Functii definitie proprietati grafic functii elementare A. Definitii proprietatile functiilor. Fiind date doua multimi X si Y spunem ca am definit o functie (aplicatie) pe X cu valori in Y daca fiecarui element X facem sa-i corespunda un singur element Y. Vom nota = f() sau f: X Y sau X f Y. se numeste variabila sau argument se numeste valoarea functiei X se numeste multimea de definitie Y se numeste multimea valorilor functiei.. Daca X si Y vom spune ca f() este functie reala de variabila reala. 3. Daca X este o submultime a lui X (X X) functia f () definita pe X si egala cu f() pe aceasta submultime (f () = f() ( ) X ) se numeste restrictia lui f() la X. Invers f() se numeste prelungirea lui f () pe X. 4. Spunem ca functia f: X Y este strict descrescatoare daca ( ) A avem f () f ( ) < 0. 5. Spunem ca functia f: X Y este strict crescatoare daca ( ) A avem f () f ( ) > 0. 6. Spunem ca functia f: X Y este injectiva daca este verificata una din urmatoarele conditii: a) ( ) X f( ) f( ) sau b) ( ) X astfel incat f( ) = f( ) = sau c) ( ) Y ecuatia f() = are cel mult o solutie in X. Cele trei conditii sunt echivalente. In rezolvarea eercitiilor poate fi folosita oricare din ele. 7. Spunem ca functia f: X Y este surjectiva daca este satisfacuta una din urmatoarele conditii: a) ( ) Y ( ) X astfel incat f() = sau b) ( ) Y ecuatia f() = are cel putin o solutie in X. c) f(x) = Y 8. functie f: X Y este bijectiva daca este injectiva si surjectiva. 9. f: X Y este bijectiva ( ) Y ecuatia f() = are o singura solutie in X. 0. f: X Y este marginita daca eista doua numere reale m M astfel incat ( ) X avem m < f() < M.
. Daca f : X Y si g : Y Z spunem ca urmatoarea functie notata gof : X Z unde ( gof)() g(f ()) se numeste compusa functiilor g() si f().. X este functia identica definita pe X: : X X X (). 3. Spunem ca functia f : X Y este inversabila daca eista o functie g : Y X astfel incat ( gof )() () si fog)() (). X ( Y Inversa functiei f() se noteaza cu f (). 4. Functia f : X Y este inversabila daca si numai daca f() este bijectiva. 5. Functia f : X Y este para daca f() = f(-) ( ) X (X este o multime simetrica fata de 0). 6. Functia f : X Y este impara daca f() = - f() ( ) X (X este o multime simetrica fata de 0). 7. Functia f : X Y este periodica de perioada T daca ( ) T * astfel incat f( + T) = f() ( ) X. Cel mai mic dintre aceste numere T pozitive se noteaza cu T * si se numeste perioada principala.
B. Functii elementre proprietati grafic FUNCTIA X Y PPIETATI FUNCTIA PUTEE f: XY f() = n nn n Graficul functiei putere a) n par i) f() este descrescatoare pe si crescatoare pe ii) f() este para iii) f() nu este injectiva pe dar restrictiile lui f la si la sunt functii injective iv) f() este surjectiva pe v) f: nu este bijectiva dar restrictiile f : si f : sunt bijective b) n impar i) f() este crescatoare pe ii) f() este impara ii) f() este injectiva pe iii) f() este surjectiva pe iv) f() este bijectiva pe v) f: este inversabila iar f : f () = n FUNCTIA ADICAL f: XY f() = n nn n Graficul functiei radical a) n par i) f() este crescatoare pe ii) f() este injectiva pe iii) f() este surjectiva pe iv) f() este bijectiva pe v) f: este inversabila iar inversa ei este f : f () = n. b) n impar i) f() este crescatoare pe ii) f() este impara iii) f() este injectiva pe iv) f() este surjectiva pe v) f() este bijectiva pe vi) f: este inversabila iar f : f () = n.
FUNCTIA X Y PPIETATI FUNCTIA EXPNENTIALA f: XY f() = a a > 0 a Graficul functiei eponentiale a) a > (0 + ) i) f() este strict crescatoare pe ii) f() este injectiva pe iii) f() este surjectiva pe iv) f() este bijectiva pe v) f: (0 + ) este inversabila iar f :(0 + ) f () = log a. b) a(0 ) (0 + ) i) f() este strict descrescatoare pe ii) f() este injectiva pe iii) f() este surjectiva pe iv) f() este bijectiva pe v) f: (0 + ) este inversabila iar f :(0 + ) f () = log a. FUNCTIA LGAITMICA f() = log a a > 0 a Graficul functiei logaritmice a) a > (0 + ) i) f() este strict crescatoare pe (0 + ) ii) f() este injectiva pe (0 + ) iii) f() este surjectiva pe (0 + ) iv) f() este bijectiva pe (0 + ) v) f: (0 + ) este inversabila iar f : (0 + ) f () = a. b) a(0 ) (0 + ) i) f() este strict descrescatoare pe (0+ ) ii) f() este injectiva pe (0 + ) iii) f() este surjectiva pe (0 + ) iv) f() este bijectiva pe (0 + ) v) f: (0 + ) este inversabila iar f : (0 + ) f () = a.
FUNCTIA X Y PPIETATI FUNCTIA SINUS f: X Y f() = sin - 3 - FUNCTIA CSINUS f: X Y f() = cos - π π π - 3 - FUNCTIA TANGENTA f: X Y f() = tg [- ] [- ] \ +kkz i) f() este marginita ii) f() este impara iii) f() este periodica cu perioada T= k kz T * = este perioada principala. iv) f() nu este injectiva pe dar restrictia lui f() la este o functie injectiva v) f() este surjectiva pe vi) f() nu este bijectiva pe dar restrictia sa f: [-] este bijectiva si are ca inversa functia f :[-] f ()= arcsin(). i) f() este marginita ii) f() este para iii) f() este periodica cu perioada T= k kz T * = este perioada principala. iv) f() nu este injectiva pe dar restrictia lui f() la [0 ] este injectiva v) f() este surjectiva pe vi) f() nu este bijectiva pe dar restrictia sa f: [0 ][-] este bijectiva si are ca inversa functia f :[-] [0 ] f ()= arccos(). i) f() este impara ii) f() este periodica cu perioada T = k kz T * = este perioada principala. iii) f() nu este injectiva pe \ +kkz dar restrictia lui - π 3 f() la este o functie injectiva iv) f() este surjectiva pe \ +kkz v) f() nu este bijectiva pe \ +kkz dar restrictia sa FUNCTIA CTANGENTA f: X Y f() = ctg π π 3 \ {kkz} f: este bijectiva si are ca inversa functia : f f ()=arctg (). i) f() este impara ii) f() este periodica cu perioada T = k kz T * = este perioada principala. iii) f() nu este injectiva pe \ {kkz} dar restrictia lui f() la 0 este o functie injectiva iv) f() este surjectiva pe \ {kkz} v) f() nu este bijectiva pe \ {kkz} dar restrictia sa f: 0 este bijectiva si are ca inversa functia f : 0 f ()= arcctg ().
FUNCTIA X Y PPIETATI FUNCTIA ACSINUS f: X Y f() = arcsin - - [- ] i) f() este marginita ii) f() este impara iii) f() este injectiva pe [- ] iv) f() este surjectiva pe [- ] v) f() este bijectiva pe [- ] vi) f() este inversabila pe [- ] iar inversa sa este f : [-] f () = sin FUNCTIA ACCSINUS f: X Y f() = arccos - π [- ] [0 ] i) f() este marginita ii) f() este injectiva pe [- ] iii) f() este surjectiva pe [- ] iv) f() este bijectiva pe [- ] v) f() este inversabila pe [- ] iar inversa sa este f : [0 ] [-] f () = cos FUNCTIA ACTANGENTA f: X Y f() = arctg - i) f() este marginita ii) f() este impara iii) f() este injectiva pe iv) f() este surjectiva pe v) f() este bijectiva pe vi) f() este inversabila pe iar inversa sa este f : f () = tg FUNCTIA ACCTANGENTA f: X Y f() = arcctg π 0 i) f() este marginita ii) f() este injectiva pe iii) f() este surjectiva pe iv) f() este bijectiva pe v) f() este inversabila pe iar inversa este f : 0 f () = ctg