( ) 2. χρόνος σε min. 2. xa x. x x v

ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ Μ. ΤΕΤΑΡΤΗ 8 ΑΠΡΙΛΙΟΥ 05 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α Α. Σχολικό βιβλίο σελίδες 8-9 Α. Σχολικό βιβλίο σελίδες 86-87 Α3. Σχολικό βιβλίο σελίδα 6 Α4. α) Σ, β) Λ, γ) Λ, δ) Σ, ε) Σ. ΘΕΜΑ Β Β. Αφού το εύρος R=0 min και το πλήθος των κλάσεων είναι κ=5, τότε R 0 c = = 4 κ 5 =. Αν οι κλάσεις είναι [α, α+4), [α+4, α+8), [α+8, α+), από την κεντρική τιµή της 3 ης κλάσης ( α+ 8) + ( α+ ) α+ 0 x = 0= α+ 0 α= 0, άρα οι κλάσεις είναι [0, 4), {4, 3 8), {8, ), [, 6), [6, 0). Έχουµε επίσης ότι Ν 5 =50, αφού Ν 5 =ν, άρα ν=50. Επίσης, δίνεται ότι 3 µαθητές περιµένουν λιγότερο από 4 min άρα ν =3, έτσι: v 3 6 f= = = = 0,06 και F =0,, άρα v 50 00 f+ f= 0, f= 0, 0,06 f ( ) = 0,4 v v = 0,4 = 0,4 v= 7 v 50 ίνεται επίσης ότι 0 µαθητές περιµένουν λιγότερο από mm, άρα Ν 3 =0 ν +ν +ν 3 =0 0+ν 3 =0 ν 3 =0, άρα v3 0 f3= = = 0, και F 3 =f +f +f 3 =0,4, δίνεται επίσης ότι το 84% των µαθητών v 50 περιµένουν χρόνο λιγότερο από 6 min, άρα F 4 %=84 F 4 =0,84 f +f +f 3 =0,84, οπότε v4 v4 f 4 =0,84-0,4=0,44 και = 0, 44 = 0,44 v4 =. v 50

Οπότε Ν 4 =ν +ν +ν 3 +ν 4 =3+7+0+=4, άρα ν 5 =50-4=8. Άρα ο πίνακας γίνεται: Κλάσεις: Κέντρο Συχνότητα Ni fi Fi Fi% χρόνος σε κλάσης vi min xi [0,4) 3 3 0,06 0,06 6 [4,8) 6 7 0 0,4 0, 0 [8,) 0 0 0 0, 0,4 40 [,6) 4 4 0,44 0,84 84 [6,0) 8 8 50 0,6 00 Σύνολο 50 Β. Για το µέσο χρόνο αναµονής και τη διασπορά: Κλάσεις: xi vi xi vi χρόνος σε min xi x ( x x) i ( ) x x v [0,4) 3 6-0 0,06 300 [4,8) 6 7 4-6 0, 5 [8,) 0 0 00-0,4 40 [,6) 4 308 0,84 88 [6,0) 8 8 44 6 88 Σύνολο 50 600 968 Άρα κ i i i= x= x v = 600= min και η διασπορά ή διακύναµση v 50 ( ) i δηλαδή κ s = x x vi v i = 936 s = 986= = 9,36 min, οπότε 50 00 s= s = 9,36 = 4, 4 min. Η διάµεσος δ σε οµαδοποιηµένη κατανοµή αντιστοιχεί στην τιµή x=δ της µεταβλητής x (στον οριζόντιο άξονα) έτσι ώστε το 50% των παρατηρήσεων να είναι µικρότερες ή ίσες του δ. ηλαδή η διάµεσος έχει αθροιστική σχετική συχνότητα F i =50% έτσι στο σχήµα από το ιστόγραµµα αθροιστικών σχετικών συχνοτήτων επί τοις εκατό τα σηµεία Α, Μ, Β είναι συνευθειακά έτσι: y ym y λαβ = λαμ = ή xb x x M x 84 40 50 40 44 0 = = δ ( ) = 0ή 6 δ 4 δ 4 δ 3= 0 δ= 4 δ= =,9 min περίπου i i

Fi% 00 84 Β(6,84) 50% M(δ,50) 40 (,40) 0 4 0 4 8 δ 6 0 χρόνος σε min Β3. α) Από το σχήµα έχουµε Γ(8, 0), Ρ(0, y ), Α(, 40) y yγ yp yγ 40 0 y 0 λγα = λγρ = = x xγ x P xγ 8 0 8, άρα 0 y 0 y 0 = 5= y 0= 0 y= 30 άρα το 30% των µαθητών έχει 4 χρόνο αναµονής κάτω από 0 min (οπότε το 70% κάνει χρόνο από 0 min και πάνω) άρα για το ενδεχόµενο Α={ο χρόνος αναµονής του µαθητή είναι µικρότερος από 0 30 min}, έχουµε Ρ( Α ) =Ρ ( t< 0 min) = = 0,3. 00 Fi% 00 y =88 84 Ε(7,y ) Β(6,84) (0,00) 50% 40 M(δ,50) (,40) y =30 Ρ(0,y ) 0 Γ(8,0) 4 0 4 0 δ 6 8 7 0 χρόνος σε min

y yβ yε yβ 00 84 y 84 λβ = λβε = =, άρα x xβ xε xβ 0 6 7 6 6 y 84 = 4= y 84 y= 88 4 Άρα το 88% των µαθητών έχει χρόνο αναµονής κάτω από 7 min, από αυτούς το 0% έχει χρόνο αναµονής κάτω από 8 min, άρα χρόνο αναµονής τουλάχιστον 8 min και λιγότερο από 7 min έχει το 88-0=68% του συνόλου των µαθητών. Έτσι για την πιθανότητα του ενδεχοµένου Β={ο χρόνος αναµονής του µαθητή είναι τουλάχιστον 8 min και λιγότερος από 7 min}, έχουµε 68 Ρ( Β ) =Ρ( 8 t< 7 min) = = 0,68. 00 β) Θεωρούµε το ενδεχόµενο Α Β ={ο χρόνος αναµονής του µαθητή 8 min t 0 min}, τότε το 30% των µαθητών έχει χρόνο αναµονής κάτω από 0 min, από αυτούς το 0% έχει χρόνο αναµονής κάτω από 8 min, οπότε το 30-0=0% έχει χρόνο αναµονής 8min t 0 min, άρα Ρ( Α Β ) =Ρ( Α ) +Ρ( Β) Ρ( Α Β ) = 0,3+ 0,68 0,= 0,88, ενώ Ρ( Α Β ) =Ρ( Α) Ρ( Α Β ) = 0,3 0,= 0,, έτσι ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0,68 0, 0,58 Ρ Α Β Α =Ρ Β Α =Ρ Β Ρ Α Β = = ΘΕΜΑ Γ 5x 5 Γ. Αρχικά για το όριο δ= 3 lim x x + 3 4 Πρέπει x+ 3 0 και x+ 3 4 0 οπότε x 3 και x+ 3, άρα x 3 και x+ 3 4, έτσι έχουµε x 3 και x, άρα η συνάρτηση ορίζεται στο σύνολο Α= 3,, + άρα για τη συνάρτηση έχουµε: ( ) f x ( ) f x [ ) ( ) 5( x ) 5( x )( x+ 3+ ) ή ( + ) ( + ) ( + + ) ( )( ) ( )( ) ( x+ 3) ( + ) 5( x+ 3+ ) = = x 3 x 3 x 3 ( ) 5 x x+ 3+ 5 x x+ 3+ 5 x+ 3+ = = = x 3 4 5x 5 5 4 lim f( x) = lim lim 0 x x = = = x 3 4 x + 5x 5 Έτσι δ= 3 lim 3 0 30 x = = mm Hg. x+ 3 4 άρα

Όπως γνωρίζουµε στην κανονική κατανοµή, η µέση τιµή χωρίζει το σύνολο των παρατηρήσεων µε τέτοιο τρόπο έτσι ώστε το 50% των παρατηρήσεων να είναι µικρότερες ή ίσες της x και το 50% των παρατηρήσεων να είναι µεγαλύτερες ή ίσες της x. ηλαδή στην κανονική κατανοµή ισχύει ότι η διάµεσος και η µέση τιµή ταυτίζονται έτσι δ= x =30 mm Hg. Αποδεικνύεται ότι στην κανονική κατανοµή το 84% έχει συστολική πίεση µεγαλύτερη από 5 mm Hg, άρα πρέπει, x s = 5 mm Hg, όµως x = 30 mm Hg, άρα 30-s Α =5 s Α =5 mm Hg. Έτσι για την κατανοµή Α έχουµε: 34% 50% 84% x 5 Για τον συντελεστή µεταβολής οµοιογενές. CV Α sα 5 = = = <, άρα το δείγµα Α είναι x 30 6 0 Γ. α) Για το δείγµα Β ξέρουµε ότι κάθε άτοµο του δείγµατος αυτού παρουσιάζει συστολική πίεση y i =x i +0 σε mm Hg, για κάθε i=,,, ν, σε σχέση µε τη συστολική πίεση x i των ατόµων του δείγµατος Α. Άρα, από γνωστή εφαρµογή του σχολικού βιβλίου, θα ισχύει ότι = x + 0= 30+ 0= 40 mm Hg. Ενώ s B =s =5 mm Hg. sb 5 5 Οπότε CV = B CV y = 40 < 30 =, έτσι το δείγµα Β παρουσιάζει µεγαλύτερη B οµοιογένεια σε σχέση µε το δείγµα Α. 0 5 30 35 40 45 50 55 3s x s x s x x+ s x+ s x+ 3s σε mm Hg

κατανοµή Α κατανοµή Β x 5 0 5 30 35 40 45 50 55 3s x s x s x x+ s x+ s x+ 3s σε mm Hg 3s Β s Β s B y B s y + B B + s Β + 3s Β β) 3,5 5 0 5 30 35 40 45 50 55 σε mm Hg x x+ s x + s i) Από την υπόθεση έχουµε ότι το πλήθος των ατόµων του δείγµατος Α, στο διάστηµα x s,x s + +, είναι ίσο µε 540, όµως το παραπάνω διάστηµα περιέχει το 3,5% του πλήθους v των ατόµων της κατανοµής Α, άρα

3,5 3,5% v =540 v = 540 3,5v = 54.000. 00 54000 ηλαδή v = = 4000, έτσι v =v B =4.000 άτοµα. 3,5 ii) Οπότε συνολικά και από τα δύο δείγµατα έχουν συστολική πίεση κάτω από 35 mm Hg. Το 84% των ατόµων της κατανοµής Α Το 6% των ατόµων της κατανοµής Β 84 6 Άρα συνολικά 4.000+ 4.000= 4.000άτοµα 00 00 κατανοµή Α κατανοµή Β 5 0 5 30 35 40 45 50 55 σε mm Hg x x+ s s B y B ΘΕΜΑ. α) f '( x) = αx ( αx + ) Ο συντελεστής διεύθυνσης της εφαπτοµένης ( ε ) : y= x+ β είναι ισούται µε την παράγωγο της f στο x 0 =, εποµένως είναι: λ= και

α f ' = = α+ = 4α... α=, οπότε η συνάρτηση f ( ) ( ) ( α+ ) γίνεται f( x) = x + και είναι ( ) f =. Για x= και y= στην (ε) βρίσκουµε: = + β β=. x β) f '( x) = = 0 x= 0 x + ( ) x - 0 + f (x) + - f(x) τ.µ. Στο διάστηµα (-, 0] η f είναι γνησίως αύξουσα και στο διάστηµα [0, + ) είναι γνησίως φθίνουσα. Στο x=0 η f παρουσιάζει τοπικό µέγιστο στο f(0)=, το οποίο είναι και ολικό µέγιστο, αφού για x 0 είναι f(x) f(0)= και για x 0 είναι f(x) f(0)=, δηλαδή για κάθε x R είναι f(x) f(0)=.. α) Αν Α ένα ενδεχόµενο ενός δειγµατικού χώρου Ω, τότε ισχύει 0 Ρ(Α), οπότε πρέπει 0 y, 0 x+ 0 x+ x 0 0 x 4 β) Είναι y = + = 5 5 4 3 y = + = 5 5 7 3 y3 = + = 5 0 Οπότε {y, y, y 3 }= 4, 3, 3 5 5 0 i) Οι πιθανότητες των ενδεχοµένων ( )' Α Β, Α Β, και Α είναι οι αριθµοί 4 5, 3 5, 3 0, όχι απαραίτητα µε την ίδια σειρά. Η αύξουσα σειρά αυτών των αριθµών είναι 3 0, 3 5, 4 5. Είναι Α ΑΒ, οπότε Ρ(Α) Ρ(Α Β).

3 5 Αν Ρ( Α ) = και Ρ(Α Β)= 4 5, τότε υποχρεωτικά πρέπει να είναι Ρ((Α Β) )= 3 αλλά τότε -Ρ(Α Β)= Ρ(Α Β) Ρ(Α), αφού Α Β Α. Αν Ρ(Α)= 3 0 και Ρ(Α Β)= 4 5 αλλά τότε -Ρ(Α Β)= 0, 3 0 Ρ(Α Β)= 7 >Ρ(Α) που είναι άτοπο γιατί ισχύει 0, τότε υποχρεωτικά πρέπει να είναι Ρ((Α Β) )= 3 0, 3 5 Ρ(Α Β)= >Ρ(Α) που είναι άτοπο γιατί ισχύει 5 Ρ(Α Β) Ρ(Α), φού Α Β Α. Εποµένως είναι: Ρ(Α)= 3 0, Ρ(Α Β)= 3 5 και Ρ((Α Β) )= 4 5. Επειδή είναι Ρ((Α Β) )=-Ρ(Α Β), τότε Ρ(Α Β)=- Ρ((Α Β) )=- 4 5 = 5. ii) Είναι Ρ(Α Β )=Ρ(Α-Β)=Ρ(Α)-Ρ(Α Β)= 3 0-5 = 0 (3) Επίσης είναι Α-Β =Α Β =Α Β, οπότε Ρ(Α-Β )=Ρ(Α Β)= 5 (4). Από τις (3) και (4) προκύπτει ότι Ρ(Α Β )<Ρ(Α-Β) και αφού η συνάρτηση f είναι γνησίως φθίνουσα στο διάστηµα [0, + ), τότε f(ρ(α Β ))>f(ρ(α-β )). iii) Είναι Ρ(Α Β)=Ρ(Α)+Ρ(Β)-Ρ(Α Β) Ρ(Β)=Ρ(Α Β)+Ρ(Α Β)-Ρ(Α) Ρ(Β)= 3 5 + 5-3 0 = 4 5-3 0 = 5 0 = () Επίσης, Β Γ γ, άρα Ρ(Β Γ) Ρ(Γ) Ρ(Β Γ) 3 0 - Ρ(Β Γ) - 3 0 Ρ(Β)-Ρ(Β Γ) - 3 0 Ρ(Β-Γ) - 3 0 Ρ(Β-Γ) 0 Ρ(Β-Γ) 5 () Από τις () και () προκύπτει ότι: 5 Ρ(Β-Γ).