LINEARNI STATISTIČKI MODELI

Transcript

1 LINEARNI TATITIČKI MODELI (LIN) Podstk ojmov m

2 I DEO Uvod u toju lh sttstčkh modl GLAVA (Elmt mtč lgb) Dfj - (Rlo olj skl) Rlo olj skl R j sku lh bojv ( b ) ztvo u odosu oj sbj možj lh bojv Nom: ku lh bojv B j ztvo sku ko z b B b B b B ; čmu su uobčj oj sbj možj lh bojv Dfj - (Vktosk osto) Vktosk osto R ( - dmzol l Eukldsk osto) j sku vkto ztvo u odosu vktosko sbj možj vkto sklom P tom j vkto (uđ z lh bojv): vkto kolo l vkto vst (tsoov vkto) Nom: [ ] Vktosko sbj vkto:

3 b Možj vkto sklom: R R Vkto su kol (lž stoj voj) ko: b b R b R b d Kostmo st ozk ko z uobčj oj sbj možj vodć ču d dmo s vktom Dfj - (Dmzj vkto Jdkost vkto Nul vkto) Dmzj vkto j boj lmt (komot koodt) vkto b Dv vkto su jdk ko su m jdk odgovjuć lmt Nul vkto j vkto odgovjuć dmzj s svm lmtm jdkm ul: Pm - ; 6 5 z R z R z u b 6 ( ) dm z d u ; u su kol vkto Dfj - (L kombj vkto) L kombj vkto j:

4 ; R R Vkto z j l kombj vkto Dfj -5 (L zvsost vkto) Vkto su lo zvs ko ostoj skl koj su sv jdk ul tko d j jhov l kombj jdk ul vktou Nom: vk vkto uoto su vkto lo zvs ; s mož zzt ko l kombj ostlh vkto Posld - (Lo zvs vkto) Ako od su vkto ovlč d su lo zvs Nom: Njd vkto ostlh vkto s mož zzt ko l kombj Ov osld s čsto kost z ovu l zvsost Pm - u 6 Vkto su lo zvs vkto: su lo zvs vkto b Vkto j l kombj vkto u 6 - u u u 6

5 su kol vkto Dfj -6 (Uutšj ozvod Duž vkto Jdč vkto) Uutšj ozvod (kl ozvod): [ ] R Nom: Z skl ozvod možj vkto sklom kostmo st ozk zv skl otč od čj d j ozvod jdk sklu R b Duž vkto (Nom vkto) ; čmu j (sum kvdt lmt vkto ) Jdč vkto j j vkto čj j duž ; j Pm - Vkto su jdč vkto: [ ] [ ] b Dfšmo vkto: v v kko j: [ ] v v [ ] - v v v v v v su jdč vkto

6 Nom: Vkto su sjl t jdčh vkto zv Elmt vkto: Lm - (kl ozvod ugo zmđu vkto) os j ugo zmđu vkto Pm - ( ) (- -) os ( ) 96 Dfj -7 (Otogol vkto) ko j: Vkto su otogol ( ) Nom: Ako su os ( ) os( ) 9 Dfj -8 (Oto-Nom vkto) Vkto su Oto-Nom ko su otogol ( ) ko su om ( ) Nom: Vkto su om ko m j om (duž) jd ostuk svođj om (jdč) vkto zov s omj

7 Pm -5 Vkto su oto-om vkto: - [ ] [ ] Vkto su otogol Ugo zmđu j 9 j j osovu Lm - ( ) os - Elmt vkto z m - su jdč vkto: [ ] [ ] b Vkto v v z m - su oto-om vkto: [ ] [ ] - v v v v Vkto su otogol osovu m - su om Lm - Ako su -ul vkto otogol od su lo zvs j j ; j Dokz: Posmtjmo otogol -ul vkto b ; b b d b b b b d Ptostvmo d j b β možjm s b mmo d b b b b β β β β β b

8 N osovu osld - vkto b su lo zvs vkto Pm -6 Posmtjmo otogol vkto (slk -) N osovu Lm - su lo zvs; ( ) - Vkto lž voj odđoj lom kombjom vkto (l kombj vkto R j ) Vkto z j lo zvst od z l su otogol vkto slk - b Posmtjmo otogol vkto (slk -) 5 Kko j ( ) j - b - j b Vkto lž u v odđoj lm kombjm vkto

9 ( b ; b R) Vkto z lž u v vkto 5 slk - Dfj -9 (Bz vktoskog osto) Bz vktoskog osto j svk sku lo zvsh vkto zvh Bz vkto omoću kojh s mož zzt svk vkto osto ko jhov l kombj Nom: Ako su bz vkto: otogol Bz j otogol bz oto-om Bz j oto-om bz Gm-shmdt-ovm ostukom otogolzj moguć j lo zvs vkto svst otogol vkto u u u Pm -7 Vkto z m -

10 v v obzuju dv oto-om bz B B : B B v v ( ) ( ) Nom: N sl -- j klsč Eukldsk osto Eukldsk osto R dfs bzom B R dfs bzom B sl --b st / v / / v B ( ) b B ( v v ) slk - Lm - vk vkto s mož jdozčo kzt u blo kom dugom vktoskom ostou st dmzj odgovjućm ojm om vktosk bz Pm -8 Dt j vkto u Eukldskom ostou s bzom B B ( )

11 ko Vkto s mož tstvt u vktoskom ostou s dugom bzom B ( v ) vkto v bv ; tom skl b tb oddt: omožmo v bv s v v b omožmo v bv s v v b b Kko su vkto v v (z Pm -) vkto ozt vkto mmo: 5 b 8 5v 8 ( ) ( ) v u ostou s bzom B ( v ) v 5 8 v Nom: Koodt 58 8 vkto u ostou s bzom B tstvljju ojkj vkto odgovjuć vkto v v bz B z zlku od koodt vkto: 5 z u ostou s bzom B 8 / / v / / b v / B ( ) b B ( v v ) slk - Dfj - (glso mt možj mt)

12 Pvougo mt A m A su sgls (komtbl) ko j čm j moguć možj mt: Pozvod mt [ ] [ b ] j mt [ ] A m k B k j j kbk j ; m ; j l k Lm - Mtčo možj j komuttvo (j uvk ABBA) C m j čmu j Lm -5 (Asotvost) Možj mt j sotvo l smo u stom otku mt (AB)CA(BC) Pm -9 Dt su vkto II b R 5 d Nom: Jdč mt d j mt oblk: I Dfj -

13 Mt A j mtč mt ko j: A A čmu j A tsoov mt mt A Rg mt j mksml d submt čj j dtmt zlčt od ul Mt A j vz mt ko j: A A AA I Mt A j gul m ko j: A dt ( A) Mt j Rgul mt (sgul uog g) ko j: A dt A ( ) Dfj - (L tsfomj Kvdt fom B-l fom) m L tsfomj vkto R osto dfs j s: z A ; čmu j A mt tsfomj m R u vkto z R osto R Nom: Glo mmo zm Am jl slučjv su: Z m z A čmu j A kvdt mt; z R Z m z čmu j vkto vt; R z R b Kvdt fom j A ; čmu j A smtč mt; R R B-l fom j z A ; čmu mt A mož d bud kvdt l vougo mt; z R Pm - A A b z A Dfj - (Poztv dftvost) Kvdt fom mt A su Poztvo dft ko: A >

14 Nom: Ako j A mt A j oztvo sm-dft (-gtv dft) Lm -6 (Rg mt) Rg mt j: Mml d mo zlčtog od ul b Mml boj lo zvsh vkto kolo/vst mt Pm k 8 5 k 7 k A dt(a) ; 5 M g(a) ; k k k Dfj - (Pjl zvod o vktou) Z fukju ( ) f jl zvod o vktou j: / / Posld - Z lu tsfmju kvdtu fomu A zvod su: / A / Pm - ( ) 5 ( ) 5 / 5

15 b A z / A 6 Lm -7 Z blok mt P R A Q P A R Q PE QG AB RE G E F B vž: G H PF QH RF H Pm - Ivz mt dgol mt D skl j: D 5 D 5 C [ ] C R Dfj -5 (Otogol mt) Kvdt mt j otogol ko j C C I Nom: Vkto kolo/vst otogol mt su mđusobo otogol b C C Lm -8 L tsfomj C j otogol tsfomj ko j kvdt mt C otogol mt P tom vkto kolo/vst mt C obzuju oto-omu bzu: Dfj -6 (Eukldsko odstojj zmđu vkto) d Eukldsko odstojj zmđu vkto : ( )

16 ; dfso j ko oztv ko kvdt fom ( ) ( ) čmu j: ( ) ( ) Lm -9 Otogol tsfomj C zdžv sto Eukldsko odstojj Dokz: d ( ) d ( C C ) ( C C ) ( C C ) ( ) C C( ) ( ) I( ) d ( ) Dfj -7 (Kktstč vdost kktstč vkto) Kktstč vdost kvdt mt B su ko kktstč jdč B λ I Nom: Mt B λi j kktstč mt odgovjuć fukj o λ j kktstč olom Kktstč vkto su vkto [ ] I z koj j: B λ l B λ ; čmu su λ odgovjuć kktstč vdost kktstčh vkto Lm - vk vkto koj j kol s kktstčm vktoom j tkođ kktstč vkto Dokz: Nk j ( ) λ kktstčh vdost/vkto; k j vkto R kol s td: B λ B / λ / B λ j kktstč vkto ( ) ( )

17 Pm - Dt j mt A koj j smtč mt A Odd kktstč vdost vkto ( )( ) λ λ λ λ λ λ λ λ λi A A λ (mmo bskočo mogo šj jdu komotu vkto bmo ozvoljo: ) A λ ( bmo ozvoljo) Dobl smo ov kktstčh vdost/vkto mt A: λ λ Dobom kktstčh vkto s odgovjućm omm: 5 dobjmo om kktstč vkto s stm kktstčm vdostm: 5 / 5 / λ λ Lm - Ako j A l smtč mt d td su kktstč vdost λ ; l bojv kktstč vkto su mđusobo otogol Nom:

18 Kko s osovu Lm - kktstč vkto mogu omt dobom s svojom dužom z smtč mt uvk možmo osmtt oto-om kktstč vkto ozčvmo h s Pm -5 Z mtu vkto ; j j j A z Pm - koj j smtč mt kktstč / / 5 5 su om vkto l su otogol: Dfj -8 (Glso odstojj) Glso odstojj vkto D ; ( ) dfso j ko oztv ko kvdt fom ( ) A( ) smtč oztvo dft mt A čmu j: ( ) A( ) Lm - v tčk [ ] koodtog očtk: D( ) koj su stom kosttom glsom odstojju od lž h-ls (z ls) čj su usmj os dt kktstčm vktom smtč oztvo dft mt A Duž oluos su: λ čmu su λ dgovjuć kktstč vdost (slk -5)

19 slk -5 (Kotu kv-dstt ls tčk kosttom glsom odstojju od (); ; A ) Pm -6 5 Z smtču mtu A odgovjuću kvdtu fomu 5 A odgovjuć ov kktstčh vdost/vkto λ λ su: ( ) ( ) λ 6 λ Dobj kktstč vkto su oto-om l ko mt A j oztvo dft (kvdt fom A j oztv z sv vdost vkto ) to j moguć dfst glso odstojj smm tm skt kvdsttu lsu odstojj tčk od koodtog očtk Nom: Z kv-dstt ls kostth odstojj od tčk () ukos ostojj vkto usmj os ls m dfso odstojj smm tm duž os Nm duž os su D 6 D čmu D j l boj Dfj -9 (ktl dkomozj)

20 ktl dkomozj smtč mt A d k j: A λ λ λ P čmu su ( ) vkto mt A k k λ ov kktstčh vdost oto-omh kktstčh k k k Pm -7 Z mtu A sktl dkomozj j: / A λ λ ; P čmu j λ λ / / / Lm - mtč mt d k j oztvo dft ko smo ko su sv kktstč vdost oztv bojv GLAVA (PARAMETRI I OCENE PARAMETARA VIŠE-DIMENZIONALNIH RAPODELA) Dfj - (Pmt vš-dmzolh sodl) Z slučj vkto čmu su slučj vlč dfs su sldć mt:

21 Vkto očkvh vdost: E ( ) b Dszoo-Kovjo mt: ( ) E E ( ) P čmu j: E {( )( )} [ ] j ( ) E Vjs slučj komot j {( )( j j )} j E Kovjs slučjh komot j ; j ; j Kolo mt: ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ [ ρ ] j P čmu j ρ ρ j j j jj d Mt stddh dvjj: V Gls vjs: dt ( ) Dfj - (Glso sttstčko odstojj) Glso sttstčko odstojj vkto dfso j ko oztv ko kvdt fom : D ( ) ( ) ( ) smtč oztv dft dszoo-kovjo mt ;

22 čmu j: ( ) ( ) Pm - lučj vkto [ ] Odd: Vkto očkvh vdost m Ufomu sodlu oblst (( ) : < < ) D b Dszoo-Kovjou mtu d Kolou mtu < f ( ) ; ; ( ) ( ) D D f ; < < ; v ( ) f ( ) ; < < ; v [ ] b E ( ) d ρ 6

23 Pm - 5 Posmtju s dv tčk dt vktom ko lzj 5 slučjog vkto z koj j ozt vjbltt dt dszoo- 5 kovjoom mtom Odd Eukldsko glso sttstčko odstojj tčk od koodtog očtk Koj od ovh tčk j blzu koodtom očtku zvso od osmth odstojj Eukldsko odstojj d ( ) odstojj: ( ) ( ) D ( ) tčk dth vktom dto j kvdtom gso sttstčko odstojj vkto zvso od smtč oztvo dft mt dto j kvdtom odstojj: ( ) ( ) Immo d j: d d ( ) 5 D( ) ( ) 77 D ( d > d D < D Rzultt v ogld zgld logčo P čuju Eukldskog stojj tčk košćo j voljsko odstojj dok j čuju glsog sttstčkog odstojj uzm u obz čj o vjblttu tčk slučjh komot vkto Nm vjbltt tčk vkto o vu komot j 5 vć j od vjbltt tčk vkto o vu komot koj zos Uzvš to u obz otžvmo vš tčk s vćm vjblttom od tčk s mjm vjblttom ( tkm tčkm ) zto j tčk sttstčk blz koodtom očtku od tčk

24 Lm - Z lu tsfomju slučjh omjvh q q q z z z Z C Z q C C vkto očkvh vdost dszoo-kovjo mt slučjog vkto Z dt su s : z C b C C z Posld - Ako j mt C z Lm - dt ko vkto vst [ ] td z lu tsfomju mmo: ( ) E b ( ) V Pm - Dt j slučj vkto s Odd vkto očkvh vdost dszoo-kovjou mtu lh kombj Z Z u fukj od - C - Z C Z Z Z

25 Z - C C - z C b z C C Nom: Ako slučj vlč mju st vjs ko su kol slučj vlč ( ) vkto Z dt su: od j dszoo-kovjo mt slučjog z C C Zč d su zb zlk dv kol slučj vlč s stom vjsom slučj vlč Z Z koj su tkođ kol mju stu vjsu ( Z ) V( Z ) ( ) V Pm - Ako j slučj vkto Z Y komot slučjog vkto vkto stddzovh omh slučjh Z Y dokzt d j: Kolo mt slučjog vkto Z dtč s koloom mtom slučjog vkto Z : ρ z ρ z

26 b Kolo mt slučjog vkto Z dtč s svojom dszookovjoom mtom: z z ρ Dokz: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) { } ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) V E Y V Y E E Y - Y Y Y Y E Y E Y E Y V Y E V ρ ρ ρ ( ) 5 z ρ ρ ρ ρ ρ ρ b z 5 z z z z ρ ρ ρ Dfj - (Mt odtk) - C - C Y Z -dmzol slučj vkto osovu uzok obm fom s mt odtk:

27 [ ] j ; P čmu j: j j-to mj -t komot vkto N osovu dobj mt odtk mogu s zčut o mt slučjog vkto ; O vkto očkvh vdost ( ) ( ) ( ) E E E j vkto uzočkh sd : ; čmu j j j uzočk sd -t komot vkto b O dszoo-kovjo mt [ ] j j uzočk dszoo-kovjo mt: [ ] j ; čmu j: ( )( ) k j jk k j sts o z j Nsts o dszoo-kovjo mt j:

28 j ( ) ( k )( jk j ) k [ ] j čmu j sts o z j O bolj ko s odzumvju uzo vlkog obm Kostćmo stsu uzočku dszoo-kovjou mtu z ojvj mt d Gls uzočk vjs j: dt( ) O kolo mt ρ j uzočk kolo mt R: R ; čmu j j j s s j s jj Lm - Uzok obm -dmzol slučj omjv dstvt ko lzj slučj -tok ( ) mož s u oz ( )

29 čmu su ; -dmzol slučj vkto kolo odgovjuć lzj Dkl mmo d j mt odtk [ ] vkto N osovu tog moguć j vkto uzočkh sd stsu uzočku dszookovjou mtu čut kostć mtč vktosk oj: N osovu mt odtk mmo: / čmu j vkto [ ] ( ) /( ) / b N osovu slučjog uzok ( ) mmo / ( j )( j ) Nommo d od ov t č čuj jogodj j d s mtom odtk j Pm - Dt j mt odtk Odd: Vkto uzočkh sd b Uzočku dszoo-kovjou mtu (stsu) Uzočku kolou mtu I - Nč Z / j mmo j

30 ( ) ( ) / / b Z ( )( ) k j jk k j / mmo ( ) ( ) ( ) { } ( ) ( ) ( ) { } ( )( ) ( )( ) ( )( ) { } / 7 / / s s s Uzočk dszoo-kovjo mt j 7 II - Nč Kostmo b Kostmo ( ) ( ) [ ] 7 - III Nč Kostmo j j ; čmu j b Kostmo ( ) ( )( ) [ ] [ ] [ ] j j j

31 75 R 75

32 GLAVA - (VIŠE-DIMENZIONALNA NORMALNA RAPODELA) Dfj - Glzj slučj vlč koj m jdo-dmzolu Nomlu sodlu N ( ) s fukjom gust vovtoć (fgv): f ( ) u -dmzol slučj vkto ( ) ( ) π N sodlom dt j s fgv : - < < s vš-dmzolom omlom f ( ) ( π ) ( ) ( ) z < < ; P tom j vkto očkvh vdost dszoo-kovjo mt Lm - Z fgv f ( ) s svod : f ( ) ( ) π - < <

33 P čmu j: - dt ( ) ( ) ( ) k ; k f b Z fgv ( ) f s svod : ( ) k f ; čmu j ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) k ov ρ ρ ρ π ρ Y Y Lm - Z stddzov om slučj vkto Y Z fgv j ( ) ( )( ) ( ) ( ) z z z z f ρ π P čmu j ( ) z ρ ρ Z E Pm - Z slučj komot vkto ( ) N : Y Z vž d ko su kol od su zvs slučj vlč (Nommo d obto vž bz tostvk o omloj sodl)

34 Cov ( Y ) ρ f ( ) f ( ) f ( ) Lm - Ako j ( λ ) kktstčh vdost/vkto oztvo dft mt od j ( λ ) kktstčh vdost/vkto Lm - Kotu fukj gust vovtoć -dmzol Noml sodl s kosttom vdošću (fgv) j h-ls dfs z vdost tko d z kvdt glsog sttstčkog odstojj tčk od t vž: ( ) ( ) ( ) ( ) P tom j t h-ls os su ojts u vm vkto (kktstčh vkto dszoo-kovjo mt ) Duž oluos su λ čmu su λ odgovjuć kktstč vdost v tčk koj s lz kosttom glsomsttstčkom odstojju od zdovoljvju: ( ) ( ) z sv tčk koj s lz uut h-ls vž: ( ) ( ) Pm - Posmt s -dmzol Noml sodl slučjog vkto Y ( ρ) : N

35 dt s ; čmu j vjs komot st: Odd kotuu (fgv) kosttoj vs od v Kko z I λ sld: ( ) λ λ λ λ λ Odgovjuć kktstč vkto zdovoljvju: ( ) ( ) ( ) R k λ Posl omj vkto mmo d j lčo tom z kktstču vdost λ osl švj sstm jdč osl omj vkto mmo d j dug kktstč vkto Kotu ls (slk --) koj s lz stoj vs h od v j: k h ; čmu j ( ) ( ) ρ π k ( ) ( ) kvdt glsog sttstčkog odstojj svh tčk h-ls sttstčk odjdko udljh od t

36 ρ / > slk -- ρ / ρ < slk - Pm -

37 Z slučju vlču koj m Nomlu ( ) N sodlu odd oblst z koju j glso sttstčko odstojj mj od kj tu oblst Odd vsu kotu tčk (f g v) koj su kosttom glsom sttstčkom odstojju od Z : N ( ) mmo [ ] R R R v tčk koj s lz uut kotu s kv-dsttm sttstčkom odstojjm zdovoljvju jdču: ( ) ( ) < l z ( ) N sodlu koj m (f g v) f ( ) π ( - ) ( ) ( - ) < - < < čmu su R ( - ) ( - ) Dkl sv tčk koj s lz uut oblst s glsm sttstčkm odstojjm mjm od zdovoljvju: < < Oddmo usmj os duž oluos kv-dstt kotu Kktstč vdost λ? λ I λ λ R Kktstč vkto? λ R ( ) U mogućost smo d ozvoljo zbmo vdost log boj smm tm zk tog uzmmo z kktstč vkto oztvu ojtju osl omj jdču dužu Nom: tvljjuć d j dobjmo d s sv tčk koj s lz glsom sttstčkom odstojju mjm od lz uut tvl [ ] (slk -

38 ) Nommo d j shodo vlu t sgm vovtoć d s slučjo tčk đ u tom tvlu jdk 997 : N() slk - Oddmo glso sttstčko odstojj tčk od t : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) D D D D Dkl tčk koj su stom glsom sttstčkom odstojju od t su sl gfčk dstvlj ko odstojj vć ko To još jdom otvđuj stktost ovko dfsog odstojj Ako oddmo občo Eukldsko stojj sth tčk od mmo: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) d d d d Ovo odstojj j vzulo kzo sl

39 III GLAVA TETOVI KOJI E ODNOE NA REDINE U ktčom du s čsto bvmo lzom sd (sdjh vdost-osk) uzok U tom kotkstu jd kos sodl j sodl koju j v do W Gosst koj j so od sudomom tudt (98 god) Ovd ćmo zmtt ovu sodlu oztu od mom tudtov t-sodl ztm ćmo zložt jo všdmzolo uoštj koj j do Hotllg 9 god Pod tog osmtćmo f-sodlu ( z zlčt kolčk) tkođ h-kvdt sodlu č jhov m oblm ovog oglvlj TET DA JEDNA REDINA IMA DATU VREDNOT Kd j vjs oulj ozt od hotzu H o : o možmo tstt kostć omlu sodlu sttstk j : Z o ( ) gd j z vlk uzok η mđutm ko m j ozto td g občo ojujmo ko uzok odo j d o vj bud vj uzok s ko zmmo s s u dfj stdd gšk sd dobćmo ou stdd gšk sd : s s ( ) η zmjujuć s jgovom oom s u jdč ( ) dobjmo : t ( ) s

40 sttstk t m t-sodlu s - st slobod Dkl z obsvj s sdom smo - obsvj j zvs dugm čm ko j sd dtog z bojv odđ od smo - bojv mogu bt odđ slučjo Kd j ovh - bojv dto od -t boj mo bt tkv d sd log z bud odđ boj Kostćmo smbol ν ( ) z ozku st slobod Pm : Nk j uzok od 6 gl uzt slučjo z vlk sj gl Požljo j mt gl duž 5 jd Kć gl s čšć lom duž mogu zzvt oštćj om u kojoj s kost Odgovjuć hotz z ovj m su : H : 5 H : 5 Ptostvćmo d ć tstj bt dobo kostć 5 U uzoku j blo : ; s ; s 6 ttstk t j : t s ( 5) 5 boj st slobod z ovj tst j : ν - 5 Iz tbl t-sodl z / 5 ν 5 lzmo d j t ± o Pošto j vdost sttstk z uzok mj od t odbujmo ultu hotzu smm tm sju ko otobu Kd b bo ožlj jdost tst udl b st č sm što b ktču vdost oddl z z / vo ml bsmo jdu ktču vdost Dodt om : t-sodl kovg stddzovoj omloj sodl kd boj st slobod st Dkl lm ν Kd j boj st slobod vć od 6 mož s oml sodl kostt umsto tudtov t-sodl s vom mlm gubtkom tčost Zto s kž d t-tst tb t ; ν kostt kod mlh uzok Mđutm zlk zmđu z t lž u tom d l j vjs ozt l ztm d l j oulj N ( ) d l j uzok vlk osovu tl gč tom sd uzok ć mt oksmtvo omlu sodlu z

41 F-sodl j odđ s dv st slobod ν ν Kd j ν od su F-sodl t-sodl vz s: ( ) F ; ν ; ν ν t ( 6 ) TET DA JE VEKTOR REDINA JEDNAK DATOM KONTANTNOM VEKTORU Ptostvmo d mmo sd uzok dobjh z obsvj koj su dobj z všdmzol sodl N ( Σ ) Ozčmo ov sd ko vkto : Ovj vkto sd j o sd oulj l [ ] l [ ] žlmo tstt hotzu d s vkto sd oulj zlkuj od vkto kostt : tj žlmo tstt hotz: l [ ] H : o H :

42 N osovu dfj jdkost vkto žlmo tstt hotz d j jdko z svko Dugm čm tstmo ulth hotz smulto tj H : td Poblm kojj s jvlj ovkvom ostuku j što s žlj smult vo zčjost mož tčo oddt suksvm košćjm jdodmzolh tvl N m tostvmo d žlmo tstt dv sd oulj odđujuć tvl hvtj kostć t-tst Ozčmo tvl z s I tvl z s I k su ob ov tvl odđ z 5 ( - 95 ) Td možmo ć : osovu ovljj uzok vovtoć d I kj j 95 vovtoć d I kj j tkođ 95 Ozčmo ov vovtoć s : v ( E ) 95 ( E ) o 95 v gd E zč dogđj : I kv E zč dogđj : I kv Psk ov dv tvl obzuj vougok hvtj odoso go ko sl lk Rgo ovj Ozčmo s E E (čtj E E ) stovmo ostvj E E Td j: ko su E E zvs dogđj ( E E ) v( E ) v( ) v E U mu zjdčk go hvtj m vovtoću 95 ko su E E zvs Mđutm E E su tko zvs ogotovu ko s odos odtk oslovh koomskh stžvj Ako E E su zvs mož s okzt d j

43 ( ) ( ) ( ) E E v z tvl s 95% vovtoć l možmo tčo utvdt smult vo zčjost U mjoj sttst smo čsto suoč s oblmom tstj vš sd ( l s utvđvjm oblst - go ovj ) smulto Dkl d b obzbdl žlj smult vo zčjost otb m j tst koj stuj sv sd smulto U jdodmzolom tstu smo kostl sttstku: ( ) s t ( 7 ) Kvdjuć ob st ov jdč mmo: ( )( ) ( ) s t ( 8 ) o logj Hotllgov T sttstk j: ( ) ( ) T ( 9 ) odoso s s s s s s s s s T U jdč ( 9 ) T su skl mt ( koj s du u s u jdodmzolom slučju ) dt j s: ( ) gd j L M M M M L L T F su u uzjmoj vz - ko j ult hotz tč od j: ( ) F T ; / ; / ( ) Pm tom ktč vdost z T mož bt sčut ko F-sodl

44 Nom: Iko kostmo dvost tst k ostoj smo jd ktč vdost z T Nom: U sjlom slučju kd j jdč ( ) s svod : U tom slučju j tkođ: Pm: ( t / ; ) F /; T / ; F /; koov vblm kvttvm stm kddt z osdlomsk studj su dt u tbl Tbl Vbl Kvtttv Pos: - vbl: kvt : 596 Ov studt su bl zb z gu studt koj u dovom studju su ml odgovjuć ush N osovu jh skustv ozto j d vblm skoom od 59 kvtttvm skoom od 69 studt ć bt usš žlmo ovt d l s osč skoov ov gu zlkuju od ovog ktj Odgovjuć hotz su: 59 : 69 H l [ ] [ 5969]

45 H 59 : 69 koj ćmo tstt s voom zčjost 5 D b oddll sttstku T otb su m sldć lmt: L L 9 Iz jdč ( 9 ) zčućmo T : T M M [ 9] 6 Ktč vdost z T dt jdčom ( ) j: j j: F 6 5 / 8 T / 8 5 Vdost T z uzok j vć od ktč vdost Odbujmo ultu hotzu zključujmo d s vkto sd oulj zčjo zlkuj od vkto OBLAT ( REGION ) POVERENJA Kd s osmt sd smulto oblst ovj ( tvl ovj u jdodmzolom ostou ) odđ j gom uutšjošću lsod u - dmzolom ostou Ako j sd osmto smulto td ( - ) ot oblst ovj bć ovč s

46 ( ) ( ) ( ) ( ) F ( ) koj sld z jdč ( 9 ) ( ) Jso sv vdost dsoj st jdč su skl zz lvoj st dfš kvdtu fomu o dkl jdč ( ) odđuj lsod čj t j U slučju jd sd jdč ( ) s du : ( ) ( ) F s ( ) Posl koovj ob st dobćmo: ± s Dkl j uut što j ozt zultt od j t ( ) ± s t / / LINEARNE KOMBINACIJE Ako m sodlu N ( Σ ) j vkto kolo kostt čj sv lmt su ul td m sodlu N ( Σ ) lčo ko j mt d q ( q ) g q td m sodlu N q ( C mc Σ ) Mogućost fomj loh kombj lmt vkto omogućv šj vlkog boj tstov kostć T Možmo m tstt odsku stvljjuć u km kolom mt C ul ldć m ć lustovt k moguć oj u dljm skjm kostćmo čju d l kombj vjbl s omlom sodlom tkođ mju omlu sodlu Rd lustj košćj lh kombj osmtćmo slučj smulth hotz koj s odos vh Ov hotz su kvvlt gd j C mt d q g q : q sd oulj N m žlmo d tstmo [ L ] [ L ] H : q H : C C o

47 C M L L L q - q M M L L L M U ovom slučju T sttstk j T s ktčom vdošću ( C C ) ( C C) ( C C ) T ( ) q q / q; q F / q; q ( 5) Pmdb ošto s hotz odos q sd oulj od s st slobod sttstk T q -q umsto - U sjlom slučju kd j jdč mt d hotzu l kombj H o : C C ) j st ko otuo smult ( hotz H : ) U tom slučju s jdč ( 5 ) du (9) st ( slobod z T ostju - Z š stžvj jkosj svojstvo tstov hotz lh kombj j mogućost zvvj uut smultoh tst z svh sd d utvđvj koj sd l gu sd j uzok odbvj smult ul hotz Z smult tst zmo d C j mlto jdč mt sdžo u jmu Nk j -t vkto kolo mt C Td T u jdč ( 5 ) ostj: T [ ( )] ( 5 ) Ako ov vdost vzlz vdost T zključujmo d j smult hotz odbč zbog -t sd Pmtmo d st slobod z T su - j j q kd kostmo sv vkto sdž u C z tstov hotz U oštm slučju kd j C jdč mt žlmo kostt sv j vkto q Nvo ko j C g q< td j ktč vdost z T jdk T q q U mu skoov kddt z PD ult hotz mož bt s u oblku:

48 H : Istjmo sd d l smo jd od sd uzokuj odbvj ult hotz Povćmo vo vbl skoov ( jhovu sdu ) Odoso tstjmo z 5 [ ] : H H l H 59 : : : l H 59 : ttstk T u jdč ( 5 ) j T ([ ][ 9] ) ( ) L [ ] Pošto sčut vdost sttstk T vzlz ktču vdost 5 zključujmo d vbl skoov su uzok odbvj ult hotz Dkl kvtttv skoov mo d vod do odbvj ult hotz D b ovl ovo tvđj tstjmo s 5 [ ] : ttstk T j H H T l H 69 : : : l H 69 ([ ][ 9] ) : L [ ] Jso sčuto T vzlz ktču vdost 5 zključujmo d j ošt hotz dbč zbog kvtttvh skoov Pm lh kombj j ogč slučjv kd su lmt mt ul jd N m žlmo tstt smultu hotzu:

49 : K K K H Ovd j q ( j m t smult hotz ) K su odgovjuć kostt Hotz možbt s u oblku: : K C H koj mož bt tst kostć L L L C gd j C mt d Zmom C u jdč ( 5 ) s K kostć (5 ) komltl b tst ov hotz OBLAT POVERENJA ZA LINEARNE KOMBINACIJE mult oblst ovj z C s mož ć z jdč (5) ktč vdost T Dkl C ć bt ogč s : ( ) ( ) q q F q q C C C C C C ) ( ) ( ) ( ( 6 ) s ( - ) % voom ovj Ako j C jdč mt td j q jdč ( 6 ) j fomlo kvvlt s ( ) Ako žlmo oddt (-)% tvl ovj z lu kombju ( gd j kolo mt C ) možmo st : q q F q ± ) ( ) ( N m kostć vbl kvtttv skoov z 5 sčućmo

50 q( ) F ( ) (8)(6) 8(8) q q 5 j j q Z vbl skoov mmo: Pm tom 95% tvl ovj j: 576 ± ± 69 l Pmdb : Itvl z kv 59 tvl z kv 69 Dkl tvl ovj j kvvlt tstju hotz kostć l kombj VEZA IZMEĐU INTERVALA POVERENJA Rkl smo d jdč ( 5 ) l ( 6 ) mogu bt uotblj z dtfkju osb sd ko uzočk odbvj smult hotz Ov odu ć bt vom kos u mogm slučjvm gd j > tško j l čk moguć zmslt (vzulo) zjdčk lsod ovj j s mo oblkovt u > dmzolom ostou Uošt kd j > momo ojktovt odgovjuću fguu lsod jdodmzol osto Rzmotćmo sd tkvu ojkju 656 (5969) slk Oblst ovj ( lsod ) sl ztvo j u vougoku vtkl hozotl lj su zb d budu tgt soljh v lsod Ov lj sku

51 osu u osu u Dkl ov lj dstvljju dmzj vougok u kom j ztvo lsod U ovom mu dmzj vougok dt su tvlm ovjm lh kombj s: [ ] [ ] koj smo uvo bl oddl Posmtjmo sd ovj lsod vougok vk ult hotz koj lž zv vougok bć odbč s tvlom ovj ls s lm kombjm Dugm čm vbl kvtttv skoov mogu bt dtfkov ko odgovo z odbvj smult ult hotz vk ult hotz koj lž uut ls bć hvć s ob oblst ovj ls l kombj Mđutm svk ult hotz koj lž zv ls uut vougok bć odbč ko zjdčk ls ovj l ć bt hvć ko tvl lh kombj Dkl ko j zjdčk hotz odbč k j uvk moguć kostt odgovjuć tst l kombj koj smo osl d b utvdl koj ( l koj ) sd uzokuju odbvj Ako uzok odbvj smult hotz mož bt s koj (l km) sdm št j td uzokovlo odbvj smult hotz? Mo d j kombj dvju sd Dkl vkto ko m 5 5 osć lj tgt oko odgovjućg lsod Ako j > vkto ć dstvljt hv tgtu odgovjuć lsod ovj Bskočo mogo ovh tgt ( l hv) osć lsodu ( ll lsod) mđuosto ć bt lms U tom smslu tvl ovj koj kost l kombj su smult