KΕΦΑΛΑΙΟ 3. H κυµατική εξίσωση.

3 Εισαγωγή KΕΦΑΛΑΙΟ 3 H κυµατική εξίσωση Θα αναζητήσουµε το µαθηµατικό νόµο που διέπει την ταλάντωση ελαστικού νήµατος/χορδής για µικρές κατακόρυφες µετατοπίσεις Yποθέτουµε ότι η χορδή έχει οµοιόµορφη πυκνότητα µάζας ρ οµοιόµορφη τάση T σε κάθε σηµείο της και σε κατάσταση πλήρους ηρεµίας καλύπτει όλη την πραγµατική ευθεία Εστω u u( = είναι µια πραγµατική συνάρτηση που περιγράφει την κατακόρυφη αποµάκρυνση από τον οριζόντιο άξονα κάθε σηµείου τη χρονική στιγµή Εστω στοιχειώδες τµήµα AB του γραφήµατος της u τη χρονική στιγµή µήκους δ s και έστω εφ a και εφ b είναι οι κλίσεις στα σηµεία A και B αντιστοίχως Υπό την απουσία εξωτερικών δυνάµεων στο στοιχειώδες τµήµα AB οι µόνες δυνάµεις που ασκούνται οφείλονται στις τάσεις T A και T B στα άκρα A και B οι οποίες αναπτύσσονται πάνω στις κατευθύνσεις των εφαπτοµένων ευθειών της u στα σηµεία A και B αντιστοίχως Υποθέτουµε ότι έχουµε µόνον εγκάρσιες (κάθετες στον άξονα µετατοπίσεις άρα αφενός όλες οι οριζόντιες συνιστώσες άλληλοαναιρούνται δηλαδή T συνb= T συν a= T =σταθερο ( B A και αφετέρου για την κατακόρυφη µετατόπιση εφαρµόζουµε το ο Νόµο του Νεύτωνα και έχουµε: ( u ρδs = T Bηµ b TAηµ a ιαιρώντας και τα δύο µέλη µε T και χρησιµοποιώντας την ( παίρνουµε ρ u Tηµ b Tηµ b Tηµ b Tηµ b δ s = = = εφb εφa T T T T b T συν b B A B A Bσυν A

όπου ε δ ( δ ( ( u + u u = = δ + ε δ δ ( Για πολύ µικρές κατακόρυφες µετατοπίσεις µπορούµε να θεωρήσουµε συνεπώς και τελικά ρ δ T ρ T ( u ( u δ s = δ ( u = δ + ε δ ( u = + ε ( ( δ Αφήνοντας το δ παίρνουµε u = u c= c T ρ Αυτή είναι η µονοδιάστατη κυµατική εξίσωση Στον κυµατική εξίσωση παίρνει τη µορφή n η n + u ( = u( ( c Ετσι στον η εξίσωση αυτή περιγράφει τις κατακόρυφες 3 ταλαντώσεις µιας µεµβράνης στον τη διάδοση ηχητικών ή ηλεκτροµαγνητικών κυµάτων κλπ Σηµειώνουµε ότι η κυµατική εξίσωση είναι µια υπερβολική εξίσωση Με αλλαγή µεταβλητής ( ω = ( c c > προκύπτει εύκολα η απλούστερη οµογενής κυµατική εξίσωση ( u( ( n uωω ω = ω ω την οποία θα χρησιµοποιούµε στο εξής για απλότητα Η µη οµογενής κυµατική εξίσωση ορίζεται ως εξής: ( ( ( ( n + uωω ω u ω = f ω ω + 3

Το πρόβληµα Cauchy για τη µονοδιάστατη + κυµατική εξίσωση (στο Λύσεις D Alember Στην παράγραφο αυτή περιοριζόµαστε σε µια χωρική διάσταση Ανατρέχοντας στην παράγραφο 3 του Κεφαλαίου µπορούµε να υπολογίσουµε άµεσα τη γενική λύση της οµογενούς κυµατικής εξίσωσης u ( = u ( από τη σχέση uoµ ( = A( + B( + όπου A B είναι αυθαίρετες δυο φορές παραγωγίσιµες πραγµατικές συναρτήσεις Ετσι αν u µερ είναι µια µερική λύση της µη οµογενούς κυµατικής εξίσωσης τότε η γενική λύση της µη οµογενούς κυµατικής εξίσωσης δίνεται από τη σχέση Εστω όπου ( ( = ( u u f u = u + u oµ µερ + ω uµερ ( = f ( y dyd ω ω = G ( ω dω + ω Λαµβάνοντας υπόψη ότι υπολογίζουµε G ( + ω ω = ( f y ω dy + ω ( ( ( = + ( Gω dω G G ω dω και u µερ ( = f ( + ω ω f ( + ω ω dω ( uµερ = f ( + f ( + ω ω + f ( + ω ω dω 4

Απ την άλλη µεριά: ( uµερ = f ( + ω ω + f ( + ω ω dω Τελικά: ( ( uµερ uµερ = f ( συνεπώς η γενική λύση της µη οµογενούς εξίσωσης κύµατος δίνεται από τη σχέση: u A B f y dyd + ω + ω ( = ( + ( + + ( ω ω ( Μελετούµε τώρα το πρόβληµα Cauchy u( g u ( h u u = f > = = + όπου f C( g C h C είναι γνωστές πραγµατικές συναρτήσεις Με άλλα λόγια µελετούµε την ταλάντωση µιας «άπειρης» χορδής η οποία τη χρονική στιγµή = βρίσκεται στη θέση g και κάθε σηµείο της έχει ταχύτητα h Αντικαθιστώντας τις αρχικές συνθήκες στη γενική λύση παίρνουµε g u( A B = ( = + = = + h u A B Ολοκληρώνοντας τη δεύτερη ισότητα παίρνουµε απ όπου προκύπτει A + B = g A + B = h y dy + C 5

( ( A = g h( y dy C B = g + h( y dy+ C Ετσι προκύπτει η γενική λύση D Alember: ( ω + ω u ( ( A B + ω = + + + f y ω dyd ( g ( g ( + h ( y dy + ω f ( y ω dyd ω + ω = + + + + Η λύση αυτή είναι µοναδική Πράγµατι αν uv είναι δυο διαφορετικές λύσεις του µη οµογενούς προβλήµατος Cauchy τότε η w= u v είναι λύση του προβλήµατος Cauchy u ( u u = u = = δηλαδή η µηδενική λύση w = όπως φαίνεται από τη λύση D Alember Αρα u = v 6

33 Το διδιάστατο και τρισδιάστατο πρόβληµα Cauchy για την κυµατική εξίσωση Θεωρούµε τώρα το πρόβληµα Cauchy ( ( u ( h είναι γνωστές πραγµατικές συναρτή- n n όπου g C h C n + σεις Eστω u C ( Για σταθεροποιηµένο u = n u = g ( = είναι µια λύση του προβλήµατος αυτού n ορίζουµε τους σφαιρικούς µέσους U ( r = u ds B r B( r ( ( ( y ( y G ( r = g ds B r ( B r ( ( y ( y H ( r = h ds B r B( r ( y ( y Πρόταση 3 (Εξίσωση Euler-Poisson-Darbou Aν u είναι λύση της κυµατικής εξίσωσης ( τότε για σταθεροποιηµένο έχουµε n n U ( r Urr ( r Ur ( r = r > r U ( r = G ( r r > U ( r = H ( r r > Απόδειξη Από την απόδειξη της Πρότασης του Κεφαλαίου έχουµε r Ur ( r = u d u ( B r n B( r d nb r y y= nb r y y ( y 7

= = nb nb ρ ( ( r n r Ur r u B r y dy u B y ds y d n ( r Ur ( r = u r B( r ds nb ( ( y ( y ( ( ( y ( y B( r n n n r ( n r Ur ( r + r Urr( r = u ds B r ( n ( n n r U r r U ( r r n U ( r + = r rr n U ( r Urr ( r Ur ( r = r Περιοριζόµαστε τώρα στην επίλυση της οµογενούς κυµατικής 3 3 εξίσωσης στον Για U r G r H r όπως παραπάνω ορίζουµε και ( = ( U r ru r G ( r = rg ( r H ( r = rh ( r ρ Τότε η U ( r λύνει το µονοδιάστατο πρόβληµα Cauchy-Dirichle Πράγµατι: rr U r U r = r > U r = G r r > U r = H r r > U ( = U r ru r r Urr r Ur r r ( = ( = ( + ( ( ( ( = ru r + U r = ru + U r rr r r ru r Urr ( r = = rr r 8

Eπιπλέον: ( = ( = = U r ru r rg r G r οµοίως και τα υπόλοιπα Εφόσον η U ( r λύνει τη µονοδιάστατη οµογενή κυµατική εξίσωση µπορούµε να χρησιµοποιήσουµε τη φόρµουλα D Alember Eτσι: ( r r + U r = G r + G r+ H y dy + U u = lim U r = lim + + r r ( r r + r ( G r G r H ( y dy r = lim + + + r r + ( H ( dg = + d d = g ds + h ds d B( B y y ( B( B y y ( Aν η g είναι λεία τότε: d g ds = g ds d B( B y y ( B( B y y ( ( + g ds B( B y y ( = g ds g ds B y y + B B y y y B( ( ( ( ( g( y g( y ( y ds( y ( = + i B B i 9

άρα: Τελικά: ( ( ( y ( y i ( y ( y ( y ( u( = g + g + h ds B B ( ( u ( = g ( y + g ( y i ( y + h ( y ds ( y 4π B Αυτή είναι η φόρµουλα Kirchoff για την επίλυση του προβλήµατος Cauchy της οµογενούς κυµατικής εξίσωσης στον 3 Οσον αφορά την επίλυση του αναλόγου προβλήµατος στον χρησιµοποιούµε τη µέθοδο υποβιβασµού και υπολογίζουµε λύση στο αναγόµενοι στη φόρµουλα Kirchoff που υπολογίσαµε + παραπάνω Εστω u C ( είναι λύση του προβλήµατος Cauchy u ( ( = u( = g u ( = h όπου g C ( h C ( είναι γνωστές πραγµατικές συναρτήσεις Oρίζουµε u y z = u y u ( yz = g ( yz = g( y u ( y z = h ( y z = h( y Τότε µπορούµε να δείξουµε ότι η u αποτελεί λύση της τρισδιάστατης κυµατικής εξίσωσης Εχουµε λοιπόν από τη φόρµουλα Kirchoff: u ( y B( B g g h ds = + + y y i y y y ( όπου = ( = ( y τότε Αν B( y όπου = y y y 3 µε y

Ετσι όπου γ = y3 = y y ( = y y ±γ ( y y y ( y y γ ( y = = y y και µε αλλαγή µεταβλητής παίρνουµε µε Τελικά: g( y ds( y = g + γ d B( 4 B( B π y y y ( + γ ( y = y g g h u( y + y i y + y = d π y B( y είναι η λύση τoυ προβλήµατος Cauchy στο /

34 Οµογενείς εξισώσεις Στο εξής µελετούµε αποκλειστικά τη µονοδιάστατη κυµατική εξίσωση 34 Φραγµένα χωρία µε οµογενείς συνοριακές συνθήκες Θα επιλύσουµε το ακόλουθο πρόβληµα Cauchy-Dirichle u = u < < > u = u = u = g u = h είναι γνωστές πραγµατικές συναρτή- όπου g C 3 [ ] h C [ ] σεις (µε g( = g( = και h h( = = Εφόσον έχουµε οµογενή Μ Ε µε οµογενείς συνοριακές συνθήκες µπορούµε να χρησιµοποιήσουµε τη µέθοδο χωρισµού µεταβλητών Αναζητούµε µη µηδενική λύση της µορφής: ( X T( u = Από τις οµογενείς συνθήκες Dirichle έχουµε u = X T = X( = X( = u = X T = (3 αλλιώς T( = > άρα η λύση µας u είναι η µηδενική Οσον αφορά τις αρχικές συνθήκες έχουµε ( ( ( = ( = u = g X T = g u h X T h (4 Εφαρµόζουµε τη συγκεκριµένη µορφή της λύσης στην οµογενή κυµατική εξίσωση και παίρνουµε:

u = u X T = X T X ( X T X T = T Για να ισχύει η τελευταία ισότητα για κάθε ( θα πρέπει ( X T = = λ (5 X T για κάποια πραγµατική σταθερά λ κι έτσι το πρόβληµά µας ανάγεται στην επίλυση δυο συνήθων οµογενών Ε ης τάξης λ ( λ ( X X = T T = λ µαζί µε τις συνοριακές συνθήκες (3 και (4 Ασχολούµαστε αρχικά µε το ακόλουθο πρόβληµα ιδιοτιµών µε οµογενείς αρχικές συνθήκες X λ X = λ X( = X( = ιακρίνουµε τις εξής περιπτώσεις: α λ = Τότε: X = A+ B A B = = προκύπτει άµεσα η λύση X άρα και η τετριµµένη λύση u = άτοπο Aπό τις αρχικές συνθήκες X X( β λ > Τότε: λ λ X = Ae + Be A B = = προκύπτει άµεσα η λύση X άρα και η τετριµµένη λύση u = άτοπο Πάλι µε χρήση των αρχικών συνθηκών X X( γ λ < Τότε: λ συν( λ ηµ ( λ X X = X = A + B A B 3

Με χρήση των αρχικών συνθηκών X X( = = προκύπτει A B = A= A = = Bηµ ( λ ηµ ( λ = λ = kπ A = kπ λ = = k όπου θεωρήσαµε B και λ διότι για B = ή λ = πάλι θα παίρναµε X άρα και την τετριµµένη λύση u = Ετσι για λ < προκύπτουν οι λύσεις kπ Xk = Bksin Bk k = Τελικά µη τετριµµένες λύσεις X παίρνουµε µόνον για τις ιδιοτιµές kπ kπ λk = k = µε ιδιοσυναρτήσεις ηµ Αντικαθιστώντας τις παραπάνω τιµές του λ στην (5 παίρνουµε µε λύσεις kπ T ( λkt( = λk = k = Ετσι: kπ kπ Tk( = Ckσυν + Dkηµ Ck Dk k = kπ kπ kπ uk( = Xk Tk( = Bkηµ Ckσυν + Dkηµ kπ kπ kπ = ηµ C συν + D ηµ C = B C D = B D k k k k k k k k είναι λύσεις που ικανοποιoύν τις οµογενείς συνοριακές συνθήκες Από την αρχή της υπέρθεσης και η 4

u( = k k k C π k kσυν D π π kηµ ηµ = + (6 αποτελεί λύση της κυµατικής εξίσωσης υπό την προϋπόθεση ότι η σειρά είναι καλά ορισµένη Μένει να ελέγξουµε τις συνθήκες (3 και (4: kπ X T( = g C sin k k g = = (7 kπ kπ X T ( = h D sin k k = h = Οι σειρές (7 θυµίζουν σειρές Fourier ηµιτόνων των συναρτήσεων g και h Θεωρούµε τις περιττές επεκτάσεις των gh στο διάστηµα [ ] και στη συνέχεια τις επεκτείνουµε περιοδικά πάνω στην πραγµατική ευθεία Τότε υπάρχουν µοναδικές ακολουθίες συντελεστών kπy kπy C k : = g( y sin dy g( y sin dy = k k y π π kπy D k : = h( y sin dy= h( y sin dy τέτοια ώστε η (6 να συγκλίνει απόλυτα και οµοιόµορφα στη u Τελικά παίρνουµε τη µοναδική λύση: kπ y kπ kπ u( = g( y sin dy cos sin k= k π y k π k π + k= kπ h( y sin dy sin sin Οι συνθήκες g C 3 [ ] h C [ ] διασφαλίζουν ότι η παραπάνω σειρά παραγωγίζεται όρο προς όρο δυο φορές και ως προς και ως προς 5

34 Φραγµένα χωρία µε µη οµογενείς συνοριακές συνθήκες Θα επιλύσουµε το ακόλουθο πρόβληµα Cauchy Dirichle: u = u > < < u( = g u ( = a b u( = a u( = b Η διαφορά µε το προηγούµενο παράδειγµα είναι ότι οι συνοριακές συνθήκες είναι πλέον µη οµογενείς Θα αναγάγουµε το πρόβληµα σε οµογενείς συνοριακές συνθήκες Εστω ( = + ( u v w είναι λύση του προβλήµατός µας όπου v v = έτσι ώστε Εστω ( v = a v = b v = a+ ( b a Τότε το πρόβληµά µας µετασχηµατίζεται στο ακόλουθο: w ( = w ( w( = w( = ( ( w = g v w = h µε g v( a g( v( g g ( = = = = Ετσι από τα παραπάνω kπ y kπ kπ w( = ( g( y v( y sin dy cos sin k= k π y k π k π + k= kπ h( y sin dy sin sin 6

343 Μη φραγµένα χωρία Θα αναζητήσουµε λύση του ακόλουθου προβλήµατος Cauchy Dirichle: u = u > > u( = g u ( = h u( = όπου g C [ + h C [ + (µε g ( = και h = Εστω Ω = {( : > } και { } Ω = : < Για κάθε σηµείο ( y Ω µπορούµε να χρησιµοποιήσουµε τον τύπο D Αlember απ ευθείας και έχουµε + u( = g( + g( + + h( y dy Ω (8 Αυτό δε µπορούµε να το κάνουµε στο χωρίο Ω διότι δεν έχουµε επαρκείς συνθήκες Εργαζόµαστε ως εξής: Θεωρούµε gh να είναι περιττές επεκτάσεις των συναρτήσεων f g πάνω στην πραγµατική ευθεία ηλαδή: Τότε η g g h = h = g h ( + u = g + g + h y dy + ορίζεται για κάθε ( + και έχει τις ακόλουθες ιδιότητες: (α αποτελεί λύση του προβλήµατος Cauchy 7

u = u > u ( = g u ( = h (β Στο χωρίο Ω ταυτίζεται µε τη λύση (8 (γ Ικανοποιεί τη συνοριακή συνθήκη διότι ( ( u = g + g + h y dy = εφόσον οι gh είναι περιττές συναρτήσεις στο (δ Για κάθε ( y Ω έχουµε Τελικά: ( u ( + u = g + g + + h y dy ( g ( g ( + h ( y dy = + + + ( g( g( + h( y dy ( ( g( g( + h( y dy ( + + + Ω = + + Ω (9 Θα αναζητήσουµε τώρα λύση του προβλήµατος Cauchy Dirichle: u = u > > u( = g u ( = h u( = µ ( όπου g C [ + h C [ + C [ µ ( = g( µ ( = h( µ ( = g ( Ψάχνουµε λύση όπου ( ( ( u = v + w µ + (και εµµέσως ( µ v( = µ ( + µ ( ( + 8

και η w είναι λύση του προβλήµατος όπου w = w > > w( = g w ( = h w( = µ ( = ( = ( ( ( v( g g v h h v µ = µ και εµµέσως µ g µ h µ g Αναλύουµε περεταίρω την w ως = = = = = = έτσι ώστε και Τότε η ( ( ( w = w + w w = w > > w( = g w ( = h w ( = (Α w = w > > w( = w ( = w( = µ ( (Β ( = ( + ( + ( u v w w είναι λύση του αρχικού µας προβλήµατος Μένει να υπολογίσουµε τις w w Αλλά το πρόβληµα (Α είναι όµοιο µε αυτό που λύσαµε παραπάνω οπότε η λύση του έχει τη µορφή (9 w ( ( g ( g ( + h ( y dy ( ( g ( g ( + h ( y dy ( + + + Ω = + + Ω Οσον αφορά το πρόβληµα (Β ας ορίσουµε 9

και ( + µ µ µ ( = µ = ( µ + µ w = + + Τότε η w είναι λύση του προβλήµατος (Β και συνεπώς η λύση του αρχικού µας προβλήµατος είναι ( + µ u( = µ ( + µ ( ( + + µ + µ + ( g ( g ( + h ( y dy ( g ( g ( + h ( y dy + + + Ω + ( + + Ω Τέλος ας µελετήσουµε πάλι το πρόβληµα Cauchy: u = u u g u h = = > όπου gh είναι συνεχείς και ολοκληρώσιµες συναρτήσεις στο Mπορούµε να χρησιµοποιήσουµε το µετασχηµατισµό Fourier ως εξής: Προς στιγµήν σταθεροποιούµε τυχαίο > και παίρνουµε το µετασχηµατισµό Fourier της u ως προς : πξ i u ξ = u e d Από τις ιδιότητες του µετασχηµατισµού Fourier (βλέπε Κεφ έχουµε: u u = u ( γ u ( γ = ( γ ( π γ ( γ u( γ + 4 π γ u ( γ = d u i u = d 3

Για σταθεροποιηµένο γ η παραπάνω είναι µια γραµµική δε ης τάξης ως προς µε γενική λύση όπου A( γ B u ( γ A( γ cos( π γ B( γ sin( π γ = + γ είναι αυθαίρετες συναρτήσεις Λόγω των αρχικών συνθηκών έχουµε u γ = g( γ u ( γ = h ( γ οπότε προκύπτει Τελικά A ( γ = g ( γ B( γ g ( γ = π γ h ( γ u γ = g γ cos π γ + sin π γ πγ Παίρνοντας αντίστροφο µετασχηµατισµό Fourier ως προς γ (αν αυτό είναι εφικτό πχ αν οι g ( h ( γ γ είναι ολοκληρώσιµες ως προς γ στην πραγµατική ευθεία τότε έχουµε h ( γ πγ i u = g( γ cos( πγ + sin( πγ e dγ πγ Γίνεται αντιληπτό ότι η µέθοδος αυτή παρουσιάζει δυσκολίες όσον αφορά την αντιστροφή του µετασχηµατισµού Fourier 3

35 Μη οµογενείς εξισώσεις Θα αναζητήσουµε λύση στο ακόλουθο µη οµογενές πρόβληµα Cauchy Dirichle µε µη οµογενείς αρχικές και συνοριακές συνθήκες: u u = f ( > < < a u( = g u ( = h a u( = A( u( a = B( Προσαπαθούµε να ανάγουµε το πρόβληµά µας σε ένα ισοδύναµο πρόβληµα µε οµογενείς συνοριακές συνθήκες Αναζητούµε λύση της µορφής έτσι ώστε Εστω ( ( ( u = v + w ( = και v( a B( v A = v( = A( + ( B( A( a Τότε το πρόβληµά µας ανάγεται στο ακόλουθο πρόβληµα: ( w( w( a w w = f > < < a w = g w = h a = = όπου ( = ( ( g = g v( h h v ( f f v = και g g ( a h h ( a = = = = Εµπνεόµενοι από το ανάλογο οµογενές πρόβληµα της παραγράφου 34 υποθέτουµε ότι η λύση w είναι της µορφής nπ w( = w n n ηµ = a 3

Επιπλέον υποθέτουµε ότι η (γνωστή συνάρτηση f αναπτύσσεται σε σειρά ηµιτόνων ως προς nπ f( = f n n ηµ = a Aν λοιπόν θεωρήσουµε την περιττή επέκταση της f ως προς στο διάστηµα ( a και αν η f είναι ολοκληρώσιµη τότε υπολογίζουµε τη µοναδική ακολουθία συντελεστών f n από τη σχέση a nπ y f n ( = f ( y ηµ dy a a Με την επιπλέον υπόθεση ότι οι παράγωγοι της u µέχρι ης τάξης προκύπτουν από όρο προς όρο παραγώγιση της παραπάνω σειράς έχουµε: n π nπ ( ( ( n n n n ηµ = w = w w + w f = a a n π w n( + w n( f n( = a Λόγω των συνοριακών συνθηκών έχουµε: nπ w g w n n g = a nπ w h w n n h = a ( = ( ηµ = ( = ( ηµ = Χρησιµοποιώντας τη θεωρία των σειρών Fourier παίρνουµε a nπ y an: = wn( = g ( y dy a ηµ a a nπ y bn: = w n( = h ( y ηµ dy a a Προκύπτει λοιπόν το πρόβληµα αρχικών συνθηκών 33

π wn( = an = γνωστο w ( b γνωστο w n + wn n / a f n = n = n = το οποίο έχει µοναδική λύση για κάθε n = ως προς w n Ετσι Τελικά: nπ w( = w n n ηµ = a u( = A( + ( B( A( + w( a 36 Aσκήσεις Eπιλύστε το πρόβληµα Cauchy ( = ( ηµ u ( u u u = = Eπιλύστε το πρόβληµα Cauchy ηµ u ( u u = u = = 3 Επιλύστε το ακόλουθο πρόβληµα Cauchy Dirichle: u = u < < π > u( = ηµ u ( = ηµ ( π > u( = u( π = 4 Επιλύστε την κυµατική εξίσωση u = u µε αρχικές/συνοριακές συνθήκες της µορφής: 34

= ( π = u ( u u u = ηµ < < π > = 5 Επιλύστε το ακόλουθο πρόβληµα Cauchy Dirichle: u = u > 4 u( = u ( = ηµ 3 u( = 6 Επιλύστε το ακόλουθο πρόβληµα Cauchy Dirichle: u u = < < π > u( = u ( = π > u( = u( π = 7 Επιλύστε το ακόλουθο πρόβληµα Cauchy Νewmann: u = u < < π > u( = συν u ( = συν ( π > u( = u( π = 8 Επιλύστε το ακόλουθο πρόβληµα Cauchy Νewmann: u u = συν < < π > u( = u ( = π > u( = u( π = 35