Geodetski akultet dr. s. J. Beba-Brkić Predavaja iz Matematike. PRIMJENE DERIVACIJA INTERVALI MONOTONOSTI Podsjetimo se što zači da je ukija mootoa a ekom itervalu I ( ab : Neka je : I R I ( ab R. Ako vrijedi I < ( < ( je strogo rastuća ukija; I < ( ( je rastuća ukija; I < ( > ( je strogo padajuća ukija; I < je padajuća ukija. ( ( Za ukiju kažemo da je mootoa ako je rastuća ili padajuća odoso strogo mootoa ako je strogo rastuća ili strogo padajuća ukija. Fukija je po dijelovima mootoa ako se svaki koači iterval iz domee može rastaviti a koačo mogo itervala a kojima je ukija mootoa. Teorem Neka je ukija derivabila a itervalu ( ab I i eka ima isti predzak za svaki I. Tada je ukija mootoa a itervalu I. Dokaz Neka su I. Lagrageov teorem postoji točka ( tako da vrijedi ( ( tj. ( ( (. (* Iz (* slijedi: ( > ( ( ( & < tj. ukija je rastuća. ( > ( ( ( & < tj. ukija je padajuća. Dakle a itervaa gdje je prva derivaija pozitiva (egativa ukija je rastuća (padajuća. > < >
Geodetski akultet dr. s. J. Beba-Brkić Predavaja iz Matematike 6 Primjer: Odrediti itervale mootoosti ukije 6 6 6 Slijede itervali mootoosti:. ± a itervaa ( / ] & [ / / / a itervalu [ ] što su itervali rasta a što je iterval pada ukije. > < > EKSTREMNE VRIJEDNOSTI FUNKCIJE U poglavlju smo deiirali pojam ekstrema (miimuma i maksimuma ukije. Sad ćemo se baviti jegovom egzisteijom. Teorem (Nuža uvjet za ekstrem Fermatov teorem Neka ukija : [ ab] R ima ekstrem u točki ( ab. Ako postoji. Podsjetimo se apomea izeseih uz Fermatov teorem: oda je Napomea Fermatov teorem am kazuje da ćemo točke ekstrema ukije alaziti među rješejima jedadžbe koja azivamo staioarim ili kritičim točkama. Napomea Pretpostavka ovog teorema jest da postoji derivaija u promatraoj točki. Naime ukija može imati ekstrem u ekoj točki a da u joj ema derivaiju. Na primjer ukija u točki ima miimum ali e i derivaiju. Osim toga postoje slučajevi kad je derivaija jedaka uli u ekoj točki a da u joj ije ekstrem ukije. Na primjer za ukiju je ( staioara točka ali e i točka ekstrema. To zači da uvjet ije dovolja za postojaje ekstrema.
Geodetski akultet dr. s. J. Beba-Brkić Predavaja iz Matematike Teorem (Dovolja uvjet za ekstrem pomoću prve derivaije Ako pri prijelazu kroz staioaru točku derivaija eprekide ukije mijeja predzak oda je u točki ekstrem ukije i to: - u točki je maksimum ako se predzak derivaije mijeja sa plus a mius; - u točki je miimum ako se predzak derivaije mijeja sa mius a plus. Dokaz Neka je O gdje je O okolia točke. Lagrageov teorem postoji točka O tako da vrijedi tj. ( (. (* Pretpostavimo da derivaija prolazom kroz točku mijeja predzak s plusa a mius. Iz (* slijedi: < > ( < & ( ( > & ( > < < < tj. u je maksimum. Pretpostavimo da derivaija prolazom kroz točku mijeja predzak s miusa a plus. Iz (* slijedi: < > ( < & ( ( > & ( < > > > tj. u je miimum. Primjer: Skia ukije si jee prve i druge derivaije. si os si - π π π π
Geodetski akultet dr. s. J. Beba-Brkić Predavaja iz Matematike Teorem (Dovolja uvjet za ekstrem pomoću druge derivaije Ako u kritičoj točki ukija ima eprekidu drugu derivaiju i vrijedi ukija ima ekstrem u toj točki i to: - u točki je maksimum ako je < ; - u točki je miimum ako je >. oda Dokaz Neka je O gdje je O Lagrageov teorem postoji točka. okolia točke O tako da vrijedi tj. ( (. (* > prva derivaija prolazi kroz točku rastući: HL H L Iz (* slijedi: < < > & ( ( > & ( Aalogo se dokazuje za maksimum. < > > > tj. u je miimum. Teorem (Dovolja uvjet za ekstrem pomoću -te derivaije Ako u kritičoj točki ukija ima eprekidu derivaiju tog reda i vrijedi ( L i oda ukija ima ekstrem u toj točki i to: ( ( ( < ( >. - u točki je maksimum ako je - u točki je miimum ako je Dokaz Neka je gdje je O O ( okolia točke Talorov teorem ; L. 4
Geodetski akultet dr. s. J. Beba-Brkić Predavaja iz Matematike ( < < θ θ!!! L! θ (** ( > je rastuća ukija tj. ( prolazi kroz točku rastući: H L H L H L HL Iz (** slijedi: > > > > < < < < & & θ θ > > tj. u je miimum. Aalogo se dokazuje za maksimum. Primjeri:. Odrediti ekstreme ukije koristeći drugu derivaiju. 6 6 6 6 ± su kritiče točke za ekstrem 6 > <. M M 9 to miimum i je u 9 to maksimum i je u. U polukrugu radijusa r upisati jedakokrača trapez maksimale površie tako da mu je osovia jedaka promjeru polukruga. 5
Geodetski akultet dr. s. J. Beba-Brkić Predavaja iz Matematike r v P a ( a r v a v r v 4 v P ( v v( 4 v v v 4 v a P ( v v 4 v 4 v P ( v v 4 v 4 v jedio pozitivo riješeje različito od 4 4 ule v ma Pma. L HOSPITALOVA PRAVILA Guillame Fraçois Atoie de l Hospital (66-74 rauski matematičar L Hospitalova pravila se primjejuju kod tražeja graiče vrijedosti (esa ukije. Najjedostavije izračuavaje esa je izračuavaje esa ukije u točki u kojoj je oa eprekida. Tada je (. Promatrat ćemo slučajeve kod kojih ije moguće direkto primijeiti teorem o esu produkta kvoijeta itd. Radi se o takozvaim eodređeim obliima kad kojih e možemo oijeiti da li graiča vrijedost postoji ili e. Naodređei oblii su:. Metode rješavaja spomeutih oblika koje se temelje a derivaijama zovu su L Hospitalova pravila. Prvo pravilo ćemo ormulirati za slučaj određivaja desog esa: 6
Geodetski akultet dr. s. J. Beba-Brkić Predavaja iz Matematike Teorem (oblik Neka su ukije i g deiirae a itervalu ( a b]. Neka je g a a i eka a itervalu ( a b] postoje derivaije i g A a g oda postoji i es kvoijeta i vrijedi g A. a g a g. Ako postoji Dokaz U svrhu dokaza teorema deiirajmo: ( a g( a. Sada prema pretpostavkama teorema i a zaključujemo: - ukije i g su postale eprekide u točki a - postoje derivaije g u itervalu ( a b] i vrijedi g. Time su ispujee pretpostavke poopćeog teorema sredje vrijedosti za svaki iterval [ a] ( ab]. Dakle a tako da vrijedi Cauhjev teorem postoji točka g ( a g( a ( (. g g Zbog a < < ako teži prema a mora i težiti prema a. Kako po pretpostavi prema A tj. ima es slijedi a g a g ( ( A čime je teorem dokaza. Napomee uz teorem: - dozvoljeo je da A bude epravi es tj. da bude A ili A - aalogi teorem vrijedi za slučaj određivaja lijevog esa - aalogi teorem vrijedi za eodređei oblik g teži - l Hospitalovo pravilo se e primjejuje a račuaje esa izova - l Hospitalovo pravilo se može primijeiti više puta uzastope ako su ispujei uvjeti teorema. 7
Geodetski akultet dr. s. J. Beba-Brkić Predavaja iz Matematike Primjeri: si si 4 si os os.. π si si π 4 si os os. 6 6 si os si os 6 6 Postupi koji se primjejuju za ostale eodređee oblike Oblik Oblik & g [ g ] a a a Trasormaijom g g se oblik a g 6.. svodi a & g [ g ] a Trasormaijom g se oblik svodi a a g g g ili.. ili. Oblii Pojavljuju se prilikom račuaja g( Postupak je sljedeći: a g l g l e l l. Prelaskom a es slijedi a a g ( g ( l ( g l a e e a čime u ekspoetu dobivamo eki od već razmatraih eodređeih oblika.. Primjeri: l. l (. 8
Geodetski akultet dr. s. J. Beba-Brkić Predavaja iz Matematike l. ( si. si l l LL. ( l l l si si l si e e si l si l si l e si l ( LL si e. KONKAVNOST KONVEKSNOST I TOČKE INFLEKSIJE U ovom smo poglavlju već odgovorili a pitaje koje je začeje stalosti predzaka prve derivaije ukije a ekom itervalu. Sad ćemo se baviti začejem predzaka druge derivaije. Za pretpostaviti je da će se pojaviti eke aalogije. Deiiija (kokavost koveksost Za gra derivable ukije ( kažemo da je koveksa (kokava u itervalu I ( ab ako se o alazi izad (ispod tagete u bilo kojoj točki tog itervala. Uvjeti kokavosti i koveksosti dai aalitički T T I : Jedadžba tagete krivulje s diralištem u točki ( ( - ordiata do tagete. - ordiata do krivulje Uvedimo ukiju g kao razliku ordiata do krivulje i do tagete: g. Gra Γ je koveksa (izad tagete ako je ispujeo g. Gra je kokava (ispod tagete ako je ispujeo Γ g. 9
Geodetski akultet dr. s. J. Beba-Brkić Predavaja iz Matematike Teorem Neka ukija : I R I ( ab ima drugu derivaiju u svakoj točki itervala I. Gra ukije je koveksa u itervalu I ako je ( > I odoso gra ukije je kokava u itervalu I ako je Dokaz Neka je I. Talorova ormula za ukiju u točki ( ( < I. ( θ( < θ <.!! i g zapisujemo u obliku Uz raije deiirae ukije Iz (* slijedi: ( ( θ 44 44444 g ( θ ( tj.. (* 44 > g < g gra je koveksa u I gra je kokava u I. Deiiija (ileksija Točka ileksije ili pregiba graa ukije je točka u kojoj gra mijeja kokavost u koveksost (ili obrato. kokavo < I > kovekso Nako deiiije ileksije bavit ćemo se jeom egzisteijom kako smo to radili kod ekstrema. Teorem (Nuža uvjet za ileksiju Ako ukija : I R ima eprekidu drugu derivaiju u točki I i ako ima ileksiju u toj točki oda je. 4
Geodetski akultet dr. s. J. Beba-Brkić Predavaja iz Matematike Dokaz Pretpostavimo suproto tvrdji teorema tj. eka je u točki I ispujeo. Pretpostavimo kao prvo da je > ( > O. Iz (* slijedi: < ( < ( > & > g > > ( > ( > & > ukija je koveksa u okolii točke. Dakle prolazom kroz točku ukija e mijeja kokavost-koveksost tj. ije točka ileksije što je suproto pretpostavi teorema. Aalogo bi se dokazalo sa <. Napomea Ovaj am teorem kazuje da ćemo točke ileksije ukije alaziti među rješejima jedadžbe koja azivamo staioarim ili kritičim točkama za ileksiju. Napomea Pretpostavka ovog teorema jest da postoji ileksija u promatraoj točki. Naime postoje slučajevi kad je druga derivaija jedaka uli u ekoj točki a da to ije točka ileksije. Na 4 primjer za ukiju je staioara točka ali e i točka ileksije. To zači da uvjet ije dovolja za postojaje točaka ileksije. Teorem (Dovolja uvjet za ileksiju pomoću druge derivaije Ako pri prijelazu kroz kritiču točku druga derivaija ukije mijeja predzak oda je točka točka ileksije. Dokaz Neka je gdje je O O. okolia točke i Talorova ormula u točki : ( ( ( θ( < θ <. Pretpostavimo da mijeja predzak sa mius a plus prolazom kroz točku. Od raije imamo deiirau ukiju g ( ( ( θ. (* Iz (* slijedi: < < > & θ < g < tj. ukija je kokava. 4
Geodetski akultet dr. s. J. Beba-Brkić Predavaja iz Matematike θ > > > & > g > tj. ukija je koveksa. Dakle prolazom kroz točku ukija mijeja kokavost-koveksost tj. ima ileksiju u točki. Aalogo za slučaj da mijeja predzak sa plus a mius. Teorem (Dovolja uvjet za ileksiju pomoću -te derivaije Ako u kritičoj točki ukija ima eprekidu derivaiju ( og reda i vrijedi L i oda gra ukije ima ileksiju u. Dokaz Neka je gdje je O O okolia točke Talorov teorem ( ( L. ( (! ( ( L ( θ( < θ < ( ( ( ( ( θ.! Za ukiju g sada imamo ( (! g θ. (** Postoje dvije mogućosti: ( > je rastuća ukija tj. Iz (** slijedi: ( ( ( prolazi kroz točku rastući. Slika! ( ( θ < < > & < g < ( ( θ ( tj. ukija je kokava. > > > & > g > tj. ukija je koveksa. Dakle prolazom kroz točku gra ukije prelazi s jede a drugu strau tagete tj. ima ileksiju u točki. Za < se dokazuje aalogo prethodom slučaju. Primjeri:. Odrediti točke ileksije ukije 6 6 i itervale a kojima je oa kokava odoso koveksa. 6 6 6 6 je kritiča točka za ileksiju 4
Geodetski akultet dr. s. J. Beba-Brkić Predavaja iz Matematike 6 6 u točki ( Itervali kokavosti i koveksosti: < a itervalu ( ukija je kokava a > a itervalu ( ukija je koveksa. 5. Odrediti točke ileksije ukije. 5 5 4 je kritiča točka za ileksiju 6 iv iv v v u točki ( ukija ima ileksiju. ukija ima ileksiju. ASIMPTOTE Deiiija Prava a b zovemo asimptotom ukije ako udaljeost točke krivulje (graa Γ od prava teži k uli kad teži u beskoačost. Slika! Razlikujemo: - horizotale asimptote - vertikale asimptote i - kose asimptote. Horizotale asimptote Prava b zovemo horizotalom asimptotom ako mu se gra ukije približava kad ( tj. ako je ili. b b Napomea Raioala ukija ima horizotalu asimptotu ako je stupaj polioma u brojiku jedak ili maji od stupja polioma u aziviku. Primjer:. 5 4
Geodetski akultet dr. s. J. Beba-Brkić Predavaja iz Matematike 5 je horizotala asimptota. Vertikale asimptote Prava bilo slijeva ili sdesa tj. ako je ± ili. je vertikala asimptota ukije ± ako je es te ukije epravi kad Napomea Raioala ukija ima vertikale asimptote u ultočkama azivika uz uvjet da to isu ujedo i ultočke brojika. Primjeri:. D ( R \{} je horizotala asimptota je ultočka polioma u aziviku i to eparog reda je vertikala asimptota.. D ( R \{} je horizotala asimptota je ultočka polioma u aziviku i to parog reda 44
Geodetski akultet dr. s. J. Beba-Brkić Predavaja iz Matematike je vertikala asimptota. Slika uz primjer Slika uz primjer Kose asimptote Kose asimptote su oblika a b pa je za jihovo određivaje potrebo zati vrijedosti a i b. U tu svrhu ozačimo: - ordiata po krivulji - ordiata po asimptoti. Prema deiiiji asimptote razlika - teži prema uli kad teži u beskoačost tj. a b. Fukiju [ ] & možemo tada prikazati u obliku a b α α tj. a b α & α. (* Odredimo a: Podijeo li (* s dobivamo b a α a. Odredimo b: α ( [ a b] b [ a]. Zaključimo: Ako ukija ima kosu asimptotu a b oda je a i b [ a]. 45
Geodetski akultet dr. s. J. Beba-Brkić Predavaja iz Matematike Primjer:. Naći asimptote ukije 5 D ( R Horizotalu asimptotu ema jer je stupaj polioma u brojiku veći od stupja polioma u aziviku. Vertikale asimptote ema jer poliom u aziviku ema realih ultočaka. Kosa asimptota: a L & b [ ] L 5 5. HL 5 CRTANJE GRAFA FUNKCIJE. Ispitati ukiju 4 i artati je gra. a Domea: D R \ {} b Parost eparost: ( ukija ije para ( ukija ije epara. Nul točke: Presjei s osi : D 4 4 4 46
Geodetski akultet dr. s. J. Beba-Brkić Predavaja iz Matematike d Ekstremi: 4 ( 4 8 8 8 - ( M P ' - e Ileksija: P - prekid ukije m - miimum ikije M - maksimum ukije M ( 4 4 ( 8 4 ema točaka ileksije 4 Asimptote: 4 4 / : Vertikala asimptota: ± / : ± 4 4 k 4 4 [ ( k ] l Kosa asimptota: g Gra: Γ - - 47
Geodetski akultet dr. s. J. Beba-Brkić Predavaja iz Matematike. Ispitati ukiju l a Domea: > > 6 i artati je gra. > > > > > ili < < < < < ( D b Parost i eparost: Fukija ije i para i epara (domea ije simetriča s obzirom a ishodište. Nul točke: l jedadžba ema realih rješeja tj. 6 ema točaka presjeka s osi Presjei s osi : D ema točaka presjeka s osi d Ekstremi: 6 6 ( 6 6 6 - M P m ' - - 6l 5 ( ( 6l 4 479 M ( 4. 479. 479 m ( 5. 479. 48
Geodetski akultet dr. s. J. Beba-Brkić Predavaja iz Matematike e Ileksija: ( ( ( 6 ( ( ( 6 ( ( ( ( 6 ( ( 6 ( D ema točaka ileksije Asimptote: 6l 6l 6l Vertikale asimptote: ( 6l k 6 l k ( k l l 6 l Kosa asimptota: g Gra: Γ - 49
Geodetski akultet dr. s. J. Beba-Brkić Predavaja iz Matematike. Aalizirati ukiju a Domea: D R b Nul točke: Presjei s osi : i skiirati je gra. ( ( Parost eparost: Fukija ije para i epara. ± d Ekstremi: ( ( & ± tageta paralela s osi ( - M m ' - 4 ( M 4 ( m ( e Asimptote: ± ± ± k ± ± ( k ( ± ( Kosa asimptota: Nema horizotale asimptote: ± ± L l 5
Geodetski akultet dr. s. J. Beba-Brkić Predavaja iz Matematike Gra: Γ - 4. Naći domeu presjeke s koordiatim osima ekstreme asimptote i skiirati gra ukije 4 e. a Domea: 4 4 D R\{- -} b Parost eparost: Fukija ije para i epara (domea ije simetriča prema ishodištu. Nul točke: e ema ul točaka Presjei s osi : e e d Ekstremi: ( 4 4 e - 4 - ( 4 - - - - P M P ' - - - (- e M ma e 5
Geodetski akultet dr. s. J. Beba-Brkić Predavaja iz Matematike e Asimptote: ( e 4 e 4 e 4 e ( e 4 4 4 e e e e 4 4 e e e ( ( e 4 e 4 e e 4 e Vertikale asimptote: Horizotala asimptota: Gra: Γ - 5. Odrediti domeu presjeke s koordiatim osima ekstreme asimptote i skiirati gra ukije. 4 a Domea: 4 & 4 ( D R \ ] [ 5
Geodetski akultet dr. s. J. Beba-Brkić Predavaja iz Matematike b Parost eparost: Fukija ije i para i epara. Nul točke: Presjei s osi : d Ekstremi: 4 ( 4 ( 4 - / P M ' - maksimum M e Asimptote: / : ± 4 4 4 / : 4 Horizotale asimptote: ± 4 4 Nema kose asimptote. Gra 4 4 5
Geodetski akultet dr. s. J. Beba-Brkić Predavaja iz Matematike 6. Ispitati ukiju e i artati je gra. a Domea: D R \ {} b Parost eparost: ( ukija ije para ukija ije epara Nul točke: Presjei s osi : D d Ekstremi: e e e Jedadžba ( ema realih rješeja tj. ukija ema lokalih ekstrema. > ukija raste a ijeloj domei. e Ileksija: e e e K 4 4 Jedadžba Asimptote: ema realih rješeja tj. ukija ema točaka ileksije. e e e l Vertikala asimptota sdesa: k [ ] k l e l Kosa asimptota: 54
Geodetski akultet dr. s. J. Beba-Brkić Predavaja iz Matematike g Gra: Γ 55