9 PIMJENE INTEGALA Povšn Volmen Dljn lk Povšn plohe 5 Težše 6 Sng, enegj 9 POVŠINA POVŠINA U PAVOKUTNIM KOODINATAMA Ako s fnkcje f g neglne n [, ] f g, z [, ], on je povšn počj koje se poeže zmeđ f g, o o, jenk negl sp sl 5 P f g Slk 8
PIMJENE INTEGALA PIMJE Izčnjmo povšn počj omeđenog polom pvcem U kojem omje os pole jel povšn? Zog negvnog koefcjen z, os pole se poeže o njeznog jemen n olje j negvnom smje os Svođenjem n pn kv jenž pole možemo nps olk, šo znč joj je jeme očk, Apscse sjecš zne pole znog pvc nlzmo z jenž,,,, Dkle, zno se počje poeže zmeđ, o o v sl, p je njegov povšn, 9 P Slk Os pole,, jel povšn P n vje povšne P P, koje se poež o o, e o o v sl znose:, 6 7 P P 8
POVŠINA Omje h povšn je 7 7 P : P : 7: 6 PIMJE Izčnjmo povšn lk omeđenog kžncom polom n pole Sjecš znh kvlj nlzmo ješvnjem ssv, Dkle,,, ± 8 ±, Ove, zog ±, slje, ± ± ± ± Ns znmj smo eln sjecš To s S, S,, šo znč se nše počje poeže o o, zmeđ gonje polkžnce Njegov je povšn: pole v sl P csn csn csn Slk 8
PIMJENE INTEGALA POVŠINA U PAVOKUTNIM KOODINATAMA ZADANA PAAMETASKI Ako s fnkcje f g neglne n [,] ko je kvlj zn pmesk sp s jenžm f, g, z [,], on je povšn počj koje se poeže zmeđ e kvlje os, o f o f, v sl jenk negl: P g f Nme, spscjom nlzmo: f g f g f f f Slk PIMJE Izčnjmo povšn omeđen elpsom, sn Čevn znog počj poeže se zmeđ elpse os, o o v sl 5, p je žen povšn sn sn sn sn sn 8
POVŠINA PIMJE Slk 5 Izčnjmo povšn omeđen soom / / / Iz / / / slje / / /, šo znč vjenos /, / leže n kžnc js /, p se mog pkz pmesk s: o jes s: / /, / / sn,, sn K se mjenj o o očk, opsje so n sl6 Slk 6 Lko se povjev je so smečn s ozom n os os, p je ovoljno zčn čevn zne povšne On se poeže zmeđ os soe, o o : 85
PIMJENE INTEGALA P sn sn sn v8 pmje 6 sn sn 8 PIMJE 5 Izčnjmo povšn omeđen pvm svoom ckloe os, gje je cklo pnj koj opsje n očk kg js, k se on kolj po os v sl7 Slk 7 Iz sl 7 lko nlzmo pmeske jenže ckloe sn,, j sn, Pv svo ckloe oj se z [, ], j z jen pn oke kg koj se kolj po os Dkle, žen povšn je P sn sn Povšn spo svo ckloe jenk je oskoj povšn kg koj gene cklo POVŠINA U POLANIM KOODINATAMA Ako je fnkcj f ngln n [α, β] ko je kvlj zn polnm koonm sp 56 s h, z [α, β], on je povšn počj koje se poeže o pol o zne kvlje, zmeđ α, β v sl 8, jenk negl: 86
POVŠINA β h P α Ako s fnkcje f g neglne n [α, β] f g z [α, β], on je povšn počj koje se polnom ssv poeže o f o g, zmeđ α β v sl9, jenk negl: [ g ] [ f ] β P α Nme, počje n sl8 ssvljeno je o nfnezmlnh eskončno mlh kžnh sječk s jsom h lkom h, čj je povšn [ h ], p je kpn povšn počj jenk konnnoj sm svh h sječk, j negl β [ ] α h Povšn počj n sl9 jenk je zlc vj počj pvo zmoene vse, p ole slje ogovjć foml: β β β P [ g ] [ f ] [ g ] [ f ] α α Sog okz ovh ezl koj se ne pozv n nfnezmlne kžne sječke konnne sme, zneesnom čelj nmo n kj ovog ojeljk α Slk 8 Slk 9 PIMJE 6 Izčnjmo povšn jene o lc šo h omeđje kvlj 87
PIMJENE INTEGALA Zn kvlj zgle ko n sl jen njezn lc oje se z o o sp 56 pmje Dkle, žen povšn je: 8 sn 8 P Slk PIMJE 7 Izčnjmo povšn lk omeđenog koom Ko je smečn s ozom n poln os, je je sp 56 K se o o, p o o peko sljeećh vjenos: / Dkle, ko zgle ko n sl On omeđje povšn: sn sn P 88
POVŠINA PIMJE 8 Slk Izčnjmo povšn lk koj je omeđen kvljom, z z Gf fnkcje zgle ko n sl, p čem vnjsk o kvlje m vjenos, z [ 5 / 6, 5 / 6], ok nnj o kvlje m vjenos, z [5 / 6,7 / 6]; sp 56 pmje 8 Slk Povšn P omeđen vnjskm jelom kvlje jenk je, zog smeje s ozom n poln os, voskoj vjenos negl o o 5 / 6: P 5 6 5 6 sn sn 5 6 5 6 6 5 Povšn P omeđen nnjm jelom kvlje jenk je, zog smeje s ozom n poln os, voskoj vjenos negl o 5 / 6 o : 89
PIMJENE INTEGALA 6 6 5 sn sn 6 5 6 5 P PIMJE 9 Izčnjmo povšn počj koje se nlz zmeđ kvlj sn Kvlj sn skcne s n sl Povšn zmnjenog počj koje se nlz zmeđ h kvlj znos: sn sn sn sn sn P Slk Z zneesnog čelj, n kj ovog ojeljk, foml z zčnvnje povšne polnm koonm okzjemo ez pozv n nfnezmlne eskončno mle kžne sječke njhove konnne sme zmomo, kle, počje koje se poeže o pol o kvlje zne s h, zmđ α β v sl, gje je fnkcj h negln n [α, β] Ako je α < < < n < n β pcj nevl [α, β] z koj je h g h, z [, ], on je Δ n D onj, Δ m g G gonj poskmcj zne povšne Nme, Δ je povšn -og kžnog 9
POVŠINA sječk sžnog -om jel zne povšne jče zmnjeno n sl, ok je g Δ povšn -og kžnog sječk koj sž - o zne povšne jče slje zmnjeno n sl Zo je zn povšn već o svh kvh onjh, mnj o svh kvh gonjh poksmcj S ge sne e s poksmcje onje gonje sme z fnkcj [ h ], p je jen vjenos, koj se nlz zmeđ svh onjh svh gonjh sm, negl e fnkcje Dkle, znos zne povšne P je šo smo el okz β [ h ] P, α Slk 9 VOLUMEN Povšn lk koj se poeže o o koj m pesjek pozne ljne p v sl, jenk je negl: P p To slje z osnovne fomle pehonog ojeljk, P f g, ć je f g p 9
PIMJENE INTEGALA Slk N popno s nčn čnmo volmen jel s pesjekom pozne povšne: 9
VOLUMEN VOLUMEN TIJELA POZNATOG PESJEKA METODA ODEZAKA Ako se jelo poeže ž os, o o v sl, ko n zn m pesjek pozne povšne P, e ko je fnkcj P negln n nevl [, ], on je njegov volmen jenk negl: V P To ćemo sogo okz n kj ojeljk PIMJE Slk Izčnjmo volmen kosog kžnog sošc čj z m js čj je vsn h Sožc se poeže o zne o zne h Pesjek sošc n zn m js h / h, je z slčnos ok n sl Slje / h / h To znč je ogovjć povšn pesjek P [h / h], p je žen volmen: V h h P h h h h h h h h h h h 9
PIMJENE INTEGALA PIMJE Slk Izčnjmo volmen kln n sl koj je po kom α sječen z vljk js Slk Kln se poeže o o Povšn njegovog pesjek n zn je P v, gje je v g α g α, p je P gα Dkle, žen je volmen: V P gα gα CAVALIEIJEVA METODA gα Ako s v jel pesječen fmljom plelnh vnn ko s m ogovjć pesjec vjek jenkh povšn, on s volmen h jel jenk v sl5 9
VOLUMEN Slk 5 Nme, ko os posvmo okomo n fmlj plelnh vnn, e ko se jel poež o o, e n svkoj zn mj pesjek povšne P, on po meo oezk slje o jel mj volmen P PIMJE Koseć se Cvlejevom meoom zčnjmo volmen kgle js zmomo, n sl 6, pol kgle js vljk sog js vsne, z kojeg je osnjen sožc sog js vsne Slk 6 Pesječemo l o jel, s sl 6, vnnom plelnom s njhovm zm, n vsn, o ćemo pesjeke jenkh povšn: Po Cvlejevoj meo slje je pol volmen kgle jenko volmen vljk mnjenom z volmen sošc: V, j V 95
PIMJENE INTEGALA PIMJE Koseć se Cvlejevom meoom zčnjmo volmen os np zčnce, kojem je velk js, ok m je ml js pesječnog kg; v sl7 Slk 7 N vnn n kojoj lež os položmo, ž njegove zvonce, vljk js vsne ; v sl8 O jel pesjecmo fmljom vnn plelnh s vnnom n koj s jel položen Ako vnn e fmlje pesjec os kžnome vjenc nnjeg js vnjskog js, on on vljk pesjec pvoknk ljne šne sp sl 8 Nme, vnn pesjec zvone kgov os vljk koj se ve ko eele lnje n sl8 n soj vsn, koj oeđje se Povšne h pesjek s jenke: Slk 8, je je zog smeje senj vjenos zmeđ, j slje je volmen os jenk volmen vljk, j V Po Cvlejevoj meo 96
VOLUMEN Volmene ocjskh jel česo možemo lko zčn, je je njhov pesjek n svkoj zn kg, čj nm je povšn oo pozn Ako jelo nsje ocjom oko os, onog lk koj se poeže zmeđ nevl [, ] n os gf f, on je pesjek og ocjskog jel, n zn, kg s jsom f povšnom [f ], sp sl 9 Dkle, volmen og ocjskog jel je peposvljen neglnos fnkcje f, kle f, n [, ] [ f ] z Slk 9 Ako jelo nsje ocjom oko os, onog lk sp sl koj se o o poeže zmeđ f g, z f g, on je njegov volmen jenk zlc vj volmen pehonog p, [ f ] [ g ], j jenk je negl [ f ] [ g ] z peposvljen neglnos fnkcj f g, kle f, g, n [, ] Slk 97
PIMJENE INTEGALA VOLUMEN OTACIJSKOG TIJELA METODA DISKOVA Ako jelo nsje ocjom oko os, onog lk koj se poeže zmeđ nevl [, ] n os gf neglne fnkcje f, on je njegov volmen v sl 9 [ f ] V Ako jelo nsje ocjom oko os, onog lk koj se poeže n nevlom [, ] zmeđ gfov neglnh fnkcj f g, gje je f g, on je njegov volmen v sl : PIMJE 5 [ f ] [ g ] V Kgl js pesječen je n jel plelnm vnnm koje s o njeznog seš ljenje z / Izčnjmo volmen svkog o jelov volmen cjele kgle Kgl js nsje ocjom oko os, onog lk koj se poeže o nevl [, ] n os o gf sp sl Zo cjel kgl m volmen: V Njezn sešnj o m volmen v sl : V 5 8 Slje je volmen nh jelov kgle v sl: 8 5 8 V V Vs 8 8 8 98
VOLUMEN PIMJE 6 Slk Izčnjmo volmen jel koje nsje ocjom oko os, lk omeđenog s pvom kvn Gfov v sl sjek se, pvom kvn, očkm s pscsm je ssv m ješenj,, o kojh, j očke pvom kvn Zo je žen volmen: 7 6 [ f ] [ g ] V 7 Slk 99
PIMJENE INTEGALA PIMJE 7 Izčnjmo volmen ocjskog elpso koj nsje ocjom lk v sl omeđenog elpsom oko os, oko os ocjsk elpso nsje ocjom oko os onog lk koj se, o o, poeže zmeđ os gf Zo je njegov volmen: V Slk ocjsk elpso nsje ocjom oko os lk koj se, o o, poeže zmeđ os gf Bć s s zmjenl loge njegov je volmen: V 5
VOLUMEN Slk PIMJE 8 Izčnjmo volmen jel koje nsje ocjom oko os, lk omeđenog soom koj je pmesk zn s, sn sp 9 pmje K se mjenj o o očk, opsje esn polovc soe n sl5 Zn volmen nsje ocjom oko os, lk koj se o o poeže zmeđ os esne polovce soe Bć s s zmjenl loge zn je volmen: 6 sn sn sn V 5 9 7 5 sn sn sn 9 7 5 8 6 5
PIMJENE INTEGALA PIMJE 9 Slk 5 Izčnjmo volmen ljk koj nsje ocjom oko os, lk koj se poeže o o A zmeđ os hpeole Šo se zv s volmenom k A, j k se ljk poeže eskončnos? Volmen znog ljk znos v sl6: A A V A Ako A on V To znč je volmen eskončno poegnog ljk n sl 6 končn A Slk 6 5
VOLUMEN Pmjemo pesjek eskončno poegnog ljk s vnnom nem eskončn povšn sp 7 pmje 8 ko sm ljk m eskončn volmen Volmene ocjskh jel možemo zčnv zv meoom ljsk Ako jelo nsje ocjom oko os, onog lk koj se poeže o o zmeđ os gf neglne fnkcje f, on se ono ssoj o nfnezmlnh eskončno nkh kžnh ljsk eljne, vsne f ljne, čj je volmen f Konnn sm svh ljsk o o, kle f, jenk je volmen og ocjskog jel sp sl 7 Slk 7 Ako jelo nsje ocjom oko os, onog lk koj se poeže o o zmeđ gfov neglnh fnkcj f g, f g, on je njegov volmen jenk zlc vj volmen pehono zmoene vse, kle sp sl 8: f g, j f g Slk 8 VOLUMEN OTACIJSKOG TIJELA 5
PIMJENE INTEGALA METODA LJUSAKA Ako jelo nsje ocjom oko os, onog lk koj se poeže zmeđ nevl [, ] n os gf neglne fnkcje f, on je njegov volmen v sl7: V f Ako jelo nsje ocjom oko os, onog lk koj se poeže n nevlom [, ] zmeđ neglnh fnkcj f g, gje je f g, on je njegov volmen v sl8: V f g PIMJE Izčnjmo volmen jel koje nsje ocjom oko os, lk koj se poeže o nevl [, ] n os o gf Tžen volmen je v sl 9: PIMJE Slk 9 Iz kgle js zljen je koz njezno seše p js Kolk o volmen kgle je me osnjen? 5
VOLUMEN Pol osnjenog volmen nsje ocjom, oko os, onog lk koj se poeže o nevl [, ] n os o gf v sl Zo je znos osnjenog volmen: V Omje osnjenog volmen volmen kgle je : N pmje, polovn kgle je osnjen on ko je, Slk 55
PIMJENE INTEGALA PIMJE Izčnjmo volmen os koj nsje ocjom kg omeđenog kžncom, oko os sp pmje Slk Tžen volmen nsje ocjom, oko os, onog lk koj se n nevlom [, ] n os poeže zmeđ gf gf v sl, p je po meo ljsk njegov znos V Nme, v je nepn fnkcj, p je v sl, ok je v jenž gonje polovce kžnce js, p je vsl 56
VOLUMEN Slk Volmen ocjskog jel njčešće možemo čn s oje meoe, kle meoom skov meoom ljsk PIMJE Volmen os z pmje zčnjmo meoom skov Tžen volmen nsje ocjom, oko os, lk koj se n nevlom [, ], n os, poeže zmeđ gf gf v sl, p pem meo skov znos: V Slk I n kj, zneesnom čelj nmo soge okze vljnos nšh meo Pomomo njpje jelo poznog pesjek Ako se ono ssoj o n vnh ploč povšne P eljne čj je volmen P, on je kpn volmen kvog jel,šo je negl sepense fnkcje Δ n P P 57
PIMJENE INTEGALA P, z [, ], j volmen jel je P ; sp sl U općem slčj jelo znog pesjek P može se oozo poksm kvm pločsm sepensm jelom, koje je popno sžno znom jel, so se ko može oozgo poksm kvm pločsm sepensm jelom, koje popno ohvć zno jelo Volmen h gonjh onjh poksmcj s gonje onje sme z P n [, ] Nš meo peposvlj je fnkcj P negln n [, ], p posoj očno jen vjenos koj je smješen zmeđ svh kvh onjh gonjh poksmcj To je po efncj P, on je jenk volmen znog jel poznog pesjek P To smo el okz Slk Meo skov smo je jen konken pmjen meoe oezk, čj je vljnos pvo okzn, p je sog on sm vljn Vljnos meoe ljsk može se okz n slčn nčn, košenjem gonjh onjh poksmcj, šo pepšmo čelj sm povee 9 DULJINA LUKA Dljn jel neke vnnske kvlje zovemo ljnom lk e kvlje zmomo njpje kvlj koj je zn pmesk s f, g, z [, ] On je ssvljen o nfnezmlnh segmen s, koj s hpoenze nfnezmlnh pvoknh ok s kem v sl Pem Pgonom eoem s No, / f / g, šo znč je s [ f ] [ g ] konnnm zjnjem svh nfnezmlnh segmen s, j L Ukpn ljn lk, o o, nlzmo [ f ] [ g ] Ako je kvlj gf fnkcje f, n nevlom [, ], on z pme mmo f, z [, ], p je ljn om slčj 58
DULJINA LUKA [ ] f L Sože opvnje nšh foml z ljn lk, koje se ne pozv n nfnezmlne segmene njhovo konnno zjnje, zneesnom čelj nmo n kj ojeljk Slk DULJINA LUKA U PAVOKUTNIM KOODINATAMA Ako je lk kvlje pmesk zn fnkcjm f g, z [, ], e ko e fnkcje mj neglne evcje / f / g, on je ljn og lk jenk negl: [ ] [ ] g f L Ako je lk zn ko gf fnkcje f, z [, ], e ko fnkcj m negln evcj / f, on je ljn znog lk: [ ] f L PIMJE Izčnjmo ljn kžnce, sn, [, ] Pem okvenoj foml sn L sn, šo nm je oo pozno PIMJE 59
PIMJENE INTEGALA Izčnjmo ljn pole, o o Pem okvenoj foml 59 5 ln 5 ln L PIMJE Izčnjmo ljn seoe, sn v 9 pmje Zog smeje vje 6 sn 6 sn sn sn 9 sn 9 sn 9 L PIMJE Izčnjmo ljn sple sn,, [, ] 5
DULJINA LUKA Iz sn, sn slje: Dkle, sn sn sn sn sn L ln 88 PIMJE 5 Izčnjmo opseg lk omeđenog kvljom Oemo sjecš znh kvlj Iz slje Očo je jeno ješenje e kne jenže, p se polnom može fkoz n lnen fko kvn fko koj nlzmo jeljenjem: : To znč se kn jenž može nps olk, okle slje s njezn peosl kojen kompleksn Dkle, je jeno elno ješenje nšeg ssv, kojem ogovj vjenos ± Tžen sjecš s S, S, Tžen opseg je OS S S S O OS S S v sl OS 9 9 9 9 9 7 7 8 5
PIMJENE INTEGALA csn S S Dkle, žen opseg je 5 8 7 S S OS L Slk Ako pmeske jenže f, g opsj gnje očke, vemen, on je s p šo g očk pjeđe o enk o enk Pem osnovnom eoem nfnezmlnog čn sp zn opsnog gnj s je s v BZINA GIBANJA Ako se očk, g skl s f, g, on je njezn zn enk [ ] [ ] g f v PIMJE 6 Česc se g po elps skl s jenžm, sn K je njezn zn njveć, k njmnj? Pem okvenoj foml zn česce, enk, je 5
DULJINA LUKA v sn Bzn je očo njveć k je njveć, j k je ± Te vjenos ojmo z,,, j jemenm elpse n os Bzn je njmnj k je njmnje, j k je Te vjenos ojemo z, 5,,, j jemenm elpse n os v sl Slk PIMJE 7 Izčnjmo ljn pvog lk ckloe sn, Pehone jenže opsj gnje oone očke kg koj se jenčnom knom znom kolj po os ; sp 9 pmje 5 K se očk g njže? Dljn pvog lk ckloe je sp 9 pmje 5, sl7: sn L 8 sn sn Bzn gnj oone očke kg je: 5
PIMJENE INTEGALA v On je njveć k je njmnj, j, z,, 5, k je oon očk n vh koljjćeg kg Bzn znos Ako je kvlj zn polnm koonm s f [α, β], on z, sn sp 56 slje s f, f sn, [α, β], njezne pmeske jenže Dkle, ljn lk e kvlje, o α o β, znos [ ] [ ] [ ] [ ] β α β α β α β α / sn sn f f f f f f L DULJINA LUKA U POLANIM KOODINATAMA Ako je lk kvlje zn polnm koonm s f [α, β], e ko s fnkcje f njezn evcj neglne, on je ljn og lk v sl jenk negl [ ] [ ] β α β α f f L Slk PIMJE 8 Izčnjmo ljn lk kvlje sn, z [, / ], Pem okvenoj foml žen je ljn: 5
DULJINA LUKA L sn Uočmo je o čevn kžnce sp 56 pmje PIMJE 9 Izčnjmo ljn koe ; sp 9 pmje 7, sl Pem okvenoj foml žen ljn je: L sn sn 8 Pmjemo je, ne D smo pogešno vsl neočn ezl, ne očn 8 Nvno z [, ], j z PIMJE,, ol smo Izčnjmo ljn lk kvlje, z, Iz slje sn sn Dkle, žen ljn lk je L 6 sn sn sn 8 55
PIMJENE INTEGALA Z zneesnog čelj još jenom ćemo zmo nše fomle z ljn lk, ne pozvjć se vše n nfnezmlne segmene njhovo konnno zjnje sp poček ojeljk Lk kvlje f, g, z [, ], pojelmo oenm očkm koje ogovj pmem,,, -,,, n-, n One cjel lk ljne l jele n n mnjh lkov ljne Δl,,Δl,, Δl n, n j l Δ v sl 5 l Slk 5 Svk o mnjh lkov Δl nsje gnjem očke, o - o, z vjln hozonln zn / vjln vekln zn / Ako se očk gl konsnnom hozonlnom znom onosno g koj je mnj onosno već o svh ennh zn / n nevl [ -, ] konsnnom veklnom znom onosno g koj je mnj onosno već o svh ennh zn / n [ -, ], on on pešl p koj je mnj onosno već o Δl Dkle, okle slje, Δ Δ Δl g Δ g Δ n Δ l g g Δ n Iz efncj, e g g, slje s ljev esn sn pehone jenže onj gonj sm fnkcje / /, n nevl [, ] Ako je fnkcj negln on je njezn negl jensven oj smješen zmeđ njeznh gonjh onjh sm, j l [ f ] [ g ] 56
POVŠINA PLOHE 9 POVŠINA PLOHE Ako lk neke kvlje omo oko zne os, o ćemo ocjsk ploh čj se povšn nlz negcjom n sljeeć nčn POVŠINA OTACIJSKE PLOHE Ako je lk kvlje zn pmesk sp s jenžm f, g, z, on je povšn koj nsje ocjom og lk oko os v sl: s P Povšn plohe koj nsje ocjom og lk oko os je v sl : s P Ako je lk kvlje zn eksplcno s g, z, on povšn koj nsje njegovom ocjom oko os znos s P, povšn plohe koj nsje njegovom ocjom oko os znos s P Slk Slk 57
PIMJENE INTEGALA U očnos okvenh foml možemo se vje n sljeeć nčn Ploh koj nsje ocjom lk f, g z, oko os, ssvljen je o nfnezmlnh k koje nsj ocjom nfnezmlnh segmen s v sl Svk kv k je plš knjog sošc čj je povšn s v sl Ukpn povšn ocjske plohe nlzmo konnnm zjnjem svh nfnezmlnh k, o o, j P s Bć je s žen povšn P sp 9 slje je N s nčn opvv se vljnos ge fomle, ok eć čev sljee z pve ge je je / Slk Slk Z zneesnog čelj n kj ojeljk jemo sože opvvnje nšh foml, koje se ne pozv n nfnezmlne ke konnno zjnje PIMJE Izčnjmo povšn sfee js Sfe nsje ocjom polkžnce,, l ekvvlenno, sn,, oko os Dkle, žen povšn je 58
POVŠINA PLOHE, P l ekvvlenno sn sn sn P PIMJE Izčnjmo povšn plohe koj nsje ocjom lk kvlje,, oko os Povšn zne plohe v sl 5 jenk je negl 56 8 8 8 6 9 9 v v v v v s P Slk 5 PIMJE 59
PIMJENE INTEGALA Izčnjmo povšn plohe koj nsje ocjom, oko os, lk kvlje, Povšn zne plohe v sl 6 je 85 5 7 6 8 7 5 7 5 s P Slk 6 PIMJE Izčnjmo povšn plohe koj nsje ocjom jenog polvl snsoe sn, oko os Povšn zne plohe v sl 7 je: ln ln ln sn sn s P 5
POVŠINA PLOHE ln ln ln ln PIMJE 5 Slk 7 Izčnjmo povšn plohe koj nsje ocjom soe, sn, z os, oko Povšn zne plohe v sl 8 je: P s sn 9 sn 9 sn 6 sn sn sn 6 sn sn 6 5 5 6 5 Slk 8 PIMJE 6 Izčnjmo povšn plohe koj nsje ocjom gf ln, oko os 5
PIMJENE INTEGALA Povšn zne plohe v sl 9 je: 5 ln 5 ln s P Slk 9 PIMJE 7 Izčnjmo oplošje ocjskog elpso koj nsje ocjom elpse oko os Oplošje znog elpso v sl je s P Slk 5
POVŠINA PLOHE No mplcnm evnjem z slje, o jes Dkle,, P ε gje je ε zv ekscence elpse peposvljmo je > Uveemo l spscj ε sn, z koje slje ε, posljenj negl posje csn sn sn csn csn csn ε ε ε ε ε ε ε ε ε Nme, z sl vmo je csn ε ε Slk Ako, on ε, csn ε /ε, ε elpso pelz sfe js, čj je povšn PIMJE 8 Izčnjmo povšn plohe os koj nsje ocjom kžnce oko os sp 9 pmje Povšn zne plohe os je: 5
PIMJENE INTEGALA csn s P Uočmo je, je je nepn fnkcj PIMJE 9 Izčnjmo povšn eskončno poegne plohe koj nsje ocjom lk hpeole,, oko os sp 9 pmje Povšn zne plohe je: lm ln lm lm lm A s P A A A A A A A Dkle, povšn zne plohe je eskončn Uočmo se o eskončnom oplošj končnog volmen sp 9 pmje Z zneesnog čelj još jenom ćemo zmo nše fomle z povšn ocjske plohe, ne pozvjć se vše n nfnezmlne ke njhovo konnno zjnje sp poček ojeljk Pomomo, kle ploh koj nsje ocjom, oko os, lk kvlje f, v sl Ako j lk pojelmo oenm očkm,f,f,, f,, n,f n, n,f n,f poksmmo g polgonskom lnjom koj e očke povezje žnm, on će ploh koj nsje ocjom polgonske lnje poksm ploh koj nsje ocjom lk polzne kvlje 5
POVŠINA PLOHE Slk Polgonsk lnj je gf po jelovm lnene fnkcje: p [ ] [ ] k,, k,, M [ ] [ ] k,, n n n n k,, n n n M koj n nevl [, ] poksm fnkcj f Dokz ćemo je povšn plohe, koj nsje ocjom polgonske lnje, oko os, jenk negl Tj negl je o olj poksmcj negl [ p ] n p k k [ f ] f, šo je p olj poksmcj o f o se može pecznje skz okz pomoć onjh gonjh sm z [ ] f f n [, ], ko šo smo o čnl z ljn lk n kj 9 Zo povšn plohe koj nsje ocjom lk kvlje f, z efnmo posljenjm neglom No o je jen o nšh foml Dge se mog opv n s nčn Peosje nm sog okz je povšn plš knjog sošc, koj nsje ocjom žne k,, oko os v sl, jenk negl k k 55
PIMJENE INTEGALA Slk Slk zvjemo l j plš v sl vje ćemo se o sječk kžnog vjenc čj je povšn s Nme, povšn sječk kžnog vjenc šne s senjce ljne L znos sl je je v sl 5: P sl Slk 5 Dkle, povšn plš knjog sošc s v sl znos: 56
POVŠINA PLOHE [ ] [ ] k k k k k k k k k k k k k k, šo smo el okz I n kj, pozovmo n jen pogešn nlogj Dljn kvlje poksmn je ljnm žn čj kjev leže n kvlj Šo s e žne mnje o je poksmcj olj v sl6 Mogl smo nlogno pomsl je povšn plohe poksmn povšnom ok čj vhov leže n ploh, e je poksmcj o olj šo s ok mnj v sl 7 To međm nje očno Slk 6 Pomomo plš vljk jenčne vsne jenčnog js, čj je povšn očo Pojelmo j vljk n m vljk vsne /m U z svkog o njh pšmo pvln n-eok o ko je svk z /n zoken onos n sljeeć v sl 7 Spojmo očke ssjenh n-eok ko n ok poksm plš vljk vsne /m, kpno nm ok poksm plš cjelog jenčnog vljk Slk 7 57
PIMJENE INTEGALA Povšn svkog pojenog ok je T mn v/, gje je snc pvlnog n-eok, v je hpoenz pvoknog ok s kem /m Dkle v sl 8, sn, n, v, n m T sn mn n n m Slk 8 Plš cjelog jenčnog vljk poksmn je s mn kvh ok: P mn n m mnsn sn n n m n n n n Bć je lmsnα / α α lm α / α lmα / je je α/α α/! α /! α 5 /6! α α slje z m, n, poksmcj P mn ež pem: Dkle, m m lm lm m n n m n n n lm P m n mn m lm m n n Z m n, P mn, šo je očn vjenos povšne plš Al z m n, P mn, šo sgno nje očn vjenos Z m [kn / ] m je cjel o oj zg, P mn k, z lo koj k Dkle, ok čj vhov leže n plš ne poksmj povšn plš ko njmnj o svh mogćh poksmcj, koj ojmo z m n, o čn, o je općeno očno 95 TEŽIŠTE Točk kojoj možemo popje vn špk l ploč, ko on mje polj sle eže, zove se ežšem e špke onosno ploče v sl 58
TEŽIŠTE Nlženje ežš vnh ploč špk jen je o mnogoojnh fzklnh pmjen negnj Slk zmomo njpje polem špke, o njjenosvnj elzn slčj vje očkse mse m m smješene n kjevm hozonlne špke znemve mse v sl Ako špk popemo očk koj je n ljenos o mse m, onosno o m, on će po Ahmeovom zkon polge vnoež ko je m m Posvmo l os ž hozonlne špke oznčmo l koone mse m, mse m njhov ežš s, slje je v sl okle ješvnjem po nlzmo m m m m m m Slk Slk Ako je n špk znemve ežne spoeđeno n ms, m, m, m n, on se njhovo ežše može oe z pomoć sljeećeg pncp spepozcje ežš PINCIP SUPEPOZICIJE TEŽIŠTA Ako je jelo T mse M pojeljeno n v jel T T, mse M M, on je ežše og jel jenko ežš očksog jel koj se ssoj o vje očke mse M M smješene ežšm jel T T zmomo očkso jelo koje se ssoj o mse m, m m smješene n hozonlnoj os, Pojelmo g v jel, ko pvo sž mse m m go ms m v sl Težše pvog jel mse m m m nlz se očk m m m m 59
PIMJENE INTEGALA Po pncp spepozcje ežš, ežše čvog jel nlz se očk m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m Slk Slčno olzmo o općeg ezl z očkso jelo koje se ssoj o lo kojeg oj ms TEŽIŠTE TOČKASTE ŠIPKE Ako se očkso jelo ssoj o n ms m, m, m n, smješenh n os očkm s koonm,,, n, on je njegovo ežše smješeno očk s koonom: m m K m n n n m m K mn n m m PIMJE Mse o, 5 kg smješene s očkm s koonm, 5 n os Oemo koon njhovog ežš Koon ežš je 5 5 5 7 5 75 5 Ako se špk konnno poeže ž os, o o, ko joj je lnen gsoć zn fnkcjom g on je možemo pojel n n jelov [, ],,, n, ljne plžne mse m g, koje plžno možemo shv ko očkse mse smješene v sl5 Plžn ms špke je Slk 5 5
TEŽIŠTE ok je plžn koon njezn ežš n m m g Δ n n n n m m n g Δ g Δ Točne vjenos ojemo k sv eže pem Nvno, gonje sme pelze negle: TEŽIŠTE ŠIPKE Špk koje se poeže o o kojoj je lnen gsoć zn fnkcjom g m ms m g, ežše joj je očk s koonom g g PIMJE Špk se poeže o o 6 Njezn lnen gsoć, n om nevl, zn je s g Izčnjmo njezn ms položj njeznog ežš Tžen ms je Koon ežš špke n os je 6 m 9 6 6 6 9 5 6 5
PIMJENE INTEGALA zmomo s polem ploče o njpje njjenosvnj elzn slčj končnog oj očksh ms m,, m n smješenh n hozonlnoj ploč znemve mse, očkm,,, n, n ; v sl 6 D smo oel položj ežš kve očkse ploče, očmo će ploč koj mje k je pop ežš, mov k e pop lo kojem pvc koj polz m ežšem Uzmmo np pvc koz, pleln s os v sl7 Ako mse m,m n povčemo plelno s m pvcem, np o os, vnoež se neće poeme Slk 6, Slk 7 No mse m,, m n smješene,, n voe očks špk čje je ežše m m K m n n n m m K mn Ponvljjć s pospk s pvcem koz,, koj je pleln s os, nšl smo je m m K m n n n n m m K mn n m m m m TEŽIŠTE TOČKASTE PLOČE Ako se očkso jelo ssoj o n ms m, m, m n, smješenh n, -vnn očkm s koonm,,,,, n, n, on je njegovo ežše smješeno očk s koonm PIMJE n n n m m, m m n 5
TEŽIŠTE Mse o, kg smješene s očkm,,,, Oemo njhovo ežše Koone ežš s, j ežše je očk, Pjelz n ploče konnne gsoće peves će gonje sme zv voske negle, kojm se ovoj knjz ne vmo Međm, ko se ognčmo n ploče konsnne nfomne gsoće, on polem nlženj ežš možemo ješ s nšm sm jenoskm neglm Pomomo kle ploč nfomne gsoće smješen zmeđ gf f, f, nevl [, ] n os v sl 8 Slk 8 Pojelmo ploč n nfnezmlne spce vsne f eljne Njhov je ms ρf Težše svkog kvog spc je zog njegove konsne gsoće njegovoj sen, j očk, f Zmjenmo l po pncp spepozcje ežš svk kv spc s očksom msom ρf smješenom njegovom ežš pmjenmo l fomle z ežše očkse ploče, o ćemo ρf f, ρf f ρ [ f ] [ f ] ρf f Umjeso sm s mmo negle, je je sken očks ploč zmjenjen konnnom Sož okz gonjh foml mogo se poves ez pozv n nfnezmlne spce njhovo konnno zjnje, ko pehonm ojeljcm Zpvo vjee još općenje fomle koje se okzj n s nčn šo pepšmo čelj, 5
PIMJENE INTEGALA TEŽIŠTE PLOČE UNIFOMNE GUSTOĆE Ploč nfomne konsnne gsoće ρ, koj se poeže v sl 9 n nevlom [, ] o f o g, f g, m ms [ ] f g m ρ ežše s koonm: [ ] [ ] [ ][ [ ] ] f g f g f g f g f g, Slk 9 PIMJE Oemo ežše ploče nfomne gsoće, koj se poeže o nevl [, ] n os o gf Koone ežš s, 5 Dkle, ežše lk je očk, ; v sl 5
TEŽIŠTE Slk Ako je ploč nfomne gsoće osno smečn, e ko koz njen os smeje posvmo os, njen je olk opsn pnm fnkcjm f g, n smečnm nevlom [,]; sp sl No je fnkcj [g f ] nepn, p je njezn negl n [,] jenk, j koon ežš e ploč je [ g f ], j pv To znč se ežše ploče nlz n os, j n os smeje e ploče Slk PINCIP SIMETIJE Ako ploč nfomne gsoće m os smeje on se njezno ežše nlz n oj os Ako ploč m vše os smeje, on je njezno ežše jenoznčno oeđeno ko sjecše h os, je se mo nlz n svm N pmje, n sl, ežše kv, pvoknk, kg jenosnčnog ok jenoznčno s oeđen njhovm osm smeje 55
PIMJENE INTEGALA Slk O ežš jenkokčnog ok, elo, jenkokčnog pez l polkg, možemo eć smo o se nlz n njhovoj jenoj os smeje, sp sl PIMJE 5 Oemo ežše polkg js Slk Polkg js poeže se o nevl [, ] n os, o gf ; v sl Koone njegovog ežš s zog smeje, 56
TEŽIŠTE Slk PIMJE 6 Oemo ežše počj omeđenog s sn n [, / ] Koone ežš znog lk s v sl5, sn sn sn sn sn sn sn sn sn Dkle, ežše znog lk je očk, 57
PIMJENE INTEGALA Slk 5 96 SNAGA, ENEGIJA I AD Enegj je velčn koj se pojvljje znm olcm No, ez oz n olk, on nsje, l se oš, jekom vemen Bzn kojom nek olk enegje nsje, l se oš, zove se sngom npve koj enegj sv l oš Dkle, sng je evcj enegje U MKS ssv jenc mje enegje je Jole J, j kg m / s, ok je jenc snge W W, j J/s Jen konjsk sng KS je 76 w Klows je jenc enegje jenk enegj koj pozvee npve snge w z s, šo je 6 jol SNAGA I ENEGIJA Sng S je zn pomjene kle pozvonje l poošnje enegje E vemen: E S Slje je kpn pomjen kle kpn pozvonj l poošnj enegje, o enk o enk : PIMJE E S Sng geneo wm v vemensk seknm pem foml P P sn, gje je P mksmln sng geneo Kolko enegje geneo pozvee z s? Koj je senj sng geneo ok s? 58
SNAGA, ENEGIJA I AD Geneo o enk sekn o enk 6 sekn, šo čn nevl o s, pozvee enegj: Jole 8 sn sn 6 6 6 P P P P E Senj sng geneo je W 6 8 P P P Ako se jelo pvocno g polj neke sle, on je njegovo gnje opsno gm Newonovm zkonom: F m, gje je m ms kcelecj og jel G l se jelo po os, /, p g Newonov zkon gls: F m Množeć s / ojmo: F m Bć je slje: F m Inegcjom o enk o enk, zmjć oz je / zn gnj v, nlzmo: F F mv, gje je Dkle, F mv 59
PIMJENE INTEGALA Ljev je sn pomjen knečke enegje jel, sn K mv, o enk o enk, ok je esn F, sle F n p koj jelo peđe o položj o položj Dkle, pomjen knečke enegje jel jenk je sle po čjm jecjem se jelo g n ogovjćem p Jen o emeljnh pncp fzke je pncp konzevcje očvnj enegje, po kojem enegj ne može n ns n nes nego se smo može pevo z jenog olk g Dkle, ko jelo zg knečk enegj mv, on se on zpvo pev nek g olk enegje, np poencjln l oplnsk SILA, AD I ENEGIJA koj sl zvee n jel ok se ono g o o, jenk je negl e sle po om p: F Ako je sl F konsnn, on je F, j, Sl Pomk Ako se jelo g po jecjem sle F, on je pomjen knečke enegje og jel, o enk o enk, jenk e sle n ogovjćem p: PIMJE mv F Ako jelo mse m kg spsmo s vsne h m, kojom će znom ono lo? Kolko se oplnske enegje svo m om? Pomjen knečke enegje jel, o spšnj o, jenk je sle eže mg g 98 m / s, o mjes spšnj o mjes : mv h mg Počen zn jel je Ako zn p oznčmo s v h z gonje jenže ojmo: okle slje: mv h mgh, v h gh 96 m / s 5
SNAGA, ENEGIJA I AD Knečk enegj se om lo pev oplnsk, njen je znos enk mv mgh 98 J Tjelo je enk spšnj mlo knečk enegj, p se posvlj ono pnje O k se svol knečk enegj, koj jelo m enk? Iz poencjlne enegje mgh, koj jelo m zog vsnske zlke h, počenog kjnjeg položj PIMJE Kolko lož zč eg k gne eg o m 5 kg n vsn o h m Kolk je njegov posječn sng jekom znj, ko eg gne z sekne? Pje poslje znj eg mje, j kpn pomjen njegove knečke enegje je No o znč je kpn sl koj jelje n eg jekom njegov p jenk nl ječ je o vje sle, sl ež mšćnoj sl zč sle eže je mgh sp pehon pmje p s olk, smo sponog smje, mo zč eg Dkle, koj lož zč eg je mgh 5 98 98 J Dgm ječm, zč je povećo poencjln enegj eg z mgh, p je olko moo lož njegovo znje Posječn sng zč, jekom og znj, je PIMJE 98 J S 8 W 6 KS s Dokžmo je F v sng kojom sl F jelje n jelo koje se g znom v po njeznm jecjem Pomjen knečke enegje jel E jenk je loženom sle F, j veze evcje negl slje E / F Dkle sng je: ΔE F Iz emeljne E E S F v Vmo l lončsko kolo l ječj vljk njefksnje je jelov slom posk n vnjskom kol l vljk, gje je zn njveć PIMJE 5 5
PIMJENE INTEGALA Pmp e spzn spemnk voe olk sošc n sl Kolko je enegje poeno z j poso m voe m kg? Slk Pomomo sloj voe n n eljne v sl Iz slčnos ogovjćh ok slje: p je volmen og sloj,, V 9, j ms m je m V 9 D se ms gl n vsn polj sle eže mg poen je m g 9g Dkle, kpn poen z pžnjenje cjelog spemnk je 9g 9g 9g 5 9g 75 g 6 J 5
SNAGA, ENEGIJA I AD Dkle, enegj poen z pžnjenje spemnk je 6 J PIMJE 6 Pmp koj pzn spemnk voe z pehonog pmje m zlzn sng o 5 J n s 6 8 W, Kolk je zn voe spemnk nkon 6 mn pžnjenj? Kojom znom op zn voe spemnk om enk? Ukpn enegj poen se spmp gonjh h me voe z spemnk je sp pehon pmje: h 9g 9g 5h h h 77h 5 h h N kj 6 mne / s pmp je ovl o Jole, j ložl je pmpnje Jol Dkle, 77 h 5 h h, okle slje nkon nmečkog ješvnj e jenže je h 7 m Nkon 6 mn pžnjenj zn voe spsl se z 7 m Nkon s pžnjenj ovljen je o 5 Jole Dkle, h 9 g, gje je h n gonjeg sloj spmpnog z s Devnjem oje sne posljenje jenže po nlzmo okle slje Z h 7 o znos m / h h 5 9 g h h, h 9g 5 h 5