Μαθηματικά. Ενότητα 2: Διαφορικός Λογισμός. Σαριαννίδης Νικόλαος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Κοζάνη)

Μαθηματικά Ενότητα 2: Διαφορικός Λογισμός Σαριαννίδης Νικόλαος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Κοζάνη)

Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύπου άδειας χρήσης, η άδεια χρήσης αναφέρεται ρητώς. 2

Χρηματοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα. Το έργο «Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο TEI Δυτικής Μακεδονίας» έχει χρηματοδοτήσει μόνο τη αναδιαμόρφωση του εκπαιδευτικού υλικού. Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς πόρους. 3

Σκοποί ενότητας Να κατανοήσει ο φοιτητής τις βασικές έννοιες του διαφορικού λογισμού. Ειδικότερα, μελετώνται τα εξής: όρια συναρτήσεων, μη πεπερασμένα όρια, συνέχεια συνάρτησης, όριο συνάρτησης στο διηνεκές και θεώρημα μέσης τιμής μονοτονία συνάρτησης. 4

Περιεχόμενα ενότητας Όρια συναρτήσεων. Μη πεπερασμένα όρια. Συνέχεια συνάρτησης. Όριο συνάρτησης στο διηνεκές. Θεώρημα μέσης τιμής μονοτονία συνάρτησης. 5

Όριο συνάρτησης (1) Η έκφραση lim f x = l μπορεί να είναι σωστή ακόμη και x x0 αν f x l. Επιπλέον, το σημείο x 0 ενδέχεται να μην ανήκει στο πεδίο ορισμού της f, δηλαδή το όριο lim f x = x x0 l μπορεί να έχει νόημα ακόμα και για σημεία x 0 στα οποία η f δεν ορίζεται. 6

Όριο συνάρτησης (2) lim f x x x 0 = l lim x 2 f x = 2 7

Όριο συνάρτησης (3) lim f x x x 0 = l lim x x0 f x l = 0 π. χ. lim x 7 f x 15 = 0 lim x 7 f(x) = 15 8

Όριο συνάρτησης (4) Εάν μια συνάρτηση f έχει όριο στο x 0, τότε το όριο αυτό είναι μοναδικό και παριστάνεται με lim f x = l x x 0 Το όριο της ταυτοτικής συνάρτησης f(x) = x είναι lim x x 0 x = x 0 για κάθε x 0 R. Για παράδειγμα, lim x 7 x = 7 Το όριο της σταθερής συνάρτησης f(x) = c, c R είναι lim x x 0 c = c για κάθε x 0 R. Για παράδειγμα, lim x 4 8 = 8 9

Πλευρικά όρια Πολλές φορές είναι απαραίτητο να διερευνήσουμε το όριο μιας συνάρτησης f(x) καθώς το x τείνει (πλησιάζει) στο x 0 μόνο από δεξιά ή μόνο από αριστερά. Αν καθώς το x τείνει στο x 0 από αριστερά, δηλαδή ορίζεται από αριστερά του x 0 στο διάστημα (a, x 0 ), το f(x) τείνει σε κάποιο αριθμό l 1, τότε λέμε ότι το l 1 είναι το αριστερό πλευρικό όριο της f στο x 0 και συμβολίζουμε lim f x = l x x0 1. Αντίστοιχα ορίζουμε και το δεξιό πλευρικό όριο της f στο x 0 και το συμβολίζουμε με lim f x = l x x+ 2 0 (Προσέξτε τα πρόσημα πάνω από το x 0, γράφουμε x x 0 και x x 0 + ). 10

Θεώρημα 1 Μια συνάρτηση f με πεδίο ορισμού ένα σύνολο της μορφής (α, x 0 ) (x 0, β) έχει στο x 0 όριο l R, αν και μόνο αν τα πλευρικά της όρια υπάρχουν και είναι ίσα με l, δηλαδή lim x x 0 f x = l lim x x0 f x = lim x x 0 + f x = l 11

Παράδειγμα 1 (1) Έστω f x = l και l R. lim x 7 Να βρεθεί το β R στην περίπτωση που τα πλευρικά όρια είναι: lim f x = x 7 2β4 και lim f x = 32 x 7 + 12

Παράδειγμα 1 (2) Εφόσον υπάρχει το όριο lim f x = l x 7 θα πρέπει τα πλευρικά όρια να οδηγούν στο ίδιο αποτέλεσμα, δηλαδή lim f x = lim f x x 7 x 7 + 2β4 = 32 β 4 4 = 16 β = 16 β = 2 β = 2 2 13

Παράδειγμα 2 (1) Υποθέτοντας ότι υπάρχουν τα lim f x και lim f x x 7 x 5 να βρεθούν τα α, β R στην περίπτωση που τα πλευρικά όρια είναι: lim f x = 3α β x 7 lim f x = 2β x 7 + lim f x = 9α + 4β x 5 lim f x = 3α + 2 x 5 + 14

Παράδειγμα 2 (2) Εφόσον υπάρχουν τα lim f x και lim f x x 7 x 5 τα πλευρικά όρια θα εξισωθούν και συνεπώς θα έχουμε: lim f x = lim f x x 7 x 7 + lim f x = lim f x x 5 x 5 + 3α β = 2β 9α + 4β = 3α + 2 15

Παράδειγμα 2 (3) 3α 3β = 0 6α + 4β = 2 α = β 6α + 4β = 2 α = β 6α + 4α = 2 α = β α = 2 10 β = 1 5 α = 1 5 16

Ιδιότητες των ορίων (1) 17

Μη πεπερασμένα όρια Εάν οι τιμές μιας συνάρτησης f(x) αυξάνονται ή μειώνονται συνεχώς χωρίς να προσεγγίζουν μια συγκεκριμένη τιμή (κινούνται στο διηνεκές), ενώ παράλληλα η μεταβλητή x πλησιάζει με οποιονδήποτε τρόπο την τιμή x 0, τότε το όριο της f(x) στο x 0 είναι το + ή το. Ορισμός: Μια συνάρτηση f(x), με πεδίο ορισμού ένα σύνολο της μορφής (α, x 0 ) (x 0, β), έχει στο x 0 όριο +, δηλαδή lim f x = +, όταν για κάθε ε > 0 x x0 υπάρχει δ > 0, τέτοιο ώστε για κάθε x με 0 < x x 0 < δ να ισχύει ότι f(x) > ε. 20

Παράδειγμα 3 (1) Έστω fμια συνάρτηση με πεδίο ορισμού (α, x 0 ) (x 0, β) και lim f x = β x x0 2, lim f x x x+ 0 = β2 Να βρεθούν οι κατάλληλες τιμές του β R για τις οποίες υπάρχει το lim x x 0 f x 21

Παράδειγμα 3 (2) lim f x x x 0 = lim x x 0 + f x β 2 = β2 β 2 + β2 = 0 β 1 2 + β = 0 β = 0 β = 1 2 για τις δυο αυτές ρίζες υπάρχει το όριο της f(x) στο x 0, συγκεκριμένα: lim f x = 0 για β = 0 και lim f x = 1 x x 0 x x0 4 για β = 1 2 22

Παράδειγμα 4 (1) Έστω η συνάρτηση f x = 1 x2 και αναζητούμε το όριο αυτής στο x 0 = 0, είτε από δεξιά, είτε από αριστερά, τόσο η τιμή του f(x) αυξάνεται με τάση, φυσικά, το διηνεκές. x δεξιά του 0 + 1/x 2 x αριστερά του 0 1 1 1 0,9 1,23 0,9 0,8 1,56 0,8 0,7 2,04 0,7 0,5 4 0,5 23

Παράδειγμα 4 (2) x δεξιά του 0 + 1/x 2 x αριστερά του 0 1 1 1 0,3 11,11 0,3 0,2 25 0,2 0,1 100 0,1 0,01 10.000 0,01 0,001 1.000.000 0,001 0,0001 100.000.000 0,0001 24

Παράδειγμα 4 (3) 25

Μη πεπερασμένα όρια: χαρακτηριστικά (1) Γενικότερα, για f x = c x 2λ ισχύει: 26

Μη πεπερασμένα όρια: χαρακτηριστικά (2) Στην περίπτωση, βέβαια, της συνάρτησης f x στο 0 δεν υπάρχει, καθώς lim. x 0 + 1 x = 1 x το όριο 1 = + lim = x 0 x Δεξιά του μηδενός οι τιμές της συνάρτησης f(x) βαίνουν αυξανόμενες καθώς το x τείνει στο 0, αριστερά του μηδενός οι τιμές της συνάρτησης είναι αρνητικές και συνεχώς μειούμενες καθώς το x πλησιάζει το μηδέν. 27

Μη πεπερασμένα όρια: χαρακτηριστικά (3) x με τιμές δεξιά του 0 1/x x με τιμές αριστερά του 0 1/x 1 1-1 -1 0,9 1,11-0,9-1,11 0,8 1,25-0,8-1,25 0,7 1,42-0,7-1,42 0,5 2-0,5-2 0,3 3,33-0,3-3,33 0,2 5-0,2-5 0,1 10-0,1-10 0,01 100-0,01-100 0,001 1.000-0,001-1.000 0,0001 10.000-0,0001-10.000 28

Μη πεπερασμένα όρια: χαρακτηριστικά (4) 29

Μη πεπερασμένα όρια: χαρακτηριστικά (5) Η περίπτωση της συνάρτησης f x = 1 εντάσσεται στην x γενικότερη περίπτωση των συναρτήσεων f x = c τις οποίες ισχύουν τα εξής: x 2λ+1 για 30

Μη πεπερασμένα όρια: χαρακτηριστικά (6) Τέλος, βάσει του παραπάνω ορισμού ισχύουν και οι ακόλουθες ιδιότητες: Εάν lim x x0 f x = +, τότε f(x) > 0 στην περιοχή του x 0. Εάν lim x x0 f x =, τότε f(x) < 0 στην περιοχή του x 0. Εάν lim x x0 f x = ±, τότε lim x x0 1 f x = 0. 31

Μη πεπερασμένα όρια: Εάν lim x x0 f x χαρακτηριστικά (7) = ±, τότε lim x x0 f x = +. Εάν lim f x = 0 και f x > 0 στην περιοχή του x 0, τότε x x0 1 lim = +. x x 0 f x Εάν lim x x0 f x 1 lim x x 0 f x =. = 0 και f(x) < 0 στην περιοχή του x 0, τότε 32

Όριο αθροίσματος (1) Περίπτωση I II III Όριο της συνάρτησης f c R c R + Όριο της συνάρτησης g + + Όριο της συνάρτησης f + g + + 33

Όριο αθροίσματος (2) Περίπτωση IV V VI Όριο της συνάρτησης f + Όριο της συνάρτησης g + Όριο της συνάρτησης f + g Απροσδιοριστία Απροσδιοριστία 34

Όριο γινομένου (1) Περίπτωση I II III IV Όριο της συνάρτησης f Όριο της συνάρτησης g Όριο της συνάρτησης f g c > 0 c < 0 c > 0 c < 0 + + + + 35

Όριο γινομένου (2) Περίπτωση V VI Όριο της συνάρτησης f Όριο της συνάρτησης g Όριο της συνάρτησης f g 0 0 + Απροσδιοριστία Απροσδιοριστία 36

Άσκηση 1 (1) 37

Άσκηση 1 (2) Η συνάρτηση έχει πεδίο ορισμού το σύνολο Α =, 3 3, +, καθώς ο παρονομαστής της f x = x 1 θα πρέπει να x 3 είναι διάφορος του μηδενός, δηλαδή x 3 0. Το όριο της συνάρτησης είναι x 1 lim x 3 x 3 = 3 1 3 3 = 2 0 Εφόσον πρόκειται για πηλίκο θα χρησιμοποιήσουμε τον Πίνακα 11.5, προσπαθώντας να βρούμε σε ποια περίπτωση εντάσσεται. Πρώτο βήμα αποτελεί η εύρεση του ορίου του αριθμητή: lim (x 1) = 3 1 = 2. Δεύτερο βήμα αποτελεί η x 3 εύρεση του ορίου του παρονομαστή: lim x 3 x 3 = 0. 38

Άσκηση 1 (3) Τρίτο βήμα αποτελεί η εκτίμηση της παράστασης του παρονομαστή με αντικατάσταση όπου x του x 0. Επειδή αναζητούμε το πλευρικό όριο της f αριστερά του x 0 = 3, η ποσότητα x 3 πρέπει να είναι μικρότερη από 0, αφού το x προσεγγίζει το 3 από αριστερά. Για παράδειγμα, αν x = 2,99, τότε 2,99 3 = 0,01 < 0. Συνεπώς, η άσκηση εντάσσεται στην περίπτωση IV του πίνακα 11.5, επομένως x 1 lim =. x 3 x 3 39

Άσκηση 2 (2) Η συνάρτηση έχει πεδίο ορισμού το σύνολο Α = (, 1) (1, + ), καθώς ο παρονομαστής της f x = 3 x 2 2x+1 θα πρέπει να είναι διάφορος του μηδενός, δηλαδή x 2 2x + 1 0 (x 1) 2 0 x 1. Επειδή lim 3 = 3 x 1 x 2 2x+1 0 προηγούμενης άσκησης., ακολουθούμε τα βήματα της Πρώτο βήμα: o αριθμητής είναι μεγαλύτερος του μηδενός (c = 3 > 0). Δεύτερο βήμα: Το όριο του παρονομαστή είναι lim x 1 (x 2 2x + 1) = 0. 41

Άσκηση 3 (2) Κατ αρχήν θα πρέπει να βρούμε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης. Η συνάρτηση θα έχει νόημα όταν x 0 1 x > 0 x 0 x < 1 Συνεπώς, το πεδίο ορισμού της f θα είναι Α = [0,1). Το όριο της συνάρτησης στο x 0 = 1 δεν υπάρχει, καθώς η εν λόγω συνάρτηση ορίζεται μόνο αριστερά του 1, δηλαδή υπάρχει μόνο το αριστερό πλευρικό όριο. Για τον x υπολογισμό του πλευρικού ορίου lim εργαζόμαστε x 1 1 x ως εξής: Πρώτο βήμα: Υπολογίζουμε το όριο του αριθμητή: lim = 1. x 1 43

Άσκηση 3 (3) Δεύτερο βήμα: Υπολογίζουμε το όριο του παρονομαστή: lim x 1 1 x = 0. Τρίτο βήμα: Εκτιμούμε το μέγεθος του παρονομαστή 1 x > 0 που ισχύει για κάθε x του πεδίου ορισμού, καθώς το x παίρνει σε κάθε περίπτωση οριακές τιμές μικρότερες του 1 αλλά ποτέ 1. Για παράδειγμα, για x = 0,99 τότε 1 0,99 > 0. Η άσκηση εντάσσεται στην περίπτωση III του πίνακα 11.5 και x επομένως lim = +. x 1 1 x 44

Άσκηση 4 (2) Η συνάρτηση έχει πεδίο ορισμού το σύνολο Α = (, 0) (0, 3) (3, + ), καθώς ο παρονομαστής της f x = x+1 x 3 3x2 θα πρέπει να είναι διάφορος του μηδενός, δηλαδή f x = x+1 = x+1 που σημαίνει x 3 3x 2 x 2 (x 3) x 2 0 x 3 0 x 0 x+1. Επειδή lim x 3 = 1 x 0 x 2 (x 3) 0 ακολουθούμε τα εξής βήματα. Πρώτο βήμα: παρουσιάζουμε την συνάρτηση ως γινόμενο δυο κλασμάτων, δηλαδή f x = 1 x 2 x+1 (x 3). 46

Άσκηση 4 (3) Δεύτερο βήμα: Το όριο του πρώτου κλάσματος είναι lim x 0 1 x 2 = +. Τρίτο βήμα: το όριο του δεύτερου x+1 κλάσματος είναι lim = 1 = c < 0. Η άσκηση x 0 (x 3) 3 εντάσσεται στην περίπτωση IV του πίνακα 11.4 και επομένως lim x 1 1 x 2 x + 1 (x 3) = 47

Άσκηση 5 (2) Η συνάρτηση έχει πεδίο ορισμού το σύνολο Α =, 1 1, +, καθώς ο παρονομαστής της f x = x+1 x 1 θα πρέπει να είναι διάφορος του μηδενός, δηλαδή x 1 0 x 1. Για τη λύση της άσκησης μετατρέπουμε τη συνάρτηση σε πολλαπλού τύπου, καθώς αριστερά του 1 η παράσταση του παρονομαστή είναι μικρότερη του μηδενός, ενώ δεξιά του 1 είναι μεγαλύτερη του μηδενός. Συνεπώς, x + 1 αν x > 1 f x = x 1 x + 1 x + 1 αν x < 1 49

Άσκηση 5 (3) Υπολογίζουμε, λοιπόν, τα πλευρικά όρια της συνάρτησης x+1 x+1 lim = + και lim = + και βλέπουμε ότι το x 1 + x 1 x 1 x+1 όριο της συνάρτησης f στην περιοχή του 1 υπάρχει (αφού x+1 = + = lim = + ). x 1 x+1 x+1 lim x 1 + x 1 50

Συνέχεια συνάρτησης Η συνέχεια αναφέρεται στις περιπτώσεις των συναρτήσεων που γραφικά η γραμμή που αναπαριστά τη συνάρτηση δεν διακόπτεται (αν και αυτό δεν είναι απόλυτα σωστό). Γενικά, μια συνάρτηση f είναι συνεχής εάν οι όποιες μικρές μεταβολές στην τιμή της μεταβλητής x έχουν ως αποτέλεσμα μικρές μεταβολές στην τιμή της συνάρτησης f. Επειδή όμως ο ορισμός αυτός είναι σχετικά αόριστος, θα περιοριστούμε ορίζοντας τη συνέχεια σε ένα συγκεκριμένο σημείο. 51

Συνεχείς συναρτήσεις (1) 52

Συνεχείς συναρτήσεις (2) 53

Ασυνεχείς συναρτήσεις (1) 54

Ασυνεχείς συναρτήσεις (2) 55

Θεώρημα 1 (1) Αν f: A R είναι μια συνάρτηση με πεδίο ορισμού Α υποσύνολο του R A R και το x 0 ανήκει στο πεδίο ορισμού της, τότε η f ονομάζεται συνεχής στο x 0 αν Υπάρχει το f(x 0 ), δηλαδή το x 0 ανήκει στο πεδίο ορισμού της f. Το όριο lim x x0 f x = L υπάρχει. Ισχύει f(x 0 ) = L, δηλαδή η περίπτωση 1 να είναι ίση με την 2. Οι παραπάνω συνθήκες μπορούν να ενσωματωθούν στην πρόταση: lim x x 0 f x = f(x 0 ) 56

Θεώρημα 1 (2) Αν το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f είναι της μορφής Α = [a, b], τότε η f είναι συνεχής στο α αν και μόνο αν lim x α +f x = a και συνεχής στο b αν και μόνο αν lim x b f x = b. Αν το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f είναι της μορφής Α = (α, c] (c, β), τότε η f είναι συνεχής στο c αν και μόνο αν lim f x = lim x c + x c f x = f(c) 57

Παράδειγμα 5 (1) Να αποφανθείτε για τη συνέχεια της συνάρτησης f x = x2 1 όταν x x 1 0 = 1. 58

Παράδειγμα 5 (2) Λύση: Η συνάρτηση f έχει πεδίο ορισμού το σύνολο Α = (, 1) (1, + ), καθώς ο παρονομαστής θα πρέπει να είναι διάφορος του μηδενός, δηλαδή θα πρέπει x 1. Συνεπώς, η συνάρτηση f δεν μπορεί να είναι συνεχής στο x 0 = 1 διότι δεν ορίζεται στο σημείο αυτό και επομένως δεν ισχύει η 1 η περίπτωση του παραπάνω ορισμού της συνέχειας. Σημειώνουμε ότι σημεία στα οποία η συνάρτηση δεν είναι συνεχής ονομάζονται σημεία ασυνέχειας. 59

Παράδειγμα 6 (1) Να αποφανθείτε για τη συνέχεια της συνάρτησης f x 7 = x 1 αν x 1 όταν x 0 = 1 5 αν x = 1 60

Παράδειγμα 6 (2) Λύση: Το πεδίο ορισμού της f είναι A = R. Η 1 η συνθήκη του ορισμού ικανοποιείται, καθώς υπάρχει το f(1) = 5. Η 2 η, όμως, συνθήκη, δεν ισχύει, διότι το όριο lim 7 δεν x 1 x 1 υπάρχει. Συγκεκριμένα, σύμφωνα με τις περιπτώσεις III και IV του πίνακα 11.5 (βλέπε απόσπασμα παρακάτω) έχουμε: 7 lim x 1 + x 1 = + lim x 1 7 x 1 = 61

Παράδειγμα 6 (3) Πέραν του γεγονότος της διαφορετικότητας των πλευρικών ορίων, η όποια σύγκλιση γίνεται στο άπειρο. 62

Παράδειγμα 7 (1) Να αποφανθείτε για τη συνέχεια της συνάρτησης x 2 1 f x = αν x 1 x 1 όταν x 0 = 1 3 αν x = 1 63

Παράδειγμα 7 (2) Λύση: Το πεδίο ορισμού της f είναι A = R. Η 1 η συνθήκη του ορισμού ικανοποιείται, καθώς υπάρχει το f(1) = 3. Η 2 η συνθήκη επίσης ικανοποιείται διότι υπάρχει το όριο: lim x 1 x 2 1 x 1 = lim x 1 (x 1)(x + 1) x 1 = lim x 1 x + 1 = 2 H 3 η όμως, συνθήκη δεν ικανοποιείται διότι x 2 1 f 1 = 3 lim x 1 x 1 = 2 Συνεπώς, η f δεν είναι συνεχής για x 0 = 1. 64

Θεώρημα ενδιάμεσων τιμών (1) Έστω f μια συνάρτηση συνεχής στο κλειστό διάστημα [a, b] και υποθέτουμε ότι c είναι ένας πραγματικός αριθμός μεταξύ f(a) και f(b), τότε υπάρχει d στο διάστημα (a, b) τέτοιο ώστε f d = c. 65

Θεώρημα ενδιάμεσων τιμών (2) 66

Θεώρημα Bolzano Έστω f μια συνάρτηση συνεχής στο κλειστό διάστημα [a, b] και το γινόμενο f a f b < 0, τότε υπάρχει c στο διάστημα (a, b) τέτοιο ώστε f(c) = 0. Με άλλα λόγια, η συνάρτηση f έχει τουλάχιστον μια ρίζα στο διάστημα (a, b). 67

Παράδειγμα 8 (1) Να αποφανθείτε για τη συνέχεια της συνάρτησης f(x) = x 3 68

Παράδειγμα 8 (2) Λύση: Η συνάρτηση βρίσκεται σε απόλυτη τιμή και διαφοροποιείται ανάλογα με τις τιμές που λαμβάνει η μεταβλητή x. Συγκεκριμένα, x 3 αν x > 3 f x = x 3 αν x < 3 0 αν x = 3 H f(x) ως πολυωνυμική είναι συνεχής στις περιπτώσεις x 3 και (x 3). Μένει, λοιπόν, να διερευνηθεί η περίπτωση του x = 3. Για να διαπιστώσουμε την ύπαρξη ορίου για x = 3 θα υπολογίσουμε τα αντίστοιχα πλευρικά όρια του εν λόγω σημείου: 69

Παράδειγμα 8 (3) lim x 3 +f x lim x 3 f x = lim x 3 = 0 x 3 + = lim x 3 = 0 x 3 Συνεπώς, το όριο για x = 3 υπάρχει, αφού τα πλευρικά όρια είναι ίσα lim f x = lim x 3 + x 3 f x = 0. Επίσης, η συνάρτηση είναι συνεχής, αφού limf x = f x 0 = 0. x 3 Συμπεραίνουμε επομένως, ότι η συνάρτηση μπορεί να χαρακτηριστεί συνεχής σε όλο το R. 70

Παράδειγμα 9 (1) Να αποφανθείτε για τη συνέχεια της συνάρτησης f(x) = x2 4 x 2 4 71

Παράδειγμα 9 (2) Λύση: Για να έχει νόημα η συνάρτηση θα πρέπει ο παρονομαστής να είναι διάφορος του μηδενός. Συγκεκριμένα, f(x) = x2 4 x 2 4 = x 2 4 x 2 (x + 2) που σημαίνει ότι η f δεν ορίζεται για x = 2 ή x = 2. Επιπλέον, ο παρονομαστής βρίσκεται σε απόλυτη τιμή και συνεπώς η συνάρτηση f διαφοροποιείται ανάλογα με τις τιμές που λαμβάνει η μεταβλητή x. Ο παρονομαστής x 2 4 έχει δυο ρίζες x 2 4 = 0 x 2 = 2 2 x = ±2 και λαμβάνει θετικές τιμές όταν x < 2 και x > 2, ενώ αντίστοιχα λαμβάνει αρνητικές τιμές για 2 < x < 2 72

Παράδειγμα 9 (4) x 2 4 x 2 4 αν x > 2 Ψ x < 2 x = x2 4 x 2 αν 2 < x < 2 4 δεν ορωζεται αν x = ±2 1 αν x > 2 Ψ x < 2 f x = 1 αν 2 < x < 2 δεν ορωζεται αν x = ±2 Η συνάρτηση f είναι συνεχής σε όλο το πεδίο ορισμού της R { 2, 2}, όπως φαίνεται και στο Σχήμα 12.4. Όμως στα σημεία 2 και 2, η f δεν μπορεί να χαρακτηριστεί συνεχής καθώς δεν ορίζεται σε αυτά τα σημεία. 74

Παράδειγμα 10 (1) Να δείξετε ότι η παρακάτω εξίσωση έχει μια τουλάχιστον πραγματική ρίζα. x 2 + 4x 1 = 0 76

Παράδειγμα 10 (2) Λύση: Η μεθοδολογία που θα ακολουθήσουμε για να λύσουμε την άσκηση βασίζεται στο θεώρημα Bolzano. Γνωρίζουμε ότι μια συνάρτηση f, συνεχής στο κλειστό διάστημα [a, b], με γινόμενο f(a) f(b) < 0, έχει τουλάχιστον μια ρίζα στο κλειστό διάστημα. Συνεπώς, στόχος για την εύρεση ρίζας είναι η επιλογή ενός τέτοιου διαστήματος [a, b] που θα δώσει αρνητικό γινόμενο f(a) f(b). Για παράδειγμα, έστω η συνάρτηση f(x) = x 2 + 4x 1. Eύκολα διαπιστώνουμε ότι 77

Παράδειγμα 10 (3) αν επιλέξουμε ως αριστερό άκρο του διαστήματος το μηδέν η f θα ισούται με f(0) = 0 2 + 4 0 1 = 1 < 0, αν επιλέξουμε ως δεξιό άκρο το 1 η f θα ισούται με f(1) = 1 2 + 4 1 1 = 4, Το γινόμενο f(0) f(1) = 1 4 = 4. Επιπλέον, η συνάρτηση είναι συνεχής στο διάστημα [0, 1] ως πολυωνυμική. Σύμφωνα, λοιπόν, με το θεώρημα Bolzano η παραπάνω εξίσωση έχει τουλάχιστον μια πραγματική ρίζα στο διάστημα (0,1). Πράγματι, η εξίσωση x 2 + 4x 1 με διακρίνουσα Δ = 16 4 1 ( 1) = 20, έχει ρίζες 78

Παράδειγμα 10 (4) x 1,2 = β ± β2 4aγ 4 ± 20 x 2a 1,2 = 2 1 4 + 20 x 1 = 2 4 20 x 2 = 2 4 + 4,47 x 1 = 2 4 0,447 x 2 = 2 x 1 = 0,235 x 2 = 2,236 παρατηρούμε ότι η ρίζα x 1 = 0,235 όντως βρίσκεται στο διάστημα (0, 1). 79

Παράδειγμα 11 (1) Να δείξετε ότι η παρακάτω εξίσωση έχει μια τουλάχιστον πραγματική ρίζα. x 6 + 7x 3 3x 10 = 0 80

Παράδειγμα 11 (2) Λύση: Η μεθοδολογία που θα ακολουθήσουμε για να λύσουμε την άσκηση βασίζεται στο θεώρημα Bolzano. Έστω η συνάρτηση f(x) = x 6 + 7x 3 3x 10 τότε εύκολα διαπιστώνουμε ότι αν επιλέξουμε ως αριστερό άκρο του διαστήματος το μηδέν η f θα ισούται με f(0) = 0 6 + 7 0 3 3 0 10 = 10, αν επιλέξουμε ως δεξιό άκρο το 2 η f θα ισούται με f(2) = 2 6 + 7 2 3 3 2 10 = 64 + 56 6 10 = 104, 81

Παράδειγμα 11 (3) Tο γινόμενο f(0) f(2) = 10 104 < 0. Επιπλέον, η συνάρτηση f είναι συνεχής στο διάστημα [0, 2] ως πολυωνυμική. Συνεπώς, σύμφωνα με το θεώρημα Bolzano, η παραπάνω εξίσωση έχει τουλάχιστον μια πραγματική ρίζα στο διάστημα (0,2). 82

Όριο στο διηνεκές (1) Ενδεικτικές τιμές της συνάρτησης f x = 1 x, (x > 0) 83

Όριο στο διηνεκές (2) Καθώς το x αυξάνει (για x > 0) η f(x) τείνει στο +. 84

Όριο στο διηνεκές (3) 85

Τα σημαντικότερα όρια στο διηνεκές (1) Το όριο πολυωνυμικής συνάρτησης f x = a n x n + a n 1 x n 1 + + a 1 x + a 0 όταν το x τείνει στο άπειρο έχει ως αποτέλεσμα το + ή ανάλογα με το πρόσημο του μεγαλύτερου σε βαθμό όρου. Συγκεκριμένα, lim f x = lim a nx n + a n 1 x n 1 + + a 1 x + a 0 = x + x + lim a nx n με συνθήκη a n 0 και n N. Το όριο x + lim a nx n διαφοροποιείται ανάλογα με την τιμή του α: x + 89

Τα σημαντικότερα όρια στο διηνεκές (2) για α > 0 lim x + a nx n = +, π.χ. lim x + 3x5 = +. για α < 0 lim x + a nx n = π.χ. lim x + 5x4 =. 90

Τα σημαντικότερα όρια στο διηνεκές (3) lim f x = lim a nx n + a n 1 x n 1 + + a 1 x + a 0 = lim a nx n με x x + x συνθήκη a n 0 και n N. Το όριο lim a nx n διαφοροποιείται, όπως x + και παραπάνω, ανάλογα με την τιμή του α: για α > 0 και n άρτιος lim x a nx n = +, π.χ. lim x 7x4 = +. για α > 0 και n περιττός lim x a nx n =, π.χ. lim x 3x3 =. για α < 0 και n άρτιος lim x a nx n =, π.χ. lim x 5x2 =. για α < 0 και n περιττός lim x a nx n = +, π.χ. lim x 7x9 = +. 91

Τα σημαντικότερα όρια στο Το όριο ρητής συνάρτησης f x διηνεκές (4) = P(x) Q(x) = a nx n + a n 1 x n 1 + + a 1 x + a 0 b k x k + b k 1 x k 1 + + b 1 x + a 0 μπορεί να βρεθεί με τη χρήση ενός πρακτικού κανόνα παρόμοιου με αυτόν του πολυωνύμου. Συγκεκριμένα, P(x) lim x ± Q(x) = lim a n x n + a n 1 x n 1 + + a 1 x + a 0 x ± b k x k + b k 1 x k 1 + + b 1 x + a 0 a n x n = lim x ± b k x k με συνθήκη Q(x) 0 και n, k N. Με άλλα λόγια, το όριο της ρητής συνάρτησης καθορίζεται από τους μεγιστοβάθμιους όρους του αριθμητή και παρονομαστή. 92

Τα σημαντικότερα όρια στο διηνεκές (5) lim x + 3x 4 x 3 3x 5 2x 3 + 7x = = lim x + x 4 (3 1 x 3 x 3 5 x 3 x 3 2 + 7 x 2 = = lim x + κοινός παραγοντας το x 4 και το x 3 x 3 1 x 3 x 3 5 x 3 2 + 7 x 2 = = lim x x + lim x + 3 1 x 3 x 3 5 x 3 2 + 7 x 2 = + 3 2 = + 93

Τα σημαντικότερα όρια στο διηνεκές (6) Εφαρμόζοντας τώρα τον κανόνα που προηγουμένως αναφέραμε μπορούμε να πάρουμε το όριο ως εξής: 3x 4 x 3 3x 5 lim x + 2x 3 = + 7x 3x 4 = lim x + 2x 3 = lim 3 x + 2 x = + 94

Παράδειγμα 12 (1) lim x 5x 7 4x 5 + 3x + 12 2x 2 9x 3 95

Παράδειγμα 12 (2) lim x 5x 7 4x 5 + 3x + 12 2x 2 9x 3 = 5x 7 = lim x 2x 2 = lim 5 x 2 x5 96

Παράδειγμα 13 (1) lim x 2x 4 + 3x 3 + x 5 3x 2 + 2x + 1 97

Παράδειγμα 13 (2) lim x 2x 4 + 3x 3 + x 5 3x 2 + 2x + 1 = + 2x 4 = lim x 3x 2 = lim 2 x 3 x2 98

Όριο εκθετικής συνάρτησης Για 0 < α < 1, τότε: lim x + αx = 0 lim x αx = + Για α > 1, τότε: lim x + αx = +, π.χ. για τον αριθμό e έχουμε lim x + ex = + Υπενθυμίζεται ότι το e είναι η βάση των Νεπερίων λογαρίθμων ή αλλιώς ο αριθμός Όιλερ ίσος περίπου με 2,718. 99

Άσκηση 6 (1) Να βρεθεί το όριο lim ( x 16x2 x + 2x) 100

Άσκηση 6 (2) Λύση: Για να έχει νόημα η συνάρτηση το υπόριζο πρέπει να είναι θετικό, συνεπώς 16x 2 x 0 x 16x 1 0, που σημαίνει x 0 και x 1. Επομένως, το πεδίο 16 ορισμού της συνάρτησης είναι 1 Α = (, 0) (0, 16 ) ( 1 16, + ). 101

Άσκηση 6 (3) 1 ος Τρόπος lim x 16x 2 x + 2x = = lim x x 2 16 1 x + 2x = = lim x x 16 1 x + 2x = = lim x ( x) 16 1 x + 2x επειδή x<0, x = x 102

Άσκηση 6 (4) lim x 16 1 x x 2 κοινός παρφγοντας το x = lim x x 16 1 x 2 = = + 2 = + 103

2 ος Τρόπος lim x = lim x lim x = lim x Άσκηση 6 (5) 16x 2 x + 2x = ΠολλαπλασιΦζουμε και διαιρούμε με τη συζυγψ παρφσταση 16x 2 x + 2x 16x 2 x 2x 16x 2 x 2x 16x 2 x 2 2x 2 x 2 16 1 = x + 2x ( x ) 2 =x, ενώ x 2 = x 16χ 2 x 4x 2 x 16 1 = x + 2x 104

Άσκηση 6 (6) = lim x = lim x επειδή x<0, x = x 12x 2 x x 16 1 = x + 2x x 2 (12 1 x ) x 16 1 = x + 2 = lim x2 x x lim x = lim x x (12 0) (16 0 + 2 12 1 x 16 1 x + 2 = = + 2 = + 105

Θεώρημα του Rolle (1) Θεωρούμε μια συνάρτηση f συνεχή στο κλειστό διάστημα [a, b] και παραγωγίσιμη στο ανοιχτό διάστημα (a, b). Εάν f(a) = f(b), τότε υπάρχει c στο διάστημα (a, b) τέτοιο ώστε f c = 0. H παράγωγος αποτελεί εφαπτομένη της συνάρτησης f, δηλαδή δείχνει την κλίση της συνάρτησης, η οποία όταν πάρει την τιμή μηδέν σε συγκεκριμένο σημείο παριστάνεται με παράλληλη ευθεία προς τον άξονα x 106

Θεώρημα του Rolle (2) 107

Θεώρημα μέσης τιμής (1) Εάν μια συνάρτηση f είναι συνεχής στο κλειστό διάστημα [a, b] και παραγωγίσιμη στο ανοιχτό διάστημα (a, b), τότε υπάρχει τουλάχιστον ένα σημείο x = c στο διάστημα (a, b) για το οποίο να ισχύει: f c = f b f(a) b a Η f c είναι η κλίση της εφαπτομένης στο σημείο c, ενώ η f b f(a) b a είναι η κλίση (εφαπτομένη) της χορδής που ενώνει τα σημεία (a, f(a)) και (b, f(b)) Χορδή είναι το ευθύγραμμο τμήμα που ενώνει δύο σημεία μιας καμπύλης. Η κλίση της χορδής παριστάνει τον μέσο ρυθμό μεταβολής της συνάρτησης f στο διάστημα ab. 108

Θεώρημα μέσης τιμής (2) 109

Θεώρημα μέσης τιμής (3) Υποθέτοντας ότι μια συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη σε ένα ανοικτό διάστημα Δ και με βάση το Θεώρημα Μέσης Τιμής, προκύπτουν τα ακόλουθα πορίσματα: f x = 0 σε κάθε σημείο στο διάστημα Δ, εάν και μόνο αν η συνάρτηση f είναι σταθερή στο Δ. Εάν f x = g x για κάθε x (σημείο) στο διάστημα Δ, τότε η συναρτήσεις f και g διαφέρουν το πολύ κατά μια σταθερά c, δηλαδή f x = g x + c, c R, για κάθε x Δ. Εάν f x > 0 για κάθε x (σημείο) στο διάστημα Δ, τότε η f είναι αύξουσα στο διάστημα Δ. Εάν f x < 0 για κάθε x (σημείο) στο διάστημα Δ, τότε η f είναι φθίνουσα στο διάστημα Δ. 110

Παράδειγμα 14 (1) Να βρεθεί η τιμή x = c στη συνάρτηση f x = x 3 + 2x 1 που να ικανοποιεί το Θεώρημα Μέσης Τιμής στο διάστημα [ 2, 2]. 111

Παράδειγμα 14 (2) Λύση: Η συνάρτηση f(x) είναι συνεχής και παραγωγίσιμη, ως πολυωνυμική, στο R. Για τη διερεύνηση του Θεωρήματος Μέσης Τιμής είναι απαραίτητο να εξετάσουμε την τιμή της f(x) στα σημεία 2 και 2: f 2 = 2 3 + 2 2 1 = 8 4 1 = 3 f 2 = 2 3 + 2 2 1 = 8 + 4 1 = 5 Συνεπώς, η μεταβολή f b f a b a 112

Παράδειγμα 14 (3) θα είναι ίση με: f b f(a) = 5 3 b a 2 ( 2) = 8 4 = 2 H παράγωγος της συνάρτησης είναι: f x = ( x 3 + 2x 1) = 3x 2 + 2 Σύμφωνα με το Θεώρημα Μέσης Τιμής θα πρέπει να βρεθεί c τέτοιο ώστε να ισχύει: 113

Παράδειγμα 14 (4) f c = f b f(a) b a = 4 3 f x = 3x 2 +2 3c 2 + 2 = 2 3c 2 = 4 c 2 H εξωσωση x 2 =2 Χχει δυο ρωζες x= α και x= α c 1 = 4 3 c 2 = 4 3 c 1 = 2 c 2 = 2 1 3 1 3 114

Μονοτονία συνάρτησης (1) Ορισμός 1: Μια συνάρτηση f ορίζεται γνησίως αύξουσα σε ένα διάστημα του πεδίου ορισμού της εάν για κάθε x 1, x 2 του εν λόγω διαστήματος ισχύει: x 1 < x 2 τότε f x 1 < f x 2 Το γράφημα της παραπάνω συνάρτησης είναι γραμμή ανερχόμενη από τα αριστερά προς τα δεξιά. 116

Μονοτονία συνάρτησης (2) 117

Μονοτονία συνάρτησης (3) Ορισμός 2: Μια συνάρτηση f ορίζεται γνησίως φθίνουσα σε ένα διάστημα του πεδίου ορισμού της εάν για κάθε x 1, x 2 του εν λόγω διαστήματος ισχύει: x 1 < x 2 τότε f x 1 > f x 2 Το γράφημα της παραπάνω συνάρτησης είναι γραμμή κατερχόμενη από τα αριστερά προς τα δεξιά. 118

Μονοτονία συνάρτησης (4) 119

Μονοτονία συνάρτησης (5) Ορισμός 3: Μια συνάρτηση f ορίζεται αύξουσα σε ένα διάστημα του πεδίου ορισμού της εάν για κάθε x 1, x 2 του εν λόγω διαστήματος ισχύει: x 1 < x 2 τότε f x 1 f x 2 Ορισμός 4: Μια συνάρτηση f ορίζεται φθίνουσα σε ένα διάστημα του πεδίου ορισμού της εάν για κάθε x 1, x 2 του εν λόγω διαστήματος ισχύει: x 1 < x 2 τότε f x 1 f x 2 120

Μονοτονία συνάρτησης (6) Ορισμός 5: Μια συνάρτηση f ορίζεται σταθερή σε ένα διάστημα του πεδίου ορισμού της εάν για κάθε x 1, x 2 του εν λόγω διαστήματος ισχύει: x 1 < x 2 τότε f x 1 = f x 2 Ορισμός 6: Μια συνάρτηση f ορίζεται γνησίως μονότονη σε ένα διάστημα του πεδίου ορισμού της όταν είναι γνησίως αύξουσα ή γνησίως φθίνουσα, αντίστοιχα ονομάζεται μονότονη όταν είναι αύξουσα ή φθίνουσα. 121

Θεώρημα 2 (1) Έστω μια συνάρτηση f συνεχής σε ένα κλειστό διάστημα A = [a, b] και παραγωγίσιμη στο ανοικτό διάστημα (a, b), τότε αν f x > 0 για κάθε σημείο του διαστήματος (a, b), η συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα στο εν λόγω διάστημα. αν f x 0 για κάθε σημείο του διαστήματος (a, b), η συνάρτηση είναι αύξουσα στο εν λόγω διάστημα. αν f x < 0 για κάθε σημείο του διαστήματος (a, b), η συνάρτηση είναι γνησίως φθίνουσα στο εν λόγω διάστημα. 122

Θεώρημα 2 (2) αν f x 0 για κάθε σημείο του διαστήματος (a, b), η συνάρτηση είναι φθίνουσα στο εν λόγω διάστημα. αν f x = 0 για κάθε σημείο του διαστήματος (a, b), η συνάρτηση είναι σταθερή στο εν λόγω διάστημα. Σημειώνεται ότι το αντίστροφο του παραπάνω θεωρήματος δεν ισχύει. Για παράδειγμα, αν διαπιστώσουμε μια γνησίως αύξουσα συνάρτηση f αυτό δεν σημαίνει ότι η παράγωγος συνάρτηση θα είναι υποχρεωτικά μεγαλύτερη του μηδενός, δηλαδή f x > 0. 123

Παράδειγμα 15 (1) Να εξεταστεί ως προς τη μονοτονία η συνάρτηση f x = x 2 + 2x 124

Παράδειγμα 15 (2) Λύση: Η συνάρτηση f, ως πολυωνυμική, είναι συνεχής και παραγωγίσιμη στο R. Η πρώτη παράγωγος της συνάρτησης f είναι: f x = x 2 + 2x = 2x + 2 f x = 0 2x + 2 = 0 2x = 2 2x 2 = 2 2 x = 1 125

Παράδειγμα 15 (3) x 1 + f + f Στον πίνακα προσήμων ξεκινάμε με το πρόσημο + διότι το πρόσημο του x στην εξίσωση 2x + 2 = 0 είναι αρνητικό και επομένως το αποτέλεσμα για τιμές μικρότερες του 1 θα είναι θετικό, ενώ για τιμές μεγαλύτερες του 1 θα είναι αντίστοιχα αρνητικό. Π.χ. για x = 1 η εξίσωση f x θα δώσει αποτέλεσμα 2 1 + 2 = 4 > 0, ενώ για x = 2 θα δώσει 2 2 + 2 = 6 > 0. 126

Παράδειγμα 15 (4) Η συνάρτηση f x θα παίρνει ολοένα και μεγαλύτερες θετικές τιμές για όσο μικρότερες από το 1 τιμές παίρνει το x, γεγονός που άλλωστε είναι εύκολα αντιληπτό και από τη σχετική γραφική παράσταση του f x = 2x + 2 127

Παράδειγμα 15 (5) x 1 + f + f η μονοτονία της συνάρτησης είναι: γνησίως αύξουσα από (, 1), καθώς η καμπύλη της συνάρτησης είναι ανερχόμενη από τα αριστερά προς τα δεξιά, και γνησίως φθίνουσα από (1, + ), καθώς η καμπύλη της συνάρτησης είναι κατερχόμενη από τα αριστερά προς τα δεξιά. 128

Παράδειγμα 16 (1) Να εξεταστεί ως προς τη μονοτονία η συνάρτηση f x = 4 x 2 130

Παράδειγμα 16 (2) Λύση: Επειδή το υπόριζο θα πρέπει να είναι θετικό: 4 x 2 0 2 x (2 + x) 0, οι ρίζες της εξίσωσης 2 x 2 + x = 0 είναι x 2 2 + 4 x 2 + x = 2 x = 2 Στον πίνακα ξεκινάμε με το πρόσημο του μεγιστοβάθμιου όρου. 131

Παράδειγμα 16 (3) Η συνάρτηση f είναι συνεχής και παραγωγίσιμη στο Α. Η πρώτη παράγωγος της συνάρτησης f είναι: f x = 4 x 2 = = f x = 0 Σύνθετη συναρτηση u = 1 2 u u = 1 2 4 x 2 4 x2 1 2 4 x 2x = x 2 4 x 2 αρκει ο αριθμητης να ειναι μηδεν x 4 x 2 = 0 σημειώνεται ότι η x ειναι συνεχης στο ανοικτό διαστημα 2, 2 συνεπώς στο διαστημα αυτό δεν υπαρχει απροσδιοριστια. x = 0 132

Παράδειγμα 16 (4) x 2 0 2 f + f Η μονοτονία της συνάρτησης είναι: γνησίως αύξουσα από ( 2, 0), καθώς η καμπύλη της συνάρτησης είναι ανερχόμενη από τα αριστερά προς τα δεξιά, και γνησίως φθίνουσα από (0, 2), καθώς η καμπύλη της συνάρτησης είναι κατερχόμενη από τα αριστερά προς τα δεξιά. 133

Παράδειγμα 17 (1) Να εξεταστεί ως προς τη μονοτονία η συνάρτηση f x = e x 135

Παράδειγμα 17 (2) Λύση: To πεδίο ορισμού της συνάρτησης f είναι το όλο το R. Η συνάρτηση είναι συνεχής και παραγωγίσιμη στο R. Η πρώτη παράγωγος της συνάρτησης είναι: f x = (e x ) = e x > 0 H παράγωγος συνάρτηση f x είναι γνησίως αύξουσα, καθώς η συνάρτηση f x = e x είναι μεγαλύτερη του μηδενός για κάθε x R. Στο Σχήμα 16.15 διαπιστώνεται εύκολα η μονοτονία της συνάρτησης, καθώς η καμπύλη της είναι ανερχόμενη από τα αριστερά προς τα δεξιά. 136

Παράδειγμα 17 (3) Η συνάρτηση f x = f x = e x 137

Βιβλιογραφία Κοντέος, Γ. & Σαριαννίδης, Ν. (2012). Μαθηματικά. ISBN 978-960-93-3978-0. 138