Το υπόδειγµ Άριστης Οικονοµικής Μεγέθυνσης µε Πργωγικές Εξωτερικότητες Κεφλίου Romer-ype exernales Α. Αποκεντρωµένη Οικονοµί Υποθέστε µί κλειστή οικονοµί η οποί πρτίζετι πό πλήθος νοικοκυριών κι πλήθος επιχειρήσεων. Το κάθε νοικοκυριό επιλέγει πόσο θ κτνλώσει, πόσο θ εργσθεί κι πόσο θ ποτµιεύσει, µε κριτήριο τη µεγιστοποίηση της διχρονικής του ευηµερίς κι σεόµενο τους εισοδηµτικούς περιορισµούς που ντιµετωπίζει. Τις ποτµιεύσεις του τις επενδύει σε φυσικό κεφάλιο το οποίο δνείζει στην επιχείρηση κι γι το οποίο λµάνει τόκο/πόδοση. Επίσης, προσφέρει εργσί στην επιχείρηση γι την οποί λµάνει µισθό. Τέλος είνι γορστής των µετοχών της επιχείρησης κι ως εκ τούτου το εισοδηµά του συµπληρώνετι πό τ µερίσµτ της επιχείρησης. Η ντιπροσωπευτική επιχείρηση πό την άλλη πλευρά πράγει έν µονδικό προϊόν χρησιµοποιώντς κεφάλιο κι εργσί. Επίσης, η πργωγικότητ της επηρεάζετι πό το σύνολο του κεφλίου το οποίο υπάρχει στην οικονοµί. Όσο περισσότερο κεφάλιο υπάρχει στην οικονοµί τόσο πιο πργωγική είνι η επιχείρηση. Άρ οι ποφάσεις των λοιπών πργόντων της οικονοµίς γι ποτµίευση κι συσσώρευση κεφλίου λειτουργούν σν θετικές εξωτερικότητες γι την επιχείρηση. Η τελευτί ντιµετωπίζει το συνολικό κεφάλιο στην οικονοµί σν δεδοµένο, µε άλλ λόγι δεν «κτλίνει» την εξωτερικότητ τεχνικά ντιµετωπίζει το συνολικό κεφάλιο στην οικονοµί σν πράµετρο κι επιλέγει την ποσότητ του κεφλίου κι της εργσίς που θ χρησιµοποιήσει µε κριτήριο την
µεγιστοποίηση των κερδών της. Υποθέτουµε δικριτό χρόνο, άπειρο χρονικό ορίζοντ κι πλήρη ειότητ.. Το πρόληµ του νοικοκυριού Υπάρχουν,..., νοικοκυριά. Το νοικοκυριό επιλέγει πόσο θ κτνλώσει κι πόσο θ ποτµιεύσει/επενδύσει προκειµένου ν µεγιστοποιήσει τη διχρονική του ευηµερί που δίνετι πό την πρκάτω σχέση: log Όπου < < είνι ο συντελεστής χρονικής προεξόφλησης που δείχνει τον θµό που το νοικοκυριό ενδιφέρετι γι τη µελλοντική του ευηµερί σε σχέση µε την σηµερινή κι η κτνλωσή του την περίοδο. Ο εισοδηµτικός περιορισµός που ντιµετωπίζει το νοικοκυριό σε κάθε χρονική περίοδο είνι ο κόλουθος: r w l π Όπου είνι η επένδυση του νοικοκυριού την περίοδο, r είνι η µοιή του κεφλίου την περίοδο, είνι το φυσικό κεφάλιο του νοικοκυριού στο τέλος της περιόδου ή στην ρχή της περιόδου, w ο µισθός την περίοδο, l η ποσότητ εργσίς την οποί το νοικοκυριό προσφέρει στην περίοδο κι π τ µερίσµτ που λµάνει το νοικοκυριό πό τη λειτουργί των επιχειρήσεων ως κάτοχος µετοχών. Γι λόγους πλοποίησης υποθέτουµε ότι το κάθε νοικοκυριό προσφέρει νελστικά µί µονάδ εργσίς άρ l. Το
κάθε νοικοκυριό λµάνει τις ποφάσεις του πίρνοντς σν δεδοµέν το ύψος της µοιής του κεφλίου, r, το µισθό, w, κθώς κι τ µερίσµτ, π, ενώ είνι γνωστό predeermned το ύψος του φυσικού κεφλίου στην ρχή της περιόδου,. Προσεξτε ότι το ριστερό κοµµάτι της δίνει το σκέλος της δπάνης ενώ το δεξιό το σκέλος του εισοδήµτος. Η επένδυση δίνετι πό: 3 δ Όπου είνι το φυσικό κεφάλιο του νοικοκυριού στο τέλος της περιόδου ή στην ρχή της περιόδου κι δ είνι ο συντελεστής πόσεσης του κεφλίου. Γι λόγους λγερικής πλοποίησης υποθέτουµε ότι δ, δηλδή έχουµε πλήρη πόσεση κεφλίου. Έτσι, λοιπόν το πρόληµ του νοικοκυριού ξνγράφετι ως εξής: [ log log log...] max, Ούτως ώστε σε κάθε χρονική περίοδο ν ικνοποιείτι ο κόλουθος εισοδηµτικός περιορισµός: r w π 4 Πρτηρώντς το πρόληµ διπιστώνουµε ότι µόνο δύο διδοχικές περίοδοι πίζουν ρόλο γι την άριστη επιλογή του κι του σε οποιδήποτε χρονική περίοδο, οπότε το πρόληµ του νοικοκυριού είνι δυντό ν ξνγρφεί ως εξής: 3
, [ log ] max log 5 Ούτως ώστε ν ικνοποιείτι η 4. Λύνοντς την 4 ως προς κι ντικθιστώντς την στην 5 κι γράφοντς την 4 µί περίοδο µπροστά, λύνοντς ως προς κι ντικθιστώντς την στην 5, µεττρέπουµε το πρόληµ πό εν πρόληµ µε περιορισµούς σε έν πρόληµ χωςρίς περιορισµούς: [ log r w log r w π ] max π 6, Η συνθήκη πρώτης τάξης ως προς πό τη µεγιστοποίηση της 6 δίνει την κόλουθη σχέση: r r 7 Η εξίσωση 7 είνι η γνωστή εξίσωση Euler, η οποί δίνει τον διχρονικό λόγο υποκτάστσης µετξύ κτνάλωσης της περιόδου κι της περιόδου. Οι εξισώσεις 7 κι 4 πρτίζουν έν σύστηµ δύο εξισώσεων σε δύο γνώστους.. Το πρόληµ της επιχείρησης Έστω ότι υπάρχουν,..., J επιχειρήσεις. Η επιχείρηση χρησιµοποιεί κεφάλιο κι εργσί προκειµένου ν πράγει έν µονδικό γθό, ενώ ντλεί θετικές εξωτερικότητες πό το σύνολο του κεφλίου στην οικονοµί, σύµφων µε την κόλουθη συνάρτηση πργωγής: 4
5 J K l y 8 Όπου > είνι µί στθερά συντελεστής τεχνολογίς, < < είνι µί στθερά η οποί ουσιστικά κθορίζει την πργωγικότητ του φυσικού κεφλίου, J K είνι το σύνολο του φυσικού κεφλίου στην οικονοµί την περίοδο κι J είνι ο ριθµός των επιχειρήσεων. Με άλλ λόγι, η επίπτωση της θετικής εξωτερικότητς µετριάζετι µε το πλήθος των επιχειρήσεων στην οικονοµί που επωφελούντι πό υτήν ongeson. Η επιχείρηση επιλέγει το κι το l µε κριτήριο τη µεγιστοποίηση των κερδών της σε κάθε περίοδο πίρνοντς σν δεδοµένο ντιµετωπίζοντς δηλδή πρµετρικά το σύνολο του φυσικού κεφλίου, J K. Η συνάρτηση κερδών της επιχείρησης σε µί οποιδήποτε περίοδο είνι η κόλουθη: l w r y π 9 Όπως είνι προφνές πό την εξίσωση 9 το πρόληµ της επιχείρησης είνι σττικό σε ντιδιστολή µε το πρόληµ του νοικοκυριού που είνι δυνµικό. Οι συνθήκες πρώτης τάξεως ως προς το κεφάλιο κι την εργσί είνι: y r K l r π a l y w K l w l π b
Προσέξτε ότι οι σχέσεις a-b εάν ντικτστθούν στην συνάρτηση των κερδών υπονοούν ότι σε κάθε περίοδο : π ηλδή η επιχείρηση δεν µπορεί πρά ν έχει µόνο κνονικά κέρδη..3 Αντγωνιστική Ισορροπί Ορίζετι ως η κτνοµή πόρων {,, l, y} κι τιµών { } r, w η οποί προκύπτει εάν: Τ νοικοκυρί µεγιστοποιούν την ευηµερί τους, Οι επιχειρήσεις µεγιστοποιούν τ κέρδη τους, γ Όλοι οι περιορισµοί ικνοποιούντι κι δ Όλες οι γορές «κθρίζουν». Υποθέτουµε ότι έχουµε ίδιο ριθµό νοικοκυριών κι επιχειρήσεων, δηλδή J. Επίσης λύνουµε γι µι συµµετρική ντγωνιστική ισορροπί µε την έννοι ότι υποθέτουµε ότι τ νοικοκυριά κι οι επιχειρήσεις είνι όµοιες ex-pos. Άρ πο εδώ κι στο εξής δεν χρησιµοποιούµε πλέον τους δείκτες κι. Έτσι λοιπόν στην ντγωνιστική ισορροπί η προσφορά εργσίς πό την πλευρά των νοικοκυριών πρέπει ν ισούτι µε τη ζήτηση εργσίς πό την πλευρά των επιχειρήσεων, άρ πρέπει l l l Jl Jl l φού κάθε νοικοκυριό προσφέρει νελστικά µί µονάδ εργσίς. Επίσης, φού όλοι είνι όµοιοι ex-pos, το σύνολο του φυσικού κεφλίου στην s J d s d d d οικονοµί θ είνι: K J. Θέτοντς l κι K J η σχέση 8 υπονοεί πως το προϊόν στην ντγωνιστική ισορροπί είνι: y 6
ηλδή µε άλλ λόγι σε επίπεδο ντγωνιστικής ισορροπίς η συνάρτηση πργωγής είνι γρµµική, είνι δηλδή της µορφής K κι δεν προυσιάζει πλέον φθίνουσες ποδόσεις κλίµκς, όπως συνέινε στο επίπεδο της τοµικής επιχειρήσης. Αυτό φίνετι κι πό το γεγονός πως το ορικό προϊόν του κεφλίου στην ντγωνιστική ισορροπί είνι θετικό κι στθερό: MPK y > Άρ, στο πλίσιο υτό νάλυσης, η διρκής συσσώρευση κεφλίου είνι δυντό ν υποστηρίξει µκροχρόνι οικονοµική µεγέθυνση, κθώς κάθε πρόσθετη µονάδ κεφλίου υξάνει το προϊόν πάντ κτά. Επίσης οι a-b γίνοντι: r 3a w 3b δίνει: Η εξίσωση 7 σε συνδυσµό µε την 3a γρµµένη µί περίοδο µπροστά 4 ηλδή ο ρυθµός µεγέθυνσης της κτνάλωσης στην ντγωνιστική ισορροπί είνι στθερός. Τέλος, η σχέση 4 εφόσον χρησιµοποιήσουµε τις 3a-3b κι τη γίνετι: 5 7
Οι σχέσεις, 3a, 3b, 4 κι 5 πρτίζουν µί ντγωνιστική ισορροπί. Εχουµε 5 δυνµικές εξισώσεις σε 5 γνώστους που είνι {,,,, } y r w. Πρτηρείστε, ότι το ορικό προϊόν του κεφλίου, όπως υτό δίνετι πό την είνι διφορετικό πό την µοιή του κεφλίου όπως υτή που δίνετι πό τη 3a. Ειδικότερ, ν κι το r είνι ίσο µε το «ιδιωτικό» ορικό προϊόν του κεφλίου λέπε σχέση 3a είνι µικρότερο πό το κοινωνικό ορικό προϊόν του κεφλίου λέπε σχέση. ηλδή µε άλλ λόγι οι επενδύοντες σε φυσικό κεφλίο µοίοντι λιγότερο πό όσο θ έπρεπε µε άση τη συνεισφορά του συντελεστή κεφάλιο στην πργωγική διδικσί σε επίπεδο ντγωνιστικής ισορροπίς κι φού εσωτερικευτούν όλες οι εξωτερικότητες. Άρ, εφόσον µοίοντι λιγότερο πό υτό που θ έπρεπε, επενδύουν κι λιγότερο κι άρ έχουµε χµηλότερη συσσώρευση κεφλίου πό την κοινωνικά επιθυµητή. Επίσης, ο ρυθµός µεγέθυνσης της κτνάλωσης είνι µικρότερος πό τον κοινωνικά άριστο, κθώς ισχύει: CE SO < 6 Ο κοινωνικά άριστος ρυθµός µεγέθυνσης της κτνάλωσης, SO προκύπτει εάν στην σχέση 7 στη θέση του r ντικτστήσουµε το ορικό προϊόν του κεφλίου πό τη. Η πρπάνω πόκλιση οφείλετι στο ότι η επιχείρηση ότν µεγιστοποιεί τ κέρδη της δεν «κτλίνει» τις θετικές εξωτερικότητες που συνεπάγοντι οι ενέργειες κι ποφάσεις των άλλων γι τη δική της 8
πργωγικότητ, όπως κι οι δικές της ενέργειες κι ποφάσεις γι την πργωγικότητ των άλλων. Συνεπώς, η προυσί πργωγικών εξωτερικοτήτων οδηγεί την ντγωνιστική ισορροπί σε ποτυχί ν πράγει µι κτά-pareo άριστη κτνοµή των πόρων κι ως εκ τούτου δικιολογείτι η άσκηση οικονοµικής πολιτικής. Τ πρπάνω θ γίνουν κόµη περισσότερο ξεκάθρ µόλις µελετήσουµε το πρόληµ του Κοινωνικού Σχεδιστή πρκάτω. Α.4 Έν πράδειγµ δύο περιόδων Προκειµένου τώρ ν εξάγουµε λύσεις κλειστού τύπου γι τις κτνοµές των πόρων υποθέτουµε ότι η οικονοµί µς υφίσττι µόνο γι δύο περιόδους, κι. Τότε, έχουµε πό τις, 3a, 3b, 4 κι 5: y γι την πρώτη περίοδο 7a y γι την δεύτερη περίοδο 7b r γι την πρώτη περίοδο 8a w γι την πρώτη περίοδο 8b r γι την δεύτερη περίοδο 9a w γι την δεύτερη περίοδο 9b γι την πρώτη περίοδο a γι την δεύτερη περίοδο b 3 9
Πρόσεξτε ότι φού η οικονοµί µς υφίσττι µόνο γι περιόδους, 3 στην b. Οι εξισώσεις, a κι b πρτίζουν έν σύστηµ τριών εξισώσεων σε τρείς γνώστους, δηλδή τ, κι. Από a κι b έχουµε: a b Η µε άση τις a κι b δίνει: 3 Η b σε συνδυσµό µε την 3 δίνει: 4 Τέλος, η a σε συνδυσµό µε την 3 δίνει: 5 Οι σχέσεις 3, 4 κι 5 δίνουν τις κτνοµές, κι σε µί ντγωνιστική ισορροπί, συνρτήσει του δεδοµένου κι των πρµέτρων της οικονοµίς,, κι.
Β. Το πρόληµ του Κοινωνικού Σχεδιστή Υποθέστε τώρ ότι υπάρχει ένς Κοινωνικός Σχεδιστής, ο οποίος επιλέγει γι λογρισµό των πργόντων της οικονοµίς το ύψος της κτνάλωσης κι της επένδυσης προκειµένου ν µεγιστοποιήσει τη διχρονική κοινωνική ευηµερί, ούτως ώστε ν ικνοποιείτι το σύνολο των εισοδηµτικών περιορισµών που ντιµετωπίζει η οικονοµί. Β. Η διχρονική κοινωνική ευηµερί κι οι περιορισµοί Η διχρονική κοινωνική ευηµερί δίνετι πό: log 6 Ο Κοινωνικός Σχεδιστής περιορίζετι µόνο πό τη συνάρτηση πργωγής που δίνετι πό την εξίσωση 8 κι το σύνολο των εισοδηµτικών περιορισµών στην οικονοµι. Γι κάθε πράγοντ ο εισοδηµτικός περιορισµός είνι: K y 7 Έτσι το πρόληµ τώρ είνι ο Κοινωνικός Σχεδιστής ν επιλέξει σε κάθε χρονική περίοδο, τ κι, γι λογρισµό κάθε πράγοντ, που θ δώσουν τη µέγιστη δυντή τιµή στην 6 ούτως ώστε σε κάθε περίοδο ν ικνοποιείτι η 7. εδοµένου ότι µόνο δύο διδοχικές περίοδοι πίζουν ρόλο γι την άριστη επιλογή του κι του σε οποιδήποτε χρονική περίοδο, το πρόληµ του Κοινωνικού Σχεδιστή µπορεί ν ξνγρφτεί ως εξής:
...] log log... log max[log, 8 Ούτως ώστε ν ικνοποιείτι η 7 γι κάθε πράγοντ σε κάθε χρονική περίοδο. Η συνθήκη πρώτης τάξης της 8 ως προς δίνει: ] [ ] [ 9 Επιάλλοντς, όπως κι πριν συµµετρί, η 9 υπονοεί ότι: ] [ ] [ ] [ ] [ 3 Ενώ η 7 δίνει: 3 Οι εξισώσεις 3 κι 3 είνι δύο εξισώσεις σε δύο γνώστους. Β. Έν πράδειγµ δύο περιόδων Προκειµένου τώρ ν εξάγουµε λύσεις κλειστού τύπου γι τις κτνοµές των πόρων υποθέτουµε ότι η οικονοµί µς υφίσττι µόνο γι δύο περιόδους, κι.
Τότε, έχουµε πό τις 3 κι 3: 3 γι την πρώτη περίοδο 33a γι την δεύτερη περίοδο 33b 3 Πρόσεξτε ότι φού η οικονοµί µς υφίσττι µόνο γι περιόδους, 3 στην 33b. Οι εξισώσεις 3, 33a κι 33b πρτίζουν έν σύστηµ τριών εξισώσεων σε τρείς γνώστους, δηλδή τ, κι. Από 33a κι 33b έχουµε: 34a 34b Η 3 µε άση τις 34a κι 34b δίνει: 35 Η 34b σε συνδυσµό µε την 35 δίνει: 36 Τέλος, η 34a σε συνδυσµό µε την 35 δίνει: 3
37 Οι σχέσεις 35, 36 κι 37 δίνουν τις κτνοµές, κι στο πρόληµ του κοινωνικού σχεδιστή, συνρτήσει του δεδοµένου κι των πρµέτρων της οικονοµίς, κι. Εφόσον, υτή η κτνοµή ντιστοιχεί στο πρόληµ της µεγιστοποίησης της κοινωνικής ευηµερίς ποτελεί µι κτά- Pareo άριστη κτνοµή των πόρων. Σύγκριση σχέσεων 3-5 µε 35-37 Προσέξτε πό σύγκριση 3 κι 35 ότι: CE < SO Επίσης, πό σύγκριση 4 κι 36 προκύπτει ότι: CE < SO Τέλος, πό σύγκριση 5 κι 37 έχουµε ότι: CE SO >. Βγγέλης Βσιλάτος, Γιώργος Οικονοµίδης Μάϊος 9 4