, m ecuańii, n necunoscute;

Sisteme liniare NotaŃii: a ij coeficienńi, i necunoscute, b i termeni liberi, i0{1,,..., n}, j0{1,,..., m}; a11 1 + a1 +... + a1 nn = b1 a11 + a +... + an n = b (S), m ecuańii, n necunoscute;... am11 + am +... + amn n = bm a11 a1... a1 n a11 a1... a1 n b1 a1 a... a n A = a1 a... an b, A =,........................... a m1 am... amn a m1 am... amn bm r rangul matricii A = rangul sistemului Sisteme de trei ecuańii cu trei necunoscute a1 + b1 + c1 z = d1 Def. Un sistem de trei ecuańii cu trei necunoscute are forma ( S) : a + b + cz = d, unde a3 + b3 + c3z = d3 a i, b i, c i se numesc coeficienńii necunoscutelor, iar d i termenii liberi ai sistemului. Def. Se numeste soluńie a sistemului orice triplet (s 1, s, s 3 ) care este soluńie pentru fiecare ecuańie a sistemului. a1 b1 c1 A = a b c - matricea sistemului a3 b3 c 3 a1 b1 c1 d1 A = a b c d - matricea etinsă a sistemului a3 b3 c3 d 3 Regula lui Cramer a1 b1 c1 A = a b c ; a3 b3 c 3 a b c = a b c - determinantul matricei sistemului a b c 3 3 3 1

d b c = d b c d b c 3 3 3 (se obńine din A înlocuind coeficienńii lui, prin coloana termenilor liberi) = a d c a d c a d c 3 3 3 (se obńine din A înlocuind coeficienńii lui, prin coloana termenilor liberi) = z a b d a b d a b d 3 3 3 z = ; = ; z = (se obńine din A înlocuind coeficienńii lui z, prin coloana termenilor liberi) Sisteme liniare omogene a1 + b1 + c1 z Sistemul ( S) : a + b + cz se numeşte sistem liniar omogen a3 + b3 + c3z Întotdeauna acest sistem este compatibil avand cel puńin soluńia banală (cu toate componentele egale cu zero) = = z. Daca = det( A) 0 atunci (formulele lui Cramer) sistemul are numai soluńia banală. În acest caz sistemul este compatibil determinat. Daca = det( A) atunci sistemul are şi alte soluńii diferite de cea banală. Sistemul este compatibil nedeterminat. Sisteme de m ecuańii cu n necunoscute a11 1 + a1 +... + a1 nn = b1 a11 + a +... + ann = b Au forma : (1)... am 11 + am +... + amnn = bm Dacă un sistem are soluńii, atunci îl numim compatibil (determinat dacă are eact o soluńie şi nedeterminat dacă sistemul are mai mult de o soluńie) Sistemul (1) se numeşte omogen daca are tońi termenii liberi egali cu zero. Sistemul astfel obńinut

a11 1 + a1 +... + a1 nn a11 + a +... + ann se numeşte sistemul omogen asociat sistemului (1).... am11 + am +... + amn n CoeficienŃii necunoscutelor formeaza o matrice de tip m n: a11 a1... a1 n 1... n A = a a a numită matricea sistemului (1)............ am 1 am... amn 1 b1 Dacă X = b şi C = sunt coloana necunoscutelor şi respectiv coloana termenilor n bm liberi, atunci sistemul (1) se poate scrie sub forma matriciala AX = C. Două sisteme sunt echivalente dacă sunt amandouă incompatibile sau sunt amandouă compatibile şi au aceleaşi soluńii. Discutia unui sistem Teorema Kronecker Capelli. Sistemul liniar (1) este compatibil dacă şi numai dacă rangul matricii sistemului coincide cu rangul matricii etinse. Comform teoremei avem nevoie de calculul rangului matricii A. Daca rang(a) = r, atunci eistă cel puńin un minor nenul de ordin r. Pe acesta îl numim determinant principal şi-l notam.ca să avem egalitatea rang(a) = rang( A ) trebuie probat ca orice minor al matricii p A care-l contine pe cel principal şi care nu este minor al lui A este nul. Orice astfel de minor de ordin r + 1, obńinut prin bordarea determinantului principal cu elemente corespunzatoare ale coloanei termenilor liberi, precum şi cu cele ale uneia din liniile rămase, se numeşte minor caracteristic. Vom nota un astfel de minor prin car, k, unde k indica linia utilizată pentru bordare. Teorema Rouche. Sistemul liniar (1) este compatibil dacă şi numai dacă tońi minorii caracteristici sunt nuli. Deci dacă cel puńin un minor caracteristic este nenul sistemul este incompatibil. Determinarea solutiilor Presupunem ca rang(a) = r şi că am ales ca determinant principal al sistemului compatibil a... a 11 1r =.......... De precizat că odată ales determinantul principal cu el se merge până la p ar1... arr determinarea soluńiilor. Necunoscutele ale caror coeficienńi sunt în determinantul principal se 3

numesc necunoscute principale. Deci în cazul nostru acestea sunt 1,,..., r.celelalte necunoscute (dacă eistă), adica r+1,..., n, se numesc necunoscute secundare. EcuaŃiile ale căror coeficienńi se află în determinantul principal se numesc ecuańii principale. În cazul de fańă primele r ecuańii sunt principale. Celelalte ecuańii (dacă eistă) se numesc ecuańii secundare. a11 1 + a1 +... + a1 nn = b1 a11 + a +... + an n = b Se rezolva sistemul format din ecuańiile principale : (*)... ar11 + ar +... + arnn = br SoluŃiile acestui sistem sunt soluńii şi pentru (1), (din rang(a) = rang( A ), rezultă că celelalte linii sunt combinańii liniare ale ecuańiilor principale, ceea ce arată că o soluńie a sistemului de mai sus este soluńie şi pentru (1)). Analizam cazurile : - dacă r = n, atunci sistemul (*) are atâtea ecuańii câte necunoscute. Pentru rezolvare se pot 1 n aplica formulele lui Cramer : 1 = ; = ;...; n =, unde se obńine din n p p p p înlocuind coloana coeficienńilor lui n cu termenii liberi. - daca r < n, atunci în ecuańiile principale se înlocuiesc necunoscutele secundare variabil,..., ; r+ 1 = λr+ 1 n = λn λk R şi se rezolva sistemul format din ecuańiile principale (în care necunoscutele secundare trec în membrul drept). Pentru rezolvare se aplică regula lui Cramer. 4

Probleme rezolvate 1. Se consideră sistemul m + + z = m 3 5 + z =, unde m este un parametru real. ( m + 1) + + 3z = m 1 1 a) Să se determine m0r, ştiind că 5 1 = 1. m + 1 3 b) Să se determine m0r astfel încât sistemul să admită soluńia (1,, 3). c) Pentru m = 1 să se rezolve sistemul de ecuańii. m 1 1 R. a) 5 1 = 6m + 10 + m + 1+ m + m 15 = 5m m + 1 3 5m = 1 5m = 10 m =. b) Înlocuim = 1, = şi z = 3 şi obńinem: m + 3 = m 3 m m, m =. m + 1 + 4 9 = m =, care verifică şi prima ecuańie + + z = c) Pentru m = 1 sistemul va fi 5 + z =, matricea sistemului A = 5 1 + 3z = 0 3 = det = 5 1 = 6 + 10 + 15 = 3 0, este sistem Cramer. Calculăm şi d ( A) 0 3 determinanńii corespunzători necunoscutelor: 1 1 1 1 d d z = 1 = 1 4 4 + 6 + 4 = 1, 3 1 1 = 5 = 4 0 4 + 10 = 18 şi obńinem soluńiile 0 d 1 d 4 dz 18 = = = 4, = = = 8, z = = = 3. d 3 d 3 d 3 d = 5 1 = 6 10 + 30 = 4, 0 3 5

+ 3z = 3. Se consideră sistemul de ecuańii + + z = 4, unde m R. m + 4z = 1 a) Să se determine m R astfel încât (,1, 1) să fie o soluńie sistemului. 1 3 b) Să se rezolve ecuańia 1 1 = m 3 m, unde m R. m 1 4 c) Pentru m = 5 să se rezolve sistemul de ecuańii. R. a) Înlocuim în ultima ecuańie a sistemului: m @ 1 + 4@( 1) = 1 m = 6 m = 3. 1 3 b) 1 1 4 6 3 16 1 5 15 5 15 3 m 1 4 = m m + + = m + m + = m m m + m 15 cu soluńiile m 1 = 3 şi m = 5. 1 3 c) Pentru m = 5 matricea sistemului este: A = 1 1 şi 5 1 4 1 3 din b) ( A) ( ) ( ) det = 1 1 = 5 3 5 = 5 + 15 = 40 0, sistem Cramer. d 5 1 4 3 3 = 4 1 1 = 1 1 3 3 + 3, 1 1 4 1 3 3 d = 4 1 = 16 + 15 + 6 + 60 1 + 4 = 10, d z 5 1 4 1 3 = 1 4 = 1 + 40 + 6 15 + 4 + 4 = 40. 5 1 1 SoluŃia: d 0 d 10 dz 40 = =, = = = 3, z = = = 1. det 40 det 40 det 40 ( A) ( A) ( A) 6

3. Se consideră sistemul de ecuańii + + z = 1 + + az = 1 + + a z = 4 1 şi matricea A( a) = 1 a M 3 ( R ). 1 4 a a) Să se calculeze det(a(4)). b) Să se determine a R pentru care matricea A(a) este inversabilă. c) Pentru a R {1,} să se rezolve sistemul. ( ) det A 4 = 1 4 = 3 + 4 + 4 16 16 = 6. R. a) ( ) 1 4 16 b) Matricea A(a) este inversabilă dacă determinantul matricei este nenul, (det(a(a)) 0). ( A( a) ) a a ( a )( a )( ) ( a )( a ) det = 1 = 1 = 1 1 = 1. 1 4 a 1 a det(a(a)) 0 (a )(a 1) 0 a şi a 1 a R {;}. c) Pentru a R {1,} det(a(a))=(a )(a 1) 0. ( )( ) d = 1 a = a a 1, SoluŃia: 1 4 a ( A( a) ) d = 1 1 a, 1 1 ( a )( a ) ( )( ) det A( a) a d = 1 1. z 1 4 1 d 1 d 0 = = = 1, = =, det a a 1 a a 1 d z 0 z det = = ( A( a) ) ( a )( a 1) ( ) ( )( ) + a + a z = a 4. Se consideră sistemul de ecuańii + b + b z = b, unde a,b,c 0 R, sunt distincte două + c + c z = c câte două. a) Să se rezolve sistemul pentru a, b = 1 şi c =. b) Să se verifice că det (A)=(a b)(b c)(c a), unde A este matricea asociată sistemului. c) Să se demonstreze că soluńia sistemului nu depinde de numerele reale a, b şi c. 7

R. a) Pentru a, b = 1 şi c =, sistemul va fi: + + z = 1 + z = 1 ( 1). Din ultimele două ecuańii 4z + + = + 4z = :( ) z = 1 z, = 1 şi S = {(0, 1, 0)}. + z = 1 1 a a 1 a a L1 *( 1) + L 1 b + a b) det( A) = 1 b b b a b a = ( b a)( c a) = L1 *( 1) + L3 1 c + a 1 c c 0 c a c a ( )( ) = b a c a c + a b a ( ) ( b a)( c a)( c b) ( a b)( b c)( c a) = =. (determinant Vandermonde). c) Rezolvăm sistemul prin regula lui Cramer: a a a 1 a a 1 a a ( ) d = b b b, d = 1 b b = d = det A, d = 1 b b şi z c c c 1 c c 1 c c ( ) ( ) ( A) dz ( ) ( ) d d det =, = = = 1, z =, soluńii care nu depind de a, b, c. det A det A det A det A + z t = 1 5) Se consideră sistemul: + + az + t = 1, a şi b parametri reali. + z t = b a) Să se determine a şi b astfel încât matricea sistemului să fie de rang, iar sistemul să fie compatibil. b) Pentru a= 1 şi b=1 să se rezolve sistemul. 1 1 1 1 1 1 1 R. a) A = 1 1 a 1 ; A 1 1 a 1 1 = 1 1 1 1 1 1 1 1 b 1 d = = 3 0determinantul principal. Luăm determinantul de ordinul 3: 1 1 1 1 1 d = 1 1 a = a + 1 care trebuie să fie nul a= 1. 1 1 1 Determinantul caracteristic trebuie să fie nul şi obńinem: 1 1 5 dc = 1 1 1 = 3b 5 3b 5 b = 3 1 1 b 8

b) Necunoscutele principale sunt şi, iar z =α 0R şi t =β 0R. = 1 α + β Sistemul principal:. + = 1 + α β = 1 + α β 1 5 4 6. Se consideră matricea A = 10 8. 3 15 1 a) Să se determine rangul matricei A. + 5 + 4z = 1 b) Să se studieze compatibilitatea sistemului ( S) + 10 + 8z = 3. 3 + 15 + 1z = 5 R. a) Matricea A are liniile proporńionale ranga=1. 1 1 b) d c = = 1 1 0 sistemul este incompatibil. 3 + 5z + 7t 7. Se consideră sistemul (S) 4 + 7z + 5t. + z 5t a) Sistemul admite soluńiile = 8, =8, z = 3, t =1, respectiv =4, =8,z =0,t =0? JustificaŃi răspunsul. b) Să se rezolve sistemul. R. Sistemul e omogen, deci are ca soluńie soluńia banală = =z =t =0 a) Se verifică că = 8, =8, z= 3, t=1 nu e soluńie a sistemului: ( 8) 8+5 ( 3)+7 1= 16 8 15+7= 3 0, iar =4, =8, z=0, t=0 e soluńie a sistemului: 4 8+5 0+7 0= 8 8. b) 5 = 6 0 rang A, unde A este matricea sistemului. 4 7 Cum 5 1 5 7 4 7 şi 4 7 5 rang A=. 1 1 1 5 Fie =α0r şi t =β0r se obńine sistemul echivalent α = 11β, =α, z =3β şi t =β unde α,β0r. + 5z = α 7β cu soluńiile 4 + 7 = α 5β 9

6 9 5 6 8 1 7 m 8. Se consideră matricea A =, m parametru real. 3 1 4 6 3 4 a) Să se calculeze determinantul matricei A. 7 9 b) Pentru m=8 să se rezolve ecuańia matriceală A X =,unde X =. 3 z 5 t 3 3 5 6 R. a) 4 4 7 m A = 3 A nu este inversabilă pentru m0r. 3 4 b) Pentru m=8 ecuańia maticeală se transformă în: 6 9 5 6 7 6 + 9 + 5 + 6t = 7 8 1 7 8 9 8 + 1 + 7z + 8t = 9 =. 3 1 z 3 + 3 + z + t = 3 4 6 3 4 t 5 4 + 6 + 3z + 4t = 5 Deoarece 6 5 = 0 rang A şi cum tońi minorii de ordin 3 sunt nuli rang A=. 8 7 Calculând minorii caracteristici 6 5 7 6 5 7 = 8 7 9, d = 8 7 9 se obńine că sunt nuli, 1 1 3 4 3 5 deci sistemul e compatibil nedeterminat. Alegând =α şi t=β, cu α,β0r se obńine sistemul echivalent: 6 + 5z = 7 9α 6β cu soluńiile 8 + 7z = 9 1α 8β d c c 3 = α ; = α, z = 1, t = β, deci ecuańia matriceală are o infinitate de soluńii, matrici coloană de forma α,β0r. 3 α β X = α, cu 1 β 10

+ + z + t + + z + t 9. Să se rezolve sistemul (S). + + z + t + + z + t R. Sistem omogen, deci admite soluńia banală = = z= t. 1 1 det A=0; = 1 1 = 3 0 minor principal rang A=3 1 + + z = λ Cu t=λ0r + + z = λ. Sistem Cramer cu soluńiile = λ, =0, z=0, t=λ. + + = λ + 3 + z = 9 10. Să se rezolve sistemul + 3z = 14. 3 + 4 + z = 16 1 1 1 R. = 1 3 = 3 Sistemul este de tip Cramer şi are soluńiile: s 3 4 z = = 1, = =, z = = 3. s s s 11. Să se rezolve sistemul: 4 3 4 3 + z + 4 6 + 3z + 1. 5 3 + z + 3 R. = 6 3 = 5 0 sistemul este compatibil determinat (Cramer) 5 3 4 3 = 1 3 = 5 = = 1, =-10 =, z =5, z=-1. 3 3 S={(1,,-1)}. 11