Oblas mehanike koja poučaa keanje ne uimajući u obi uoke keanja i osobine ela koja se keću. Keanje maeijalne ačke. efeenni sisem. Puanja, pu, pomeaj i bina. anomeno keanje. (P - 3) Ubanje. Paolinijsko jednako ubano keanje. (P 3-7) Ubanje kod kiolinskog keanja. anomeno kužno keanje. (P 7-3) Kosi hiac oacionog keanja. Ugaona bina i ubanje. (P 3-33) Keanje maeijalne ačke. efeenni sisem. Tela se pi keanju mogu pedsaii maeijalnom ačkom (MT) pi čemu se anemauju dimenije, oblik i masa ela. Keanjem se naia pomena položaja MT u posou i emenu. MT se keće ako menja položaj u odnosu na dugu ačku koja se naia efeenna. Za efeenu ačku se euje odeđeni efeenni sisem u odnosu na koga se odeđuje sanje mioanja ili keanja MT. MT se nalai u sanju mioanja ako ne menja položaj u odnosu na efeenu. MT se nalai u sanju keanja ako menja položaj u odnosu na efeenu. Sanje mioanja i keanja su elaina. I mioanje je oblik keanja. Nema apsolunog mioanja. Keanje maeijalne ačke. efeenni sisem. Puanja Meseca u odnosu na Sunce Puanja Meseca u odnosu na Zemlju Zemlja Mesec Keanje maeijalne ačke. efeenni sisem. Položaj, odnosno koodinae MT aise od iabanog efeennog sisima. Obično je efeenni sisem nepokean. Položaj MT se odeđuje koodinaama u iabanom koodinanom sisemu. oj koodinaa odeđuje boj sepena slobode. Sunce Puanja Zemlje u odnosu na Sunce 1
Keanje maeijalne ačke. efeenni sisem. Najčešće se koisi paougli koodinani sisem. MT odeđena sa i koodinae, i. MT odeđena ekoom položaja. i sepena slobode - keanje u pacima se i ose + + Puanja, pu i pomeaj Kada se MT keće njene koodinae se menjuju u emenu. Ni uasopnih položaja MT pi keanju naia se puanja. Kia u posou koju pi keanju opisije MT odeđena je jednačinom: ( ) ( ) i + ( ) j + ( ) k Deo puanje naia se pu. Veko koji spaja ačke i oe se eko pomeaja. Pomeaj je pomena ekoa položaja MT u posou. Pomeaj je eko. Pu je skala. Δ pu, Δs Puanja, pu i pomeaj -5-4 -3 - -1 Δ Pu: Δs 3 m + 8 m 11 m Δs 1 3 4 5 / m Pomeaj: Δ - 4 m 1 m - 5 m ina maeijalne ačke Pi kenaju MT peđe pu Δs, a pomeaj inosi Δ. Za definisanje keanja poebno je ponaai poed pomeaja, i koliko dugo se MT keala (eme) i kojom binom. Definišu se de se bina u funkciji emena: bina u odnosu na peđeni pu (speed) bina u odnosu na pomeaj (eloci) Za paolinijsko keanje obe bine imaju isu ednos. Sednja bina u odnosu na pu je skala. Δ Sednja bina u odnosu na pomeaj je eko: ima isi paac i sme kao i eko pomeaja inenie aisi od pomeaja i emena. pu, Δs
ina maeijalne ačke Definiše se: sednja bina u odnosu na pu - količnik peđenog pua u nekom emenskom inealu i emenskog ineala: Δs s Δ sednja bina u odnosu na pomeaj - količnik pomene ekoa položaja (eko pomeaja) i ineala emena u kome je nasupila pomena: Δ s Δ Sednja bina ne daje infomaciju o ome ša se dešaalo imeđu počene i kajnje ačke peđenog pua. Δ Poebno je ponaai enunu binu. pu, Δs ina maeijalne ačke Tenuna bina u nekom enuku se odeđuje kada emenski ineal Δ eži nuli: d Δ lim s lim Δ Δ Δ d Veko enune bine ima paac angene u daoj ački puanje a sme odgoaa smeu keanja MT. ina maeijalne ačke Smanjianjem emenskog ineala ednos pua se pibližaa ednosi pomeaja i u ganičnom slučaju imaju jednake ednosi: d ds d d jedinični eko angene na puanju. Jedinica u SI je m/s. Koisi se km/h. Veko enune bine ima i komponene u Dekaoom KS: d d d i + j + k d d d i + j + k Δ pu, Δs Vse keanja Za definisanje keanja poebno je ponaai neku od sledećih aisnosi: ( ); ( ); a a( ) Koise se elacije: d d d ; a ; a ; d d d Pema obliku puanje keanja MT se dele na: paolinijska kiolinijska Pema bini i ubanju keanja MT se dele na: anomena jednako ubana nejednako ubana 3
anomeno keanje s Inenie bine je konsanan. Paac i sme bine može bii pomenlji. Peđeni pu u emenskom inealu je lineana funkcija: s d + C s s + Koeficijen nagiba aisi od bine. s α Δs Δ g α ds d cons Ubanje maeijalne ačke Pi poioljnom keanju MT eko bine može bii pomenlji., ;, +Δ 1 Veko pomene bine Δ 1 Veko sednjeg ubanja u ački jednak je količniku ekoa pomene bine i emenskog ineala: Δ a s Δ 1 Δ Δ 1 Δ skalana eličina eća od nule a Veko sednjeg ubanja ima isi sme i paac kao eko s pomene bine ali aliči inenie. Ubanje maeijalne ačke Pime 1: Sednje ubanje se malo alikuje od enunog Pime : Nagle pomene ubanja Poebno je odedii enunu ednos ubanja. Ubanje maeijalne ačke Ganična ednos ekoa sednjeg ubanja daje eko enunog ubanja: Δ d a lim as lim Δ Δ Δ d d d Δ lim a d s lim Δ Δ Δ d 4
Ubanje maeijalne ačke Kod paolinijskog keanja: ekoi bine i ubanja imaju isi paac (sme je aliči ako se adi o uspoenom keanju) peđeni pu i pomeaj imaju isu bojčanu edos d d ds d s a d d d d Jedinica je m/s. Veko enunog ubanja ima i komponene u Dekaoom KS: d d d a i + j + k d d d a a i + a j + a k Paolinijsko jednako ubano keanje Keanje po paoj liniji sa konsannim ubanjem. d a a s cons d Vekoi pomeaja, bine i ubanja su isog paca i kolineani sa puanjom. Keanje može bii: ubano smeoi ekoa bine i ubanja isi bina MT se poećaa uspoeno smeoi ekoa bine i ubanja aličii bina MT se smanjuje. Paolinijsko jednako ubano keanje Zakon pomene bine u emenskom inealu je lineana funkcija: ad a + C Koeficijen nagiba aisi od bine: Kada je počena bina nula: a > ± a a a a g α Paolinijsko jednako ubano keanje Peđeni pu je kadana funkcija emena: s d ( ± a ) d d ± ad s ± a + C s s + ± a α a α a < Δ Δ o s - 5
Paolinijsko jednako ubano keanje slobodan pad s s + ± a s g g ± a s g Kada elo pada sa isine h pi udau dosiže binu: Ubanje kod kiolinjskog keanja Veko ubanja nema isi paac kao eko bine. Veko ubanja ima isi paac kao eko pomene bine. Paac bine se menja u smeu saijanja puanje. Veko ubanja je uek usmeen pema udubljenju puanje - nije ni angena ni nomala na puanju. Veko ubanja aklapa sa ekoom bine ugao aliči od nule. gh Ubanje kod kiolinjskog keanja Može se asaii na de međusobno nomalne komponene: angencijalno ubanje u pacu angene na puanju (odnosno u pacu bine) nomalno ubanje u pacu nomale na puanju (odnosno u pacu polupečnika kiine) Δ an lim Δ Δ a a + a n Δ a lim Δ Δ d d Nomalna komponena se jalja bog pomene paca bine. Tangencijalna komponea se jalja bog pomene bojne ednosi bine. anomeno kužno keanje MT se keće po kužnoj liniji. ina je konsannog ineniea a pomenljiog paca. ima uek paac angene na kužnoj liniji. Keanje MT po kužnoj liniji polupečnika :, +Δ:, + Δ MT je pešla pu ΔS, paac ekoa pomene bine se pibližaa pacu polupečnika puanje, eko pomene bine je upaan na eko bine i ima paac polupečnika eko nomalnog ubanja ima paac ekoa pomene bine a n Δ an lim Δ Δ 6
anomeno kužno keanje Nomalno ubanje: ima paac polupečnika; usmeen je ka cenu; česo se naia adijalno ili cenipealno ubanje. Peđeni pu od ačke do jednak je dužini luka: ΔS Δϕ I jednakokakog ougla Δ Δϕ Eliminacijom ugla i gonjih jednačina ΔS Δ Nomalno ubanje: Δ ΔS an lim lim Δ Δ Δ Δ a n anomeno kužno keanje Nomalno ubanje: sameno je kadau bine; obnuo sameno polupečniku kužne puanje. a n Tangencijalno ubanje je jednako nuli je nema pomene ineniea bine: Δ d a lim Δ Δ d Ubanje kod pomenljiog kužnog keanja ima i nomalnu i angencijalnu komponenu, Ubanje kod kužnog keanja ne može bii nula. Kiolinijsko keanje je uek ubano. Kosi hiac Keanje ela pod dejsom emljine eže Jednoliko keanje ela počenom binom; Keanje pod uglom α u odnosu na hoionalnu osu; Keanje u eikalnoj ani. Kaakeisike: Počena bina Dome hica Maksimalna isina hica Veme lea Komponene počene bine: cosα sinα i + j Kosi hiac Keanje ela U hoionalnom pacu anomeno keanje konsannom binom; U eikalnom pacu jednoliko uspoeno, odnosno jednoliko ubano; Tenune bine: cosα g sinα g Peđeni pu: cosα g g sinα 7
Kosi hiac Kada se elo nalai na najećoj isini bina u eikalnom pacu je jednaka nuli: sinα sinα g h g Dobija se eme poebno da elo dosigne najeću isinu. Najeća isina: g h h sinα sin h g α h Kosi hiac Puanja ima oblik paabole: cosα g g gα sinα cos α Veme ajanja hica: Dosuko eće od emena poebnog da se dosigne maksimalna isina (puanja ima oblik paabole) sinα h g Maksimalni dome: gd d gα cos α sin α d g oacionog keanja kuog ela Kod oacionog keanja ela dimenije ela se ne mogu anemaii. Sile koje doode do keanja defomišu ealna ela. adi upošćaanja posmaa se kuo elo: ne defomiše se pi dejsu sila, sasaljeno je od ogomnog boja MT koje su međusobno nepokene, saka ačka ela se keće i opisuje soju puanju. Oblici keanja: anslaono, oaciono. oacionog keanja kuog ela Kod oacionog keanja kuog ela se MT opisuju kugoe, čiji ceni leže na jednoj paoj koja se naia osa oacije. Se MT nemaju isu peifeijsku binu koja aisi od asojanja MT od ose oacije - dalje oiaju bže. Pomena ugla koga opisuju MT je isa a se ačke. Uodi se pojam ugaonog pomeaja. eko, inenie bojno jednak pomeni ugla paac - osa oacija, sme pailo desnog anja. anomeno oaciono keanje: saka MT keće se po kužnici koja leži u ani upanoj na osi oacije bina oacija na kužnici je konsanna 8
oacionog keanja kuog ela Se MT imaju isu ugaonu binu: Δ eko, ω θ Δ inenie bojno jednak pomeni ugla u jedinici emena, paac - osa oacija, sme pailo desnog anja, jedinca ad/s. oacionog keanja kuog ela Dodane eličine: Peiod oacije T [s] - eme a koje elo iši jedan ob; Fekencija ν [H] - boj obaja u jednoj sekundi (jednaka ecipočnoj ednosi peioda oacije). Za peiod oacije T elo iši pun obaj pa je ugaona bina: obnuo samena peiodu oacije upao samena fekenciji 1 ν T Δθ π ω πν Δ T oacionog keanja kuog ela Peđeni pu MT po kužnoj liniji a peiod Δ jednak je dužini luka, pa je peifeijska bina: ΔS Δθ Δθ ω Δ Δ Δ oacionog keanja kuog ela Peifeijska bina se može pedsaii i kao ekoski poiod: ω Inenie peifeijske bine samean je ugaonoj bini i polupečniku. Točak se bže keće šo je eći pečnik i eća ugaona bina. Δθ ΔS 9
oacionog keanja kuog ela Kod neanomenog oacionog keanja: inenie peifene bine se menja, menja se i ugaona bina i odeđuje kao pi iod ugaonog pomeaja po emenu, Peifeijsko ubanje nije iso a se MT i ima de komponene: nomalnu (adijalnu) a n angencijalnu a d d dω ( ω ) d d d Δθ dθ ω lim Δ Δ d oacionog keanja kuog ela Kod neanomenog oacionog keanja se MT imaju iso ugaono ubanje: eko koaksijalan sa ugaonom binom, sme aisi od piašaja ugaone bine (isi sme kod ubanog keanja, suponi kod uspoenog keanja), inenie je definisan pomenom ugaone bine sa emenom: dω α d Tangencijalna komponena ubanja može se iačunai i kao: a α α a Tes pianja - kolokijum 1. Ša su puanja, pu i pomeaj. alika imeđu pua i pomeaja. Ni uasopnih položaja MT pi keanju naia se puanja. Deo puanje naia se pu. Pomeaj je pomena ekoa položaja MT u posou. Pu je skala, pomeaj je eko.. Ša je sednja bina u odnosu na pu. Sednja bina u odnosu na pu je skalana eličina i definiše se kao količnik peđenog pua u nekom emenskom inealu i emenskog ineala. Δs s Δ 3. Ša je sednja bina u odnosu na pomeaj. Sednja bina u odnosu na pomeaj je ekoska eličina i pedsalja količnik pomene (eko pomeaja i ineala emena u kome je nasupila pomena. Ima isi paac i sme kao eko pomeaja. Δ s Δ Tes pianja - kolokijum 4. Podela keanja pema obliku puanje i pomeni bine i ubanja Pema obliku puanje: paolinijska i kiolinijska. Pema pomeni bine i ubanja: anomeno keanje, jednako ubano i nejednako ubano. 5. Kaakeisike anomenog keanja. Inenie bine je konsanan. Paac i sme bine može bii pomenlji. Peđeni pu je lineana funkcija emena. s s α s s + 1
Tes pianja - kolokijum 6. Ša je eko sednjeg ubanja. Veko sednjeg ubanja jednak je količniku ekoa pomene bine i emenskog ineala. Ima isi sme i paac kao eko pomene bine. Δ a s Δ 7. Kaakeisike paolinijskog ubanog keanja. Keanje po paoj liniji. Ubanje konsanno može bii poiino (ubano keanje), odnosno negaino (uspoeno keanje). Vekoi pomeaja, bine i ubanja kolineani. Pomena bine je lineana funkcija emena, a pomena peđenog pua je kadana funkcija emena. a > α α a < ± a a s s + ± a s s Tes pianja - kolokijum 8. Kaakeisike ekoa ubanja kod kiolinijskog ubanja. Veko ubanja i bine nemaju isi sme. Zaklapaju neki međusobni ugao. Veko bine ima sme angene na puanju keanja, a eko ubanja nije ni angena ni nomala i uek je usmeen ka udubljenju puanje. 9. Komponene ekoa ubanja kod kiolinijskog ubanja. angencijalno ubanje u pacu angene na puanju (odnosno u pacu bine). nomalno ubanje u pacu nomale na puanju (odnosno u pacu polupečnika kiine) a a + a n Δ an lim Δ Δ Δ a lim Δ Δ d d Tes pianja - kolokijum 1. Kaakeisike anomenog kužnog keanja. ina je konsannog ineniea a pomenljiog paca (paac angene na puanju). Nomalna komponena ubaja ima paac polupečnika kužne linije, usmeena je ka cenu a inenie je samean kadau bine i obnuo samean polupečniku kužne puanje. Tangencijalna komponena ubanja jednaka nuli. a n 11. Kaakeisike anomenog oacionog keanja. Peifeijska bina maeijalnih ačaka koje se keću isom kužnom linijom je isa. Ugaona bina sih maeijalnih ačaka je isa i nepomenljia. Ugaona bina je eko sa pacem koji odgoaa osi oacije a sme se odeđuje pailom desnog anja (pailo desne šake). inenie je bojno jednak pomeni ugla u jedinici emena Δ ω θ Δ Tes pianja - kolokijum 1. Vea imeđu peifeijske i ugaone bine. Inenie peifeijske bine samean je ugaonoj bini i polupečniku kužne linije: Vekoski: ω ω 13. Kaakeisike neanomenog oacionog keanja. Peifeijska bina maeijalnih ačaka koje se keću isom kužnom linijom nije isa. Ugaona bina sih maeijalnih ačaka je isa i pomenljia. Peifeijsko ubanje ima nomalnu i angencijalnu komponenu i iso je a se ačke koje se keću isom kužnom linijom. Se maeijalne ačke imaju iso ugaono ubanje. 11