A ΣΧΕΔΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ Μάθημα: Μαθηματικά κατεύθυνσης, Τάξη: Γ Λυκείου Ενότητα: Θεώρημα Bolzano ( διδακτικές ώρες) 1 Σκοποί Στόχοι α Σκοποί: Οι μαθητές να συνειδητοποιήσουν ότι τα Μαθηματικά μπορεί να είναι αντικείμενο διερεύνησης, κατά την οποία τίθενται ερωτήματα και διατυπώνονται υποθέσεις, οι οποίες ελέγχονται και, όταν είναι εφικτό, αποδεικνύονται β Στόχοι: Οι μαθητές μετά το τέλος της διδασκαλίας να είναι σε θέση: Να αναφέρουν το Θεώρημα του Bolzano Να αναφέρουν το πόρισμα με την διατήρηση προσήμου συνάρτησης Να κατανοήσουν την γεωμετρική του απόδειξη Να κατανοήσουν ότι δεν ισχύει το αντίστροφό του Να αποκτήσουν την ικανότητα να το χρησιμοποιούν στις εξισώσεις για την ύπαρξη ριζών, Να αποκτήσουν την ικανότητα να εφαρμόζουν το πόρισμα διατήρησης πρόσημου μιας συνεχούς συνάρτησης Διδακτικά μέσα και υλικά Φύλλο εργασίας Προβολέας ή διαδραστικός πίνακας, πίνακας και χρωματιστές κιμωλίες Ερωτηματικός διάλογος καθοδηγούμενος, παραγωγική διδακτική μέθοδος Πορεία διδασκαλίας Διδακτικές ενέργειες Άνοιγμα Εισαγωγή (8-1 min) Έλεγχος «κατ οίκον» εργασιών Ανάκληση των γνωστικών προαπαιτούμενων: Συνέχεια συνάρτησης, γεωμετρική ερμηνεία συνέχειας, συνέχεια σε κλειστό διάστημα [ αβ, ] Επιμέλεια: Κωνσταντίνος Λ Κωνσταντόπουλος Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών Σελίδα 1
Διέγερση του ενδιαφέροντος και προσέλκυση της προσοχής των μαθητών Δίνουμε στους μαθητές να λύσουν τις εξισώσεις: 1 = συν=1 6 = 1+ ηµ στο [,π ] 4 = 1 Σύντομα διαπιστώνουν ότι στην τρίτη και τέταρτη εξίσωση βρίσκονται σε ένα αδιέξοδο Το ερώτημα που τίθεται είναι: Τι κάνουμε σε τέτοιες εξισώσεις και πως μπορούμε να προσδιορίσουμε τις ρίζες των, αφού υπάρχουν, και γραφικά μπορούμε να τις δούμε; Κατασκευάζουμε τις γραφικές παραστάσεις των τελευταίων εξισώσεων όπου οι μαθητές διαπιστώνουν ότι υπάρχουν λύσεις ( τρόποι ) Επιμέλεια: Κωνσταντίνος Λ Κωνσταντόπουλος Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών Σελίδα
Πληροφόρηση για τους στόχους του μαθήματος Θα μάθουμε ένα πολύ σημαντικό θεώρημα για τις συνεχείς συναρτήσεις που θα μας δώσει και απάντηση στο προηγούμενο αδιέξοδο Διδακτική επεξεργασία της ενότητας (5 min) Δραστηριότητα 1 η : Ζητάμε από τους μαθητές να σχεδιάσουν μία ευθεία (ε) και να πάρουν σημεία Α και Β που να βρίσκονται σε διαφορετικά ημιεπίπεδα Τους καλούμε να ενώσουν τα Α και Β με μία συνεχόμενη καμπύλη γραμμή χωρίς να σηκώσουν το μολύβι και να διαπιστώσουν ότι πάντα θα τμήσουν την ευθεία (ε) Τους καλούμε να κάνουν το ίδιο μόνο που τώρα τα σημεία Α και Β βρίσκονται στο ίδιο ημιεπίπεδο και να μας πουν αν πάντα η συνεχόμενη αυτή καμπύλη θα τέμνει την ευθεία (ε) Ότι έχουν κάνει, τους το δείχνουμε και με ένα αρχείο Geogebra Δραστηριότητα η : Δίνεται η διατύπωση του Θεωρήματος Bolzano Επισημαίνουμε: Το θεώρημα μας δίνει απλά την πληροφορία ότι υπάρχει ρίζα, στο εσωτερικό ενός διαστήματος, δεν μας λέει αν είναι μοναδική, ούτε την υπολογίζει Δραστηριότητα η : Γίνεται γεωμετρική ερμηνεία του Θεωρήματος και τονίζουμε Το θεώρημα Bolzano εξασφαλίζει την ύπαρξη τουλάχιστον μίας πραγματικής ρίζας της εξίσωσης f( ) = στο ( αβ, ) Ωστόσο δεν αποκλείεται η ύπαρξη περισσοτέρων ριζών στο ( αβ, ) Αυτό που κυρίως όμως μας εξασφαλίζει είναι «το ΑΔΥΝΑΤΟΝ ΤΗΣ ΜΗ ΥΠΑΡΞΗΣ ΡΙΖΑΣ στο ( αβ, )» Δραστηριότητα 5 η : Δίνουμε παραδείγματα που δεν ισχύει μία από τις προϋποθέσεις του ΘΒ και ζητάμε από τους μαθητές να μας πουν αν πάντα ισχύει το συμπέρασμα Δραστηριότητα 6 η : Καλούμε τους μαθητές να ανακαλύψουν μέσα από παραδείγματα αν ισχύει το αντίστροφο του ΘΒ Τονίζουμε ότι η συνθήκη f( a) f( β ) < είναι μόνο ικανή για να υπάρχει ρίζα και όχι αναγκαία Επιμέλεια: Κωνσταντίνος Λ Κωνσταντόπουλος Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών Σελίδα
Δραστηριότητα 7 η : Για την εμπέδωση της νέας γνώσης αποδεικνύουμε ότι η τρίτη εξίσωση έχει μία τουλάχιστον ρίζα στο [,π ] και καλούμε τους μαθητές να μας διαπιστώσουν αν η τέταρτη εξίσωση έχει ρίζα στο [, ] Δραστηριότητα 8 η : Για την εμπέδωση της νέας γνώσης τους καλούμε να απαντήσουν σε ερωτήσεις Σ Λ Κλείσιμο (5 min) Γίνεται ανακεφαλαίωση επισήμανση των κυριότερων σημείων του μαθήματος Επισημαίνετε το ΘΒ προσεγγίζει την ζητούμενη ρίζα και όχι την εύρεσή της Ζητείται από τους μαθητές : Α) να επεξεργαστούν, στο σπίτι τους, από το σχολικό βιβλίο(σελ 197-199), τα εξής: Εφαρμογή σελ 197 και Ασκήσεις 6,7,8 α ομάδας B) 1 άσκηση στο φύλλο εργασίας 4 Τέστ αξιολόγησης (5 min) Δίνουμε τεστ αξιολόγησης ανώνυμο 5 Πηγές Βιβλιογραφία: Σχολικό βιβλίο Διαδίκτυο Ψηφιακό Σχολείο ΨΕΒ - Οδηγίες διαχείρισης ύλης του ΙΕΠ Σημειώσεις Διδάσκοντα Συνέχεια η και η διδακτική ώρα Δραστηριότητα 9 η : Διατυπώνουμε το πόρισμα για τη διατήρηση του πρόσημου μιας συνεχούς συνάρτησης σε ένα διάστημα Δ με f( ό), για λα τα και το δικαιολογούμε Επισημαίνουμε ότι αν αρνηθούμε μία από τις προϋποθέσεις, τότε δεν ισχύει πάντα το συμπέρασμα Παραδείγματα: Επιμέλεια: Κωνσταντίνος Λ Κωνσταντόπουλος Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών Σελίδα 4
1 Άρνηση συνέχειας: ( 1 ) 1, [ 1, ) (, ] f( ) ασυνεχής στο = 4, = [ 1, ] και δεν διατηρεί σταθερό πρόσημο στο [ ] κάθε [ 1, ] Άρνηση της ( ) 1,, ενώ f( ) για f για κάθε : f( ) =, [ 1,1] είναι συνεχής στο [ 1,1], όμως f () = και η f διατηρεί σταθερό πρόσημο στο [ 1,1] Το αντίστροφο της πρότασης δεν ισχύει:, 1,, f( ) = 5, = [ 1, ], αφού ( ) ασυνεχής στο [ ) ( ] Διατηρεί σταθερό πρόσημο στο f > για κάθε [ 1, ] = αλλά η f είναι Δραστηριότητα 1 η : Διατυπώνουμε το πόρισμα για τη διατήρηση του πρόσημου μιας συνεχούς συνάρτησης σε καθένα από τα διαστήματα που ορίζουν οι πραγματικές της ρίζες στο πεδίο ορισμού της Δραστηριότητα 11 η : Διατύπωση της πρότασης : Αν f συνεχής και γνησίως μονότονη στο [ αβ, ] και f( a) f( β ) <, τότε η f έχει ακριβώς μία ρίζα στο ( αβ, ) (Μονοτονία = μοναδικότητα της ρίζας) Δραστηριότητα 1 η : Διατυπώνουμε σημαντικές παρατηρήσεις για το πρόσημο μιας συνεχούς συνάρτησης f με f( ό), για λα τα και f ( ξ ) < ή f ( ξ ) > με ξ Δραστηριότητα 1 η : Διατύπωση και απόδειξη μιας σπουδαίας πρότασης που βοηθάει σ:την επίλυση πολλών ασκήσεων: Κάθε πολυώνυμο περιττού βαθμού με πραγματικούς συντελεστές έχει τουλάχιστον μία πραγματική ρίζα Δραστηριότητα 14 η : Λύνονται ασκήσεις και παραδείγματα τα οποία χωρίζουμε στις εξής κατηγορίες: 1 Προϋποθέσεις ισχύος Θεωρήματος Βolzano Ύπαρξη μιας τουλάχιστον ρίζας δοθείσης εξίσωσης ή συνάρτησης στο ( αβ, ) Ύπαρξη ρίζας της f( ) = σε διάστημα της μορφής ( αβ, ] Επιμέλεια: Κωνσταντίνος Λ Κωνσταντόπουλος Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών Σελίδα 5
4 Ύπαρξη μιας τουλάχιστον ρίζας χωρίς να αναφέρεται το διάστημα 5 Ύπαρξη ακριβώς μιας ή ακριβώς δύο ριζών στο διάστημα ( αβ, ) 6 Ύπαρξη ρίζας στο διάστημα ( αβ, ) σε εξίσωση με παρανομαστές 7 Πρόσημο συνάρτησης 8 Τομή των γραφικών παραστάσεων δύο συναρτήσεων σε ένα τουλάχιστον σημείο 9 Ύπαρξη ρίζας της εξίσωσης f( ) = f( + c) 1 Σταθερό πρόσημο συνάρτησης Δραστηριότητα 15 η : Δίνονται ασκήσεις εμπέδωσης με την αντίστοιχη μεθοδολογία Επιμέλεια: Κωνσταντίνος Λ Κωνσταντόπουλος Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών Σελίδα 6
B ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ Λύκειο Ενότητα: Θεώρημα Bolzano ( διδακτικές ώρες) Ονοματεπώνυμο 1 Λύστε τις παρακάτω εξισώσεις : a) = 6 b) συν=1 g) [,π ] d) + 1= = 1+ ηµ στο Απάντηση Σχεδιάστε μία ευθεία (ε) στο επίπεδο και πάρτε σημείο Α στο ένα ημιεπίπεδο και σημείο Β στο άλλο Γράψτε μία συνεχόμενη καμπύλη γραμμή (χωρίς να σηκώσετε το στυλό) από το Α στο Β Υπάρχει περίπτωση αυτή η καμπύλη να μην συναντήσει την ευθεία (ε); Επαναλάβετε το ίδιο παίρνοντας τώρα τα Α και Β στο ίδιο ημιεπίπεδο Συμβαίνει πάντα το ίδιο; Θεωρώντας τώρα ότι η ευθεία (ε) είναι ο άξονας, για να τον τέμνει πάντα μία καμπύλη γραμμή θα πρέπει αυτή να είναι και τα άκρα της να βρίσκονται του άξονα των 4 Διατύπωση του Θεωρήματος του Bolzano: Αν μία συνάρτηση f είναι ορισμένη σε ένα κλειστό διάστημα [ αβκαι, ] επιπλέον η f είναι στο [ αβ, ] Επιμέλεια: Κωνσταντίνος Λ Κωνσταντόπουλος Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών Σελίδα 7
(δηλ οι τιμές f( α), f( β ) είναι ετερόσημες) τότε υπάρχει τουλάχιστον ένα ξ ( αβ, ) έτσι ώστε f ( ξ ) = Με άλλα λόγια η εξίσωση f ( ) = έχει τουλάχιστον μία πραγματική ρίζα στο ανοικτό διάστημα ( αβ, ) (Δηλαδή η C f τέμνει τον άξονα σε ένα τουλάχιστον σημείο με τετμημένη ( αβ) ), 5 Γεωμετρική ερμηνεία Γεωμετρικά μπορούμε να ερμηνεύσουμε το παραπάνω θεώρημα ως εξής: Το τμήμα της γραφικής παράστασης της f που περιέχεται μεταξύ των ευθειών = α και = β τέμνει τον τουλάχιστον μία φορά 6 Ας αρνηθούμε μία από τις προϋποθέσεις του ΘΒ Τότε το συμπέρασμα ισχύει πάντα; Ελέγξτε και αλγεβρικά τα παραπάνω στις συναρτήσεις: Επιμέλεια: Κωνσταντίνος Λ Κωνσταντόπουλος Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών Σελίδα 8
[ ) f( ) = 5, = ( 1), 1, και g ( ), [,6] = 7 Το αντίστροφο του ΘΒ ισχύει; Ας δούμε πρώτα τα παρακάτω παραδείγματα Ελέγξτε και αλγεβρικά τα παραπάνω στις συναρτήσεις: [ ) [ ], 1, f( ) =,, και g ( ) =, [,6] Αρα το αντίστροφο του θεωρήματος Bolzano δεν ισχύει Αυτό σημαίνει ότι αν για μία πραγματική συνάρτηση f :[ αβ, ] R υπάρχει τουλάχιστον ένα ξ ( αβ, ) έτσι ώστε f ( ξ ) = δεν συνεπάγεται αναγκαία ότι η f είναι ή ότι οι τιμές είναι ετερόσημες δηλαδή 8 Εφαρμογή του Θ Bolzano: Έστω η εξίσωση = 1+ ηµ Επιμέλεια: Κωνσταντίνος Λ Κωνσταντόπουλος Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών Σελίδα 9
π π ; a) Αποδείξτε ότι έχει μία ρίζα στο (,π ) Μήπως ανήκει στο, π b) Αποδείξτε ότι η ρίζα ανήκει στο διάστημα, 9 Ερώτηση 1 Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής στο R και lim f( ) lim f( ) <, τότε η εξίσωση f( ) = έχει μια τουλάχιστον + πραγματική λύση Απάντηση: ΣΩΣΤΟ Σωστό Λάθος Ερώτηση f( α) f( β) [ αβ, ] Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής στο [, ] αβ και ισχύει, τότε η εξίσωση f( ) = έχει μία τουλάχιστον ρίζα στο Απάντηση: Σωστό Λάθος ΣΩΣΤΟ Ερώτηση Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής και αντιστρέψιμη στο R με f 1 () = και f 1 ( 1) =, τότε η εξίσωση f( ) = έχει μία ακριβώς πραγματική ρίζα Απάντηση: Σωστό Λάθος ΣΩΣΤΟ 1 Ασκήσεις για το σπίτι: Επιμέλεια: Κωνσταντίνος Λ Κωνσταντόπουλος Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών Σελίδα 1
1) Αποδείξτε ότι η εξίσωση + 1= έχει μία ρίζα στο διάστημα (,1 ) Είναι μοναδική; Μήπως η ρίζα ανήκει στο διάστημα διάστημα 1, ; 1, 4 ;Μπορεί να έχει ρίζα στο ) Σχολικό βιβλίο: Εφαρμογή σελ 197 και ασκήσεις 6 & 7 σελ 198 και άσκηση 8 σελ199 Έστω f( ) = εϕ Αν είναι π π f( ) 1, f( ) 1 4 4 τέτοιο ώστε f( ) = Γιατί συμβαίνει αυτό; = =, δεν υπάρχει π π, 4 4 4) Αν f συνεχής στο R, f(-1) = -1 και f(), τότε αποκλείεται να είναι f(15) = 15 Επιμέλεια: Κωνσταντίνος Λ Κωνσταντόπουλος Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών Σελίδα 11
C ΤΕΣΤ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ Ερώτηση 1 Αν η συνάρτηση f είναι συνεχή ς στο [ αβ, ] και υπάρχει ( αβ) f = τότε ισχύει ότι f( α) f( β) ( ) < ώστε, Απάντηση: ΛΑΘΟΣ Σωστό Λάθος Ερώτηση Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής στο [ αβ, ] και f( ) για κάθε ( αβ, ) ισχύει f( α) f( β) τότε Απάντηση: ΣΩΣΤΟ Σωστό Λάθος Ερώτηση Αν f( α) f( β) < και ( ) συνεχής στο [ αβ, ] f για κάθε ( αβ, ) τότε η συνάρτηση f δεν είναι Απάντηση: ΣΩΣΤΟ Σωστό Λάθος Ερώτηση 4 Πότε εφαρμόζουμε το Θεώρημα Bolzano; Το Θεώρημα Bolzano (όταν ικανοποιούνται οι προϋποθέσεις του) είναι ένας τρόπος για να αποδεικνύουμε την ύπαρξη μιας τουλάχιστον ρίζας της εξίσωσης f( ) = σε κάποιο ανοικτό διάστημα του πεδίου ορισμού της f Ερώτηση 5 Επιμέλεια: Κωνσταντίνος Λ Κωνσταντόπουλος Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών Σελίδα 1
Με το Θεώρημα Bolzano βρίσκουμε την ρίζα της εξίσωσης f ( ) = ; Όχι Το Θεώρημα Bolzano μας εξασφαλίζει την ύπαρξη μιας τουλάχιστον ρίζας της εξίσωσης f( ) =, χωρίς όμως να την προσδιορίζει Για να βρούμε τη ρίζα ή τις ρίζες πρέπει να λύσουμε την εξίσωση με τους γνωστούς τρόπους που μάθαμε στην Α και Β Λυκείου Όταν η εξίσωση δε λύνεται μπορούμε να βρούμε τη ρίζα της εξίσωσης f( ) = διχοτομήσεις των διαστημάτων με όποια προσέγγιση θέλουμε με τη βοήθεια του Θεωρήματος Bolzano με διαδοχικές D ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ Λύκειο Ενότητα: Θεώρημα Bolzano ( η & η διδακτική ώρα) 11 Αν μία συνάρτηση f είναι συνεχής σε ένα διάστημα Δ και ισχύει f( ) για όλα τα τότε συνάγουμε ότι f( ή ) f< ( ) > για κάθε Αυτό σημαίνει ότι η f διατηρεί σταθερό πρόσημο στο Δ Απόδειξη 1 Μία συνεχής συνάρτηση f διατηρεί το πρόσημο της σε καθένα από τα διαστήματα στα οποία οι διαδοχικές ρίζες της χωρίζουν το πεδίο ορισμού της Επιμέλεια: Κωνσταντίνος Λ Κωνσταντόπουλος Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών Σελίδα 1
(Από την έκφραση «διαδοχικές ρίζες» συμπεραίνουμε ότι f( ) για κάθε ( ρ1, ρ) όπου ρ1, ρ είναι δύο διαδοχικές ρίζες της f ) 1 Α) Αν η f είναι συνεχής και γνησίως μονότονη στο [ αβ, ] και επί πλέον ισχύει f( α) f( β) <, τότε η f έχει ακριβώς μία ρίζα στο ( αβ, ) Β) Αν η f είναι συνεχής στο και ισχύει: af ά( ) για κ θε τ τε ( ) για κ θε β f ( ξ ) µε ξ > ό f > ά Γ) Αν η f είναι συνεχής στο και ισχύει: af ά( ) για κ θε τ τε ( ) για κ θε β f ( ξ ) µε ξ < ό f < ά 1 14 Κάθε πολυώνυμο P ( ) ν ν * = αν + αν 1 + + α1+ α) με αν, ν, περιττού βαθμού με πραγματικούς συντελεστές έχει τουλάχιστον μία πραγματική ρίζα ( Διακρίνουμε περιπτώσεις: α ν > και α < ) Απόδειξη ν 15 Παραδείγματα: 1 η κατηγορία: Προϋποθέσεις ισχύος Θεωρήματος Bolzano Επιμέλεια: Κωνσταντίνος Λ Κωνσταντόπουλος Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών Σελίδα 14
Δίνεται η συνάρτηση f( ) = + + 1, 1 4 + 1, < 1 Να εξετάσετε αν ικανοποιούνται οι προϋποθέσεις του θεωρήματος Bolzano στο διάστημα [ 1,1] Μεθοδολογία Εξετάζουμε αν η συνάρτηση είναι συνεχής στο δοθέν διάστημα Αν έχει πολλούς κλάδους η συνάρτηση f εξετάζουμε επιπλέον τη συνέχεια της f στα σημεία που αλλάζει μορφή Διαπιστώνουμε αν οι τιμές f ( α ), f ( β ) είναι ετερόσημες Συμπεραίνουμε ότι υπάρχει ρίζα στο διάστημα που μας δίνεται η κατηγορία: Ύπαρξη μιας τουλάχιστον ρίζας δοθείσης εξίσωσης ή συνάρτησης στο ( αβ, ) 6 Να αποδείξετε ότι η εξίσωση ln = + 6 έχει τουλάχιστον μία ρίζα στο διάστημα ( 1, e ) Μεθοδολογία Κάνουμε απαλοιφή παρονομαστών εφόσον απαιτείται Μεταφέρουμε όλους τους όρους στο πρώτο μέλος της εξίσωσης Θεωρούμε το πρώτο μέλος της εξίσωσης ως συνάρτηση f Εφαρμόζουμε το θεώρημα Bolzano στο [ αβ, ] η κατηγορία: Ύπαρξη ρίζας της f( ) = ( αβ, ] σε διάστημα της μορφής * Αν R να δείξετε ότι η εξίσωση αηµ + π = έχει μία α + τουλάχιστον ρίζα στο (,α + π] Μεθοδολογία Επιμέλεια: Κωνσταντίνος Λ Κωνσταντόπουλος Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών Σελίδα 15
Ως γνωστόν το θεώρημα του Bolzano εφαρμόζεται σε κλειστό διάστημα [ αβ, ] ενώ το συμπέρασμα του στο αντίστοιχο ανοικτό διάστημα Έτσι λοιπόν όταν η ρίζα, μιας συνεχούς αβ, ή στα ημιανοικτά συνάρτησης f στο [, ] διαστήματα [ αβ, ) ή (, ] του θεωρήματος, δηλαδή f( ) f( ) αβ, μας ζητηθεί στο κλειστό διάστημα [ ] αβ, θα έχουμε και μηδενισμό του γινομένου στη δεύτερη συνθήκη α β, συνεπώς θα υπάρχει ένα τουλάχιστον [ αβ, ] ένα τουλάχιστον [ αβ) ή ένα τουλάχιστον [ αβ) f( ) =, διότι: Αν f( ) f( ), τέτοιο, ώστε, α β <, τότε θα υπάρχει ένα τουλάχιστον ( αβ) Αν f( α) f( β ) =, τότε = α ή = β, ή τέτοιο, ώστε f( ) = 4 η κατηγορία: Ύπαρξη μιας τουλάχιστον ρίζας χωρίς να αναφέρεται το διάστημα Να δείξετε ότι η εξίσωση στο R + = + 5 έχει τουλάχιστον μία ρίζα Μεθοδολογία Ελέγχουμε με δοκιμές ποιο μπορεί να είναι το κατάλληλο διάστημα ικανοποιούνται οι προϋποθέσεις του θεωρήματος Bolzano [ αβ, ] στο οποίο να 5 η κατηγορία: Ύπαρξη ακριβώς μιας ή ακριβώς δύο ριζών σε διάστημα ( αβ, ) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση 9+ 1= έχει ακριβώς δύο ρίζες στο (, ) Μεθοδολογία Δημιουργούμε την f κατά τα γνωστά Αποδεικνύουμε την ύπαρξη τουλάχιστον μίας ρίζας με το θεώρημα Bolzano Αποδεικνύουμε ότι η f είναι γνησίως μονότονη, άρα και 1-1 Συνεπώς η ρίζα θα είναι μοναδική Στην περίπτωση που πρέπει να αποδείξουμε την ύπαρξη ακριβώς δύο ριζών στο ( αβ, ) διαχωρίζουμε το δοθέν διάστημα σε δύο υποδιαστήματα και αποδεικνύουμε την ύπαρξη ακριβώς μίας ρίζας σε καθένα από αυτά Επιμέλεια: Κωνσταντίνος Λ Κωνσταντόπουλος Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών Σελίδα 16
6 η κατηγορία: Ύπαρξη ρίζας σε διάστημα ( αβ, ) παρανομαστές σε εξίσωση με Να αποδείξετε ότι η εξίσωση ρίζα στο διάστημα (, ) Μεθοδολογία 4 + + 4 = έχει τουλάχιστον μία Στην περίπτωση που η εξίσωση που μας δίνεται περιέχει παρονομαστές και η συνάρτηση που θεωρούμε δεν ορίζεται σε κάποιο από τα άκρα του διαστήματος, τότε πρώτα κάνουμε απαλοιφή παρονομαστών και κατόπιν θεωρούμε τη συνάρτηση f( ) Τελικά αποδεικνύουμε το ζητούμενο κάνοντας χρήση του θεωρήματος Bolzano με την f( ) 7 η κατηγορία: Πρόσημο συνάρτησης Βρείτε το πρόσημο της συνάρτησης διάστημα [, π ] f( ) = ηµ συν στο Μεθοδολογία Για να βρούμε το πρόσημο μιας συνεχούς συνάρτησης ως εξής: f σε ένα διάστημα Δ, εργαζόμαστε Διαπιστώνουμε τη συνέχεια της f στο διάστημα Δ Λύνουμε την εξίσωση f( ) =, Σε καθένα από τα υποδιαστήματα του Δ που ορίζουν οι διαδοχικές ρίζες της f, επιλέγουμε έναν αριθμό και βρίσκουμε την τιμή f( ) Το πρόσημο της τιμής f( ) είναι το πρόσημο της f στο αντίστοιχο διάστημα 8 η κατηγορία: Τομή των γραφικών παραστάσεων δύο συναρτήσεων σε ένα τουλάχιστον σημείο Να δείξετε ότι οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων 4 f( ) = + + και g ( ) = 9 + 1 τέμνονται σε ένα τουλάχιστον σημείο του διαστήματος ( 1,1) Μεθοδολογία Επιμέλεια: Κωνσταντίνος Λ Κωνσταντόπουλος Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών Σελίδα 17
Τα σημεία τομής των δύο γραφικών παραστάσεων τα βρίσκουμε από τη λύση της εξίσωσης Αν μας ζητούν να αποδείξουμε την ύπαρξη ενός τουλάχιστον σημείου τομής των δύο γραφικών παραστάσεων τότε θεωρούμε τη συνάρτηση h ( ) = f( ) g ( ) και εφαρμόζουμε το θεώρημα Bolzano στο δοθέν διάστημα 9 η κατηγορία: Ύπαρξη ρίζας της εξίσωσης f( ) = f( + c) Έστω συνάρτηση f ορισμένη και συνεχής στο R με την ιδιότητα f( ) f( ) + + = για κάθε R Να αποδείξετε ότι υπάρχει [ ], ώστε να ισχύει f f ( ) = ( + ) 1 η κατηγορία: Σταθερό πρόσημο συνάρτησης Έστω συνάρτηση f συνεχής στο R και τέτοια ώστε: f ( ) + ( + 1 ) f( ) + e = e f( ) για κάθε R (1) α Να αποδείξετε ότι η εξίσωση ln( + 1) = f() έχει μια τουλάχιστον ρίζα στο διάστημα (,1 ) β Να αποδείξετε ότι f( ) > για κάθε R Μεθοδολογία Για να αποδείξουμε ότι μια συνεχής συνάρτηση f διατηρεί σταθερό πρόσημο σε ένα διάστημα Δ, δηλαδή ότι είναι f( ) > για κάθε ή f( ) < για κάθε, εργαζόμαστε με τη μέθοδο της απαγωγής σε άτοπο Συγκεκριμένα υποθέτουμε ότι η f δεν διατηρεί σταθερό πρόσημο στο Δ, οπότε θα υπάρχουν 1, με 1 <,ώστε f( 1) f( ) < Τότε εφαρμόζοντας το Θ Bolzano στο [, ] καταλήγουμε σε άτοπο 1 ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1) Να δείξετε ότι η εξίσωση 1 ln =, έχει μοναδική ρίζα Επιμέλεια: Κωνσταντίνος Λ Κωνσταντόπουλος Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών Σελίδα 18
) Έστω συνάρτηση f ορισμένη και συνεχής στο [,5 ] με + + = (1) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση f( ) = έχει μία f(1) f( f)() τουλάχιστον ρίζα στο [,5 ] ) Δίνεται ότι ο μιγαδικός αριθμός z 1 = 1+ i είναι ρίζα της εξίσωσης + + = Να αποδείξετε ότι υπάρχει ξ (,1) τέτοιο z ( λ κ) z 5κ λ, κλ, R ώστε: ( ) ξ + κ λ ξ + κe ξ = 4) Έστω οι μιγαδικοί αριθμοί zw, τέτοιοι ώστε: z = 1και w = Έστω επίσης συνάρτηση f συνεχής στο R τέτοια ώστε: f z w f f ( ) ( ) 5 ( ) 1 + + + = + για κάθε R Να αποδείξετε ότι υπάρχει ένας τουλάχιστον (,1) ώστε 5) Έστω συνάρτηση f συνεχής στο [ ] [,1] f( ) =,1,τέτοια ώστε f( ) 1 για κάθε Να αποδείξετε ότι υπάρχει ένας τουλάχιστον [,1),ώστε f e f ( ) + = ( ) 6) Έστω συνάρτηση f ορισμένη και συνεχής στο R τέτοια ώστε: ( ) f( ) ηµ e e συν 1 + + για κάθε R Να βρείτε το πρόσημο της f( ) 7) Δίνονται οι μιγαδικοί αριθμοί zw, και η συνάρτηση f( ) w z w z = + Να αποδείξετε υπάρχει [ ] 1,1 8) Έστω η συνεχής συνάρτηση f : ώστε f ( ) = Να βρείτε το ( ( ) ) f( ) = με ( ) lim f 1 + 1 + 9) Έστω η συνεχής συνάρτηση f : με ( 1) f για κάθε και f = και 1, διαδοχικές ρίζες της εξίσωσης f ( ) = Να βρείτε το lim + 1) Έστω μία συνεχής συνάρτηση f :[, α ] με ( ) κάθε [, α ] f ( ) + 1 + f β < < για Αν β < α να δείξετε ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον ( α ) ώστε ( ) β ( ), f f + = Επιμέλεια: Κωνσταντίνος Λ Κωνσταντόπουλος Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών Σελίδα 19
11) ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ Έστω οι συναρτήσεις f, g ορισμού το R Δίνεται ότι η συνάρτηση της σύνθεσης f 1 Α Να δείξετε ότι η g είναι 1-1 Β Να δείξετε ότι η εξίσωση: ( ) ( ) ( ( ) 1) ακριβώς δύο θετικές και μία αρνητική ρίζα με πεδίο g f + = g f + έχει g είναι 1- (Υπόδειξη: Αν ζητείται η ύπαρξη περισσότερων σημείων ξ 1,ξ,,ξ ν τότε εφαρμόζουμε ν φορές το Θ Bolzano σε ν διαστήματα τα οποία δεν έχουν κοινά εσωτερικά σημεία Τα διαστήματα μπορεί να δίνονται ή τα προσδιορίζουμε εμείς) 1) Έστω μία συνεχής συνάρτηση με f ( 14) = 15 και f : R R ισχύει f( ά), γιαr κ θε Να βρείτε αν υπάρχει το lim f( ) + 1) Έστω f συνεχής στο R και οι μιγαδικοί z =α+ f(α)i και w = β- f(β)i με α β f(α) f(β) Έστω επίσης w + z < w - z Δείξτε ότι υπάρχει γ (α, β) : f(γ) = 14) Έστω f συνεχής, γνησίως αύξουσα και δεν μηδενίζεται στο [1, ] και ο μιγαδικός y = Δείξτε ότι : z f () 4 i f(1) f() = + του οποίου η εικόνα βρίσκεται στην ευθεία i) f(1) f() f() = -8 ii) f() <, για κάθε [1, ] iii) Υπάρχει (1, ) : f( ) = - (Θ Μεγίστης-Ελαχίστης τιμής) 1 Έστω Υποδείξεις 1 f( ) = ln,, +, f ( με τον ορισμό), lim f( ) = +, οπότε ( ) υπάρχει α κοντ άστο + τ έτοιο ώστε f ( α ) + >, lim f( ) = οπότε υπάρχει + + ( ) < και εφαρμ ΘΒ στο [, ] (, ) β κοντ άστο τ έτοιο ώστε f β αβ + 1 ος τρόπος : Θα ισχύει f(1) ή = f( = f)() = από τους προσθετέους είναι ετερόσημοι, οπότε εφαρμόζω ΘΒ ( περιπτώσεις) Επιμέλεια: Κωνσταντίνος Λ Κωνσταντόπουλος Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών Σελίδα
ος τρόπος: Έστω ότι η f δεν έχει καμία ρίζα, δηλ [ ] f( ) ήf f( ) > ά ( ) < για κ θε,5, άρα f(1) ή + f f( + f f)() > f (1) + ( + )() < άτοπο 1 1 f( ) = + e και εφαρμόζω ΘΒ στο [ ] z = 1+ i z = z = 1 i, υπολογίζω κ=-1, λ=- και θεωρώ συνάρτηση,1 4 f( )( f ( ) + z+ w f( ) + 5) = + 1, Είναι = z+ w <, οπότε [,1 ] f( ) = f z w f f ( ) + z+ w f( ) + 5> αφού + 1 και εφαρμόζω ΘΒ στο ( ) + + ( ) + 5 5 g( ) = f ( ) + e f ( ), g(), g(1) > 6 Έστω ότι η f δεν διατηρεί σταθερό πρόσημο στο R, οπότε θα υπάρχουν 1, Rµε 1 < και f( 1) f( ) και εφαρμόζοντας ΘΒ υπάρχει ξ R: f( ξ) =, τότε e ξ συνξ + 1, άτοπο Άρα η f διατηρεί σταθερό πρόσημο στο R Για = f() 1 > f( ) > για κάθε R 7 f( 1) και f(1) 8 Η f διατηρεί πρόσημο, f ( ) = < f( ) <, οπότε ( ) 9 Όμοια f () < 1 ( ) ( ) β ( ) 11 Β g= f f + και εφαρμόζω ΘΒ g:1 1 ( ( ) ) ( ( ) ) ( ) ( ) f 1 < g f g f f f Έστω + = + 1 + = + 1 + 1= h ( ) = + 1, h () = 1 >, h (1) = 1 <, h () = > και h( ) = 1<, οπότε ΘΒ στα [, ], [,1 ], [ 1, ] 1 Έστω g ( ) = ά f( ) R, για κ θε, η g διατηρεί πρόσημο, gά ( ) >, για R κ θε, 1 lim =, οπότε άρα f( ) > + 1 w + z < w - z και εφαρμόζω ΘΒ στο [ αβ, ] 14 i) Re( z) = Im( z) > 1 1 g( ) > f( ) > f( ) > o< <, όμως f( ) ii) H f διατηρεί πρόσημο και από i) προκύπτει f( ) < iii) Ισχύει m f( ) M για κάθε [1, ] Θέτουμε =1,,, πολλαπλασιάζουμε τις ανισώσεις με -1 και χρησιμοποιώντας το i) προκύπτει m M Επιμέλεια: Κωνσταντίνος Λ Κωνσταντόπουλος Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών Σελίδα 1