Εισαγωγή στην ανάλυση

Εισαγωγή στην ανάλυση Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. Έστω Α ένα υποσύνολο του και Α. Τι ονομάζεται πραγματική συνάρτηση με πεδίο ορισμού το Α ; Απάντηση Πραγματική συνάρτηση με πεδίο ορισμού το Α, ονομάζουμε μια διαδικασία με την οποία σε κάθε στοιχείο μόνο πραγματικό αριθμό y. Α αντιστοιχίζεται σε ένα Το y ονομάζεται τιμή της στο και συμβολίζεται με (). Για να εκφράσουμε την διαδικασία αυτή,γράφουμε : :Α Το γράμμα,που παριστάνει οποιοδήποτε στοιχείο του Α λέγεται ανεξάρτητη μεταβλητή,ενώ το y λέγεται εξαρτημένη μεταβλητή. Το πεδίο ορισμού Α της συμβολίζεται και με D Το σύνολο που έχει για στοιχεία τις τιμές της σε όλα τα Α,λέγεται σύνολο τιμών της και συμβολίζεται με (A).Eίναι δηλαδή : (Α) y / y (), Α. ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ. Μια συνάρτηση ορίζεται όταν δοθούν : το πεδίο ορισμού και η τιμή της () για κάθε δοθεί ο τύπος της τότε θα θεωρούμε πεδίο ορισμού πραγματικών αριθμών, ώστε η () να είναι πραγματικός αριθμός. Α.Αν σε μια συνάρτηση το σύνολο των. Γραφική παράσταση μιας συνάρτησης, λέγεται το σύνολο των σημείων Μ(, y)για τα οποία ισχύει y ().Συνήθως την συμβολίζουμε με C οπότε: C (, y)/ y (), Α 3. Όταν δίνεται : A δεν έπεται ότι το σύνολο τιμών της είναι το.

Α. ΠΕΔΙΟ ΟΡΙΣΜΟΥ. Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της συνάρτησης : Πρέπει 5 6 0 και 3 άρα το πεδίο ορισμού της είναι το A R,3 ΓΕΝΙΚΑ: 5 6 A Αν το πεδίο ορισμού είναι το Π A R /Π 0. Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της συνάρτησης : Πρέπει 4 0 6 0 ή 6 4 Επομένως το πεδίο ορισμού είναι το σύνολο A, 6, ΓΕΝΙΚΑ: Αν ν A το πεδίο ορισμού είναι το Α R /A 0 3. Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της συνάρτησης n : Πρέπει 0 0 ή A,, Οπότε το πεδίο ορισμού είναι ΓΕΝΙΚΑ: Αν na το πεδίο ορισμού είναι το A R /A 0 4. Σε ποιο διάστημα η γραφική παράσταση της συνάρτησης, όπου n 3 βρίσκεται κάτω από τον άξονα ' ; : Πρέπει 0 n 3 0 n 3 n 0 3 3 4 δηλαδή στο διάστημα 3,4 η C βρίσκεται κάτω από τον άξονα '

ΓΕΝΙΚΑ : Α) Για να βρούμε σε ποια διαστήματα ή σε ποιο διάστημα η γραφική παράσταση της συνάρτησης βρίσκεται πάνω από τον ', λύνουμε την ανίσωση ()>0 Β) ) Για να βρούμε σε ποια διαστήματα ή σε ποιο διάστημα η γραφική παράσταση της συνάρτησης βρίσκεται κάτω από τον ', λύνουμε την ανίσωση ()<0. Γ) Για να βρούμε σε ποια σημεία η γραφική παράσταση της τέμνει τον ' λύνουμε την εξίσωση ()=0. Δ) Για να βρούμε πότε η C είναι πάνω από την Cg λύνουμε την ανίσωση ()> g() Ε) Για να βρούμε τα σημεία τομής των C και Cg λύνουμε το σύστημα y () () g() () y g() y g() και από την () βρίσκουμε τις συντεταγμένες των σημείων τομής. ΓΕΝΙΚA : H συνάρτηση ()=ln ορίζεται όταν >0 ενώ η ()= e ορίζεται στο R Συνοψίζοντας από τα παραπάνω για το πεδίο ορισμού μιας συνάρτησης υπενθυμίζουμε τα εξής : Οι πολυωνυμικές συναρτήσεις ορίζονται στο R Α)Οι ρητές συναρτήσεις ορίζονται στο R εκτός από τις τιμές της μεταβλητής που μηδενίζουν τον παρανομαστή. Β)Όταν ο τύπος μιας συνάρτησης έχει ριζικό πρέπει το υπόρριζο να είναι θετική ποσότητα ή μηδέν. Γ)Οι εκθετικές συναρτήσεις ορίζονται στο R Δ)Οι λογαριθμικές συναρτήσεις ορίζονται για θετικές ποσότητες. Ε)Οι τριγωνομετρικές συναρτήσεις ημ, συν () ε, () σ ορίζονται στο R. Ενώ οι συναρτήσεις 3 4 ορίζονται στο R εκτός από τα εκείνα για τα οποία ισχύει συν=0 και ημ=0 αντίστοιχα. Ασκήσεις. Να βρείτε το πεδίο ορισμού των συναρτήσεων n α) n n6 β) g n n e. Αν, R να δείξετε ότι : ln[ ] 0, R e

3. Να βρείτε τα α,β και σημεία τομής της συνάρτησης α β n με τους άξονες δεδομένου ότι η C περνά από τα σημεία, και e,. 4. Να βρείτε τα πεδία ορισμού των συναρτήσεων α. β. 3 6 e δ. n ε. n n στ. n e γ. 5 6 z. 5. Nα βρείτε τα πεδία ορισμού των συναρτήσεων α) n n3 β) 8 γ) 4 e δ) 3 ΙΣΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Δίνονται οι συναρτήσεις : A R και g : B R. Οι και g λέγονται ίσες και γράφουμε g αν και μόνο αν Α = Β και () g() για κάθε A. Παράδειγμα Να εξετάσετε αν οι συναρτήσεις () ημ και g() ημ συν είναι ίσες Οι και g έχουν το ίδιο πεδίο ορισμού Α= R. Για κάθε () ημ συν ημ συν ημ συν ημ συν g() Οι και g λέγονται ίσες σε ένα σύνολο Ε αν () Παράδειγμα Να εξετάσετε αν οι συναρτήσεις () 4 g() για κάθε Α. και g() είναι ίσες. Αν όχι να βρεθεί το ευρύτερο υποσύνολο του R ώστε να είναι ίσες. Επειδή A R και Ag R οι συναρτήσεις και g δεν είναι ίσες.

Περιορίζουμε την g() στο σύνολο Ε R Επειδή όμως για κάθε : 4 () g() είναι g στο σύνολο Ε R Πράξεις συναρτήσεων Έστω οι συναρτήσεις :Α, g : Β. Τότε Η συνάρτηση. g ορίζεται με πεδίο ορισμού το A B και τύπο g () g(). g ορίζεται με πεδίο ορισμού το A B και τύπο g () g(). g ορίζεται με πεδίο ορισμού το A B και τύπο g () g(). g ορίζεται με πεδίο ορισμού το Α A B /g() 0 και τύπο Παράδειγμα ( () g )() g(). Δίνονται οι συναρτήσεις () και g() - να οριστεί η συνάρτηση h g Είναι A και A g [,]. Οπότε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης h είναι h g A A A g() 0 [,] g() 0 () g() 0 ή οπότε από την (): A h (,) Για κάθε Α ο τύπος της συνάρτησης h είναι h h() () g().

Παράδειγμα Δίνονται οι συναρτήσεις n, g i) Να βρεθούν τα πεδία ορισμού των και g ii) Να οριστούν οι συναρτήσεις g και g / : i) Για να ορίζεται η πρέπει: 0 0 e οπότε η έχει πεδίο ορισμού το A R 0 Για να ορίζεται η g πρέπει: e 0 e 0 το συνεπώς το πεδίο ορισμού της g είναι πάλι A R 0 ii) Το πεδίο ορισμού της g Η συνάρτηση g είναι το A R 0 g g ενώ ο τύπος της είναι n e έχει πεδίο ορισμού το Α εκτός από τις ρίζες της εξίσωσης 0 n 0 Οπότε το πεδίο ορισμού της g της είναι είναι το σύνολο B R 0, ενώ ο τύπος g g() ( )() () (e ) n ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ Έστω μια συνάρτηση : A R. Αν για κάθε, ( ) ( ) τότε η είναι γνησίως αύξουσα στο Α (σχ. ) ( ) ( ) τότε η είναι αύξουσα στο Α (σχ. ) A με ισχύει ( ) ( ) τότε η είναι γνησίως φθίνουσα στο Α (σχ. 3) ( ) ( ) τότε η είναι φθίνουσα στο Α (σχ. 4)

Παρατήρηση :. Η γραφική παράσταση μιας γνησίως μονότονης συνάρτησης τέμνει τον άξονα χ χ το πολύ σε ένα σημείο ή ισοδύναμα η εξίσωση ()=0 έχει το πολύ μια λύση στο πεδίο ορισμού της. Αν για, Α με ( ) ( ) έπεται, τότε δεν έπεται ότι η είναι γνησίως αύξουσα. Παραδείγματα. Δίνεται η συνάρτηση () ln( ) 3. Να μελετηθεί η μονοτονία της. i) Το πεδίο ορισμού της είναι το Α (, ) Για κάθε, (, ) με ln( ) ln( ) 3 3 ln( ) 3 ln( ) 3 ( ) ( ) Δηλαδή η είναι γνησίως αύξουσα στο (, ).. Δίνεται η συνάρτηση () 3. Να μελετηθεί η μονοτονία της. Το πεδίο ορισμού της είναι το Α [, ) Για κάθε, [, ) με 3 3 ( ) ( ) Δηλαδή η είναι γνησίως φθίνουσα στο [, ). Γενικός τρόπος: Θεωρούμε, πράξεις φτάνουμε σε ( ) ( ) ή ( ) ( ). Α με και με επιτρεπτές 3.Να μελετηθεί η μονοτονία της συνάρτησης () ln και στη συνέχεια να λυθεί η ανίσωση: ln

Το πεδίο ορισμού της είναι το Α (0, ) Για κάθε, (0, ) με ln ln ( ) ( ) ln ln Η ανίσωση γράφεται : ln ln ln ln ( ) () 0 Για να λύσουμε μια ανίσωση Α()>B() προσπαθούμε να την φέρουμε στην μορφή (α()) (β()) οπότε αν η είναι γνησίως αύξουσα έχουμε α() β() την οποία λύνουμε,ενώ αν η είναι γνησίως φθίνουσα έχουμε α() β() την οποία λύνουμε. 4. Έστω και g δυο συναρτήσεις ορισμένες στο, γνησίως αύξουσες με () 0, g() 0 i) Να δείξετε ότι η συνάρτηση g είναι γνησίως φθίνουσα στο R. ii) Να λυθεί η ανίσωση : ()g( ) ( )g() () i) Έστω, με τότε ( ) ( ) 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) g( ) g( ) 0 g( ) g( ) g( ) g( ) g( ) g( ) ( ) ( ) g g δηλαδή η συνάρτηση g είναι γνησίως φθίνουσα στο R. ii) Είναι g()g( ) 0 οπότε η () γράφεται

()g( ) ( )g() () ( ) /g 0 0 ή g()g( ) g()g( ) g() g( ) 5. Δίνεται η συνάρτηση () 5 ln. α) Να μελετηθεί η μονοτονία της συνάρτησης β) Να λυθεί η ανίσωση ( ) () α) Για κάθε, (0, ) με είναι: 5ln 5ln 5ln 5ln ( ) ( ) δηλαδή η είναι γνησίως αύξουσα στο (0, ). β) H () ισοδύναμα γράφεται: ( ) () 0 0 (προφανώς ()=). 6. α) Να μελετηθεί η μονοτονία της συνάρτησης () α,, 0 α β) Να βρεθούν οι τιμές του λ ώστε να ισχύει : λ λ α α λ λ, α (0,). α)θα μελετήσουμε την μονοτονία της. α α αρα α α ( ) ( ) δηλαδή η είναι γνησίως φθίνουσα στο R. β) Είναι λ λ λ λ α α λ λ α λ α (λ ) (λ ) (λ ) λ λ λ λ 0 0 λ.

Ασκήσεις (Εισαγωγή στην ανάλυση). Να εξετάσετε αν οι συναρτήσεις () 4 και g() είναι ίσες.. Να εξετάσετε για τα παρακάτω ζεύγη των συναρτήσεων αν g. Αν g να βρείτε το ευρύτερο υποσύνολο του στο οποίο g. α) () ln( ) ln( ) β) () και g() ln 3 και g() γ) () ln, g() ln( ) ln( ) 3. Δίνονται οι συναρτήσεις () ( α) α α3 (α ) και g(), α. Να βρεθεί η τιμή του α ώστε οι συναρτήσεις,g να είναι ίσες. 4. α) Δίνονται οι συναρτήσεις () e Να οριστούν οι συναρτήσεις g,. g και g() e β) Δίνονται οι συναρτήσεις (),g() Να οριστούν οι συναρτήσεις g, / g, g / 5. Να γίνει η γραφική παράσταση των συναρτήσεων α) () β) (), 0, 0 γ) () ln ln, 0 3 δ) () 3, 3

6.Να μελετηθεί η μονοτονία των συναρτήσεων α) () ln( ),g() ( ),,h(), 0 7. Δίνεται η συνάρτηση () e α) Να δείξετε ότι η είναι γνησίως αύξουσα β)να λυθεί η ανίσωση e e 0 8. Έστω η συνάρτηση () e - α) Να δείξετε ότι η () είναι γνησίως αύξουσα στο R β)βρείτε το πρόσημο της γ) Να βρεθεί ο λ ώστε λ e λ 0 9. Δίνεται η συνάρτηση () ln( ) α)να μελετηθεί η μονοτονία της β)να βρεθεί το διάστημα των τιμών του όπου η C βρίσκεται πάνω από τον άξονα γ) Να βρεθεί το σύνολο των εικόνων των μιγαδικών z, αν ισχύει: ln z z 0.Δίνεται η συνάρτηση () e i) Να μελετηθεί η ως προς την μονοτονία ii) Να λυθεί η ανίσωση λ λ e e λ λ 4 0 () λ.. Έστω,g : R R δύο συναρτήσεις όπου η είναι γνησίως αύξουσα, η g γνησίως φθίνουσα και () 0 ενώ g() 0. ι) Να δείξετε ότι η συνάρτηση g είναι γνησίως φθίνουσα στο R. ιι) Να λυθεί η ανίσωση () g( ) ( ) g(). Έστω η συνάρτηση () ln( )

i) Να δείξετε ότι η είναι γνησίως αύξουσα και να λυθεί η ανίσωση () 0 z ii) Αν z C και z z ln z να δείξετε ότι Re(z) 0 Σύνθεση συναρτήσεων Έστω οι συναρτήσεις : A R, g : B R. Ονομάζουμε σύνθεση της με την g και τη συμβολίζουμε με g () g(()) g τη συνάρτηση με τύπο Το πεδίο ορισμού της g αποτελείται από όλα τα στοιχεία του πεδίου ορισμού της για τα οποία το () ανήκει στο πεδίου ορισμού της g. Δηλαδή είναι το σύνολο A ' A /() B. Είναι φανερό ότι η συνάρτηση g ορίζεται αν A'. Ο ρόλος της φαίνεται στο παρακάτω σχήμα: Παρατηρήσεις:.Αν (A) B τότε A A.Αν (A) B τότε δεν ορίζεται η 3.Το πεδίο ορισμού της συνάρτησης g είναι το A ' A /() B Το πεδίο ορισμού της συνάρτησης g είναι το A' B/g() A Το πεδίο ορισμού της συνάρτησης είναι το A ' A /() A 4.α) Δεν ισχύει g g

β) Αν ορίζεται η συνάρτηση (g h) τότε ορίζεται και η συνάρτηση ( g) h και μάλιστα (g h)=( g) h.. Δίνονται οι συναρτήσεις Να βρεθεί η συνάρτηση g. Παραδείγματα,, () 4 Το πεδίο ορισμού της συνάρτησης g είναι το B / 3 0 [ 3, ). Θεωρούμε το σύνολο: A' A /() B / 4 3 Είναι: 3 4 4 3 0 και g() 3. ή 3 άρα A ' [3, ). Η g ορίζεται στο Α με: g () g(()) () 3 4 3. οπότε [3, ). Δίνονται οι συναρτήσεις () και g() ώστε: ( g)() ln 3, >0. Να βρεθεί ο τύπος της συνάρτησης g. ( g)() ln 3 (g()) ln 3 g() ln 3 g() ln 4 3. Έστω οι συναρτήσεις () ln( ),g(). Να βρείτε τις συναρτήσεις ι) g ii) i)η έχει πεδίο ορισμού το Α =(, ) ενώ η g έχει πεδίο ορισμού το Β=(,0] Η g έχει πεδίο ορισμού το Α / Α,() Β /,ln( ) 0

Είναι ln( ) 0,οπότε Α (,].Για κάθε Α (g )() g(()) g(ln( )) ln( ) ιι) Η έχει πεδίο ορισμού το Α / Α,() Α /,ln( ) Είναι ln( ) e e,οπότε Α ( e, ).Για κάθε Α ( )() (()) (ln( )) ln(ln( ) ) 4. Δίνονται οι συναρτήσεις I() και οι τιμές του α ώστε οι συναρτήσεις A. α (), α. Να βρεθούν και I να είναι ίσες στο σύνολο Έστω ότι υπάρχει α ώστε : I για κάθε A. Τότε: α() α α (()) α() () α () (α ) (4 α ) α 0 α 0 και 4 α 0 α Θα δείξουμε ότι το πεδίο ορισμού της συνάρτησης είναι το. Πράγματι A ' A / () A και () και 5. Έστω η συνάρτηση : ώστε να ισχύει: Να δείξετε ότι α) (4 3) 4 3(), β) () γ) η δεν είναι γνησίως μονότονη (()) 4 3 (),

α) Θέτουμε όπου το () οπότε έχουμε : () ((())) 4 3() (4 3) 4 3() β)από το α) ερ. για = έχουμε: () 4 3() () γ) Υποθέτουμε ότι η είναι γνησίως μονότονη π.χ. γνησίως αύξουσα, τότε: ( ) ( ) (( )) (( )) 4 3 4 3 (ΑΤΟΠΟ) Όμοια αν υποθέσουμε ότι η είναι γνησίως φθίνουσα. Προσοχή Όταν δίνεται η σχέση (())=Α() () και δεν γνωρίζουμε τον τύπο της (), τότε θέτουμε στην (), οπότε έχουμε: ((()))=Α(()) () (A())= Α(()) κ.λ.π () όπου το Ασκήσεις στη σύνθεση. Έστω οι συναρτήσεις (),g() ln( ). Να βρεθούν οι συναρτήσεις i) g ii) g.. Δίνονται οι συναρτήσεις συναρτήσεις i) g g ii) g. () e, g() 3. Να βρεθούν οι 3. Να βρείτε συνάρτηση τέτοια ώστε να ισχύει i) ( g)() 4 3 αν g(). ii)( g)() αν g() ln 4. Να βρείτε συνάρτηση τέτοια ώστε να ισχύει (g )() ημ αν g() 3 5. Αν η συνάρτηση έχει πεδίο ορισμού το [0,] να βρεθεί το πεδίο ορισμού της

συνάρτησης g() ( ) (ln ) (e ) 6. Έστω () ln( ) και g() e. Να βρεθεί η g. 7.Να εξετάσετε αν υπάρχει συνάρτηση () α β, α,β 0 ώστε ( )() 9 8 για κάθε. 8. Δίνονται οι συναρτήσεις () e e και g() ln. Να δείξετε ότι (g )() στο R. 9. Να γραφούν οι συναρτήσεις: i) () ημ(ln ) ii) g() ln iii) ως σύνθεση δύο ή περισσότερων συναρτήσεων. h() 0. Αν,g : R R περιττές συναρτήσεις και η σύνθεσή τους ορίζεται στο, να δείξετε ότι η συνάρτηση g είναι περιττή..έστω η συνάρτηση : R R ώστε : (()) () για κάθε. Να δείξετε ότι ( ) () () για κάθε και στη συνέχεια να βρεθεί το ()..Έστω οι συναρτήσεις, g : R R i) Αν, g γνησίως αύξουσες και οι δύο ή γνησίως φθίνουσες και οι δύο, να δείξετε ότι η g είναι γνησίως αύξουσα. ii) Να εξετάσετε αν υπάρχει γνησίως μονότονη συνάρτηση : R ( )() e για κάθε. R ώστε 3.Αν η είναι γνησίως αύξουσα και η g είναι γνησίως φθίνουσα στο να λύσετε την ανίσωση: ( g)( ) ( g)( 4). 4. Έστω οι συναρτήσεις () e και g() g() e, ι) να δείξετε ότι g(0) 0

ιι) να δείξετε ότι οι και g είναι γνησίως αύξουσες ιιι) να λύσετε την ανίσωση g(()) 0 Ένα προς Ένα και Αντίστροφη Ορισμός: Μία συνάρτηση : A ισχύει η συνεπαγωγή ( ) ( ). R λέγεται - όταν για κάθε, Με απαγωγή σε άτοπο αποδεικνύεται ότι: Μία συνάρτηση : A συνεπαγωγή αν ( ) ( ) τότε. Παρατηρήσεις: R λέγεται - όταν για κάθε, Έστω μια συνάρτηση με πεδίο ορισμού το Α A με A ισχύει η. Αν η είναι «-» τότε η εξίσωση () y έχει το πολύ μία λύση στο Α και ειδικότερα η εξίσωση () 0 έχει το πολύ μία ρίζα στο Α. Αν το y ανήκει στο σύνολο τιμών της τότε η εξίσωση () λύση στο Α. y έχει ακριβώς μία. Αν η είναι «-» η C τέμνει τον άξονα το πολύ σε ένα σημείο. 3. Αν η δεν είναι «-» τότε υπάρχουν ώστε ( ) ( ) ή ισοδύναμα υπάρχει ευθεία παράλληλη στον άξονα η οποία τέμνει την C σε δύο τουλάχιστον σημεία. 4. Αν η είναι «-» τότε κάθε ευθεία παράλληλη στον άξονα τέμνει την C το πολύ σε ένα σημείο. 5. Αν η είναι γνησίως μονότονη τότε είναι και «-» (όχι αντίστροφα). 6. Αν η είναι «-» τότε και η είναι «-»

7. Tα κοινά σημεία των γραφικών παραστάσεων των συναρτήσεων και δεν βρίσκονται κατ ανάγκη στην ευθεία y.για να τα βρούμε λύνουμε το σύστημα y () (y) Α (Α) Ορισμός Έστω μια συνάρτηση : A Αντίστροφη Συνάρτηση: R.Αν υποθέσουμε ότι η είναι -, τότε για κάθε στοιχείο y του συνόλου τιμών, (A), της υπάρχει μοναδικό στοιχείο του πεδίου ορισμού της Α για το οποίο ισχύει () y. Επομένως ορίζεται μια συμβολίζεται με : (A) με την οποία κάθε y () y (Προσοχή: η συνάρτηση που ονομάζεται αντίστροφη της και, όπου (A) αντιστοιχίζεται μοναδικό A για το οποίο δεν είναι η ) Από τον τρόπο που ορίστηκε η Α. Έχει πεδίο ορισμού το (A) Β. Έχει σύνολο τιμών το Α Γ. Ισχύει: Ισχύουν οι σχέσεις: () y (y) προκύπτει ότι : για κάθε A και y (A) (()), A και ( (y)) y, y (A).

Οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων και είναι συμμετρικές ως προς την ευθεία y. Αυτό σημαίνει ότι αν η γραφική παράσταση της τέμνει την ευθεία y = σ ένα σημείο Κ, τότε και η γραφική παράσταση της την ευθεία y = στο Κ. τέμνει Για παράδειγμα η συνάρτηση () e μάθαμε ότι έχει αντίστροφη την () ln. Παρατήρηση :. Οι εξισώσεις () και οι Α (Α). () έχουν τις ίδιες λύσεις στο σύνολο. Τα κοινά σημεία των γραφικών παραστάσεων C και C δεν βρίσκονται κατ ανάγκη στην ευθεία y =. Παραδείγματα. Δίνεται η συνάρτηση () 3 3. α) Να δείξετε ότι η είναι ένα προς ένα β) Να βρεθεί η αντίστροφή της. α) Το πεδίο ορισμού της είναι το σύνολο A 3,. Έστω, ( ) ( ) 3 3 3 3 δηλαδή η είναι «-» συνεπώς υπάρχει η αντίστροφη της. β) Θα βρούμε το πεδίο ορισμού και τον τύπο της αντίστροφης A με

3 (y ) 3 (y ) () y 3 y 3 y y y 3 3 3 3 (y ) y οπότε το σύνολο τιμών της είναι το (A), θεωρία είναι το πεδίο ορισμού της αντίστροφης. Άρα :, με () 3 ( ). 3 3 (y ) 3 το οποίο από την. Να βρεθεί η συνάρτηση όταν 3 () 5 4. Εξετάζουμε αν η είναι «-». Έστω, με ( ) ( ) 5 4 5 4 3 3 3 3 άρα η είναι «-». y 4 3 y 4 5 y 4 3 3 () y 5 4 y 5 y 4 3 y 4 οπότε (A) Επομένως : () 3 3 y 4 5 y 4 y 4 y 4 5 3. Μία συνάρτηση : R R έχει την ιδιότητα 003 ( )() 3() () για κάθε.να δείξετε ότι η συνάρτηση είναι «-». Έστω, με ( ) ( ) τότε: (( )) (( )) 003 003 (( )) 3( ) (( )) 3( ) 3( ) 3( ) 5 ()

4. Δίνονται οι συναρτήσεις,g : R R με (()) 5 9 και g() () 3,. Να δείξετε ότι (3) 3 και ότι η g δεν αντιστρέφεται. i) Από τη σχέση (()) 5 9 έχουμε ((())) () 5() 9 ( 5 9) () 5() 9 και για =3 έχουμε (3) (3) 5(3) 9 (3) (3) 5(3) 9 ((3) 3) 0 (3) 3 ii) Είναι g() () 3.Οπότε g(3) 9 3(3) 3 3 g(0) g(3) g(0) 3 Άρα η g δεν είναι «-» και κατά συνέπεια δεν αντιστρέφεται. 5. Έστω μια συνάρτηση : R R με σύνολο τιμών το,γνησίως μονότονη της οποίας η γραφική της παράσταση περνά από τα σημεία Α(5,9) και Β(,3). i) Να δείξετε ότι η είναι γνησίως αύξουσα ii) Να λυθεί η εξίσωση (3 ( )) 9 i) Αφού η είναι γνησίως μονότονη,θα είναι γνησίως αύξουσα ή γνησίως φθίνουσα. Επειδή η γραφική της παράσταση περνά από τα σημεία Β(,3) έχουμε (5) 9 και () 3. Είναι 5 () (5) συνεπώς η είναι γνησίως αύξουσα. ii) (3 ( )) (5) 3 ( ) 5 ( ) ( ) (3) 3 ή 3 Α(5,9) και Ασκήσεις στην «-» και «αντίστροφη συνάρτηση». Έστω η συνάρτηση () ( ),.

Α)Να δείξετε ότι είναι «-» και να βρεθεί η. Β)Να βρεθούν τα κοινά σημεία των C,C με την ευθεία y =.. Δίνεται η συνάρτηση () ln. Να δείξετε ότι υπάρχει η να βρεθεί. και 3. Ποιες από τις παρακάτω συναρτήσεις είναι «-» και να βρεθούν οι αντίστροφες όπου υπάρχουν 3 i) () ln( ) ii) g() iii) h() 4. Δίνεται η συνάρτηση 5. Έστω οι συναρτήσεις () ln( e ). Να βρεθεί η e () και e g() e i) Να βρεθεί η ii) Να βρεθεί η g. 6. Δίνεται η συνάρτηση () e i) Να δείξετε ότι η είναι «-» ii) Να λυθεί η εξίσωση: () 4 7. Έστω μια συνάρτηση : με σύνολο τιμών το για την οποία ισχύει ( )() () (). α) Να δείξετε ότι υπάρχει η β) Αν () 4να βρεθεί η (8) και ότι () (() ), 8. Έστω μια συνάρτηση : και σύνολο τιμών το, για την οποία υποθέτουμε ότι 3 () () () για κάθε. Να δείξετε ότι η είναι «-» έπειτα να βρείτε τον τύπο της.

9. Έστω μια συνάρτηση : R R με σύνολο τιμών το για την οποία ισχύει 3 (()) () 3 () για κάθε. α) Να δείξετε ότι η είναι «-» β) Να βρεθεί η συναρτήσει της. 0. Έστω οι συναρτήσεις, g : R R ώστε 3 g(g()) g() ( ) για κάθε και η είναι «-». Να δείξετε ότι η g είναι «-»..Έστω μια συνάρτηση : R ( )() () κάθε. R με σύνολο τιμών το ώστε να ισχύει Να δείξετε ότι α) η είναι «-» β) () (), γ) να βρεθεί το () και να δείξετε ότι η 3 g() () δεν είναι «-».. Έστω η συνάρτηση : R R με () ln e ln( e ) i) Να αποδείξετε ότι υπάρχει η αντίστροφη συνάρτηση της και να την βρείτε ii) Αν g() ( g)() g() ln να βρεθεί η. g και να λυθεί η εξίσωση 3. Έστω μια συνάρτηση : R R γνησίως μονότονη με σύνολο τιμών το, της οποίας η γραφική της παράσταση περνά από τα σημεία Α(5,9) και Β(,3). i) Να δείξετε ότι η είναι γνησίως αύξουσα ii) Να λυθεί η εξίσωση: (3 ( )) 9 iii) Να λυθεί η ανίσωση: (6 ( )) 5 4. Έστω μια συνάρτηση : (0, ) όπου

(y) () (y) (), y 0 Να δείξετε ότι i) () 0 ii) (), 0 iii) αν η () 0 έχει μοναδική λύση την να δείξετε ότι η είναι αντιστρέψιμη..έστω οι συναρτήσεις,g : R Επανάληψη α) Να δείξετε ότι η συνάρτηση g είναι «-» R ώστε : (g()) 4 9 () β) Αν η συνάρτηση είναι γνησίως φθίνουσα να δείξετε ότι η g είναι γνησίως φθίνουσα γ) Αν οι και g ίσες με σύνολο τιμών το να εκφράσετε την της. συναρτήσει. Έστω η συνάρτηση : R R ώστε ( )() 9 8 () i) Να δείξετε ότι η είναι «-» ii) (9 8) 9() 8, iii) Να βρεθεί το () iv) Αν () α β, α 0 να βρεθούν οι τιμές των α,β. 3. Έστω η συνάρτηση : R R ώστε ( )() (),. Να δείξετε ότι i) η είναι - ii) Η δεν είναι γνησίως μονότονη iii) η είναι περιττή iv) (0) 0. 4. Έστω γνησίως μονότονη συνάρτηση στο με σύνολο τιμών το. Αν η C περνά από τα σημεία Α(3,0), Β(7,8) να λυθεί η ανίσωση : 3 (4 ( )) 8. 5. Έστω συνάρτηση : (0, ) με () (y) y (), y (0, ) Έστω ακόμη ότι η εξίσωση () 0 έχει μοναδική λύση την. i) Να δείξετε ότι η είναι «-»

ii) Να λυθεί η εξίσωση: () ( 3) ( ) ( ), >0. 6. Eστω η συνάρτηση : με σύνολο τιμών το και την ιδιότητα ( )() (). Να δείξετε ότι α) ( ) (), β) η αντιστρέφεται γ) () ( ) δ) η δεν είναι γνησίως μονότονη 7. Δίνεται η γνησίως μονότονη συνάρτηση : τέτοια ώστε 3 () () για κάθε και σύνολο τιμών το α) Να δείξετε ότι η είναι γνησίως αύξουσα β) Να δείξετε ότι η είναι γνησίως αύξουσα γ) Να μελετηθεί η μονοτονία της συνάρτησης g() (α ),α και στη συνέχεια να λυθεί η ανίσωση 6 4 (α ) (α ). 8. Έστω η συνάρτηση : με την ιδιότητα : ( y) () (y),, y και η εξίσωση () 0 έχει μια μόνο λύση. α) Βρείτε το (0) β) Να δείξετε ότι η είναι περιττή γ) ( y) () (y),, y δ) Να αποδείξετε ότι η αντιστρέφεται ε) Αν η έχει σύνολο τιμών το να δείξετε ότι : ( y) () (y),, y στ) Αν () 0 για κάθε 0 i) να αποδείξετε ότι η είναι γνησίως αύξουσα. ii) να λύσετε την ανίσωση : (e ) (3 ) (e ) 9. Δίνεται η συνάρτηση : 0,() 0 με την ιδιότητα (y) ()(y),, y 0.Η γραφική παράσταση της τέμνει την y το πολύ σε ένα σημείο.αν η εξίσωση () έχει μοναδική ρίζα την να δείξετε ότι α) () β) η είναι - () γ) η συνάρτηση g() έχει αντίστροφη 0. α) Να βρεθεί η αντίστροφη σχέση της συνάρτησης () 3

β)να βρεθούν τα κοινά σημεία των γραφικών παραστάσεων των συναρτήσεων και.. Δίνεται η συνάρτηση () ln( ) α) Να δείξετε ότι η αντιστρέφεται και να βρεθεί η αντίστροφη β) Να λυθεί η εξίσωση ( ) 3. Έστω η συνάρτηση : με σύνολο τιμών το και την ιδιότητα: (()), α) Να δείξετε ότι η αντιστρέφεται και () (), β) Η C δεν έχει κοινά σημεία με την ευθεία y 3. Δίνονται οι συναρτήσεις, g :, ( ) και ( g )(), Να δείξετε ότι α) η αντιστρέφεται στο β) ισχύει () () g(), 4. Έστω η συνάρτηση : (0, ) για την οποία ισχύουν () 0 και (()) () για κάθε 0 α) Να δείξετε ότι η αντιστρέφεται () β) Αν η έχει σύνολο τιμών το (0, ),να δείξετε ότι για κάθε 0. 5. Αν η συνάρτηση : είναι γνησίως αύξουσα στο και ισχύει () για κάθε,να αποδείξετε ότι () για κάθε. 6. Δίνεται η συνάρτηση : για την οποία ισχύει (()) () για κάθε. Να δείξετε ότι α) Υπάρχει η αντίστροφη της β) (0) 0 γ) Αν ( ) τότε () () και () για κάθε.

Ερωτήσεις. Αν η έχει πεδίο ορισμού το Α τότε το σύνολο τιμών είναι το (Α).... Έστω :Α, g : Β τότε α) το πεδίο ορισμού των g, είναι αντίστοιχα g. β)πότε λέμε ότι = g ; γ) Αν α,β Α α β (α) (β) ; δ) Πότε λέμε ότι η αντιστρέφεται ; ε) Πότε λέμε ότι η είναι γνησίως αύξουσα; 3.Είναι Σωστό να πούμε i) g g ιι)αν η δεν είναι γνησίως αύξουσα τότε είναι γνησίως φθίνουσα ιιι) Αν η δεν είναι γνησίως αύξουσα τότε υπάρχουν, Α,με ( ) ( ) iv)αν η είναι γνησίως μονότονη τότε η γραφική παράσταση της τέμνει τον άξονα χ χ το πολύ σε ένα σημείο v) Αν η είναι γνησίως μονότονη, τότε η γραφική παράσταση της είναι συμμετρική της γραφικής παράστασης της ευθεία y., ως προς την vi) Αν η δεν αντιστρέφεται,τότε η δεν είναι γνησίως μονότονη vii) Tα κοινά σημεία των γραφικών παραστάσεων των συναρτήσεων και βρίσκονται στην ευθεία y. 4. Είναι Σ ή Λ οι παρακάτω προτάσεις ; Έστω :Α,g : Β α)αν = g τότε Α = Β

() β) () g g() για κάθε Α Β γ)αν η είναι - είναι και γνησίως μονότονη δ)αν η γραφική παράσταση της,η οποία είναι -,τέμνει την y= στο σημείο Κ τότε και η γραφική παράσταση της ε)αν η g είναι -,τότε και η g είναι - περνά από το Κ ζ) Αν η g είναι -,τότε g() y g (y), Β, y g(β) η)αν ορίζεται η ( g) h,τότε ορίζεται η (g h) και ισχύει ( g) h (g h) θ)το πεδίο ορισμού της είναι το (Α) ι)αν,g είναι - τότε g είναι - κ)αν είναι - τότε για κάθε, Α ισχύει : ( ) ( )