Diamica Structurilor şi Igierie Seismică. [v.04] http://www.ct.upt.ro/users/aurelstrata/ 5. Sisteme cu mai multe grade de libertate diamică 5.. Ecuaţii de mişcare, formularea problemei, metode de rezolvare O structură poate fi idealizată ca şi u asamblu de elemete (rigle, stâlpi, pereţi, etc.) itercoectate î oduri (vezi Figura 5.a). Deplasările odurilor reprezită gradele de libertate. Î geeral, îtr-o problemă plaă u od are 3 grade de libertate: două deplasări de od şi o rotire. Îtr-o problemă spaţială, u od are î geeral 6 grade de libertate: trei deplasări de od şi trei rotiri de od. U cadru pla cu două deschideri şi două ivele are 8 grade de libertate (vezi Figura 5.a). Ţiâd cot de faptul că deformaţiile axiale ale elemetelor pot fi egliate de cele mai multe ori petru cadre cu u umăr mic de ivele, umărul gradelor de libertate petru acest cadru poate fi redus la doar 8 (vezi Figura 5.b). Forţele diamice (momete şi forţe) sut aplicate î oduri (vezi Figura 5.), iar mometele p 3 (t) la p 8 (t) sut egale cu zero î cele mai multe cazuri practice. Figura 5.. Grade de libertate cosiderâd iclusiv deformaţiile axiale: 8 (a), grade de libertate cu deformaţiile axiale egliate: 8 (b), Chopra, 00. Figura 5.. Forţe diamice p(t) aplicate î oduri. 5... Forţele elastice Deplasările odurilor u sut î relaţie cu forţele odale f S (vezi Figura 5.3a). Petru sistemele liiare forţele odale pot fi determiate pe baza pricipiului suprapuerii efectelor şi a coeficieţilor de rigiditate. Blocâd toate gradele de libertate şi impuâd o deplasare uitară pe direcţia gradului de libertate, î blocae vor apărea reacţiui pe direcţia gradelor de libertate cosiderate. Coeficietul de rigiditate k i este forţa pe direcţia gradului de libertate i datorată uei deplasări uitare de-a lugul gradului de libertate. Spre exemplu, î Figura 5.3b sut prezetate forţele k i (i =,,, 8) ecesare păstrării echilibrului î cazul 66
5. Sisteme cu mai multe grade de libertate diamică impuerii uei deplasări uitare u =. Cu toate că toate forţele k i di Figura 5.3 sut reprezetate cu semele lor pozitive, uele ditre acestea vor fi egative petru a fi compatibile cu deplasările impuse. Cuoscâd coeficieţii de rigiditate k i, forţele odale f Si pe direcţia gradului de libertate i, asociate deplasării u, =,,, se obţi folosid pricipiul suprapuerii efectelor (vezi Figura 5.3a): fsi = kiu + kiu +... + kiu +... + kiu (5.) Ecuaţiile corespuzătoare i=,,, pot fi scrise î formă matriceală: sau, î formă compactă: fs k k k k u f k S k k k u = f k S k k k u [ f ] [ k]{ u} S (5.) = (5.3) ude [k] este matricea de rigiditate a structurii, care este o matrice simetrică (k i = k i ). (a) (b) Figura 5.3. Compoeta de rigiditate petru u cadru pla (a), coeficieţii de rigiditate petru u = (b), Chopra, 00. 5... Forţele de amortizare Î mod similar cu matricea de rigiditate poate fi determiată şi matricea de amortizare. Astfel, dacă se blochează toate gradele de libertate şi se impue o viteză uitară pe direcţia gradului de libertate, vor fi geerate forţe pe direcţia gradelor de libertate cosiderate. Coeficietul de amortizare c i este forţa pe direcţia gradului de libertate i datorată uei viteze uitare de-a lugul gradului de libertate. Cuoscâd coeficieţii de amortizare c i, forţele odale f Di pe direcţia gradului de libertate i, asociate vitezei u, =,,, se obţi folosid pricipiul suprapuerii efectelor (vezi Figura 5.4): fdi = ci u + ci u +... + ciu +... + ciu (5.4) Ecuaţiile corespuzătoare i =,,, pot fi scrise î formă matriceală: sau, î formă compactă: fd c c c c u f c D c c c u = (5.5) f c D c c c u [ f ] [ c]{ u} D = (5.6) 67
Diamica Structurilor şi Igierie Seismică. [v.04] http://www.ct.upt.ro/users/aurelstrata/ ude [c] este matricea de amortizare a structurii. Figura 5.4. Compoeta de amortizare petru u cadru pla (Chopra, 00). 5..3. Forţele de ierţie Dacă se blochează toate gradele de libertate şi se impue o acceleraţie uitară pe direcţia gradului de libertate, coform pricipiului lui D'Alambert vor fi geerate forţe de ierţie pe direcţia gradelor de libertate cosiderate. Coeficietul masei m i este forţa pe direcţia gradului de libertate i datorată uei acceleraţii uitare de-a lugul gradului de libertate. Spre exemplu, î Figura 5.5b sut prezetate forţele m i (i =,,, 8) ecesare păstrării echilibrului î cazul impuerii uei acceleraţii uitare u =. Cuoscâd coeficieţii maselor m i, forţele odale f Ii pe direcţia gradului de libertate i, asociate acceleraţiei u, =,,, sut obţiute folosid pricipiul suprapuerii efectelor (vezi Figura 5.5a): fii = miu + mi u +... + miu +... + mi u (5.7) Ecuaţiile corespuzătoare i =,,, pot fi scrise î formă matriceală: sau, î formă compactă: fi m m m m u f m I m m m u = f m I m m m u [ f ] [ m]{ u} ude [m] este matricea masei structurii, care este o matrice simetrică (m i = m i ). I (5.8) = (5.9) (a) (b) Figura 5.5. Compoeta de masă petru u cadru pla (a), coeficieţii de masă petru u = (b), Chopra, 00. Masa uei structuri este distribuită î îtreaga structură (vezi Figura 5.6a). otuşi, î cele mai multe cazuri, masa poate fi cosiderată cocetrată î odurile structurii. Procedura costă î cocetrarea masei 68
5. Sisteme cu mai multe grade de libertate diamică elemetelor la fiecare capăt al acestuia pe baza pricipiilor staticii, urmată de îsumarea masei elemetelor care cocură î odurile corespuzătoare (vezi Figura 5.6b şi c). Î geeral, compoetele de rotire ale maselor au o iflueţă mioră asupra răspusului diamic al structurilor şi sut egliate. Î cazul uui cadru pla, masele obţiute î acest mod vor avea compoete pe cele două direcţii de traslaţie (x, y). Cosiderâd barele structurii ifiit rigide axial (ipoteză folosită şi la stabilirea matricei de rigiditate), masele structurii pot fi cosiderate cocetrate la ivelul plaşeelor structurii, acţioâd doar pe direcţia x (Figura 5.6d). Astfel, petru exemplu di Figura 5.5, masa asociată uei acceleraţii uitare u = este m = m (ude m = m a + m b + m c, vezi Figura 5.6c), iar m i = 0 petru i =, 3,, 8. d e m f b c m b ma m b mc m (a) (b) (c) (d) Figura 5.6. Cocetrarea maselor î oduri (a - c) şi la ivelul plaşeelor (d) petru u cadru pla. Î geeral, petru mase cocetrate î oduri, matricea maselor este diagoală: m = 0 petru i şi m = m sau 0 (5.0) i ude m este masa asociată gradului de liberate atuci câd acesta reprezită o traslaţie, şi m = 0 petru u grad de libertate care reprezită o rotire de od. La structurile multietaate spaţiale, umărul elemetelor di matricea maselor poate fi redus cosiderâd efectul de şaibă rigidă a plaşeelor. Astfel, plaşeele care posedă o rigiditate foarte mare î plaul lor (cum ar fi plaşeele de beto armat) sut cosiderate de o rigiditate ifiită î plaul lor dar flexibile î afara plaului. Datorită mişcării de corp rigid, deplasările orizotale (după x şi y) ale odurilor de la ivelul uui plaşeu u sut idepedete, şi pot fi reduse la doar trei grade de libertate defiite î cetrul de greutate al fiecărui plaşeu: două deplasări orizotale şi o rotire faţă de axa verticală (vezi Figura 5.7a). Atuci câd plaşeul u poate fi cosiderat rigid (de exemplu î cazul plaşeelor di lem), masele trebuie atribuite fiecărui od î parte, proporţioal cu aria aferetă odului respectiv (vezi Figura 5.7b). (a) (b) Figura 5.7. Grade de libertate petru cadre spaţiale: plaşee rigide î plaul lor (a); aria aferetă petru distribuirea masei î oduri la plaşee flexibile î plaul lor (b), Chopra, 00. 5..4. Ecuaţia de mişcare: forţe diamice Răspusul diamic al uui sistem cu mai multe grade de libertate diamică (MGLD) acţioat de forţe u t u t, =. Forţele diamice diamice este alcătuit di deplasările ( ) u t, vitezele ( ) şi acceleraţiile ( ) 69
Diamica Structurilor şi Igierie Seismică. [v.04] http://www.ct.upt.ro/users/aurelstrata/ { p( t )} pot fi cosiderate distribuite la compoeta de rigiditate { S ( )} { fd ( t )} şi compoeta de masă { fi ( t )} (vezi Figura 5.8): { fi ( t) } { fd ( t) } { fs ( t )} { p( t) } Îlocuid ecuaţiile (5.3), (5.6) şi (5.9) î ecuaţia (5.) obţiem: f t, compoeta de amortizare + + = (5.) [ m]{ u} + [ c]{ u} + [ k]{ u} = { p( t) } (5.) ceea ce reprezită u sistem de ecuaţii difereţiale, a cărui rezolvarea duce la determiarea deplasărilor p t. Ecuaţia (5.) reprezită echivaletul MGLD al ecuaţiei (.6) { u( t )} geerate de acţiuea diamică { ( )} determiată petru u sistem SGLD. (a) Deplasări Viteze u Acceleraţii u u (b) Deplasări u (c) Viteze u (d) Acceleraţii u Figura 5.8. Sistemul MGLD complet (a), compoeta de rigiditate (b), cea de amortizare (c) şi de masă (d), Chopra, 00. 5..5. Ecuaţia de mişcare: acţiuea seismică Petru u umăr mare de structuri igiereşti toate gradele de libertate diamică sut deplasări î aceeaşi direcţie cu mişcarea seismică. Două astfel de structuri, u cadru multietaat şi u tur, sut prezetate î Figura 5.9. Deplasarea tereului este otată cu u g, deplasarea totală a masei m cu u, iar deplasarea relativă ître această masă şi tere cu u. Relaţia ditre aceste deplasări este dată de expresia: ( ) ( ) ( ) u t = u t + u t (5.3) t g oate cele astfel de ecuaţii formulate petru fiecare masă pot fi combiate î formă vectorială: ude {} este u vector uitate. t { u ( t) } { u( t) } ug ( t){ } = + (5.4) Ecuaţia (5.) derivată petru cazul uor forţe diamice este valabilă î cotiuare, dar î cazul mişcării p t =, deoarece u există forţe diamice aplicate maselor structurii: tereului forţele diamice { ( )} 0 Ţiâd cot de faptul că doar deformaţiile relative { fd ( t )}, iar forţele de ierţie { I ( )} care, ţiâd cot de relaţia (5.3) devie: { fi ( t) } { fd ( t) } { fs ( t )} { 0} + + = (5.5) t u produc forţe elastice { S ( )} t f t şi de amortizare f t sut geerate de acceleraţia totală a maselor, ecuaţia (5.5) devie: t [ m]{ u } + [ c]{ u} + [ k]{ u} = { 0} (5.6) 70
5. Sisteme cu mai multe grade de libertate diamică [ m]{ u} + [ c]{ u} + [ k]{ u} = [ m]{ } u ( t) (5.7) Relaţia (5.7) reprezită ecuaţii difereţiale. Rezolvâd acest sistem de ecuaţii se pot determia deplasările relative u (t) ale sistemului MGLD sub acţiuea acceleraţiei tereului u g (t). Matricea de rigiditate [k] se referă doar la deplasările orizotale u şi se poate obţie pri codesare statică (Chopra, 00), petru a elimia gradele de libertate corespuzătoare deplasărilor verticale şi rotirilor de oduri. Di această cauză, matricea [k] este cuoscută sub deumirea de matrice de rigiditate laterală. Cu toate acestea, î aaliza statică a structurii se va folosi matricea de rigiditate completă a structurii. Comparaţia ecuaţiilor (5.) şi (5.7) idică faptul că ecuaţia de mişcare a uui sistem MGLD supus uei u t ) este echivaletă ecuaţiei de mişcare a sistemului MGLD mişcări seismice (acceleraţia tereului g ( ) acţioat de forţe diamice egale cu m u ( t ) poate fi îlocuită cu forţe seismice efective: g g aplicate maselor (vezi Figura 5.0). Astfel, mişcarea tereului { peff ( t )} [ m]{ } ug ( t) = (5.8) Ecuaţia de mişcare (5.7) este valabilă umai petru cazul î care toate gradele de libertate diamică ale structurii sut deplasări orizotale î aceeaşi direcţie cu mişcarea seismică. Valabilitatea acestei ecuaţii mai este limitată şi de ipoteza că toate reazemele structurii se deplasează î fază, adică u există deplasări relative ître reazemele structurii. Această ultimă ipoteză este rezoabilă petru maoritatea structurilor igiereşti. Mişcarea difereţiată a reazemelor structurii poate fi ecesară petru structurile cu deschideri foarte mari. Figura 5.9. Schematizarea a două sisteme MGLD: u cadru multietaat (a) şi u tur (b), Chopra, 00. Figura 5.0. Forţe seismice efective (Chopra, 00). 7
Diamica Structurilor şi Igierie Seismică. [v.04] http://www.ct.upt.ro/users/aurelstrata/ 5.. Vibraţii libere ale sistemelor MGLD 5... Moduri proprii de vibraţie ale sistemelor MGLD eamortizate Î cazul vibraţiilor libere eamortizate ecuaţia de mişcare (5.) petru sisteme MGLD devie: [ m]{ u} + [ k]{ u} = { 0} (5.9) Ecuaţia (5.9) reprezită u sistem de ecuaţii difereţiale omogee, ude este umărul de GLD. Cuoscâd codiţiile iiţiale: { u} = { u( 0) } { u} = { u( 0) } la timpul t = 0 se poate determia soluţia {u(t)} a ecuaţiei (5.9). (5.0) Figura 5. prezită grafic vibraţiile libere eamortizate ale uui cadru cu două ivele. Vibraţiile sut iiţiate de deplasările iiţiale reprezetate pri curba a di Figura 5.b, viteza iiţială fiid zero. Răspusul î timp al deplasărilor u celor două mase este reprezetat î Figura 5.d, iar deformata structurii la timpul a, b şi c î Figura 5.b. Cu toate că răspusul î timp al celor două mase reprezită o mişcare periodică, spre deosebire de oscilaţiile libere eamortizate ale sistemelor SGLD, răspusul î timp al deplasării celor două mase ale sistemului MGLD u este o mişcare armoică. Î plus, deformata structurii (raportul u /u ) variază î timp, aspect care este evidet di observaţia deformatei structurii la timpul a, b şi c. Figura 5.. Vibraţii libere ale uui sistem eamortizat cu două GLD (a); deformata structurii la timpul a, b şi c (b); coordoatele modale q (t) (c); răspusul î timp al deplasării (d), Chopra, 00. Cu toate acestea, pot fi găsite aumite forme ale deformatei iiţiale petru care structura va efectua oscilaţii armoice, iar forma deformată a structurii (raportul u /u ) va rămâe emodificată. După cum se poate observa di Figura 5. şi Figura 5.3, petru sistemul cu două grade de libertate există două astfel de distribuţii ale deplasărilor iiţiale. Ambele deplasări atig valoarea maximă la acelaşi timp şi trec pri poziţia de echilibru î acelaşi timp. Fiecare ditre cele două forme deformate poartă umele de moduri proprii de vibraţie ale uui sistem MGLD şi se otează pri {φ }. Se poate observa că deplasările celor două mase sut î acelaşi ses î primul mod propriu de vibraţie (sau modul fudametal de vibraţie - Figura 5.), dar au sesuri opuse î ce de-al doilea mod propriu de vibraţie (Figura 5.3). Puctul de iflexiue se umeşte od, iar umărul de oduri creşte odată cu creşterea umărului modului propriu de vibraţie. 7
5. Sisteme cu mai multe grade de libertate diamică Figura 5.. Vibraţii libere ale uui sistem eamortizat cu două GLD î modul fudametal (a); deformata structurii la timpul a, b, c, d şi e (b); coordoata modală q (t) (c); răspusul î timp al deplasării (d), Chopra, 00. Figura 5.3. Vibraţii libere ale uui sistem eamortizat cu două GLD î modul doi (a); deformata structurii la timpul a, b, c, d şi e (b); coordoata modală q (t) (c); răspusul î timp al deplasării (d), Chopra, 00. Perioada proprie de vibraţie a uui sistem MGLD reprezită timpul ecesar efectuării uei oscilaţii complete î uul di modurile proprii de vibraţie. Fiecărei perioade proprii de vibraţie îi vor corespude o pulsaţie proprie de vibraţii ω şi o frecveţă proprie de vibraţie f, vezi relaţiile (.0) şi (.). Fiecărei perioade proprii de vibraţie îi corespude u mod propriu de vibraţie φ { φ φ } =, =,. Modul propriu de vibraţie căruia îi corespude perioada mai mare, respectiv pulsaţia mai mică are idicele şi se umeşte modul fudametal de vibraţie. 73
Diamica Structurilor şi Igierie Seismică. [v.04] http://www.ct.upt.ro/users/aurelstrata/ Reprezetarea grafică a deplasărilor îregistrate de u sistem MGLD care efectuează işte oscilaţii libere eamortizate î modul propriu de vibraţie (vezi Figura 5. şi Figura 5.3) poate fi exprimată matematic pri: { u( t )} q ( t ){ φ} = (5.) Deformata {φ} u variază î timp, iar variaţia î timp a deplasărilor este dată de o fucţie armoică: ( ) cosω si q t = A t + B ω t (5.) ude A şi B sut costate de itegrare care pot fi determiate cuoscâd codiţiile iiţiale. Combiâd ecuaţiile (5.) şi (5.) obţiem: { u ( t )} { φ} ( A cosω t B siω t ) = + (5.3) ude ω şi {φ} sut ecuoscute. Îlocuid relaţia (5.3) î ecuaţia de mişcare (5.9) obţiem: [ m ]{ } [ k ]{ } q ( t ) { 0} ω φ + φ = Această ecuaţie are două soluţii. Prima soluţie corespude q (t) = 0 ceea ce implică { ( )} { 0} sistemul u oscilează (soluţia baală). Cea de-a două soluţie se obţie petru: sau [ k]{ φ} ω [ m]{ φ} (5.4) u t =, adică = (5.5) ([ k] ω [ m] ){ φ} { 0} = (5.6) care se umeşte problemă de valori proprii şi coduce la determiarea scalarilor ω şi a vectorilor {φ}. Ecuaţia (5.6) are soluţii eule petru: ([ k] ω [ m] ) det = 0 (5.7) Pri dezvoltarea determiatului se obţie u poliom de ordiul fucţie de ω cuoscut sub umele de ecuaţie caracteristică. Această ecuaţie are rădăcii reale şi pozitive ale ω, care se umesc valori proprii. Odată cuoscute valorile proprii ω, se pot determia cei vectori proprii corespuzători {φ}, cuoscuţi sub deumirea de moduri proprii. Rezolvâd problema de valori proprii u se obţi amplitudiile absolute ale vectorilor {φ}, ci doar valori relative ale celor deplasări φ ( = ), adică doar forma deformatei modale. Cele valori proprii şi cele moduri proprii pot fi reprezetate compact î formă vectorială. Astfel, modul propriu {φ} corespuzător pulsaţiei ω are elemetele φ ( = ), ude reprezită gradele de libertate. Cele moduri proprii pot fi reprezetate matriceal sub forma: { } [ ] { φ} { φ} φ φ φ φ Φ = = (5.8) Matricea [Φ] se umeşte matricea modală a problemei de valori proprii. Cele valori proprii ω pot fi asamblate îtr-o matrice diagoală [Ω ], care se umeşte matricea spectrală a problemei de valori proprii: ω Ω = (5.9) ω Folosid otaţiile (5.8) şi (5.9), ecuaţia (5.5) se poate scrie î formă compactă sub forma: [ ][ ] [ ][ ] k Φ = m Φ Ω (5.30) 74
5. Sisteme cu mai multe grade de libertate diamică 5... Ortogoalitatea modurilor proprii Modul propriu satisface ecuaţia (5.5). Îmulţid această relaţie la stâga cu { φ } (petru r ) obţiem: r { φ} [ k]{ φ} ω { φ} [ m]{ φ} = (5.3) r r Similar, modul propriu r satisface ecuaţia (5.5). Îmulţid relaţia corespuzătoare modului r la stâga cu { φ } obţiem: { φ} [ k]{ φ} ω { φ} [ m]{ φ} = (5.3) r r r raspusa uei matrice simetrice este egală cu ea îsăşi, iar traspusa produsului a două matrice este egală cu produsul î ordie iversă a matricelor traspuse. Aplicâd această proprietate matricelor simetrice de masă şi rigiditate, şi calculâd traspusa relaţiei (5.3) obţiem: { φ} [ k]{ φ} ω { φ} [ m]{ φ} = (5.33) r r Făcâd difereţa ditre ecuaţiile (5.33) şi (5.3), obţiem: ( ω ω ){ φ} [ m]{ φ} = 0 (5.34) r r Astfel, petru ω ω r, care petru sisteme cu pulsaţii pozitive implică ω ω r coduce la expresia: Îlocuid ecuaţia (5.35) î relaţia (5.3) rezultă: { } [ m]{ } 0 φ φ = ω ω r (5.35) { } [ k]{ } 0 r φ φ = ω ω r (5.36) Relaţiile (5.35) şi (5.36) demostrează proprietatea de ortogoalitate a modurilor proprii de vibraţie. Ortogoalitatea modurilor proprii de vibraţie implică faptul că următoarele matrice sut diagoale: ude elemetele diagoale sut: r [ ] [ ] K [ k][ ] [ M ] [ ] [ m][ ] Φ Φ Φ Φ (5.37) { φ} [ ]{ φ} { φ} [ ]{ φ} K = k M = m (5.38) Deoarece matricele [m] şi [k] sut pozitive, elemetele de pe diagoalele matricelor [M] şi [K] sut de asemeea pozitive. Elemetele celor două matrice se raportează pri: K = ω M (5.39) Această relaţie poate fi demostrată îlocuid expresia (5.5) î defiiţia (5.38)a. 5..3. ormalizarea modurilor Rezolvarea problemei de valori proprii (5.5) duce la determiarea vectorilor proprii, rezultatul reprezetâd îsă doar valorile relative ale elemetelor acestor vectori. Orice alt vector proporţioal cu {φ} va satisface ecuaţia (5.5). Petru a stadardiza modurile proprii de vibraţie, acestea se ormalizează. Ueori ormalizarea poate costa î egalarea valorii maxime a uui mod propriu cu uitatea. Alteori poate fi avataoasă egalarea valorii corespuzătoare uui aume GLD (de exemplu deplasarea laterală la ultimul ivel al uei structuri multietaate) cu uitatea. Î aplicaţiile teoretice şi aplicaţiile î programe de calcul este uzuală ormalizarea modurilor proprii astfel ca M să aibă valori uitare: { φ} [ ]{ φ} [ ] [ ][ ] [ ] M = m = Φ m Φ = I (5.40) ude [I] este matricea uitate. Ecuaţia (5.40) idică faptul că modurile proprii obţiute î acest mod sut u doar ortogoale, ci şi ormalizate faţă de matricea [m]. Astfel de moduri proprii se umesc ortoormale. Î acest caz relaţiile (5.38)a şi (5.37)a devi: 75
Diamica Structurilor şi Igierie Seismică. [v.04] http://www.ct.upt.ro/users/aurelstrata/ 5..4. Dezvoltarea modală a deplasărilor { } [ ]{ } [ ] [ ] [ ][ ] K = φ k φ = ω M K k = ω = Φ Φ = Ω (5.4) Orice set de vectori idepedeţi poate fi folosit petru reprezetarea uui alt vector de ordiul. Modurile proprii pot fi folosite pe postul uor astfel de vectori idepedeţi. Dezvoltarea modală a uui vector arbitrar {u} este de forma: r r (5.4) r= { u} = { φ} q = [ Φ]{ q} q q q q ude q r sut valori scalare deumite coordoate modale, iar { } { } =. Atuci câd se cuosc modurile proprii {φ} r, petru u vector {u} dat, se pot determia coordoatele modale q r multiplicâd ambele părţi ale ecuaţiei (5.4) cu { } [ m] φ : m u = m q r r (5.43) r= { φ} [ ]{ } { φ} [ ]{ φ} Ca urmare a proprietăţii de ortogoalitate (5.35), toţi termeii sumei sut egali cu zero, cu excepţia celor corespuzători r =. Astfel: Ambele produse fiid valori scalare, se poate scrie: 5..5. Soluţia ecuaţiei de mişcare q { φ} [ ]{ } { φ} [ ]{ φ} m u = m q (5.44) { φ} [ ]{ } { φ} [ m]{ φ} { φ} [ ]{ } m u m u = = (5.45) M Răspusul diamic al uui sistem eamortizat care efectuează oscilaţii libere se obţie rezolvâd ecuaţia de mişcare (5.9) cuoscâd codiţiile iiţiale (5.0). S-a arătat că rezolvarea ecuaţiei de mişcare a codus la problema de valori proprii (5.5). Presupuâd această problemă rezolvată şi cuoscâd pulsaţiile şi vectorii proprii, soluţia geerală a ecuaţiei de mişcare (5.9) se poate determia pri suprapuerea răspusului idividual î fiecare mod propriu dat de ecuaţia (5.3): (5.46) = { u( t )} = { φ} ( A cosωt + B siωt) ude A şi B sut costate de itegrare. Petru determiarea acestora este evoie de expresia vectorului vitezelor: Petru t = 0 ecuaţiile (5.46) şi (5.47) devi: { u( t )} = { φ} ω ( A siωt + B cosωt ) (5.47) = u 0 A u 0 B { ( )} = { } { ( )} = { } φ φ ω (5.48) = = Cuoscâd deplasările şi vitezele iiţiale { u ( 0) } şi { ( 0) } u, fiecare di ecuaţiile (5.48) reprezită u sistem de ecuaţii algebrice liiare cu ecuoscutele A, respectiv B. Îsă rezolvarea simultaă a acestor ecuaţii u 0 u 0. este ecesară, deoarece acestea pot fi iterpretate ca şi o dezvoltare modală a vectorilor { u ( )} şi { ( )} Folosid ecuaţia (5.4), se poate scrie: { u( 0) } = { φ} q ( 0) { u( 0) } = { φ} q ( 0) = = (5.49) 76
5. Sisteme cu mai multe grade de libertate diamică ude, aalogic relaţiei (5.45), coordoatele modale q ( 0) şi ( 0) q ( ) { φ} [ ]{ ( )} q sut date de: { φ} [ ]{ ( )} m u 0 m u 0 0 = q ( 0) = (5.50) M M Ecuaţiile (5.48) şi (5.49) sut echivalete, ceea ce implică A = q ( 0) şi ( 0) expresii î relaţia (5.46) obţiem: sau, alterativ: ude { ( )} { } ( ) ( 0) q u t = φ q 0 cosωt + siω t = ω { u( t )} { φ} q ( t) B = q ω. Îlocuid aceste (5.5) = (5.5) = ( 0) q q ( t) = q ( 0) cosωt + siωt ω (5.53) reprezită variaţia î timp a coordoatelor modale, care sut similare expresiei oscilaţiilor libere eamortizate ale uui sistem SGLD. Ecuaţia (5.5) reprezită soluţia ecuaţiei de mişcare î cazul oscilaţiilor libere eamortizate ale uui sistem MGLD. Aceasta costă di vectorul deplasărilor {u} care variază î timp 0 u 0. Dacă se cuosc pulsaţiile proprii ω şi şi se datorează deplasărilor iiţiale u ( ) şi vitezelor iiţiale ( ) vectorii proprii {φ}, partea dreaptă a relaţiei (5.5) este cuoscută, cu expresiile q ( 0) şi ( 0) (5.50). q date de 77