Capitolul 9. Transformata Laplace. 9.1 Transformata Laplace

Capiolul 9 Tranformaa Laplace 9. Tranformaa Laplace Ideea de bază acalculuioperaţional conăîn inroducerea ranformărilor inegrale. Avanajul aceei meode conă în aceea că reduce rezolvarea unor ecuaţii diferenţiale au ieme de ecuaţii diferenţiale larezolvareaunorecuaţii algebrice au ieme care, cel puţin din punc de vedere eoreic, un mai uşor de analiza. Tranformaa Laplace ee o meodă alernaivăcarepoaefi aplicaă penru rezolvarea ecuaţiilor diferenţiale udiae în capiolul anerior. Vom defini o claă de funcţii, claa funcţiilor original, noaă cuo şi fiecărei funcţii din O îi vom aocia ranformaa ei Laplace care ee o funcţie imagine şi face pare din mulţimea funcţiilor imagine, I. Se poae demonra că aceaă aociere ee inverabilă şi permie un ranfer de operaţii, afel încâ unor operaţii aupra funcţiilor din O ă le corepundă operaţii maiimple înre imaginile lor Laplace. Rezolvarea unei ecuaţii diferenţiale cu ajuorul ranformaei Laplace implică rei eape:. ecuaţia diferenţială, cu oluţii înmulţimea funcţiilor imagine, ee ranformaăînr-o ecuaţie algebrică;. e rezolvă ecuaţia algebricăîn mulţimea funcţiilor imagine; 3. oluţia ecuaţiei algebrice, care ee o funcţie imagine, ee ranformaă înr-o funcţie original. Definiţia 9. Ofuncţie f : R R(C) e numeşe funcţie original dacă: (i) f() =, <; (ii) pe orice inerval fini, f are cel mul un număr fini de diconinuiăţi iar în puncele de diconinuiae exiă limie laerale finie. (iii) f are cel mul o creşeredeipexponenţial, adicăexiădouă conane reale M şi α afel încâ: f() Me α,>. (9.) 33

34 CAPITOLUL 9. TRANSFORMATA LAPLACE Obervaţia 9. Condiţia (i) ee naurală şi corepunde fapului că mule funcţii de imp (emnale) devin emnificaive din punc de vedere fizic începând de la un anumi momen de imp (ale = ). Din condiţia (ii) rezulăcă f ee inegrabilă pe orice inerval compac. Obervaţia 9. Dacă f : R C şi f = f + if, aunci f ee, prin definiţie, coninuă pe porţiuni dacă f şi f au aceaă proprieae; în plu, penru orice a<b: Z b a f()d = Z b a f ()d + i Z b a f ()d. Obervaţia 9.3 Dacă funcţia f = f() aiface(9.)penruα R, aunci aceaă inegaliae va fi aifăcuă penru orice C cu Re >α.noăm cu =inf{α R : f() Me α,>} şi e numeşe abciă deconvergenţă(indicedecreşere au indice). Noăm cu θ funcţia θ : R R, θ() = funcţia lui Heaviide. ½, dacă <,, dacă,, numiă reapa uniae au Obervaţia 9.4 Dacă f : R R ee o funcţie elemenară coninuă (de exemplu f() = e a,f() =in, f() funcţie polinomială) aunci fθ îndeplineşe condiţiile (i) şi (ii). Dacă exiă β afelîncâ lim f()e β =, aunci ee îndepliniă şi condiţia (iii). Exemplul 9. Funcţia f : R R, f() = cu =. ½, dacă / (, ),, dacă (, ), ee o funcţie original Exemplul 9. Funcţia lui Heaviide ee o funcţie original cu =. Funcţia f : R R, f() =e a θ() ee o funcţie original cu abcia de convergenţă egală cu max {a, }. Funcţia f : R R, f() =e θ() nueeofuncţie original deoarece nu ee aifăcuă condiţia (iii).h Definiţia 9. Fie f O ofuncţie original cu abcia de convergenţă. Fie = { C, Re }. Funcţia F : C, definiă prin F () = e f() d (9.) e numeşe ranformaa Laplace a funcţiei f au imaginea prin ranformarea Laplace afuncţiei f şi e noează F () =L{f()}(). Noaţie. Funcţiile original un noae cu liere mici, f, g,..., funcţiile imagine cu lierele mari corepunzăoare F, G,... Funcţiile original depind de variabila independenă iar cele imagine de variabila independenă.

9.. TRANSFORMATA LAPLACE 35 Teorema 9. Fie f O ofuncţie original cu abcia de convergenţă şi noăm = { C, Re }. Aunci penru orice, inegrala improprie (9.) ee abolu convergenă. Demonraţie. Conform Definiţiei 9., exiă două conane reale M şi afel încâ: f() Me, >. Fie, = λ + iμ, rezulă că f()e = f()e (λ+iμ) = f()e λ e iμ, deci f()e f() e λ Me ( λ),. (am foloi fapul că e iμ =, R). Aplicând crieriul de comparaţie de la inegrale improprii, ee uficien ă obervăm că inegrala e ( λ) d = e( λ) λ ee convergenă penru λ =Re, având valoarea. Reţinem, în plu,că λ Z F () = e f() d = A lim e f() d A M. (9.3) λ Obervaţia 9.5 Din relaţia (9.3) rezulă cădacă f O şi F () =L{f()}() aunci F () =. lim Re Calculul ranformaei Laplace e poae face cu ajuorul definiţiei, dar ace lucru e realizeazăpenrufuncţii elemenare, în re e aplică o erie de rezulae denumie eoremele ranformaei Laplace. Exerciţiul 9. Să e calculeze ranformaa Laplace a lui f() =e a θ(). Rezolvare. L{e a θ()}() = e e a d = e ( a) d = e ( a) a = a penru Re > a.penru a = obţinem ranformaa Laplace a funcţiei Heaviide L{θ()}() = e d = penru Re >.H Exerciţiul 9. Să e½calculeze ranformaa Laplace a funcţiei:, dacă / [, ], f : R R,f() =., dacă [, ] Rezolvare. L{f()}() = Z e d = ( e ).H

36 CAPITOLUL 9. TRANSFORMATA LAPLACE 9.. Proprieăţi ale ranformaei Laplace Problema pe care o punem în coninuare ee dacă ranformaele Laplace ale diferielor funcţii care vor apărea în aplicaţii le vom puea calcula pornind de la definiţie de fiecare daă. Răpunul ee negaiv. Vom obţine noi ranformae plecând de la unele cunocue şi foloind unele proprieăţi şi eoreme legae de ranformaa Laplace pe care le vom prezena în coninuare. Teorema 9. (Proprieaea de liniariae a ranformaei Laplace) Tranformaa Laplace ee o funcţie liniară, adică f,g O iar α, β C aunci = α L{αf()+βg()}() =αl{f()}()+βl{g()}(). Demonraţie. Înr-adevăr, L{αf() +βg()}() = e f() d + β e g() d = αl{f()}()+βl{g()}(). e (αf()+βg()) d = Exerciţiul 9.3 Ca aplicaţie a proprieăţii de liniariae ă e calculeze ranformaa Laplace afuncţiei f() =(in)θ(). Rezolvare. L{(in )θ()}() = e in d = e (e i e i )d = i i( + i) =, penru Re >. Analog e obţine L{(co )θ()}() = + Re >.H i( i) + penru Teorema 9.3 (Teorema aemănării) Dacă f O şi F () =L{f()}() penru Re > aunci penru R + are loc relaţia penru Re >. L{f()}() = F ( ) (9.4) Demonraţie. Facem chimbarea de variabilă = τ în inegrala urmăoare e f() d = e τ f(τ)dτ = F ( ). Exerciţiul 9.4 Ca o aplicaţie a eoremei aemănării calculăm ranformaa Laplace a funcţiei f() = in()θ().

9.. TRANSFORMATA LAPLACE 37 Rezolvare. L{in()θ()}() = L{in θ()}( )= +. Analog obţinem L{co()θ()}() = L{(co ) θ()}( )= +.H Teorema 9.4 (Teorema deplaării) Dacă f O şi F () =L{f()}() penru Re > aunci penru λ C şi Re > Re λ are loc relaţia L{e λ f()}() =F ( + λ). (9.5) Demonraţie. Obervăm că dacă f O e λ f O în careλ ee un număr real au complex, fixa. Dacă f() Me α, > aunci e λ f() Me λ e α, >şi rezulă că indicele de creşere al funcţiei e λ f() ee Re λ. În adevăr, avem e e λ f() d = e (+λ) f() d = F ( + λ) valabilă penru Re > Re λ. Exerciţiul 9.5 Ca aplicaţie a eoremei deplaării, ă e calculeze ranformaa Laplace a funcţiei f() =e λ in()θ(). Rezolvare. L{e λ in()θ()}() =L{in()θ()}( + λ) = Analog L{e λ co()θ()}() = + λ ( + λ) +.H ( + λ) +. Teorema 9.5 (Teorema înârzierii argumenului) Dacă f O şi F () =L{f()}() penru Re > aunci penru R + are loc relaţia Cu chimbarea de vari- Demonraţie. Obervăm că f() = abilă = τ, obţinem: L{f( )}() = L{f( )}() =e F (). (9.6) e f( ) d = e ½, dacă <, f( ), dacă. e τ f(τ) dτ = e F (), penru Re >. Exerciţiul 9.6 Ca aplicaţie a eoremei înârzierii argumenului, ă e calculeze ranformaa Laplace ½ a funcţiei, dacă <, f() = in( ), dacă. Rezolvare. L{f()}() =e L{in θ()}() =e +.H

38 CAPITOLUL 9. TRANSFORMATA LAPLACE Teorema 9.6 Dacă f O şi ee o funcţie periodică deperioadă T>, aunci L{f()}() = e T Z T e f() d. Demonraţie. Înr-adevăr, L{f()}() = e f() d = lim n iar cu chimbarea de variabilă τ = kt obţinem L{f()}() = lim n " X = # Z T e T k k= nx Z T k= e τ f(τ) dτ = e (τ+kt) f(τ + kt) dτ = lim n Z T e T e f() d. Exerciţiul½ 9.7 Să e calculeze ranformaa Laplace a funcţiei, dacă <, f() = in, dacă. Rezolvare. F () = Z π e in d= e π nx k= nx e T k k= Z T Z (k+)t kt e f() d, e τ f(τ) dτ = +e π = π ch e π + +.H Teorema 9.7 (Derivarea originalului). Dacă f ee o funcţie coninuă penru > şi f,f O cu abciele de convergenţă,repeciv, aunci L{f ()}() =F () f( + ), penru Re >max {, }. (9.7) în caref ee imaginea lui f, iarf( + ) ee limia la dreapa a funcţiei f în puncul =. Demonraţie. Puem crie L{f ()}() = e f () d =[e f()] Z + e f() d aplicând inegrarea prin părţi. Deoarece penru Re > uficien de mare, avem: lim e f() =şi în mod eviden lim e f() =f( + ) rezulă că formula (9.7) ee & demonraă. Obervaţia 9.6 Trebuie înă ublinia că aceaăformulănueeadevăraă dacă f are diconinuiae înr-un punc >. În adevăr, în ace caz ar rebui ă criem e f () d = e f () d + e f () d =

9.. TRANSFORMATA LAPLACE 39 Z =[e f()] + e f()d+[e f()] + R e f()d= = F () f( + ) e (f( +) f( )), iar diferenţa din ulima paraneză ee6= şi e numeşe alul funcţiei în puncul >. Se noează σ = f( +) f( ). Obţinem: L{f ()}() =F () σ e. Exerciţiul 9.8 În ipoeza că f şi f un funcţii original, iar f are diconinuiae în puncele > şi >, ă e calculeze imaginea lui f,în rapor de imaginea lui f. Rezolvare. Noând cu σ şi σ alurile funcţiei f în puncele, repeciv,vomgăi L{f ()() =F () f( + ) σ e σ e.h Teorema 9.8 Dacă f şi primele ale n derivae un funcţii original, iar f şi primele n derivae un coninue penru >, aunci are loc formula L{f (n) ()}() = = n F () n f( + ) n f ( + )... f (n ) ( + ) f (n ) ( + ). (9.8) Demonraţie. Demonraţia e face prin inducţie. Penru n = eobţine formula (9.7). Preupunem formula adevăraă penruk şi o demonrăm penru k +. L{f (k) ()}() = k F () k f( + ) k f ( + )... f (k ) ( + ) f (k ) ( + ). Dar, aplicând Teorma n 9.7 funcţiei f (k) () obţinem: f L{f (k+) ()}() =L (k) () o () =L{f (k) ()}() f (k) ( + )= = k F () k f( + ) k f ( + )... f (k ) ( + ) f (k ) ( + ) ª f (k) ( + ), care reprezină ocmairelaţia (9.8). Obervaţia 9.7 Formula precedenă poae fi uşor memoraă, dacă e ţine eama că în parea dreapă apar puerile decrecăoare ale lui şi ordinele de derivare ale funcţiei f crec afel încâ uma lor ă fie n. În cazul paricular f( + ) = f ( + ) =... = f n ( + ) =, avem L{f (n) ()}() = n F () în caren ee un număr naural oarecare. În ace caz, e mai poae pune că derivareade n ori a originalului are ca efec înmulţirea imaginii cu n. Teorema care urmează ne va arăa ce efec are aupra imaginii inegrarea originalului.

4 CAPITOLUL 9. TRANSFORMATA LAPLACE Teorema 9.9 (Inegrarea originalului) Dacă f O şi F () =L{f()}() penru Re > aunci Mai general, L{ d L{ d... f(u) du}() = F (). (9.9) Z n f( n )d n }() = F (), (9.) n adică inegrarea repeaă den ori a originalului are ca efec împărţireaimaginiialecu n. Demonraţie. Noăm f() =g () g() = f(u)du, g() = Înlocuindu-l pe f în relaţia (9.7) obţinem L{g ()}() =L{g()}() L{f()}() =L{ f(u)du}() L{ f(u)du}() = F (). Concluzie: inegrarea originalului are ca efec împărţirea imaginii prin. Aplicând încă odaăeorema,obţinem: L{ d f( )d }() = F (). Prin inducţie e obţine relaţia (9.). Exerciţiul 9.9 Să e calculeze originalul funcţiilor F () = ( + ) şi G() = ( + ). Rezolvare. Şim că L{(in ())θ()} () = conform exerciţiului 9.4. Rezulă, + conform eoremei de inegrarea a originalului, că ( + ) = Z L{(in ())θ()} () =L (in (u)) du () f() = (in (u)) du = θ() (co (u)) = ( co ())θ().

9.. TRANSFORMATA LAPLACE 4 Conform eoremei de inegrarea a originalului puem obţine, în coninuare, ( + ) = ( + ) = ½ ¾ Z L ( co ) () = ( co (u))du () g() = ( co (u))du = θ() in (u) (u ) 9.. Produul de convoluţie = in ( )θ().h Produul de convoluţie eelegadeinmulţirea ranformaelor Laplace. Adunarea ranformaelor Laplace nu ridică probleme. Sim că L{f() + g()} () = L{f()} ()+L{g()}(). Înmulţirea ranformaelor Laplace apare adeea în rezolvarea ecuaţiilor diferenţiale. De mule ori cunoaşem L{f()} () şi L{g()} () şi dorim ă aflăm funcţia acărei ranformaă Laplace ee L{f()} () L{g()}(). Am puea preupune că eef()g(), dar ee fal. În general L{f()g()} () 6= L{f()} () L{g()}(). Penru a confirma aceaa coniderăm f() = e θ(),g() = e θ(),f()g() = e 3 θ(), L{f()g()} () = 3, L{f()} () =, L{g()} () =. Rezulă L{f()g()} () = 3 6= = L{f()} () L{g()}(). Definiţia 9.3 Se numeşe produ de convoluţie adouăoriginalef şi g, noaf g, funcţia definiă prinrelaţia (f g)() = f(u) g( u) du = f( v) g(v) dv (9.) penru orice R +. Ee evidenă comuaiviaea produului de convoluţie, adică avem f g = g f penru orice pereche de funcţii original făcând chimbarea de variabilă u = v. De aemenea e poae demonra că f g ee o o funcţie original, obervând că eeconinuăşi are o creşere de ip exponenţial. Imporanţa noţiunii de produ de convoluţie ee puă în evidenţă de urmăoarea eoremă Teorema 9. (Imaginea produului de convoluţie a două originale-teorema lui Borel) Dacă f,g O abcia de convergenţă repeciv şi cu imaginile F, repeciv G, aunci penru Re >max {, } L{(f g)()}() =L{f()} () L{g()} () =F () G() (9.)

4 CAPITOLUL 9. TRANSFORMATA LAPLACE Demonraţie. Pornind de la definiţia ranformaei Laplace aplicaă produului de convoluţie şi ţinând eama de chimbarea ordinii de inegrare pe domeniul D ee domeniul (nemărgini) din planul variabilelor independene şi u, haşura în figura de mai jo şi făcând chimbarea de variabilă u = v obţinem: L{(f g)()}() = e (f g)() d = e = = g(u) τ e u g(u) e f( u)d dτ = e v f(v)dv du = g(u) f( u) g(u) du d = e (u+v) f(v)dv du = e u g(u)f ()du = F ()G(). adică ocmai ceea ce rebuia demonra. Conţinuul aceei eoreme poae fi reda afel: imaginea produului de convoluţie a două funcţii ee produul imaginilor funcţiilor au ranforma Laplace a produului de convoluţie a două funcţii ee produul ranformaelor Laplace a celor două funcţii. Exerciţiul 9. Să e calculeze originalul funcţiilor F () = ( a) şi G() = ( + ). Rezolvare. Şim că a = L e a θ() ª (), = L{θ()} (). Conform eoremei lui Borel F () = ( a) = L e a θ() ª ()L{θ()}() =L e a θ() θ() ª (). Rezulă că f() = e a( u) θ( u)θ(u)du = e a( u) du = a ea( u) θ() = a (ea )θ(). ½ ¾ ½ ¾ G() = ( + ) = + in () in () + = L θ() ()L θ() () = ½µ µ ¾ in () in () = L θ() θ() (). Z in (( u)) in (u) in (( u)) Rezulă că g() = θ( u) θ(u)du = in (u) du = = = co ( u) co du = in ( u) u co () θ() = in () co θ().h

9.. TRANSFORMATA LAPLACE 43 Teorema 9. (Derivarea imaginii) Dacă f O şi F () =L{f()}() penru Re > aunci În general, penru orice n N are loc relaţia L{ f()}() =F () (9.3) L{( ) n f()}() =F (n) () (9.4) Demonraţie. Deoarece funcţia h(, ) =e f() ee coninuăîn variabilele şi, exiă şi ee coninua h şi h(, ) e ( a) M şi h (, ) e ( a) M aunci funcţia F ee derivabilăîn rapor cu (admie chiar derivae de orice ordin) şi în plu F () = d Z e f() d = d (e f()) d = ( )e f() d = L{ f()}(). Prin inducţie e demonrează relaţia (9.4). Exerciţiul 9. Să e calculeze ranformaa Laplace a funcţiilor n e a θ(), n θ(), n N şi α θ(), α R. Rezolvare. L{ n e a θ()}() =( ) n L{( ) n e a θ()}() = dn d n L{ea θ()}() = µ = dn n! = penru Re >a. d n a ( a) n+ În paricular, luând a = în relaţia precedenă regăim rezulaul din exemplul??, obţinem: L{ n θ()}() = n! penru Re >. n+ În general, L{ α Γ(α +) θ()}() = penru Re >, α+ unde Γ :(, ) R definiă prinrelaţia Γ(α) = α e d e numeşe funcţia Gamma. Subliniem proprieaea funcţiei Gamma Γ(α + ) = αγ(α), α R, deunderezulăcădacă α = n N aunci Γ(n +) = n! (funcţia Gamma generalizează facorialul).h Teorema 9. (Inegrarea imaginii)dacă f O şi F () =L{f()}() penru Re > şi f() O, aunci ½ ¾ f() L () = F (p)dp. (9.5)

44 CAPITOLUL 9. TRANSFORMATA LAPLACE Demonraţie. Fie g() = f(), >, deci f() = g(). Conform eoremei derivării imaginii, rezulă L{f()} () =L{g()} () = L{( )g()} () = d d L{g()} (). (9.6) Dacă noăm L{f()} () =F () şi L{g()} () =G(), din (9.6) rezulă că F () = G (). Inegrând de la la, obţinem: G (p)dp = F (p)dp, foloind rezulaul obervaţiei 9.5 rezulă (9.5). F (p)dp lim p G(p) G() = Teorema e poae formula afel: inegrarea funcţiei imagine corepunde unei împărţiri prin a funcţiei original. Exerciţiul 9. Să e deermine ranformaa Laplace a funcţiilor in θ() şi penru >. Rezolvare. ½ ¾ in L θ() () = = π arcg. in u ³ π L u du () = arcg.h L{(in )θ()} (p)dp = Exerciţiul 9.3 Să e deermine originalul funcţiei: F () = ln µ+. in u u du p + dp = arcg p = Rezolvare. F () = d µ ln µ+ = µ d + = 3 ( + ). Dar, ½ ¾ conform exerciţiului 9.9, L ( co ) () = ( + ), rezulă că ( + ) = ½ ¾ ( co ) L{( co )} () = F () = p (p + ) = L () f() = ( co ) θ().h

9.. TRANSFORMATA LAPLACE 45 Teorema 9.3 (Teorema valorii iniţiale) Dacă f() =(a + a + a 3 + )θ() are ranformaa Laplace F () = a + a +!a 3 +, dezvolările fiind convergene în jurul lui =şi repeciv = şi dacă exiă 3 lim f(), lim F (), aunci lim F () =f( + ). & Demonraţie. Înr-adevăr, lim F () =a şi lim & f() =a. Exemplul 9.3 Verificaţi eorema valorii iniţiale penru funcţia f() =5+co3. Obervăm că lim f() =7,F() = 5 & + +9, lim F () = lim (5 + +9 )=7. Teorema 9.4 (Teorema valorii finale) Dacă f O şi f O şi exiă L =lim f(), aunci Demonraţie. Inegrând prin părţi obţinem relaţia: e f () d = F () f( + ) de unde, făcând pe rezulă f () d =lim F () f( + ) deci rezulă (9.7). lim F () =L. (9.7) Exemplul 9.4 Verificaţi eorema valorii finale penru funcţia f() =3e 4. Obervăm că lim f() = lim 3e 4 =,F() = 3 +4, lim F () = lim 3 +4 =. 9..3 Tranformaele Laplace ale funciilor elemenare Denumirea funcţiei f() F () Impul uniar (Dirac) δ() Treapa uniae θ() Funcţia polinomiala n n! θ() n+

46 CAPITOLUL 9. TRANSFORMATA LAPLACE Funcţia exponenţiala Semnale armonice Armonice modulae în ampliudine Semnale polinomiale modulae Semnale hiperbolice Semnale hiperbolice modulae e a θ() in()θ() co()θ() e a in()θ() e a co()θ() e a n θ() h()θ() ch()θ() e a h()θ() e a ch()θ() a + + ( + a) + + a ( + a) + n! ( + a) n+ ( + a) + a ( + a) 9..4 Invera ranformaei Laplace Problema care e pune în coninuareeedeadeerminafuncţia original dacă ecunoaşe funcţia imagine, iar rezolvarea a e bazează pefapulcăînre mulţimea originalelor şi mulţimea imaginilor exiă o corepondenţă biunivocă. Dacă F () = L{f()} () aunci f() enumeşe invera ranformaei Laplace au originalul funcţiei imagine F () şi e noează f() =L {F ()} (). De exemplu dacă L{θ()} () = aunci θ() =L ª (). Analog dacă L{(in )θ()} () = aunci (in )θ() + =L +ª (). Inverele ranformaelor Laplace (originalele) funciilor elemenare F () =L{f()} () f() =L {F ()} () δ() θ() n! n θ() n+ a + + e a θ() (in()) θ() (co()) θ()

9.. TRANSFORMATA LAPLACE 47 F () =L{f()} () f() =L {F ()} () (e a in()) θ() ( + a) + + a (e a co()) θ() ( + a) + n! (e a n ) θ() ( + a) n+ (h()) θ() (ch()) θ() (e a h()) θ() ( + a) + a (e a ch()) θ() ( + a) Deerminarea orginalelor unor funcţii imple cu ajuorul abelului. Exemplul½9.5 Să¾ e deermine originalele funcţiilor de mai jo, uilizând abelul: a) L () =e 3 θ (), 3 ½ ¾ ( ) b) L () =L 3 () = e 3 3 θ (), ½ ¾ ½ ¾ ½ c) L () =L 3 3 () = +3 3( +3 3 ) L ½ ¾ ½ ¾ +3! d) L () = 3! L () = θ (), ¾ 3 () =e 3 θ (). e) L ½ 3! ( ) 4 ¾ () = (in 3) θ (), 3 Deerminarea originalului foloind decompunerea în fracţii imple a funcţiei imagine. Să deerminăm originalul imaginii F () = P ()/Q(), în carep şi Q un polinoame în variabila şi gradul numărăorului ee mai mic decâ gradul numiorului uilizând decompunerea înfracţii imple. Rericţia aupra gradelor celor două polinoame ee impuă de cerinţa ca F () când. O funcţie care ee raporul a două polinoame e numeşe fracţie raţională. Aşadar, dacă preupunem că Q are decompunerea Q() =( ) n ( ) n...( m ) n m în care i 6= j penru i 6= j, eşie că are loc o decompunere unică deformaurmăoare P () Q() = A ( ) n + A ( ) n +...+ A n +...

48 CAPITOLUL 9. TRANSFORMATA LAPLACE în careermeniicenuaufocrişi corepund rădăcinilor, 3,..., m.dupăînmulţirea ideniăţii precedene cu ( ) n e obţine ideniaea ( ) n F ()=A +A ( )+...+A k ( ) k +...+A n ( ) n +... în care ermenii necrişi conţin ( ) n şi nu au ingulariae în puncul =. Prin recere la limiă penru,aflăm coeficienul A. Apoi, prin derivări ucceive, făcând,aflăm oţi coeficienţii A i,cui =,n. Deci, vom avea A k = care, în cazulk =,eobţine (k )! lim (( ) n F ()) (k ), k =,n A = lim ( ) n F () Coeficienţii ermenilor necrişi e află în mod aemănăor. Noând cu f originalul fracţiei raţionale F,vomavea f() = A (n )! n e A + (n )! n e +...+ A n e +... (9.8) în care ermenii necrişi reprezină conribuţia celorlale rădăcini ale polinomului Q() în expreia funcţiei f = f(). Dacă Q are oae rădăcinile imple, adică dacă decompunerea ee de forma unde şi deci vom avea, în ace caz Q() =( )( )...( m ) P () Q() = A + A +...+ A m m A i = lim i (( i ) P () Q() = P ( i) Q ( i ), i =,m f() = mx i= P ( i ) Q ( i ) e i, > Exemplul 9.6 Să e deermine originalele funcţiilor de mai jo, uilizând decompunerea în fracţii imple: a) F () = 4 5

9.. TRANSFORMATA LAPLACE 49 4 5 = 4 5 ( +)( ) = 3 + + ½ ¾ L () =e θ (), ½ +¾ L () =e θ () f() =e θ ()+e θ (), b) F () = 33 + + + ( 3) ( +) 3 3 3 + + + ( 3) ( +) 3 = + 4 ( +) + 3 ( +) 3 + ½ ¾ 3 L () =e θ (), ½ + ¾ 4 L ( +) () = 4e θ (), ½ ¾ 3 L ( +) 3 () = 3 ½ ¾! L ( +) 3 () = 3 e θ (), ½ ¾ L () =e 3 θ (), 3 f() =e θ () 4e θ ()+ 3 e θ ()+e 3 θ (). c) F () = 5 +8 ( +3)( +) 5 +8 ( +3)( +) = 3 + + +3 ½ ¾ L () =e 3 θ (), ½ +3 ¾ ½ 3 L () =L 3 + + + (3 co ) θ() (in ) θ(). ¾ () =3L ½ + ¾ ½ ¾ () L () = + 9..5 Rezolvarea ecuaţiilor diferenţiale liniare de ordin n cu coeficienţi conanţi Tranformaa Laplace e araă deoebideuilălarezolvareaecuaţiilor şi iemelor de ecuaţii diferenţiale liniare cu coeficienţi conanţi, precum şi a unor ipuri de ecuaţii inegrale au cu derivae parţiale. Să eafle oluţia ecuaţiei x (n) ()+a x (n ) ()+...+ a n x() =f(), > care aiface condiţiile iniţiale x() = c,x () = c,...,x (n ) () = c n

5 CAPITOLUL 9. TRANSFORMATA LAPLACE Preupunem că f ee o funcţie original şi că coeficienţii a i, i =,n un conanţi. Soluţia căuaă x = x() ee unic deerminaă şi e poae arăa că ee o funcţie original. Rezolvarea ecuaţiei implică urmăoarele eape: I. Tranformarea ecuaţiei diferenţiale în ecuaţie algebrică liniară de ordin înâi. Se aplică ranformaa Laplace ambilor membrii ai ecuaţiei diferenţiale. Se foloec - proprieaea de liniariae a ranformaei Laplace, eorema 9., -eoremele 9.7 şi 9.8 penru calculul ranformaei Laplace a derivaelor funcţiei necunocue şi e uilizează condiţiile iniţiale, L x (i) () ª () = i X() i c... c i c i, i =,m - abelul ranformaelor şi eoremele udiae penru calculul ranformaei Laplace a membrului doi. Noând imaginea lui x() cu X() şi cu F () imaginea lui f() obţinem: n X() n c... c n c n + a ( n X() n c... c n c n )+... +a n (X() c )+a n X() =F () P ()X() =Q(), unde P () = n + a n +... + a n + a n,q() =F () + n c +... + c n + c n + a ( n c +...+ c n + c n )+... +a n c. Obervăm că polinomul Q() are gradul cel mul n. II. Rezolvarea ecuaţiei algebrice. P ()X() =Q() X() = P () Q(). III. Deerminarea originalului oluţiei ecuaţiei algebrice. X() ee o fracţie raţională în variabila şi aflarea originalului ee o problemă cunocuă. Exerciţiul 9.4 Să e afle oluţia ecuaţiei x ()+x() =(co) θ(), > care aiface condiţiile iniţiale x() =, x () =. Rezolvare. Aplicând ranformaa Laplace ecuaţiei şi ţinând eama că: L{x()} () =X(), L{x ()} () = X() x( + ) x ( + ) = X(), L{co θ()} () = +, obţinem ( +)X() = + X() = + ( +) + +,deci ½ x() =L ( +) + ¾ ½ ¾ ½ ¾ () =L ()+L () + ( +) +

9.. TRANSFORMATA LAPLACE 5 ½ ¾ Penru calculul L () foloim Teorema lui Borel şi avem ca model exerciţiul ( +) 9. ( +) = = L{(co ) θ()} ()L{(in ) θ()} () = ( +) ( +) L{(co ½ ) θ() ¾(in ) θ()} () L () =(co) θ() (in ) θ() = R ( +) co( u)inudu= in θ(). Rezulă x() =θ() (in ) + θ()in, >. 9..6 Rezolvarea iemelor diferenţiale liniare cu coeficienţi conanţi Definiţia 9.4 Se numeşe iem diferenţial liniar de ordinul înâi cu coeficienţi conanţi un iem de forma: y () =a y ()+a y ()+ + a n y n ()+b () y () =a y ()+a y ()+ + a n y n ()+b () y n() =a n y ()+a n y ()+ + a nn y n ()+b n () unde a ij R, i, j =,n,i R iar y i C (I, R),i=,n, un funcţii necunocue. (9.9) Definiţia 9.5 Dacăîn (9.9) b () =b () =... = b n () =pe I iemul (9.9) e numeşe omogen, iarîn cazconrarneomogen. Una din proprieăţile remarcabile ale iemelor liniare ee aceea că orice oluţie a lor ee definiă pe înreg inervalul I. Rezolvarea ecuaţiei implică urmăoarele eape: I. Tranformarea iemului diferenţial în iem liniar algebric Se aplică ranformaa Laplace fiecărei ecuaţii a iemului diferenţial. Se foloec eoremele enunţae la ecuaţii diferenţiale. Se obţine un iem algebric liniar. II. Rezolvarea iemului algebric. III. Deerminarea originalului funcţiilor oluţie a iemului algebric. Exerciţiul 9.5 Să e afle oluţia iemului ½ y () = y () y ()+in y () =4y ()+y ()+co cu condiţiile iniţiale y () =, y () =,>. Rezolvare. I. Tranformarea iemului diferenţial în iem algebric. Aplicăm ranformaa Laplace ecuaţiilor iemului:

5 CAPITOLUL 9. TRANSFORMATA LAPLACE L{y()} () =L{ y () y ()+in}() L{y()} () =L{4y ()+y ()+co}(). Noăm L{y ()} () =Y (), L{y ()} () =Y (), L{y()} () =Y () y () = Y (), L{y()} () =Y () y () = Y () L{in } () = +, L{co } () = +. Obţinem ½ Y () = Y () Y + + Y () =4Y ()+Y ()+ ½ ( +)Y ()+Y () = + 4Y ()+( )Y () =+ + + II. Rezolvarea iemului algebric. ( Y () = +3 = 3 + 4 + + Y () = 3 +3 +3+6 = 6 + 3 +3 4 + + III. Deerminarea originalului oluţiilor iemului algebric. ½ y () = 3 +in, >, y () =6 +3 co 3in, >. Exerciţiul 9.6 Uilizând ranformaalaplaceă e rezolve urmăoarul iem diferenţial: x () x()+y() = x ()+y () =( co )θ() x() =,x () =,y() =. I. Tranformarea iemului diferenţial în iem algebric. L{x ()} () L{x()} () L{y()} () =L{} () L{x ()} ()+L{y ()} () =L{( co )θ()} () L [x()] () =X(), L [y()] () =Y () L [x ()] () =X(), L [x ()] () = X() L [y ()] () =Y ()+ L{( co )θ()} () = +4.

9.. TRANSFORMATA LAPLACE 53 ( X() X()+Y () = X() +Y ()+= II. Rezolvarea iemului algebric. ( X() X()+Y () = X() +Y ()+= X() = 3 + +8 4 3 + 5 +4 +4 Y () = 4 3 3 + 8 +8. 8 3 + 5 III. Deerminarea originalului oluţiilor iemului algebric. X() = 3 + +8 = 4 3 + 5 3 +4 x() = in θ() Y () = 4 3 3 + 8 +8 = 8 3 + 5 ( +4) + 3 y() = co 4 in + θ().