MATEMATIČKA ANALIZA II

Transcript

1 MATEMATIČKA ANALIZA II primjeri i zadaci Ilja Gogić, Ate Mimica 6. siječja.

2

3 Sadržaj Derivacija 5. Tehika deriviraja Derivacija iverzih i implicito zadaih fukcija Derivacije višeg reda Tageta i ormala L Hôpitalovo pravilo Neprekidost i derivabilost Pad i rast. Ekstremi Asimptote. Koveksost i kokavost. Ifleksija Isptivaje toka fukcije Itegral 65. Neodredei i odredei itegral Itegrale sume Metoda supstitucije i metoda parcijale itegracije Itegrali racioalih fukcija Itegrali iracioalih fukcija Itegrali trigoometrijskih i hiperbolih fukcija Nepravi itegrali Primjee odredeih itegrala Račuaje površia Račuaje duljie luka krivulje Račuaje volumea i oplošja rotacijskih tijela Red 5 3

4 4 SADRŽAJ 3. Osova svojstva Kriteriji kovergecije reda Leibizov kriterij D Alembertov kriterij Cauchyev kriterij Itegrali kriterij kovergecije reda Usporedi kriterij Redovi potecija i Taylorovi redovi

5 Derivacija. Tehika deriviraja Defiicija. Neka je f : I R fukcija, I R otvorei iterval i c I. Kažemo da je f derivabila u točki c ako postoji i taj limes ocačavamo s f (c). Još se koristi i Leibizova ozaka d y d. f() f(c) lim c c Zadatak. Koristeći defiiciju, odredite derivaciju fukcija: (a) f() α cost. (b) f() (c) f() (d) f() cos Rješeje. (a) f f() f(c) α α (c) lim lim c c c c lim c c (b) f f() f(c) c (c) lim lim c c c c lim c (c) f f() f(c) (c) lim lim c c c c c lim c c c, c 5

6 6. DERIVACIJA (d) f (c) lim c f() f(c) c lim c cos cosc c si +c lim c c si c si c Zadatak. Nadite primjer fukcije koja ije derivabila. Rješeje. Neka je f(). Limes f() f() lim lim, e postoji, jer se limesi slijeva i zdesa u razlikuju: lim lim + lim, lim +. Vrijede sljedeća pravila deriviraja: (αf + βg) αf + βg U Leibizovoj otaciji gorja pravila glase: (f g) f g + f g ( ) f f g f g g g d u (αu + βv) αd d d u (u v) d + β d v d d v + u d v d d u d (u v ) v u d v d v Zadatak.3 Derivirajte sljedeće fukcije: (a) f() (b) f() a6 + b a + b, a, b R, a + b

7 . DERIVACIJA 7 (c) f() 3 (d) f() (e) f() (f) f() si + cos si cos (g) f() e arcsi (h) f() arctg + arcctg (i) f() (j) f() arcsi Arsh Rješeje. (a) f () (b) f () 6a5 a + b (c) f () 3 (d) f () /3 5 3/ 3 4 (e) f () ( 5 + 5) (f) f () (si cos) (g) f () e arcsi + (h) f () (i) f () l + e (j) f () Arsh + arcsi +

8 8. DERIVACIJA Derivacija kompozicije fukcija Teorem. Neka su I, J R otvorei itervali i eka su f : I R i g: J R fukcije takve da je f(i) J. Ako je f derivabila u c I i g derivabila u d f(c) J, oda je g f derivabila u c i vrijedi (g f) (c) g (d) f (c). U Lebizovoj otaciji: d y d d y d u d u d. ( ) Primjer. Derivirajmo fukciju f(). 5 Prikažimo f kao f g h, gdje je h() + 3 h () 5 5 g() 8 g () 8 7. Tada je f () g (h()) h () 8h() ( ) Primjer. Derivirajmo fukciju f() e si. Prikažimo f kao f l g h, gdje je h() si h () cos g() g (), l() e l () e, Tada je f () (l (g h)) () l ((g h)()) (h l) () l ((g h)()) h (l()) l () e si si cos e si si.

9 . DERIVACIJA 9 Primjer. Derivirajmo fukciju f : R \ {} R, f() l. Vrijedi > f() l f (), < f() l( ) f () ( ) pa je f (). Zadatak.4 Koristeći pravilo za derivaciju kompozicije fukcija (chai rule), derivirajte sljedeće fukcije: (a) f() ctg (b) f() + arcsi (c) f() e + (d) f() 3 e + + l 5 (e) f() 5 (f) f() log si (g) f() ( + ) (h) f() l l (3 ) (i) f() arccose (j) f() + (k) f() l ( + e ) l ( + e + ) (l) f() l Rješeje. (a) f () ( )5 ( + ) 3 si ctg (b) f () ( )( + arcsi )

10 . DERIVACIJA (c) f () ( + )e + ( + )e (d) f () e l 3 3 (e + ) + 5 l4 (e) f () 5 l 5 (f) f () tg l ( ) + (g) f () ( ) (h) f () (i) f () e e (j) f () (k) f () (l) f () 4 (3 ) l(3 ) + + e + ( )( + ) Logaritamsko deriviraje Fukciju oblika y() u() v(), gdje je u() > možemo derivirati a sljedeći ači: y() u() v() / l l y() v() l u() / y () y() v () l u() + v() u () u() ( ) y () y() v () l u() + v() u () u() Primjer. Derivirajmo fukciju f(), >. Sjetimo se da je po defiiciji f() e l. Tada je f () e l (l + ) (l + ).

11 . DERIVACIJA Koristeći logaritamsko deriviraje, fukciju možemo derivirati i a sljedeći ači: y() / l l y() l / y () y() l + y () y()(l + ) (l + ). Zadatak.5 Derivirajte sljedeće fukcije pomoću logaritamskog deriviraja: (a) y() (si ) cos, za si > (b) y() 3 e si (c) y(), za > (d) y(), za > ( (e) y() + ) (f) y() ( + )3 4 5 ( 3) Rješeje. (a) (b) y() (si ) cos / l l y() cosl si / y () y() si l si + cos si y () (si ) cos + l si + cos (si ) cos. y() 3 e si / l l y() l 3 + l e + l si / y () y() cos si y () 3 e si ( tg ).

12 . DERIVACIJA (c) y() l y() l y () y() l / l y () ( l ). / (d) y() / l l y() l / y () y() (l + ) l + y () ( (l + ) l + ). (e) ( y() + ) / l ( l y() l + ) / ( y () y() l + ) + ( y () + ) ( ( l + ) ). + (f) y() ( + 4 )3 / l 5 ( 3) l y() 3 l l l 3 / 5 y () y() ( ) 5( 3) y () ( + )3 4 5 ( 3) ( ( ) 5( 3) ).

13 . DERIVACIJA 3 Zadaci za vježbu.6 Derivirajte sljedeće fukcije: (a) f() arcsi (b) f() e (c) f() ( ) 5 arcsi arccos (d) f() si((si ) si ), za si > (e) f() } {{ } korijea + + (f) f() l ( arctg + + arctg ) (g) f() ( ), za > (h) f() (si ) cos + + (si + ) cos (i) f() l cos arcsi.7 Derivirajte sljedeće fukcije: q si +si (a) f() e (b) f() l ( + e + e + e + 4) (c) f() (arcsi ) arctg (d) f() si 3 cos 3 (e) f() l +cos π cos + arcsi l π 3.8 Za koji a R fukcija f() +l l.9 Pokažite da fukcija f() ++l zadovoljava jedakost f () f() a? zadovoljava jedakost f () f()(f() l ).

14 4. DERIVACIJA. Derivacija iverzih i implicito zadaih fukcija Teorem. Neka su I, J R otvorei itervali i eka je f : I J bijekcija, takva da je f eprekida a I i f eprekida a J. Ako je f derivabila u c I i ako je f (c), oda je f derivabila u d f(c) J i (f ) (d) f (c). U Lebizovoj otaciji: d y d d d y. Zadatak. Koristeći teorem o deriviraju iverze fuckije, adite derivaciju fukcija: (a) f() arcsi (b) f() arctg (c) f() l (d) f() Arsh Rješeje. (a) Neka je Tada je g: π, π,, g() si. g :, π, π, g (y) arcsi y pa je po teoremu o derivaciji iverze fukcije (b) Neka je Tada je (f ) (y) f (f (y)) cos (arcsi y) si (arcsi y). y g: π, π R, g() tg. g : R π, π, g (y) arctg y pa je po teoremu o derivaciji iverze fukcije (f ) (y) f (f (y)) cos (arctg y) + tg (arctg y) + y.

15 . DERIVACIJA 5 (c) Neka je Tada je g: R, +, g() e. g :, + R, g (y) ly pa je po teoremu o derivaciji iverze fukcije (d) Neka je Tada je (f ) (y) f (f (y)) e l y y. g: R R, g() sh. g : R R, g (y) Arsh y pa je po teoremu o derivaciji iverze fukcije (f ) (y) f (f (y)) ch (Arsh y) + sh (Arsh y) + y. Zadatak. Zadaa je fukcija f : R R, f() + e. Pokažite da je f ijekcija i izračuajte (f ) ( + l ). Rješeje. f je zbroj dvije strogo rastuće fukcije pa je strogo rastuća iz čega slijedi da je ijekcija. Ako je l, oda je y f() l + pa je po teoremu o derivaciji iverze fukcije (f ) ( + l ) (f ) (y) f () + e + e l 3. Zadatak. Fukcija y y() je zadaa implicito s + y 5. Izračuajte: (a) y (), (b) y (3), ako je y(3) <.

16 6. DERIVACIJA Rješeje. + y 5 + yy y y / d (a) + y() 5 y() ±5 pa je y () y(). (b) y() 5 y(3) ±4 y(3) 4, zbog uvjeta y(3) < pa je y () Zadatak.3 Fukcija y y() je zadaa implicito s Izračuajte y. Rješeje. y + si y. y + si y y + cosyy y cosy / d Zadatak.4 Fukcija y y() je zadaa implicito s y + y 3. Izračuajte y (). Rješeje y + y (y + y) + 3y y y 8y 3 3y 4 / d Iz jedadžbe ademo y() pa je y ().

17 . DERIVACIJA 7 Zadatak.5 Pokažite da fukcija y y() implicito zadaa s arctg y l ( + y ) zadovoljava jedakost y ( y) + y. Rješeje. arctg y l ( + y ) + ( y y ) y + yy + y y ( y) + y / d Zadaci za vježbu.6 Ako je l y y l, izračuajte y ()..7 Ako je y 3 + 3, izračuajte y..8 Izračuajte y () ako je fukcija y y() implicito zadaa jedadžbom (a) (b) l y + y. 3 y 5 + si y 4 + cos y 3 + ch y + y 3e..9 Izračuajte derivaciju fukcije y() implicito zadae (a) jedadžbom ye y e +, u točki, y, (b) jedadžbom y + l y, u točki, y.. Fukcija f : R R zadovoljava e f() + f() e za svaki R. Izračuajte f i f (tj. izrazite ih pomoću f). Specijalo, koliko je f () i f ()?. Fukcija f : R R zadaa je formulom f() : e 3. Pokažite da je f ijekcija i da je + e 8 R f, te odredite (f ) (e 8 + ).

18 8. DERIVACIJA.3 Derivacije višeg reda -tu derivaciju fukcije f ozačavamo s f () ili u Leibizovoj otaciji s d y d. Zadatak. Nadite f () ako je (a) f() ( + ) arctg (b) f() e cos Rješeje. (a) f () arctg + +. (b) f () e si Zadatak.3 Neka je f() ( ) ( + 3) 3. Izračuajte f (6) () i f (7) (). Rješeje. Općeito, za poliom stupja vrijedi g() a + a a + a g () a + ( )a +...a + a g () ( )a + ( )( )a a... g ( ) () ( ) a!a g (k) (), za k +. U ovom slučaju f je poliom 6. stupja i koeficijet uz 6 je 3 pa je f (6) () 6! f (7) ().

19 . DERIVACIJA 9 Zadatak.4 Neka je g: R R dva puta derivabila fukcija takva da je g(), g (), g (). Ako je f() 3 g(), izračuajte f (). Rješeje. f () 3 g() + 3 g () f () 6g() + 6 g () + 3 g () f () 6 g() + 6 g () + 3 g () 7 Zadatak.5 Neka je f() a + b, za a, b R. Odredite f() za N. Rješeje. Dokazat ćemo matematičkom idukcijom da je f () () ( )!a (a + b) +. baza f () a ( )!a. (a+b) (a+b) + korak Pretpostavimo da za eki N vrijedi f () () ( )!a (a + b) +. Tada je po pretpostavci idukcije ( ) ( ) f (+) () (f () ())!a ( )+ ( + )!a +. (a + b) + (a + b) + Matematičkom idukcijom se mogu pokazati i sljedeće formule: (a ) () a l a, za a > (si ) () si( + π ) (cos) () cos( + π ) { sh para (sh ) () ch epara { ch para (ch ) () sh epara ( m ) () m(m ) (m + ) m, za m Z

20 . DERIVACIJA Zadatak.6 Odredite f () () ako je (a) f() l (3 + ) (b) f() + (c) f() (d) f() Rješeje. 3 + (a) f () 3, f () 3,..., f () () ( ) ( )!3 3+ (3+) (3+) (b) f() pa je f () ( ), f () ( ) 3, f () 3 ( ) 4,...,f () () (c) Rastavimo a parcijale razlomke : A + B / ( ) + A( + ) + B( ) + (A + B) + (A B),! ( ) +. odakle dobijemo A + B A B pa je A i B. Sada je ( ) () f () () ( )! ( ) + ( ) () ( + ( ( )! ( + ) ( )! + ) () ( ) + ( + ) + ) (d) Dijelejem polioma 3 + poliomom dobijemo kvocijet + i ostatak 4 + pa je f() 3 + ( + )( )

21 . DERIVACIJA Rastavom a parcijale razlomke dobijemo 4 + A + + B / ( ) 4 + A( + ) + B( ) + (A + B) + (B A), iz čega slijedi A + B 4 B A pa je A 3 i B 3. Dakle, za je ( f () () ) () ( ( )! 3 3 Zadatak.7 Odredite f (9) ako je (a) f() cos 4 + si 4 (b) f() si si si 3 Rješeje. (a) f() (cos +si ) si cos si f (9) () cos( ) 4 + 9π si 4. ( + ) ( ) + ). cos cos (b) f() (si si ) si 3 (cos ( ) cos ( + )) si 3 (cossi 3 cos 3 si 3) (si ( + 3) si ( 3)) si 6 (si 4 + si si 6) pa je ( ( ) f (9) () 4 si 4 + 9π si ( ) + 9π 9 si ( ) 6 + ) 9π (49 cos cos 6 9 cos 6). Za račuaje viših derivacija se poekad koristi Leibizova formula: ( ) (u v) () u (k) v ( k). k k

22 . DERIVACIJA Zadatak.8 Odredite f () () za (a) f() e (b) f() e sh Rješeje. (a) f () () ( e ) () Leibizova formula {( (k) preživi za k,, } ( ) ( ( ) () (e ) ( ) + k ) ( ) () (e ) ( ) + e ( ) + e ( ) + ( ) e ( ( )) ( ) ( ) (k) (e ) ( k) k ( ) ( ) ( ) () (e ) ( ) + e ( ) (b) f() e e e e pa je za 3: f () () ( e ) () Leibizova formula k {( ) (k) preživi za k,, } ( e + e ( ) + 3 e ( ( )). ( ) ( ) (k) (e ) ( k) k e ) Zadatak.9 Odredite f () () za (a) f() 3 si cos (b) f() + Rješeje.

23 . DERIVACIJA 3 (a) f() 3 si f () () (3 si ) () Leibizova formula k ( ) ( 3 ) (k) (si ) ( k) k {( 3 ) (k) preživi za k,,, 3} ( ( 3 si + π ) ( ) + 3 ( )π si + ( ) ( ) ( )π + 6 si + ( ) ) ( )( ) ( 3)π + 6 si + 3 3! Za i dobijemo f () () ( )( ) 3! ( 6 si + ) ( 3)π (b) f () () ( ) () ( + ) Leibizova formula k ( k ) ( + ) (k) (( ) / ) ( k) {( + ) (k) preživi za k, } ( + )(( ) / ) () + (( ) / ) (99) ( ) Izračuajmo (( ) / ) (k) : (( ) / ) (k) ( ) ( ) ( ) (k ) ( ) k ( ) k 3 5 (k ) ( ) k k (k )!! ( ) k k. Dakle, ( ) ( + ) 99!! ( ) + 97!! ( ) 99 97!! ( )

24 4. DERIVACIJA Račuaje derivacija višeg reda pomoću diferecijalih jedakosti Poekad ije teško proaći eku jedostavu diferecijalu jedakost koju fukcija zadovoljava. Zatim se a tu jedakost primijei Leibizov formula. Ovakav ači račuaja se koristi kod račuaja derivacija višeg reda u ekoj uaprijed odredeoj točki, pr. f () (). Zadatak.3 Neka je f() e. Odredite f () (). Rješeje. Proadimo diferecijalu jedakost koju zadovoljava y() f(): y e y e y pa je tražea diferecijala jedakost: y + y. Primijeimo Leibizovu formulu a dobiveu diferecijalu jedakost y + y / ( ), za ( ) y () + () (k) y ( k) k k y () + y ( ) + ( )y ( ) Uvrštavajem u zadju jedakost dobijemo rekurzivu relaciju za y () (): odakle je Imamo dva slučaja k y () () + + ( )y ( ) (), y () () ( )y ( ) (), za. y (k ) (k )y (k 3) () ( (k ))( (k 4))y (k 6) ()... ( (k ))( (k 4)) ( ) y () (), }{{} y () k y (k) (k )y (k ) () ( (k ))( (k 3))y (k 4) ()... ( (k ))( (k 3)) ( ) y () () ( ) k (k )!!. }{{} y()

25 . DERIVACIJA 5 Zadatak.3 Neka je f() arcsi. Odredite f(99) () i f () (). Rješeje. Proadimo diferecijalu jedakost koju zadovoljava y() f(): y arcsi y + y pa je tražea diferecijala jedakost: ( )y + y. Primijeimo Leibizovu formulu a dobiveu diferecijalu jedakost, a zatim uvrstimo : ( )y + y / ( ), za ( ) ( ) ( ) (k) (y ) ( k) k }{{} k y ( k) ( ) k ( k ) () (k) y ( k) ( )y () + ( )( )y ( ) ( )( ) + ( )y ( ) y ( ) + ( )y ( ) / y () () ( )( )y ( ) () ( )y ( ) (). Dakle, vrijedi rekurziva relacija: y () () ( ) y ( ) (), za. Račuamo: 99 y (99) (99 ) y (97) () (99 ) (97 ) y (95) ()... (99 ) (97 ) (3 ) y () () (98!!), }{{} y () y () ( ) y (98) () ( ) (98 ) y (96) ()... ( ) (98 ) ( ) y () (). }{{} y()

26 6. DERIVACIJA Zadaci za vježbu.3 Dokažite da fukcija y() e5 + e zadovoljava jedakost:.33 (a) Odredite f (8) za f(). (b) Odredite f (5) za f() l. (c) Odredite f (5) za f() l. (b) Odredite f za f() 4. y 3y y. (b) Odredite f za f() (si (l ) + cos (l ))..34 (a) Pokažite da fukcija y C cos + C si, gdje su C i C reale kostate zadovoljava diferecijalu jedadžbu: y + y. (b) Pokažite da fukcija y C ch + C sh, gdje su C i C reale kostate zadovoljava diferecijalu jedadžbu: y y..35 Dokažite Leibizovu formulu. (Uputa: matematičkom idukcijom po N.).36 Neka je f() 3 sh. Odredite f () ()..37 Neka je f() 3 +. Odredite f () ()..38 Neka je y() arcsi. Odredite y () (). (Uputa: ( )y y.).39 Neka je y() cos (3 arcsi ). Odredite y () (). (Uputa: ( )y y +9y.).4 Izračuajte f () () i f () () ako je fukcija f zadaa formulom: (a) f() ( si ) 3 (b) f() Arsh (c) f() 3 3 (d) f() e arctg

27 . DERIVACIJA 7 (e) f() 3 ( ).4 Neka je f(). Dokažite: f() + f ()! + f ()!.4 Fukcija P : R R zadaa je formulom + + f() ()!. P() e (e ) (6) Dokažite da je P poliom, odredite mu stupaj i vodeći koeficijet..43 Dokažite da za svaki N i svaku puta derivabilu fukciju f vrijedi jedakost ( ( f ) ) () ( ( ) ) + f(). (Uputa: matematičkom idukcijom po N.)

28 8. DERIVACIJA.4 Tageta i ormala Ako fukcija f ima derivaciju u točki, oda jedadžbe tagete i ormale a graf fukcije f u točki (, y ) (, f( )) glase: t.....y y f ( )( ).....y y f ( ) ( ) Zadatak.44 Točkom T(, ) povucite tagetu a krivulju y 4. Rješeje. Ozačimo diralište s D(, y ) D(, 4 ). Tada je jedadžba tagete t..... y 3 43 ( ). Iz uvjeta T t slijedi odakle dobijemo 4 43 ( ), y 4 ili Stoga imamo dvije tagete kroz točku T: 8 3, y 4 ( 8 3) 4. t.....y t.....y 4 ( ) ( ) Zadatak.45 Dokažite da se tagete a krivulju y povučee u točkama s ordiatom sijeku u ishodištu.

29 . DERIVACIJA 9 Rješeje. Diralište je točka D(, ). Iz uvjeta D Γ f slijedi ili. Izračuamo y 6 (3 + ) i dobijemo jedadžbe tageti: t.....y y ()( ) y t.....y y ( )( + ) y odakle vidimo da se t i t sijeku u ishodištu. Zadatak.46 U proizvoljoj točki krivulje y a l a + a a a a povučea je tageta. Dokažite da odsječak tagete izmedu osi ordiata i točke dirališta ima kostatu duljiu i odredite ju. Rješeje. Ozačimo diralište s D(, y ). Derivacija y je pa je jedadžba tagete y a t y y a ( ). Tageta siječe os ordiatu u točki T(, y + a ) pa odsječak tagete izmedu osi ordiata i točke dirališta ima duljiu d(d, T) ( ) + (y (y + a )) a, koja je kostata.

30 3. DERIVACIJA Zadatak.47 Odredite jedadžbu tagete i ormale u točki T(, ) a krivulju implicito zadau jedadžbom 5 + y 5 y. Rješeje. Primijetimo da je T Γ f. Implicitim derivirajem dobijemo derivaciju: pa je y () y y 54 5y 4. Jedadžbe tagete i ormale su t.....y y ()( ) y y ( ) y y () Zadatak.48 Pod kojim se kutem sijeku tagete a kružicu povučee točkom T(4, )? + y + 4 y Rješeje. Neka je ϕ [, π ] kut izmedu tageti. Sjetimo se da je kut izmedu pravaca s koeficijetima smjera k i k da formulom ϕ arctg k k + k k. Implicitim derivirajem dobijemo y + y Neka je D(, y ) diralište. Tada je jedadžba tagete u točki D: t.....y y + y ( ). Iz uvjeta T t i D Γ f dobijemo i y 3 ± 4 5. Dakle: 3 k y ( ) + y k y ( ) + y

31 . DERIVACIJA 3 pa je ϕ arctg k k + k k arctg 4 5. Zadatak.49 Pokažite da se parabole y y + 36 sijeku pod pravim kutem. Rješeje. Kut izmedu krivulja se defiira kao kut izmedu tageti a te krivulje povučeim u točkama presjeka. Odredimo prvo presjek krivulja: Dakle, točke presjeka su y ± 3. T (, 3) i T (, 3). Implicitim derivirajem dobijemo derivacije: y y i y 6 y. U točki T vrijedi: k y () 3 3 i k y () pa je k k odakle zaključujemo da su tagete okomite. Aalogo se izračua za točku T. Dakle, parabole se sijeku pod pravim kutem. Zadatak.5 Za koje N krivulja y arctg () siječe os pod kutem većim od 89? Rješeje. Vrijedi pa je Dakle, y + ϕ arctg y () + y () arctg y () arctg. ϕ > 89 arctg > 89 > tg

32 3. DERIVACIJA Zadatak.5 Uz koji parametar a R krivulja y a dodiruje krivulju y l? Rješeje. Krivulje se dodiruju u ekoj točki ako imaju zajedičku tagetu u toj točki. Neka je D(, y ) diralište. Iz uvjeta da se D alazi a obje krivulje dobijemo y a y l odakle je a l. S druge strae, jer se tagete podudaraju, specijalo koeficijeti smjera moraju biti isti pa je a. Iz gorje dvije jedakosti dobijemo e pa je a l e. Zadatak.5 Odredite kut pod kojim se sijeku krivulje 3 + y 3 + y 3 + Rješeje. Odredimo presjek krivulja: odakle dobijemo jedadžbu 3 + y 3 + y čije je jedo rješeje. Dijeljejem te jedadžbe s dobijemo jedadžbu + + koja ema realih rješeja. Dakle, i y 3 6. Implicitii derivirajem dobijemo y 3 3y i y 3y

33 . DERIVACIJA 33 pa je k y () 3 3 ( 3 6) k y () 3 ( 3 6) Odavde je ϕ arctg Zadatak.53 Nadite zajedičke tagete a krivulje y y 4. arctg (3 3 36). Rješeje. Stavimo f() i g() 4 te ozačimo s D (c, f(c)) i D (d, g(d)) dirališta tageti a krivulje. Jedadžbe tageti su t.....y f (c) + f(c) cf (c) t.....y g (d) + g(d) dg (d) Tagete se moraju podudarati pa mora vrijediti: pa dobijemo sustav odoso f (c) g (d) i f() cf () g(d) dg (d) f (c) g (d) f (c) c 6 d 4 g(d) f(c) d c c 6 d 4d c + 6c 5. d c Rješavajem gorjeg sustava slijedi d, c i d, c, odakle dobijemo tražee tagete: t.....y + t.....y

34 34. DERIVACIJA Zadaci za vježbu.54 Nadite sve pravce koji prolaze kroz ishodište i sijeku hiperbolu y a pod pravim kutem..55 Zadaa je krivulja y 4. Pokažite da su tagete a tu krivulju u točkama presjeka s koordiatim osima paralele..56 Odredite općeitu formulu za jedadžbu tagete a krivulju implicito zadau s ( ) a + (y y ) b..57 Odredite sve vrijedosti parametra b R za koje je pravac y + b tageta krivulje y Na krivulji y + adite točku u kojoj je tageta paralela s osi apscisa..59 Pokažite da se krivulje familija y 4a 4a, a > y 4b + 4b, b > sijeku pod pravim kutem..6 Pokažite da parabola y a( )( ), a, < presijeca os apscisa u dvije točke pod jedakim kutem..6 Pod kojim se kutem sijeku krivulje: (a) y i y, (b) y si i y cos?.6 Uz koje uvjete a koeficijete a, b, c R je os apscisa tageta a krivulju y a + b + c?

35 . DERIVACIJA Nadite pravac koji je tageta a krivulju y u barem dvije točke..64 Daa je krivulja y e. (a) Nadite jedadžbu tagete a tu krivulju u točki s apscisom a >. (b) Što se dogada s tagetom kada a +?.65 Nadite zajedičke tagete a krivulje y y Odredite kut pod kojim se krivulje y y sijeku u prvom kvadratu.

36 36. DERIVACIJA.5 L Hôpitalovo pravilo Teorem. (L Hôpitalovo pravilo) Neka je I R otvorei iterval (koača ili beskoača), c I (može biti i c ± u slučaju beskoačog itervala I) i eka su f, g: I R derivabile fukcije.. Ako je lim f() lim g(), g f () () za sve I i ako postoji lim c c c g () u R, oda vrijedi f() lim c g() lim f () c g ().. Ako je lim f() ±, lim g() ±, g f () () za sve I i ako postoji lim c c c g () u R, oda vrijedi f() lim c g() lim f () c g (). Zadatak.67 Izračuajte (a) lim si (b) lim cos (c) (d) (e) lim + e lim + l ( + e ) lim + + (f) lim arcsi ctg (g) Rješeje. l lim + (a) lim si (b) lim cos ( ) L H cos lim ( ) L H si lim ( ) L H cos lim

37 . DERIVACIJA 37 (c) (d) (e) lim + e lim + ( e ) L H lim + e ( ) L H 5 4 lim lim l ( + e ) ( ) L H e ( lim lim e (f) lim arcsi ctg ( ) lim arcsi tg (g) l ( ) L H lim lim + + ( ) lim + ( ) L H 3 lim ) L H e lim + L H lim Zadatak.68 Može li se primijeiti L Hôpitalovo pravilo a si lim + + si? Rješeje. Ne možemo primijeiti L Hôpitalovo pravilo, jer limes ( + si ) + cos lim lim + ( si ) + cos e postoji, jer je za π + π i y ( + )π + cos lim lim + cos + lim + + cosy cosy lim + +, + ( ) ( ). cos e cos lim Medutim, + si lim + si lim + si + si. Zadatak.69 Izračuajte ( (a) lim si ( (b) lim ) l ( + ) )

38 38. DERIVACIJA (c) lim + (d) lim + (e) lim ( ) cos π (f) lim + ( + ) Rješeje. ( (a) lim si ) si lim si ( ) L H si lim cos + cos + si ( (b) lim l( + ) ) l ( + ) lim l ( + ) ( ) lim ( + ) l ( + ) + ( ) L H lim l lim l y() lim l ( ) lim lim ( ). + Zbog eprekidosti dobijemo cos si + cos ( ) L H lim + l ( + ) + L H lim l ( + ) + + (c) Neka je y(). Tada je l y() l pa je ( lim y() lim + + el y() e lim + ly() e. ) L H lim + + (d) Neka je y(). Tada je l y() l l lim l y() lim + + Zbog eprekidosti dobijemo ( pa je ) L H lim +. lim y() lim + el y() e lim + ly() e. (e) Neka je y() ( ) cos π. Tada je l y() cos π l( ) pa je lim l y() lim cos π l ( ) ( l ( ) ( ) lim cos π ) lim lim cos π ) π lim ctg π cos π ( si π π cos π π + ctg π ( si π) π si π. ( L H ) L H

39 . DERIVACIJA 39 Zbog eprekidosti dobijemo lim y() lim el y() e lim l y() e. (f) Neka je y() ( + ). Tada je l y() l(+ ) l( + ) ( ) L H lim l y() lim lim Zbog eprekidosti dobijemo lim y() lim + + el y() e lim + ly() e. pa je +. Zadatak.7 Izračuajte (a) lim arcsi arctg 3 (b) lim l l( ) (e) Rješeje. e a lim +, N, a > (a) lim arcsi arctg 3 lim + ( ) 3/ 6 (+ ) ( ) L H lim + 3 l( ) ( (b) lim l l( ) ( ) lim l l ( ) lim L H l l lim (c) ( ) L H ) L H lim e a ( ) lim + L H ae a a e a lim L H... lim + +! + l

40 4. DERIVACIJA Zadaci za vježbu.7 Izračuajte l (a) lim ctg (b) lim (c) lim ch cos (d) lim ( cos) ctg.7 Izračuajte ( (a) lim ) l (b) lim 3 4+l (c) (d) l lim +, N lim +.73 Izračuajte (a) (l ), N ( lim cos ) + (b) lim (si ) tg (c) lim + si si l (d) lim si π.74 Izračuajte + arctg (a) lim arcsi si (b) lim

41 . DERIVACIJA 4 (c) lim π (π ) tg, N l ( + ) (d) lim +, N + e cos.75 Može li se primijeiti L Hôpitalovo pravilo a Izračuajte gorji limes. si lim si?.76 Izračuajte ( (a) lim si ) (b) (c) (d) ( π ) lim + arctg l lim + lim + ( + l e ( ( l + ) + ))

42 4. DERIVACIJA.6 Neprekidost i derivabilost Neprekidost fukcije f : I R u točki c otvoreog itervala I R možemo karakterizirati a sljedeće ačie: f je eprekida u c ako i samo ako ima limes u točki c i vrijedi lim f() f(c). c f je eprekida u c ako i samo ako ima limese slijeva i zdesa u točki c i vrijedi lim f() f(c) lim f(). c c+ Zadatak.77 Odredite λ R takav da fukcija f : R R { e f() +, + λ, < bude eprekida. Je li f derivabila a R? Rješeje. Račuamo: Da bi f bila eprekida, mora vrijediti tj. odakle je λ. Račuamo f() f() lim lim + f() f() lim f() lim ( + λ) λ, lim f() lim + + (e + ). lim f() f() lim f(), + λ, lim + e + lim ( ) L H e lim +, iz čega zaključujemo da f() f() lim e postoji pa f ije derivabila u.

43 . DERIVACIJA 43 Zadatak.78 Dodefiirajte fukciju f u (ako je moguće) tako da dobijete eprekidu fukciju a, +, ako je Rješeje. (a) f() ( + )α, α, (b) f(). (a) Da bi f bila eprekida, mora vrijediti: ( + ) α f() lim f() lim pa defiiramo f() : α. (b) Račuamo: lim f() lim lim f() lim + + ( ) L H α( + ) α lim, pa vidimo da lim f() e postoji pa f e može biti i eprekida u. Defiicija. Neka je k N. Fukcija f je klase C k a otvoreom itervalu I R ako f (k) postoji a I eprekida je a I. Pišemo f C k (I). Napomea. Vrijedi: f derivabila u c f eprekida u c α Zadatak.79 Neka je f : R R { f() Ispitajte: π 4 arctg, sg +, >. (a) eprekidost fukcije f, (b) diferecijabilost fukcije f. Je li f klase C tamo gdje je diferecijabila? Rješeje. f() π 4 +, < arctg, π 4 >.

44 44. DERIVACIJA (a) f je eprekida a,,, i, +. Za vrijedi ( lim f() lim π 4 + ) π 4, pa f ima prekid u. Za vrijedi pa je lim f() lim arctg π lim f() lim lim f() lim + + odakle slijedi da je f eprekida u. arctg π 4, ( π 4 + ) π 4 lim f() lim f() π + 4 f(), Dakle, f je eprekida a,, +. (b), f() arctg f () +, f() π 4 + f (), + f() π 4 + f () u toj točki f ije eprekida pa e može biti i derivabila f() f() arctg π 4 lim lim π f() f() lim lim + π ( ) L H lim +, f je derivabila u i f (). Dakle, f je derivabila a,, + i, < f (), +., Da bi provjerili je li f C (,, + ), dovoljo je provjeriti da je f eprekida fukcija a,, + : f je eprekida a,,, i, +.

45 . DERIVACIJA 45 Za vrijedi lim f () lim lim f () lim + + f () +, pa je f eprekida u. Dakle, f C (,, + ). Zadatak.8 Postoje li a, b R takvi da je f C (R) ako je f() {, a + b, <? Rješeje. Da bi f bila eprekida a R treba vrijediti: lim f() f( ) lim f() + lim f() f() lim f(), + odakle slijedi a + b. f će biti derivabila a R ako vrijedi: f() f( ) lim + lim f() f( ) + f() f( ) lim + + lim + f() f( ), + odakle dobijemo (koristeći uvjet a+b ) da mora vrijediti a i tada je f ( ) i f (). Sada iz a + b a dobijemo a i b 3. Pokažimo da je f C (R). Vrijedi:, f (),,,

46 46. DERIVACIJA odakle se vidi da je f eprekida a R, jer je: lim f () lim, lim f () lim ( ) + + f ( ) i lim f () lim, lim f () lim ( ) + + f (). Zadatak.8 Neka je f() { si,, Dokažite da je f diferecijabila a R. Je li f C (R)?. Rješeje. Za je f () si cos. Još raǔcamo: f() f() lim si jer možemo primijeiti teorem o sedviču a lim si, si kada. Stoga je f derivabila a R i { si f () cos,,. f C (R), jer lim f () a postoji. Npr. za k kπ i y k (k+)π vrijedi lim k + k lim k + y k

47 . DERIVACIJA 47 i lim f( k) lim ( ) k + k + lim f(y k) lim. k + k + Zadatak.8 Ispitajte eprekidost i derivabilost fukcije f() ( ( ) 3 + 6). Rješeje. Fukcija f je eprekida a R kao kompozicija eprekidih fukcija. Vrijedi: ( 5 + 6), < f () ( + 6),. ( 5 + 6), > Ispitajmo derivabilost fukcije f u točkama i : ( ) f() f() ( 5 + 6) 36 lim lim ( ) f() f() ( + 6) 36 lim lim + + L H lim L H lim + ( 5 + 6)( 5) 6 ( + 6)( ) f ije derivabila u f() f() lim lim + f() f() ( + 6) lim lim + ( 5 + 6) 36 ( ) ( ) L H ( + 6)( ) lim L H lim + ( 5 + 6)( 5) f je derivabila u i f (). Dakle, f je derivabila a,, +. Zadatak.83 Neka je f diferecijabila u ekoj okolii točke c i dva puta diferecijabila u c. Dokažite: f(c + h) + f(c h) f(c) lim f (c). h h

48 48. DERIVACIJA Rješeje. f(c + h) + f(c h) f(c) lim h h ( ) L H f (c + h) + f (c h) ( ) lim h h f (c + h) f (c) + f (c) f (c h) h lim lim h [ h f (c + h) f (c) [f (c) + f (c)] f (c). h + f (c h) f (c) h ] Zadatak.84 Riemaova fukcija je fukcija f : R R defiiraa sa, R \ Q f(), m, m Z, N, M( m, )., Dokažite da je f eprekida a R \ Q i da ima prekid u svakoj racioaloj točki. Rješeje. (a) c m, m Z, N, M( m, ) f(c) Uzmimo eki ε > takav da je ε. Tada ( δ > )( δ R \ Q), δ c < δ & f( δ ) f(c) }{{}}{{} ε pa f ima prekid u c. (b) c Uzmimo eki ε > takav da je ε. Tada ( δ > )( δ R \ Q), δ < δ & f( δ ) f() ε }{{}}{{} pa f ima prekid u. (c) c R \ Q Neka je ε > proizvolja. Tada postoji N takav da je ε >. Defiirajmo { m } A : : < c, c +.

49 . DERIVACIJA 49 Tada je A koača skup, jer u itervalu c, c+ ima koačo mogo razlomaka s azivikom iz skupa {,,..., }. Tada je δ : mi{ c p : p A} > i vrijedi m Q, c < δ f() f(c) < ε R \ Q, c < δ f() f(c) < ε Zadatak.85 Ispitajte eprekidost i diferecijabilost Dirichletove fukcije f : R R {, Q f(), Q. Rješeje. Pokažimo da f ima prekid u svakoj točki: (a) c Q Uzmimo ε. Tada (b) c R \ Q ( δ > )( δ R \ Q), δ c < δ & f( δ ) f(c) ε }{{}}{{} Uzmimo ε. Tada ( δ > )( δ Q), δ c < δ & f( δ ) f(c) ε }{{}}{{} Dakle f ije igdje eprekida pa e može biti i diferecijabila. Zadatak.86 Ispitajte eprekidost i diferecijabilost fukcije f : R R {, Q f(), Q. Rješeje. eprekidost Tvrdimo da je f eprekida samo u.

50 5. DERIVACIJA c Neka je ε >. Uzmimo < δ ε. Tada je Q, < δ f() f(c) < δ ε R \ Q, < δ f() f(c) < ε c Q, c Neka je ε c Tada c R \ Q ( δ > )( δ R \ Q), δ c < δ & f( δ ) f(c) c c > c ε Uzmimo ε c 4. Tada ( < δ c )( δ Q), δ c < δ & f( δ ) f(c) δ δ c c δ c }{{} > ε, < c gdje smo iskoristili c c δ + δ δ c c δ. Zadaci za vježbu.87 Odredite λ R takav da fukcija f : R R, < f() λ, +, > bude eprekida. Je li f diferecijabila?.88 Ispitajte eprekidost i derivabilost fukcije f defiirae s { 4 8, 3 f() +, > 3. Je li f C (R)?

51 . DERIVACIJA 5.89 Ispitajte eprekidost fukcije f defiirae a [, + formulom +, f(),. U kojim točkama je f derivabila, a u kojim eprekido derivabila?.9 Neka je f() 3. Dokažite da je f C (R), ali da f () e postoji..9 Neka je f : R R { f() Ispitajte: arctg ( 3), 3 + π sg 3, > (a) eprekidost fukcije f, (b) diferecijabilost fukcije f. Je li f klase C tamo gdje je diferecijabila?.9 Zadaa ja fukcija f : R R, f() { ( a) ( b), a b, iače. Je li f derivabila? Je li f C (R)?.93 Neka je f() { 4 si,,. Dokažite da je f diferecijabila a R. Je li f C (R)? Je li f C (R)? (Odgovori: Da. Ne.).94 Ispitajte eprekidost i derivabilost fukcije.95 Zadaa ja fukcija f : R R, Je li f C (R)? f() f() { + e, < si,.

52 5. DERIVACIJA Ozačimo: f f() f(c) (c) lim c c f + (c) lim c+ f() f(c) c f(c + h) f(c) lim h h lim h + f(c + h) f(c) h, lijeva derivacija fukcije f u točki c, desa derivacija fukcije f u točki c.96 Navedite primjer fukcije f eprekide a [, ] za koju vrijedi Skicirajte je graf i zapišite formulu. f(), f () i f + ()..97 Skicirajte primjer grafa fukcije f eprekide a [, ], koja zadovoljava uvjete f( ), f(), f (), f (), f + () i f ()..98 Neka je f eprekida a a, b te derivabila a a, c i c, b, za eki c a, b. Nadalje, eka postoje lim f () i lim f (). Koristeći L Hôpitalovo pravilo dokažite c c+ tvrdje:. f (c) postoji i vrijedi f (c) lim f (), c. f + (c) postoji i vrijedi f + (c) lim f (). c+ U slučaju da još vrijedi f (c) f + (c), postoji čak f (c) i f je eprekida u c, tj. fukcija f je eprekido derivabila u c..99 Dokažite da za fukciju zadau s { f() si,, e postoji lim f () (iti jedostrai limesi), ali f ima derivaciju u. Dakle, e možemo primijeiti postupak za ispitivaje derivabilosti iz prethodog zadatka.. Je li f defiiraa s derivabila u? f() { ( ) 3, ( + ) 3, >

53 . DERIVACIJA 53. Za odredite f (), ako postoji. f() ( ) 3 U sljedećim zadacima iskoristite sljedeće teoreme: Teorem. (Bolzao-Weierstrass) Neka je f reala fukcija koja je eprekida a segmetu [a, b]. Tada je i f([a, b]) [c, d] segmet. Teorem. (Rolle) Neka je f reala fukcija koja je eprekida a segmetu [a, b], diferecijabila a itervalu a, b i eka je f(a) f(b). Tada postoji c a, b takav da je f (c). Teorem. (Lagrageov teorem sredje vrijedosti) Neka je f reala fukcija koja je eprekida a segmetu [a, b] i diferecijabila a itervalu a, b. Tada postoji c a, b takav da je f(b) f(a) f (c)(b a).. Neka je f : [a, b] [a, b] eprekida fukcija. Pokažite da f ima barem jedu fiksu točku a [a, b], tj. da postoji c [a, b] takav da je f(c) c. [Uputa: Bolzao-Weierstrassov teorem.].3 Ako je f() ( )( )( 3), pokažite da jedadžba f () ima tri reala rješeja i adite itervale u kojima se alaze. [Uputa: Rolleov teorem.].4 Koristeći Rolleov teorem dokažite Teorem. (Cauchyev teorem sredje vrijedosti) Neka su f i g reale fukcije koje su eprekide a segmetu [a, b] i diferecijabile a itervalu a, b. Tada postoji c a, b takav da je (f(b) f(a))g (c) (g(b) g(a))f (c). Specijalo, ako je g(b) g(a) i g (c), tada je f(b) f(a). g(b) g(a) f (c) g (c). [Uputa: Imitirajte dokaz Lagrageovog teorema sredje vrijedosti.]

54 54. DERIVACIJA.5 Neka je f : R R outa derivabila fukcija takva da je f() f () f ( ) (). Pokažite da za svaki R postoji < ϑ < takav da je f() f() (ϑ).! [Uputa: Iskoristite Cauchyev teorem sredje vrijedosti.].6 Koristeći Cauchyev teorem sredje vrijedosti dokažite L Hôpitalovo pravilo: Neka je I R otvorei iterval i c I. Neka su f i g reale fukcije koje su derivabile a I takve da je lim f() lim g(), g (), za sve I \ {c} i da postoji limes c c f () f() lim. Tada postoji lim c g () c g() i vrijedi f() lim c g() lim f () c g ()..7 Pokažite da je Lagrageov teorem sredje vrijedosti specijali slučaj Cauchyevog teorema sredje vrijedosti..8 Koristeći Lagrageov teorem sredje vrijedosti dokažite sljedeće ejedakosti: (a) + < l + (b) y 5 < arctg <, za > ( + ) ( arctg + ) < y, za < < y < y

55 . DERIVACIJA 55.7 Pad i rast. Ekstremi Neka je I R otvorei iterval i f : I R derivabila fukcija. Mootoost fukcije f a itervalu I možemo karakterizirati pomoću derivacije a sljedeći ači: f raste a I f (), I f pada a I f (), I Defiiramo skup stacioarih točaka fukcije f sa S : { I : f () }. Sljedeći kriterij daje karakterizaciju stroge mootoosti: f strogo raste a I f strogo pada a I skup stacioarih točaka S e sadrži iterval i f () >, I \ S skup stacioarih točaka S e sadrži iterval i f () <, I \ S Nuža uvjet za lokali ekstrem je da sljedećim teoremom: Teorem. (Fermat) Ako fukcija f : a, b R ima lokali ekstrem u c a, b i ako je derivabila u c, oda je f (c). Zadatak.9 Pokažite primjerom da obrat u gorjem teoremu e mora vrijediti. Zadatak. Odredite itervale rasta i pada te lokale ekstreme fukcija: (a) f() (b) f() + 6 (c) f() arctg l ( + ) Skicirajte grafove gorjih fukcija. Vrijedi: Teorem. (Bolzao-Weierstrass) Neka je f reala fukcija koja je eprekida a segmetu [a, b]. Tada je i f([a, b]) [c, d] segmet. Dakle, ako je fukcija eprekida a segmetu, oda oa a tom segmetu postiže miimum i maksimum.

56 56. DERIVACIJA Zadatak. Odredite broj realih rješeja svake od sljedećih jedadžbi: (a) , (b) + cos 5 Neka je f : [a, b] R eprekida fukcija. Za toǩu c [a, b] kažemo da je kritiča točka ako vrijedi ešto od sljedećeg: f ije derivabila u c f je derivabila u c i f (c) c a ili c b Zadatak. Odredite globale ekstreme fukcije f : [ 3, 3] R, f() 4. Zadatak.3 Neka je f() Odredite f([ 5, ]). Zadatak.4 Odredite sliku fukcija: (a) f : [, ] R, f() /3 ( ) /3 (b) f : [, ] R, f() e Zadatak.5 U ovisosti o parametru a R odredite broj ultočaka fukcije f() l a. Zadatak.6 Dokažite ejedakosti: (a) 3 3 < si <, za > (b) < l ( + ) <, za > (c) l ( + e ) + arctg e < π, za > Zadatak.7 Žica duljie l > je presječea a dva dijela. Od jedog dijela se savije kružica, a od drugog rub kvadrata. Kako treba presjeći žicu da zbroj povrsia kruga i kvadrata bude miimala? Zadatak.8 Dva hodika širie 3 cm i 35 cm se sijeku pod pravim kutem. Odredite ajveću duljiu takog esavitljivog štapa koji se može preijeti iz jedog hodika u drugi. Zadatak.9 U krug radijusa cm upišite jedakokrači trokut maksimale površie.

57 . DERIVACIJA 57 Zadaci za vježbu. Odredite itervale rasta i pada te lokale ekstreme fukcije zadae formulom: (a) f() + 4, (b) f() l( ) arctg( 3).. Odredite sliku fukcija: (a) f : [, 5 ] R, f() (b) f : [ 5, 5] R, f() U ovisosti o parametru a R odredite broj ultočaka fukcije.3 Dokažite ejedakosti: f() e a. (a) tg > + 3 3, za svaki < < π (b) arctg l ( + ), za svaki > (c) l > ( ), za svaki > + (d) 5 + 6, za svaki >, 5 (e) arctg > arcsi, za svaki >, + (f) l b a < b a, za svake < a < b, ab (g) ( si + )8 3 + ( ) cos , za svaki, π si cos..4 Odredite globale ekstreme fukcije: (a) f : [, ] R, f() e +6+, (b) f : [, 5] R, f() l

58 58. DERIVACIJA.5 Rastavite broj a dva eegativa pribrojika tako da im zbroj korijea bude ajveći..6 U polukružicu polumjera upisa je trapez čija osovica je promjer polukružice. Odredite kut uz osovicu trapeza tako da površia trapeza bude ajveća..7 Na krivulji y ch adite točku ajbližu pravcu y U zemlji MathLad davo je uvede koordiati sustav. Na obali rijeke y alazi se grad A(, ), a dalje od obale je grad C(, ). Odredite a kojem mjestu treba izgraditi pristaište B(b, ), b da bi trasport od A do C preko B bio ajjeftiiji. Pritom je još pozato da je cijea trasporta kopom dva puta veća ego cijea trasporta rijekom..9 Odredite broj realih rješeja jedadžbe ( 3)e a (u ovisosti o parametru a R)..3 Na krivulju y, > povucite tagetu takvu da površia pravokutog trokuta omedeog tom tagetom i koordiatim osima bude miimala. Kolika je ajmaja vrijedost te površie?.3 U elipsu b + a y a b upišite pravokutik ajveće površie..3 Tageta elipse b + a y a b siječe koordiate osi u točkama A i B. Pokažite da je AB a + b..33 U kuglu radijusa cm upišite stožac maksimalog volumea..34 Odredite a R takav da miumum fukcije f() 4 + 4a + a a a segmetu [, ] bude..35 Iz kruga je izreza kruži isječak sa središjim kutem α. Odaberite kut α tako da volume stošca, čiji se plašt dobije savijajem izrezaog dijela bude ajveći..36 U kocku duljie straice a upišite valjak maksimalog volumea, tako da mu prostora dijagoala kocke prolazi središtem..37 (a) Pokažite da za > vrijedi α α + α, kada je < α < α α + α, kada je α < ili α > (b) Koristeći (a) dokažite Yougove ejedakosti:

59 . DERIVACIJA 59 Za a, b > i p, q,, p + q vrijedi: a /p b /q a p + b, kada je p > q a /p b /q a p + b, kada je p < q.38 (Sellov zako loma svjetlosti) Po tzv. Fermatovom pricipu zraka svjetlosti od jede do druge točke putuje tako da je vrijeme putovaja ajmaje moguće. Ako eki medij ima istu strukturu u svakom svom dijelu, oda je putaja zrake svjetlosti pravac. Pretpostavite da imate dva takva medija, kao a sljedećoj slici: A c c α α A Ako su brzie svjetolsti u tim medijima c i c, pokažite da vrijedi Sellov zako: si α si α c c..39 Posuda oblika valjka je postavljea a ravu površiu. Na ekoj visii je apravlje otvor iz kojeg istječe mlaz vode. Odredite visiu a koju treba staviti otvor tako da mlaz dostige ajveći domet, ako zate da je prema Torricellijevom zakou brzia kojom voda istječe daa fomulom gh, gdje je h visia vode izad otvora. (g 9.8m/s ).4 Poliom P stupja s realim koeficijetima zadovoljava P() za svaki R. Dokažite da tada vrijedi i P() + P () + P () P () () za svaki R. [Uputa: Ozačimo lijevu strau s f(). Primijetite da je f() P() + f ().]

60 6. DERIVACIJA.8 Asimptote. Koveksost i kokavost. Ifleksija Pravac y b je horizotala asimptota fukcije f ako je lim f() b ili lim f() b. + Pravac y a + b je kosa asimptota fukcije f ako je Tada je lim (f() (a + b)) ili lim f() a lim ± (f() (a + b)). + i b lim (f() a). ± Ako je a, vidimo da je kosa asimptota zapravo horizotala asimptota. Pravac a je vertikala asimptota fukcije f ako je lim f() + ili lim f() +. a a+ Zadatak.4 Odredite asimptote fukcija (a) f() e (b) f() (c) f() e Neka je I R otvorei iterval i ekaje f : I R fukcija. Kažemo da je f (strogo) koveksa ako vrijedi f(( λ) + λ ) (<) ( λ)f( ) + λf( ), za sve, I, λ [, ]. f (strogo) kokava ako vrijedi f(( λ) + λ ) (>) ( λ)f( ) + λf( ), za sve, I, λ [, ]. Koveksost i kokavost možemo karakterizirati a sljedeći ači: Neka je f : I R dva puta derivabila fukcija a I. Vrijedi f je (strogo) koveksa a I f () (>), za sve I.

61 . DERIVACIJA 6 f je (strogo) kokava a I f () (<), za sve I. Točka a I je točka ifleksije fukcije f ako vrijedi ešto od sljedećeg: postoji δ > takav da je f strogo koveksa a a δ, a i strogo kokava a a, a + δ postoji δ > takav da je f strogo kokava a a δ, a i strogo koveksa a a, a + δ Dakle, u slučaju da je f dva puta derivabila fukcija i ako u a f mijeja predzak, oda je u a točka ifleksije. Odavde vidimo da su kadidati za točke ifleksije ultočke fukcije f. Zadatak.4 Odredite itervale koveksosti i kokavosti i točke ifleksije za fukciju f() e. Zadatak.43 Koliko ajviše ultočaka može imati strogo koveksa fukcija? Zadatak.44 Neka je I R otvorei iterval i f : I R koveksa fukcija. Dokažite da za,..., I vrijedi: ( ) f f( ) f( ). Zadatak.45 Dokažite ejedakosti: (a) ( ) p p p, p >,,..., > (b) si α + si β + si γ 3 3, gdje su α, β i γ kutevi trokuta

62 6. DERIVACIJA Zadaci za vježbu.46 Neka je f : I R koveksa fukcija. Pokažite da je f kokava fukcija..47 Odredite itervale koveksosti i kokavosti i točke ifleksije za fukcije (a) f() 4 3 (b) f() e Dokažite da a grafu fukcije f() + postoje tri točke ifleksije i da sve + leže a jedom pravcu. Odredite jedadžbu tog pravca..49 Dokažite ejedakosti: (a) tg + tg tg ( ) (b) tg tg... tg 44 ( ) 44.5 Ako je koveksa fukcija f : R R omedea, oda je f kostata. Dokažite!.5 Dokažite da ako za koveksu fukciju f : R R vrijedi oda je oa kostata. f() lim lim f() +,.5 Neka je f : a, b R koveksa fukcija. (a) Pokažite da za svaki a, b postoje lijeva i desa derivacija: i da vrijedi f () f + (). f f(y) f() () lim y y (b) Koristeći (a) pokažite da je f eprekida fukcija. i f + f(y) f() () lim y + y

63 . DERIVACIJA 63.9 Isptivaje toka fukcije Kod ispitivaja toka fukcije koristimo sljedeći postupak:. Naći prirodo područje defiicije.. Ispitati simetrije fukcije: parost/eparost, periodičost. 3. Ispitati eprekidost fukcije i aći točke prekida, ako postoje. 4. Naći ultočke fukcije i područja stalog predzaka. 5. Naći itervale mootoosti i točke lokalih ekstrema. 6. Naći itervale koveksosti i kokavosti te točke ifleksije. 7. Naći asimptote. 8. Skicirati graf fukcije. Zadatak.53 Ispitajte tok fukcije Zadatak.54 Ispitajte tok fukcije Zadatak.55 Ispitajte tok fukcije Zadatak.56 Ispitajte tok fukcije f() +. f() e. f() l (cos). f() arcsi +.

64 64. DERIVACIJA Zadaci za vježbu.57 Ispitajte tok i skicirajte graf fukcije: f().58 Ispitajte tok i skicirajte graf fukcije: 3 4. f() ( + )e..59 Ispitajte tok i skicirajte graf fukcije: f() l + l..6 Ispitajte tok i skicirajte graf fukcije: f() Ispitajte tok i skicirajte graf fukcije: f().6 Ispitajte tok i skicirajte graf fukcije: + l. f()..63 Ispitajte tok i skicirajte graf fukcije: f() Ispitajte tok i skicirajte graf fukcije: f() + si..65 Ispitajte tok i skicirajte graf fukcije: f() si..66 Ispitajte tok i skicirajte graf fukcije: f() l ( ) 3.

65 Itegral. Neodredei i odredei itegral Defiicija. Neka je I R otvorei iterval i f : I R fukcija. Primitiva fukcija fukcije f je fukcija F : I R takva da je F () f(), za sve I. Primjer. (a) Za f() pr. imamo F() 7. (b) Za f() 5 pr. imamo F() 6 + π. 6 (c) Za f() pr. imamo F() arctg. + Napomea. (a) Ako je F primitiva fukcija od f, oda je i F +C primitiva fukcija od f, za sve C R, jer je (F() + C) F () + f(). (b) Ako su F i G primitive fukcije od f, oda je (G() F()) G () F () f() f(), za sve I pa postoji C R takav da je G() F() C, tj. G() F() + C. Dakle, čim zamo jedu primitivu fukciju F od f, oda zamo sve primitive fukcije i oe su oblika F() + C, za C R Defiicija. Skup {F + C : C R} svih primitivih fukcija od f zovemo eodredei itegral ili atiderivacija od f i taj skup ozačavamo s f() F() + C. 65

66 66. INTEGRAL Zadatak. Izračuajte eodredee itegrale: (a) (b) (c) 5 (d) 4. Rješeje. (a) C (b) (c) (d) l + C 5 5 l 5 + C C Defiicija. Neka je f : [a, b] R ograičea fukcija. Ako je f Riema-itegrabila, oda reali broj b a f() zovemo odredei itegral. Teorem. Neka je I R otorei iterval i f : I R eprekida fukcija. Ako je c I oda je s defiiraa primitiva fukcija od f. F : I R, F() c f(t) dt, I Teorem. Neka je I R otvorei iterval i f : I R eprekida fukcija. Ako je F primitiva fukcija od f, oda za svaki segmet [a, b] I vrijedi Newto-Leibizova formula: b b f() F(b) F(a) : F() a a Primjer. + arctg π ( 4 π ) π 4

67 . INTEGRAL 67 Zadatak. Izračuajte odredee itegrale: (a) π (4 si 3 cos ) (b) ch + sh 8 (c) Rješeje. (a) (b) (c) π 8 (4 si 3 cos ) π 7 ch + sh π π cos π e e e. π ( (7 si cos ) 3) si π (π ) 7 ( ) π 4. (ch sh )(ch + sh ) ch + sh 8 (ch sh ) ( ) Zadatak.3 Izračuajte itegrale: (a) tg (b) π 4 tg (c) + (d) {}. Rješeje. (a) (b) π 4 tg si cos cos cos cos tg (pogadamo primitivu fukciju) l(cos) l(cos )) (l l ) l. π 4 tg +C. (l(cos π 4 ) (c) + (pogadamo primitivu fukciju) l( +) (l l ) l.

68 68. INTEGRAL (d) {} ( ) + + ( ) ( ) ( ) + ( ) (+) + ( ) ( +) ( +) ( ) + ( ) (+) + +( )... Itegrale sume Pretpostavimo da je f : [a, b] R Riema-itegrabila fukcija. Za svako N eka je ( i ) i pripada ekvidistata subdivizija segmeta [a, b], tj. eka je h : b a te i : a + ih, za i. Nadalje, za N i i eka su ξ,i brojevi iz segmeta [ i, i ]. Pripada itegrala suma S fukcije f je oblika S h i f(ξ,i ) b a f(ξ,i ). i Tada je iz itegralih suma (S ) N od f kovergeta i vrijedi lim S b a f(). (.) Poekad je korista i obrati proces. Naime, pretpostavimo da trebamo izračuati limes ekog iza. Ukoliko uspijemo prepozati da su člaovi tog iza u stvari itegrale sume eke (Riema itegrabile) fukcije, tada možemo upotrijebiti formulu (.), kako bismo ašli limes tog iza. Kao ilustraciju avodimo sljedeći zadatak. Zadatak.4 Izračuajte limese: ( (a) lim ) ( (b) lim ). 4

69 . INTEGRAL 69 Rješeje. (a) Najprije primijetimo da je S : ( ) +. Uočimo da je S zapravo doja Darbouova suma fukcije f : [, ] R defiirae formulom f() :, s obzirom a -tu ekvidistatu subdiviziju segmeta [, ] + : < : < : < < : Naime, fukcija f je strogo padajuća a [, ], pa je m i : mi f() f( i ) [ i, i ] + i + i, i. Kako je f strogo padajuća a [, ], oa je i Riema itegrabila a [, ], pa je prema (.) iz (S ) N kovergeta i vrijedi ( lim ) lim S + l( + ) l. (b) Sličo kao u (a) dijelu zadatka, ajprije primijetimo da je S : ( 4 ( ) ) Takoder uočimo da je S zapravo gorja Darbouova suma fukcije f : [, ] R defiirae formulom f() : 4, s obzirom a -tu ekvidistatu subdiviziju segmeta [, ] : < : < : < < : Naime, fukcija f je strogo rastuća a [, ], pa je M i : ma f() f( i ) [ i, i ] 4 i 4 ( i ), i. Kako je f strogo rasuća a [, ] oa je i Riema itegrabila a [, ], pa je prema (.) iz (S ) N kovergeta i vrijedi ( ) lim lim S 4 arcsi π 4 6.

70 7. INTEGRAL Zadaci za vježbu.5 Izračuajte itegrale: + (a) + (b) ( + 5 ) (c) si (d) + si..6 Izračuajte itegrale: (a) 8 ( ) (b) + (c) / / (d)..7 Izračuajte limese: [ (a) lim ( + ) () ] (b) lim α + α α α+, za α.8 Izračuajte limese: [ (a) lim ] [ ] (b) lim Izračuajte limese: (a) lim (b) lim k ( + ) ( + ) ( + ) k + 4k + 5. Izračuajte koristeći itegrale sume. e

71 . INTEGRAL 7. Metoda supstitucije i metoda parcijale itegracije Zadatak. Izračuajte itegrale koristeći metodu supstitucije: (a) ( 3 + 4) 4 (b) l e e +. Rješeje. (a) ( 3 + 4) 4 [ t dt 6 ] t 4 6 t5 dt 3 + C (3 + 4) 5 + C 3 (b) l [ ] e t e e + + e + dt e l e l + 3 ) 3 dt t t 3 ( 3 Zadatak. Izračuajte itegrale: 3 cos (a) (b) 4 (c) + (d) π cos 4 si 3 Rješeje. (e) e (f) π π si + si (g) π + cos. [ cos t (a) (a) dt ] costdt si t + C si + C (b) (c) 3 4 [ t 4 dt 3 5 [ t + t + dt 3 ( ) + + C + ] ] 5 t dt 3 t3/ 5 5 (t ) dt 3 t3 t + C 3

72 7. INTEGRAL (d) π 35 cos 4 si 3 [ t cos dt si π ] ( ) t t 4 ( t 5 ) dt 5 t7 7 (e) [ ] e t e l (t + ) t dt t + dt t t + dt dt t + t arctg t + C e arctg e + C (f) (g) π [ t + si si + si dt si cos π 3 ( ) π π ] epara fukcija a simetričoj domei + cos Zadatak.3 Neka je f : [ a, a] R Riema-itegrabila fukcija. (a) Ako je f epara, dokažite da je a a f(). t dt 3 t3/ (b) Ako je f para, dokažite da je a a f() f(). a Rješeje. (a) Vrijedi a a a a f() [ t a a dt a a f() pa slijedi tvrdja. ] a a a f( t) dt a f(t) dt, odakle je

73 . INTEGRAL 73 (b) a a a f() a f( t) dt + f() + a a f() f() a f(t) dt + [ t a a dt a a f() ] f(). Zadatak.4 Neka je f : R R eprekida periodiča fukcija s periodom τ >. Dokažite da za sve a R vrijedi Rješeje. Stavimo m : a+τ a f() je a mτ < a + τ. Naime, iz ejedakosti τ f(). a τ, gdje je sa ozačea fukcija ajmaje cijelo. Tada < +, R, slijedi a ( a ) a ( a ) τ mτ τ < τ τ τ + τ a + τ pa je a mτ < a + τ. Sada račuamo a+τ a f() mτ a mτ a f() + f() + a+τ mτ a [ ] t τ mτ (m )τ f() dt a + τ a f(t + τ) dt mτ (m )τ (m )τ [ ] s t (m )τ (m )τ ds dt mτ τ τ f(t) dt τ f(s + (m )τ) ds f(). Zadatak.5 Izračuajte itegral: +π ma { si, cos }.

74 74. INTEGRAL Rješeje. Fukcija ma { si, cos } je periodiča s periodom π/ pa je +π π (si π ma { si, cos } ma { si, cos } ( π ) π 4 ma { si, cos } cos + si π 4 cos π π 4 ) ( + ) π 4 Vrijede formule parcijale itegracije: u() v () u()v() u ()v() (.) i b a u() v () u()v() b a b u ()v() a Poekad se gorje formule zapisuju kao u dv uv v du i b a u dv uv b a b v du. a Zadatak.6 Izračuajte itegrale koristeći metodu parcijale itegracije: Rješeje. (a) (b) e l (a) e [ u du dv e v e [ u l du dv v ] (b) ] e l l. + e e ( ) + C l + l

75 . INTEGRAL 75 Zadatak.7 Izračuajte itegrale: (a) l ( + ) (b) π e si (c) l (d) arctg. Rješeje. (a) l ( + ) l + [ u l( + ) du + dv v + ] l ( + ) l + arctg l + π + (b) (c) (d) π e si [ u si du cos dv e v e ] e si [ ] u cos du si dv e v e e π/ e cos e π/ + π e si π π e si eπ/ + [ ] u l du l l dv v [ ] u arctg du arctg + arctg dv v arctg d( ) + arctg l ( + ) + C π π π e cos e si l + C + Napomea. Promotrimo sljedeći primjer [ ] u sh du ch e sh dv e v e e sh e ch [ ] ( ) u ch du sh dv e v e e sh e ch e sh

76 76. INTEGRAL e (sh ch ) + e sh Dakle, imamo e sh e (sh ch ) + e sh. (.3) Ako s lijeve i dese strae gorje jedakosti oduzmemo e sh dobit ćemo da je e (sh ch ), tj. sh ch što je očito kotradikcija. U čemu je problem? Problem je astupio pri doslovoj iterpretaciji formule (3.3). Naime, eka je I otvore iterval i f : I R fukcija koja ima primitivu fukciju F : I R. Neodredei itegral f() fukcije f je po defiiciji klasa ekvivalecije F() + C : [F] fukcije F po relaciji, gdje je defiiraa a skupu D(I) svih derivabilih fukcija a I s G H : G H (G H) ( c R)( I)(G() H() c). Eksplicito, f() : F() + C { F() + c : c R}. Zbog toga bi formulu (3.3) precizije trebali zapisati u sljedećem obliku u()v () (u()v() + C) u ()v(). Dakle, jedakost (.3) je jedakost klasa ekvivalecija (tj. jedakost pripadih skupova), pa jedio što iz je možemo zaključiti je e (sh ch ) + C + C, tj. { e (sh ch ) + c : c R} { c : c R}. Odavde specijalo slijedi da postoji kostata c R takva da je e (sh ch ) c, za sve R. Direktim račuom možemo provjeriti da je to uistiu tako, te da je tražea kosstata c.