KRIVOLINIJSKO KRETANJE TAČKE U RAVNI OPISANO U PRAVOUGLOM DEKARTOVOM KOORDINATNOM SISTEMU. JEDNAČINE KRETANJA. LINIJA PUTANJE. PUTANJA.

Transcript

1 KRIVOLINIJSKO KRETANJE TAČKE U RAVNI OPISANO U PRAVOUGLOM DEKARTOVOM KOORDINATNOM SISTEMU. JEDNAČINE KRETANJA. LINIJA PUTANJE. PUTANJA. Jednačine ketanja x(t) i y(t) u potpunosti odeđuju sve pojmove vezane za kinematiku tačke kao što su: linija putanje, putanja (tajektoija), bzina, ubzanje i polupečnik kivine putanje. Funkcija, kiva ili pava, dobijena eliminacijom vemena t iz jednačina ketanja naziva se linijom putanje i nju ćemo u svakom pimeu ctati. U većini pimea linija putanje se svodi na oblik y(x) ili x(y) ili f(x,y)=. Podazumevaće se da tenutku započinjanja ketanja (početnom tenutku) odgovaa t= i da se pi ketanju veme t stalno povećava. Početni položaj tačke M, odeđen koodinatama x() i y(), odeđuje se stavljanjem nule umesto t u jednačine ketanja. Putanja je onaj deo linije putanje na kom tačka može da se nađe u vemenskom intevalu t. Taj deo je na slici pikazan debljom linijom.

2 VEKTORI BRZINE I UBRZANJA U PRAVOUGLOM DEKARTOVOM KOORDINATNOM SISTEMU I NJIHOVE PROJEKCIJE NA KOORDINATNE OSE. Vektoom položaja poketne tačke M naziva se vekto koji se poteže od koodinatnog početka do te tačke: t = OM t = x t i + y t = OM = x i + y ( ) ( ) ( ) ( ) j ( ) ( ) ( ) j Dakle, x(t) i y(t), osim što su jednačine ketanja, to su i pojekcije vektoa položaja i koodinate poketne tačke u nepoketnom xoy koodinatnom sistemu.

3 d Vs =, V ( t) = lim = = & ( t) t t t V - Sednja bzina u vemenskom intevalu s t - Jedinični vekto Vekto bzine V tangente na putanju ( t) poketne tačke u poizvoljnom tenutku vemena je pvi izvod po vemenu vektoa položaja ( t): V t = & t ( ) ( ) Za kivolinijsko ketanje pavac vektoa bzine poklapa sa pavcem tangente Zbog V ( t) = &( t), ( t) = x( t) i + y( t) j ičinjenice da su i i j konstantni vektoi, dobija se vekto bzine: V t = x& t i + y& t ( ) ( ) ( ) j Pojekcije vektoa vzine na koodinatne ose jednake su pvim izvodima po vemenu jednačina ketanja, odnosno koodinata poketne tačke u t x& t t = y& t nepoketnom xoy koodinatnom sistemu, dakle: ( ) = ( ), ( ) ( ) Intenzitet vektoa bzine: V = x& + y&, t V = x V x & + y& V y

4 V V dv d as =, a & & t t t a s - Sednje ubzanje u vemenskom intevalu ( t) = lim = = = V ( t) = & ( t) t - Jedinični n vekto nomale na putanju ( ) Vekto ubzanja a t poketne tačke u poizvoljnom tenutku vemena, jednak je pvom izvodu po vemenu vektoa bzine V ( t), odnosno, dugom izvodu po vemenu vektoa položaja ( t): a t = V & t = & t ( ) ( ) ( ) Za kivolinijsko ketanje, u opštem slučaju, vekto ubzanja je usmeen u konkavnu stanu putanje.

5 Zbog a ( t) = & ( t), ( t) = x( t) i + y( t) j ičinjenice da su i i j konstantni vektoi, dobija se vekto ubzanja: a( t) = && x( t) i + && y( t) j, odakle se vidi da su njegove pojekcije na koodinatne ose jednake dugim izvodima koodinata (jednačina ketanja) po vemenu: t & x t a t = & y t a = a + a a x ( ) = ( ), ( ) ( ) y Te pojekcije su, takođe, jednake pvim izvodima pojekcija bzine, kao funkcija vemena, po vemenu: a t = V& t, a t = V& t x ( ) ( ) ( ) ( ). x Na slici su nactani vektoi bzine i ubzanja u početnom M i poizvoljnom M položaju, koji odgovaaju početnom i poizvoljnom tenutku vemena, espektivno. Takodje su pikazane komponente vektoa V ( t) i a ( ). y y x y

6 Pime 1.1 Jednačine ketanja tačke u avni su x = t i y = t (t je u sekundama a x i y su u metima). Odediti liniju putanje i skiciati je? Odediti tajektoiju i oblast ketanja? Odediti i na putanji nactati bzinu u tenutku t=1s? Odediti ubzanje u poizvoljnom tenutku? Eliminacijom vemena t iz jednačina ketanja dobija se da je jednačina linije putanje paabola y = x Početni položaj: x ( ) =, y ( ) = (,) M Putanja (tajektoija) je samo desna gana paabole. Oblast ketanja: x, y

7 Pojekcije bzine i ubzanja u funkciji vemena dobijaju se peko izvoda od jednačina ketanja: x = t, y = t x& t =1 y &( t) = t, & x& ( t) =, & y& ( t) = ( ), Bzina u tenutku t=1s (pikazana je na slici sa pethodnog slajda) : x& ( 1 ) =1, y& ( 1 ) = V ( 1) = 1i + j, V ( 1) = 1 + = 5 m s Položaj u tenutku t=1s : x ( 1 ) =1, y ( 1) =1 M ( 1,1 ) Ubzanje u poizvoljnom tenutku: a t = j, a t = m s ( ) ( ) Vekto ubzanja je konstantan, paalelan sa y osom i usmeen naviše. Pime 1. Jednačine ketanja tačke u avni su x = + 3sin t i y = 1 cost (t je u sekundama a x i y su u metima). Odediti tajektoiju i skiciati je? Odediti oblast ketanja? Odediti i na putanji nactati bzinu i ubzanje u tenutku t = ( π 4) s? Jednačinu putanje dobićemo peueđenjem, kvadianjem pa sabianjem jednačina ketanja: y 1 ( ) ( ) x x x 1 = sin t, = cost + = 1 3 3

8 Jednačina elipse x xc x y + u b ( ) ( ) x =, y =1, C C C = 1 u=3 i b=. Oblast ketanja: 1 x 5, 1 y 3 Početni položaj: x ( ) =, y( ) = 1 M (, 1) x = + 3sin t y = 1 cos t Pojekcije bzine i ubzanja u funkciji vemena su: x& t = 6cos ( ) t ( t) = 4sin t ( t) = 1sin t ( t) = 8cos t y& && x && y Položaj, bzina i ubzanje u tenutku t = ( π 4) x ( π 4 ) = 5, y( π 4 ) = 1 x& ( π 4 ) = y& ( π 4 ) = 4 V ( π 4 ) = 4 j V ( π 4 ) = 4 m s & x& ( π 4) = 1 & y& ( π 4 ) = a( π 4) = 1i a ( π ) = 1 m 4 s

9 Pime 1.3 Jednačine ketanja tačke u avni su x = t 1 i y = t + (t je u sekundama a x i y su u metima). Odediti liniju putanje i skiciati je? Odediti tajektoiju i oblast ketanja? Odediti i na putanji nactati bzinu i ubzanje u tenutku t=1s? Eliminacije vemena t (odeđivanje jednačine linije putanje) y = t + t = y, x = t 1 = ( y ) 1 x = y 5 Početni položaj: = 1 = x ( ), y ( ) M ( 1, ) Tačka se keće stalno u jednom smeu (goe desno) pošto sa poastom vemena t, obe koodinate i x i y se stalno povećavaju. Zbog toga je tajektoija polupava (podebljani deo linije putanje) a oblast ketanja je x 1, y Položaj tačke u tenutku t=1s x 1 =1 ( 1 ) = 3 M 1,3 ( ), y ( ) y x

10 Pojekcije bzine i ubzanja u funkciji vemena su: x &( t) = 4t, y &( t) = t, & x& ( t) = 4, & y& ( t) = odakle se vidi da je vekto ubzanja tokom ketanja konstantan a ( t) = 4i + j = const. a ( t) = 4 + = 5 m s Bzina u tenutku t=1s x& ( 1 ) = 4, y& ( 1 ) = V ( 1) = 4i + j, V ( 1) = 5 m s Pime 1.4 Jednačine ketanja tačke u avni su x = sin t i y = cos t (t je u sekundama a x i y su u metima). Odediti liniju putanje i skiciati je? Odediti tajektoiju i oblast ketanja? Odediti bzinu i ubzanje u poizvoljnom tenutku? Odediti tenutak vemena t u kojem tačka pvi put menja sme ketanja? Za dobijanje jednačine linije putanje (odnosno, za eliminaciju vemena t iz jednačina ketanja) iskoistimo tigonometijske identitete pema kojima dobijamo da je linija putanje paabola: cost = cos t sin t, cos t = 1 sin t cost = 1 sin t y = 1 x Zbog 1 sint 1, 1 cos t 1 oblast ketanja je 1 x 1, 1 y 1

11 Tačka osciluje duž paabole a na mestima A i B menja sme ketanja. Pojekcije bzine i ubzanja u funkciji vemena su: x & t = cos t y& ( t) = sin t ( ), & x ( t) = sin t, && y( t) = 4cost Bzina u poizvoljnom tenutku: V t = cost i sin t ( ) j ( t) = cos t ( sin t) V + Ubzanje u poizvoljnom tenutku: a t = sint i 4cost ( ) j ( t) = sin t ( 4cost) a + Početni položaj: = = x ( ), y ( ) 1 (,1) M Zbog x& ( ) = 1 tačka je započela ketanje u desnu stanu. Na mestu pve pomene smea ketanja (A) bzina tačke jednaka je nuli: x& ( t ) = cos t =, y& ( t ) = sin t = t = ( π ) s

12 Tohoida. Cikloida Paametaske jednačine tohoide: (u pikazanoj vaijanati) x t = x = Vt + R sin ωt y ( ) M ( t) = y = R + R cosωt M C centa otoa (tačka koja se keće avnomeno pavolinijski, bzinom V) R polupečnik otoa (astojanje tačke M od tačke C), R = CM ω ugaona bzina otoa (konstanta) Tohoida Specijalni slučaj tohoide, za Rω = V, je ciklioda Bzina tačke M može se odediti peko pvog izvoda paametaskih jednačina: x& t = V + Rωcosωt y& ( ) ( t) = Rωsin ωt Ubzanje tačke M odeđuje dugi izvod: && x t = Rω sin ωt && y ( ) ( t) = Rω cosωt

13 Rω Ciklioda (Rω = V), i više tohoida (Rω > V). Na svakoj naednoj slici je veće. V

14 Cikloida dobijena kotljanjem bez klizanja kužnog diska po pavoj (x osi) Ovde je paameta, ne veme t, već ugao otacije diska ϕ. C centa diska (tačka koja se keće pavolinijski) R polupečnik diska R = CM Paametaske jednačine cikloide: (u pikazanoj vaijanati) x ϕ = x = Rϕ + Rsin ϕ y ( ) M ( ϕ) = y = R + Rcosϕ M Zbog kotljanja bez klizanja dužina duži A P jednaka je dužini kužnog luka AP, što je Rϕ. Bzina se može odediti peko pvog izvoda: x& = Rϕ & + Rϕ& cosϕ y& = Rϕ& sin ϕ

15 Kivolinijska koodinata. Jedinični vektoi tangente i nomale. Vekto bzine izažen peko njegove pojekcije na tangentu i njegov intenzitet. U piodnom koodinatnom sistemu koodinata koja u potpunosti odeđuje položaj tačke je kivolinijska (piodna, lučna) koodinata s(t). Međusobno upavni jedinični vektoi ovog koodinatnog sistema su t i n Jedinični vekto tangente t ima sme poasta koodinate s(t), dok je, njemu upavni, jedinični vekto nomale n uvek usmeen u konkavnu stanu putanje. Vekto bzine: V = Vtt, V = ± Vt d ds V =, d = dst, V = t, V = st & Vt = s& V = st & Tangencijalno i nomalno ubzanje Vekto ubzanja a u ovom koodinatnom sistemu ima oblik a = att + ann Pojekcije ubzanja na tangentu i nomalu at i an nazivaju se tangencijalnim i nomalnim ubzanjem. a = a t + a n

16 V = st & Difeencianjem ovog izaza po vemenu dobija se: dv a = = && st + s& t & Za dobijanje t & izazimo t i n peko i i j t = cosθi + sin θj, n = sin θi + cosθj d t& = t = sin θ θ& i + cosθ θ& j t& = θ& sin θi + cosθj = θ& & & n = θ ( ) t n U gonjem izvođenju koiščeni su: činjenica da su i i j konstantni i sledeći identiteti: d d dθ θ cosθ = cosθ = sin θ θ& d d d, sin θ = sin θ = cosθ θ& dθ dθ Sada, izaz za vekto ubzanja a = && st + s& t & postaje a = && st + s&& θn, što daje da tangencijalno i nomalno ubzanje odeđuju izazi: ( t) & s ( t), t = s& t θ& t a t = ( ) ( ) ( ) a n

17 Odedimo θ&, kako bi dobili konačni izaz za = &s θ & : a n & d θ dθ ds dθ θ = = = s& = ds ds s& R k & = θ s& R k gde je, na osnovu slike, koišćena jednakost: Rk - polupečnik kivine putanje R k dθ = ds dθ ds = 1 R k Konačno, pošto je s & = V, tangencijalno i nomlno ubzanje odeđuju fomule: a t ( t) =& s& ( t), a t ( t) = V& ( t), ( t) Polupečnik kivine u nekoj tački putanje pedstavlja polupečnik kuga koji najbolje apoksimia beskonačno malu okolinu te tačke. a n = V R ( t) ( t). k

18 Odeđivanje polupečnika kivine putanje (kinematički način) Ovde se podazumeva definisanje pocedue za odeđivanje polupečnika kivine putanje (samim tim, nomalnmog i tangencijalnog ubzanja) u nekom tenutku vemena, ako su poznate jednačine ketanja x(t) i y(t) u xoy koodinatnom sistemu. V ( ) ( t) V an t = Rk = R t a k ( ). n Intenzitet bzine i njegov kvadat su: ( ) ( ) ( ) Nomalno ubzanje odeđuje fomula an = a a t xx yy gde je: a = & x + & y, a t V& &&& + &&& = = V Gonja fomula može se izvesti sledećim difeencianjem po vemenu: d V = x& + y& VV& = xx &&& + yy &&& at V t = x& t + y& t, V = x& + y&

19 Pime 1.5 U pimeu 1.1 odediti polupečnik kivine putanje na mestu koje odgovaa tenutku vemena t=1 s. S obziom da je u tom tenutku vemena x & = 1m s, y& = m s, V = 5 m s, & x& =, && y = m s tangencijalno ubzanje iznosi xx &&& + yy &&& a t = = V S obziom da je u tom tenutku a x + y = = && & 4 5 m nomalno ubzanje iznosi 16 m an = a at = 4 =, 5 5 s pa je taženi polupečnik kivine V R = = = m 5. m k a 5 59 n ( ) m s s,

20 Pime 1.6 U pimeu 1. odediti polupečnik kivine putanje na mestu koje t = π 4 odgovaa tenutku vemena ( ) s S obziom da je u tom tenutku vemena x & =, y& = 4 m s, V = 4 m s, && x = 1 m s, & y =, tangencijalno ubzanje iznosi a t xx &&& + yy &&& = = V S obziom da je u tom tenutku a x + y = 1 + = 1 m s = && & nomalno ubzanje iznosi m an = a at = 1 = 1 s pa je taženi polupečnik kivine V 4 4 R = = = m 1. m k a n, Do zaključka da je at =, a = an = 1 m s itd. moglo se doći i na osnovu same slike

21 Pime 1.7 U pimeu 1.4 odediti polupečnik kivine putanje na mestu koje odgovaa početnom tenutku vemena t= s. S obziom da je u tom tenutku vemena x & = 1 m s, y& =, V = 1m s, & x& =, && y = 4 m s, tangencijalno ubzanje iznosi xx &&& + yy &&& a t = =. V S obziom da je u tom tenutku a = && x + & y = + 4 = 4 m s nomalno ubzanje iznosi m an = a at = 4 = 4, s pa je taženi polupečnik kivine R V 1 1 a 4 4 m k = = = n. I ovde se moglo doći do zaključka da je, a t = itd. na osnovu same slike

22 Pavolinijsko ketanje tačke U dinamici se pi pavolinijskom ketanju mateijalne tačke uvek jedna osa (na pime x) usvaja u pavcu ketanja dok je ona duga (y osa) upavna na pavac ketanja. Izložimo kinematiku takvog ketanja kao specijalni sličaj ketanja tačke u yox avni, Vektoe bzine i ubzanja su V ( t) = x& ( t) i, a( t) = && x( t) i, i ukoliko nisu nula vektoi, moaju imati pavac ketanja (pavac x ose). Pojekcije ovih vektoa na y osu moaju biti jednake nuli y& ( t) =, & y& ( t) =, što daje i jednakost ( t) = const. y = Intenziteti vektoa su: V = x&, a = & x x( t) je jednačina (zakon) ketanja Čestoće se za pavolinijsko ketanje tačke umesto x( t) koistiti i duge slovne oznake, kao na pime s( t), y, u, z,..., ali suština je ista. I tada će se bzine dobijati peko pvih izvoda tih koodinata a ubzanja peko dugih.

23 Pime x t = t + t t 18 i ubzanje u funkciji vemena i nactati 3 Za pavolinijsko ketanje tačke jednačina (zakon) ketanja je ( ) (t je u [s], x je u [m]). Odediti bzinu vektoe bzine i ubzanja u tenucima t =, t 6 i t 9 funkcije x ( t), x( t), x( t), s( t), & & t =? i na kom mestu x( t ) =? 1 x& t = 1+ t t 6 1 && x t = 1 3 Pojekcija bzine je ( ) a pojekcija ubzanja ( ) t V 1 = ( t) i a( t)? = tačka menja sme ketanja? sekundi? Nactati Odediti u kom tenutku vemena

24 Uvstimo sada u izaze za t, t i & x& t umesto vemena t vednosti, 6 i 9 kako bi dobili položaj, bzinu i ubzanje u tim vemenskim tenucima: x x x ( ) x& ( ) ( ) ( ) =, x& ( ) = 1 m s, && x( ) = 1 m s, x( 6) = 1 m, x& ( 6) = 1 m s, && x( 6) ( 9) = 9 m, x& ( 9) = 3.5 m s, && x( 9) = m s. = 1 m s,

25 Za t = ketanje je ubzano Za t = 6s ketanje je uspoeno Za t = 9s ketanje je ubzano ali se tačka keće u supotnom smeu od poasta x koodinate Tačka menja sme ketanja u tenutku t kada joj je bzina jednaka nuli, tj. 1 x& ( t ) = 1+ t t = t = , t 6,873 s x( t ) = 1, 455 m 6

26 Zakoni kod jednolikog i jednako pomenljivog pavolinijskog ketanja tačke Jednoliko (avnomeno) pavolinijsko ketanje x & = V = const. dx = V - difeencijalna jednačina x( ) = - početni uslov x( t) = V t - Zakon ketanja (Zakon puta) Jednako (avnomeno) pomenljivo pavolinijsko ketanje Ovde je a (ubzanje, uspoenje) konstantno Neka su početni uslovi: & x& = a > (jednako ubzano), a-ubzanje ili x ( ) =, x &( ) = V & x& = a < (jednako uspoeno), a-uspoenje dx& & x = = a = const. x &( t) = V + at -Zakon bzine } jednako ubzano t dx = ( V + at) x( t) = V t + a -Zakon puta dx& & x = = a = const. x& ( t) = V at -Zakon bzine } jednako uspoeno t dx = ( V at) x( t) = V t a -Zakon puta

27 Zakoni kod jednolikog i jednako pomenljivog kivolinijskog ketanja tačke Jednoliko (avnomeno) kivolinijsko ketanje s & = V = const. ds = V - difeencijalna jednačina s( ) = - početni uslov s( t) = V t - Zakon ketanja (Zakon puta) Jednako (avnomeno) pomenljivo kivolinijsko ketanje Početni uslovi: Ovde je a (tangencijalno ubzanje/uspoenje) konstantno T s ( ) =, ( ) & s& = a T > (jednako ubzano), a T - tangencijalno ubzanje ili s & = V & s& = at < (jednako uspoeno), a T - tangencijalno uspoenje ds& & s = = a = const. } T s& ( t) = V + att -Zakon bzine jednako ubzano t ds = ( V + att) s( t) = V t + a T -Zakon puta ds& & s = = at = const. s& ( t) = V att t ds = ( V att) s( t) = V t a T -Zakon bzine } jednako uspoeno -Zakon puta

28 Jedinični vektoi, jednačine ketanja i komponente bzine i ubzanja u polanom koodinatnom sistemu Polane koodinate tačke su: i ϕ Jednačine ketanja su: t i ϕ t ( ) ( ) Jedinični vektoi adijalnog i cikulanog pavca su: i c. Oni su zbog pomene ugla ϕ pomenljivi i za nalaženje njihovih izvoda po vemenu izazimo ih peko jediničnih vektoa i i j : = cosϕ i + sin ϕ j, c = sin ϕ i + cosϕ j & = ϕ& sin ϕ i + ϕ& cosϕ j d( cosϕ) d( cosϕ) dϕ = = sin ϕ ϕ& & dϕ = ϕ& ( sin ϕ i + cosϕ j ) & = ϕ& c c& = ϕ& ϕ i ϕ& ϕ j d( sin ϕ) d( sin ϕ) dϕ cos sin = = cosϕ ϕ& dϕ c& = ϕ& cosϕ i + sin ϕ j & ( ) c = ϕ&

29 Vekto položaja: = OM = Pvi izvod vektoa položaja daje vekto bzine i njegove komponente u adijalnom i cikulanom pavcu a samim tim i njegove pojekcije na adijalni i cikulani pavac: d = V = & + & V = & + ϕ& c V = &, Vc = ϕ& Pvi izvod vektoa bzine daje vekto ubzanja i njegove komponente u adijalnom i cikulanom pavcu a samim tim i njegove pojekcije na adijalni i cikulani pavac: d V = & a = && a = + ϕ& c + && ϕc + a = && ( ϕ& ) ( && ϕ + ϕ&& ) c + ϕ& ( ϕ& ) (&& ϕ& ) + ( ϕ && + && ϕ) c + && a = & ϕ&, ac = ϕ && + & ϕ& + d c + ϕ& c&