3 au şi mai mare dacă derivaele de ordinul al reilea ec ale funcţiei F un nule în P