Verovtoć sttst zbr zdt.. Vrjje. KOMINTORIK Immo su S{,,..., }, N, Vrjj -te lse bez ovljj u suu S je sv ureñe -tor,,..., meñusobo rzlčth elemet su S. roj vrjj bez ovljj od elemet -te lse odreñujemo o formul: V!! Vrjj s ovljjem -te lse u suu S je sv ureñe -tor elemet z su S. roj vrjj s ovljjem od elemet -te lse odreñujemo o formul: V Prmer: S{,,, } V bez ovljj: V s ovljjem:,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, Zd... U rzredu m uče. N olo č može uče sedet u rvoj lu?!! V 9 8 7 8!!... N lu su slobod četr mest. N olo č osob može out ov mest?!! V 7!!
Verovtoć sttst zbr zdt... Kolo m trofreh brojev oj se sstoje od rzlčth fr? 9! 9! V 9 V9 9 9 9 9 8 8 9! 7!... Jed studet treb d olže st z 8 d. N olo č to može učt o se z d osledj st olže osmog d? 7! 7! V 7 7 7!!... Odeljeje jedog rzred broj uče. O su meñusobo rzmel fotogrfje. Kolo je uuo odeljeo fotogrfj?!! V 9!!... Od olo rzlčth elemet možemo formrt vrjj druge lse? V!!, ± 8 ± 9..7. Kolo se brojev može formrt omoću elemet su N oj če sv rost čo broj o trže brojev sdrže o dv rzlčt rost čo? V 7!!!!
Verovtoć sttst zbr zdt..8. Rešt jedče: V V, b V : V : V V!!!! / 7, 7 ± 9 ± 7 b V!! :!! 8, ± : V : ± 7..9. Kolo rzlčth bj dju četr oe z gru? V 9... Kolo se etofreh brojev može st omoću fr oje se mogu ovljt, to d rve dve fre budu? V
Verovtoć sttst zbr zdt... Kolo etofreh telefosh brojev m o zmo d su m sve fre ere? V... Odredt broj reč, od slov, oje se mogu st omoću zbue od slov, bez obzr d l se u rečm ovljju sv slov d l se dobjju reč bez zčej. V... Dt je su {,,,, 7}. Odredt broj trofreh brojev oj se mogu obrzovt od elemet su. V... Dt je su E{,,,,, }. Odredt broj četvorofreh brojev većh od, oj se mogu obrzovt od elemet su E. V 79... Kolo se Morzeovh zov može formrt z ob osov z. -, o se jed z sstoj od jvše zov? V V V V V 8... roj vrjj četvrte lse s ovljjem od elemet zos. Odredt broj elemet. V / log log log log log..7. roj vrjj treće lse s ovljjem od elemet već je z 8 od broj vrjj treće lse bez ovljj od stog broj elemet. Odredt broj.
Verovtoć sttst zbr zdt.. Permutje Permutj bez ovljj su S{,,..., } s je sv vrjj -te lse bez ovljj u suu S. roj ermutj bez ovljj od elemet odreñujemo o formul: P! Ne je dt su od elemet, od ojh m jedh jede vrste, jedh druge vrste td; m jedh m-te vrste; r čemu je m... m. Sv ler rsored oj se sstoj od svh elemet zove se ermutj s ovljjem. roj ermutj s ovljjem odreñujemo o formul: Prmer:! P,,..., m!!... m S{,,, } S{,,, } PV bez ovljj: P,, s ovljjem:! Zd... N olo rzlčth č mogu d sedu četr osobe o su ostvljee četr stole? P!... Dt je su E{,,..., 8}. Kolo ermutj, oje se mogu obrzovt od elemet su E, očje s:, 8? P7 P P
Verovtoć sttst zbr zdt... N olo se č može rsoredt 8 jg jedoj ol? P 8... Odredt broj ermutj od elemet,,, b, b, b,. P 7! 7!!! 7,,... Kolo m sedmofreh brojev obrzovh od fr,,,,,,, e uzmjuć u obzr oe oj očju ulom l ulm?! P,, 9!!!... Kolo ermutj od elemet,,,,, b, b, b,, očje s, s b s? 8! P 8,, 8 7 8!!! 8! b P 8,, 8 7 8!!! 8! P 8, 8 7!!..7. Kolo ermutj od elemet,,,,,,,,,,, očje s, s s? - 9 9! 9 8 7 P,,,!!..8. Odredt broj ermutj oje se mogu formrt od svh čl rozvod b...9. N olo se rzlčth č može rzt b o rozvod od osm čl,,, b, b,,,? P 8! 8 7!!! 8,,
Verovtoć sttst zbr zdt... roj ermutj od elemet odos se rem broju ermutj od elemet o.:. Odredt. P : P!!./, 8 ±..: 9 ±... roj ermutj od elemet je već ut od broj ermutj od elemet. Odredt.!... Rešt jedču:.!!!, ± ±!... Rešt jedču: 7.! 7 7
Verovtoć sttst zbr zdt.. Kombje Kombj -te lse bez ovljj su S{,,..., } je sv jegov odsu od elemet,. roj ombj bez ovljj od elemet -te lse odreñujemo o formul:!!! Kombje -te lse od elemet u ojm se jed elemet može ovljt do ut, zovu se ombje s ovljjem. roj ombj -te lse od elemet s ovljjem odreñujemo o formul: Prmer: S{,,,, } S{,,, } bez ovljj: s ovljjem: Zd... Kolo se rzlčth gru o uče može zbrt od vlfovh uče oj će rerezetovt šolu tmčeju?!!8!... N jedom šhovsom turru učestvuje etest šhst. Sv treb d odgr rtju s svm. Kolo će bt odgro rtj turru?!!! 9 8
Verovtoć sttst zbr zdt... Odredt broj djgol ovesog etougl -tougl.!!!!!!... Dt je su {,,..., }. Odredt sve odsuove su oj: e sdrže elemete, ; sdrže sve elemete su. -,, 8 -... Odredt broj svh odsuov su oj m elemet....... Z delegju šole treb zbrt, od uče oj govore emč oj govore egles jez, et uče od ojh br jed govor egles. N olo č se može obvt zbor? 878..7. N jedom šhovsom turru odgro je rtj. Odredt broj učes o se z d je sv učes odgro rtju s svm.!!!, ± 8 ±..8. Rešt jedču:,. 9
Verovtoć sttst zbr zdt..9. Rešt jedču: 7. 7!! 7!!!!, ± 9 ± 7... Kolo m trouglov čje duže str mju vredost u suu {,, 7, 8}?!!!... Immo rsolgju utomobl, 9 ljud žel d voz. N olo č se to može zvest o redosled utomobl: je bt; bt je? - 8 9 - V 8 9... roj ombj druge lse od elemet s ovljjem zos 7. Odredt. 7! 7!!... roj ombj treće lse bez ovljj od elemet odos se rem broju ombj treće lse od stog broj elemet s ovljjem o 7:. Odredt. 8... Odredt o je: V.
Verovtoć sttst zbr zdt.. om obrz o je blo oj rrod broj b blo oj omles brojev, td je: b b b b b b... gde je bom oefjet. Ošt čl u rzvjeom oblu bom b dt je formulom: b T Pslov trougo rzuje oefjete uz - b u rzvoju bom: b b b b b b b b b b...... Zd... Prmet bomu formulu bom:. 8... Odredt et čl u rzvjeom oblu bom:.
Verovtoć sttst zbr zdt 8 8 9 9 T... Odredt čl oj e sdrž u rzvjeom oblu bom:. T Pet čl e sdrž.... U rzvjeom oblu bom odredt čl oj osle sreñvj sdrž s zložoem. 9 9 8 8 T... Odredt. čl u rzvjeom oblu bom 9, o je bom oefjet trećeg čl jed., 9 8!!! ± T
Verovtoć sttst zbr zdt... Zbr oefjet rvog, drugog trećeg čl u rzvjeom oblu bom jed je. Odredt čl oj e sdrž. 9 9 9!!!, ± 8 7 8 9 9 7 8 9 9 8 9 9 T T..7. om oefjet trećeg čl u rzvjeom oblu bom jed je 78. Odredt čl oj e sdrž., T,..8. Zbr bomh oefjet drugog trećeg čl u rzvjeom oblu bom jed je. Odredt čl oj e sdrž 8.., T,
Verovtoć sttst zbr zdt. σ-polje DOGĐJ Ω - su svh mogućh shod dogñj oj se mogu očevt r eom otu. Prmer: ot je bje oe, Ω{,,,,, } ω - elemetr dogñj, ojed shod l rezultt elemet su Ω. Prmer: l je šest. dogñj oj je blo oj odsu su Ω. Prmer: ojv rog broj Sgur dogñj dogñj oj se relzuje uve. Nemoguć dogñj rz odsu Ω, dogñj čj je relzj emoguć. logo reljm oerjm u Teorj suov ovde možemo osmtrt relje: mlj ovlč zč d se relzuje d se relzuje. o u tju su detč dogñj. omlemetr l surot dogñj dogñj l je dogñj oj se relzuje smo o se dogñj e relzuje. rese l rozvod dogñj l zč dogñj oj se relzuje smo d se relzuju dogñj dogñj. uj dogñj l d su dsjut dogñj zč dogñj oj se relzuje o se relzuje br jed od dogñj. rzl dogñj / l zč dogñj oj se relzuje d se relzuju o shod ω oj rdju dogñju, e rdju dogñju. smetrč rzl dogñj --- dsjut dogñj zč d se dogñj e mogu stovremeo ostvrt. Prošreje oerj uje rese očo rebrojvo mogo dogñj:...... I U dogñj oj se relzuje o se relzuje sv od dogñj,,...... o je..., j z j, je rstvlje osebh čl. o jhov uj č Ω, dogñj obrzuju otuu gruu dogñj. Kls F dogñj oj se osmtrju od ot s slučjm shodm je σ-olje dogñj l σ- lgebr, o:. Ω F,. F F. F,,,... U F
Verovtoć sttst zbr zdt Vž d o rz su rd F od rozvod svh toñe rd F. Vže sledeć dettet: Komuttvost rese uje: ; sojtvost rese uje: ; Dstrbutv zo: ; Zo jede: ; ΩΩ; ; Ω De Morgov zo: ; ; I U ; U I Idemotet zo: ; Ω; ; Ω; ; Ω U...... Zd.. Četr studet, oj, Dro Mro olžu st. o s,, D M ozčmo jhove usehe stu, zrzt sledeće dogñje: E jed je oložo, F oložl su dv studet, G oložo je smo oj, H - oložl su sv I - oložo je mr jed od jh. E D M F D M DM D M DM D M DM G M D HDM I D M.. ju se stovremeo ovčć umers o, r čemu se regstruje ojv sm grb ovčću, o ojv broj gorjoj str oe. Ost su shod. { Ω P,, P,, P,, P,, P,, P,, G, G,, G,, G,, G,, G,}.. U utju su edulje umerse brojevm,,,. N slučj č se z utje zvlč jed o jed edulj bez vrćj to sve do se e zvuče edulj ojoj je er broj. Ost rostor shod. Ω {,,,,,,,,, }
Verovtoć sttst zbr zdt.. se o regstruje broj oj se ojv gorjoj str. Ne je dogñj : d broj mj od, dogñj : d broj mj od. Ost rostor shod, o dogñje. { },,,,, Ω, } { } {,,,,,.. Dozt sledeće jedost z m oje dogñje,,: b ω ω ω ω ω ω ω ω ω b Ω Ω.. Ne je. Urostt zrze:,,,..7. Dozt d dogñj,,, obrzuju otu sstem dogñj. Ω Ω Ω.8. Dozt d dogñj,,, obrzuju otu sstem dogñj o su rozvolj dogñj.
Verovtoć sttst zbr zdt 7 Ω Ω Ω.9. Dozt d je M emoguć dogñj... Urostt zrz
Verovtoć sttst zbr zdt. DEFINIIJE VEROVTNOĆE DOGĐJ Klsč defj verovtoće Immo rostor elemetrh dogñj Ω { ω ω,..., } dogñj { ω,..., ω }, Ω, gde je < <...< m. Td verovtoću dogñj odreñujemo rem: m gde su: broj svh mogućh shod m broj ovoljh shod z dogñj Sttstč defj verovtoće broj relzj dogñj u ot reltv frevej dogñj f r ω odsu Z dovoljo velo frevej dogñj je soro ostt vredost o se uzm z verovtoću dogñj. m Frevej dogñj tež verovtoć dogñj, d se uvećv, o z rozvoljo mlo ε, verovtoć ejedost ε Geometrjs defj verovtoće tež jed.: ε Prošreje lsče defje verovtoće besoč broj slučjev je geometrjs verovtoć: ovrš g ovrš G gde su: G oblst oju može st slučjo bče tč g oblst čj je ovrš roorol verovtoć d tč de u ju e zvs od obl oložj oblst g G. G g 8
Verovtoć sttst zbr zdt Zd.. Kugl je zvuče z utje u ojoj se lz bele, rvee lve ugle. Odredt verovtoću d zvuče ugl: bude bel b bude bel l rve je rve b 7 8.. Slučjo je zbr telefos broj s fr. Kol je verovtoć d su u jemu sve fre rzlčte? V! m V! m... Met se sstoj z zoe čj je verovtoć ogñj redom.,... Koj je verovtoć d se r gñju met romš?....7.7.. ju se dve umerse oe. Odredt verovtoću dogšj : o je zbr 8 : o je rozvod 8. V,,,,,,,,,, m dobje je zbr 8 { } dobje je rozvod 8 {,,,}, m 9
Verovtoć sttst zbr zdt.. Št je verovtje dobt r bju dve oe: zbr l zbr? V dobje je zbr {,,, }, m dobje je zbr {, }, m.. Kol je verovtoć d će se dvem bčem om dobt zbr tč l o se to e dogod, d će se r oovljeom bju dobt zbr 8? - zbr :,, zbr 8:,,,,..7. U utj se lz belh rvee ugle. Odjedom se zvlč tr ugle. Nć verovtoću d će se meñu jm ć mr jed bel ugl. P m! 7!! 9 zvuče je rve ugl.8. Ku je uo 7 sjl od W, sjl od W sjle od W. Usut je rzbo sjle. Kol je verovtoć d rzbjee sjle mju uuo 8W? m 7 7 7..9. U rodv je sjl, od ojh je boljeg vltet, l se e z oje su to sjle. o je u uo sjle, oj je verovtoć d je meñu jm tčo dve boljeg vltet?
Verovtoć sttst zbr zdt... N rsolgju su duž,,, 7 9 m. Kol je verovtoć d se od slučjo zbre duž može ostrust trougo?, m :,7,79, 79... o ostrušemo jedostrč trougo ve m, ć verovtoću d je rstojje zmeñu teme trougl ee slučjo zbre tče uutr trougl veće od. π. 9.. U vdrt us je rug. Izrčut verovtoću d će slučjo zbr tč vdrt bt v rug. G g r π π π π π.. U rug us je vdrt. Izrčut verovtoću d će slučjo zbr tč u rugu bt u vdrtu. r r. r π π
Verovtoć sttst zbr zdt. KSIOMTSKO ZSNIVNJE TEORIJE VEROVTNOĆE Kls F dogñj oj se osmtrju od ot s slučjm shodm je σ-olje dogñj l lgebr dogñj, o: Ω F, F F F,,,... U F Vž d o rz su rd F od rozvod svh toñe rd F. Toñe lgebr dogñj F rdju., Defj: Ne je F σ-olje dogñj R su svh eegtvh relh brojev. Ne je, dlje, reslvje: :F R tvo d su zdovolje sledeć uslov: ormrost Ω U σ-dtvost F, j z j dtvost F,,,,, j z j U Td se troj Ω, F, zv rostor verovtoće. Poslede defje su: F Nejedost u osledjem slučju vž o su dogñj dsjut. o je žemo d je dogñj soro sgur s. s., o je žemo d je dogñj soro emoguć s... Zd.. Kod bj umerse oe, e je dogñj : o je r broj. Odredt σ - lgebru oj sdrž. F {,,}, {,, }, {, {,,},{,, }, {,,,,, }}
Verovtoć sttst zbr zdt.. Kod bj umerse oe, e je dogñj : o je r broj, dogñj : o je broj deljv s. Odredt σ - lgebru oj sdrž. } { } { { } { },,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, Ω F.. Pozt d z D sled \ D D. \ \ \ \ \ D D D D D D D D D D.. Kolo je D? Uutstvo: odredt rvo. D D D D D D D D D D D D D D D.. Pozte su verovtoće dogñj. Odredt. \ \ \ \ \
Verovtoć sttst zbr zdt. USLOVNE VEROVTNOĆE Verovtoć dogñj od uslovom d se relzovo dogñj, / l se odreñuje rem: / Ovm je odreñe ov verovtoć ov rostor Ω, F,. Ov verovtoć zdovoljv uslove some: eegtvost: ormrost: Ω Immo d je: / Toñe sled rvlo možej: / / Nezvs dogñj Dogñj je ezvs od dogñj o je slučju je. Osobe ezvsh dogñj: rozvolj dogñj sgur dogñj Ω su ezvs: Ω Ω ezvs su dogñj :, o su ezvs dogñj, ezvs su, o su ezvs ezvs su,, u tom Odos zmeñu ezvsh dsjuth dogñj: o su dogñj ezvs s oztvm verovtoćm od su dsjut o su dogñj s oztvm verovtoćm dsjut od su zvs dogñj,,..., su ezvs u uuost o ostoj meñusob ezvsost rozvoljh r r tvh dogñj, tj. o z svu oču oleju,,...,,..., r vž: r,...,,... o su dogñj,,..., uzjmo dsjut s oztvm verovtoćm čj je sum Ω, td z svo F vž formul totle verovtoće:... su rore verovtoće ured ozte, su hoteze, su osterore verovtoće
Verovtoć sttst zbr zdt jesov formul: j j j / / / / Tumčeje: relzj dogñj je stul od hotezom uzorom. Zd:..Odredt verovtoću d slučjo zbr rrod broj: bude deljv s s, b e bude deljv s l s. : broj deljv s, : broj deljv s,, b D.. o je.9,.8, ozt d je /.87..87.8.8.9 /.. Iz su S{,,,...,} je slučjo zbr jed broj. o je ozto d je zbr broj deljv s ol je verovtoć d je u tju r broj? / {,,8},,9,,,8 :,,,8,,,,,8, :
Verovtoć sttst zbr zdt.. Kol je verovtoć d će se dvem bčem om dobt zbr tč l o se to e dogod, d će se r oovljeom bju dobt zbr 8? - zbr :,, zbr 8:,,,,.... Studet je zšo st zjuć od tj. Istvč je ostvo tj. Koj je verovtoć d studet z sv tr tj?.9 8 9 / /.. Čove m ljučev od ojh smo jed otvr vrt. Ključev su o oblu slč h o e rzluje. D b otvoro vrt o rob ljučeve jed z drugm, ljuč oj "e otvr" stvlj stru. Odredt verovtoću d će mu z otvrje vrt trebt,,,, oušj. / / / / / / / / / /.7. Iz utje u ojoj je m belh rh ugl odjedom je zvučeo ugl. Pod redostvom d su sve zvučee ugle ste boje oj je verovtoć d su sve re? - zvučeo je ugl - zvučee su re l bele ugle
Verovtoć sttst zbr zdt / m m m m.8. Strel,,, gñju o jedom u lj ezvso jed od drugog, ogñjuć g s verovtoćm.,... Ustovljeo je d je lj ogoñe ut. Št je verovtje d je strel ogodo l romšo?,, - lj je ogodo strel,, D - lj je ogoñe dv ut D... D..........8 D.8 / D.7 D D D.8 / D.7. / D > / D Verovtje je d je strel ogodo!.9. Prozvod fbre dolze otrolu srvost od otrolor s verovtoćm... Verovtoć d će rozvod bt roglše srvm od rvog otrolor je.9, od drugog.98. Prozvod je bo srv. Nć verovtoću d je roveru zvršo rv otrolor... /.9 /.98 / /.9 / /. 9.. U gru sortst je fudbler, 8 ošrš ruometš. Verovtoć d će ostć ogod je z fudbler., z ošrš.8 z ruometš.7. Odredt verovtoću d će slučjo odbr sortst ostć ogod. Koj je verovtoć d ošrš oetr? /. 8/. 7
Verovtoć sttst zbr zdt /. D\. D\.8 D\.7 D.7 \D.77.. U fbr se % rtl rozvod mš, % mš % mš. Mše,, rve %, % % šrt resetvo. Sv rozvod stvljju se u sto sldšte. Kol je verovtoć d je tj esrv rtl rvlje mš? D. \D... Verovtoć d dv blz budu stog ol je.. Verovtoć rñj mušog detet je.. U slučju rñj dee rzh olov ob redosled su jedo verovt. Nć verovtoću d je drug blz mušog ol o je rv bo mušog ol. M M M M Z M M M / M / M / M M Z Z? Z Z M Z M M Z.8. M. Z...8 Z. / M Z Z.... Predostvlj se d meñu stm brojem mušr že m % dltost mušr % dltost že. Slučjo odbr osob je dltost. Koj je verovtoć d je t osob mušr?. \.7 8
Verovtoć sttst zbr zdt. NIZOVI NEZVISNIH OPIT S m dogñj oj se relzuje d se u ezvsh ot dogñj relzuje m ut. Verovtoću dogñj S m odreñujemo rem eruljevoj šem: m verovtoć dogñj m m m m q U oštem slučju eruljev šem m obl:!... m! m!... m! m m m m, m,..., m q verovtoć dogñj U ovom slučju vrš se ezvsh ot u svom od jh se može relzovt smo jed od dogñj,,,..., ; ;.... Odreñujemo verovtoću d se u oovljeh ot dogñj relzovo m ut, dogñj m ut,..., dogñj m ut. q m q Lol Movr-Llsov teorem orst se z rblžo odreñvje verovtoće ojvljvj dtog dogñj m ut u slučju d su vredost vele, z q., odoso z > q>: m e ϕ π ϕ q gde je q m q Fuj ϕ je Gusov fuj, čje su vredost dte u tbel. Ov fuj je r: ϕ ϕ-. Itegrl Movr-Llsov teorem: b π e d Φ b Φ b [, ] q q b gde je vredost fuje φ dt u tbel. Ov fuj je er: φ--φ. Posled ove teoreme je eruljev zo velh brojev. Ne je ε rozvolj oztv broj. m Iteresuje s grč vredost verovtoće dogñj M ε d, gde je m/ reltv frevej dogñj verovtoće : 9
Verovtoć sttst zbr zdt m ε π ε q ε q e t dt φ ε q Posov rosmj eruljeve šeme orst se z rete dogñje, d je mlo, tj. <: m m λ m,, λ m m λ e m! λ <λ< Zd.. U serj jedog rozvod m % šrt. Slučjo se ut br o jed rozvod z serje. Nć verovtoću: b d se eće zvuć jed šrt, b d će se jmje ut zvuć šrt.., q.9, m m.., q.9, m,,....9.9.9.9.9. II č...8..9, b.9 q q Φ.9 Φ.9
Verovtoć sttst zbr zdt Nome: Vredost z Φ otržt u Tbl I rovert!!!.. Verovtoć ogot lj je.. lj se gñ ut. Koj je verovtoć d je lj bo ogoñe: ut, b br jedut? b., q.7!..7..!!., q.7..7.8.. Istržvjem je utvrñeo d svh ovoroñečd m deč 8 devojč. U eoj orod m četvoro dee. Kol je verovtoć d meñu jm em vše od devojče..8, q., m,,.8..8..7..7.7.8... Vrš se gñju u lj r čemu je verovtoć ogot u jedom gñju.. Odredt verovtoću d broj ogod e bude mj od e već od.,., q.8 q b q.,..8..8,..8 Φ.8 Φ.9
Verovtoć sttst zbr zdt.. roj dee u eoj orod je. o je verovtoć rñj mušog detet. odredt verovtoću: d orod m deč devojč b d je broj deč u orod zmeñu 8. b q...., q. q 8 b q.,.. 8..897,.. 8 Φ.897 Φ.7.. Verovtoć d e rozvod e roñe otrolu je.. Odredt verovtoću d od slučjo zbrh rozvod broj oh oj su rošl otrolu bude zmeñu 7.,., q.8 7 q 7..,.8. b., q..8 7 Φ. Φ. Φ. Φ..979.9.888.7. ju se dve oe uzstoo. Kol je verovtoć d će se zbr 8 ojvt vše od, mje od ut?,,,,,, q Φ.98 Φ.7.78..99
Verovtoć sttst zbr zdt.8. U rozvodj metlh š je rosečo % esrvh. S ojom verovtoćom se može smtrt d će u serj od slučjo zbrh š bt srvo vše od 99? Nome:,.9, q. Φ.7 Φ.9 jer se u zdtu dt roet esrvh š. Z svo l b oje je veće od može se uzet rblž vredost Φ od...9. Ne je verovtoć ojve dogñj u svom od ezvsh ot.8. Nć verovtoću ojve dogñj od 7 do 9 ut.,.8, q. 7 9 Φ. Φ..888.. Nć broj otrebh ovljj ot d b se s verovtoćom e mjom od.9 moglo tvrdt d je rzl zmeñu freveje verovtoće. jvše..?, q.,.9 m m Φ. Φ.. 98 9..9.. Φ ε.9..7..9 q Φ..... Posejo je zr uuruz. Verovtoć ljj jedog zr je.9. Nć gru solutog odstuj freveje roljlog seme od verovtoće.9 o t gr treb d bude grtov s verovtoćom.99.
Verovtoć sttst zbr zdt ε?,,.9, q.,.99 m.9 ε.99 m.9 ε Φ ε Φ.99 Φ ε 8. 8.ε 8.ε.8 ε..97.9... Odredt verovtoću d r bju ovčć ut reltv frevej ojve grb odstu od verovtoće. vše od. ut. ε.,, q. m..? m.. Φ. Φ.77.9.. m. >..9... U rtj od rozvod m rozvod rve lse. Kol je verovtoć d u uzoru od rozvod bude 7 rozvod rve lse?, m 7,., q. 7 m q 7 ϕ q.899 7.... ϕ...98... U utj je lvh rh ugl. Kol je verovtoć d se u ezvsh zbor s vrćjem ut zvuče lv ugl?
Verovtoć sttst zbr zdt, m,, q λ.9.9 m λ e m!.9! λ.9 e... Nć verovtoću d se od slučjo zbrh ljud šestoro rodlo.rl., m, λ.7 m λ e m!,.7! q λ..7 e... Prem odm tehče otrole rosečo od % čsov treb zvršt douso regulsje. b Koj je verovtoć d se 9 od slučjo zbrh čsov e vrš douso regulsje? b o se od čsov ñe jmje od ojh treb zvršt douso regulsje, el rtj se e rhvt. Koj je verovtoć d se rtj rhvt?, m 9,., q.98 λ m λ e m! e! λ λ., m,., q.98 m λ λ e e. m!!..98.7. Z jed st telefos etrl dobje rosečo ozv. Nć verovtoću d eće bt jedg ozv z vreme trjj od mut.
Verovtoć sttst zbr zdt, m, λ. m λ e m!.! λ. e..8. Verovtoć d je jed rozvod defet je.. Iz velog sldšt uzm se rozvod. Nć verovtoću d meñu jm bude tčo defeth., m,. λ m λ e m! e! λ.
Verovtoć sttst zbr zdt 7. SLUČJNE PROMENLJIVE Defj - Relzj svog slučjog dogñj može se orterst brojem. Promeljv velč, oj te broje vredost uzm s odreñem verovtoćm, zv se slučjom romeljvom. Slučj romeljv se često defše o fuj, oj svom elemetrom dogñju rdružuje e broj. Dsret slučj romeljv - d slučj romeljv uzm s oztvm verovtoćm oč broj l rebrojvo mogo vredost. Nered slučj romeljv - d slučj romeljv s oztvm verovtoćm može d uzme rozvolju brojevu vredost odreñeom tervlu. 7..Dsret slučj romeljv Dsretu slučju romeljvu defšu, otuo odreñuju: - Zo rsodele verovtoć slučje romeljve je rvlo o ome svoj vredost slučje romeljve rdružujemo odgovrjuću verovtoću. -,,...,... :,... vredost oje može d m slučj romeljv. -,,..., verovtoće s ojm uzm vredost,,...,. Grfč lustrj rsodele verovtoć je olgo rsedele verovtoć. - Verovtoć dogñj <, oj zvs od, tj. fuj je od, zv se fujom rsodele verovtoć l umultvm zoom rsodele verovtoć, ozčv se s F, tj. F < Kod dsrete slučje romeljve fuj rsodele je:,,, F...,..., z < < <... < > 7
7.. Nered slučj romeljv Verovtoć sttst zbr zdt f - gust rsodele verovtoć - em uverzl rter, ostoj smo z erede slučje romeljve F - fuj rsodele verovtoć Osobe guste rsodele: f f d f F' b F f t dt b f F b F Zd: 7.. Sstvt zo fuju rsodele verovtoć broj ojvljvj dogñj u ezvs ot o je verovtoć ostvrvj dogñj u svom otu..., q.,, m,,,......88...... :..88.. F,.,.,.78,, < < < > 7.. Ne ovčć se b ut. Nst zo fuju rsodele slučje romeljve - broj ojve grb. 8
Verovtoć sttst zbr zdt., q.,, m,,......... :... F,.,.7,, < < > 7.. Ne ovčć se b ut. Nst zo fuju rsodele slučje romeljve - broj ojve sm.., q.,, m,,,,,............ : 7.. Slučj velč m z gustu: f tervlu [-,]. Odredt F. os, π π b f. Odredt, F < <., e 9
Verovtoć sttst zbr zdt,, f e. Odredt, F < <. rtg rtg rtg t dt F rtg rtg d π π π π π b s s s s os s s os < < π π π π π π π π F F tdt F d
Verovtoć sttst zbr zdt d d d f [ ] < < s d [ ] d 8 π π os,, f. π π,, π Odredt osttu, ć fuju rsodele F, o verovtoću. 8 7.. Nered slučj romeljv zd je gustom, F s π 8 7.. Slučj romeljv m ormlu rsodelu N,. Nć: < <. b.7 < <.7 < <. d <. e >. < <. Φ.. b.7 < < Φ.7. 7
Verovtoć sttst zbr zdt.7 < <. Φ. Φ.7.7778..99 d <. Φ.. 89 e >.. Φ.. 9 Nome: Vd DODTK 7.7. Preč mtr oje fbr rozvod je slučj romeljv : N.,.. Nć verovtoću šrt od uslovom d je ros tolerj reč ±. 7. Kol tolerj reč može d se grtuje s verovtoćom.97? Tolerj [.,.9].7.7 < >.7 Φ Φ..9988.8 Φ.97. Φ.8..7.88.9..7. 9988 7.8. Pr velom broju merej uočeo je d 7% greš e remšuje.. Zmejujuć freveje ojvljvj greš jhovm verovtoćm, odredt verovto odstuje greš, smtrjuć d su greše merej relzje slučje romeljve : N, σ. <..7.. Φ.7 σ. Φ. σ..7 σ.8 σ 7.9. Dt je slučj romeljv : Nm,σ. Odredt eozte rmetre z uslov:. 8.. 9
8.9. m. Φ.9 σ 8 m. Φ. σ m m Φ.8.8 σ σ 8 m 8 m Φ.7.9 σ σ m.9, σ. Verovtoć sttst zbr zdt 7.. U rozvodj eh rozvod ros tolerj z jedu dmezju je u grm od do mm. Proet šrt sod doje gre je %, zd gorje je 8 %. Uz redostvu d je osmtr dmezj slučj romeljv :Nm,σ,odredt m σ. m. σ. 7.. Predostvmo d telese teže 8 studet mju ormlu rsodelu s sredjom težom g stdrdm odstujem g. Nć broj studet čj je tež zmeñu 7g. 8 : N, < Φ 7 < 7 Φ Φ.8 Φ..7.79.% 7.. Mš rozvod metle še duže m, s tolerjom.m. N osovu dužeg osmtrj z se d je σ.. Pod retostvom d duže metlh š mju ormlu rsodelu, zrčut roet metlh š oje će se ć u tervlu tolerje. : N,. 7.. Pozt d je m σ. 997. <. Φ Φ. P..7 9%
Verovtoć sttst zbr zdt m σ Φ.997 σ Φ.997 < σ.997.98.997
Verovtoć sttst zbr zdt 8. DVODIMENZIONLN SLUČJN PROMENLJIV 8.. Dsret dvodmezol slučj romeljv Vredost dvodmezole slučje romeljve se mogu redstvt tčm u rv O; o je slučj tč, u rv. Zo rsodele verovtoć je rvlo o ome svom ru vredost, slučje romeljve, rdružujemo odgovrjuću verovtoću j. Zč, mmo: j verovtoću d slučj romeljv uzme vredost, slučj romeljv vredost j tj., m j j P, j,...,, j,..., m, Toñe, mmo mrgle verovtoće o vrstm o olom j, gde su:,...,,... m. j j... j. j,..., m, m. j P j. j j P j m.. j j Fuj rsodele F, redstvlj verovtoću stovremee relzje dogñj <, <, tj: Grfč terretj fuje rsodele je: F,P<, < j F, je verovtoć d slučj tč, de u besoč vdrt s temeom u tč,. P [, S] P b, d F b, d F b, F, d F,
Verovtoć sttst zbr zdt Osobe fuje rsodele. F, je eodjuć fuj svojh rgumet F, F,, F, F,,. F, F, F,. F, P, F F, P, F F F. F,, - odgovrjuće fuje rsodele romeljvh : Mrgle verovtoće: Uslove verovtoće: m. j P,...,, j. j j P j j,..., m, / j j / P P / / j j j. j j. Defj ezvsost dveju slučjh romeljvh: Slučje romeljve su ezvse o je suje relj: j.. j, z rozvolj r brojev, j u dsretom slučju l relje: F / j j /.. j, F F 8.. Nered dvodmezol slučj romeljv Gust rsodele fuj rsodele P [ D] f, D, δ F f, F, δδ, dd - verovtoć d tč, de u oblst D. Ovde mmo ojm elemetre verovtoće f, dd, to je verovtoć d slučj tč, de u rvougo s strm d d jedm temeom u tč,. Sbrjuć elemetre verovtoće o oblst D dobjmo verovtoću d tč, de u oblst D.
Osobe guste rsodele f, f, dd Verovtoć sttst zbr zdt, P, f F, dd Mrgle fuje rsodele Mrgle guste rsodele F F F, P, f, F, P, f, f f F f, F f, Mrgle guste rsodele se mogu dobt omoću guste rsodele dvodmezole slučje romeljve, meñutm, obruto e vž. Odoso, d b otuo ortersl dvodmezolu slučju romeljvu, otrebo je ored mrglh rsodel zt zvsost zmeñu jh. Odoso, uslov zo rsodele verovtoć. f f / /, f, f Tumčeje: verovtoć d slučj tč, de u rvougo S je jed verovtoć S d S d f f d d dd dd d o de u ojs od uslovom d je l u ojs. Defj ezvsost dveju slučjh romeljvh: Slučje romeljve su ezvse o je suje relj: l relje: f f f F F, f f f, f f / f / f, F F f, F F b, d P b, d P b P d 7
Verovtoć sttst zbr zdt Zd: 8.. Ne u esermetu bj dve oe ozčv broj tč gorjoj str rve oe, broj tč gorjoj str druge oe. Nć verovtoće: b d > 9 e < b d e > 9 < 7 8.. Esermet se sstoj u zvlčeju rte s vrćjem, z šl od rte. o s ozčmo broj zvučeh ečev, s ozčmo broj zvučeh dm rljev, odredt zo rsodele slučjh romeljvh, o mrgle verovtoće. \. 8 78 97 97 97 97 97 7 97 97 97 97 97 97 97 97 97.j 8 97 97 97 97, 97 8, 8 8, 97 97 8 8,... 97 8
Verovtoć sttst zbr zdt 8.. Dt je rsodel verovtoć dvodmezole slučje romeljve,. Nć mrgle rsodele slučjh romeljvh, o jhove zoe fuje rsodele. \ - -.............7... \ - -................7.....j.8....8. : :....8....8.,., < F., <, >,.8, <., < F., <.78, <.8 <, > 8.. Dt je rsodel verovtoć dvodmezole slučje romeljve,. Nć mrgle rsodele slučjh romeljvh, o jhove zoe rsodele. \ 7 8 \. / 7/ / / / / / 7/ / / 8/ / / / / 9/.j / / / 8.. Dt je rsodel verovtoć dvodmezole slučje romeljve,. Nć mrgle rsodele slučjh romeljvh, o jhove zoe rsodele verovtoće <,, / >. /..8....9 9
Verovtoć sttst zbr zdt /.....8..9..9.9.j.., >. <,... / >. >. 8.. Nć mrgle verovtoće, zoe fuje rsodel oordt dvodmezole slučje romeljve, dte tbelom: \ 7 8 9 Odredt verovtoće >, o uslove rsodele oordt. \. / 7/ / / / 8/ / / 9/ / / /.j / / / / : > 9 / : 7 / : 7 8 / : 8 / : / : 9 8.7. se o ut. Ne slučj romeljv odgovr rezulttu rvog bj oe, slučj romeljv odgovr rezulttu drugog bj oe. Nć rsodelu slučje romeljve Z. :
Verovtoć sttst zbr zdt Z 8 9 7 8 9 9 8
Verovtoć sttst zbr zdt 9. FUNKIJE SLUČJNIH PROMENLJIVIH o svoj mogućoj vredost slučje romeljve odgovr jed moguć vredost slučje romeljve, td se zv fujom slučje romeljve u oz: U slučju dsrete slučje romeljve: o je : ϕ ϕ ϕ... ϕ...... ϕ... ϕ mooto fuj r: ϕ emooto fuj r:, od je P P, od su verovtoće. o je P oh vredost slučje romeljve z oje m jede vredost. P jede zbru U slučju erede slučje romeljve: Ne je ered slučj romeljv defs gustom rsodele verovtoć f z < < b e je fuj ϕ ered dferejbl. Immo slučjeve:. z < < b, ϕ je mootoo rstuć Verovtoć dogñj d se tč, lz delu rve ϕ sod rve :, tj. verovtoć dogñj < jed je verovtoć dogñj < < : G P < P < < F F F ψ F gde su: F fuj rsodele slučje romeljve, ψ verz fuj fuje ϕ. Gust rsodele fuje ϕ je: g f ψ ψ '. z < < b, ϕ je mootoo odjuć G P < P < < b F b F F ψ F b g f ψ ψ ' U slučju mootoost fuje ϕ uzm se jedstve formul z gustu rsodele verovtoć:. Kd ϕ je mooto g f ψ ψ ' G P < P g G' f d
Verovtoć sttst zbr zdt Zd: 9.. o slučj romeljv m rsodelu verovtoć... :, ć rsodelu verovtoć slučje romeljve. 7 ϕ ϕ ϕ ϕ... 7 : 9.. o slučj romeljv m rsodelu verovtoć.... :, ć rsodelu verovtoć slučje romeljve. ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ.. : 9.. Ost slučju romeljvu -, o je: 8 8 : 8 8 8 : : : 9.. Slučj romeljv ozčv verovtoću ojvljvj dogñj u ezvs ot, r čemu je verovtoć ojvljvj dogñj u jedom otu.. Odredt zo fuju rsodele z slučje romeljve Z.
Verovtoć sttst zbr zdt..7.... :.... 7 :.... 9 Z :.... 9.. o je :. π. π. π. π. π, ć zo rsodele z s.. :.... 9.. o je π : π π π, ć zo rsodele z os. : 9.7. Gust f slučje romeljve defs je tervlu -,. Nć gustu rsodele verovtoć g slučje romeljve, o je.
Verovtoć sttst zbr zdt Ψ Ψ Ψ Ψ Ψ Ψ Ψ ± ' ' ' ', f f f f g 9.8. Nć gustu rsodele verovtoć g slučje romeljve, o je: tervlu -, b tervlu,. b ' ', f f g Ψ Ψ Ψ Ψ ± ' f g Ψ Ψ 9.9. Gust f slučje romeljve defs je tervlu,. Nć gustu rsodele verovtoć g slučje romeljve, o je: e, b l,, d e b e l l ' l l l f g Ψ Ψ e e f g e e e ' Ψ Ψ
Verovtoć sttst zbr zdt d e l ' f g Ψ Ψ ± Ψ ± f g l l l l ' l l 9.. Slučj romeljv defs je gustom rsodel verovtoć e f π tervlu < <. Nć gustu rsodele verovtoć g slučje romeljve. e g ' ', Ψ Ψ Ψ Ψ ± π 9..Slučj romeljv m Košjevu rsodelu verovtoć defsu gustom f π tervlu < <. Nć gustu rsodele verovtoć g slučje romeljve. ' Ψ Ψ g π π 9.. Slučj romeljv m uformu rsodelu verovtoć tervlu, π. Nć gustu rsodele verovtoć g slučje romeljve os.
Verovtoć sttst zbr zdt 7 e f,,, π π os ' ' ros, ros ros g Ψ Ψ Ψ Ψ π π π
Verovtoć sttst zbr zdt. NUMERIČKE KRKTERISTIKE SLUČJNIH PROMENLJIVIH.. Mtemtčo očevje, medj mod Mtemtčo očevje E sredj vredost slučje romeljve : u slučju dsrete slučje romeljve: E u slučju erede slučje romeljve: E f o je ϕ d, fuj slučje romeljve, td je mtemtčo očevje slučje romeljve jedo: E E ϕ ϕ ϕ f f d u dsretom slučju u eredom slučju Mtemtčo očevje fuje r r,,..., zv se občm mometom red r: m r E r r r f f d u dsretom slučju u eredom slučju Defj: o je F fuj rsodele slučje romeljve, td se rešeje jedče: F zv vrtlom red. Kvrtl red. zv se medjom slučje romeljve, tj. medj Me se dobj o rešeje jedče: F Me F Me.. Pored medj, orste se vrtl..7, rv treć. Defj: o je dsret slučj romeljv, td je mod je jverovtj vredost. o je ered slučj romeljv, td je mod msmum guste rsodele. Osobe mtemtčog očevj E E E E E E E E E E E 8
Verovtoć sttst zbr zdt.. Dserzj stdrdo odstuje rmetr oj mere rsturje vredost jedodmezole slučje romeljve oo etr rsturj Defj: Dserzjom slučje romeljve zv se mtemtčo očevje vdrt odstuj slučje romeljve od E: D E σ E E E E E f f Poztv ore z dserzje: d σ D zv se stdrdm odstujem devjjom. - u dsretom slučju -u eredom slučju D b rsturje rzlčth rsodel moglo d se uoreñuje, uvede je reltv mer rsturj, ozt od zvom oefjet vrjje: v σ E etrl momet r-tog red defše se formulom: µ E E r E r r E r E r E f f etrl momet se mogu zrzt omoću občh momet: o je ϕ r µ µ m µ m µ m d m m m m m m u dsretom slučju u eredom slučju m m m fuj slučje romeljve, od je etrl momet r-tog red slučje romeljve jed: µ E r ϕ E ϕ r ϕ E ϕ r ϕ E ϕ f f r d u dsretom slučju u eredom slučju 9
Verovtoć sttst zbr zdt Dserzj slučje romeljve je: D E ϕ Osobe dserzje E ϕ D D D D D D D D D..Koefjet orelje rmetr rsodele dvodmezole slučje romeljve etr rsturj vredost dvodmezole slučje romeljve, orters je sredjom tčom M,M, gde su M M mtemtč očevj slučjh romeljvh, oj se u dsretom eredom slučju defšu o: M E j j j j, dd d f, d f f m m. d M E Dlje mmo obče momete red rs: m j f j. j d m rs j m r r s f s j j, dd odle su mtemtč očevj M M obč momet rvog red: M m, M m Ztm, etrl momet red rs: η E rs r E E s j Momet E E E E E E m r E E r s E E f, j s j dd η se zove ovrjs, rzlom η η m M M ρ ρ ; σ σ E E E E σ σ σ σ je oefjet orelje z slučje velče. o su dve slučje romeljve ezvse od su eoreltve, obruto e mor d vž.
Verovtoć sttst zbr zdt Zd:.. Slučj velč m sledeć rsored: :. Odredt E D..... E E D E.....9 E...9..9 7.. Ne je :. Odredt, E D........... E... 7..9 E D E. E.. 7 8.9.9. 8.9.9. Slučj velč m gustu roorolu s tervlu,. Odredt joj E σ., f,,,
Verovtoć sttst zbr zdt d 7 E E D σ 9 9 7 D 9 d 9 d 9 8 7 8 7 8 8 9 7 9.. Dsret slučj romeljv m dve moguće vredost. Pr tome je. o je., E. D.. E.. D. E....9....9..,. ±.... :...........8.8.8 E......... /... ±.8.8 :..
Verovtoć sttst zbr zdt 7 9.. Dte su ezvse slučje romeljve :.... :. Odredt E,D D.... E. 7. 9.... D D 7. D.77.. Dt su zo rsodel ezvsh slučjh romeljvh. :..9.. :. Nć E D.... E E E. D D D.7..7.7. Odredt Me z slučju romeljvu, o je o defs fujom rsodele:, F. e, > F Me. e e Me Me.. / l Me l l Me.8. Odredt mtemtčo očevje, medju modus o slučj velč m fuju, rsodele: F, <., >, f F', < e
Verovtoć sttst zbr zdt E f ' d F Me. Me Me Me. 8 em m f, em modus.9. Izrčut oefjet vrjje z rsored zdt u tbel: rzm f f f,-7,, - - 7,-9, 8, - - 8 9,-, 7, - -,-,, - -8 7,-,, - -,-7, 8, 7,-9, 7 8, 7 7 9,-,,,-, 8,,-,, 8 rzm f f f f f,-7,, - -, 8, 7,-9, 8, - - 8 7,,,7 9,-, 7, - -, 78, 87,,-,, - -8 7, 7, 78,7,-,, - -, 899,,-7, 8, 7,,, 7,-9, 7 8, 7 7, 9 97, 9,-,,,,,,-, 8,, 9,,-,, 8, 7, 8,7-7 9 88
Verovtoć sttst zbr zdt f E N f E N D. σ..7.7 88.7 V.7%.7 9... Odredt E, E, E o je zo rsodele slučjog vetor, dt tblom. d l su ezvse? / /9 /9 /9 /9 /9 /9 / f f /9 /9 / /9 /9 / / /9 /9 / / f / / / - f / / - - E, E / /9 /9 /9 /9 /9 /9 S S f /9 /9 f /9 /9 /9 /9 f /9 /9 /9 E su ezvse jer je: E E E.. Izrčut oefjet orelje z dt dvodmezol rsored. / 7 8 9 7 8
Verovtoć sttst zbr zdt / 7 8 9 f *f *f 7 8 99 8 8 8 7 78 8 7 8 f 8 8 *f 78 98 9 9 7 *f 7 7 8 8 78 8 79 S* f * f * 9 8 f * 8 7 8 f * 8 7 7 8 f * 8 8 9 f * 8 8 7 f 7 * 9 9 f 8 * 7 Σ 8 E E 8. D 8.. 7 79 E.7 E 7. 9 D 7.9.7 7. 9. *.7 σ.8 σ. 78 ρ. 87.78*.8.. Izrčut oefjet orelje z dt dvodmezol rsored. / 7 8 / f f f 7 7 8 8 9 f 8
Verovtoć sttst zbr zdt f 8 8 f 7 S* f 7 7 f 8 f 9 f 8 88 Σ 8 E. E 7. 7 D. 97 E. E. 7 D. 9 σ.8 σ. 9 ρ. 7
Verovtoć sttst zbr zdt. NEJEDNKOST ČEIŠEV o slučj romeljv m oču dserzju, od je: D E ε, ODNOSNO E gde je ε rozvolj oztv broj. ε U vez s ovm omje se ejedost Mrov: < ε E >, odoso < > < D > ε E Zd:.... Dsret slučj romeljv m rsodelu verovtoć: :. Oet..8 E <. omoću ejedost Čebšev. E....8. E. D....8... E <.... Slučj romeljv m rsodelu verovtoć: :. Oet...... E < omoću ejedost Čebšev. E.8 E. D... Iz E <. 9.8 <. 8 ε D.9 odredt ε..9 E < ε.9 ε.9. ε ε.9 ε. 8
Verovtoć sttst zbr zdt.. Slučj romeljv m E stdrdo odstuje..pomoću ejedost Čebšev oet.<<.... <... 8.. Slučj romeljv m E stdrdo odstuje. Pomoću ejedost Čebšev oet -<<7. <. 9.. Mtemtčo očevje E brze vetr dtoj vs je m/h, do je stdrdo odstuje σ, m/h. Kole se brze vetr mogu očevt toj vs s verovtoćom e mjom od,9? E σ. D. ε.9 D..9 ε ε... ε.. ε...77 9..7. Slučj romeljv m rsodelu verovtoć: 8 :. Oet < omoću ejedost...... Mrov. E.. <..8. Sredj ve motor je gode. Oet verovtoću d dt motor eće rdt vše od god. <. 8 9
Verovtoć sttst zbr zdt. LINERNE REGRESIJE o je ozt zo rsodele slučjh velč,, odreñujemo uslove verovtoće u dsretom redom slučju: f / j / f f,, f j ;,,... o je zvsost meñu slučjm velčm delmč, rd se o uslovom mtemtčom očevju: oje u dsretom slučju m obl: u eredom: E / R R / f j R / d Slučj lere regresje rosmtv rv je α β. Leru regresju možemo odredt metodom jmjh vdrt. Prmetre α β odreñujemo z uslov d G α, β E α β m mmum. Dobjmo sstem jedč: fuj αe αe βe E β E j G G α β čjm rešvjem dolzmo do zrz z leru regresju. ρ o je rsolgju tč σ E E σ M,, trž se d fuj: m jmju vredost. G α, β α β Odtle je: α β čjom se zmeom u α β dobj ler regresj. 7
Verovtoć sttst zbr zdt Zd.. Odredt sredje vdrtu regresou rvu osovu zdte tbele odt: 8 9 7 8 9 9 8 9 7 8 8 88 9 9 Σ 8 α. β. 8 8.. Z odte u tbel.. M, odredt regresju........ 9...7. 7.87.. α. β..... Zo rsodele slučjog vetor, dt je tblom. Odredt regresju ρ. / / f f f 8 8 8 8 7
Verovtoć sttst zbr zdt 8 7 f 9 f f 8 8 S* f f 8 f 8 Σ 8 E E D E 7 E D. σ.89 σ. ρ. E ρ σ E σ.7...89.9.9.. Zo rsodele slučjog vetor, dt je tblom. Odredt metodom jmjh vdrt regresju ρ. / / f f f 8 8 8 8 f 7 f f 8 7 8 S* f 7 f f 9 Σ 9 7
Verovtoć sttst zbr zdt 7.78.8.8 9 9. 9.78 9 E E E E E α α α α α β β α β α β α β α
Verovtoć sttst zbr zdt DODTK - NEKE VŽNE DISKRETNE RSPODELE om rsodel,,, Pusoov rsodel P λ R {, },...,, λ> R q {,,,... } λ! λ e,,...,,,,... Geometrjs rsodel R {,,,... } 7
Verovtoć sttst zbr zdt 7 DODTK - NEKE VŽNE RSPODELE NEPREKIDNOG TIP Norml Gusov rsodel N m,σ dt e F m t σ π σ σ π σ m e f Φ Φ Φ Φ Φ σ σ σ σ σ σ m P m P P t t t T t P m b m m P b P.. Uform rsodel b U,, <b b b b F,,, [ ] [ ] b b b f,,,, Gm rsodel b G,, >, b> Γ,, dt e t b F t b b ; Γ,, e b f b b ; N d e b b Γ Γ! Esoejl rsodel E, >,, e F,, e f