55 L'HOSPITALOVO PRAVILO Neodreñeni oblik Ako su unkcije i g deinirane u okolini očke a, i vrijedi: lim ( ), lim g( ) a a i g imaju neprekidne prve derivacije u nekoj okolini očke a, osim možda u a Za iz e okoline a je g ( ) 4Posoji ( ) lim a g ( ) Tada je ( ) ( ) lim lim a g( ) a g ( ) Tvrdna vrijedi i za + a ( a ), odnosno + + ( ) Primjer: ln( + ) lim ln( + ) lim lim ( ln( + ) ) lim lim + lim ( ) + Neodreñeni oblik Ako su unkcije i g deinirane u okolini očke a, i vrijedi: lim ( ), lim g( ) a a i g imaju neprekidne prve derivacije u nekoj okolini očke a, osim možda u a Za iz e okoline a je g ( ) 4Posoji ( ) lim a g ( )
Tada je ( ) ( ) lim lim a g( ) a g ( ) Tvrdna vrijedi i za Obradii na vježbama + a ( a ), odnosno + + ( ) Neodreñeni oblici,,,, se rješavaju ako da ih svedemo na jedan od dva prehodno analizirana neodreñena oblika (ili ili ) Primjer: e e lim e lim, lime ( ) lim lim lim e 5 6 MONOTONOST - Ponovii pojam monoonosi unkcije - Geomerijska inerpreacija rasuće unkcije je sljedeća: ako «puujemo» po osi apscisa s lijeva u desno onda se vrijednosi ordinaa očaka na grau ne smanjuju - Geomerijska inerpreacija srogo rasuće unkcije je sljedeća: ako «puujemo» po osi apscisa s lijeva u desno vrijednos ordinaa očaka na grau se povećavaju - Kažemo da gra unkcije «rase» ili da se «penje» - Analogno za padajuću i srogo padajuću unkciju - Funkcija je padajuća: ako «puujemo» po osi apscisa s lijeva u desno onda se vrijednosi ordinaa očaka na grau ne povećavaju - Funkcija je srogo padajjuća: ako «puujemo» po osi apscisa s lijeva u desno vrijednos ordinaa očaka na grau se smanjuju - Kažemo da gra unkcije «pada» Monoonos i angena Za gra derivabilne srogo rasuće unkcije očio je da je angena u svim očkama graa akoñer srogo rasuća Iz analiičke geomerije je znamo da je koeicijen smjera pravca koji «rase» uvijek veći od nule j k > Promorimo li gra srogo padajuće unkcije uočavamo da je angena u svim očkama graa srogo padajuća j k < Na kraju primjeimo da u području gdje gra unkcije ne rase srogo, odnosno ne pada srogo, unkcija sagnira i njen je gra paralelan s osi Važno je uočii da su za e očke pripadne angene paralelne s -osi, j k Pojam rasa unkcije u očki Neka je () derivabilna unkcija Za unkciju kažemo: da srogo rase u očki c D ako je ( c) k ( c) > da srogo pada o očki c D ako je ( c) k ( c) <
da sagnira u očki c D ako je ( c) k ( c) Točku u kojoj unkcija sagnira zovemo sacionarna očka U sacionarnoj očki angena je paralelna s osi i njena jednadžba je (c) c c c Monoonos i derivacija Neka je unkcija () neprekidna na inervalu ( a, b) i derivabilna u svim očkama og inervala Tada vrijedi: Ako je unkcija () rasuća ( rase) na inervalu ( a, b) D, ada je ( ) za svaki ( a, b) Vrijedi i obra: Neka je unkcija derivabilna na inervalu ( a, b) onda je unkcija rasuća (rase) na inervalu ( a, b) D Pazi: ( a, b) D Ako je ( ), za svaki Ako je ( ) > ada unkcija srogo rase Obra ne vrijedi Na primjer: unkcija srogo rasuća iako je ( ) Područje rasa unkcije () je unija inervala u kojima je unkcija srogo rasuća ( ) je k gα ( ) > a b a b a b je rasuća ( ) ( ) > srogo rasuća srogo rasuća ne znači ( ) Ako je derivabilna unkcija () padajuća (pada) na inervalu ( a, b) D, ada je ( ) za svaki ( a, b) Neka je unkcija derivabilna na inervalu ( a, b) D Ako je ( ) za svaki ( a, b) onda je unkcija padajuća na inervalu ( a, b) D
Ako je ( ) < unkcija je srogo padajuća, obra ne vrijedi Područje pada unkcije () je unija inervala u kojima je unkcija padajuća gα ( ) < k a b a b c je padajuća ( ) ( ) < srogo padajuća srogo padajuća ne znači ( ) < Neprekidna unkcija može bii rasuća (padajuća) na inervalu ( a, b) iako posoji očka c ( a, b) u kojoj (c) nije deinirana Primjer: Odredie inervale rasa i pada unkcije ( ) + D R ( ) 6 6 6 6 za, ' + + + _ + + + - ( ) unkcija () ( ) unkcija () ( ) za i rase za (, ] [, + ) pada za [,] 4
57 LOKALNI EKSTREMI FUNKCIJE Funkcija ima lokalni minimum ( lokalni maksimum) u očki ako da vrijedi ( ) ( ) < ( ( ) ( ) ) > za svaki iz e okoline D ako posoji okolina očke Zajedničkim imenom lokalni maksimum i lokalni minimum zovu se lokalni eksremi Kriična očka neprekidne unkcije je svaka očka očka) ili u kojoj ) nije deinirana Točka na grau ( ) ( Ako je () neprekidna unkcija na inervalu (, b) D u kojoj je ( ) ( sacionarna ( ) zove se kriična očka graa, ( a, b a i ) je očka lokalnog eksrema ada je kriična očka Ako je kriična očka neprekidne unkcije unkcija u očki ne mora imai eksrem ( ) je sacionarna očka ( ) ne posoji je kriična očka Derivacija i eksrem Neka je neprekidna unkcija u svim očkama inervala ( a, b), i neka je derivabilna u svim očkama og inervala osim možda u očki 5
Ako derivacija unkcije mijenja predznak od negaivnog do poziivnog prolazom kroz očku ( od vrijednosi manjih od do vrijednosi večih od ) ada unkcija ima lokalni minimum u očki m, ( )) je očka lokalnog minimuma graa unkcije ( m(,( ) ) a b '() < '() > Uočimo : za a, ) unkcija pada, za (, b) unkcija rase ( Ako derivacija unkcije mijenja predznak od poziivnog do negaivnog prolazom kroz očku (od vrijednosi manjih od do vrijednosi večih od ) ada unkcija ima lokalni maksimum u očki M, ( )) je očka lokalnog maksimuma graa unkcije ( M(, ( ) ) '()> '()< Uočimo : za a, ) unkcija rase, za (, b) unkcija pada ( Tes prve derivacije za lokalni eksrem () je neprekidna unkcija na inervalu ( a, b) D derivabilna u svakoj očki inervala ( a, b) osim možda u očki ( a, b) Neka je kriična očka unkcije Na donjim primjerima je ilusrirano kako pomoću predznaka prve derivacije u oklolini očke možemo zaključii da li unkcija ima ili nema lokalni eksrem Ako unkcija u očki ima lokalni eksrem ovim posupkom možemo uvrdii da li je o lokalni minimum ili maksimum '( ) ne posoji '( ) ne posoji '() '( ) ( _ + + + ) a b sacionarna očka kriič na očka kriič na očka 6
'( ) ne posoji '() '( ) '( ) ne posoji _ ( + + + ) a b sacionarna očka kriič na očka kriič na očka '( ) ne posoji '() '( ) ( + + + + + + ) a b sacionarna očka kriič na očka '() '( ) '( ) ne posoji ( ) a b sacionarna očka kriič na očka Tes druge derivacije Algoriam za odreñivanje eksrema unkcije Preposavimo da unkcija () u okolini očke ima neprekidnu drugu derivaciju () Ako je ( ) i ( ) > ada unkcija () ima lokalni minimum u očki Ako je ( ) i ( ) < ada unkcija () ima lokalni maksimum u očki Ako je ( ) i ( ) ada moramo provesi dodana ispiivanja (preko esa prve derivacije ili preko derivacija višeg reda) Primjer: Ispiaje ima li unkcija ( ) 5 5 ( ) 5 4 5 ( ) 5 5 lokalne eksreme 7
Prva derivacija je deinirana za svako R Ispiajmo da li ima sacionarnih očaka j riješimo jednadžbu ( ) 5 4 5 4 ( )( + ), «Kandidai» za eksrem su i ( ) Ispiajmo predznak druge derivacije u sacionarnim očkama ( ) > je očka lokalnog minimuma ( ) < je očka lokalnog maksimuma Konkavnos, konveksnos i očka inleksije Za gra derivabilne unkcije kažemo da je konkavan ( konveksan) u inervalu ( a, b) ako se gra unkcije nalazi ispod ( iznad) angene u bilo kojoj očki iz inervala ( a, b) Još kažemo konkavna ili zakrivljena prema dolje, odnosno konveksna ili zakrivljena prema gore ( ) a konkavna b ( ) a konveksan b Zakrivljenos i prva derivacija Gra unkcije () konveksan je na inervalu ( a, b) ako je () rasuća unkcija Gra unkcije () konkavan je na inervalu ( a, b) ako je () padajuća unkcija Zakrivljenos i druga derivacija Ako je ( ) > za svaki ( a, b) unkcija je konveksna u inervalu ( a, b) Ako je ( ) < za svaki ( a, b) unkcija je konkavna u inervalu ( a, b) 8
( ) a b ( ) a b U slučaju proučavanja zakrivljenosi unkcije zanimaju nas očke u kojima unkcija iz jedne vrse zakrivljenosi prelazi u drugu Točka inleksije (pregiba) Neka je unkcija () dva pua derivabilna Točka graa unkcije u kojoj dolazi do promjene zakrivljenosi nazivamo očkom inleksije ili očkom pregiba Pošo u očki inleksije dolazi do promjene zakrivljenosi, očio je da () mora promijenii predznak u oj očki Ako je očka inleksije mora vrijedii ( ) ili ( ) nije deinirano '' () _ + + + ' ( ) i ' () > '' () _ + + + ' ( ) i ' () < '' () _ + + + ' ( ) i ' () < '' () _ + + + ' ( ) nije deinirano i ' () < '' () _ + + + ' ( ) i ' () > '' () + + + _ ' ( ) nije deinirano i ' () > 9
5 8 ASIMPTOTE Asimpoa graa unkcije je pravac sa svojsvom da udaljenos očke na krivulji od og pravca eži k nuli kada očka po grau unkcije odmiče u beskonačnos ( j kad udaljenos od ishodiša očke na krivulji eži u beskonačnos) T (, () ) d S d TS d Verikalna asimpoa Ako je uvjea ada je pravac c očka prekida ili očka na rubu područja deinicije unkcije i vrijedi barem jedan od lim ( ) + c lim ( ) + + c ( ) ( ) c verikalna asimpoa graa unkcije c c c Napomena: Gra unkcije može imai više verikalnih asimpoa c c
Horizonalna asimpoa Ako za unkciju vrijedi: a, + D i lim ( ) A, ( ) ada je pravac + A desna horizonalna asimpoa graa unkcije A Ako za unkciju vrijedi: ( b) D, i lim ( ) B, ada je pravac B lijeva horizonalna asimpoa graa unkcije B B Napomena: Gra unkcije može imai naj više dvije horizonalne asimpoe obosrana horizonala dvije horizonalne
Kosa asimpoa ( ) Ako za unkciju vrijedi ( a, + ) D i lim ( ) + ( ), e ako posoji lim k i + + lim ( ) k, ada je pravac k + l desna kosa asimpoa graa unkcije + [ ] l k + l ( ), b D i lim ( ) + ( ), e ako posoji lim k i lim ( ) k, ada je pravac k + l lijeva kosa asimpoa graa unkcije Ako za unkciju vrijedi ( ) [ ] l k + l Napomena: gra unkcije može imai najviše dvije kose asimpoe k + l obosrana kosa asimpoa k + l gra ima desnu i lijevu kosu asimpou
5 9 TOK I GRAF FUNKCIJE Odredii područje deinicije unkcije Ispiai je li posoji sjeciše graa unkcije s osi odnosno s osi Ispiai ponašanje unkcije na rubovima područja deinicije 4 Ispiai ima li gra unkcije kose asimpoe 5 Odredii inervale monoonosi 6 Odredii očke lokalnih eksrema 7 Ispiai je li unkcija parna ili neparna 8 Napisai dijagram oka 9 Skicirai gra unkcije Gore navedeni redosljed pojedinih koraka je samo sugesija auora Svaki suden može posupii kako se njemu čini jednosavnije ili logičnije Posupak cranja graa unkcije se može pojednosavnii ukoliko suden iskorisi svoja znanja o svojsvima graa nekih vrsa unkcija (parna, neparna, periodična) Zadaak: Ispiaje ok i skiciraje gra unkcije R: Zadana unkcija je polinom rećeg supnja Područje deinicije unkcije: D R Sjeciše graa unkcije s koordinanim osima 6 ( ) 6 Nul očke unkcije odreñujemo iz uvjea () j 6 ( 6), pa je jedan korijen jednadžbe 9 ± + 4 Iz 6 4 ± slijedi, 5 4 Gra unkcije siječe -os u ri očke: 5 N,, N (, ), 4 N + 5 4, Sjeciše graa unkcije s osi ( ) Gra unkcije siječe os u očki T (,)
Ispiajmo ponašanje unkcije za + i ( rubovi područja deinicije) lim ( + lim ( Zaključak: Gra unkcije nema horizonalnih asimpoa 4 Ispiajmo ima li gra unkcije kose asmpoe? ( ) k l lim lim 6) + 6) 6 lim ( 6) + Gra unkcije nema lijevu kosu asimpou 6 ( ) k d lim lim lim ( 6) + + + + Gra unkcije nema desnu kosu asimpou Zaključak: Gra unkcije nema kosih asimpoa 5 Odredimo inervale monoonosi ( ) 6 Inervale rasa unkcije odreñujemo iz uvjea ( ) j Iz 6 Inervale pada unkcije odreñujemo iz uvjea ( ) j iz 6 Nejednadžbe možemo riješii graički ako da nacramo gra unkcije ( ) 6 ± 9 + 7, 6 ± 8 6 Inerval rasa unkcije je: ( ) (, + ) Inerval pada unkcije je (, ), ± 9, 6 4
6 Točke lokalnih eksrema: Odredimo sacionarne očke unkcije iz uvjea () j 6 Korjene ove jednadžbe smo već odredili i o su i Ispiajmo predznak druge derivacije ( ) u sacionarnim očkama j je očka lokalnog maksimuma unkcije ( ) 6 ( ) 6 ( ) 9 ( ) < Vrijednos unkcije u 7 M, je očka lokalnog maksimuma graa unkcije ( ) ( ) ( ) 6 ( ) je očka lokalnog minimuma unkcije ( ) ( ) ( ) 6 8 6 m, Točka lokalnog minimuma graa unkcije: ( ) 7 + 6 ( ) 6 9 ( ) > 7 Dijagram oka 5 + 5 4 4 () + + + + () 7 / NT M NT m NT + 5
8 Gra unkcije M (-, 7/) 7/ - 5 4 - + 5 4 - m (, -) 6
PROVJERA ZNANJA (primjena derivacija) Ima gra unkcije ( ) lijevu kosu asimpou? DA NE Ako je ( ) unkcija () je padajuća DA NE Ako gra unkcije () u očki ima angenu, ada posoji () DA NE 4 Na slici je dan gra unkcije () Γ - - ( ) nije deinirano za ( ) za 5 Na slici je zadan gra unkcije () Γ ' - - - (, ) ( ) rase za 6 Deiniraje sacionarnu očku unkcije 7 Gra unkcije može imai lijevu i desnu kosu asimpou DA NE 8 Gra unkcije može imai lijevu kosu i lijevu horizonalnu asimpou DA NE 9 Ako je D sacionarna očka unkcije ada je ( ) DA NE 7
Na slici je dan gra unkcije () Odredie sve kriične očke unkcije - Na slici je zadan gra unkcije () Koji od graova a), b) i c) je gra ()? Γ a) b) c) Za unkciju () vrijedi : D R, ( ) < za <, ( ) > za > i ( ) Funkcija u očki ima lokalni eksrem DA NE Za unkciju () vrijedi : D R, ( ) < za <, ( ) < za > i ( ) Funkcija u očki ima lokalni eksrem DA NE 4 Funkcija () u očki ima lokalni maksimum Koji predznak ima derivacija () za < a koji za >? 8
5 Pravac + je angena na gra unkcije u očki T (,) Funkcija pada prolazom kroz očku T DA NE 6 Zašo gra unkcije ( ) nema verikalnu asimpou u očki? + 9
ODGOVORI (primjena derivacija) NE NE DA 4, ( ), ( ) 5 Funkcija rase za (,) 6 Točka 7 DA 8 NE 9 NE je sacionarna očka ako je ( ) D i b) DA NE 4 ( ) > za < i ( ) < za > 5 DA 6 U očki unkcija je deinirana
RIJEŠENI ZADACI (primjena derivacija) Izračunaje: cos 4 a) lim lim cos 4 b) lim lim ( cos 4) ( ) ( ) cos 4 ( ) 4sin 4 lim 4sin 4 lim lim ( 4sin 4) ( ) 6cos 4 6 lim 8 5 e 5 5e 5 c) lim lim ln d) lim lim 5 arcg5 e) lim + arcg7 lim 5 5 + 49 lim 7 7 + 5 + 49 7 5 Izračunaje + 5 lim + 4 Elemenarno: + 5 lim + 4 lim + L'Hospialovo pravilio: 4 + 5 : : 4 4 5 + lim + 4 + 5 lim + 4 lim ( + 5) ( 4 ) lim ( + 5) ( ) 4 + 5 lim + 4 6 + 5 ( ) 6 + 5 lim lim ( ) lim 6 4 6
Procijenie šo je jednosavnije Nacraje sve asimpoe graa unkcije ( ) + ( ) + D (, ) (, + ) lim 4 + + lim 4 + + + Gra unkcije ima verikalnu asimpou lim + lim + + Gra unkcije ima lijevu i desnu horizonalnu asimpou Nema kosih asimpoa - χ
4 Zadana je unkcija rasa i pada unkcije ( ) Odredie : a) područje deinicije, b) kriične očke, c) inerval ( ) a) D R nema očaka prekida ( ) ( ) b) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Kriične očke su one u kojima je ( ) ili () nije deinirano ( ) () nije deinirano za ( ) j za i Funkcija ima ri kriične očke (sacionarna očka), i c) Inervale monoonosi odreñujemo pomoću predznaka prve derivacije ( ) < za < j za <, pa je, inerval pada unkcije ( ) > za > j za >, pa je,+ inerval rasa unkcije 5 Na slici je zadan gra unkcije () a b c d e g h
odredie inervale rasa unkcije ; odredie inervale pada unkcije; odredie očke za koje je ( ) 4 odredie očke u kojima derivacija () ne posoji; 5 odredie očke lokalnog minimuma; 6 odredie očke lokalnog maksimuma Odgovori: ( a, b), ( d, ), ( g, h) ; ( b, d ), (, g) ; ( c), ( d ), ( ) ; 4 () ne posoji u očkama: b i g ; 5 očke lokalnog minimuma su: d i g ; 6 očke lokalnog maksimuma su: b i 6 Odredie inervale monoonosi unkcije ( ) + sin ( ) + cos + cos Γcos - π - π/ π/ π - - ( ) za R dakle unkcija je rasuća 7 Odredie sacionarne očke unkcije D [ + ), ( ) + ( ) 6 ( ) 7 + ( + ) Sacionarne očke odreñujemo iz uvjea ( ), koji će bii ispunjen ako je 7 4
+ 6 ili ( + ) ( ) Odmah vidimo da je + ( ) ako je ( + ) ( ) ( ) odnosno +, 6 za Pa je prva sacionarna očka Izvršimo supsiuciju, ± osale dvije sacionarne očke su : i + 8 Nañie očke lokalnih eksrema graa unkcije ( ) ln D (, + ) ( ) ln + ln ( ) e e ( e ) > unkcija ima lokalni minimum u ln e e e e e 5
m, e e e 9 Odredie inervale monoonosi i sacionarne očke unkcije ( ) D R { } e e e + ( ) + + sacionarna očka e + e () + { < + + + + + + + - - - - + + + + + - - + < za (,) + > za (, ) (, + ) Možemo zaključii: ( ) > za (,) () rase ( ) < za (, ) (, + ) () pada 6
Lopa je bačena u zrak s vrha zgrade Njena visina h u sopama nakon sekunda zadana je unkcijom h ( ) 6 + 6 + 96 Nakon koliko sekunda će lopa udarii u zemlju? Skicirajmo gra unkcije Γ h h( ) 6 + 6 + 96, h () 96 m Gra unkcije promaramo za Lopa će udarii u zemlju kada je h ( ) Kako je o će se dogodii nakon sekunde Kojom brzinom će lopa udarii u zemlju? Prema kinemaičkoj inerpreaciji derivacije znamo da je v ( ) h ( ), j v ( ) + 6 Znamo da je lopa udarila u zemlju nakon sekunde, pa je brzina u om renuku bila v ( ) + 6 8 j 8 sopa na sa Koliko je visoka zgrada? Lopa je bačena s vrha zgrade Visina zgrade jednaka je visini lope u renuku, j Visina zgrade h( ) 96 sopa 4 Koju naj višu visinu će lopa dosegnui? Pogledaje sliku Očio je da će lopa dosegnui najveću visinu u očki lokalnog maksimuma unkcije h () h ( ) + 6 7
h 6 + 6 + 96 sopa 4 Napišie dijagram oka i skiciraje gra unkcije ( ) Područje deinicije unkcije D R \{ } Nul očke unkcije, dvosruka nul-očka Ispiivanje parnosi i neparnosi Funkcija nije ni parna ni neparna 4 Ispiivanje ponašanja unkcije u okolini očke lim + + lim Pravac je verikalna asimpoa graa unkcije 5 Ispiivanj ponašanja unkcije za i za + lim + + lim 6 Kose asimpoe lim k d, l lim d + + Gra unkcije ima desnu kosu asimpou + Analogno možemo zakčljučii da gra unkcije ima lijevu kosu asimpou + 7 Odreñivanje inervala monoonosi ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) () ( ) () rase za (, ] [, + ) pada za [, ] \ { } 8
8 Lokalni eksremi Sacionarne očke i ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 4 ( ) ( ) < unkcija u očki ima lokalni maksimum, M (, ) ( ) > unkcija u očki ima lokalni minimum, m (, 4 ) 9 Tablica oka + () + - - + () + 4 + Gra unkcije + 4-9
Na slici je zadan gra Γ derivacije neprekidne unkcije () Odredie: a) inervale monoonosi, b) kriične očke i c) jednadžbu angene na gra unkcije u očki T (,) Γ - - a) za (, ) (,), ( ) > rase za (,) (, + ), ( ) < pada b) kriična očka, i sacionarne očke c) s graa derivacije unkcije Γ možemo odredii da je ( ) j u očki T (,) koeicijen smjera angene je k Jednadžba angene + e 4 Ispiaje ok i skiciraje gra unkcije ( ) ( ) ( ) e Područje deinicije ( ) ( ) e R Funkcija je neprekidna D Možemo zaključii da gra unkcije nema verikalnih asimpoa, jer za svaki da je () konačan broj D R imamo Sjeciša graa s koordinanim osima: ( ) ( ) e, e Nuločka unkcije je
Gra unkcije siječe os u očki N (,) ( ) ( ) e Gra unkcije siječe os u očki T (, ) Ispiajmo ponašanje unkcije za : lim ( ) e ( ) neodreñeni oblik Radni maerijali ( e ) lim lim lim e e Gra unkcije ima lijevu horizonalnu asimpoumožemo zaključii da gra unkcije nema lijevu kosu asimpou Ispiajmo ponašanje unkcije za + : lim + ( ) e ( + + ) + Gra unkcije nema desnu horizonalnu asimpou 4 Ima li gra unkcije desnu kosu asimpou? k d lim + ( ) e lim e + Gra unkcije nema desnu kosu asimpou + 6 Inervali monoonosi i sacionarne očke ( ) e + ( ) e e + e e e ( ) e Sacionarna očka Za > vrijedi ( ) >, a za < vrijedi ( ) < + () + ( )
7 Da li unkcija ima lokalne eksreme? ( ) e + e ( + ) e ( ) > Funkcija ima lokalni minimum za Točka lokalnog minimuma graa unkcije je m (, ) 8 Tablica oka: + () + + () + m NT 9 Gra unkcije: m (, -)
ZADACI ZA SAMOSTALNI RAD (primjena derivacija) Odredie jednadžbu angene na gra unkcije ( ) Ispiaje koje asimpoe ima gra unkcije ( ) ln u očki T, e + ( ) + Odredie lokalne eksreme unkcija a) c) ( ) ln( + )), b) ( ) ln, ( ) 4 Odredie jednadžbu normale na gra unkcije ( ) ln u očki e ln 5 Izračunaje lim 6 Odredie inervale monoonosi unkcije ( ) e 7 Napišie jednadžbe svih asimpoa graa unkcije: a) 8 Odredie nul-očku unkcije ( ) ( ln( ) ) angenu u nul-očki? ( ) e, b) Da li gra unkcije ima g ( ) arcg 9 Na slici je zadan gra derivacije Γ neprekidne unkcije () Odredie a) inervale monoonosi, b) kriične očke, c) jednadžbu angene na gra unkcije u očki T (,) Γ - - - e + Odredie područje deinicije unkcije ( ) Ima li gra unkcije verikalne e asimpoe? Pokažie da ima desnu horizonalnu asimpou
Pokažie da gra unkcije asimpoe ( ) ima verikalnu asimpou, a da nema horizonalne Ispiaje ima li unkcija ( ) + lokalni eksrem Ispiaje ok i skiciraje graove sljedećih unkcija: a) 6 ( ) + b) ( ) c) ( ) - ( -) d) ( ) e e) ( ) ( ) e 4
RJEŠENJA e + VA, KA a) lokalni minimum m, b) c) 4 4 T ( e, ), + e 5 6 D R za (,) rase, za (, +,) pada 7 a) LH, DH, VA b) OH π 8 NT, ima 9 a) za (, ) (,) rase, za (, ) (, + ) pada b) ( ), ( ), ( ) nije deinirana c) T (,), ( ), ( ) + + 5 lim ( ) + verikalna asimpoa, nema horizonalne asimpoe jer je lim ( ) + lim + ( ) +, lim ( ) +, lim ( ) + + + i Ne 5
a) 6 ( ) - R: Područje deinicije: R \ { } Nuločke: i 4 Asimpoe i Nema lokalnih eksrema - - - 4 + b) ( ) R: Područje deinicije: R \ { } Nuločke: Asimpoe: i Lokalni minimum za - - - 6
c) ( ) - ( -) R: Područje deinicije: R \ { } Nuločke: Asimpoe: i Lokalni minimum za - - e d) ( ) + R: Područje deinicije: R \ { } Asimpoe: i + Lokalni minimum za - e) ( ) ( ) R: e Područje deinicije: R Nuločke : Asimpoa: Lokalni eksremi za + i - - + 7