http://elearn.maths.gr/, maths@maths.gr, Τηλ: 6 Ενδεικτικές απαντήσεις ης Γραπτής Εργασίας ΠΛΗ -: Οι φοιτητές θα κάνουν την δική τους εργασία σκεπτόµενοι πάνω στις ενδεικτικές απαντήσεις. Σε περίπτωση αντιγραφής ή ύπαρξης παροραµάτων δεν φέρουµε καµία ευθύνη. Σχηµατίζουµε τον πίνακα µε στήλες τα διανύσµατα v,v,v,u,u: - 6 6 - - - - - Βρίσκουµε κάνοντας γραµµοπράξεις την ανηγµένη κλιµακωτή µορφή του: - 6 6 - - - - -
- 6 6 - - - - - Γ ---> Γ + { Γ Γ ---> Γ + { Γ Γ ---> Γ + { Γ - 6 6 - - - 6 - Γ Γ ---> { - 6 6 - - - 6 - Γ ---> Γ + { Γ Γ ---> Γ + { Γ Γ ---> Γ + {
- - - Γ Γ ---> { - - 6 - Γ ---> Γ + { Γ Γ ---> Γ + { Γ Γ ---> Γ + { Γ - - 6 - Γ ---> { Γ
- - 6 Γ ---> Γ + { Γ Γ ---> Γ + { Γ Γ ---> Γ + { 6 Γ - Από την ανηγµένη κλιµακωτή µορφή παρατηρούµε ότι: i) Τα τρία πρώτα διανύσµατα στήλες είναι γραµµικά ανεξάρτητα επειδή αντιστοιχούν στον µοναδιάιο πίνακα x εποµένως τα v,v,v είναι βάση του V άρα έχουµε dimv. Τα δύο τελευταία διανύσµατα στήλες είναι γραµµικά ανεξάρτητα επειδή αντιστοιχούν στον µοναδιάιο πίνακα x εποµένως τα u,u είναι βάση του U άρα έχουµε dimv. ii) Ο µέγιστος µοναδιαίος πίνακας που µπορεί να σχηµατιστεί από όλα τα διανύσµατα µαζί είναι ο x κι αυτός σχηµατίζεται µε γραµµοπράξεις από τα διανύσµατα v,v,v και το u, άρα αυτά είναι µία βάση του V + U κι εποµένως dim(v + U) iii)
Γνωρίζουµε ότι ισχύει: dim ( V U ) dim( V ) + dim( U ) dim ( V+ U ) > dim ( V U ) iv) Mόλις δείξαµε ότι η τοµή των V,U έχει διάσταση µη µηδενική, άρα αυτό δεν µπορεί να ισχύει. http://elearn.maths.gr/, maths@maths.gr, Τηλ: 6 Ενδεικτικές απαντήσεις ης Γραπτής Εργασίας ΠΛΗ -: Οι φοιτητές θα κάνουν την δική τους εργασία σκεπτόµενοι πάνω στις ενδεικτικές απαντήσεις. Σε περίπτωση αντιγραφής ή ύπαρξης παροραµάτων δεν φέρουµε καµία ευθύνη. i) Εξετάζουµε αν υπάρχουν αριθµοί λ,λ έτσι ώστε: λ v + λ v w
<> λ + λ λ + λ λ λ - <> <> λ + λ λ + λ λ λ - Γ ---> Γ + { Γ Γ ---> Γ + { Γ <> λ + λ λ λ - Γ Γ ---> { <> λ + λ 6
λ λ - Γ ---> Γ + { Γ Γ ---> Γ + { Γ <> λ λ - Γ ---> { Γ <> λ λ Γ ---> Γ + { Γ Γ ---> Γ + { Γ
<> λ λ Παρατηρούµε από την τελευταία γραµµή ότι το σύστηµα είναι αδύνατο εποµένως η απάντηση είναι αρνητική. ii) Ο πίνακας µε γραµµές τα v,v γίνεται µε γραµµοπράξεις: - - - - Γ ---> Γ + { Γ - - Γ Γ ---> { 8
- - Γ ---> Γ + { Γ - Άρα τα δύο διανύσµατα είναι γραµµικά ανεξάρτητα κι επειδή παράγουν τον χώρο είναι µία βάση του. iii) v v () () + (-) () + () (-) > v, v, είναι κάθετα µεταξύ τους, δηλ. σχηµατίζουν "ορθή γωνία" στον χώρο R Έστω ότι το διάνυσµα: v x y είναι κάθετο στα v,v. Αυτό σηµαίνει ότι: v v v v <> x y+ x+ y
<> x y+ x+ y Γ ---> Γ + { Γ <> x y+ y Γ Γ ---> { <> x y+ y Γ ---> Γ + { Γ <> x+ y
<> x y R Εποµένως ένα µη µηδενικό τέτοιο διάνυσµα είναι λ.χ. µε το: v - iv) Είδαµε προηγουµένως στο iii) ότι κάθε διάνυσµα κάθετο στην βάση v,v του V εποµένως κάθε διάνυσµα του χώρου V _ _ γράφεται στην µορφή:, R άρα για κάθε τιµή του έχουµε και µία βάση, λ.χ. το διάνυσµα v του iii) http://elearn.maths.gr/, maths@maths.gr, Τηλ: 6 Ενδεικτικές απαντήσεις ης Γραπτής Εργασίας ΠΛΗ -: Οι φοιτητές θα κάνουν την δική τους εργασία σκεπτόµενοι πάνω στις ενδεικτικές απαντήσεις. Σε περίπτωση αντιγραφής ή ύπαρξης παροραµάτων δεν φέρουµε καµία ευθύνη.
Τα στοιχεία του πίνακα του εσωτερικού γινοµένου είναι: a ij e i o e j όπου e i, i, τα µοναδιαία διανύσµατα του R e e e e, e, a +, e, a +, e, a +, e, a + > a a - a - a > A - -
Έστω ένα τυχαίο διάνυσµα x X y Έχουµε ότι: R X T A X x ( x y ) + y ( x+ y ) > X T A X x 6 x y+ y > X T A X ( x y ) + y > X T A X > Ο Α είναι θετικά ορισµένος http://elearn.maths.gr/, maths@maths.gr, Τηλ: 6 Ενδεικτικές απαντήσεις ης Γραπτής Εργασίας ΠΛΗ -: Οι φοιτητές θα κάνουν την δική τους εργασία σκεπτόµενοι πάνω στις ενδεικτικές απαντήσεις. Σε περίπτωση αντιγραφής ή ύπαρξης παροραµάτων δεν φέρουµε καµία ευθύνη. α) i)
f x x x x + x x + x x x x + x Έστω u x x + x x, x άρα f(u) x + x x x x + x Επίσης v y y + y y, y και f(v) y + y y y y + y λ x + µ y Εποµένως λ.u+µ.v λ x + µ y λ x + µ y λ x + µ y + λ x + µ y f(λ.u+µ.v) λx + µy + ( λ x + µ y ) ( λ x + µ y ) λ x + µ y λx µ y + λx + µy λ x + µ y + λ x + µ y f(λ.u+µ.v) λx + µy + λ x x + λ x µ y + µ y λ x + µ y y λ x + µ y λx µy + λx + µy λ ( x + x ) + µ ( y + y ) λ.f(u)+µ.f(v) λ ( x + x x ) + µ ( y + y y ) λ ( x x + x ) + µ ( y y + y ) λ x + µ y + λ x + µ y λ.f(u)+µ.f(v) λx + λ x x + µy + µ y y λ x + µ y λx µy + λx + µy f ( λ u + µ v ) λ f( u ) + µ f( v) λ x x + λ x µ y + µ y λ x + µ y y λ x x µ y y > f(λ.u+µ.v) λ.f(u)+µ.f(v) > η δεν f είναι γραµµική
α) ii) Έστω δύο τυχαίοι πίνακες Χ,Y M ( R) Έστω λ R h ( X+ Y ) A ( X+ Y ) ( X+ Y ) A h ( X+ Y ) AX XA+ AY YA () h( X ) AX XA h( Y ) AY YA > h( X ) + h( Y ) AX XA+ AY YA () Από τις () και () µε αφαίρεση κατά µέλη: h ( X+ Y ) h( X ) h( Y ) > h ( X+ Y ) h( X ) + h( Y ) h( λχ ) ΑλΧ λχα h( λχ ) λαχ λχα () λ h( X) λ ( AX XA ) λ h( X ) λαχ λχα () Από τις () και () µε αφαίρεση κατά µέλη: h( λχ) λ h( X) >
h( λχ) λ h( X) Επίσης προφανώς h(o)ao-oao κι επειδή: h ( X+ Y ) h( X ) + h( Y ), h( λχ ) λ h( X) συµπεραίνουµε ότι η h είναι γραµµική β) i) Για την f έχουµε ως προς την κανονική βάση του R f (,, ) (,, ) > f( e ) e + e + e () f (,, ) (,, ) > f( e ) e + e + e () f (,, ) ( -, -, -8 ) 6
> f( e ) (-) e + (-) e + (-8) e () Άρα ο πίνακας αναπαράστασης ως προς την κανονική βάση είναι παίρνοντας τις συντεταγµένες κάθε f( e i ) ως στήλη i, ο εξής: - A - -8 Παίρνοντας: X x y Έχουµε ότι: f x y A X > f x y y x+ y x+ y 8 β) ii) Για την εικόνα Ιmf έχουµε: f ( x, y, ) y x+ y x+ y 8 [ x ] + [ y ] + [ ] - - -8
Ενώ στον πίνακα µε στήλες τα διανύσµατα:,, - - -8 - - -8 παρατηρούµε ότι: - - -8 Γ ---> Γ + { Γ Γ ---> Γ + { Γ - - - Γ Γ ---> { 8
- - - Γ ---> Γ + { Γ ---> Γ + { Γ - - - Γ ---> { Γ - - Γ ---> Γ + { Γ Γ ---> Γ + { Γ άρα είναι γραµµικά ανεξάρτητα κι εποµένως µια βάση είναι:
Imf,, - - -8 dimimf β) iii) Για τον πυρήνα ισχύει dimkerf + dimimf dim( R ) > dimkerf > Imf { O β) iv) Επειδή ο πυρήνας είναι το µηδενικό διάνυσµα, η f αντιστρέφεται κι έχουµε για τον Α του ερ. β) i): f( X) A X > f - (f(x)) f - (A X) > X f - (A X) Για να ισχύει η παραπάνω σχέση για κάθε Χ R θα πρέπει ο πίνακας της αντίστροφης απεικόνισης ως προς την κανονική βάση του R να είναι ο αντίστροφος του Α, δηλ. αρκεί να υπολογίσουµε τον Α -
- - -8 Γ <---> Γ -8 - - Γ ---> Γ + { Γ Γ ---> Γ + { -8 - - - Γ ---> { Γ -8 - - - Γ ---> Γ + { Γ Γ ---> Γ + { Γ
- - - - - - - - + Γ ---> Γ { + Γ ---> Γ { Γ - - - A - - - - Άρα ο τύπος της αντίστροφης απεικόνισης θα είναι:
f - (X) A - X > y f - (x,y,) y x+ y x+ http://elearn.maths.gr/, maths@maths.gr, Τηλ: 6 Ενδεικτικές απαντήσεις ης Γραπτής Εργασίας ΠΛΗ -: Οι φοιτητές θα κάνουν την δική τους εργασία σκεπτόµενοι πάνω στις ενδεικτικές απαντήσεις. Σε περίπτωση αντιγραφής ή ύπαρξης παροραµάτων δεν φέρουµε καµία ευθύνη. i) Υπολογίζουµε ιδιοτιµές και ιδιοδιανύσµατα για τον πίνακα:
- A - -8 Εύρεση ιδιοτιµών ως ριζών του χαρακτηριστικού πολυωνύµου: λ - det ( A λι) det λ - 8 λ λ det λ - det 8 λ - det 8 λ λ λ ( λ+ λ ) + + λ ( λ ) ( + λ ) ( λ+ ) <> λ - λ - λ λ - det λ - 8 λ ( ) λ ( + λ ) ( λ+ ) > χ A ( λ ) λ λ + + λ Άυτό είναι το χαρακτηριστικό πολυώνυµο του Α.
Εύρεση ιδιοδιανυσµάτων: Για την ιδιοτιµή λ - ( A λι) X O <> x+ y x+ 8 y x+ y <> x+ y x+ 8 y x+ y Λύνουµε το οµογενές σύστηµα µε τον επαυξηµένο πίνακα: - 8 - - Γ Γ ---> { - 8 - - Γ ---> Γ + { Γ Γ ---> Γ + { Γ
- - -6 Γ ---> { Γ - - -6 + Γ ---> Γ { Γ + Γ ---> Γ { Γ - - <> x 6
y <> x y Εποµένως: x y { u Για την ιδιοτιµή λ - ( ) A λι X O <>
x+ y x+ y x+ y <> x+ y x+ y x+ y Λύνουµε το οµογενές σύστηµα µε τον επαυξηµένο πίνακα: - - - - - - Γ ---> Γ + { Γ Γ ---> Γ + { Γ - -6 Γ <---> Γ - -6 8
Γ ---> { Γ - - Γ ---> Γ + { Γ - <> x+ y <> x y Εποµένως: x y
{ - u - Για την ιδιοτιµή λ ( A λι) X O <> x+ y x x+ y <> x+ y x x+ y Λύνουµε το οµογενές σύστηµα µε τον επαυξηµένο πίνακα: - - - - Γ ---> { Γ - - -
Γ ---> Γ + { Γ Γ ---> Γ + { Γ - - - Γ Γ ---> { - - - Γ ---> Γ + { Γ Γ ---> Γ + { Γ - - <> x y <>
x y Εποµένως: x y { u ii) Από την στιγµή που το µηδέν δεν ανήκει στο φάσµα του Α ο πίνακας Α είναι αντιστρέψιµος και έχουµε: A X i λ i X i > A - A X i A - λ i X i > I X i λ i [ A - X i ] > X i λ i [ A - X i ]
> A - X i X i λ i > A - X i λ i - Xi ηλαδή ο αντίστροφος πίνακας έχει τα ίδια ιδιοδιανύσµατα αλλά αντίστροφες ιδιοτιµές από εκέινες του Α. iii) Από την στιγµή που οι ιδιοτιµές του Α είναι διακεκριµένες ο πίνακας Α είναι διαγωνοποιήσιµος και αν ορίσουµε τον πίνακα Ρ µε στήλες τα ιδιοδιανύσµατα που βρήκαµε στο i) P - Τότε θα ισχύει ότι: P - A P D - D - Πράγµατι κάνοντας πράξεις επαληθεύουµε ότι ισχύει: - P - A P -
iv) Στο i) βρήκαµε ότι το χαρακτηριστικό πολυώνυµο του Α είναι: χ A ( λ ) λ λ + + λ Σύµφωνα µε το θεώρηµα Cayley-Hamilton ο πίνακας Α µηδενίζει το χαρακτηριστικό του πολυώνυµο, δηλ.: χ A ( A) A A + I + A > A A + I + A Πολλαπλασιάζοντας µε Α - A - ( A A + I + A) > A - A A - A + A - I + A - A > A A + A - + I > A - A+ A I >
A - - - - i) A - > A T,, - >
A A T - - - - B I A A T > B - 8-8 Εύρεση ιδιοτιµών ως ριζών του χαρακτηριστικού πολυωνύµου: ( ) det B λι det λ - 8 - λ 8 λ + + λ det λ λ det - 8 λ 8 det - λ 8 + λ + 8 λ λ 8 8 8λ 8 ( ) + λ ( ) λ 6
<> λ - λ λ Εύρεση ιδιοδιανυσµάτων: Για την ιδιοτιµή λ - ( B λι) X O <> x y 8 + x 6 y + + 8 x y + + <> x y 8 + x 6 y + + 8 x y + + Λύνουµε το οµογενές σύστηµα µε τον επαυξηµένο πίνακα:
- 8-6 8 Γ ---> { Γ - - 6 8 + Γ ---> Γ { Γ + Γ ---> Γ { 8 Γ - 8 Γ ---> { Γ 8 8
- + Γ ---> Γ { Γ + Γ ---> Γ { Γ <> + x + y <> x y Εποµένως:
x y { - - u - - Για την διπλή ιδιοτιµή λλ ( B λι) X O <> 8 x y 8 + x y + 8 x y 8 + <> 8 x y 8 + x y + 8 x y 8 + Λύνουµε το οµογενές σύστηµα µε τον επαυξηµένο πίνακα:
-8-8 - - 8-8 Γ ---> { Γ 8 - - - 8-8 + Γ ---> Γ { Γ + Γ ---> Γ { 8 Γ - <> + x y
<> x + y y y Εποµένως: x y + y y + { y - { u - u ii) Με το συνηθισµένο εσωτερικό γινόµενο βλέπουµε ότι: u u -
δηλ. τα ιδιοδιανύσµατα δεν είναι ορθογώνια. Θα τα κάνουµε ορθοκανονικά µε τη µέθοδο Gramm - Schmidt : Βρίσκουµε πρώτα µία ορθογώνια βάση w: w u w - - w u u. u u. u u w - { - - w - w u u. u u. u u u. u u. u u w { - - { - - w
και κατόπιν βρίσκουµε µία ορθοκανονική βάση διαιρώντας κάθε ορθογώνιο w µε το µέτρο του: w, w, w w e w, e, w w w e w e - -, e, e Eποµένως ο ορθογώνιος διαγωνοποιών πίνακας είναι: P [ e, e, e ] - - P και ισχύει ότι: P T B P D
λ P T B P λ λ P T B P () - όπου για τον ορθογώνιο πίνακα Ρ ισχύει: P - P T Η σχέση () γράφεται και ως: B P D P T () iii) Από την σχέση () έχουµε: B D D P D P T (-) > B P P T > B
Εποµένως έχουµε και ότι: ( B + B ) B ( I + B) I ( + B ) I ( + B ) I > ( B + B ) - - 8 αφού Ι + Β - 8-6 8 6