Βιομαθηματικά BIO-56 Ολοκλήρωση Ντίνα Λύκα Εαρινό Εξάμηνο, 07 lik@biology.uo.gr
Ορισμός αντιπαραγώγου ή παράγουσας ή αρχικής συνάρτησης Μια συνάρτηση F ονομάζεται αντιπαράγωγος της σε ένα διάστημα Ι, αν F'= για I. Κάθε παραγωγίσιμη συνάρτηση έχει μία παράγωγο, αλλά μια συνάρτηση έχει ένα σύνολο αντιπαραγώγων. Αν η F είναι μια αντιπαράγωγος της τότε όλες οι συναρτήσεις G=F+, σταθερά είναι αντιπαράγωγοι γενική αντιπαράγωγος της.
Αόριστο ολοκλήρωμα Το σύνολο όλων των αντιπαραγώγων της συνάρτησης ονομάζεται αόριστο ολοκλήρωμα της ως προς και συμβολίζεται d F
Αντιπαράγωγοι βασικών συναρτήσεων
Γραμμικότητα του ολοκληρώματος Έστω και Τότε.. 3. F d G d g F d d G F d g d d g G F d g d d g
Τεχνικές υπολογισμού ολοκληρωμάτων μέθοδος ολοκλήρωσης με αντικατάσταση ή αλλαγής μεταβλητής μέθοδος ολοκλήρωσης κατά μέρη ή κατά παράγοντες ολοκλήρωση ρητών συναρτήσεων ή ολοκλήρωση με μερικά κλάσματα.
Μέθοδος με αντικατάσταση ή αλλαγής μεταβλητής - βασίζεται στην παραγώγιση σύνθεσης συναρτήσεων Ο υπολογισμός ολοκληρωμάτων της μορφής [ g ] g d ανάγεται στον υπολογισμό ολοκληρωμάτων της μορφής u du όπου u=g και du=g d
Παραδείγματα Θέτουμε u=+3 με du=d. 3d du u udu 3/ u 3/ 3 3 3/ Θέτουμε u=+e t με du=e t dt. t e e t dt u du u e t
Μέθοδος ολοκλήρωσης κατά μέρη ή κατά παράγοντες - βασίζεται στον κανόνα παραγώγισης του γινομένου Αν οι συναρτήσεις και g είναι παραγωγίσιμες, τότε g d g g d
Παραδείγματα e e e d e e d e e d e d e. d d d d d ln ln ln ln ln ln ln.
Παραδείγματα e e e e d e e d e e d e e d e d e 3. e e e ue du ue d e u u u d du u 4.
Ολοκλήρωση ρητών συναρτήσεων Για να ολοκληρώσουμε ρητές συναρτήσεις είναι συνήθως αναγκαίο να γράψουμε τη συνάρτηση σαν άθροισμα ενός πολυωνύμου και πιο απλών ρητών συναρτήσεων της μορφής A k ή B C b k όπου A,B,C,,b, και είναι σταθερές και k θετικός ακέραιος. Ο παρανομαστής του δευτέρου κλάσματος δεν αναλύεται σε γινόμενο πρωτοβάθμιων όρων, δηλαδή δεν έχει πραγματικές ρίζες.
Η διαδικασία ανάλυσης σε μερικά κλάσματα Βήμα Αν στον παρανομαστή υπάρχει πολυώνυμο βαθμού μικρότερου ή ίσου από το βαθμό του πολυωνύμου του αριθμητή τότε πριν κάνουμε την ανάλυση σε μερικά κλάσματα πρέπει πρώτα να εκτελέσουμε τη διαίρεση του αριθμητή δια τον παρανομαστή. Βήμα Αναλύουμε τον παρανομαστή σε γινόμενο πρωτοβάθμιων - k και δευτεροβάθμιων +b+ k με b -4<0 παραγόντων η δεύτερη περίπτωση δεν θα εξεταστεί.
Βήμα 3. γραμμικοί παράγοντες Σε κάθε απλό γραμμικό παράγοντα του παρονομαστή -α, αντιστοιχεί στην ανάλυση του κλάσματος ένας όρος της μορφής A Αν ο γραμμικός παράγοντας - εμφανίζεται k φορές στην παραγοντοποίηση του παρονομαστή, τότε η ανάλυση σε μερικά κλάσματα περιέχει όρους της μορφής A A Ak k
Υπολογισμός του ολοκληρώματος Αν k =, τότε Αν k, τότε d k k d k k d ln
Παράδειγμα Να υπολογιστεί το ολοκλήρωμα Αναλύουμε σε μερικά κλάσματα Απαλείφοντας τους παρανομαστές έχουμε Οπότε A+C = 5A+B+4C=0 6A+3B+4C=0 d 3 3 3 C B A 4 3 6 4 5 3 3 C B A C B A C A C B A A=-8 B=4 C=9 d d d d 3 9ln 4 8ln 3 9 4 8 3
Παράδειγμα Να υπολογιστεί το ολοκλήρωμα d Επειδή ο βαθμός του πολυωνύμου στον αριθμητή = το βαθμό του πολυωνύμου στον παρανομαστή 3 4. διαίρεση Ανάλυση σε μερικά κλάσματα d d d 4 d ln 4ln
Ολοκληρώματα και Αθροίσματα Παράδειγμα Ρυθμός μεταβολής του όγκου νερού σε ένα δοχείο dv dt t Vt : όγκος νερού m 3 t : χρόνος s Ζητάμε τη συνολική μεταβολή του όγκου από t=0 μέχρι t= dv dt dv dt t t Συνολική μεταβολή
Ολοκληρώματα και Αθροίσματα Έστω ότι ο ρυθμός μεταβολής της Μ στο διάστημα [α,β] είναι dm dt Ζητάμε τη συνολική μεταβολή της Μ στο διάστημα [α,β]. P n μια διαμέριση του διαστήματος [α,β] P : t t t n 0 Η διαμέριση αυτή χωρίζει το διάστημα [,β] σε n υποδιαστήματα [t 0, t ], [t, t ],..., [t n-, t n ] Δt j = t j - t j- μήκος του υποδιαστήματος [t j-, t j ] t n Πλάτος της διαμέρισης : P = m{δt, Δt,, Δt n }
Ολοκληρώματα και Αθροίσματα Σε κάθε υποδιάστημα [t j-, t j ] παίρνουμε ένα σημείο ξ j και σχηματίζουμε το άθροισμα Άθροισμα Riemnn της στο [α,β]. n n t t t P 0 : n n n j j j P t t t S n α β t j- t j ξ j t y ξ j
Ορισμός: Ορισμένο ολοκλήρωμα Έστω P n : t 0 t t, n=,, μια ακολουθία διαμερίσεων του [α,β] με P 0. Το ορισμένο ολοκλήρωμα της από το α στο β είναι n t dt lim t j P 0 αν το όριο υπάρχει. Τότε λέμε ότι η είναι ολοκληρώσιμη στο [α,β]. n j j Θεώρημα: Αν η είναι συνεχής στο [α,β], τότε είναι ολοκληρώσιμη στο [α,β].
Παραδείγματα - Ορισμένο ολοκλήρωμα Για μια συνεχή συνάρτηση t το lim είναι P 0 S Pn ανεξάρτητο από τη διαμέριση και την επιλογή των σημείων ξ j Για χάρη απλότητας υποθέτουμε ότι το μήκος κάθε διαστήματος είναι το ίδιο και επιλέγουμε ως ξ j τα δεξιά άκρα των υποδιαστημάτων [t j-, t j ] t n j jt j n, j,,, n Παράδειγμα. Να υπολογιστεί το 0 t dt lim n n j lim n j n n n j Δt lim n j n n j lim n j n j lim n Δt n j 0 tdt n n
Θεμελιώδες θεώρημα του απειροστικού λογισμού Έστω μια συνεχής συνάρτηση στο διάστημα [α,β], τότε d F F F όπου F είναι μια αντιπαράγωγος της, δηλαδή F =.
Ιδιότητες των ορισμένων ολοκληρωμάτων Έστω ότι και g είναι ολοκληρώσιμες στο [α, β]. Τότε.. d 0 d d 3. k d k d, k σταθερά 4. g d d g d 5. Αν α<γ<β, τότε d d d 6. 7. Αν Αν t [, ] t [, ] είναι είναι t t 0, g t, t dt 0 t dt g t dt
Τεχνικές ολοκλήρωσης - με αντικατάσταση ή αλλαγή μεταβλητής - κατά παράγοντες ] [ g g du u d g g g u d g g g d g
Εφαρμογές της ολοκλήρωσης Υπολογισμός εμβαδού Αν η είναι ολοκληρώσιμη στο [α, β] και 0 στο [α, β], τότε d όπου Α το εμβαδόν της περιοχής μεταξύ του -άξονα και του γραφήματος της στο [α, β]. y A y= A α Δ β d lim 0
Υπολογισμός εμβαδού Αν η είναι ολοκληρώσιμη στο [α, β] και < 0 στο [α, β], τότε d A όπου Α το εμβαδόν της περιοχής μεταξύ του -άξονα και του γραφήματος της στο [α, β]. y y= - B Επειδή εμβαδόν του A= εμβαδόν του B, και B [ ] d α A β y=
Υπολογισμός εμβαδού Εμβαδόν χωρίου μεταξύ γραφημάτων g d y g α β
Μέση τιμή Έστω μια συνεχή συνάρτηση στο [,β]. Η μέση τιμή της στο διάστημα [,β] είναι d
Υπολογισμός της μάζας αντικειμένου μια διάσταση α β μάζα αντικειμένου = d όπου ρ η πυκνότητα στη θέση.
Αφθονία ενός είδους στη στήλη του νερού A : αριθμός ατόμων π.χ. φυτοπλαγκτού, ψαριών από την επιφάνεια στο βάθος ή συνολική ποσότητα αλατιού, νιτρικών κ.α. ρ : πυκνότητα ή συγκέντρωση στο βάθος m m A y dy 0 Δ +Δ
Παράδειγμα Η στήλη του νερού σε ένα μέρος της θάλασσας έχει βάθος 75m. Η πυκνότητα της σαρδέλας αριθμός ψαριών ανά κυβικό μέτρο είναι ρ = 0,005 75- στο βάθος κατακόρυφη κατανομή. Να υπολογιστεί ο συνολικός αριθμός ψαριών στη στήλη του νερού. 75 3 0 005 75 0 005, d, 75 35,56 35 0 3 75 0
Παράδειγμα Η συγκέντρωση αλατιού στον ωκεανό αλατότητα gr αλατιού / kg νερού δίνεται από τη συνάρτηση b S S e, b,, S 0 Κεντρικό Ειρηνικό Ωκεανό 0,076, b 0,05/ m, 0,04/ m, S 34,7 gr αλατιού/kg νερού Να υπολογιστεί το συνολικό αλάτι σε kg σε στήλη επιφάνειας m νερού και βάθους 00m =0 μέχρι =00 Σημ. m 3 θαλασσινού νερού =,000kg Επομένως, αλατότητα σε gr/m 3 S 00 d 0 3448, 5 kg
Όγκος στερεού Όγκος στερεού από περιστροφή μιας περιοχής Α μεταξύ α και β A α β r= Δ y α β d 0 ] [ d V
Καταχρηστικά ή γενικευμένα ολοκληρώματα improper integrls Χαρακτηριστικά των καταχρηστικών ολοκληρωμάτων. Το ένα ή και τα δύο όρια της ολοκλήρωσης είναι το άπειρο, δηλαδή το διάστημα ολοκλήρωσης δεν είναι φραγμένο. Η συνάρτηση που ολοκληρώνεται δεν είναι φραγμένη, δηλαδή απειρίζεται σε ένα ή περισσότερα σημεία στο διάστημα ολοκλήρωσης
α Πρώτου είδους- μη φραγμένο διάστημα ολοκλήρωσης d ή ή d d Έστω ότι η είναι συνεχής στο [α,, ορίζουμε d lim z z d Έστω ότι η είναι συνεχής στο -, β], ορίζουμε d lim z z d
Παράδειγμα Έστω ότι ο ρυθμός παραγωγής ενός χημικού μειώνεται εκθετικά με το χρόνο σύμφωνα με την εξίσωση dp dt e t moles/se Η ποσότητα της ουσίας που παράγεται μεταξύ t=0 και t=t είναι T t e dt 0 e Πόση ποσότητα της ουσίας θα παραγόταν αν το πείραμα διαρκούσε άπειρο χρόνο; T T t t e dt lime dt lim 0 T 0 T T e mole
Παράδειγμα Παραγωγή χημικού με ρυθμό dq dt t moles/se Πόσο χημικό παράγεται μετά από πολύ χρόνο; Q dt T lim T 0 0 t t dt lim ln T T!!!!
Έστω ότι η είναι συνεχής στο [α,. Αν z lim z υπάρχει και έχει πεπερασμένη τιμή, λέμε ότι το ολοκλήρωμα συγκλίνει. Διαφορετικά, λέμε ότι το ολοκλήρωμα αποκλίνει d d
Παραδείγματα Η συνάρτηση είναι συνεχής στο [, και η g=e - είναι συνεχής στο [0,, p - p 0, p d p 0, p p 0, 0, 0 e d
Διάστημα ολοκλήρωσης -, Έστω μια συνεχής συνάρτηση στο διάστημα -,. Τότε d d d όπου α πραγματικός αριθμός. Αν και τα δύο καταχρηστικά ολοκληρώματα στο δεξιό μέλος συγκλίνουν, τότε η τιμή του καταχρηστικού ολοκληρώματος στο αριστερό μέλος ισούται με το άθροισμα των δύο οριακών τιμών στο δεξιό μέλος.
β Δευτέρου είδους- μη φραγμένη συνάρτηση Αν η συνάρτηση είναι συνεχής σε ένα διάστημα α,β] και lim, τότε το Ολοκλήρωμα d lim d,, αν το όριο υπάρχει πεπερασμένο τότε το καταχρηστικό ολοκλήρωμα λέμε ότι συγκλίνει. Αν το όριο είναι ± τότε λέμε ότι το ολοκλήρωμα αποκλίνει. Να υπολογιστεί το ολοκλήρωμα 0 d Η συνάρτηση =/ είναι συνεχής στο 0,], αλλά για 0 +,. Για 0, υπολογίζουμε d 0 d lim 0 d lim 0
Παράδειγμα Η συνάρτηση στο 0, ] p είναι συνεχής, p d p, 0 p - p
Προτεινόμενη Βιβλιογραφία C. Neuhuser Clulus or biology nd mediine Person/Prentie Hll, 004 Chpter 6: όλο Chpter 7: 7., 7., 7.3 και 7.4 F. R. Adler. Modeling the dynmis o lie: lulus nd probbility or lie sientists. Brooks/Cole, 998. Chpter 4: 4.3-4.8 M. R. Cullen Mthemtis or the biosienes. Tehbooks, 983 Setions: 8-5