Browni liikumine magnet- ja elektriväljas anisotroopse keskkonna juhul

Tartu Ülikool Füüsika-keemiateaduskond Teoreetilise füüsika instituut Niina Voropajeva Browni liikumine magnet- ja elektriväljas anisotroopse keskkonna juhul Magistritöö teoreetilises füüsikas Juhendaja: dots Teet Örd Tartu 007

Sisukord Sissejuhatus 3 Lühiülevaade teooriast 7 3 Vaba Browni liikumine 0 3. Langevini võrrandi formalism...................... 0 3. Fokkeri-Plancki võrrandi formalism................... 4 4 Browni liikumine välises jõuväljas 8 4. Browni liikumine elektriväljas...................... 8 4. Browni liikumine magnetväljas...................... 0 4.3 Browni liikumine elektri- ja magnetväljas isotroopsel juhul...... 4 5 Browni liikumine elektri- ja magnetväljas anisotroopse hõõrdumise korral 6 5. Fokkeri-Plancki võrrand kiiruste ruumis................. 6 5. Kiiruste tõenäosustihedus........................ 3 5.3 Relaksatsioonid kiiruste ruumis..................... 35 5.3. Voolu, kiiruse kovariatsioonide ja dispersioonide ajaline käitumine................................ 35 5.3. Keskkonna anisotroopsuse mõju kiiruse komponentide kovariatsioonile ja dispersioonile................... 36 5.4 Statsionaarne vool ja difusioon...................... 40 Resümee 48 Summary 50 Kirjandus 5

Sissejuhatus 87. aasta suvel uuris inglise botaanik Robert Brown vees hõljuvaid õietolmu kübemekesi tavalise mikroskoobi all, sest teda huvitas, kuidas õietolm osaleb viljastumises. Ta nägi, et tolmuterad läbimõõduga alla µm liiguvad pidevalt ja kaootiliselt mööda keerulisi siksakilisi trajektoore. Osakeste salapärane ja võluv tants ei näinud iialgi lõppevat, seda võis vaadelda kui tahes kaua. Brown märkas, et liikumise intensiivsus kasvab koos temperatuuriga, kuid väheneb osakeste mõõtmete ja vedeliku viskoossuse kasvades. Ta veendus, et liikumine jääb samasuguseks, kui õietolmu kübemekesi asendada näiteks tolmu- ja tahmakübemete või peenestatud mineraalidega. Teadlasele sai selgeks, et kaootilisel ja pideval liikumisel on universaalne iseloom: selline hüplemine on omane kõigile piisavalt väikestele osakestele sõltumata välistest tingimustest ja keskkonnast []. Järgmiste aastakümnete jooksul üritasid teadlased edutult ära mõistatada selle salapärase nähtuse saladust, aga tol ajal jäi vajaka vajalikest teoreetilistest ettekujutustest Browni poolt avastatud liikumise seletamiseks. Aastal 877 avaldas Delsaux arvamust, et Browni liikumist põhjustavad mikroskoobis nähtamatute molekulide korrapäratud põrked Browni osakestega. 888. aastal tegi Gouy [] kindlaks, et väline elektromagnetväli ei avalda mingit mõju liikumisele ja osakeste trajektooridel puuduvad puutujad. Ta pani tähele, et kaks osakest näisid liikuvat sõltumatult isegi siis, kui nad lähenesid teineteisele kaugusele, mis oli väiksem osakese läbimõõdust. Selline seletus eeldas, et mateeria koosneb aatomitest ja molekulidest. Täielikku kvantitatiivset ja kvalitatiivset Browni liikumise teooriat arendas Einstein 905. aastal. Uurimuste peamiseks sisuks oli aatomite ja molekulide statistilise kirjeldamise probleem ning liikumise ja soojuse vaheline seos. Seejuures juhindus Einstein Boltzmanni poolt pakutud ideest: võimalikkusest taandada termodünaamikat statistikaks ja võtta soojuse teooria matemaatiliseks aluseks tõenäosuse mõiste (Boltzmanni seadus). Seesuguse lähenemisviisi edukas rakendamine selgitas Browni liikumise varal ülima näitlikkusega statistilise mehaanika seaduste veenvust. Einsteini eesmärk seisnes selles, et selgitada välja fakte, mis teeksid kindlaks lõplike mõõtmetega aatomite olemasolu, nagu ta on kirjutanud oma teaduslikus 3

eluloos. Ta asus oma uurimuste juurde päris selge kavatsusega kinnitada usaldusväärsete eksperimentaalsete andmetega atomismi teooriat, mille kehtivuses oli ta täielikult veendunud. Oma uurimuste tulemusi soojuse ja atomismi teooria kohta avaldas Einstein mitme artiklina. 30. aprillil 905 esitas Einstein eraldi trükisena Zürichi ülikoolile oma doktoriväitekirja Molekulide mõõtmete uus määramine [3] ning samal aastal promoveeriti ta filosoofia doktoriks. Möödus ainult päeva ja. mail saabus ajakirja Annalen der Physik toimetusse Einsteini järjekordne artikkel, Soojuse molekulaarkineetilisest teooriast järelduvast suspendeeritud osakeste liikumisest paigalseisvates vedelikes [4]. Artikli nimetusega tahtis ta ilmselt rõhutada, et soojuse molekulaarkineetilise teooria kohaselt peab vedelikes hõljuvate mikroskoopiliste tahkete osakeste liikumine, mida põhjustab molekulide soojuslik liikumine, olema mikroskoobis vaadeldav. Edasi märgib Einstein: Võimalik, et see liikumine on identne niinimetatud Browni liikumisega, kuigi mulle kättesaadavad andmed viimase kohta on niivõrd ebatäpsed, et ma ei ole suutnud siin oma kindlat arvamust kujundada. Ja siis järgneb lühike positiivne programm: Kui käsitletud liikumine koos oodatavate seaduspärasustega on tõesti jälgitav, siis [- - -] on võimalik täpselt määrata tõeliselt atomaarseid mõõtmeid. Einstein näitas, et osakeste liikumise kiiruse, selle mõõtmete ja vedeliku viskoossusteguri vahel on olemas kindel kvantitatiivne seos, mida saab eksperimentaalselt kontrollida. Oma artiklit lõpetab Einstein omapärase hüüatusega: Kui ometi kellelgi eksperimentaatoritest ometi õnnestus vastata siin püstitatud küsimustele! Vastus kirglikule üleskutsele ei lasknud ennast kaua oodata: veenva kinnituse said Einsteini tulemused Jean Baptiste Perrini hoolikalt korraldatud katsetega 908. aastal. Veelgi enam, järgmisel aastal määras Perrin oma katsete ja Einsteini valemi põhjal tolle aja jaoks piisavalt suure täpsusega Avogadro arvu, saades väärtuseks 6.8 0 3 [5]. Selle tulemuse eest omistati talle 96. aastal Nobeli preemia. Einsteini molekulaarfüüsika alased uurimustööd omasid kaugeleulatuvaid tagajärgi. Nad kinnitasid atomistlikku hüpoteesi, mis pani mitmeid vastaseid pöörduma atomismi usku [6]. Sõltumatult Einsteinist esitas Smoluchowski Browni liikumise analoogse sele- 4

tust 906. aastal, mis andis olulise panuse Browni liikumise teooria edasiarendusse ja selle eksperimentaalsesse kontrolli [7]. Aastal 908 töötas Langevin välja uue fenomenoloogilise meetodi [8], mis erines täielikult Einsteini - Smoluchowski ideedest. See, tema enda sõnul lõpmata lihtsam, käsitlus põhines niinimetatud stohhastilisel diferentsiaalvõrrandil Browni osakese koordinaadi x(t) jaoks mẍ(t) = mγẋ(t) + ξ(t), (.) kus m on osakese mass ja γ on hõõrdetegur. Langevin pidas silmas, et viskoosses keskkonnas kiirusega ẋ(t) liiguvale osakesele mõjub hõõrdejõud mγẋ(t) ning juhuslik jõud ξ(t), mis on põhjustatud Browni osakeste ja molekulide vahelistest põrgetest ning ei sõltu ei osakese koordinaadist ega kiirusest. Seda juhuslikku jõu nimetatakse Langevini jõuks, kui on täidetud kaks tingimust: ξ(t) = 0, ξ(t)ξ(t ) = m Aδ(t t ). (.) Langevini jõu esimene omadus tähendab, et Browni osakestele mõjub keskmiselt ainult hõõrdejõud. Seejuures keskmistatakse üle osakeste ansambli, eeldades, et alghetkel on osakeste algtingimused ühesugused. Teine omadus peegeldab asjaolu, et jõud ξ(t) muutub kiiresti ajas, st iga põrge on peaaegu hetkeline ja järjestikused põrked on statistiliselt sõltumatud. Võrrandit (.) koos tingimustega (.) nimetatakse Langevini võrrandiks ning suurust A - Langevini allikate intensiivsuseks. Märgime veel, et tänapäeval on Browni liikumise mõiste palju laiem ja üldisem, kui ainult viskoosses vedelikus hõljuvate osakeste käitumine. Browni liikumise mõiste alla kuuluvad kõik sellised juhuslikud protsessid, mida on võimalik kirjeldada Langevini võrrandiga sarnaste võrrandite abil, sõltumata protsesside olemusest. Käesoleva magistritöö eesmärgiks on uurida välises magnet- ja elektriväljas laetud Browni osakeste ülekandeprotsesse anisotroopse hõõrdumise tingimustes. Magistritöö koosneb kahest osast. Esimeses osas antakse ülevaade Browni liikumise teooriast nii väliste jõuväljade puudumisel kui ka magnet- ja elektrivälja korral. Teises osas on leitud elektri- ja magnetväljas liikuvate Browni osakeste kiiruse tõenäosustihedus anisotroopse hõõrdumise korral. Viimasest lähtudes on saadud avaldised keskmise kiiruse (voolu), kiiruse komponentide dispersiooni ja kovariat- 5

siooni jaoks, samuti uuriti keskkonna anisotroopsuse mõju kiiruse kovariatsioonile ja dispersioonile. Statsionaarsel juhul tuletati difusioonitensori avaldis suvalise kujuga müra intensiivsuse tensori korral ja uuriti koherensuse mahasurumise tingimusi. 6

Lühiülevaade teooriast Esimesena õnnestus Chandrasekharil leida Kramersi võrrandi ja Fokkeri- Plancki (kiiruste ja koordinaatide ruumis) võrrandi lahendid vaba Browni liikumise ja ühemõõtmelise harmoonilise ostsillaatori jaoks. Need tulemused on avaldatud 943. aastal tema kuulsas ülevaateartiklis Browni liikumise kohta [9]. Peale selle pakkus Chandrasekhar üldise ja hämmastavalt universaalse skeemi Browni liikumise probleemi lahendamiseks suvalise välise jõuvälja korral. See seisneb sobivas muutujate vahetuse kasutamises Fokkeri-Plancki võrrandis, mis lubab taandada selle võrrandi vaba Browni liikumise juba tuntud ja analüütiliselt lahendatavale juhule. Uute muutujatena tuleb siin defineerida Lagrange i liikumisvõrrandite süsteemi esimesed integraalid. Kuna Chandrasekhari meetodit võib pidada Browni liikumise kui stohhastilise protsessi olulise karakteristiku, üleminekutõenäosustiheduse, leidmise nurgakiviks, siis järgmises peatükis tutvume lähemalt Browni liikumise intrigeeriva probleemi lahendamise meetodiga välise jõu puudumisel. Juba aastal 96. uuris Taylor [0] stohhastilist difusiooni plasmas, mida põhjustavad lokaalsed elektrivälja fluktuatsioonid, magnetväljaga ristiolevas suunas. Lähtudes Langevini võrrandist leiti koordinaadi dispersioon. Laetud osakeste difusiooniprotsesside kirjeldamiseks välises magnetväljas tõi Kursunoǧlu [] sisse maatriksjaotusfunktsiooni (ehk tõenäosusjaotuse operaatori) mõiste. Seejuures tuleb märkida, et selline operaator ei ole tõeline tõenäosustihedus. Kuna jaotuse operaatori eksperimentaalne määramine ei ole üheselt teostatav klassikalise teooria seisukohalt, siis oma järgmises publikatsioonis [] loobus Kursunoǧlu sissetoodud mõiste kasutamisest standardsema skeemi, nimelt Langevini võrrandi formalismi, kasuks. Selle abil saadi üleminekutõenäosustihedus impulsside ja koordinaatide ruumis anisotroopse hõõrdumise korral, mis võimaldas arvutada Browni osakeste keskmist energia ja koordinaatide dispersiooni. Dissipatsioonitensori mittediagonaalsete komponentide mõju uurimiseks vaadeldi erijuhtu, isotroopset diagonaalset hõõrdumist koos kahe võrdse mittediagonaalse komponentidega, st 7

dissipatsioonitensor omab kuju f = β γ 0 γ β 0 0 0 β (.) Selle erijuhu jaoks leiti koordinaatide dispersioonid magnetvälja suunaga ristiolevas tasandis, ( R ) = k B Tβ m(β + w z γ ) t, (.) ja magnetvälja suunas (Einsteini valem), kus w z on Larmori sagedus. Diagonaalse dissipatsioonitensori (γ = 0) korral on tulemuseks Taylori valem [0] magnetväljas liikuvate Browni osakeste jaoks ( R ) = k BT m β β + ω z t. (.3) Kui γ = ±w z, siis koordinaatide dispersiooni avaldis oluliselt lihtsustub, ( R ) = k BT βm t. (.4) See vastab vabale Browni liikumisele diagonaalse hõõrdumise tingimustes. Aastal 966 arvutas Liboff [3] koordinaatide dispersioonid Browni liikumise jaoks ristiolevas elektri- ja magnetväljas kasutades Langevini võrrandit. Ta tuletas võrrandi Browni osakese kohavektori mooduli ruudu jaoks ja leidis mooduli ruudu keskväärtuse kahel erijuhul:. Browni osakeste liikumine piki sirget ühtlaselt laetud traati, mis paikneb paralleelselt konstantse homogeense magnetväljaga ja tekitab radiaalse elektrivälja. Sealjuures elektrivälja tugevus väheneb pöördvõrdeliselt kaugusega traadist.. Browni liikumine viskoosses silindrilise sümmetria ja konstantse laengutihedusega keskkonnas. Laetud keskkond genereerib elektrivälja, mille tugevus kasvab võrdeliselt kaugusega sümmeetriateljest. Erinevalt varemtehtust arendas Williamson teooriat [4], mis kirjeldab vedeliku molekulidest väiksemate ja kergemate osakeste, elektronide, Browni liikumist magnetväljas, kasutades madala tihedusega Lorentzi gaasi [5] mudelit isotroopse 8

hajumise modelleerimiseks. Selle abil, lähtudes Chandrasekhari kontseptsioonist [9], leidis ta tõenäosustiheduse ja koordinaatide dispersiooni, mis on kooskõlas Ornsteini poolt saadud tulemusega [6] ainult juhul, kui kõikidel osakestel on sama põrkeaeg. Väljatöötatud teooriat rakendati Thomsoni hajumisele plasmas, kusjuures on täheldatud kiirgusspektrite kitsenemist põrgete tõttu, kuigi spektrijooned, mis vastavad plasma sagedusele ja Larmori kordsetele sagedustele, on laienenud [4]. Peaaegu nelikümmend aastat hiljem on taas märgata huvi elavnemist välistes jõuväljades liikuvate laetud Browni osakeste vastu. See on viinud viimase kuue aasta jooksul mitmete oluliste teoreetiliste arenguteni järgmiste jõuväljade korral: elektriväljas [7, 8], magnetväljas [9]-[] ja üheaegselt mõlemas jõuväljas []. 9

3 Vaba Browni liikumine Üleminekutõenäosustihedust Browni osakeste jaoks, millele mõjub ainult juhuslik jõud, on võimalik leida kahe erineva meetodi abil [9]. Üks nendest põhineb Langevini võrrandil, mille jaoks on täpselt teada juhusliku jõu statistilised omadused. Teiseks võimaluseks on Fokkeri-Plancki võrrandi vahetu lahendamine, kusjuures üleminekutõenäosustiheduseks alghetkel on delta-funktsioon. Nagu näitas Chandrasekhar [9], on mõlemad meetodid täiesti ekvivalentsed ning annavad ühe ja sama tulemuse. 3. Langevini võrrandi formalism (i) Tõenäosustihedus kiiruse ruumis Meie ülesandeks on stohhastilise diferentsiaalvõrrandi lahendamine, Langevini võrrandi. Välise välja puudumisel ja isotroopse hõõrdumise korral on Langevini võrrand kujuga Langevini jõud rahuldab tingimusi d v dt = β v + ξ(t). (3.) ξ i (t) = 0, ξ i (t)ξ j (t ) = qδ ij δ(t t ), i =,, 3; (3.) kus q = k BT β on Langevini jõu intensiivsus. Stohhastilise võrrandi lahendamise all m peetakse silmas (ülemineku)tõenäosustiheduse leidmist W( v, t v 0 ), kusjuures alghetkel t = 0 osake liigub kiirusega v 0. Piirjuhul peab t 0 funktsiooni W( v, t v 0 ) jaoks olema täidetud tingimus W( v, t v 0 ) t 0 δ( v v 0 ). (3.3) Füüsikalistel kaalutlustel peame me nõudma, et üleminekutõenäosustihedus statsionaarsel piirjuhul oleks Maxwelli jaotus (sõltumata algkiirusest v 0 ) W( v, t v 0 ) t ( m πk B T ) 3/ exp ( m v k B T ). (3.4) 0

Viimane nõue tähendab, et Langevini jõul ξ(t) peavad olema teatud statistilised omadused. Kuna Langevini võrrandi (3.3) formaalseks lahendiks on t v v 0 e βt = e βt 0 e βs ξ(s)ds, (3.5) siis järelikult juhusliku suuruse v v 0 e βt (3.6) statistilised omadused peavad olema täpselt samasugused nagu suurustel t e βt 0 e βs ξ(s)ds. (3.7) Ainult tänu sellele taandub Browni osakeste kiiruste tõenäosustiheduse leidmine suuruse e βt t 0 eβs ξ(s)ds (3.7) tõenäosusjaotuse otsimisele. Kuna piirjuhul t avaldis (3.6) läheneb v-le, siis suurusele t lim t e βt 0 e βs ξ(s)ds (3.8) peab vastama Maxwelli jaotus (3.4). Arvestades, et Langevini jõud muutub ajas palju kiiremini võrreldes osakese kiirusega, siis me võime alati jaotada piisavalt pikka ajavahemikku (mille jooksul mingi füüsikalistest suurustest, näiteks osakese kiirus või koordinaat, muutub märgatavalt) suureks arvuks osavahemikeks kestvusega t, mis peavad olema palju suuremad võrreldes juhusliku jõu ξ(t) ühe fluktuatsiooni perioodiga (suurusjärgult Browni osakese ja vedeliku molekulide kahe järjestikuse põrke vahelise ajaga). Seega iga osavahemiku jooksul saab lugeda Langeveni võrrandis olevad funktsioonid peale Langevini jõu konstantseteks suurusteks. Siis saame avaldise (3.7) esitada järgmiselt t e βt 0 N e βs ξ(s)ds = e βt j=0 e βj t (j+) t j t ξ(s)ds. (3.9) Tähistame B( t) = t 0 ξ(s)ds, (3.0)

mis kujutab endast Wieneri protsessi juurdekasvu. Juhuslikku suurust B( t) võib interpreteerida Browni osakese kiirendusena ajavahemiku t jooksul. Võrrand (3.5) saab nüüd kuju v v 0 e βt = N j=0 e β(j t t) B( t), (3.) kusjuures statsionaarsel juhul võrrandi paremal poolel olev avaldis peab olema kirjeldatud Maxwelli jaotusega (3.4). On teada, et kui juhuslik suurus kujutab endast Wieneri protsessi, siis tema tõenäosusjaotuseks on Gaussi jaotus ω [ [ ] ] B( t) 3 [ ] B( t) = exp, (3.) 4πq t 4q t keskväärtusega 0 ja dispersiooniga q. Avaldise e β(j t t) B( t) jaotuse leidmiseks tähistame kus S = N j=0 S j, (3.3) S j = Ψ(j t) B( t) = Ψ j B( t), Ψj = e β(j t t). (3.4) Selleks, et saada suuruse S j jaotust, on vaja teha muutuja vahetuse: B( t) asendada S j -ga Gaussi jaotuse avaldises (3.), mille tulemusena ω [ ] Sj = ω[ψ j S j ] det[ψ j ]. (3.5) Kuna det[ψ j (s)] = e 3β(s t) ja Ψ j (s) = e β(s t), siis S j -i jaotus on üleskirjutatav kujul ω [ Sj ] = [ 4πq te β(j t t) ] 3 exp [ Sj 4q te β(j t t) ], (3.6) Pidades silmas, et S j -id on statistiliselt sõltumatud juhuslikud suurused Gaussi jaotusega, mille keskväärtus on 0 ja dispersioon - σ j = q te β(j t t),vastab nende summale S = N j=0 S j samuti Gaussi jaotus keskväärtusega 0 ja dispersiooniga σ = N j=0 N σj = q j=0 t e β(j t t). (3.7) Minnes piirjuhule N (st t 0), saame dispersiooni jaoks valemi σ = k BT m ( e βt ). (3.8)

Võttes veel arvesse, et S = v v 0 e βt, jõuame lõpliku avaldiseni Browni osakese kiiruse üleminekutõenäosustiheduse jaoks kujul [ ] 3/ m W( v, t v 0 ) = exp [ m v v0 e βt ]. (3.9) πk B T ( e βt ) πk B T ( e βt ) Seejuures statsionaarsel juhul t tõenäosustihedus (3.9) taandub Makwelli jaotuseks (3.4) ja piirjuhul t 0 delta-funktsiooniks (3.3), st füüsikalistel kaalutlustel varem tehtud eeldused tõenäosustiheduse piirjuhtude kohta on rahuldatud. (ii) Tõenäosustihedus faasiruumis Siiani oleme vaadelnud tõenäosusjaotust ainult Browni osakese kiiruse jaoks. Nüüd tahame leida ühisüleminekutõenäosustihedust W( r, v, t v 0, r 0 ) algtingimusega: ajahetkel t = 0 osake liigub kiirusega v 0 ja asub punktis r 0. Seda võib lahendada järgmise lemma abil: Lemma: Olgu R = t 0 Φ(s) ξ(s)ds, t S = 0 Ψ(s) ξ(s)ds (3.0) juhuslikud suurused. Siis nende suuruste R ja S ühistõenäosustihedus avaldub kujul kus [ ] 3 W( R, S) = π exp[ F S HR S + G ] R, (3.) FG H (FG H ) t F = q Φ (s)ds ; 0 G = q t 0 Ψ (s)ds ; t H = q Ψ(s)Φ(s)ds. (3.) 0 Tõestus on toodud töös [9]. Antud juhul S = v v 0 e βt ; Ψ(s) = e β(s t). (3.3) R ja Φ(s) avaldiste leidmiseks paneme kirja Browni osakese koordinaadi kujul r r 0 = t 0 v(η) dη, (3.4) kus v(s) on määratud valemiga (3.5). Pärast teisendusi on võimalik saada, et R = r r 0 β v 0 ( e βt ), Φ(s) = β ( e β(s t)). (3.5) 3

Avaldised F, G, H jaoks tulevad sellised F = qβ 3( βt 3 + 4e βt e βt), (3.6) G = qβ ( e βt), H = qβ ( e βt). (3.7) Seega on ühisüleminekutõenäosustihedus Browni osakese kiiruste ja koordinaatide jaoks määratud valemitega (3.),(3.6),(3.7). Integreerides avaldist (3.) avaldise üle S-i, võib veenduda, et üleminekutõenäosustihedus konfiguratsiooniruumis avaldub [ mβ W( r, t r 0, v 0 ) = πk B T(βt 3 + 4e βt e βt ) ] exp [ mβ r r 0 β v 0 ( e βt ) k B T(βt 3 + 4e βt e βt ) 3. Fokkeri-Plancki võrrandi formalism (i) Tõenäosustihedus kiiruste ruumis ] 3 (3.8) Langevini võrrandile vastav Fokkeri-Plancki võrrand kiiruste ruumis omab väliste jõudude puudumisel ning isotroopse hõõrdumise juhul kuju [9] W t = β div v (W v) + q v W, (3.9) kusjuures W = W( v, t v 0 ) jaoks kehtivad tingimused (3.3), (3.4). Fokkeri-Plancki võrrandi (3.9) lahendamiseks tuleb tuua sisse uued muutujad, milleks on otstarbekas võtta vastavate Lagrange i liikumisvõrrandite d v dt = β v, (3.30) esimesed integraalid. Järelikult peame defineerida uue vektori = (ξ, η, ζ) = v e βt. (3.3) Muutuja vahetuse tulemusena näeb Fokkeri-Plancki võrrand (3.9) välja selline W t = 3βW + e βt q W. (3.3) Tehes veel ühe muutuja vahetuse Γ = We 3βt, (3.33) 4

saame küllalt lihtsa diferentsiaalvõrrandi Γ t = eβt q Γ. (3.34) See võrrand oma kuju poolest on analoogne vastava võrrandiga Wieneri protsessi jaoks, kuid ühe väikese erinevusega: Wieneri protsessi korral difusioonikoefitsient on konstant, antud juhul aga aja funktsioon. On teada, et üleminekutõenäosus, mis kirjeldab Wieneri protsessi, on üldjuhul mitmemõõtmeline Gaussi jaotus (vaadeldaval juhul kolmemõõtmeline jaotus). Siis on Γ avaldiseks [ ] 3 ] Γ(, t 0) = 4πq 0 t exp [ 0 eβt dt 4q t 0 eβt dt. (3.35) Seega, minnes tagasi esialgsetele muutujatele, saab esialgne üleminekutõenäosustihedus kuju [ ] m 3 W( v, t v 0 ) = exp [ m v v ] 0e βt, (3.36) πk B T( e βt ) k B T( e βt ) mis on kooskõlas Langevini võrrandi abil saadud tulemusega (3.9). (ii) Tõenäosustihedus faasiruumis Vaba Browni osakese kiiruse komponentide ja koordinaatide ühistõenäosustihedus rahuldab järgmist Fokkeri-Plancki võrrandit [9]: W t + v grad r W = β div v (W v) + q v W, (3.37) kus W = W( v, r, t v 0, r 0 ). Kramersi võrrand (3.37) kujutab endast ka Liouville i võrrandi üldistust Browni liikumise juhule: võrrandi vasakul poolel seisab tavaline Stokes i operaator, mis mõjub tõenäosustihedusele ning paremal poolel - liikmed, mis kirjeldavad Browni liikumist. Analoogselt Fokkeri-Plancki võrrandi lahendamisega kiiruste ruumis tuleb leida liikumisvõrrandite d v dt = β v, d r dt = v (3.38) esimesed integraalid ja defineerida need uutena muutujatena = (ξ, η, ζ) = v e βt, P = (X, Y, Z) = r + v β. (3.39) 5

Arvutades vajalikud osatuletised, saame Kramersi võrrandi uutes muutujates kujul { W = 3βW + q e βt W + t β eβt grad W grad P W + } β P W, (3.40) kus W = W( ρ, P, t ρ 0, P 0 ). Tuues sisse uue üleminekutõenäosustiheduse jõuame järgmise võrrandini Γ t = q Γ = We 3βt, (3.4) { e βt Γ + β eβt grad Γ grad P Γ + β P Γ }. (3.4) Võrrandis (3.4) võib eraldada muutujad paarikaupa (ξ, Y ), (η, Y ), (ζ, Z). Esitades seega võrrandi lahendi kujul Γ = Γ (ξ, Y )Γ (η, Y )Γ 3 (ζ, Z), (3.43) sealjuures võib veenduda, et iga funktsioon Γ, Γ, Γ 3 rahuldab võrrandit kus Γ i t = Γ i Φ(t) + Φ(t)Ψ(t) Γ i Γ i + Ψ(t) Γ i, i =,, 3, (3.44) i i P i Pi Φ(t) = q e βt, Ψ(t) = q β. (3.45) Kuna diferentsiaalvõrrandi (3.44) lahend on hästi teada [9], siis võrrandi (3.4) lahendiks on algtingimuste = 0, P = P 0, t = 0 korral [ ] 3 Γ = π exp[ a 0 + h 0 P P 0 + b P ] P 0, (3.46) kus a = qβ t, b = qβ (e βt ), h = qβ (e βt ), (3.47) 0 = e βt v v 0, P P0 = r r 0 + v v 0 β. (3.48) Seega on meid huvitav ühisüleminekutõenäosustihedus kujuga [ ] e 3βt 3 W = π exp[ a 0 + h 0 P P 0 + b P ] P 0. (3.49) Kontrollime, kas W( v, r, t v 0, r 0 ) avaldis (3.49) on kooskõlas tulemusega (3.), (3.6), (3.7), mis on saadud varem lähtudes Langevini võrrandist. Selleks, võttes arvesse suuruste S ja R valemeid (3.3), (3.5), leiame a 0 +h 0 P P 0 +b P P 0 = e βt [F S H R S +G R ], (3.50) 6

kus F = a + hβ e βt + bβ e βt, (3.5) G = be βt, H = (he βt + bβ e βt ). (3.5) ja a, b, h on määratud valemitega (3.47). Pärast viimaste asendamist valemitesse (3.5),(3.5) jõuame avaldisteni F = qβ 3( βt 3 + 4e βt e βt), (3.53) G = qβ ( e βt), H = qβ ( e βt). (3.54) Seega võib Kramersi võrrandi lahendi (3.49) kirja panna alternatiivsel kujul [ ] 3 W( R, S) = π exp[ F S HR S + G ] R. (3.55) FG H (FG H ) Võrreldes omavahel valemid (3.53)-(3.55) ning (3.), (3.6), (3.7), on näha, et kaks Chandrasekhari poolt pakutud meetodit (Langevini ja Fokkeri-Plancki võrrandite formalismid) on täiesti ekvivalentsed ning viivad ühesugustele tulemustele. 7

4 Browni liikumine välises jõuväljas Kui on olemas väline jõuväli F, siis Langevini võrrand (3.) ja Fokkeri-Plancki võrrand (3.37) üldistuvad [9, 3]: d v dt = β v + F m + ξ(t), (4.) W t + v grad r W + F m grad v W = β div v (W v) + q v W. (4.) 4. Browni liikumine elektriväljas Ferrari [7] vaatles raskete ioonide liikumist suure tihedusega vedelikus üldjuhul ajas muutuvas elektriväljas. Tõenäosustiheduse W( r, v, t) asemel kasutati jaotusfunktsiooni osakeste süsteemi jaoks f( r, v, t) = n tot W( r, v, t), (4.3) kus n tot on süsteemi kuuluvate osakeste koguarv. Jaotusfunktsioon peab ilmselt rahuldama algtingimust f( r, v, 0) = n tot δ( r r 0 )δ( v v 0 ). (4.4) Järgnevalt tehti muutuja vahetus Fokkeri-Plancki võrrandis (4.), kus F on elektriväljas liikuvale osakesele mõjuv jõud, r v = r ( r, t) r t 0 v t dt, = v ( v, t) d r dt = d r dt v t = v v t, (4.5) kus v t = n tot v d v f( r, v, t)d r (4.6) ioonide keskmine kiirus. Selle tulemusena kõrvaldatakse ioonide süsteemi kui terviku liikumise efektid. Teiselt poolt on ioonide keskmine kiirus (4.6) võrrandi d v t dt a(t) = β v t (4.7) 8

lahendiks ( a(t) on ioonide kiirendus). Arvestades, et antud muutujate korral kehtib võrdus f( r, v, t) = f ( r (t), v (t), t), (4.8) arvutades jaotusfunktsiooni vajalikud osatuletised ja pidades silmas võrrandit (4.7), võib jõuda järgmise Fokkeri-Plancki võrrandini formaalselt vaba liikumise juhu jaoks f [ t + v grad r f = β div v ( v f ) + k ] BT m v f, (4.9) mille lahend on meil hästi teada (3.). Saab veenduda, et jaotusfunktsioon f ( r, v, t) peab uues faasiruumis rahuldama algtingimust f ( r, v, 0) = n tot δ( r r 0 )δ( v ), (4.0) st alghetkel t = 0 on ioonid punktis r 0. Minnes tagasi faasiruumi ( r, v), arvestades algtingimusega (4.0), saame [ n tot f( r, v, t) = [ ] 3 exp G R HR S + F ] S, (4.) π FG H (FG H ) kus R = r r 0, S = v (4.) ning F,G,H on defineeritud valemitega (3.6), (3.7). Võrrandi abil, mis on sarnane oma kuju poolest Fokkeri-Plancki võrrandiga vedelikus hõljuvate Browni osakeste juhu jaoks, on võimalik kirjeldada. Rayleigh gaasi (rasked osakesed kergemate osakeste hõredas gaasis) käitumist [4, 5] ainult juhul, kui raskete osakeste keskmine kineetiline energia ei ole liiga palju suurem tasakaalulisest väärtusest [4, 6, 7]. Kui rasketeks osakesteks on ioonid ja elektriväli mõjub gaasile, siis Fokkeri-Plancki võrrand kehtib ainult nõrkade elektriväljade korral [6]. Hõõrdekoefitsient peab olema leitud lähtudes põrgete dünaamikast (mitte Stokes i seaduse abil), pidades silmas, et rasked osakesed interakteeruvad gaasi molekulidega kaheosakeseliste põrgete kaudu [4, 5, 6, 8].. raskete osakeste liikumist kergemate gaaside hõredas segus [9], kusjuures hõõrdekoefitsiendi avaldis saadakse gaaside segu komponentide vastavate hõõrdekoefitsientide summeerimise teel. 9

3. raskete ja suurte ioonide liikumist suvalise tihedusega gaasis välistes jõuväljades [8], kusjuures hõõrdekoefitsient tuleb asendada nn efektiivset hõõrdekoefitsiendiga. Gaasi suure tiheduse piirjuhul langeb efektiivne hõõrdekoefitsient kokku Stokes i seadusest tuletatud avaldisega. 4. Browni liikumine magnetväljas (i) Isotroopne hõõrdumine ja difusioon. Langevini võrrandi formalism Artiklis [9] on uuritud Browni liikumist konstantses magnetväljas isotroopse hõõrdumise ja Langevini jõu intensiivsuse korral, mille jaoks oli leitud ühistõenäosustiheduse ja tõenäosustiheduse avaldised kiiruste ja konfiguratsiooniruumis. Czopnik ja Garbaczewski üldistasid Langevini võrrandi meetodi [9], teisenedes magnetvälja mõju dissipatiivse jõu tensoriks (Stokes i jõu üldistus), tuues sisse tensori β ω z 0 Λ = ω z β 0, (4.3) 0 0 β kus ω z = eb mc on Larmori sagedus, e - Browni osakese laeng ja B = (0, 0, B) - magnetvälja induktsioon. Üleminekutõenäosustiheduse leidmine kiiruste ja konfiguratsiooniruumis erineb vaba Browni liikumise juhust ainult selle poolest, et skalaarse hõõrdekoefitsiendi asemel figureerib dissipatsioonitensor (4.3). Tänu probleemi silindrilisele sümmeetriale võib vaadelda siin eraldi Browni liikumise protsessid magnetvälja suunas (vaba Browni liikumine) ja magnetväljaga ristiolevas tasandis. Vaba Browni liikumise jaoks rakendame valemeid (3.9) ja (3.8) vastavalt kiiruste ruumis ja konfiguratsiooniruumis. Kasutades Chandrasekhari skeemi [9], on võimalik veenduda, et üleminekutõenäosustihedus kiiruste ruumis on kujul [ ] m 3 W( v, t v 0 ) = exp [ m v v ] 0e Λt. (4.4) πk B T( e βt ) k B T( e βt ) Saab näidata, et tasandis XY on üleminekutõenäosustihedus konfiguratsiooniruumis esitatav kujul W( r, t r 0, v 0 ) = [ ] m 4πk B T β (t + Θ) exp m r r 0 Ω v 0, (4.5) 4k β +ωz B T β (t + Θ) β +ωz 0

kus Θ = Θ(t) = ( ) e βt β Ω = Λ ( e Λt ) ; Λ = β β + ω z ω z ω z β ; (4.6) [ β + {ωz sin(ω z ) β cos(ω z )}e βt]. (4.7) Ühisüleminekutõenäosustiheduse leidmine faasiruumis tasandis XY taandub suuruste R ja S R = r r 0 Ω v 0, S = v v0 e Λt, (4.8) ühistõenäosusjaotuse W( R, S) arvutamisele, kusjuures mõlemad suurused (4.8) on Gaussi jaotusega keskväärtusega 0. Teisisõnu, W( R, S) on määratud kovariatsioonimaatriksiga omades kuju C = (c ij ) = ( x i x j ), x = (S, S, R, R ), (4.9) W( R, S) = [ ] [ exp (π) detc 4 i,j= c ij x jx j ]. (4.0) Vektorite R ja S komponentide dispersioonid on teada nende tõenäosusjaotuse avaldisest g = S i S i = k BT m ( e βt ), f = R i R i = k BT m β (t + Θ), (4.) β + ωz kus Θ(t) on antud valemiga (4.7). Jääb ainult määrata vektorite komponentide kovariatsioonid R i S j ; i, j =,. Seda võime teha kasutades R, S avaldisi, mis esitatud Langevini jõu kaudu S = t 0 e Λ(t s) ξ(s)ds, t R = 0 Λ ( e Λ(s t) ) ξ(s)ds. (4.) Korrutades vektorite vastavad komponendid omavahel ja keskmistades, saadakse järgmised kovariatsioonide valemid ] q h = R S = R S = [ e βt cos(ω β + ωz z t) + e βt, (4.3) [ q k = R S = R S = e βt sin(ω β + ωz z t) ω z ( )] e βt. (4.4) β

Asendades kovariatsioonide avaldised (4.), (4.3), (4.4) Gaussi jaotusse (4.0), saame W( R, S) = [ 4π (fg h k ) exp f S + g R hs R + k( S R) ] z. (fg h k ) (4.5) (ii) Anisotroopne hõõrdumine ja difusioon. Fokkeri-Plancki võrrandi formalism Töö [9] tulemusi, mis on saadud ühistõenäosustiheduse jaoks Browni liikumise korral magnetväljas, võib üldistada ka anisotroopse hõõrdumise ja mittediagonaalse Langevini jõu intensiivsuse juhule. Seda on tehtud Holod i, Zagorodny i ja Weiland i publikatsioonis [0], võttes lähtekohaks Fokkeri-Plancki võrrandi. Sisse on toodud uued muutujad, vastavate liikumisvõrrandite esimesed integraalid, millised on üleskirjutatavad järgmisel viisil: x y { = e βx+βy t [v x Ωcos( Ωt) + β x β y } sin( Ωt) } [ = e βx+βy t v y { Ωcos( Ωt) β x β y sin( Ωt) P x = x x 0 + β y(v x v x0 ) + ω z (v y v y0 ) β x β y + ωz P y = y y 0 + β x(v y v y0 ) ω z (v x v x0 ) β x β y + ωz, ] v y ω z sin( Ωt) v x0, ] + v x ω z sin( Ωt) v y0,, (4.6) kus Ω = ω z (β x β y ) /4 (4.7) ning β x, β y on hõõrdetegurid vastavalt suunas x, y. Ühistõenäosustiheduse üsna komplitseeritud kuju on toodud artiklis [0]. Lähtudes ühistõenäosustihedusest on töös [0] arvutatud kiiruste ja koordinaatide dispersioonid, mis on kooskõlas arvutisimulatsioonide abil saadud tulemustega, kusjuures nad erinevad märgatavalt diagonaalse difusioonitensori juhust. Saadud tulemusi kasutatakse suuremastaabiliste fluktuatsioonide teooria üldistamiseks plasmas.

(iii) Isotroopne hõõrdumine ja difusioon. Alternatiivne käsitlus Fokkeri- Plancki võrrandi formalismis 006. aastal töötasid Jiménez-Aquino ja Romero-Bastida [] välja tõenäosustiheduse arvutamise alternatiivse meetodi, mis erineb varem väljapakututest [7, 0]. Antud meetod seisneb selles, et pöördemaatriksi cos(ω z t) sin(ω z t) 0 0 ω z 0 R e Wt = sin(ω z t) cos(ω z t) 0, W = ω z 0 0 (4.8) 0 0 0 0 0 abil teisendatakse Langeveni võrrandit d v dt = Λ v + ξ(t) (4.9) laetud Browni osakese jaoks magnetväljas (Λ on määratud valemiga (4.3)) ühest kiiruste ruumist ( v) teisse kiiruste ruumi ( v ), kasutades muutuja vahetusest v = e Wt v. (4.30) Selliste muutujate sissetoomise tulemusena saadakse uute kiiruste ruumis Langevini võrrand, mis on oma kujult üsnagi analoogne vastava võrrandiga vaba Browni liikumise juhu jaoks, d v dt = β v + R (t) ξ(t). (4.3) Märgime, et skeemides [7, 0] on muutuja vahetus tehtud alles Fokkeri-Plancki võrrandis erinevalt meetodist []. Langevini võrrand (4.3) erineb vaba Browni liikumise võrrandist selle poolest, et siin on Langevini jõuvektor korrutatud maatriksiga R (t), st on tegemist juhusliku jõu pöördega. Kuna pöördemaatriks on ortogonaalne, siis on selle tõttu difusioonikoefitsiendi ja triivikoefitsiendi avaldised samasugused nagu väliste jõudude puudumise korral, D i = β v i, D ij = q( R (t) ) ik( R (t) ) jk = qδ ij. (4.3) See tähendab, et müra statistilised omadused on invariantsed pöörete suhtes. Sellele võib anda lihtsa füüsikalise interpretatsiooni: pöördemaatriks R (t) elementidega cos(ω z t) ja sin(ω z t) neelatakse müra poolt, mis viib selleni, et taolised perioodilised 3

funktsioonid ei esine enam difusioonikoefitsiendi avaldises Fokkeri-Plancki võrrandis. Minnes tagasi esialgsete kiiruste ruumi saadakse üleminekutõenäosustiheduse avaldis, mis langeb kokku Czopnik i ja Garbaczewski tulemusega [9] isotroopse juhu jaoks. Analoogsel viisil saab taandada Langevini võrrandi vaba Browni liikumise juhule ka faasiruumis, teostades muutuja vahetuse (4.30). Seega on ühistõenäosustihedus kujul W( R, S) = W( R, S)W z (z, v z, t v 0z, z 0 ), (4.33) st see on esitatud tõenäosustiheduste korrutisena, mis kirjeldavad difusiooniprotsessi vastavalt tasandis XY ja piki magnetvälja suunda. Valemis (4.33) W( R, S) = [ J F S + δg R H R S + ω z R 4π (FG H ) exp (FG H ) β H( S R) z ], (4.34) J R = ω z + β β ; S = (S, S ), R = (R, R ) (4.35) ning F, G, H on antud valemitega (3.6),(3.7) ja R, S - valemiga (4.8). Kui võrrelda tõenäosustiheduse avaldist (4.34) valemiga (4.5), mis on saadud Czopnik i ja Garbaczewski [9] poolt, siis on näha, et need avaldised ei lange omavahel päris kokku, ehkki omavad küllaltki sarnast kuju. 4.3 Browni liikumine elektri- ja magnetväljas isotroopsel juhul Kombineerides kahte meetodit [7, 9], lahendasid Sim~oes ja Lagos [] Browni liikumise probleemi isotroopsel juhul elektri- ja magnetväljas ( E ja B) ning mehaanilise jõu F mec olemasolu korral, st väline jõuväli on kujuga F( v, t) = F mec + ee + e mc v B,. (4.36) Matemaatiliste arvutuste lihtsustamiseks kasutati bra- ja ket-vektoreid. Iga vektori võib kirjutada üles järgmiselt: V = V x x + V y y + V z z. (4.37) 4

Samuti defineeritakse mõned kasulikud diaadid e = z z ; e = x x + y y ; e 3 = x y y x (4.38) ning ühikdiaadi e = e + e, (4.39) tänu millele saab Fokkeri-Plancki võrrand üsna kompaktse kuju W t + v grad r W + agrad v W = div v (Λ vw) + v W, (4.40) kus on mindud üle dimensioonitutele suurustele [], W = W( r, v, t v 0, r 0 ) ning Λ v = v + ω z v = (e ω z e 3 ) v (4.4) on dissipatsioonijõu tensor [9, 30]. Defineerime dimensioonitu põrkeaja tensori [30] M = Λ = e + α(e + w z e 3 ), (4.4) kus α = +ωz. Seejärel läheme Ferrari teisenduse [7] abil üle uutele muutujatele R = r δ r( a, M, t), S = v δ v( a, M, t), (4.43) kus δ r = M at M ( Ξ) a + M( Ξ) v 0 + r 0, δ v = M( Ξ) a + Ξ v 0, (4.44) Ξ = exp( t)(e + e cos(ω z t) + e 3 sin(ω z t)). (4.45) Selle tulemusena saadakse Fokkeri-Plancki võrrand, mis vastab formaalselt väliste jõuväljade puudumisele. Minnes nüüd tagasi esialgsetele muutujatele, jõutakse ühistõenäosustiheduse lõpliku avaldiseni []. Elektri- ja magnetväljas liikuvate Browni osakeste teooria loomulikuks edasiarenduseks on selle üldistus anisotroopse hõõrdumise juhule. 5

5 Browni liikumine elektri- ja magnetväljas anisotroopse hõõrdumise korral 5. Fokkeri-Plancki võrrand kiiruste ruumis Vaatleme massiga m ja laenguga e laetud Browni osakeste liikumist ruumis homogeenses konstantses elektriväljas E ja magnetväljas B. Erinevalt tööst [], milles uuriti osakeste liikumist elektri- ja magnetväljas isotroopse hõõrdumise korral, pakub meile huvi üldisem juht, anisotroopne diagonaalne hõõrdumine, st dissipatsioonitensor näeb välja selline β x 0 0 ρ ij = 0 β y 0, (5.) 0 0 β z kus β x,y,z on hõõrdetegur vastavalt suunas x, y, z. Sellel juhul on Langevini võrrand Browni osakese kiiruse jaoks üleskirjutatav kujul dv i dt = ρ ij v j + e mc j= ( v B ) + ε i + a i ξ i (t), i =,, 3 = x, y, z. (5.) i kus Langevini jõul on järgmised statistilised omadused: Suurused ξ(t) = 0, ξ i (t)ξ j (t ) = δ ij δ(t t ). (5.3) a i = k BT m β i, ε i = ee i m (5.4) on vastavalt Langevini jõu intensiivsus ja laetud osakesele elektriväljas mõjuv jõud. Lihtsustamiseks eeldame, et magnetväli on suunatud piki z-telge: B = (0, 0, Bz ). Sealjuures omab elektriväli endiselt suvalist suunda: E = (Ex, E y, E z ). Siis võib Langevini võrrandi (5.) esitada kompaktsemal kujul kus dv i dt = λ ij v j + ε i + a i ξ i (t), (5.5) j= β x ω z 0 λ ij = ω z β y 0 0 0 β z 6 (5.6)

ning ω z = eb z on Larmori sagedus. mc Selleks, et minna Langevini võrrandis (5.5) üle dimensioonitutele suurustele, võtame arvesse, et CGS süsteemis on elektrilaengu e ja elektriväljatugevuse E dimensioonideks [e] = l 3/ m / t, [E] = l / m / t. (5.7) Paneme kirja laetud osakesele elektriväljas mõjuvat jõu kujul ε i = e E cosϑi, (5.8) m kus cosϑ i on elektrivälja tugevuse vektori suunakoosinus vastavas suunas. Toome nüüd sisse järgmised dimensioonitud suurused: ṽ i = v i γ, λij = λ ij γ, t = tγ, ǫ i = ǫ i = cosϑ γ γ i, ã i = a i γ γ, (5.9) kus mille dimensioonideks on γ = e3/4 E /4 m / γ = e/4 E 3/4 m /, (5.0) [γ ] = l t, [γ ] = t. (5.) Langevini võrrandid dimensioonitute suuruste jaoks tulevad sellised dṽ i ( ) d t = ã i t λ ij ṽ j + ǫ i + γ ξ i, (5.) γ j= kus Langevini jõud rahuldab tingimuse (5.3). Edaspidi jätame tähistustes tilded ära. Browni liikumise probleemi lahendamiseks elektri- ja magnetväljas rakendame sagedamini kasutatavat meetodit [7, 0,, ], Fokkeri-Plancki võrrandi formalismi [9]. Kiiruste tõenäosustiheduse leidmine, lähtudes Fokkeri-Plancki võrrandist, on võimalik kahel viisil: (i) tehes Fokkeri-Plancki võrrandis muutujate vahetuse, milleks tuleb kasutada liikumisvõrrandite esimesi integraale [9] nagu artiklites [7, 0, ] (ii) tuues sisse uued muutujad juba Langevini võrrandites [], vältimaks üsna komplitseeritud kujuga liikumisintegraalide kasutamist. 7

Pidades silma teise lahendamisviisi eeliseid, kasutame diferentsiaalvõrrandite süsteemi (5.5) diagonaliseerimisvõtet. See meetod erineb artiklis [] toodud ajast sõltuvast ortogonaalteisendusest. Lineaarsest algebrast [3, 3] on teada, et konstantsete kordajatega lineaarsete mittehomogeensete. järku diferentsiaalvõrrandite süsteemi on võimalik viia diagonaalkujule, dx i n dt = M ij x j + l i ; i =...n (5.3) j= dy i dt = m iy i + L i ; i =...n, (5.4) siis ja ainult siis, kui n n maatriks M ij omab n lineaarselt sõltumatut omavektorit, mis vastavad nullist erinevatele omaväärtustele m,...m n. Selleks tuleb teha muutuja vahetus y i = ( ) µ x ij j, (5.5) j= kus µ ij on maatriksi M ij omavektoritest moodustatud maatriks. Omaväärtusele m i vastav omavektor on veerumaatriks ning L i = n ( ) µ l ij j. (5.6) j= Vektorite lineaarse sõltumatuse tingimuseks on teatavasti see, et nendest moodustatud maatriks on regulaarne. Maatriksi diagonaliseerimise teoreemil on ka alternatiivne sõnastus: maatriksit on alati võimalik viia diagonaalkujule siis, kui seda saab esitada: M ij = n k, r= µ ik m kr ( µ ) rj, (5.7) kus m kr = m k δ kr maatriks, mille peadiagonaali elementideks on maatriksi M ij omaväärtused. Viimasest valemist on näha, et kui detµ ik = 0, siis ei eksisteeri diagonaalset maatriksit. Sel juhul öeldakse, et maatriks M ij on defektne. Juhime tähelepanu sellele, et eksisteerib oluline erijuht, mille korral kõik maatriksi omavektorid on kindlasti lineaarselt sõltumatud: maatriksi omaväärtused on paarikaupa erinevad (st on tegemist omaväärtuste mittekõdunud spektriga). Kordsete omaväärtuste korral on olukord keerulisem: siis ei ole olemas üldist kriteeriumit 8

maatriksi diagonaalkujule viimise võimalikkuse kohta. Sel juhul sõltub kõik maatriksi konkreetsest kujust. Rakendades ülaltoodud skeemi, läheme liikumisvõrrandite süsteemilt (5.) üle kolmele sõltumatule Langevini võrrandile kus ning k i = j= Edaspidi tähistame ümber: du i (t) dt ( ) t = Λ i u i (t) + k i + ζ i γ u i =, (5.8) ( ) µ v ij j, (5.9) j= ( ) ( ) µ t ǫ ij j, ζ i = γ j= ( ) ( ) µ aj t ij γ ξ j. (5.0) γ α ij = ( µ ) ij. (5.) Teisendatud Langevini jõu komponentide keskväärtus avaldub kus ζ i ( t γ A ij = ) ( ) t ζ j = A ijδ(t γ t ), (5.) α ik α jk a kk, a kk a k. (5.3) k= Võib veenduda, et maatriksi λ ij (5.6) omaväärtused on Λ, = ( βx + β y ± i Ω ), Λ 3 = β z, (5.4) kus Ω = 4ω z (β x β y ) (5.5) ning omavektorite maatriks näeb välja selline a b c b 0 µ ij = a c 0, b = Λ β x, b = Λ β x, (5.6) ω z ω z 0 0 d kus a, c ja d on siin suvalised konstandid. Kuna anisotroopse dissipatsioonitensori ρ ij (5.) korral ei ole λ ij (5.6) normaalmaatriks, siis viimane on diagonaliseeritav mitteunitaarse omavektorite maatriksi abil. See tähendab, omavektorite 9

maatriksi elementidele ei ole peale pandud mingeid kitsendavaid tingimusi, seetõttu võime konstante a, c, d valida järgmiselt a = b b, c = b b, d =, (5.7) Konstantide niisuguse valikuga tagame kiiruste teisenduseeskirjas (5.9) figureeriva maatriksi α ij jaoks võimalikult lihtsa kuju: b 0 α ij = b 0. (5.8) 0 0 Ainult ühel erijuhul, isotroopse hõõrdumise korral, on tegemist unitaarse kiiruste teisendusega, sest uute kiiruste ruum on kompleksne eukleidiline vektorruum. Sõltuvalt sellest, kas Λ, -s ruutjuure all olev avaldis 4ω z (β x β y ) on positiivne või negatiivne, saab eristada kahte režiimi: (i) Reaalne juht: 4ω z (β x β y ) < 0 Maatriksi omaväärtused ja omavektorid on reaalsed suurused (ii) Kompleksne juht: 4ω z (β x β y ) > 0 Maatriksi omaväärtused ja omavektorid on komplekssed suurused, sealjuures Λ = Λ ja b = b. Seega eksisteerib selline magnetvälja kriitiline väärtus ω c z = β x β y mille korral toimub ümberlülitumine kahe režiimi vahel., (5.9) Kui (β x β y ) 4ω z = 0, siis omaväärtused Λ ja Λ (5.4) on võrdsed: Λ = Λ = (β x + β y ) (5.30) ning neile vastab ainult üks omavektor. Järelikult magnetvälja kriitilisel väärtusel ω c z ei ole Langevini võrrandite süsteem diagonaliseeritav. Vaatamata sellele saab veenduda, et liikumisvõrrandite süsteem on üheselt lahendatav Laplace teisenduse abil. 30

Seetõttu on nii üleminekutõenäosustihedus kui ka vool ning kiiruste kovariatsioonid lõplikud suurused magnetvälja kriitilisel väärtusel. Langevini võrranditele (5.8) vastav Fokkeri-Plancki võrrand kiiruste ruumis on esitatav kujul W( u, t u 0 ) t [( ) = Λi u i + k i W( u, t u0 ) ] + u i i= i,j= A ij W( u, t u 0 ) u i u j. (5.3) Sealjuures peab tõenäosustihedus rahuldama algtingimust kus oleme valinud alghetkeks t = 0. W( u, 0 u 0 ) = δ( u u 0 ), (5.3) 5. Kiiruste tõenäosustihedus Fokkeri-Plancki võrrandi (5.3) lahendamiseks üldistame Chandrasekhari skeemi [9] anisotroopse hõõrdumise juhule, minnes üle uutele muutujatele, liikumisintegraalidele I i (t) = Muutuja vahetuse tulemusena jõuame võrrandini ( u i k ) i e Λit. (5.33) Λ i W( I, t) t = W( I, t) Λ i + i= i,j= A ij W( I, t) I i I j. (5.34) Defineerime uue tõenäosustiheduse W( I, t) = e i Λ it W( I, t), (5.35) mis peab rahuldama algtingimust W( I, 0) = δ( I I 0 ) (5.36) ning loomulikke ääretingimusi W( I, t) = 0, I=± W( I, t) I i I=± = 0, (5.37) kus I 0i I i (t = 0) = u 0i k i Λ i. (5.38) 3

Fokkeri-Plancki võrrand uue tõenäosustiheduse jaoks saab nüüd kuju W( I, t) t = i,j= A ij e (Λ i+λ j )t W( I, t) I i I j, (5.39) Lahendame võrrandi (5.39) tõenäosustiheduse jaoks, kasutades kolme juhusliku suuruse I i karakteristliku funktsiooni, mis on teatavasti defineeritud kui ( C(n, n, n 3, t) = exp i m= ) n m I m W(I, I, I 3, t) di di di 3. (5.40) Võttes siin t = 0 ning kasutades tõenäosustiheduse algtingimust (5.36), saame algtingimuse karakteristlikule funktsioonile ( ) C(n, n, n 3, 0) = exp n m I 0m. (5.4) Leiame karakteristliku funktsiooni (5.40) tuletise aja järgi ning kasutame seejärel võrrandit (5.39), m= C( n, t) t = A kj e (Λ k+λ j )t k,j= e i m nmim W( I, t) I k I j d I. (5.4) Võrrandis (5.4) seisva integraali leidmiseks kasutame vektoranalüüsi valemit [33] f( r) div D( r) d 3 r = D gradf( r) d 3 r, (5.43) mis kehtib ainult juhul, kui kas f( r) või D( r) või mõlemad lähenevad nullile lõpmatuses r = ±, st on täidetud üks kolmest tingimusest: f( r) = 0, D( r) r=± = 0, f( r) D( r) = 0. (5.44) r=± r=± Valemit (5.43) on võimalik esitada ka alternatiivsel kujul f( r) k= D k ( r) r k d 3 r = k= D k ( r) f( r) r k d 3 r. (5.45) Antud juhul D k ( I, t) = j= A kj e (Λ k+λ j )t W( I, t), f( I) I = e i m nmim. (5.46) j 3

Märgime, et tõenäosustiheduse ääreloomulike tingimuste (5.37) tõttu on rahuldatud teine tingimus (5.44): D( r) = 0. Siis valemi (5.45) kohaselt r=± C( n, t) t = k= D k ( I, t) f( I) I k d I. (5.47) Asendades D k ( I, t) ja f( I) avaldised (5.46) valemisse (5.47) ning tähistades jõutakse võrrandini P j ( I, t) = A kj e (Λ k+λ j )t n k W( I, t), (5.48) k= C( n, t) t = i j= P j ( I, t) I j f( I) d I. (5.49) Kasutades veelkord valemit (5.45) ja võttes arvesse esimest loomulikest ääretingimustest (5.37), saame võrrandi, mida peab rahuldama karakteristlik funktsioon (5.40): C( n, t) t = A ij e (Λ i+λ j )t n i n j C( n, t). (5.50) i,j= Algtingimuse (5.4) korral on diferentsiaalvõrrandi (5.50) lahendiks kus [ C( n, t) = e i m nmi 0m exp s ij = i,j= s ij n i n j ], (5.5) A [ ] ij e (Λ i+λ j )t. (5.5) Λ i + Λ j On teada, et tõenäosustihedus kujutab endast karakteristliku funktsiooni Fourier komponenti Valemite (5.5), (5.53) alusel W( I, t) = (π) 3 W( I, t) = (π) 3 e i m nm(im I 0m) exp C( n, t)e i m nmim d n. (5.53) ( s i,j n i n j )d n. (5.54) Integraali leidmiseks läheme valemis (5.54) üle uutele integreerimismuutujatele i,j= r j = k= [ (s / ) jk n k + i ( s /) ] (I jk k I 0k ). (5.55) 33

Pärast matemaatilise teisendusi on võimalik saada tulemuseks Gaussi jaotuse kujul W( I, t) = [ (π) 3 det[s ij ] exp ( ) s (I ij i I i0 )(I j I j0 )]. (5.56) i, j= Minnes tagasi esialgsetele tõenäosustihedusele ja kiirustele, on võimalik jõuda järgmise avaldiseni kiiruste tõenäosustiheduse jaoks [ W( v, t v 0 ) = (π) 3 det[h ij ] exp ( ) ] h (v ij i v i )(v j v j ), (5.57) i,j= kus K K K K K K K K K h ij = K K K K K K K 0 0 on kiiruse kovariatsioonimaatriks, st 0 0 K 33 (5.58) v x = h, v y = h, v z = h 33, cov(v x, v y ) = h, (5.59) ning v x = K K K K K K K, v y = K K K K K K K, v z = K 3 K 33, (5.60) on keskmised kiirused. Valemites (5.58), (5.60) on kasutatud järgmisi tähistusi: [ (α ) A + (α ) A α i α j K ij = + (α ) A + (α ) A α i α j Λ ϕ Λ ϕ α ] α A + α α A ϕ (α i α j + α j α i ) g, i, j =, ; Λ + Λ ϕ ϕ K 33 = Λ 3 A 33 ϕ 33, [ ] K i = { [ (α ) A + (α ) A α f + α f Λ α ] α A + α α A ϕ α i Λ + Λ ϕ ϕ [ ] [ (α ) A + (α ) A α i + α f + α f Λ ϕ α α A + α α A Λ + Λ ϕ ϕ ϕ α i K 3 = 4Λ 3 A 33 f 33 ϕ 33, i =, ; 34 α i ϕ ]} g, i =, ;

g = (α A + α A ) (α A + α A ) (α α A + α α A ) ϕ, 4Λ Λ (Λ + Λ ) ϕ ϕ ϕ ij = e (Λ i+λ j )t, f ij = ǫ ( j + v 0j ǫ ) j Λ i Λ i 5.3 Relaksatsioonid kiiruste ruumis e Λ it. (5.6) 5.3. Voolu, kiiruse kovariatsioonide ja dispersioonide ajaline käitumine Nagu oli märgitud paragrahvis 5. seoses Fokkeri-Plancki võrrandi leidmisega on olemas kaks juhtu sõltuvalt avaldise 4ω z (β x β y ) märgist (vt maatriksi λ ij (5.6) omaväärtuste avaldisi (5.4)). Juhime tähelepanu sellele, et reaalne juht ei ole kompleksse erijuhuks, kuna üleminekul kompleksselt juhult reaalsele mitte ainult omaväärtuste Λ, imaginaarosa saab nulliks, vaid muutub ka reaalosa. Kuna omaväärtused (5.4) figureerivad suuruste f ij, ϕ ij (5.6) eksponentides, mis määravad keskmise kiiruse ja kovariatsioone, siis komplekssel juhul voolu ja kiiruste kovariatsioonide avaldised sisalduvad endas koosinusfunktsiooni (või siinusfunktsiooni) erinevalt reaalsest juhust. See tähendab, eksisteerib ajalise sõltuvuse kaks režiimi: (i) ω z > ω c z Ostsileeruv režiim, st osakesed pöörlevad ümber magnetvälja jõujoone. (ii) ω z < ω c z Mitteostsileeruv režiim Ostsileeruva režiimi oluliseks erijuhuks on laetud Browni osakeste liikumine isotroopses keskkonnas. Joonisel. on kujutatud voolu komponentide sõltuvused ajast erinevatel magnetväljade tugevuste korral mõlema režiimi jaoks. On näha, et kriitilisest väärtusest tugevama magnetvälja korral ostsilleeruvad voolu komponendid sumbuvalt, saavutades statsionaarse väärtuse. Nõrgemate magnetväljade korral leaib aset voolu komponentide monotoonset kahanemist statsionaarse väärtuseni. Siin ja edaspidi numbrilistes arvutustes on võetud k BT m =. 35

Samasugune ajaline käitumine sõltuvalt režiimist on iseloomulik ka kiiruste dispersiooni komponentidele, mis kasvavad ajast nullist teatud väärtuseni (vt joonis.). Ostsileeruva režiimi korral puuduvad võnkumised kiiruse dispersiooni moodulis erinevalt keskmise kiiruse moodulist (vt joonis.). Anisotroopses keskkonnas tugevate magnetväljade korral on näha kiiruse komponentide kovariatsiooni ostsilleerumist ajast, kriitilist nõrgemate magnetväljade korral käitub kovariatsioon küll mittemonotoonselt, kuid ostsilaatsioonid puuduvad (vt joonis 3., 4.). 0.8 0.6 v x 0.4 0. 0 0. 4 3 0. 0.4 0.6 0.8 t 0.8 0.6 0.4 v y 0. 0 0. 0.4 4 3 0. 0.4 0.6 0.8 t Joonis : Kiiruse keskväärtuse komponentide sõltuvus ajast erinevate Larmori sageduste korral. Parameetrid: β x = 0, β y =, ǫ x = ǫ y = /, v 0x = v 0y =. () w z = 0.00, () w z = w c z = 4, (3) w z =, (4) w z = 6. 0.5 0.4 vx 0.3 0. 0. 4 3 0. 0. 0.3 0.4 0.5 t 0.5.3. 3 0.4. 4 v 4 y v 0.3 0.9 0.8 3 0. 0.7 0.6 0. 0 0. 0. 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 t 0. 0. 0.3 0.4 0.5 t Joonis : Kiiruse dispersiooni komponentide ja mooduli sõltuvus ajast erinevate Larmori sageduste korral. Parameetrid: β x = 0, β y =. () w z =, () w z = w c z = 4, (3) w z = 6, (4) w z = 3. 36

0 0.0 0.0 cov(v x, v y ) 0.03 0.04 0.05 0.06 3 4 0. 0. 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 t Joonis 3: Kiiruse komponentide v x, v y kovariatsiooni sõltuvus ajast erinevate Larmori sageduste ω z ωz c korral. Parametrid: β x = 0, β y =. () w z =, () w z =, (3) w z = 3, (4) w z = wz c = 4. 0 0.0 0.04 cov(v x, v y ) 0.06 0.08 3 0. 0. 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 t Joonis 4: Kiiruse komponentide v x, v y kovariatsiooni sõltuvus ajast erinevate Larmori sageduste ω z ω c z korral. Parameetrid: β x = 0, β y =. () w z = w c z = 4, () w z = 6, (3) w z = 3. 5.3. Keskkonna anisotroopsuse mõju kiiruse komponentide kovariatsioonile ja dispersioonile Kiiruste kovariatsiooni ja dispersiooni (5.58), (5.59) käitumise eripärasuste uurimiseks anisotroopses keskkonnas esitame nende avaldisi kujul v x, y = k BT m e (βx+βy)t Ω cov(v x, v y ) = 4 k BT m [ ] (β x β y ) cos(ωt) ± Ω(β x β y )sin(ωt) 4ωz + k BT m, (5.6) ω z (β x β y ) [ sin ( Ω t)] Ω e (βx+βy)t. (5.63) 37

Arvestades, et isotroopsel juhul (β x = β y β) on Ω = 4ωz, saame kiiruste kovariatsiooni ja dispersiooni jaoks v x, y = k BT m ( e βt ), cov(v x, v y ) = 0. (5.64) Võrreldes omavahel valemid anisotroopse ja isotroopse keskkonna korral (5.6)- (5.64), on näha järgmisi erinevusi:. Kovariatsioon ei sõltu isotroopsel juhul ajast ega magnetväljast ning on võrdne nulliga erinevalt anisotroopsest juhust. Selleks, et kontrollida, kas kiiruste komponendid v x ja v y on sõltumatud juhuslikud suurused, on vaja veenduda, et kiiruse tõenäosustihedus faktoriseerub (st on esitatav tegurite korrutisena, millest igaüks sõltub ainult ühest kiiruse komponendist). Kuna isotroopsel juhul Λ, = β ± iω z, b, = i, K = 0, v i = K i K ii, (5.65) siis tõepoolest [ W( v, t v 0 ) = (π) 3 det[h ij ] exp ] (v i v i )K ii. (5.66) j= St kiiruse komponendid ei ole omavahel statistiliselt korreleeritud.. Dispersioon ei sõltu isotroopsel juhul magnetväljast ning muutub selle ajaline käitumine: puuduvad ostsillatsioonid. Märgime, et kiiruse kovariatsiooni ja dispersiooni valemid (5.64) langevad kokku avaldistega Browni liikumise jaoks suvalises konstantses väljas ja isotroopses keskkonnas. Selleks, et selgitada välja põhjusi, mis tingivad kiiruse kovariatsiooni ja dispersiooni erinevat käitumist sõltuvalt keskkonna isotroopsusest/anisotroopsusest, kasutame Langevini võrrandeid. Nii isotroopses kui ka anisotroopses keskkonnas uute kiiruste ruumis on meil tegemist kolme sõltumatu Langevini võrrandiga (5.8) kiiruse komponentide jaoks, mis erinevad Browni liikumise juhust magnetvälja puudumisel selle poolest, et nii Langevini jõu- kui ka elektrivälja vektor on korrutatud kiiruste 38