Ψηφιακή Επεξεργασία Σήματος. Γιάννης Κοψίνης Γραφείο: Ι (γιώτα) 3, (Δευτέρα 14:00-15:00)

Ψηφιακή Επεξεργασία Σήματος Γιάννης Κοψίνης Email: kopsiis@i.org Γραφείο: Ι γιώτα 3, Δευτέρα 4:00-5:00

Σήματα x x x x

Συστήματα Τεχνητά συστήματα Αποθορυβοποίηση Ακύρωση θορύβου ois Cacllatio Ακύρωση Αντιλάλου Echo Cacllatio Εξίσωση καναλιού Φυσικά συστήματα Ανακλάσεις φυσικό περιβάλλον Εξασθένηση σήματος Φωνητικές χορδές φάρυγγας Αυτί

Σήματα Richard Baraiuk Ric Uivrsity: Discrt Tim Sigals ad Systms dx.org Paolo Pradoi & Marti Vttrli EPFL: Digital Sigal Procssig coursra.org Ala V. Opphim & Thomas A. Bara MIT: Discrt-Tim Sigal Procssig dx.org

Μιγαδικά Σήματα

Ιδιότητες / ήδη σημάτων Ifiit*/fiit lgth απείρου /πεπερασμένου μήκους Priodic Causal / a causal αιτιατά μη αιτιατά Ev/Odd συμμετρικά / αντισυμμετρικά Digital Sigals vs Discrt tim sigals ψηφιακά σήματα / σήματα διακριτού χρόνου Widowig Zro-paddig Priodizatio Shiftig ολίσθηση Circular shiftig κυκλική ολίσθηση Tim rvrsal κατοπτρική Ακολουθία Circular tim rvrsal * Ότι είναι γραμμένο με πράσινο, το έχουμε αναπτύξει στον πίνακα.

Ειδικά σήματα διακριτού χρόνου Dlta fuctio or uit puls κρουστική ακολουθία Uit Stp μοναδιαία βηματική ακολουθία Richard Baraiuk Ric Uivrsity: Discrt Tim Sigals ad Systms dx.org

Richard Baraiuk Ric Uivrsity: Discrt Tim Sigals ad Systms dx.org

Συστήματα Ορισμός Τα συστήματα είναι μετασχηματισμοί που μετασχηματίζουν ένα σήμα σε ένα άλλο Παραδείγματα Ακύρωση αντιλάλου, μετασχηματίζει το σήμα σε ένα άλλον που δεν παρουσιάζει αντίλαλο Αποθορυβοποίηση, μετασχηματίζει το σήμα σε ένα άλλο με μεγαλύτερο SR Σύστημα ενίσχυσης, μετασχηματίζει το σήμα σε ένα άλλο που έχει μεγαλύτερη ισχύ. Ψηφιακή φωτογραφική μηχανή, μετασχηματίζει την πληροφορία που φέρει το φως σε σύνολο αριθμών Σύστημα αναγνώρισης ομιλίας, μετασχηματίζει ακουστικά σήματα ομιλίας σε κείμενο Υπερηχογράφος, μετασχηματίζει λαμβανόμενους ηχητικούς παλμούς σε θέση και πυκνότητα ιστού. Παραδείγματα Σημάτων με σχέση Εισόδου-Εξόδου.

Γραμμικότητα Ένα σύστημα είναι γραμμικό αν ικανοποιεί τις παραπάνω ιδιότητες Κλιμάκωση scalig Ιδιότητες Συστημάτων Προσθετική ιδιότητα additivity

Χρονικά Αναλλοίωτα Ένα σύστημα είναι χρονικά αναλλοίωτο αν μια χρονική μετατόπιση του σήματος εισόδου προκαλεί μια αντίστοιχη χρονική μετατόπιση του σήματος εξόδου. Αιτιατότητα Ευστάθεια

Περιγραφή Γραμμικών Χρονικά αναλλοίωτων ΓΧΑ συστημάτων T[] x h y x y Κρουστική απόκριση, δηλαδή η έξοδος του συστήματος για είσοδο Γραμμική Συνέλιξη σήματα απείρου μήκους Κυκλική Συνέλιξη σήματα πεπερασμένου μήκους

x h h x Ιδιότητες Συνέλιξης Αντιμεταθετική l k l k άρα όπου l l h l x x h l x l h l Απόδειξη k k h k x h x Γραφική αναπαράσταση αντιμεταθετικής ιδιότητας

Επιμεριστική h h x h x h x x h h y x h h y

Προσεταιριστική h h x h h x h x h y x h h y Αιτιατότητα ΦΕΦΕ Ευστάθεια

Γραφική Εκτέλεση Συνέλιξης

Γραφική Εκτέλεση Συνέλιξης y 0 x k h k k

Γραφική Εκτέλεση Συνέλιξης y x k h k k

Γραφική Εκτέλεση Συνέλιξης y 3 x k h3 k k

0 τότε : 0, 0 και 0, Αν x h k k h k x y 0 k k h k x k k h k x 0 Παρατήρηση

Να υπολογιστεί η έξοδος ενός ΓΧΑ συστήματος του οποίου η κρουστική απόκριση ορίζεται ως: 0, 0 0, a h η είσοδος είναι όταν u u x Παράδειγμα Υπολογισμού Συνέλιξης

Να υπολογιστεί η έξοδος ενός ΓΧΑ συστήματος του οποίου η κρουστική απόκριση ορίζεται ως: 0, 0 0, a h : η είσοδος είναι όταν u u x Παράδειγμα Υπολογισμού Συνέλιξης

Λύση

Λύση y 0, 0

Λύση

Λύση y a k a k0 k0 a k

Λύση k k k k a a a y 0 0 a a a a a a y 0, a a y

Λύση

0 0 k k k k a a a y a a a y a a a a y, Λύση

Τελικό Αποτέλεσμα a a a a a a y,,0 0, 0

Κυκλική συνέλιξη Παράδειγμα Κυκλική συνέλιξη σαν γινόμενο πίνακα circulat επί διάνυσμα Υπολογισμός γραμμικής συνέλιξης εφαρμόζοντας την κυκλική.

Επικάλυψη αναδίπλωση Aliasig

Περιοδικότητα

Σύνοψη Υπάρχουν Ν ημιτονοειδή διακριτού χρόνου που έχουν περίοδο Ν. και αποτελούν αρμονικές της βασικής συχνότητας.

Σύντομο φρεσκάρισμα στα

Ανάλυση Σύνθεση Μετασχηματισμοί σημάτων Έστω και, μια βάση, πχ του R Ν, ο αντίστοιχος Ν Ν πίνακας. Σύνθεση: Ανάλυση:

Έστω Ανάλυση Σύνθεση Μετασχηματισμοί σημάτων, μια ορθοκανονική βάση, πχ του R Ν και, ο αντίστοιχος Ν Ν πίνακας. Τότε Σύνθεση: Ανάλυση:

Τα Ν αρμονικά ημιτονοειδή όπου αποτελούν ορθογώνια βάση του C Ν Απόδειξη

Τα Ν αρμονικά ημιτονοειδή όπου αποτελούν ορθοκανονική βάση του C Ν Απόδειξη Δεδομένου ότι δείξαμε ότι αποτελεί ορθογώνια βάση αρκεί να δείξουμε ότι το κάθε ένα διάνυσμα βάσης είναι κανονικοποιημένο στην μονάδα. Έστω

Διακριτός Μετασχηματισμός Fourir DFT Έστω, με και, ο αντίστοιχος Ν Ν πίνακας. Ευθύς DFT Ανάλυση: Αντίστροφος DFT Σύνθεση:

Ιδιότητες: Ζεύγος DFT Θεώρημα Parsval 0 x k0 X k

Richard Baraiuk Ric Uivrsity

Φυσική Ερμηνεία DFT - αποτελεί μέτρο της ομοιότητας του σήματος, με ημιτονοειδή συχνότητας. - Το σήμα επανα-συντίθεται ως γραμμικός συνδυασμός ημιτονοειδών συχνότητας, με βάρη. Επομένως, το προσδιορίζει το κατά πόσο το σήμα «περιέχει» την συχνότητα. - : αναπαράσταση του σήματος στο πεδίο των συχνοτήτων

Παράδειγμα DFT

Ιδιότητες: o ευθύς DFT είναι περιοδικός Ιδιότητες: Ομοίως, o αντίστροφος DFT είναι περιοδικός

Διαστήματα συχνοτήτων DFT

Απόδειξη: Ιδιότητες: DFT και κυκλική ολίσθηση

Ιδιότητες: DFT και κυκλική ολίσθηση Απόδειξη: Εφαρμογή του τύπου του ευθύ DFT στο αριστερό μέλος, και στη συνέχεια χρήση της ιδιότητας

Ιδιότητες: κυκλική συνέλιξη μέσω DFT Θεωρήστε σύστημα με κρουστική απόκριση,, και σήμα,, με διακριτούς μετασχηματισμούς Φουριέ,, αντίστοιχα, δηλ: Τότε ισχύει Όπου και είναι η κυκλική συνέλιξη των ακολουθιών και,

Ιδιότητες: Συμμετρία DFE

Συμμετρία. Αν x πραγματική τότε: R[ Xk ] = R[ X k ] Im[ Xk ] = Im[ X k ] Απόδειξη: 0 k π x k X * 0 0 k X x x k X k π k π Άρα για πραγματικά x, Xk = X * -k Συνεπώς R[ Xk ] = R[ X k ], Im[ Xk ] = Im[ X k ], Xk = X k Ιδιότητες: Γραμμικότητα Συμμετρία DFE Γραμμικότητα προφανής

Παράδειγμα Complx Sigal

Παράδειγμα Ral Sigal

DFT of a siusoid a

Μετασχηματισμός Φουριέ Διακριτού Χρόνου DTFT Ευθύς DTFT Αντίστροφος DTFT Μετασχηματισμός Φουριέ Συνεχούς Χρόνου Ευθύς Αντίστροφος DTFT

Μετασχηματισμός Fourir Σημάτων Διακριτού Χρόνου Πρόβλημα: Να υπολογιστεί ο μετασχηματισμός Fourir του σήματος διακριτού χρόνου: x, 0, 0 0, 0 Ν-

Λύση ω ω ω x X 0 ω ω Φάση :, si si Μέτρο: ω X φ ω ω X ω ω ω ω ω ω ω ω ω si si Ν ω ω ω

5 X ω ω si ω si π π π π ω

z x z x a a... a z x M a M x a 0 y b z b... b z b y y y z y b y k M k k k0 a k x k

Θεώρημα Δειγματοληψίας yquist Εστω x a t σήμα αναλογικό x a t Σύστημα A/D x x T a Ζητούμενο: Πόσο μεγάλο ήμικρό πρέπει ναείναι τοt ώστε ναμη χαθεί πληροφορία. Δηλαδή ναμπορούμε, αν θέλουμε, ναανακατασκευάσουμε το x t από τα δείγματα x, t

dt t x X t a a x X Μετασχηματισμοί Fourir συνεχούς και διακριτού χρόνου d X t x t a a Αντίστροφος μετασχηματισμός Fourir συνεχούς χρόνου Θεώρημα Δειγματοληψίας yquist

d X T x x T a a Άρα: ή: r T r T r T a d X x Θέτοντας: r T r T T T a d r T X x Θεώρημα Δειγματοληψίας yquist

Θέτοντας: T T r T a d r T X x για T r a d r T T X T x Όμως ο αντίστροφος μετασχηματισμός Fourir διακριτού χρόνου: d X x Θεώρημα Δειγματοληψίας yquist

Άρα: r a r T X T X ή: r a T r X T X Θεώρημα Δειγματοληψίας yquist

Θεώρημα Δειγματοληψίας yquist X a 0 / X 0 0 /T / 0T / 0T / 0 T / X T 0 T / /T 0T / ω 0T / / / 0 / 0 / / / Ω

ή ισοδύναμα: Θεώρημα Δειγματοληψίας yquist Αρα για να ΜΗ ΧΑΘΕΙ πληροφορία θα πρέπει: f. 0 T 0 T f T. T 0 0 Δηλαδή:. 0 Κυκλική συχνότητα δειγματοληψίας τουλάχιστον διπλάσια της μέγιστης συχνότητας που εμπεριέχεται στο αναλογικό σήμα.

Θεώρημα Δειγματοληψίας yquist Eάν όχι; X T Τότε την πατήσαμε!!! Υπάρχει ΕΠΙΚΑΛΥΨΗ και η αρχική μορφή του φάσματος του αναλογικού σήματος ΧΑΝΕΤΑΙ. Το αρχικό φάσμα, άρα και το xt ΔΕΝ ΜΠΟΡΟΥΝ να ανακτηθούν. Eάν ναι; Πως γίνεται η ανάκτηση του αρχικού σήματος x a t από το x;;;

Θεώρημα Δειγματοληψίας yquist Να πως γίνεται η ανακατασκευή: xt h t?? x a t X T H X a H?? T T /T 0 / 0 / / T

Άρα: h t Θεώρημα Δειγματοληψίας yquist T, H T 0, αλλού Δηλαδή κατωπερατό φίλτρο! H t t T T t d t T t si t T S a t T d T π π T π T T t t T t T si c Ω t d t T Ω

Συνεπώς: Η έξοδος του φίλτρου όταν η είσοδος είναι το σήμα, x a x t x T t T θα είναι: x a a t xa T T Sa t x a T Sa t T t Θεώρημα Δειγματοληψίας yquist x a T si T T t t T T d

Θεώρημα Δειγματοληψίας yquist S a t -5Τ -4Τ -3Τ -Τ -Τ άθροισμα όλων t x0 0 x Τ Τ 3Τ 4Τ 5Τ x 0 T T Για t ακέραιο πολλαπλάσιο του T, =0,, kl. MOO MIA S a t-t ΣΥΝΕΙΣΦΕΡΕΙ με πλάτος xt. Για tt, ΣΥΝΕΙΣΦΕΡΟΥΝ ΟΛΕΣ!

Παράδειγμα Δειγματοληψίας Η περίοδος δειγματοληψίας είναι Τ=0. scs. Με την περίοδο αυτή να γίνει δειγματοληψία στα εξής σήματα: x t=cos6πt, x t=cos8πt. Να σχεδιαστούν τα φάσματα των x, x. Υπάρχει επικάλυψη; ΩΤ ΩT Θα σχεδιάσουμε τα X, X ως συνάρτηση του Ω. Λύση Περίοδος δειγματοληψίας: T 0. 0 0. 0

Παράδειγμα Δειγματοληψίας x t cos 6 t 6 0 X a -6π 0 6π X T 0 0 6 0 6 0 0 /T /T

Παράδειγμα Δειγματοληψίας x t cos 8π t Ω 8π 0 X a -8π -0π 0 0π 8π X T -38π -8π -0π -π 0 π 0π 8π 38π -π/τ π/τ

z x z x a a... a z x M a M x a 0 y b z b... b z b y y y z y b y k M k k k0 a k x k

Γενικά για ΓΧΑ filtrig Βασικές συναρτήσεις μεταφοράς ιδανικών ΓΧΑ φίλτρων Κρουστική απόκριση του ιδανικού κατωπερατού φίλτρου --- To ιδανικό φίλτρο δεν είναι ΦΕΦΕ ευσταθές --- Ηz δεν είναι ρητή συνάρτηση χρειάζονται άπειρες πράξεις για τον υπολογισμό της συνέλιξης

Richard Baraiuk Ric Uivrsity: Discrt Tim Sigals ad Systms dx.org Φίλτρα IIR

Φίλτρα FIR z x x x M a z... a a z a M x a 0 y H z 0 h z, H 0 h --- Έχει μόνο μηδενικά --- Απαιτεί μεγαλύτερο αριθμώ υπολογιστικών στοιχείων από IIR ανάλογων προδιαγραφών --- Είναι ΦΕΦΕ ευσταθες --- Μπορεί να έχει γραμμική φάση --- Στην πράξη, χρησιμοποιούνται πολύ περισσότερο από ότι τα IIR

0 0, h H z h z H Αν η κρουστική απόκριση ικανοποιεί τη συνθήκη συμμετρίας h=h-- τότε το φίλτρο έχει γραμμική φάση. Απόδειξη: Ν άρτιο 0 0 0 h h h 0 h Φίλτρα FIR

0 0 h h ω R H ω ω Ν άρτιο: 0 cos ω h ω R Ν περιττό: 3 0 cos ω h h ω R Φίλτρα FIR

Άρα η φάση γραμμική! 0 αν, 0 αν, R R Υπάρχει λόγος για φάση ΓΡΑΜΜΙΚΗ; ΝΑΙ! Φίλτρα FIR

Να το γιατί: Έστω σύστημα με γραμμική φάση, a H H Είσοδος, x Δηλαδή δύο ημίτονα Έξοδος, a a H H y a a H H y Δηλαδή: α Η επιδρά στο πλάτος β φάση επιδρά στην καθυστέρηση 0 0 X x Υπενθύμιση: Φίλτρα FIR

Φίλτρα FIR Η γραμμική μεταβολής της φάσης προκαλεί χρονική υστέρηση αλλά διατηρεί την μορφή του σήματος.

Φίλτρα FIR Άρα: Στην περίπτωση γραμμικής φάσης όλες οι συνιστώσες καθυστερούν το ίδιο άρα δεν αλλοιώνεται η μορφή του σήματος. Τι γίνεται στην περίπτωση που η φάση είναι μη γραμμική;

Για παράδειγμα: a H H τότε: a a H y a a H y Άρα στην έξοδο το πρώτο ημίτονο μετακινείται κατά aω δείγματα και το δεύτερο κατά aω δείγματα. Φίλτρα FIR

Σχεδιασμός FIR Φίλτρων Το ίδιο φασματικό περιεχόμενο από άποψη ενεργειακή πλάτος, αλλά το σήμα εξόδου έχει διαφορετική μορφή. Το μάτι είναι ευαίσθητο στη φάση ενώ το αυτί όχι.

Η συνθήκη h=h-- είναι και αναγκαία. Άρα υπάρχουν ΜΟΝΟ FIR φίλτρα τα οποία είναι αιτιατά και ταυτόχρονα έχουν γραμμική φάση. περιττό άρτιο

Τι θα θέλαμε; c H d d H h H d d d όπου h d IIR! ασταθές!

Χρειάζεται αποφασιστικότητα: h h d 0, 0, 0, ή w h h d με αλλού 0, 0, w ακολουθία παραθύρου

Πρόβλημα: Να υπολογιστεί ο μετασχηματισμός Fourir του σήματος διακριτού χρόνου: w, 0, 0 0, 0 Ν-

Λύση w W 0 ω ω Φάση :, si si Μέτρο : W W ω ω ω ω ω ω si si Ν ω ω ω

5 X ω ω si ω si π π π π ω

Γινόμενο Συνέλιξη π π ω φ ωφ H Hd W π dφ

si ω / si ω/ 9 π / π / π π ω H d φ W ωφ ω π π φ H d ω H ω π π ω

Άλλες λύσεις Παράθυρα:, 0, Bartltt w 0, cos : Haig w 0, cos 0.46 0.54 Hammig w

Τετραγωνικό Haig Bartltt Hammig

0 log 0 W ω / W 0 Σχεδιασμός FIR Φίλτρων 0 π ω -0-40 -60-80 -00-0 -40-60 -80 - Τετραγωνικό - Bartltt - Haig - Hammig

Σχεδιασμός FIR Φίλτρων Να σχεδιαστεί κατωπερατό ψηφιακό φίλτρο με τα ακόλουθα χαρακτηριστικά: H H c c c c Υπάρχει δηλαδή η απαίτηση για γραμμική φάση

Σχεδιασμός FIR Φίλτρων H d 0, a, αλλού Ο στόχος c h d si c a a Τα βήματα για την προσέγγιση του στόχου:. Επιλέγω το Ν. Τότε α=ν-/ 3. Επιλέγω το παράθυρο Ο καημός μου: Για καλή προσέγγιση απαιτείται μεγάλο Ν αλλά τότε προκύπτει μεγάλη καθυστέρηση στην έξοδο

Σχεδιασμός FIR Φίλτρων Παράδειγμα Για ω c =0.3π, Ν= δηλ. α=0 h tr 0 h ham htr 0*hammig 0 tr 0 Μεχρήση τετραγωνικού Hammig 0 0 0 0 0

Σχεδιασμός FIR φίλτρων H ω db 0-0 -40-60 -80 = - Με τετραγωνικό - Με Hammig -00 H ω db 0-0 -40-60 -80-00 Τετραγωνικό - Ν= - Ν= - Ν=4

Παραδείγματα Απλών FIR Φίλτρων αλλού 0, 0, h Απόκριση συχνοτήτων Γενικά ξέρουμε ότι: cos 0 h H Για Ν=: cos H : Άρα 0. cos, 0 Για cos H

Παραδείγματα Απλών FIR Φίλτρων Γραφήματα σε γραμμική κλίμακα 0.5 H 0 0

Παραδείγματα Απλών FIR Φίλτρων Κλίμακα σε db G 0log0 H db Κέρδος/Gai Για ω 0 Gω 0log 0 0 Για ω π Gω 0log 0cos 3 - db συχνότητα, ησυχνότητα c για την οποία ισχύει : c 0 c 0 H H H H c Γιατί; G c 0log0 H 0log0 ή G c 3. 0 db

Παραδείγματα Απλών FIR Φίλτρων c c Για την περίπτωσή μας c, 3 db 0 H cos συχνότητα G db 0 0 30

Παραδείγματα Απλών FIR Φίλτρων Μερικές ενδεικτικές τιμές 3dB H c db 0 0log H 0 0 log log H H H 40dB H 0 00