ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 106 Β' Λυκείου Ον/μο:. Γεν. Παιδείας Ύλη: Συστήματα Ιδιότητες Συναρτήσεων- Τριγωνομετρία - 15-01-17 Πολυώνυμα Θέμα 1 ο : Α. Πότε μία συνάρτηση f λέγεται περιοδική με περίοδο T; (7 μον.) B. Ποια εξίσωση λέγεται γραμμική; (6 μον.) Γ. Να αποδείξετε ότι το υπόλοιπο της διαίρεσης ενός πολυωνύμου Px με το x-ρ ισούται με P. (7 μον.) Δ. Να χαρακτηρίσετε με (Σ) Σωστό ή (Λ) Λάθος τις παρακάτω προτάσεις : i. Ο σταθερός όρος του πολυωνύμου Px x 1 017 7 ισούται με 6. Σ Λ ii. Το πολυώνυμο Px x x x έχει παράγοντα το x+1. Σ Λ 1 iii.. Σ Λ iv.. Σ Λ v. Η συνάρτηση f x x 5x 9 παρουσιάζει ολικό ελάχιστο. Σ Λ (5x1=5 μον.) Θέμα ο : Α. Να βρεθούν οι πραγματικοί αριθμοί κ, λ ώστε το πολυώνυμο Qx x 1x 1 να είναι μηδενικού βαθμού. P x για το οποίο ισχύει η σχέση: Β. Δίνεται πολυώνυμο 1x P x x x x 1 i. Να δείξετε ότι Px x x 1. ii. Να δείξετε ότι P P x x x x x 1. (6 μον.) (x5=10 μον.) 1 Τρίκαλα τηλ.-fax(10-67)
Γ. i. Να κάνετε τη διαίρεση x x x 16x 1 : x 5x 6 και να γράψετε την ταυτότητα της διαίρεσης. (5μον.) ii. Να λύσετε την εξίσωση: x x x 16x 1 0. (μον.) Θέμα ο : Δίνεται η συνάρτηση οποία ισχύει f 0 και η γραφική της παράσταση περνάει από τα σημεία 1,8 και,8. f x 1 x 1 x για την Α. Να αποδείξετε ότι α=1, β= και γ=-1. (6 μον.) Β. Να δείξετε ότι η συνάρτηση f γράφεται στη μορφή 1 7 f x x. (5 μον.) Γ. Να βρείτε τα διαστήματα μονοτονίας της f. ( μον.) Δ. Να βρείτε το ολικό ακρότατο της f. (6 μον.) Ε. Να κάνετε τη γραφική παράσταση της f. ( μον.) Θέμα ο : Δίνεται η f x x 1, ρ<0 η οποία έχει ελάχιστη τιμή -1 και περίοδο Τ=π. Α. Να αποδείξετε ότι και ρ=-. (5 μον.) Β. Να γραφτεί ο τύπος της f σε απλούστερη μορφή και να βρεθούν τα σημεία τομής της C με τον x'x στο διάστημα f 0,. (5 μον.) Γ. Να βρεθούν τα ακρότατα της f και οι τιμές του x στις οποίες αντιστοιχούν. (6 μον.) Δ. Να εξεταστεί αν υπάρχουν τιμές του x για τις οποίες η C f βρίσκεται πάνω από την ευθεία y=. Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας. ( μον.) Ε. Να βρεθεί ο τύπος της συνάρτησης g της οποίας η γραφική παράσταση προκύπτει από δύο διαδοχικές μετατοπίσεις της γραφικής παράστασης της f κατά π μονάδες προς τα δεξιά και μονάδες προς τα κάτω. (5 μον.) ΚΑΛΗ ΕΠΙΤΥΧΙΑ Τρίκαλα τηλ.-fax(10-67)
ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ (Ενδεικτικές) Είμαστε τυχεροί που είμαστε δάσκαλοι Θέμα 1 ο : Α. Μία συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το Α λέγεται περιοδική, όταν υπάρχει πραγματικός αριθμός Τ>0 τέτοιος, ώστε για κάθε xa να ισχύει: α. x+ TA, x-t A και β.f (x T) f (x T) f (x) Ο πραγματικός αριθμός Τ λέγεται περίοδος της συνάρτησης f. Β. Κάθε εξίσωση της μορφής x y με 0 ή 0 λέγεται γραμμική. Γ. Η ταυτότητα της διαίρεσης του P(x) με το x-ρ γράφεται : P(x) (x ) (x) (x). Επειδή ο διαιρέτης x-ρ είναι πρώτου βαθμού, το υπόλοιπο της διαίρεσης θα είναι σταθερό πολυώνυμο υ. Έτσι έχουμε : P(x) (x ) (x) και αν θέσουμε x=ρ, παίρνουμε P( ) ( ) ( ) 0. Επομένως, P( ). Δ. i.σ ii.λ iii. Λ iv.λ v.σ Θέμα ο : Α. Για να είναι το πολυώνυμο Qx x 1x 1 μηδενικού βαθμού πρέπει: 0 1 1 0 ή 1 1. 1 0 1 0 1 1 Β. Έχουμε: 1x Px x x x 1. i. Εφόσον το δεύτερο μέλος της ισότητας είναι πολυώνυμο ου βαθμού, τότε και το πρώτο μέλος της ισότητας πρέπει να είναι ου βαθμού. Επομένως το P x θα είναι ου βαθμού δηλαδή θα έχει τη μορφή x x, 0. Τότε: Τρίκαλα τηλ.-fax(10-67)
1 x x x x x x 1 Είμαστε τυχεροί που είμαστε δάσκαλοι x x x x x x x x 1 x x x x x x 1 1 1. 1 1 P x x x 1. Οπότε ii. P P x P x x 1 x x 1 x x 1 1 x x 1 x x x x x 11 x x x x 1. Γ.i. x x x 16x 1 x 5x 6 x 5x 6x x x x 7x 16x 1 x 5x 6x x 10x 1 x 10x 1 0 Η ταυτότητα της Ευκλείδειας Διαίρεσης είναι: x x x 16x 1 x 5x 6 x x. ii. i x x x 16x 1 0 x 5x 6 x x 0 x 5x 6 0 ή x x 0 x ή x ή x ή x 1. Θέμα ο : Α. Για τη συνάρτηση f x 1 x 1 x ισχύει f 0 και η γραφική της παράσταση περνάει από τα σημεία 1,8 και,8, οπότε έχουμε το σύστημα: Τρίκαλα τηλ.-fax(10-67)
f 0 f 1 8 1 1 8 f 8 1 1 8 1 1 1 7 5 5 8 7 8 1 1 1. 5 Β. Για α=1, β=, γ=-1 η f x 1 1x 1 1x 1 x x f x 1 x 1 x γίνεται 1 1 1 x x x x x x 1 7 x. f x x x είναι παραβολή με α=>0, οπότε στρέφει τα Γ. Η κοίλα προς τα πάνω. Η κορυφή της είναι το σημείο,. Το τριώνυμο έχει 8, δηλαδή 8 η κορυφή της είναι, 8 άρα 1 7,. 1 Επομένως, η συνάρτηση είναι στο, και στο 1,. Δ. Από το Γ ερώτημα προκύπτει ότι η f παρουσιάζει ολικό ελάχιστο στην 1 7 κορυφή της, δηλαδή για x το y. 5 Τρίκαλα τηλ.-fax(10-67)
E. Από τα παραπάνω ερωτήματα και χρησιμοποιώντας κάποιες ενδεικτικές τιμές προκύπτει η γραφική παράσταση της συνάρτησης. Θέμα ο : Α. H f x x 1 x 1, ρ<0 η έχει ελάχιστη τιμή -1 και περίοδο Τ=π, οπότε 1 1 και. x Β. Από το Α ερώτημα η f γράφεται: f x 1. Για να τέμνει η γραφική παράσταση της συνάρτησης τον άξονα x'x x x 1 x πρέπει: f x 0 1 0 6 x x 6 x,. 6 ή x 5 5 x 6 x,. 6 Όμως, x 0, οπότε: 5 Για κ=0 είναι x ή x, 6 Τρίκαλα τηλ.-fax(10-67)
5 Για κ=1 είναι x απορ. ή x απορ. Τα ζητούμενα σημεία είναι:,0 και 5,0. Γ. 1 x x x 1 1 1 f x. Επομένως η f παρουσιάζει ολικό ελάχιστο το -1 και ολικό μέγιστο το. Η f παρουσιάζει ολικό ελάχιστο το -1 όταν x x 1 x 6 x x 0, x. Όμοια η f παρουσιάζει ολικό μέγιστο το όταν x x 1 x 6 x x 0, 9 x ή x 9 9 x 6 x 9 x. x0, Δ. Δεν υπάρχουν τιμές του x για τις οποίες η γραφική παράσταση της f να βρίσκεται πάνω από την ευθεία y= διότι η f παρουσιάζει ολικό μέγιστο το. Ε. Ο τύπος της συνάρτησης g της οποίας η γραφική παράσταση προκύπτει από δύο διαδοχικές μετατοπίσεις της γραφικής παράστασης της f κατά π μονάδες προς τα δεξιά και μονάδες προς τα κάτω είναι: x x gx f x 1 1. 7 Τρίκαλα τηλ.-fax(10-67)