SECTION 9 ΙΑΦΟΡΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 9. Υπεργεωµετρικές Συναρτήσεις ιαφορικές εξισώσεις Η υπεργεωµετρική διαφορική εξίσωση (Σ Ε του Gass) είναι ( )'' {c (a b )}' ab Αν οι c, a b, και c a b δεν είναι ακέραιοι, η γενική λύση για < είναι c F(a, b, c; ) c c F(a c, b c, c; ) όπου F(a, b; c; ) είναι η υπεργεωµετρική συνάρτηση F a b c a b c aa bb aa ( a ) b (,, ; ) ( b )( b ) cc ( ) cc ( )( c ) Με a, b, c πραγµατικές σταθερές, αν η σειρά έχει άπειρους όρους, συγκλίνει (οµοιόµορφα και απόλυτα) στο διάστηµα < < (γενικότερα στο µιγαδικό επίπεδο για z <, ενώ αποκλίνει για z > ). Για (ή z ), η σύγκλιση εξαρτάται από την ποσότητα s c (a b): Αν s, η σειρά αποκλίνει. Αν < s, η σειρά συγκλίνει υπό συνθήκες, εκτός από. Αν s >, η σειρά συγκλίνει απόλυτα. Η συµπτυγµένη υπεργεωµετρική διαφορική εξίσωση (Σ Ε του Kmmer) '' (b )' a προκύπτει από την υπεργεωµετρική διαφορική εξίσωση µε σύµπτυξη δύο ανώµαλων σηµείων. Η γενική λύση είναι c M(a, b; ) c c M(a b, b; ) όπου M(a, b; ) είναι η συµπτυγµένη υπεργεωµετρική συνάρτηση M a b a aa ( ) aa ( )( a ) (, ; ) b! bb ( )! bb ( )( b )! που συγκλίνει για κάθε πεπερασµένο. Συχνά χρησιµοποιούµε τη συνάρτηση του Whittaer M κµ () e / µ/ M(µ κ!, µ ; ), που ικανοποιεί τη Σ Ε '' (# κ # µ )
SECTION Σχέσεις µε άλλες συναρτήσεις Για ορισµένες τιµές των παραµέτρων οι υπεργεωµετρικές συναρτήσεις δίνουν στοιχειώδεις συναρτήσεις. F(, b; b; ) ( ) F(,, ; ) l( ) F(,, ; ) F,, ; l ( ) ( ) F(!,!,!; si ) cos F(,, ;si ) cos F,, ; si ( ) F,, ; ta ( ) a a F( a, a, ; ) [( ) ] lim F,, ; ( ) e F (,, ; l ) F (,, ; ) P F,, ; T F,, ; U F (, a, a ; )! C ( a)( a )( a ) ( a ) ( a) [C (α) () είναι τα πολυώνυµα Gegebaer] F,, ;! a P ( ab, ) a b a ( a )( a ) ( a ) (α, [P β) () είναι τα πολυώνυµα Jacobi] M(, m ; ) L () M m m m L m (, ; )!! ( )! ( M(, ; ) )! H! ( M( ) )!, ; H ( )! M i e (, ;! ) M, ; ( e ) erf i J M e (, ;! ) t t I
SECTION Ιδιότητες G() c G( cab) F( a, b, c; ) G( ca) G( cb) (c,,,, c a b > ) F(a, b, c; ) ( ) cab F(c a, c b; c; ) a F( a, b, c; ) F a, cb, c; F( a, b, c; ) ab c F( a, b ; c ; ) G () c F( a, b, c; ) G( b) G( c b) M(a, b, ) e M(b a, b; ) G ( b) M( a, b; ) G( a) G( b a) 9. Ελλειπτικές Συναρτήσεις Ελειπτικά ολοκληρώµατα b cb a e a b a, b> a> Το ελλιπές ελλειπτικό ολοκλήρωµα πρώτου είδους είναι F(, f) f si ( )( ) όπου φ am είναι το πλάτος της και siφ. Εδώ και παρακάτω υποθέτουµε ότι < <. Το πλήρες ελλειπτικό ολοκλήρωµα πρώτου είδους είναι K F(, / ) / si ( )( ) 5 6 6
SECTION Το ελλιπές ελλειπτικό ολοκλήρωµα δεύτερου είδους είναι f E (, f) si Το πλήρες ελλειπτικό ολοκλήρωµα δεύτερου είδους είναι E E(, / ) si / 6 Το ελλιπές ελλειπτικό ολοκλήρωµα τρίτου είδους είναι 5 6 5 f P(,, f) ( si ) si ( ) ( )( ) Το πλήρες ελλειπτικό ολοκλήρωµα τρίτου είδους είναι / P(,, / ) ( si ) si ( ) ( )( ) Ελλειπτικές συναρτήσεις Οι ελλειπτικές συναρτήσεις s, c, ορίζονται µε τις σχέσεις s siφ si(am) c cosf cos( am) s Μπορούµε ακόµα να ορίσουµε τις αντίστροφες συναρτήσεις s, c, και τις ακόλουθες s s sc s c cs c s c c s s c c c c s s
SECTION 5 Τύποι αθροίσµατος s c c s s( ) s s c c ss c( ) s s s s c c ( ) s s Παράγωγοι s c s s s c sc cc Σειρές 5 7 s 6 ( ) ( ) ( 5 5 )! 5! 7! 6 c ( ) ( ) ( 6 )!! 6! 6 ( ) ( 6 )!! 6! Σταθερή του Catala Αν / K si. 9596559 5 / / K K,, όπου si si τότε η s έχει περιόδους K και ik', η c έχει περιόδους K και K ik, η έχει περιόδους K και ik'. Επίσης s c, s, c '
6 SECTION Τιµές s c sc am Ολοκληρώµατα s c cos si ( s ) sc l( c c) cs s s c s c l( c sc) s si ( c) s l( s cs ) s l( s cs ) c sc l c c cos 9. Άλλες Συναρτήσεις Συνάρτηση σφάλµατος erf e 5 7 erf! 5! 7! erf e 5 ( ) ( ) erf() erf(), erf(), erf(#9)
SECTION 7 Συµπληρωµατική συνάρτηση σφάλµατος erfc erf e 5 7 erfc! 5! 7! erfc e 5 ( ) ( ) erfc(), erfc(#9) Εκθετικό ολοκλήρωµα Ei e Ei g l e Ei ~ e!!! Ei(#9) Ηµιτονικό ολοκλήρωµα Si si 5 7 Si!! 5 5! 7 7! ( ) Si si! 5! cos!! 5 Si() Si(), Si(), Si( ) π/
8 SECTION Συνηµιτονικό ολοκλήρωµα Ci cos Ci g l cos 6 8 Ci g l!! 6 6! 8 8! ( ) Ci cos! 5! si!! 5 Ci( ) Ηµιτονικό ολοκλήρωµα του Fresel S si S 7 5 (! 7! 5! 57! ) 57 { ( 5 9 ) (si ) 5 ( )} S (cos ) S() S(), S(), S( )! 7 Συνηµιτονικό ολοκλήρωµα του Fresel C cos 5 9 C! 5! 9! 6!
SECTION 9 { C (si ) 57 5 9 C() C(), C(), C( )! Συνάρτηση ζήτα του Riema z (cos ) 5 ( 7 )} z G, e > ζ( ) π Γ()cos(π/)ζ() B z ( ),,,, ( )!