Universitatea Transilvania din Braşov Facultatea de Matematică Informatică Catedra de Informatică ERNEST SCHEIBER

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Universitatea Transilvania din Braşov Facultatea de Matematică Informatică Catedra de Informatică ERNEST SCHEIBER"

Transcript

1 Universitatea Transilvania din Braşov Facultatea de Matematică Informatică Catedra de Informatică ERNEST SCHEIBER ANALIZĂ NUMERICĂ Braşov

2

3 Cuprins I INTERPOLARE ŞI APLICAŢII 9 1 Diferenţe finite Diferenţe finite 11 1 Ecuaţia cu diferenţe liniară Sistem fundamental de soluţii 15 1 Determinarea unui sistem fundamental de soluţii Soluţia ecuaţiei cu diferenţe neomogenă 0 13 Transformarea z 1 Elemente din teoria interpolării 31 1 Sisteme Cebîşev 31 Interpolare Lagrange 38 3 Interpolarea Lagrange-Hermite 39 4 Diferenţe divizate 44 5 Algoritm pentru calculul diferenţei divizate 54 3 Convergenţa procedeelor de interpolare prin polinoame Spaţii liniar ordonate 65 3 Interpolare şi aproximare Divergenţa interpolării Lagrange Staţiu topologic Baire Principiul condensării singularităţilor Norma operatorilor integrali Norma operatorului Fourier Divergenţa polinoamelor de interpolare Lagrange 77 4 Formule de derivare numerică Aproximarea derivatei prin diferenţe Extrapolarea Richardson 86 3

4 4 CUPRINS 4 Aproximarea derivatei prin interpolare 89 5 Formule de integrare numerică Natura aproximării 9 5 Formule de tip Newton - Côtes Evaluarea restului Formula trapezului Formula lui Simpson Integrale de tip Cauchy Polinoame ortogonale Polinoame Legendre Polinoame Hermite Polinoamele lui Laguerre Polinoame Cebîşev Formule de tip Gauss Formula dreptunghiului (n = 1) Cazuri speciale Formula de integrare numerică Lobatto Formula de integrare numerică Radau Formula de cvadratură Gauss-Kronrod Formula Euler-MacLaurin Polinoamele şi numerele lui Bernoulli Formula Euler-MacLaurin Formule de integrare Euler-MacLaurin Rezolvarea problemelor Cauchy Metode de discretizare Scheme de calcul de tip Runge - Kutta Scheme de calcul de tip Adams Schema de calcul predictor - corector A-stabilitatea schemelor de calcul Rezolvarea unui sistem algebric de ecuaţii neliniare prin integrarea unei probleme Cauchy Metoda celor mai mici pătrate Determinarea unei funcţii de aproximare Polinom trigonometric de aproximare Aproximare în spaţii prehilbertiene 185

5 CUPRINS 5 8 Transformarea Fourier discretă Transformata Fourier discretă Algoritmul transformării Fourier discretă rapidă Aplicaţii ale transformatei Fourier discretă Calculul coeficienţilor Fourier Calculul coeficienţilor Laurent Determinarea funcţiei analitice cunoscând partea reală Calculul integralei Cauchy Transformarea cosinus discretă Polinoame trigonometrice Interpolare trigonometrică pe noduri oarecare 04 9 Interpolare trigonometrică pe noduri echidistante Calculul coeficienţilor Fourier Convergenţa polinoamelor de interpolare trigonometrică Funcţii spline polinomiale Interpolare cu funcţii spline cubice 3 10 Funcţia spline polinomială Funcţia spline polinomială naturală Interpolare cu funcţii spline polinomiale Funcţii B-spline Funcţii B-spline pe noduri echidistante Interpolare cu sinus cardinal Interpolare pe noduri echidistante în [0, π] Interpolare pe noduri echidistante în R 47 II ALGEBRA LINIARĂ NUMERICĂ 51 1 Elemente de analiză matriceală Definiţii, notaţii, proprietăţi Rezolvarea sistem algebrice liniare Metoda Gauss - Jordan Inversarea unei matrice Factorizarea LU Cazul matricelor simetrice - Factorizarea Cholesky Rezolvarea sistemelor tridiagonale 78

6 6 CUPRINS 136 Metode iterative Metoda gradientului conjugat Soluţie în sensul celor mai mici pătrate Numărul de condiţionare al unei matrice 9 14 Transformarea Householder Transformata Householder Descompunerea QR Cea mai bună aproximaţie Metoda celor mai mici pătrate Bidiagonalizarea unei matrice Reducerea la forma Hessenberg Valori şi vectori proprii Forma normală Schur Diagonalizarea unei matrice Descompunerea valorii singulare Raza spectrală a unei matrice Metoda puterii Algoritmul QR Descompunerea valorii singulare Descompunerea valorii singulare Metoda celor mai mici pătrate prin DVS Spaţii Krylov Definiţia spaţiului Krylov Descompunerea Arnoldi Rezolvarea sistemelor algebrice de ecuaţii liniare Varianta Ritz-Galerkin Varianta reziduului minimal Calculul valorilor şi vectorilor propri Calculul elementului de cea mai bună aproximaţie 345 III REZOLVAREA ECUAŢIILOR NELINIARE Rezolvarea ecuaţiilor neliniare Preliminarii de analiză funcţională Metoda liniarizării 356

7 CUPRINS Metoda liniarizării modificată Rezolvarea sistemelor algebrice neliniare Rezolvarea ecuaţiilor algebrice Rezolvarea ecuaţiilor polinomiale 370 IV REZOLVARE PRIN OPTIMIZARE Elemente din teoria optimizării Funcţionale diferenţiabile Funcţionale convexe Proprietăţi ale problemei de optimizare Metode de descreştere Metoda gradientului Rezolvarea ecuaţiilor prin optimizare Rezolvarea unui sistem liniar prin cele mai mici pătrate Rezolvarea unui sistem neliniar prin cele mai mici pătrate Rezolvarea unei ecuaţii liniare prin metode de optimizare 395 V ANEXE 397 A Noţiuni de teoria erorilor 399 A1 Eroare absolută şi eroare relativă 399 A Reprezentarea numerelor în virgulă mobilă 400 A3 Aritmetica numerelor în virgulă mobilă 401 A4 Protocolul IEEE A5 Controlul erorii 404 B Implementarea metodelor iterative 409 C Identităţi trigonometrice 411 D Determinarea unor parametri numerici 413 E Îmbunătăţirea convergenţei 417 E1 Ordinul de convergenţă al unui şir 417 E Îmbunătăţirea convergenţei unui şir 418 E3 Transformarea lui Euler 418

8 8 CUPRINS F Determinarea ordinelor de convergenţă 41 G Scheme Runge-Kutta deduse prin calcul simbolic 47 G1 Schema de calcul explicită de tip Runge Kutta în 4 trepte 48 G Schema de calcul implicită de tip Runge Kutta în trepte 433 H Reprezentarea mulţimii de A-stabilitate 437 Bibliografie 439

9 Partea I INTERPOLARE ŞI APLICAŢII 9

10

11 Capitolul 1 Diferenţe finite 11 Diferenţe finite Diferenţele finite stau la baza multor metode de calcul numeric privind integrarea şi derivarea numerică, integrarea ecuaţiilor diferenţiale ordinare şi cu derivate parţiale Funcţiile care intervin în acest capitol sunt funcţii reale de o variabilă reală Printr-o diferenţă finită de înţelege un operator de forma Γ h f(x) = Af(x + ah) Bf(x + bh) (11) unde A, B, a, b sunt constante reale Se observă caracterul liniar al operatorului Γ h (λf + µg) = λγ h f + µγ h g Diferenţele finite de ordin superior se introduc recursiv Γ 0 hf = f Diferenţele finite uzuale sunt: diferenţa finită progresivă Γ n hf = Γ h (Γ n 1 h f), n > 1 h f(x) = f(x + h) f(x); diferenţa finită regresivă h f(x) = f(x) f(x h); 11

12 1 CAPITOLUL 1 DIFERENŢE FINITE diferenţa finită centrată δ h f(x) = f(x + h ) f(x h ) În cele ce urmează vom studia doar diferenţele finite uzuale Formulele explicite de calcul ale unei diferenţe finite de ordin superior sunt Teorema 111 Au loc egalităţile: (i) (ii) (iii) (iv) n h f(x) = n k=0 n h f(x) = n k=0 f(x + nh) = n k=0 f(x nh) = n k=0 ( ) n ( 1) k n k f(x + kh); ( ) n ( 1) k k f(x kh); ( ) n k k h f(x); ( ) n ( 1) k k k h f(x) (1) Demonstraţie n hf(x) se exprimă ca o combinaţie liniară a valorilor lui f în x, x + h,, x + nh, adică are loc o formulă de forma n hf(x) = n A k f(x + kh) k=0 Pentru determinarea coeficienţilor (A k ) 0 k n, alegem f(x) = e x şi atunci e x (e h 1) n = n A k e x+kh k=0 Dezvoltând binomul din membrul stâng găsim n k=0 ( n k ) ( 1) n k e x+kh = n A k e x+kh ( ) n Identificând coeficienţii lui e x+kh găsim A k = ( 1) k n k, adică relaţia (i) În mod asemănător se pot justifica şi celelelte relaţii Stabilim o serie de proprietăţi ale diferenţei finită progresivă Rezultate asemănătoare se pot deduce şi pentru celelalte diferenţe finite k=0

13 11 DIFERENŢE FINITE 13 Teorema 11 (Teorema de medie) Dacă funcţia f este derivabilă de ordin n atunci există c (x, x + nh) astfel încât n hf(x) = h n f (n) (c) (13) Demonstraţie Prin induţie matematică după n, pentru n = 1, utilizând teorema de medie a lui Lagrange avem succesiv h f(x) = f(x + h) f(x) = hf (c) x < c < x + h Presupunem relaţia (13) adevărată pentru diferenţele de ordin n 1 Dacă g(x) = n 1 n f(x) atunci h n 1 n h f(x) h n = h( n 1 h f(x)) = h n n 1 h f(x+h) n 1 h n 1 h f(x) h n 1 h = g(x + h) g(x) = = g ( c) = d h f(x) ] h h n 1 x= c unde x < c < x + h Deoarece operatorul de derivare comută cu operatorul de diferenţă finită, rezultă că n h f(x) h n Utilizând ipoteza inducţiei, = d [ n 1 h dx h n 1 f(x) dx [ n 1 ] x= c = n 1 h f (x) h n 1 x= c n h f(x) h n = n 1 h h n 1 f (x) x= c = (f ) (n 1) (c) = f (n) (c), unde x < c < c < c + (n 1)h < x + nh Observaţie 111 Presupunând că funcţia f are derivata de ordinul n continuă, pentru h 0, din (13) rezultă n h lim f(x) = f (n) (x) (14) h 0 h n Diferenţa finită progresivă de ordin superior pentru produsul a două funcţii generalizează formula lui Leibniz

14 14 CAPITOLUL 1 DIFERENŢE FINITE Teorema 113 (Formula lui Leibniz) Are loc formula: n hf(x)g(x) = n k=0 ( n k ) k hf(x) n k h g(x + kh) (15) Demonstraţia teoremei se face prin inducţie matematică după n Observaţie 11 Să presupunem că funcţiile f, g au derivata de ordinul n continuă Împărţind (15) la h n şi utilizând Observaţia 111, pentru h 0, obţinem (f(x)g(x)) (n) = n k=0 ( n k ) f (k) (x)g (n k) (x) (16) 1 Ecuaţia cu diferenţe liniară şi cu coeficienţi constanţi Considerăm ecuaţia cu diferenţe (h = 1) α p p u(n) + α p 1 p 1 u(n) + + α 1 u(n) + α 0 u(n) = f n+p n N unde necunoscută este funcţia u : N R, iar coeficienţii α 0,, α p sunt constante reale Explicitând diferenţele finite progresive în funcţie de valorile funcţiei (1) obţinem a p u n+p + a p 1 u n+p a 1 u n+1 + a 0 u n = f n+p n N, (17) unde u n = u(n) Presupunem că a 0 a p 0 În cele ce urmează, numim (17) ecuaţie cu diferenţe liniară şi cu coeficienţi constanţi, de ordin p şi se cere soluţia care verifică în plus condiţiile iniţiale u 0 = v 0 u 1 = v 1 u p 1 = v p 1 (18) Teorema 11 Există cel mult o soluţie a ecuaţiei cu diferenţe (17) care verifică condiţiile (18)

15 1 ECUAŢIA CU DIFERENŢE LINIARĂ 15 În prealabil studiem ecuaţia cu diferenţe omogenă, liniară şi cu coeficienţi constanţi a p u n+p + a p 1 u n+p a 1 u n+1 + a 0 u n = 0 n N, (19) Teorema 1 Mulţimea soluţiilor ecuaţiei cu diferenţe omogenă, liniară şi cu coeficienţi constanţi formează un spaţiu liniar 11 Sistem fundamental de soluţii Teoria ecuaţiei cu diferenţe omogenă, liniară şi cu coeficienţi constanţi este asemănătoare cu cea a ecuaţiei diferenţiale liniară, omogenă şi cu coeficienţi constanţi Definiţie 11 Şirurile (u 1 n) n N,, (u p n) n N sunt liniar independente dacă relaţiile λ 1 u 1 n + + λ p u p n = 0, n N implică λ 1 = = λ p = 0 Teorema 13 Şirurile (u 1 n) n N,, (u p n) n N, soluţii ale ecuaţiei (19) sunt liniar independene dacă şi numai dacă au loc relaţiile u 1 n u p n n = u 1 n+1 u p n+1 0, n N (110) u 1 n+p 1 u p n+p 1 Demonstraţie Presupunem prin absurd că există n N astfel încât n = 0 Atunci sistemul algebric de ecuaţii liniare şi omogene λ 1 u 1 n + + λ p u p n = 0 λ 1 u 1 n λ p u p n+1 = 0 λ 1 u 1 n+p λ p u p n+p 1 = 0 (111) în necunoscutele λ 1,, λ p, admite o soluţie nebanală notată la fel Înmulţind ecuaţiile sistemului, respectiv cu a 0 a p,, a p 1 a p şi sumând egalităţile astfel obţinute, rezultă λ 1 ( 1 p 1 a i u 1 a n+i) + λ p ( 1 p 1 a i u p n+i p a ) = 0 p i=0 i=0

16 16 CAPITOLUL 1 DIFERENŢE FINITE Deoarece potrivit ipotezei, şirurile (u j k ) k N, cu diferenţe (19), ultima egalitate devine j = 1,, p sunt soluţii ale ecuaţiei λ 1 u 1 n+p + + λ p u p n+p = 0 Observăm că această egalitate completează relaţiile sistemului (111) Reluând înmulţirea ultimelor p egalităţi, respectiv prin a 0 a p,, a p 1 a p şi adunarea lor deducem λ 1 u 1 m + + λ p u p m = 0 m n Procedând asemănător, înmulţim ecuaţiile sistemului (111), respectiv cu a 1 a 0,, ap a 0 şi sumând egalităţile astfel obţinute, găsim sau λ 1 ( 1 a 0 Repetând, deducem p a i u 1 n+i 1) + λ p ( 1 a 0 i=1 p a i u p n+i 1 ) = 0, i=1 λ 1 u 1 n λ p u p n 1 = 0 λ 1 u 1 m + + λ p u p m = 0 m n În felul acesta contrazicem liniar independenţa şirurilor Reciproc, presupunem prin absurd că şirurile (u j k ) k N, j = 1,, p nu sunt liniar independente, existând constantele λ 1,, λ p, nu toate nule astfel încât λ 1 u 1 n + + λ p u p n = 0, n N Pentru orice n N, sistemul (111) are o soluţie nebanală, deci n = 0, ceea ce nu se poate Definiţie 1 p şiruri soluţii ale ecuaţiei (19) şi liniar independente formează un sistem fundamental de soluţii Importanţa unui sistem fundamental este reliefată în Teorema 14 Dacă (u j k ) k N, j = 1,, p formează un sistem fundamental de soluţii pentru ecuaţia cu diferenţe (19) atunci pentru orice altă soluţie (u k ) k N a ei, există constantele c 1,, c p astfel încât u n = c 1 u 1 n + + c p u p n, n N

17 1 ECUAŢIA CU DIFERENŢE LINIARĂ 17 Demonstraţie Considerăm sistemul algebric de ecuaţii liniare în necunoscutele c 1,, c p c 1 u c p u p 0 = u 0 c 1 u c p u p 1 = u 1 (11) c 1 u 1 p c p u p p 1 = u p 1 Determinantul sistemului fiind diferit de 0, sistemul (11) admite o soluţie unică notată tot c 1,, c p Înmulţind ecuaţiile sistemului (11) respectiv cu a 0 a p, a 1 a p,, a p 1 a p şi sumând egalităţile astfel obţinute deducem sau c 1 ( 1 p 1 a k u 1 a k) + + c p ( 1 p 1 a k u p k p a ) = 1 p 1 a k u k, p a p k=0 k=0 k=0 c 1 u 1 p + + c p u p p = u p (113) Repetând raţionamentul, din aproape în aproape obţinem u n = c 1 u 1 n + + c p u p n, n N 1 Determinarea unui sistem fundamental de soluţii Căutăm soluţii ale ecuaţiei cu diferenţe omogene (19) sub forma unei progresii geometrice u k = x k, k N Rezultă că x trebuie să fie rădăcina polinomului caracteristic f(x) = a p x p + a p 1 x p a 1 x + a 0 Notăm prin x 1,, x p rădăcinile acestui polinom Cazul rădăcinilor distincte două câte două Teorema 15 Dacă x 1,, x p sunt rădăcini distincte două câte două ale polinomului caracteristic atunci şirurile (x n 1) n N,, (x n p) n N formează un sistem fundamental de soluţii pentru ecuaţia cu diferenţe omogemă (19) Demonstraţie Verificăm condiţia de liniar independenţă, dată în Teorema 13, a celor p şiruri x n 1 x n p n = x n+1 1 x n+1 p = x n+p 1 1 x n+p 1 p

18 18 CAPITOLUL 1 DIFERENŢE FINITE = (x 1 x p ) n V (x 1,, x p ) = (x 1 x p ) n 1 j<i p Cazul rădăcinilor multiple Stabilim un rezultat ajutător (x i x j ) 0 Teorema 16 Dacă f(x) este polinomul caracteristic şi ϕ : N R este o funcţie oarecare atunci a p x n+p ϕ(n + p) + a p 1 x n+p 1 ϕ(n + p 1) + + a 0 x n ϕ(n) = = x n [f(x)ϕ(n) + 1 1! xf (x) ϕ(n) + 1 p! xp f (p) p ϕ(n)] Demonstraţie Utilizând relaţia (iii) de la (1) au loc egalităţile ϕ(n) = ϕ(n) ( ) ( ) 1 1 ϕ(n + 1) = ϕ(n) + ϕ(n) 0 1 ( ) ( ) ( ϕ(n + ) = ϕ(n) + ϕ(n) ) ϕ(n) ϕ(n + p) = ( p 0 ) ( p ϕ(n) + 1 ) ( ) p ϕ(n) + ( p + p ϕ(n) + ) p ϕ(n) pe care le înmulţim respectiv cu a 0 x n, a 1 x n+1, a x n+,, a p x n+p şi le însumăm, obţinând p p a k x n+k ϕ(n + k) = x n b k (x) k ϕ(n), unde b k (x) = p j=k ( j k k=0 ) a j x j = xk k! p j=k k=0 j(j 1) (j k + 1)x j k = xk k! f (k) (x) În consecinţă, dacă x este o rădăcină a polinomului caracteristic, având ordinul de multiplicitate r atunci şirul (x n ϕ(n)) n N, cu ϕ(n) polinom de grad cel mult r 1, este soluţie a ecuaţiei cu diferenţe (19) Mai mult,

19 1 ECUAŢIA CU DIFERENŢE LINIARĂ 19 Teorema 17 Dacă x 1, x,, x k sunt rădăcinile polinomului caracteristic, având respectiv ordinele de multiplicitate r 1, r,, r k, (r 1 + r + + r k = p), atunci şirurile (x n 1) n N (nx n 1) n N (n r1 1 x n 1) n N (x n ) n N (nx n ) n N (n r 1 x n ) n N (x n k ) n N (nx n k ) n N (n rk 1 x n k ) n N formează un sistem fundamental de soluţii pentru ecuaţia cu diferenţe omogenă (19) Demonstraţie Presupunem prin absurd că şirurile (x n i ) n N, (nx n i ) n N,, (n r i 1 x n i ) n N, 1 i k sunt liniar dependente Atunci există constantele C i,0, C i,1,, C i,ri 1, 1 i k nu toate nule, astfel încât sau k (C i,0 x n i + C i,1 nx n i + + C i,ri 1n ri 1 x n i ) = 0, n N, i=1 k x n i P i (n) = 0, n N, (114) i=1 unde P i (n) = C i,0 + C i,1 n + + C i,ri 1n ri 1 Potrivit presupunerii făcute, polinoamele P i (n), i = 1,, k nu sunt toate identic nule Putem presupune că toate polinoamele care apar în relaţia (114) sunt neidentic nule Împărţind (114) prin x n 1 rezută P 1 (n) + ( x x 1 ) np (n) + + ( xk x 1 ) npk (n) = 0, n N (115) Aplicând relaţiei (115) diferenţa 1 n deducem ( x ) np,1 ( xk ) npk,1 (n) + + (n) = 0, n N, x 1 x 1 unde polinoamele P i,1 i =,, k au gradele respectiv egale cu ale polinoamelor P i i =,, k 1 Pentru a 1 şi ϕ polinom are loc a n ϕ(n) = a n (aϕ(n + 1) ϕ(n)) unde aϕ(n + 1) ϕ(n) este un polinom de acelaşi grad cu ϕ

20 0 CAPITOLUL 1 DIFERENŢE FINITE Repetând raţionamentul de mai sus de k 1 ori deducem egalitatea ( xk x k 1 ) npk,k 1 (n) = 0 n N Pe de-o parte rezultă că polinomul P k,k 1 este identic nul, iar pe de altă parte este neidentic nul Contradicţia apărută justifică afirmaţia teoremei Exemplul 11 Şirul lui Fibonacci este definit prin ecuaţia cu diferenţe u n+ u n+1 u n = 0, n N (116) Polinomul caracteristic este f(x) = x x 1 şi are rădăcinile 1± 5 Formula termenului general al şirului definit de (116) este u n = C 1 ( ) n + C ( 1 5 ) n Dacă impunem condiţiile iniţiale u 0 = u 1 = 1 atunci coeficienţii C 1, C rezultă din sistemul u 0 = C 1 + C = u 1 = C 1 + C = Rezolvând sistemul de mai sus, se obţine C 1 = 1+ 5, C 5 = 1 Prin urmare [ u n = 1 ( ) n+1 ( 1 ] 5 ) n+1 (117) 5 13 Soluţia ecuaţiei cu diferenţe neomogenă Suntem în măsură să soluţionăm problema determinată de ecuaţia cu diferenţe neomogenă, liniară şi cu coeficoenţi constanţi (17) cu condiţiile iniţiale (18) Teorema 18 Dacă (u k n) n N, k = 0, 1,, p 1 formează un sistem fundamental de soluţii pentru ecuaţia cu diferenţe omogenă care satisfac condiţiile iniţiale u k n = δ k,n, k, n {0, 1,, p 1} atunci soluţia problemei (17)-(18) este Se presupune că p 1 u n = v i u i n + 1 n p f k+p u p 1 n k 1, n N (118) a p i=0 k=0 f k = 0 pentru k < p; u k n = 0 pentru n < 0, k = 0, 1,, p 1 (119)

21 13 TRANSFORMAREA Z 1 Demonstraţie Şirul (z n ) n N definit prin z n = p 1 i=0 v iu i n este o soluţie a ecuaţiei cu diferenţe omogenă care verifică condiţiile iniţiale (18) Verificăm că şirul (w n ) n N definit prin w n = 1 n p a p k=0 f k+pu p 1 n k 1 este o soluţie a ecuaţiei cu diferenţe neomogenă (17) care satisface condiţiile iniţiale omogene w n = 0, pentru n = 0, 1,, p 1 Dacă n {0, 1,, p 1} atunci pentru k = 1,,, n p au loc egalitatea f k+p = 0 şi în consecinţă w n = 1 a p f p u p 1 n 1 = 0, datorită condiţiilor iniţiale verificate de şirul (u p 1 n ) n Z Utilizând (119), au loc egalităţile Atunci = 1 a p p w n = 1 n p f k+p u p 1 n k 1 a = 1 p a p j=0 k=0 p a j w n+j = 1 a p j=0 a j n k=0 p j=0 a j k= f k+p u p 1 n+j k 1 = 1 a p k= f k+p u p 1 n k 1 f k+p u p 1 n+j k 1 = n k=0 f k+p p j=0 a j u p 1 n+j k 1 Pentru k = 0, 1,, n 1, deoarece şirul (u p 1 n ) n Z este soluţie a ecuaţiei cu diferenţe omogenă (19), au loc egalităţile p a j u p 1 n+j k 1 = 0 j=0 iar pentru k = n, din condiţiile iniţiale verificate de acelaşi şir, are loc p a j u p 1 j 1 = a p j=0 În consecinţă p j=0 a jw n+j = 1 a p f n+p a p = f n+p 13 Transformarea z Fie S mulţimea şirurilor de numere complexe x = (x n ) n Z Dacă x n = 0, n < 0 atunci şirul x se numeşte cu suport pozitiv Mulţimea acestor şiruri se notează cu S +

22 CAPITOLUL 1 DIFERENŢE FINITE Exemplul 131 u = (u n ) n Z, cu u n = Exemplul 13 δ k = (δ k,n ) n Z, cu δ k,n = { 0 n < 0 1 n 0 { 0 n k 1 n = k Definiţie 131 Fie x, y S + astfel încât, pentru orice n Z, seria k Z x n ky k este convergentă Şirul z = (z n ) n Z definit prin z n = k Z x n k y k se numeşte produsul de convoluţie al şirurilor x şi y şi se notează cu z = x y Evident x y = y x Exemplul 133 Dacă x = (x n ) n Z, atunci şirul z = x δ k, z = (z n ) n Z este z n = x n s δ k,s = x n k n Z s Z Definiţie 13 Fie x = (x n ) n Z şi funcţia X(z) = x n n Z z n, definită în domeniul de convergenţă al seriei Laurent Operatorul ce ataşează şirului x funcţia X(z) se numeşte transformata z a şirului x L(x) = X Exemplul 134 Transformata z a şirului u este L(u)(z) = definită în coroana {z C : z > 1} Exemplul 135 L(δ k )(z) = 1 z k n=0 1 z n = z z 1, Exemplul 136 Dacă x = (x n ) n Z şi y = (y n ) n Z cu y n = x n k, n Z atunci L(y)(z) = n Z y n z = x n k n z n n Z = z k L(x)(z) Transformarea z se bucură de următoarele proprietăţi:

23 13 TRANSFORMAREA Z 3 Teorema 131 Operatorul L este liniar Teorema 13 Dacă x S atunci L(x δ k )(z) = 1 z k L(x)(z) Demonstraţie Şirul x δ k este (x n k ) n Z În consecinţă L(x δ k )(z) = n Z x n k z n = 1 z k n Z x n k z n k = 1 z k L(x)(z) Teorema 133 Are loc egalitatea L(x y) = L(x)L(y) x, y S Demonstraţie Dacă u = x y = ( k Z x n ky k ) n Z atunci L(u)(z) = n Z k Z x n ky k z n = k Z y k x n k = L(y)(z)L(x)(z) z k zn k n Z Teorema 134 Dacă x = (x n ) n Z şi X(z) = x n n Z z n este convergentă în coroana {z C : r < z < R} atunci are loc egalitatea x n = 1 z n 1 X(z)dz, (10) πi z =ρ unde discul delimitat de cercul z = ρ conţine toate singularităţile funcţiei X(z) Demonstraţie Calculăm integrala din (10) z n 1 X(z)dz = x k z n 1 k dz = πix n z =ρ k Z z =ρ O aplicaţie a transformării z este rezolvarea ecuaţiilor cu diferenţe liniare şi cu coeficienţi constanţi Considerăm ecuaţia cu diferenţe (17) şi extindem mulţimea indicilor la Z, definind u n = 0, n < 0 şi f n+p = a p u n+p + a p 1 u n+p a 1 u n+1 + a 0 u n, n < 0

24 4 CAPITOLUL 1 DIFERENŢE FINITE Atunci ecuţia cu diferenţe (17) se poate scrie sau a p u n + a p 1 u n a 1 u n p+1 + a 0 u n p = f n, n Z, a p (u δ 0 ) n + a p 1 (u δ 1 ) n + + a 1 (u δ p 1 ) n + a 0 (u δ p ) n = f n (11) Notăm u = (u n ) n Z, U(z) = L(u)(z), f = (f n ) n Z şi F (z) = L(f)(z) În urma aplicării transformării z asupra ecuaţiei (11) şi utilizând Teorema 13 obţinem ecuaţia U(z)(a p + a p 1 z Explicitând funcţia necunoscută, găsim U(z) = + + a 1 z p 1 + a 0 z p ) = F (z) z p F (z) a p z p + a p 1 z p a 1 z + a 0 Potrivit formulei (10), termenii şirului u se calculează cu u n = 1 z n+p 1 F (z) dz πi z =ρ a p z p + a p 1 z p a 1 z + a 0 Exemplul 137 Şirul lui Fibonacci, se poate scrie u n u n 1 u n = 0, n Extinzând mulţimea indicilor la Z, obţinem 0 n Z\{0, 1} u n u n 1 u n = u 1 u 0 n = 1 u 0 n = 0 Ecuaţia transformatei z a şirului u = (u n ) n Z este de unde U(z)(1 1 z 1 z ) = u 0 + u 1 u 0, z U(z) = u 0z + (u 1 u 0 )z z z 1

25 13 TRANSFORMAREA Z 5 Dacă ρ > 1+ 5 atunci u n = 1 πi z =ρ [u 0 z + (u 1 u 0 )z]z n 1 z z 1 Calculând integrala prin reziduuri obţinem [ u n = 1 u 0 ( ) n+1 + (u 1 u 0 )( 1 + ] 5 ) n 5 [ 1 5 = ( 5 1)u 0 + u 1 5 u 0 ( 1 5 ( Dacă u 0 = u 1 = 1 atunci se regăseşte (117) Probleme şi teme de seminar P 11 Să se calculeze 1 n h 1 x n h 1 x 1 3 n h sin(ax + b) 4 n h cos(ax + b) 5 n h xex ) n+1 + (u 1 u 0 )( 1 ] 5 ) n = ) n + ( 5 + 1)u 0 u 1 5 ( 1 5 ) n P 1 Să se arate că dacă F (x) = f(x) atunci n k=1 f(k) = F (n + 1) F (1) P 13 Să se calculeze n k=1 1 k(k+1)(k+p) P 14 Să se demonstreze formula de însumare prin părţi n u(k) v(k) = u(n + 1)v(n + 1) u(1)v(1) k=1 P 15 Să se calculeze n k=1 kk n v(k + 1) u(k) k=1

26 6 CAPITOLUL 1 DIFERENŢE FINITE Indicaţii 1 u(k) = k, v(k) = k u(k) = 1, v(k) = k şi se aplică rezultatul problemei anterioare Se derivează identitatea n k=1 kx = (n+1)x x x 1 şi se particularizează x = 1 3 Notând cu S suma căutată, au loc egaliăţile S = n n n+1 = n Înmulţind prima egalitate cu şi adunând rezultă ecuaţia în S 4 Au loc egalităţile S = S + n+1 = S + n n n 1 + n n 1 + n n 1 + n + + n 1 + n + + n = = ( n 1) + ( n 1 1) + 3 ( n 1) + + n 1 ( 1) + n ( 1) = P 16 Să se arate că = n n+1 ( n ) = ( ) ( 0 ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 = 0 1 ( ) ( ) ( ) ( ) n n n n 0 1 n = ( ) ( 0 ) ( ) ( 0 ) ( 1 ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( n n n n ( 1) n ( 1) 0 n 1 ( 1) 1 n n )

27 13 TRANSFORMAREA Z 7 şi Indicaţie Se scriu matriceal relaţiile s ( ) s x s = ((x 1) + 1) s = (x 1) i, s = 0, 1,, n, i (x 1) s = i=0 s ( s ( 1) s i i i=0 ) x i, s = 0, 1,, n P 17 Să se rezolve şi să se discute în funcţie de parametrul p ecuaţia cu diferenţe u n+ pu n+1 + u n = 0 P 18 Să se rezolve ecuaţia cu diferenţe u n+ u n+1 6u n = n+ P 19 Să se rezolve sistemul x 1 x = 1 x i 1 +x i x i+1 = i i n 1 x n 1 +x n = n Indicaţie 1 Sistemul are soluţie unică Determinantul sistemului este n = care dezvoltat după prima linie conduce la formula de recurenţă n = n 1 n Soluţia ecuaţiei cu diferenţe este n = C 1 +C n Deoarece = 3, 3 = 4 se obţine n = n + 1 Se rezolvă ecuaţia cu diferenţe x k+1 x k + x k 1 = k, k N Determinăm sistemul fundamental al ecuaţiei cu diferenţe omogene corespunzătoare: (u 0 k ) k N, (u 1 k ) k N care satisface condiţiile iniţiale Se obţine u 0 0 = 1 u 0 1 = 0 u 1 0 = 0 u 1 1 = 1 u 0 k = 1 k u 1 k = k Utilizând formula (118) rezultă u k = v 0 (1 k) + v 1 k k3 k 6 3 Impunând condiţiile x 0 = 0 şi x n+1 = 0 găsim v 0 = 0, v 1 = n +n avem x k = k((n + 6 1) k ) 6 În final

28 8 CAPITOLUL 1 DIFERENŢE FINITE P 110 Să se rezolve sistemul a 1 a 0 +a 1 = 0 a i 1 +4a i +a i+1 = 6y i a n 1 a n +a n+1 = 0 unde (y i ) 0 i n sunt numere date Indicaţie 1 Din primele două ecuaţii { a 1 a 0 +a 1 = 0 a 1 +4a 0 +a 1 = 6y 0 i {0, 1, n}, rezultă a 0 = y 0 Asemănător, din ultimele două ecuaţii rezulta a n = y n Astfel sistemul se rescrie sub forma a 0 = y 0 a i+ +4a i+1 +a i = 6y i+1 0 i n a n = y n Soluţia ecuaţiei cu diferenţe a i+ + 4a i+1 + a i = f i+ = 6y i+1 este i a i = a 0 u 0 i + a 1 u 1 i + f k+ u 1 i k 1, i (1) k=0 (u 0 i ) i N, (u 1 i ) i N sunt soluţii ale ecuaţei cu diferenţe omogene care verifică condiţiile iniţiale u 0 0 = 1 u 1 0 = 0 u 0 1 = 0 u 1 1 = 1 Prin calcul direct rezultă u 0 i = (( ( 1)k 1 + 3) k 1 ( ) 3) k 1 3 u 1 i = u 0 i+1 Valoarea pentru a 1 din (1) se obţine din ecuaţia Se obţin n a n = y n = a 0 u 0 i + a 1 u 1 i + f k+ u 1 n k 1 a 1 = y 0u 0 n y n 6 n u 0 n+1 k=0 k=0 y k+1u 0 n k i a i = y 0 u 0 i a 1 u 0 n+1 6 y i+1 u 0 i k, i =,, n 1 k=0,

29 13 TRANSFORMAREA Z 9 P 111 Puterea factorială a lui x de ordin n cu pasul h este definită prin x [n,h] = x(x h) (x (n 1)h), x [0,h] = 1 Pentru h = 1 se utilizează notaţia x [n] = x(x 1 (x n + 1) Să se arate că n x [n,h] = n h x [n 1,h] P 11 Dacă P P n atunci are luc egalitatea n k h P (x) = P (0) x [k,h] h k k! k=0 Indicaţie 1 = x [0,h], x [1,h],, x [n,h] sunt polinoame de grad respectiv 0, 1,, n În consecinţă are loc reprezentarea P (x) = n k=0 c kx [k,h] Calculăm n n j h P (x) = c k j h x[k,h] = c k A j k j h x[k j,h] k=j Pentru x = 0 se obţine j h P (0) = c jj!h j P 113 Numerele lui Stirling de speţa întâi S n i şi de speţa a doua Si n sunt introduse prin n n x [n] = S nx i i, x n = S i nx [i] i=1 Să se demonstreze formulele de recurenţă S i n+1 = k=j i=1 S i 1 n n S i n, S0 n = δ n,0, S i n = i Si n 1 + Si 1 n 1, S0 n = δ n,0 ( Indicaţie 1 Si n = ) 1 i! x [n] (i) x=0 Derivând de i ori egalitatea x [n+1] = x [n] (x n) se obţine ( ) (x [n+1] (i) ( ) = x [n] (i) ( ) (x n) + i x [n] (i 1) Pentru x = 0 rezultă ( (x [n+1]) (i) x=0 = i ( x [n]) (i 1) x=0 n ( x [n]) (i) x=0 şi se împarte la i! Si n = 1 i! i x n x=0 Calculăm i pentru produsul x n = x n 1 x i x n = i i 1 x n 1 + i x n 1 (x + i) Pentru x = 0 rezultă i x n x=0 = i i 1 x n 1 x=0 + i i x n 1 x=0 şi se împarte la i!

30 30 CAPITOLUL 1 DIFERENŢE FINITE P 114 Să se arate că n q(q 1) (q i+1)(q i 1) (q n)dq = ( 1) n i 0 j=0 k=0 n Indicaţie 0 0 i n i S j S k j!k!n j+k+1 i n i (j + k + 1)! n q(q 1) (q i + 1)(q i 1) (q n)dq = ( 1) n i q [i] (n q) [n i] dq = i n i = ( 1) n i S j S k i n i j=0 k=0 n 0 q j (n q) k dq P 115 Să se arate că S 0 0 S 0 1 S = S 0 0 S 0 1 S 1 1 S 0 n S 1 n Sn n S 0 n S 1 n Sn n

31 Capitolul Elemente din teoria interpolării Fie X o mulţime şi funcţia f : X R cunoscută numai prin valorile ei într-un număr finit de puncte x 1, x,, x n din mulţimea X: y i = f(x i ), i {1,,, n} O mulţime F de funcţii reale definite în X este interpolatoare de ordin n dacă pentru orice sistem de n puncte distincte x 1, x,, x n din X şi oricare ar fi numerele reale y 1, y,, y n există în F o singură funcţie care în punctele x i ia respectiv valorile y i, pentru orice i {1,,, n} În acest cadru problema de interpolare are următorul enunţ: Dându-se mulţimea interpolatoare F de ordinul n în X şi perechile (x i, y i ) X R, i {1,,, n}, cu proprietatea că i j x i x j, să se determine aceea funcţie ϕ F care în punctele x i ia respectiv valorile y i : y i = ϕ(x i ), i {1,,, n} Funcţia de interpolare ϕ şi f au aceleaşi valori în punctele {x 1, x,, x n } Se consideră că ϕ este o aproximare a funcţiei f Din punct de vedere teoretic se ridică următoarele probleme: Precizarea unor mulţimi interpolatoare (problema existenţei funcţiei de interpolare); Determinarea funcţiei de interpolare; Evaluarea diferenţei dintre o funcţie şi funcţia de interpolare corespunzătoare 1 Sisteme Cebîşev Considerăm funcţiile reale definite în intervalul compact [a, b] f 1, f,, f n (1) 31

32 3 CAPITOLUL ELEMENTE DIN TEORIA INTERPOLĂRII Sistemul de funcţii (1) este liniar independent dacă egalitatea n λ i f i (x) = 0, x [a, b] i=1 are loc numai pentru λ 1 = = λ n = 0 Teorema 11 Sistemul de funcţii (1) este liniar independent dacă există un sistem de puncte a x 1 < x < x n b astfel încât determinantul ( ) f 1 (x 1 ) f (x 1 ) f n (x 1 ) f1, f V,, f n = f 1 (x ) f (x ) f n (x ) x 1, x,, x n 0 f 1 (x n ) f (x n ) f n (x n ) Demonstraţie Presupunem prin absurd, că sistemul de funcţii (1) este liniar independent ( şi că pentru orice sistem ) de puncte a x 1 < x < x n b are loc f1, f egalitatea V,, f n = 0 x 1, x,, x n Atunci max{rang(f i (x j )) 1 i,j n : a x 1 < x < < x n b} = m n 1 Există punctele a x 0 1 < x 0 < < x 0 n b astfel încât rang(f i (x 0 j)) 1 i,j n = m şi λ 1, λ,, λ n o soluţie nebanală a sistemului algebric de ecuaţii liniare λ 1 f 1 (x 0 1) + λ f (x 0 1) + + λ n f n (x 0 1) = 0 λ 1 f 1 (x 0 ) + λ f (x 0 ) + + λ n f n (x 0 ) = 0 λ 1 f 1 (x 0 n) + λ f (x 0 n) + + λ n f n (x 0 n) = 0 Deoarece rangul matricei (f i (x 0 j)) 1 i,j n este m, între vectorii v i = (f 1 (x 0 i ), f (x 0 i ),, f n (x 0 i )), i = 1,,, n există m vectori liniari independenţi Putem presupune că aceştia sunt printre v 1,, v n 1 Atunci pentru orice x [a, b] are loc egalitatea n i=1 λ if i (x) = 0 Într-adevăr matricea f 1 (x 0 1) f (x 0 1) f n (x 0 1) f 1 (x 0 n 1) f (x 0 n 1) f n (x 0 n 1) f 1 (x) f (x) f n (x)

33 1 SISTEME CEBÎŞEV 33 are rangul cel mult egal cu m Dacă v = (f 1 (x), f (x),, f n (x)) atunci există constantele µ 1, µ,, µ n 1 astfel încât v = n 1 i=1 µ iv i sau pe componente n 1 f j (x) = µ i f j (x 0 i ), j = 1,,, n i=1 Înmulţind relaţiile de mai sus, respectiv cu λ 1,, λ m şi sumând obţinem n λ j f(x j ) = j=1 n n 1 n µ i f j (x 0 i ) = µ i λ j f(x 0 i ) = 0 λ j n 1 j=1 i=1 i=1 j=1 În acest fel se contrazice independenţa familiei de funcţii (1) Reciproc, să( presupunem că există) sistemul de puncte a x 1 < x < x n f1, f b astfel încât V,, f n 0 x 1, x,, x n Dacă familia de funcţii (1) nu ar fi liniar independentă atunci ar exista constantele λ 1,, λ n, nu toate nule astfel încât n i=1 λ if i (x) = 0, x [a, b] În particular, sistemul omogen λ 1 f 1 (x 1 ) + λ f (x 1 ) + + λ n f n (x 1 ) = 0 λ 1 f 1 (x ) + λ f (x ) + + λ n f n (x ) = 0 λ 1 f 1 (x n ) + λ f (x n ) + + λ n f n (x n ) = 0 în necunoscutele λ 1,, λ n admite ( o soluţie nebanală, ) cea ce contrazice ipoteza f1, f făcută asupra determinantului V,, f n x 1, x,, x n Definiţie 11 Sistemul de funcţii (1) este un sistem Cebîşev dacă pentru orice sistem de puncte a x 1 < x < < x n b determinantul ( ) f1, f V,, f n x 1, x,, x n este diferit de zero Observaţie 11 Orice sistem Cebîşev este alcătuit din funcţii liniar independente Observaţie 1 În orice interval [a, b] funcţiile 1, x, x,, x n sistem Cebîşev formează un

34 34 CAPITOLUL ELEMENTE DIN TEORIA INTERPOLĂRII Fie F = span{f 1, f,, f n } spaţiul liniar generat de funcţiile (1) Teorema 1 (Condiţia lui Haar) Sistemul (1) formează un sistem Cebîşev dacă şi numai dacă orice funcţie din F \ {0} se anulează cel mult în n 1 puncte din [a, b] Demonstraţie Să presupunem că familia de funcţii (1) formează un sistem Cebîşev şi că există o funcţie f F \ {0} care se anulează cel puţin în n puncte a x 1 < x < < x n b adică n f(x j ) = c i f i (x j ) = 0, j {1,,, n} () i=1 În acest caz relaţiile () privite ca un sistem algebric de ecuaţii ( liniare şi omogene) f1, f în necunoscutele c 1,, c n admit o soluţie nebanală, deci V,, f n = x 1, x,, x n 0, ceea ce contrazice definiţia unui sistem Cebîşev Reciproc, presupunem că orice funcţie din F \ {0} se anulează cel mult în n 1 puncte din [a, b] şi prin ( absurd, că există sistemul ) de puncte a x 1 < x < f1, f < x n b astfel încât V,, f n = 0 Atunci sistemul algebric x 1, x,, x n de ecuaţii liniare λ 1 f 1 (x 1 ) + λ f (x 1 ) + + λ n f n (x 1 ) = 0 λ 1 f 1 (x ) + λ f (x ) + + λ n f n (x ) = 0 λ 1 f 1 (x n ) + λ f (x n ) + + λ n f n (x n ) = 0 în necunoscutele λ 1,, λ n admite o soluţie nebanală Cu această soluţie nebanală definim f = n i=1 λ if i f aparţine mulţimii F \ {0} şi se anulează în punctele x 1,, x n Acest fapt contrazice ipoteza făcută, deci familia de funcţii (1) formează un sistem Cebîşev Teorema 13 Dacă familia de funcţii (1) formează un sistem Cebîşev în [a, b] atunci F formează o familie interpolatoare de ordin n în [a, b] Demonstraţie Fie a x 1 < x < < x n b şi numerele reale y 1, y,, y n Considerăm sistemul algebric de ecuaţii liniare c 1 f 1 (x 1 ) + c f (x 1 ) + + c n f n (x 1 ) = y 1 c 1 f 1 (x ) + c f (x ) + + c n f n (x ) = y (3) c 1 f 1 (x n ) + c f (x n ) + + c n f n (x n ) = y n

35 1 SISTEME CEBÎŞEV 35 ( ) f1, f în necunoscutele c 1, c,, c n Determinantul sistemului V,, f n x 1, x,, x n este diferit de 0, deci (3) admite o soluţie unică c 1, c,, c n Funcţia f = n i=1 c if i satisface condiţiile de interpolare f(x i ) = y i, i {1,,, n} Observaţie 13 Condiţia ca o familie de funcţii (1) să formeze un sistem Cebîşev este echivalentă cu condiţia lui Haar sau cu proprietatea de a fi interpolatoare de ordin n pentru spaţiul liniar F Pentru funcţia f F care satisface condiţiile de interpolare f(x i ) = y i i {1,,, n} (4) folosim notaţia L(F; x 1,, x n ; y 1,, y n ) Dacă y 1,, y n sunt valorile unei funcţii ϕ, respectiv în punctele x 1,, x n, atunci notaţia folose L(F; x 1,, x n ; ϕ) Teorema 14 Dacă familia de funcţii (1) formează un sistem Cebîşev în [a, b] atunci soluţia problemei de interpolare (4) este sau L(F; x 1,, x n ; y 1,, y n )(x) = n i=1 y i 1 ( ) (5) f1, f V,, f n x 1, x,, x n f 1 (x 1 ) f (x 1 ) f n (x 1 ) f 1 (x i 1 ) f (x i 1 ) f n (x i 1 ) f 1 (x) f (x) f n (x) f 1 (x i+1 ) f (x i+1 ) f n (x i+1 ) f 1 (x n ) f (x n ) f n (x n ) 1 L(F; x 1,, x n ; y 1,, y n )(x) = ( ) (6) f1, f V,, f n x 1, x,, x n n f 1 (x 1 ) f i 1 (x 1 ) y 1 f i+1 (x 1 ) f n (x 1 ) f i (x) f 1 (x n ) f i 1 (x n ) y n f i+1 (x n ) f n (x n ) i=1

36 36 CAPITOLUL ELEMENTE DIN TEORIA INTERPOLĂRII Demonstraţie Potrivit teoremei (13) problema de interpolare (4) are o soluţie L(x) = L(F; x 1,, x n ; y 1,, y n )(x) care verifică egalitatea L(x) f 1 (x) f (x) f n (x) y 1 f 1 (x 1 ) f (x 1 ) f n (x 1 ) = 0 (7) y n f 1 (x n ) f (x n ) f n (x n ) Într-adevăr, determinantul dezvoltat după prima linie este o funcţie din F Acestă funcţie se anulează în x 1,, x n şi atunci, potrivit teoremei (1), determinantul este nul pentru orice x [a, b] Descompunem (7) într-o sumă de doi determinanţi + L(x) f 1 (x) f (x) f n (x) 0 f 1 (x 1 ) f (x 1 ) f n (x 1 ) 0 f 1 (x n ) f (x n ) f n (x n ) 0 f 1 (x) f (x) f n (x) y 1 f 1 (x 1 ) f (x 1 ) f n (x 1 ) y n f 1 (x n ) f (x n ) f n (x n ) + (8) = 0 Dezvoltând al doilea determinant din (8) după prima coloană obţinem ( ) f1, f L(x)V,, f n + x 1, x,, x n f 1 (x) f (x) f n (x) f 1 (x 1 ) f (x 1 ) f n (x 1 ) n + ( 1) i y i f 1 (x i 1 ) f (x i 1 ) f n (x i 1 ) = 0 i=1 f 1 (x i+1 ) f (x i+1 ) f n (x i+1 ) f 1 (x n ) f (x n ) f n (x n ) de unde se obţine imediat (5) Relaţia (6) se obţine analog, dezvoltând al doilea determinant din (8) după prima linie ( ) f1, f Teorema 15 Dacă V, f n 0 şi y x 1, x, x 1, y,, y n R atunci n există o singură funcţie L F astfel încât L(x i ) = y i, i {1,,, n}

37 1 SISTEME CEBÎŞEV 37 Demonstraţie Reprezentarea L = n i=1 c if i şi condiţiile de interpolare conduc la sistemul algebric de ecuaţii liniare n c i f i (x j ) = y j, j {1,,, n}, (9) i=1 ( ) f1, f a cărui determinant V, f n este diferit de zero x 1, x, x n ( ) f1, f Teorema 16 Dacă V, f n 0, y x 1, x, x 1, y,, y n R iar L F n este funcţia de interpolare pentru care L(x i ) = y i, i {1,,, n} atunci L(x) f 1 (x) f n (x) y 1 f 1 (x 1 ) f n (x 1 ) = 0 (10) y n f 1 (x n ) f n ( n ) Demonstraţie Din (9) se obţine f 1 (x 1 ) f i 1 (x 1 ) y 1 f i+1 (x 1 ) f n (x 1 ) f 1 (x n ) f i 1 (x n ) y n f i+1 (x n ) f n (x n ) c i = ( ) f1, f V, f n x 1, x, x n care dezvoltat după coloana i conduce la c i = V 1 ( ) f1, f, f n x 1, x, x n n ( 1) i+j y j V j=1 ( f1, f i 1, f i+1, f n x 1, x j 1, x j+1, x n ) Prin urmare L(x) = V n n f i (x) ( 1) i+j y j V i=1 j=1 1 ( ) f1, f, f n x 1, x, x n ( f1, f i 1, f i+1, f n x 1, x j 1, x j+1, x n ) =

38 38 CAPITOLUL ELEMENTE DIN TEORIA INTERPOLĂRII = V 1 ( f1, f, f n x 1, x, x n ) n j=1 y j f 1 (x 1 ) f n (x 1 ) f 1 (x j 1 ) f n (x j 1 ) f 1 (x) f n (x) f 1 (x j+1 ) f n (x j+1 ) f 1 (x n ) f n (x n ) egalitate echivalentă cu (10) Interpolare Lagrange Particularizăm rezultatele secţiunii anterioare pentru sistemul Cebîşev alcătuit din funcţiile 1, x, x,, x n În acest caz F coincide cu mulţimea polinoamelor de grad cel mult n, P n Mulţimea P n este interpolatoare de ordinul n + 1 pe orice mulţime de puncte care conţine cel puţin n + 1 puncte distincte Problema de interpolare corespunzătoare se numeşte problema de interpolare Lagrange, iar soluţia ei polinomul de interpolare Lagrange Teorema 1 Expresia polinomului de interpolare Lagrange este L(P n ; x 1,, x n ; y 1,, y n )(x) = (11) n+1 (x x 1 ) (x x i 1 )(x x i+1 ) (x x n+1 ) = y i (x i x 1 ) (x i x i 1 )(x i x i+1 ) (x i x n+1 ) i=1 Demonstraţie Determinantul V ) revine la determinantul lui Vandermonde V (x 1, x,, x n ) = ( 1, x,, x n x 1, x,, x n 1 x 1 x n 1 1 x x n 1 x n+1 x n n+1 = 1 j<i n+1 (x i x j )

39 3 INTERPOLAREA LAGRANGE-HERMITE 39 Utilizând (5) găsim 1 x 1 x n 1 1 x i 1 x n i 1 1 x x n 1 x i+1 x n i+1 1 x n+1 x n n+1 ( ) = V (x 1,, x i 1, x, x i+1,, x n+1 = 1, x,, x n V (x 1,, x i 1, x i, x i+1,, x n+1 V x 1, x,, x n = (x x 1) (x x i 1 )(x x i+1 ) (x x n+1 ) (x i x 1 ) (x i x i 1 )(x i x i+1 ) (x i x n+1 ) i = 1,,, n + 1 Polinoamele l i (x) = (x x 1)(x x i 1 )(x x i+1 )(x x n+1 ) (x i x 1 )(x i x i 1 )(x i x i+1 )(x i x n+1, i {1,,, n + 1} se ) numesc polinoamele fundamentale Lagrange şi verifică relaţiile l i (x j ) = δ i,j, i, j {1,,, n + 1} 3 Interpolarea Lagrange-Hermite Date fiind nodurile de interpolare x 1 < x < < x n+1, numerele naturale r 1, r,, r n+1 şi numerele reale f (k) (x i ), k {0, 1,, r i }, i {1,,, n + 1}, ne propunem să determinăm un polinom H(x) care să satisfacă condiţiile: H (k) (x i ) = f (k) (x i ), k {0, 1,, r i }, i {1,,, n + 1} (1) Vom arăta că în mulţimea polinoamelor de grad cel mult m, P m, cu n+1 m + 1 = (r i + 1) (13) i=1 există un singur polinom ce satisface condiţiile de interpolare (1), îi vom determina forma şi vom evalua restul f(x) H(x), în ipoteza în care datele de interpolare corespund funcţiei f

40 40 CAPITOLUL ELEMENTE DIN TEORIA INTERPOLĂRII Teorema 31 Dacă X şi Y sunt spaţii m dimensionale iar A (X, Y ) # este un operator liniar şi injectiv atunci A este bijectiv Demonstraţia 1 Fie e 1, e,, e m o bază în X Atunci Ae 1, Ae,, Ae m este o bază în Y Într-adevăr, dacă m i=1 λ iae i = 0, atunci datorită liniarităţii A( m i=1 λ ie i ) = 0 şi a injectivităţii m i=1 λ ie i = 0, deci λ 1 = λ = = λ m = 0 Dacă y Y, atunci există constantele c 1, c,, c m astfel încât y = m m c i Ae i = A( c i e i ), i=1 i=1 adică surjectivitatea operatorului A Demonstraţia Putem identifica A printr-o matrice din M n (R) Deoarece operatorul A este injectiv Ker(A) = {0} Din 117 rezultă că dim(im(a)) = n adică operatorul A este surjectiv Teorema 3 Problema de interpolare Lagrange - Hermite are soluţie unică în mulţimea polinoamelor de grad cel mult m, P m, (13) Demonstraţie Definim operatorul A : P m R m+1 prin A(p) = (p(x 1 ), p (x 1 ),, p (r 1) (x 1 ),, p(x n+1 ), p (x n+1 ),, p (r n+1) (x n+1 )) (14) A este liniar şi injectiv Într-adevăr, dacă A(p) = 0, cu p P m atunci polinomul u(x) = n+1 i=1 (x x i) r i+1 divide polinomul p Deoarece n+1 grad(u) = (r i + 1) = m + 1 > grad(p), i=1 rezultă că p = 0 Din (31), rezultă că operatorul A este bijectiv, deci există un singur polinom H P m astfel încât A(H) = (f (0) (x 1 ), f (1) (x 1 ),, f (r 1) (x 1 ),, f (0) (x n+1 ), f (1) (x n+1 ),, f (r n+1) (x n+1 ))

41 3 INTERPOLAREA LAGRANGE-HERMITE 41 sau H (k) (x i ) = f (k) (x i ), k {0, 1,, r i }, i {1,,, n + 1} Introducem notaţiile: u(x) = u i (x) = n+1 (x x i ) r i+1 i=1 (15) u(x) (x x i ) r i+1 (16) Teorema 33 Expresia polinomului de interpolare Lagrange Hermite, soluţia problemei de interpolare Lagrange Hermite este n+1 r i H(x) = f (j) (x i )h i,j (x), (17) i=1 j=0 unde h i,j (x) = u i (x) (x x i) j j! r i j k=0 ( 1 ) (k) u i (x) (x x i )k x=x i k! Demonstraţie Fie (e i,j ) 1 i n+1, 0 j ri baza canonică în R m+1 Pentru fiecare i {1,,, n + 1}, j {0, 1,, r i } există polinomul h i,j P m astfel încât A(h i,j ) = e i,j, unde A este operatorul definit în (14) Atunci A(H) = (f (0) (x 1 ), f (1) (x 1 ),, f (r 1) (x 1 ),, f (0) (x n+1 ), f (1) (x n+1 ),, f (r n+1) (x n+1 )) = n+1 r i n+1 r i f (j) (x i )e i,j = f (j) (x i )A(h i,j ) = i=1 j=0 n+1 = A( i=1 i=1 r i j=0 j=0 f (j) (x i )h i,j ) Injectivitatea operatorului A implică (17) Din definiţia polinomului h i,j, rezultă că h i,j se divide prin u i (x)(x x i ) j Prin urmare h i,j (x) = u i (x)(x x i ) j g i,j (x), (18)

42 4 CAPITOLUL ELEMENTE DIN TEORIA INTERPOLĂRII unde g i,j este un polinom a cărui grad este gradg i,j = gradh i,j gradu i j = m ((m + 1) (r i + 1)) j = r i j Polinomul g i,j se poate scrie Din (18) găsim r i j g i,j (x) = k=0 g (k) i,j (x i) (x x i) k k! (x x i ) j 1 g i,j (x) = h i,j (x) u i (x) şi derivând de j + k, potrivit formulei lui Leibniz, obţinem j+k ( j + k s s=0 ) j+k ((x x i ) j ) (s) g (j+k s) i,j (x) = s=0 ( j + k s ) ( ) (s) h (j+k s) 1 i,j (x) u i (x) Pentru x = x i singurul termen diferit de 0 în membrul stâng se obţine pentru s = j iar în membrul drept, datorită definiţiei lui h i,j, singurul termen diferit de 0 se obţine pentru s = k Rezultă de unde ( ) (k) j!g (k) i,j (x i) = h (j) 1 i,j u i (x) x=x i g (k) i,j (x i) = 1 ( ) (k) 1, j! u i (x) x=x i k {0, 1,, r i j} Teorema 34 Dacă f este o funcţie de m + 1 ori derivabilă în intervalul I = (min{x, x 1,, x n+1 }, max{x, x 1,, x n+1 }) atunci există ξ I astfel încât f(x) H(x) = u(x) f (m+1) (ξ) (m + 1)! (19) Demonstraţie Funcţia F : R R definită prin F (z) = u(z) f(z) H(z) u(x) f(x) H(x)

43 3 INTERPOLAREA LAGRANGE-HERMITE 43 admite zerourile x, x 1,, x n+1 cu ordinele de multiplicitate, respectiv 1, r 1 + 1,, r n Spunem că F se anulează în 1 + n+1 i=1 (r i + 1) = m + puncte Din teorema lui Rolle rezultă că există ξ I astfel încât F (m+1) (ξ) = 0 Dar F (m+1) (ξ) = (m + 1)!(f(x) H(x)) f (m+1) (ξ)u(x) = 0, de unde se deduce (19) Cazuri particulare importante 1 Polinomul Taylor Fie n = 0 şi notăm x 1 = a, r 1 = r polinomul de interpolare H(x) satisface condiţiile În acest caz şi are expresia H (j) (a) = f (j) (a) j {0, 1,, r} H(x) = r f (j) (x a)j (a), j! j=0 ceea ce corespunde polinomului lui Taylor ataşat funcţiei f în punctul a, de grad r Polinomul lui Lagrange Dacă r i = 0, i = 1,,, n + 1 atunci regăsim polinomul de interpolare Lagrange i=1 n+1 H(x) = f(x i ) u i(x) u i (x i ) = i=1 n+1 = f(x i ) (x x 1) (x x i 1 )(x x i+1 ) (x x n+1 ) (x i x 1 ) (x i x i 1 )(x i x i+1 ) (x i x n+1 ) = = L(P n, x 1,, x n+1, f)(x) 3 Polinomul lui Fejér Fie r i = 1, i = 1,,, n + 1 Introducând notaţiile w(x) = n+1 i=1 (x x i) w ( x) = w(x) l i (x) = w i(x) w i (x i ) = x x i i {1,,, n + 1} w(x) (x x i )w (x i i {1,,, n + 1} ) găsim u(x) = w (x) şi u i (x) = wi (x), i {1,,, n + 1} Atunci ( ) 1 h i,0 (x) = wi (x) wi (x i) + (x x 1 i)( wi (x)) x=x i =

44 44 CAPITOLUL ELEMENTE DIN TEORIA INTERPOLĂRII şi ( 1 = wi (x) ( = w i (x) wi (x 1 (x x i ) w (x i ) i) w (x i ) ) wi (x i) (x x i) w i(x i ) wi 3(x = i) ) = li (x) ( 1 (x x i ) w (x i ) w (x i ) h i,1 (x) = wi 1 (x)(x x i ) wi (x i) = l i (x)(x x i ) Expresia polinomului de interpolare devine i=1 ), n+1 n+1 H(x) = f(x i )h i,0 (x) + f (x i )h i,1 (x) = (0) i=1 n+1 ( ) = f(x i )li (x) 1 (x x i ) w (x i ) n+1 + f (x w i )li (x)(x x i ) (x i ) Acest polinom este cunoscut sub numele de polinomul lui Fejér 4 Polinomul de interpolarea Lagrange şi diferenţa divizată Scopul acestei secţiuni este reliefarea unor formule legate de polinomul de interpolare Lagrange Utilizăm notaţiile u(x) = u i (x) = n+1 (x x i ) r i+1 i=1 u(x) (x x i ) r i+1 l i (x) = (x x 1) (x x i 1 )(x x i+1 ) (x x n+1 ) (x i x 1 ) (x i x i 1 )(x i x i+1 ) (x i x n+1 ) = Din (1) avem = u i(x) u i (x i ) = u(x) (x x i )u (x i ) i=1 n+1 L(P n ; x 1,, x n + 1; f)(x) = f(x i ) u i(x) u i (x i ) = (1) i=1 i=1

45 4 DIFERENŢE DIVIZATE 45 n+1 n+1 1 = u(x) f(x i ) (x x i )u (x i ) = f(x i )l i (x) i=1 Din teorema (34) deducem Teorema 41 Dacă f este o funcţie de n + 1 ori derivabilă în intervalul I = (min{x, x 1,, x n+1 }, max{x, x 1,, x n+1 }) atunci există ξ I astfel încât f(x) = L(P n ; x 1,, x n + 1; f)(x) + u(x) f n+1 (ξ) (n + 1)! () În particular, pentru f = 1 rezultă n = L(P n ; x 1,, x n+1 )(x) = u(x) (x x i )u (x i ) (3) Împărţind (1) la (3) deducem formula baricentrică a polinomului de interpolare Lagrange i=1 i=1 L(P n ; x 1,, x n+1 ; f)(x) = n+1 f(x 1 ) i=1 (x x i )u (x i ) n+1 1 i=1 (x x i )u (x i ) (4) O metoda utilă de calcul se bazează pe formula de recurenţă a polinoamelor de interpolare Lagrange Teorema 4 Are loc formula L(P n ; x 1,, x n+1 ; f)(x) = (5) (x x n+1 )L(P n 1 ; x 1,, x n ; f)(x) (x x 1 )L(P n 1 ; x,, x n+1 ; f)(x) x 1 x n+1 Demonstraţie Funcţia din membrul drept al egalităţii (5) verifică condiţiile de interpolare ce definesc polinonul L(P n ; x 1,, x n+1 ; f)(x) Definiţie 41 Numim diferenţă divizată de ordin n a funcţiei f în nodurile x 1,, x n+1 coeficientul lui x n a polinomului de interpolare Lagrange L(P n ; x 1,, x n+1 ; f)(x) şi-l notăm [x 1,, x n+1 ; f]

46 46 CAPITOLUL ELEMENTE DIN TEORIA INTERPOLĂRII Teorema 43 Are loc egalitatea L(P n ; x 1,, x n+1 ; f)(x) = (6) = L(P n 1 ; x 1,, x n ; f)(x) + (x x 1 ) (x x n )[x 1,, x n+1 ; f] Demonstraţie Funcţia L(P n ; x 1,, x n+1 ; f)(x) L(P n 1 ; x 1,, x n ; f)(x) (x x 1 ) (x x n )[x 1,, x n+1 ; f] reprezintă un polinom de grad cel mult n 1 care se anulează în n puncte distincte x 1,, x n ; deci este polinomul identic nul Un rezultat asemănător celui din (41) este Teorema 44 Are loc formula f(x) = L(P n ; x 1,, x n+1 ; f)(x) + u(x)[x, x 1,, x n+1 ; f] (7) Demonstraţie Polinomul de interpolare Lagrange al funcţiei f în nodurile x, x 1,, x n+1 verifică egalitatea (6) L(P n+1 ; x, x 1,, x n+1 ; f)(z) = = L(P n ; x 1,, x n+1 ; f)(z) + (z x 1 ) (z x n+1 )[x, x 1,, x n+1 ; f] Pentru z = x obţinem (7) În funcţie de diferenţe divizate, polinomul de interpolare Lagrange se scrie Teorema 45 (Forma lui Newton a polinomului de interpolare) Are loc formula L(P n ; x 1,, x n+1 ; f)(x) = (8) n = f(x 1 ) + (x x 1 ) (x x i )[x 1,, x i+1 ; f] i=1 Demonstraţie Potrivit (43) au loc succesiv egalităţile L(P n ; x 1,, x n+1 ; f)(x) = L(P n 1 ; x 1,, x n ; f)(x) +(x x 1 ) (x x n )[x 1,, x n+1 ; f] L(P n 1 ; x 1,, x n ; f)(x) = L(P n ; x 1,, x n 1 ; f)(x) +(x x 1 ) (x x n 1 )[x 1,, x n ; f] L(P 1 ; x 1, x ; f)(x) = L(P 0 ; x 1 ; f)(x) + (x x 1 )[x 1, x ; f]

47 4 DIFERENŢE DIVIZATE 47 care însumate dau (8) Punând în evidenţă coeficientul lui x n în (1), găsim următoarele formule de calcul pentru diferenţa divizată = n+1 i=1 [x 1,, x n+1 ; f] = (9) n+1 f i (x) (x i x 1 ) (x i x i 1 )(x i x i+1 ) (x i x n+1 ) = Stabilim proprietăţi ale diferenţei divizate i=1 n+1 f i (x) u i (x i ) = i=1 f(x i ) u (x i ) Teorema 46 Diferenţele divizate ale unei funcţii verifică formula de recurenţă [x 1,, x n+1 ; f] = [x 1,, x n ; f] [x,, x n+1 ; f] x 1 x n+1, (30) [x 1 ; f] = f(x 1 ) (31) Demonstraţie Potrivit (43) au loc dezvoltările L(P n ; x 1,, x n+1 ; f)(x) = = L(P n 1 ; x 1,, x n ; f)(x) + (x x 1 ) (x x n )[x 1,, x n+1 ; f] = = L(P n ; x,, x n ; f)(x) + (x x ) (x x n )[x 1,, x n ; f]+ +(x x 1 ) (x x n )[x 1,, x n+1 ; f] şi L(P n ; x 1,, x n+1 ; f)(x) = = L(P n 1 ; x,, x n+1 ; f)(x) + (x x ) (x x n+1 )[x 1,, x n+1 ; f] = = L(P n ; x,, x n ; f)(x) + (x x ) (x x n )[x,, x n+1 ; f]+ +(x x ) (x x n+1 )[x 1,, x n+1 ; f] Egalând cele două dezvoltări, după reducere şi simplificare obţinem [x 1,, x n ; f] + (x x 1 )[x 1,, x n+1 ; f] = = [x,, x n+1 ; f] + (x x n+1 )[x 1,, x n+1 ; f] de unde rezultă (30)

48 48 CAPITOLUL ELEMENTE DIN TEORIA INTERPOLĂRII Teorema 47 (Formula de medie) Dacă funcţia f admite derivate până la ordinul n în intervalul I = (min{x 1,, x n+1 }, max{x 1,, x n+1 }) atunci există ξ I astfel încât [x 1,, x n+1 ; f] = f (n) (3) n! Demonstraţie Fie x I Ţinând seama de (44) are loc egalitatea f(x) L(P n 1, x 1,, x n ; f)(x) = (x x 1 ) (x x n )[x, x 1,, x n ; f] (33) şi potrivit lui (41) există ξ I astfel încât f(x) L(P n 1, x 1,, x n ; f)(x) = (x x 1 ) (x x n ) f (n) (ξ) (34) n! Egalând (33) şi (34), pentru x = x n+1 obţinem (3) Observaţie 41 Dacă f C n (I) şi x I atunci Această observaţie justifică definiţia Definiţie 4 lim x1 x,,x n x[x 1,, x n+1 ; f] = f (n) (x) n! [x,, x; f] = f (n) (x) }{{} n! n+1 ori (35) Această definiţie permite definirea diferenţei divizare pe noduri multiple În prealabil stabilim Teorema 48 Fie nodurile x 1 1, x 1, x r x 1, x, x r +1 x 1 n+1, x n+1, x r n+1+1 n+1

Sisteme diferenţiale liniare de ordinul 1

Sisteme diferenţiale liniare de ordinul 1 1 Metoda eliminării 2 Cazul valorilor proprii reale Cazul valorilor proprii nereale 3 Catedra de Matematică 2011 Forma generală a unui sistem liniar Considerăm sistemul y 1 (x) = a 11y 1 (x) + a 12 y 2

Διαβάστε περισσότερα

Curs 14 Funcţii implicite. Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi"

Curs 14 Funcţii implicite. Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică Gh. Asachi Curs 14 Funcţii implicite Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Fie F : D R 2 R o funcţie de două variabile şi fie ecuaţia F (x, y) = 0. (1) Problemă În ce condiţii ecuaţia

Διαβάστε περισσότερα

5. FUNCŢII IMPLICITE. EXTREME CONDIŢIONATE.

5. FUNCŢII IMPLICITE. EXTREME CONDIŢIONATE. 5 Eerciţii reolvate 5 UNCŢII IMPLICITE EXTREME CONDIŢIONATE Eerciţiul 5 Să se determine şi dacă () este o funcţie definită implicit de ecuaţia ( + ) ( + ) + Soluţie ie ( ) ( + ) ( + ) + ( )R Evident este

Διαβάστε περισσότερα

Curs 10 Funcţii reale de mai multe variabile reale. Limite şi continuitate.

Curs 10 Funcţii reale de mai multe variabile reale. Limite şi continuitate. Curs 10 Funcţii reale de mai multe variabile reale. Limite şi continuitate. Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Fie p, q N. Fie funcţia f : D R p R q. Avem următoarele

Διαβάστε περισσότερα

Metode iterative pentru probleme neliniare - contractii

Metode iterative pentru probleme neliniare - contractii Metode iterative pentru probleme neliniare - contractii Problemele neliniare sunt in general rezolvate prin metode iterative si analiza convergentei acestor metode este o problema importanta. 1 Contractii

Διαβάστε περισσότερα

Metode de interpolare bazate pe diferenţe divizate

Metode de interpolare bazate pe diferenţe divizate Metode de interpolare bazate pe diferenţe divizate Radu Trîmbiţaş 4 octombrie 2005 1 Forma Newton a polinomului de interpolare Lagrange Algoritmul nostru se bazează pe forma Newton a polinomului de interpolare

Διαβάστε περισσότερα

V.7. Condiţii necesare de optimalitate cazul funcţiilor diferenţiabile

V.7. Condiţii necesare de optimalitate cazul funcţiilor diferenţiabile Metode de Optimizare Curs V.7. Condiţii necesare de optimalitate cazul funcţiilor diferenţiabile Propoziţie 7. (Fritz-John). Fie X o submulţime deschisă a lui R n, f:x R o funcţie de clasă C şi ϕ = (ϕ,ϕ

Διαβάστε περισσότερα

(a) se numeşte derivata parţială a funcţiei f în raport cu variabila x i în punctul a.

(a) se numeşte derivata parţială a funcţiei f în raport cu variabila x i în punctul a. Definiţie Spunem că: i) funcţia f are derivată parţială în punctul a în raport cu variabila i dacă funcţia de o variabilă ( ) are derivată în punctul a în sens obişnuit (ca funcţie reală de o variabilă

Διαβάστε περισσότερα

SEMINAR 14. Funcţii de mai multe variabile (continuare) ( = 1 z(x,y) x = 0. x = f. x + f. y = f. = x. = 1 y. y = x ( y = = 0

SEMINAR 14. Funcţii de mai multe variabile (continuare) ( = 1 z(x,y) x = 0. x = f. x + f. y = f. = x. = 1 y. y = x ( y = = 0 Facultatea de Hidrotehnică, Geodezie şi Ingineria Mediului Matematici Superioare, Semestrul I, Lector dr. Lucian MATICIUC SEMINAR 4 Funcţii de mai multe variabile continuare). Să se arate că funcţia z,

Διαβάστε περισσότερα

Curs 4 Serii de numere reale

Curs 4 Serii de numere reale Curs 4 Serii de numere reale Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Criteriul rădăcinii sau Criteriul lui Cauchy Teoremă (Criteriul rădăcinii) Fie x n o serie cu termeni

Διαβάστε περισσότερα

a n (ζ z 0 ) n. n=1 se numeste partea principala iar seria a n (z z 0 ) n se numeste partea

a n (ζ z 0 ) n. n=1 se numeste partea principala iar seria a n (z z 0 ) n se numeste partea Serii Laurent Definitie. Se numeste serie Laurent o serie de forma Seria n= (z z 0 ) n regulata (tayloriana) = (z z n= 0 ) + n se numeste partea principala iar seria se numeste partea Sa presupunem ca,

Διαβάστε περισσότερα

2 Transformări liniare între spaţii finit dimensionale

2 Transformări liniare între spaţii finit dimensionale Transformări 1 Noţiunea de transformare liniară Proprietăţi. Operaţii Nucleul şi imagine Rangul şi defectul unei transformări 2 Matricea unei transformări Relaţia dintre rang şi defect Schimbarea matricei

Διαβάστε περισσότερα

Integrala nedefinită (primitive)

Integrala nedefinită (primitive) nedefinita nedefinită (primitive) nedefinita 2 nedefinita februarie 20 nedefinita.tabelul primitivelor Definiţia Fie f : J R, J R un interval. Funcţia F : J R se numeşte primitivă sau antiderivată a funcţiei

Διαβάστε περισσότερα

SERII NUMERICE. Definiţia 3.1. Fie (a n ) n n0 (n 0 IN) un şir de numere reale şi (s n ) n n0

SERII NUMERICE. Definiţia 3.1. Fie (a n ) n n0 (n 0 IN) un şir de numere reale şi (s n ) n n0 SERII NUMERICE Definiţia 3.1. Fie ( ) n n0 (n 0 IN) un şir de numere reale şi (s n ) n n0 şirul definit prin: s n0 = 0, s n0 +1 = 0 + 0 +1, s n0 +2 = 0 + 0 +1 + 0 +2,.......................................

Διαβάστε περισσότερα

Curs 1 Şiruri de numere reale

Curs 1 Şiruri de numere reale Bibliografie G. Chiorescu, Analiză matematică. Teorie şi probleme. Calcul diferenţial, Editura PIM, Iaşi, 2006. R. Luca-Tudorache, Analiză matematică, Editura Tehnopress, Iaşi, 2005. M. Nicolescu, N. Roşculeţ,

Διαβάστε περισσότερα

III. Serii absolut convergente. Serii semiconvergente. ii) semiconvergentă dacă este convergentă iar seria modulelor divergentă.

III. Serii absolut convergente. Serii semiconvergente. ii) semiconvergentă dacă este convergentă iar seria modulelor divergentă. III. Serii absolut convergente. Serii semiconvergente. Definiţie. O serie a n se numeşte: i) absolut convergentă dacă seria modulelor a n este convergentă; ii) semiconvergentă dacă este convergentă iar

Διαβάστε περισσότερα

Curs 2 Şiruri de numere reale

Curs 2 Şiruri de numere reale Curs 2 Şiruri de numere reale Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Convergenţă şi mărginire Teoremă Orice şir convergent este mărginit. Demonstraţie Fie (x n ) n 0 un

Διαβάστε περισσότερα

Seminar 5 Analiza stabilității sistemelor liniare

Seminar 5 Analiza stabilității sistemelor liniare Seminar 5 Analiza stabilității sistemelor liniare Noțiuni teoretice Criteriul Hurwitz de analiză a stabilității sistemelor liniare În cazul sistemelor liniare, stabilitatea este o condiție de localizare

Διαβάστε περισσότερα

Planul determinat de normală şi un punct Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru Planul determinat de 3 puncte necoliniare

Planul determinat de normală şi un punct Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru Planul determinat de 3 puncte necoliniare 1 Planul în spaţiu Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru 2 Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru Fie reperul R(O, i, j, k ) în spaţiu. Numim normala a unui plan, un vector perpendicular pe

Διαβάστε περισσότερα

INTERPOLARE. y i L i (x). L(x) = i=0

INTERPOLARE. y i L i (x). L(x) = i=0 INTERPOLARE Se dau punctele P 0, P 1,..., P n in plan sau in spatiu, numite noduri si avand vectorii de pozitie r 0, r 1,..., r n. Problemă. Să se găsească o curbă (dintr-o anumită familie) care să treacă

Διαβάστε περισσότερα

Functii Breviar teoretic 8 ianuarie ianuarie 2011

Functii Breviar teoretic 8 ianuarie ianuarie 2011 Functii Breviar teoretic 8 ianuarie 011 15 ianuarie 011 I Fie I, interval si f : I 1) a) functia f este (strict) crescatoare pe I daca x, y I, x< y ( f( x) < f( y)), f( x) f( y) b) functia f este (strict)

Διαβάστε περισσότερα

Definiţia generală Cazul 1. Elipsa şi hiperbola Cercul Cazul 2. Parabola Reprezentari parametrice ale conicelor Tangente la conice

Definiţia generală Cazul 1. Elipsa şi hiperbola Cercul Cazul 2. Parabola Reprezentari parametrice ale conicelor Tangente la conice 1 Conice pe ecuaţii reduse 2 Conice pe ecuaţii reduse Definiţie Numim conica locul geometric al punctelor din plan pentru care raportul distantelor la un punct fix F şi la o dreaptă fixă (D) este o constantă

Διαβάστε περισσότερα

Seminariile Capitolul X. Integrale Curbilinii: Serii Laurent şi Teorema Reziduurilor

Seminariile Capitolul X. Integrale Curbilinii: Serii Laurent şi Teorema Reziduurilor Facultatea de Matematică Calcul Integral şi Elemente de Analiă Complexă, Semestrul I Lector dr. Lucian MATICIUC Seminariile 9 20 Capitolul X. Integrale Curbilinii: Serii Laurent şi Teorema Reiduurilor.

Διαβάστε περισσότερα

Spatii liniare. Exemple Subspaţiu liniar Acoperire (înfăşurătoare) liniară. Mulţime infinită liniar independentă

Spatii liniare. Exemple Subspaţiu liniar Acoperire (înfăşurătoare) liniară. Mulţime infinită liniar independentă Noţiunea de spaţiu liniar 1 Noţiunea de spaţiu liniar Exemple Subspaţiu liniar Acoperire (înfăşurătoare) liniară 2 Mulţime infinită liniar independentă 3 Schimbarea coordonatelor unui vector la o schimbare

Διαβάστε περισσότερα

1.3 Baza a unui spaţiu vectorial. Dimensiune

1.3 Baza a unui spaţiu vectorial. Dimensiune .3 Baza a unui spaţiu vectorial. Dimensiune Definiţia.3. Se numeşte bază a spaţiului vectorial V o familie de vectori B care îndeplineşte condiţiile de mai jos: a) B este liniar independentă; b) B este

Διαβάστε περισσότερα

Asupra unei inegalităţi date la barajul OBMJ 2006

Asupra unei inegalităţi date la barajul OBMJ 2006 Asupra unei inegalităţi date la barajul OBMJ 006 Mircea Lascu şi Cezar Lupu La cel de-al cincilea baraj de Juniori din data de 0 mai 006 a fost dată următoarea inegalitate: Fie x, y, z trei numere reale

Διαβάστε περισσότερα

Ion CRĂCIUN CAPITOLE DE MATEMATICI SPECIALE EDITURA PIM

Ion CRĂCIUN CAPITOLE DE MATEMATICI SPECIALE EDITURA PIM Ion CRĂCIUN CAPITOLE DE MATEMATICI SPECIALE EDITURA PIM IAŞI 2007 2 Cuprins 1 Ecuaţii diferenţiale liniare de ordin superior 7 1.1 Ecuaţii diferenţiale liniare de ordinul n cu coeficienţi variabili 7 1.2

Διαβάστε περισσότερα

EDITURA PARALELA 45 MATEMATICĂ DE EXCELENŢĂ. Clasa a X-a Ediţia a II-a, revizuită. pentru concursuri, olimpiade şi centre de excelenţă

EDITURA PARALELA 45 MATEMATICĂ DE EXCELENŢĂ. Clasa a X-a Ediţia a II-a, revizuită. pentru concursuri, olimpiade şi centre de excelenţă Coordonatori DANA HEUBERGER NICOLAE MUŞUROIA Nicolae Muşuroia Gheorghe Boroica Vasile Pop Dana Heuberger Florin Bojor MATEMATICĂ DE EXCELENŢĂ pentru concursuri, olimpiade şi centre de excelenţă Clasa a

Διαβάστε περισσότερα

Concurs MATE-INFO UBB, 1 aprilie 2017 Proba scrisă la MATEMATICĂ

Concurs MATE-INFO UBB, 1 aprilie 2017 Proba scrisă la MATEMATICĂ UNIVERSITATEA BABEŞ-BOLYAI CLUJ-NAPOCA FACULTATEA DE MATEMATICĂ ŞI INFORMATICĂ Concurs MATE-INFO UBB, aprilie 7 Proba scrisă la MATEMATICĂ SUBIECTUL I (3 puncte) ) (5 puncte) Fie matricele A = 3 4 9 8

Διαβάστε περισσότερα

Cursul Măsuri reale. D.Rusu, Teoria măsurii şi integrala Lebesgue 15

Cursul Măsuri reale. D.Rusu, Teoria măsurii şi integrala Lebesgue 15 MĂSURI RELE Cursul 13 15 Măsuri reale Fie (,, µ) un spaţiu cu măsură completă şi f : R o funcţie -măsurabilă. Cum am văzut în Teorema 11.29, dacă f are integrală pe, atunci funcţia de mulţime ν : R, ν()

Διαβάστε περισσότερα

z a + c 0 + c 1 (z a)

z a + c 0 + c 1 (z a) 1 Serii Laurent (continuare) Teorema 1.1 Fie D C un domeniu, a D şi f : D \ {a} C o funcţie olomorfă. Punctul a este pol multiplu de ordin p al lui f dacă şi numai dacă dezvoltarea în serie Laurent a funcţiei

Διαβάστε περισσότερα

CURS 11: ALGEBRĂ Spaţii liniare euclidiene. Produs scalar real. Spaţiu euclidian. Produs scalar complex. Spaţiu unitar. Noţiunea de normă.

CURS 11: ALGEBRĂ Spaţii liniare euclidiene. Produs scalar real. Spaţiu euclidian. Produs scalar complex. Spaţiu unitar. Noţiunea de normă. Sala: 2103 Decembrie 2014 Conf. univ. dr.: Dragoş-Pătru Covei CURS 11: ALGEBRĂ Specializarea: C.E., I.E., S.P.E. Nota: Acest curs nu a fost supus unui proces riguros de recenzare pentru a fi oficial publicat.

Διαβάστε περισσότερα

Matrice. Determinanti. Sisteme liniare

Matrice. Determinanti. Sisteme liniare Matrice 1 Matrice Adunarea matricelor Înmulţirea cu scalar. Produsul 2 Proprietăţi ale determinanţilor Rangul unei matrice 3 neomogene omogene Metoda lui Gauss (Metoda eliminării) Notiunea de matrice Matrice

Διαβάστε περισσότερα

Ecuatii exponentiale. Ecuatia ce contine variabila necunoscuta la exponentul puterii se numeste ecuatie exponentiala. a x = b, (1)

Ecuatii exponentiale. Ecuatia ce contine variabila necunoscuta la exponentul puterii se numeste ecuatie exponentiala. a x = b, (1) Ecuatii exponentiale Ecuatia ce contine variabila necunoscuta la exponentul puterii se numeste ecuatie exponentiala. Cea mai simpla ecuatie exponentiala este de forma a x = b, () unde a >, a. Afirmatia.

Διαβάστε περισσότερα

Functii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor

Functii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor Functii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor. Fiind date doua multimi si spunem ca am definit o functie (aplicatie) pe cu valori in daca fiecarui element

Διαβάστε περισσότερα

Functii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor X) functia f 1

Functii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor X) functia f 1 Functii definitie proprietati grafic functii elementare A. Definitii proprietatile functiilor. Fiind date doua multimi X si Y spunem ca am definit o functie (aplicatie) pe X cu valori in Y daca fiecarui

Διαβάστε περισσότερα

1. Sisteme de ecuaţii liniare Definiţia 1.1. Fie K un corp comutativ. 1) Prin sistem de m ecuaţii liniare cu n necunoscute X 1,...

1. Sisteme de ecuaţii liniare Definiţia 1.1. Fie K un corp comutativ. 1) Prin sistem de m ecuaţii liniare cu n necunoscute X 1,... 1. Sisteme de ecuaţii liniare Definiţia 1.1. Fie K un corp comutativ. 1) Prin sistem de m ecuaţii liniare cu n necunoscute X 1,..., X n şi coeficienţi în K se înţelege un ansamblu de egalităţi formale

Διαβάστε περισσότερα

Esalonul Redus pe Linii (ERL). Subspatii.

Esalonul Redus pe Linii (ERL). Subspatii. Seminarul 1 Esalonul Redus pe Linii (ERL). Subspatii. 1.1 Breviar teoretic 1.1.1 Esalonul Redus pe Linii (ERL) Definitia 1. O matrice A L R mxn este in forma de Esalon Redus pe Linii (ERL), daca indeplineste

Διαβάστε περισσότερα

Laborator 6. Integrarea ecuaţiilor diferenţiale

Laborator 6. Integrarea ecuaţiilor diferenţiale Laborator 6 Integrarea ecuaţiilor diferenţiale Responsabili: 1. Surdu Cristina(anacristinasurdu@gmail.com) 2. Ştirbăţ Bogdan(bogdanstirbat@yahoo.com) Obiective În urma parcurgerii acestui laborator elevul

Διαβάστε περισσότερα

Orice izometrie f : (X, d 1 ) (Y, d 2 ) este un homeomorfism. (Y = f(x)).

Orice izometrie f : (X, d 1 ) (Y, d 2 ) este un homeomorfism. (Y = f(x)). Teoremă. (Y = f(x)). Orice izometrie f : (X, d 1 ) (Y, d 2 ) este un homeomorfism Demonstraţie. f este continuă pe X: x 0 X, S Y (f(x 0 ), ε), S X (x 0, ε) aşa ca f(s X (x 0, ε)) = S Y (f(x 0 ), ε) : y

Διαβάστε περισσότερα

Capitolul 4. Integrale improprii Integrale cu limite de integrare infinite

Capitolul 4. Integrale improprii Integrale cu limite de integrare infinite Capitolul 4 Integrale improprii 7-8 În cadrul studiului integrabilităţii iemann a unei funcţii s-au evidenţiat douăcondiţii esenţiale:. funcţia :[ ] este definită peintervalînchis şi mărginit (interval

Διαβάστε περισσότερα

Analiza în curent continuu a schemelor electronice Eugenie Posdărăscu - DCE SEM 1 electronica.geniu.ro

Analiza în curent continuu a schemelor electronice Eugenie Posdărăscu - DCE SEM 1 electronica.geniu.ro Analiza în curent continuu a schemelor electronice Eugenie Posdărăscu - DCE SEM Seminar S ANALA ÎN CUENT CONTNUU A SCHEMELO ELECTONCE S. ntroducere Pentru a analiza în curent continuu o schemă electronică,

Διαβάστε περισσότερα

Sisteme de ecuaţii diferenţiale

Sisteme de ecuaţii diferenţiale Curs 5 Sisteme de ecuaţii diferenţiale 5. Sisteme normale Definiţie 5.. Se numeşte sistem normal sistemul de ecuaţii diferenţiale de ordinul întâi dx dt = f (t, x, x 2,..., x n ) dx 2 dt = f 2(t, x, x

Διαβάστε περισσότερα

ELEMENTE DE GEOMETRIA COMPUTAŢIONALĂ A CURBELOR Interpolare cu ajutorul funcţiilor polinomiale

ELEMENTE DE GEOMETRIA COMPUTAŢIONALĂ A CURBELOR Interpolare cu ajutorul funcţiilor polinomiale 3 ELEMENTE DE GEOMETRIA COMPUTAŢIONALĂ A CURBELOR 31 Interpolare cu ajutorul funcţiilor polinomiale Prin interpolare se înţelege următoarea problemă: se dau n + 1 puncte P 0, P 1,, P n în plan sau în spaţiu

Διαβάστε περισσότερα

Toate subiectele sunt obligatorii. Timpul de lucru efectiv este de 3 ore. Se acordă din oficiu 10 puncte. SUBIECTUL I.

Toate subiectele sunt obligatorii. Timpul de lucru efectiv este de 3 ore. Se acordă din oficiu 10 puncte. SUBIECTUL I. Modelul 4 Se acordă din oficiu puncte.. Fie numărul complex z = i. Calculaţi (z ) 25. 2. Dacă x şi x 2 sunt rădăcinile ecuaţiei x 2 9x+8 =, atunci să se calculeze x2 +x2 2 x x 2. 3. Rezolvaţi în mulţimea

Διαβάστε περισσότερα

SEMINAR TRANSFORMAREA FOURIER. 1. Probleme

SEMINAR TRANSFORMAREA FOURIER. 1. Probleme SEMINAR TRANSFORMAREA FOURIER. Probleme. Să se precizeze dacă funcţiile de mai jos sunt absolut integrabile pe R şi, în caz afirmativ să se calculeze { transformata Fourier., t a. σ(t), t < ; b. f(t) σ(t)

Διαβάστε περισσότερα

Seminar Algebra. det(a λi 3 ) = 0

Seminar Algebra. det(a λi 3 ) = 0 Rezolvari ale unor probleme propuse "Matematica const în a dovedi ceea ce este evident în cel mai puµin evident mod." George Polya P/Seminar Valori si vectori proprii : Solutie: ( ) a) A = Valorile proprii:

Διαβάστε περισσότερα

Principiul Inductiei Matematice.

Principiul Inductiei Matematice. Principiul Inductiei Matematice. Principiul inductiei matematice constituie un mijloc important de demonstratie in matematica a propozitiilor (afirmatiilor) ce depind de argument natural. Metoda inductiei

Διαβάστε περισσότερα

Fişier template preliminar

Fişier template preliminar logo.png Contract POSDRU/86/1.2/S/62485 Fişier template preliminar Universitatea Tehnica din Iaşi (front-hyperlinks-colors * 29 iulie 212) UTC.png UTI.png Universitatea Tehnică Gheorghe Asachi din Iaşi

Διαβάστε περισσότερα

Ecuatii trigonometrice

Ecuatii trigonometrice Ecuatii trigonometrice Ecuatiile ce contin necunoscute sub semnul functiilor trigonometrice se numesc ecuatii trigonometrice. Cele mai simple ecuatii trigonometrice sunt ecuatiile de tipul sin x = a, cos

Διαβάστε περισσότερα

Interpolare. O metodă de aproximare. Universitatea,,Babeş-Bolyai. Martie 2011

Interpolare. O metodă de aproximare. Universitatea,,Babeş-Bolyai. Martie 2011 Interpolare O metodă de aproximare Radu T. Trîmbiţaş Universitatea,,Babeş-Bolyai Martie 2011 Radu T. Trîmbiţaş (Universitatea,,Babeş-Bolyai ) Interpolare Martie 2011 1 / 69 Un spaţiu util Pentru n N, definim

Διαβάστε περισσότερα

Lucrare. Varianta aprilie I 1 Definiţi noţiunile de număr prim şi număr ireductibil. Soluţie. Vezi Curs 6 Definiţiile 1 şi 2. sau p b.

Lucrare. Varianta aprilie I 1 Definiţi noţiunile de număr prim şi număr ireductibil. Soluţie. Vezi Curs 6 Definiţiile 1 şi 2. sau p b. Lucrare Soluţii 28 aprilie 2015 Varianta 1 I 1 Definiţi noţiunile de număr prim şi număr ireductibil. Soluţie. Vezi Curs 6 Definiţiile 1 şi 2 Definiţie. Numărul întreg p se numeşte număr prim dacă p 0,

Διαβάστε περισσότερα

CONCURS DE ADMITERE, 17 iulie 2017 Proba scrisă la MATEMATICĂ

CONCURS DE ADMITERE, 17 iulie 2017 Proba scrisă la MATEMATICĂ UNIVERSITATEA BABEŞ-BOLYAI CLUJ-NAPOCA FACULTATEA DE MATEMATICĂ ŞI INFORMATICĂ CONCURS DE ADMITERE, 7 iulie 207 Proba scrisă la MATEMATICĂ SUBIECTUL I (30 puncte) ) (0 puncte) Să se arate că oricare ar

Διαβάστε περισσότερα

Capitolul 3. Serii Fourier. a unei funcţii periodice de perioadă Dezvoltarea în serie Fourier

Capitolul 3. Serii Fourier. a unei funcţii periodice de perioadă Dezvoltarea în serie Fourier Capitolul Serii Fourier 7-8. Dezvoltarea în serie Fourier a unei funcţii periodice de perioadă Pornind de la discuţia asupra coardei vibrante începută în anii 75 între Euler şi d Alembert, se ajunge la

Διαβάστε περισσότερα

R R, f ( x) = x 7x+ 6. Determinați distanța dintre punctele de. B=, unde x și y sunt numere reale.

R R, f ( x) = x 7x+ 6. Determinați distanța dintre punctele de. B=, unde x și y sunt numere reale. 5p Determinați primul termen al progresiei geometrice ( b n ) n, știind că b 5 = 48 și b 8 = 84 5p Se consideră funcția f : intersecție a graficului funcției f cu aa O R R, f ( ) = 7+ 6 Determinați distanța

Διαβάστε περισσότερα

CURS VII-IX. Capitolul IV: Funcţii derivabile. Derivate şi diferenţiale. 1 Derivata unei funcţii. Interpretarea geometrică.

CURS VII-IX. Capitolul IV: Funcţii derivabile. Derivate şi diferenţiale. 1 Derivata unei funcţii. Interpretarea geometrică. Lect dr Facultatea de Hidrotehnică, Geodezie şi Ingineria Mediului Matematici Superioare, Semestrul I, Lector dr Lucian MATICIUC CURS VII-IX Capitolul IV: Funcţii derivabile Derivate şi diferenţiale 1

Διαβάστε περισσότερα

DISTANŢA DINTRE DOUĂ DREPTE NECOPLANARE

DISTANŢA DINTRE DOUĂ DREPTE NECOPLANARE DISTANŢA DINTRE DOUĂ DREPTE NECOPLANARE ABSTRACT. Materialul prezintă o modalitate de a afla distanţa dintre două drepte necoplanare folosind volumul tetraedrului. Lecţia se adresează clasei a VIII-a Data:

Διαβάστε περισσότερα

Lucian Maticiuc CURS I II. 1 Matrice şi determinanţi. Sisteme de ecuaţii liniare. 1.1 Matrice şi determinanţi

Lucian Maticiuc CURS I II. 1 Matrice şi determinanţi. Sisteme de ecuaţii liniare. 1.1 Matrice şi determinanţi Facultatea de Electronică, Telecomunicaţii şi Tehnologia Informaţiei Algebră, Semestrul I, Lector dr Lucian MATICIUC http://mathettituiasiro/maticiuc/ CURS I II Matrice şi determinanţi Sisteme de ecuaţii

Διαβάστε περισσότερα

COLEGIUL NATIONAL CONSTANTIN CARABELLA TARGOVISTE. CONCURSUL JUDETEAN DE MATEMATICA CEZAR IVANESCU Editia a VI-a 26 februarie 2005.

COLEGIUL NATIONAL CONSTANTIN CARABELLA TARGOVISTE. CONCURSUL JUDETEAN DE MATEMATICA CEZAR IVANESCU Editia a VI-a 26 februarie 2005. SUBIECTUL Editia a VI-a 6 februarie 005 CLASA a V-a Fie A = x N 005 x 007 si B = y N y 003 005 3 3 a) Specificati cel mai mic element al multimii A si cel mai mare element al multimii B. b)stabiliti care

Διαβάστε περισσότερα

Lectia VI Structura de spatiu an E 3. Dreapta si planul ca subspatii ane

Lectia VI Structura de spatiu an E 3. Dreapta si planul ca subspatii ane Subspatii ane Lectia VI Structura de spatiu an E 3. Dreapta si planul ca subspatii ane Oana Constantinescu Oana Constantinescu Lectia VI Subspatii ane Table of Contents 1 Structura de spatiu an E 3 2 Subspatii

Διαβάστε περισσότερα

Activitatea A5. Introducerea unor module specifice de pregătire a studenţilor în vederea asigurării de şanse egale

Activitatea A5. Introducerea unor module specifice de pregătire a studenţilor în vederea asigurării de şanse egale Investeşte în oameni! FONDUL SOCIAL EUROPEAN Programul Operaţional Sectorial pentru Dezvoltarea Resurselor Umane 2007 2013 Axa prioritară nr. 1 Educaţiaşiformareaprofesionalăînsprijinulcreşteriieconomiceşidezvoltăriisocietăţiibazatepecunoaştere

Διαβάστε περισσότερα

Conice - Câteva proprietǎţi elementare

Conice - Câteva proprietǎţi elementare Conice - Câteva proprietǎţi elementare lect.dr. Mihai Chiş Facultatea de Matematicǎ şi Informaticǎ Universitatea de Vest din Timişoara Viitori Olimpici ediţia a 5-a, etapa I, clasa a XII-a 1 Definiţii

Διαβάστε περισσότερα

Capitolul 4 PROPRIETĂŢI TOPOLOGICE ŞI DE NUMĂRARE ALE LUI R. 4.1 Proprietăţi topologice ale lui R Puncte de acumulare

Capitolul 4 PROPRIETĂŢI TOPOLOGICE ŞI DE NUMĂRARE ALE LUI R. 4.1 Proprietăţi topologice ale lui R Puncte de acumulare Capitolul 4 PROPRIETĂŢI TOPOLOGICE ŞI DE NUMĂRARE ALE LUI R În cele ce urmează, vom studia unele proprietăţi ale mulţimilor din R. Astfel, vom caracteriza locul" unui punct în cadrul unei mulţimi (în limba

Διαβάστε περισσότερα

Concurs MATE-INFO UBB, 25 martie 2018 Proba scrisă la MATEMATICĂ

Concurs MATE-INFO UBB, 25 martie 2018 Proba scrisă la MATEMATICĂ UNIVERSITATEA BABEŞ-BOLYAI CLUJ-NAPOCA FACULTATEA DE MATEMATICĂ ŞI INFORMATICĂ Concurs MATE-INFO UBB, 5 martie 18 Proba scrisă la MATEMATICĂ NOTĂ IMPORTANTĂ: 1 Problemele tip grilă (Partea A pot avea unul

Διαβάστε περισσότερα

Progresii aritmetice si geometrice. Progresia aritmetica.

Progresii aritmetice si geometrice. Progresia aritmetica. Progresii aritmetice si geometrice Progresia aritmetica. Definitia 1. Sirul numeric (a n ) n N se numeste progresie aritmetica, daca exista un numar real d, numit ratia progresia, astfel incat a n+1 a

Διαβάστε περισσότερα

Fie I R un interval deschis, G R n, n 1, un domeniu şi f : I G R n. Forma generala a unei ecuaţii diferenţiale de ordinul întâi este: = f(x, y).

Fie I R un interval deschis, G R n, n 1, un domeniu şi f : I G R n. Forma generala a unei ecuaţii diferenţiale de ordinul întâi este: = f(x, y). Ecuaţii diferenţiale Ecuaţii diferenţiale ordinare Ecuaţii cu derivate parţiale Ordinul unei ecuaţii Soluţia unei ecuaţii diferenţiale ordinare Fie I R un interval deschis, G R n, n 1, un domeniu şi f

Διαβάστε περισσότερα

, m ecuańii, n necunoscute;

, m ecuańii, n necunoscute; Sisteme liniare NotaŃii: a ij coeficienńi, i necunoscute, b i termeni liberi, i0{1,,..., n}, j0{1,,..., m}; a11 1 + a1 +... + a1 nn = b1 a11 + a +... + an n = b (S), m ecuańii, n necunoscute;... am11 +

Διαβάστε περισσότερα

Probleme pentru clasa a XI-a

Probleme pentru clasa a XI-a Probleme pentru clasa a XI-a 1 ( ) 01. Fie A si B doua matrici de ordin n cu elemente numere reale, care satisfac relatia AB = A + B. a) Sa se arate ca det(a 2 + B 2 ) 0. b) Sa se arate ca rang A + B =

Διαβάστε περισσότερα

J F (ρ, ϕ, θ) = cos ϕ ρ sin ϕ 0. Teoremă (a diferenţiabilităţii compuse) (legea lanţului) Fie F : D deschis

J F (ρ, ϕ, θ) = cos ϕ ρ sin ϕ 0. Teoremă (a diferenţiabilităţii compuse) (legea lanţului) Fie F : D deschis 3) Coordonate sferice Fie funcţia vectorială F : R + [ π, π] [0, π) R 3, F (ρ, ϕ, θ) = (ρ sin ϕ cos θ, ρ sin ϕ sin θ, ρ cos ϕ). Observăm că F exprimă legătura dintre coordonatele carteziene şi coordonatele

Διαβάστε περισσότερα

Cursul de recuperare Algebra. v n. daca in schimb exista coecienti λ 1, λ 2,..., λ n nu toti nuli care satisfac relatia (1), de exemplu λ i 0 = A =

Cursul de recuperare Algebra. v n. daca in schimb exista coecienti λ 1, λ 2,..., λ n nu toti nuli care satisfac relatia (1), de exemplu λ i 0 = A = Matrice, determinanti Un punct de vedere liniar independent "A judeca matematic nu înseamn a gândi losoc, a judeca losoc nu înseamn a liber, a gândi liber nu înseamn a losof " Blaise Pascal Liniar independenta:

Διαβάστε περισσότερα

T R A I A N ( ) Trigonometrie. \ kπ; k. este periodică (perioada principală T * =π ), impară, nemărginită.

T R A I A N ( ) Trigonometrie. \ kπ; k. este periodică (perioada principală T * =π ), impară, nemărginită. Trignmetrie Funcţia sinus sin : [, ] este peridică (periada principală T * = ), impară, mărginită. Funcţia arcsinus arcsin : [, ], este impară, mărginită, bijectivă. Funcţia csinus cs : [, ] este peridică

Διαβάστε περισσότερα

f(x) = l 0. Atunci f are local semnul lui l, adică, U 0 V(x 0 ) astfel încât sgnf(x) = sgnl, x U 0 D\{x 0 }. < f(x) < l +

f(x) = l 0. Atunci f are local semnul lui l, adică, U 0 V(x 0 ) astfel încât sgnf(x) = sgnl, x U 0 D\{x 0 }. < f(x) < l + Semnul local al unei funcţii care are limită. Propoziţie. Fie f : D (, d) R, x 0 D. Presupunem că lim x x 0 f(x) = l 0. Atunci f are local semnul lui l, adică, U 0 V(x 0 ) astfel încât sgnf(x) = sgnl,

Διαβάστε περισσότερα

1.4 Schimbarea bazei unui spaţiu vectorial

1.4 Schimbarea bazei unui spaţiu vectorial Algebră liniară, geometrie analitică şi diferenţială. Schimbarea bazei unui spaţiu vectorial După cum s-a văzut deja, într-un spaţiu vectorial V avem mai multe baze, iar un vector x V va avea câte un sistem

Διαβάστε περισσότερα

O generalizare a unei probleme de algebră dată la Olimpiada de Matematică, faza judeţeană, 2013

O generalizare a unei probleme de algebră dată la Olimpiada de Matematică, faza judeţeană, 2013 O generalizare a unei probleme de algebră dată la Olimpiada de Matematică, faza judeţeană, 2013 Marius Tărnăuceanu 1 Aprilie 2013 Abstract În această lucrare vom prezenta un rezultat ce extinde Problema

Διαβάστε περισσότερα

Puncte de extrem pentru funcţii reale de mai multe variabile reale.

Puncte de extrem pentru funcţii reale de mai multe variabile reale. Puncte de extrem pentru funcţii reale de mai multe variabile reale. Definiţie. Fie f : A R n R. i) Un punct a A se numeşte punct de extrem local pentru f dacă diferenţa f(x) f păstrează semn constant pe

Διαβάστε περισσότερα

Vectori liberi Produs scalar Produs vectorial Produsul mixt. 1 Vectori liberi. 2 Produs scalar. 3 Produs vectorial. 4 Produsul mixt.

Vectori liberi Produs scalar Produs vectorial Produsul mixt. 1 Vectori liberi. 2 Produs scalar. 3 Produs vectorial. 4 Produsul mixt. liberi 1 liberi 2 3 4 Segment orientat liberi Fie S spaţiul geometric tridimensional cu axiomele lui Euclid. Orice pereche de puncte din S, notată (A, B) se numeşte segment orientat. Dacă A B, atunci direcţia

Διαβάστε περισσότερα

Nicolae Cotfas ELEMENTE DE EDITURA UNIVERSITĂŢII DIN BUCUREŞTI

Nicolae Cotfas ELEMENTE DE EDITURA UNIVERSITĂŢII DIN BUCUREŞTI Nicolae Cotfas ELEMENTE DE ALGEBRĂ LINIARĂ EDITURA UNIVERSITĂŢII DIN BUCUREŞTI Introducere Pe parcursul acestei cărţi ne propunem să prezentăm într-un mod cât mai accesibil noţiuni si rezultate de bază

Διαβάστε περισσότερα

Rezolvarea ecuaţiilor şi sistemelor de ecuaţii diferenţiale ordinare. Cuprins. Prof.dr.ing. Gabriela Ciuprina

Rezolvarea ecuaţiilor şi sistemelor de ecuaţii diferenţiale ordinare. Cuprins. Prof.dr.ing. Gabriela Ciuprina Rezolvarea ecuaţiilor şi sistemelor de ecuaţii diferenţiale ordinare Prof.dr.ing. Universitatea "Politehnica" Bucureşti, Facultatea de Inginerie Electrică Suport didactic pentru disciplina Metode numerice,

Διαβάστε περισσότερα

Funcţii Ciudate. Beniamin Bogoşel

Funcţii Ciudate. Beniamin Bogoşel Funcţii Ciudate Beniamin Bogoşel Scopul acestui articol este construcţia unor funcţii neobişnuite din punct de vedere intuitiv, care au anumite proprietăţi interesante. Construcţia acestor funcţii se face

Διαβάστε περισσότερα

MODELE DE TESTE GRILĂ PENTRU ADMITEREA DISCIPLINA: ALGEBRĂ (cls. a IX-a, a X-a, a XI-a)

MODELE DE TESTE GRILĂ PENTRU ADMITEREA DISCIPLINA: ALGEBRĂ (cls. a IX-a, a X-a, a XI-a) Universitatea "Dunărea de Jos" din Galaţi MODELE DE TESTE GRILĂ PENTRU ADMITEREA 01 DISCIPLINA: ALGEBRĂ (cls. a IX-a, a X-a, a XI-a Testele sunt recomandate pentru următoarele domenii de licenţă şi facultăţi:

Διαβάστε περισσότερα

Criptosisteme cu cheie publică III

Criptosisteme cu cheie publică III Criptosisteme cu cheie publică III Anul II Aprilie 2017 Problema rucsacului ( knapsack problem ) Considerăm un număr natural V > 0 şi o mulţime finită de numere naturale pozitive {v 0, v 1,..., v k 1 }.

Διαβάστε περισσότερα

Siruri de numere reale

Siruri de numere reale Siruri de numere reale efinitie. Un sir de elemente dintr-o multime M este o functie x : N M (sau x : N k M unde N k = {k, k +,...}). Un sir x : N M il vom nota cu (x n ) n N sau (x n ) n unde x n = x(n)

Διαβάστε περισσότερα

Conice. Lect. dr. Constantin-Cosmin Todea. U.T. Cluj-Napoca

Conice. Lect. dr. Constantin-Cosmin Todea. U.T. Cluj-Napoca Conice Lect. dr. Constantin-Cosmin Todea U.T. Cluj-Napoca Definiţie: Se numeşte curbă algebrică plană mulţimea punctelor din plan de ecuaţie implicită de forma (C) : F (x, y) = 0 în care funcţia F este

Διαβάστε περισσότερα

Gheorghe PROCOPIUC PROBLEME DE ALGEBRĂ LINIARĂ GEOMETRIE

Gheorghe PROCOPIUC PROBLEME DE ALGEBRĂ LINIARĂ GEOMETRIE Gheorghe PROCOPIUC PROBLEME DE ALGEBRĂ LINIARĂ ŞI GEOMETRIE IAŞI, 005 CUPRINS 1 MATRICE ŞI SISTEME ALGEBRICE LINIARE 5 1.1 Matrice şi determinanţi.......................... 5 1. Sisteme de ecuaţii algebrice

Διαβάστε περισσότερα

VARIANTE PENTRU BACALAUREAT, M1-1, 2007

VARIANTE PENTRU BACALAUREAT, M1-1, 2007 VARIANTE PENTRU BACALAUREAT, M-, 27 VARIANTA SUBIECTUL I. a) Să se determine ecuația dreptei care trece prin punctul A(2; 5;3) și este paralelă cu dreapta x = y 2 4 6 = z +3 9. b) Să se determine valoarea

Διαβάστε περισσότερα

Metode Runge-Kutta. 18 ianuarie Probleme scalare, pas constant. Dorim să aproximăm soluţia problemei Cauchy

Metode Runge-Kutta. 18 ianuarie Probleme scalare, pas constant. Dorim să aproximăm soluţia problemei Cauchy Metode Runge-Kutta Radu T. Trîmbiţaş 8 ianuarie 7 Probleme scalare, pas constant Dorim să aproximăm soluţia problemei Cauchy y (t) = f(t, y), a t b, y(a) = α. pe o grilă uniformă de (N + )-puncte din [a,

Διαβάστε περισσότερα

3. Vectori şi valori proprii

3. Vectori şi valori proprii Valori şi vectori proprii 7 Vectori şi valori proprii n Reamintim că dacă A este o matrice pătratică atunci un vector x R se numeşte vector propriu în raport cu A dacă x şi există un număr λ (real sau

Διαβάστε περισσότερα

1Ecuaţii diferenţiale

1Ecuaţii diferenţiale 1Ecuaţii diferenţiale 1.1 Introducere Definitia 1.1 Se numeşte ecuaţie diferenţială ordinarădeordin1: y 0 (x) =f (x, y (x)) (EDO) unde y este funcţia necunoscută, iar f este o funcţie de două variabile

Διαβάστε περισσότερα

IV. CUADRIPOLI SI FILTRE ELECTRICE CAP. 13. CUADRIPOLI ELECTRICI

IV. CUADRIPOLI SI FILTRE ELECTRICE CAP. 13. CUADRIPOLI ELECTRICI V. POL S FLTE ELETE P. 3. POL ELET reviar a) Forma fundamentala a ecuatiilor cuadripolilor si parametrii fundamentali: Prima forma fundamentala: doua forma fundamentala: b) Parametrii fundamentali au urmatoarele

Διαβάστε περισσότερα

METODE NUMERICE: Laborator #5 Metode iterative pentru rezolvarea sistemelor: Jacobi, Gauss-Siedel, Suprarelaxare

METODE NUMERICE: Laborator #5 Metode iterative pentru rezolvarea sistemelor: Jacobi, Gauss-Siedel, Suprarelaxare METODE NUMERICE: Laborator #5 Metode iterative pentru rezolvarea sistemelor: Jacobi, Gauss-Siedel, Suprarelaxare Titulari curs: Florin Pop, George-Pantelimon Popescu Responsabil Laborator: Mădălina-Andreea

Διαβάστε περισσότερα

Subiecte Clasa a VII-a

Subiecte Clasa a VII-a lasa a VII Lumina Math Intrebari Subiecte lasa a VII-a (40 de intrebari) Puteti folosi spatiile goale ca ciorna. Nu este de ajuns sa alegeti raspunsul corect pe brosura de subiecte, ele trebuie completate

Διαβάστε περισσότερα

Pseudoinversă şi inversă generalizată ale unei aplicaţii liniare

Pseudoinversă şi inversă generalizată ale unei aplicaţii liniare Pseudoinversă şi inversă generalizată ale unei aplicaţii liniare Adrian REISNER 1 1. Pseudoinversă a unui endomorfism într-un spaţiu vectorial de dimensiune finită. Fie S un R-spaţiu vectorial de dimensiune

Διαβάστε περισσότερα

Spaţii vectoriale. Definiţia 1.1. Fie (K, +, ) un corp şi (V, +) un grup abelian.

Spaţii vectoriale. Definiţia 1.1. Fie (K, +, ) un corp şi (V, +) un grup abelian. Spaţii vectoriale 1. Spaţii vectoriale. Definiţii şi proprietăţi de bază În continuare prin corp vom înţelege corp comutativ. Dacă nu se precizează altceva, se vor folosi notaţiile standard pentru elementele

Διαβάστε περισσότερα

VII.2. PROBLEME REZOLVATE

VII.2. PROBLEME REZOLVATE Teoria Circuitelor Electrice Aplicaţii V PROBEME REOVATE R7 În circuitul din fiura 7R se cunosc: R e t 0 sint [V] C C t 0 sint [A] Se cer: a rezolvarea circuitului cu metoda teoremelor Kirchhoff; rezolvarea

Διαβάστε περισσότερα

APLICAŢII ALE CALCULULUI DIFERENŢIAL. Material pentru uzul studenţilor de la FACULTATEA DE

APLICAŢII ALE CALCULULUI DIFERENŢIAL. Material pentru uzul studenţilor de la FACULTATEA DE 1 APLICAŢII ALE CALCULULUI DIFERENŢIAL Material pentru uzul studenţilor de la FACULTATEA DE MECANICĂ 2 Contents 1 Aplicaţii ale calculului diferenţial 5 1.1 Extreme ale funcţiilor reale de mai multe variabile

Διαβάστε περισσότερα

Numere Fibonacci. f n+1 = f n + f n 1. (1) In plus, f 0 = 0 si f 1 = 1. (2)

Numere Fibonacci. f n+1 = f n + f n 1. (1) In plus, f 0 = 0 si f 1 = 1. (2) Numere Fibonacci Problema iepurilor Fie data o pereche de iepuri. Se stie ca fiecare pereche de iepuri produce in fiecare luna o noua pereche de iepuri, care la randul sau devine productiva la varsta de

Διαβάστε περισσότερα

Criterii de comutativitate a grupurilor

Criterii de comutativitate a grupurilor Criterii de comutativitate a grupurilor Marius Tărnăuceanu 10.03.2017 Abstract În această lucrare vom prezenta mai multe condiţii suficiente de comutativitate a grupurilor. MSC (2010): 20A05, 20K99. Key

Διαβάστε περισσότερα

Concursul Interjudeţean de Matematică Academician Radu Miron Vaslui, noiembrie Subiecte clasa a VII-a

Concursul Interjudeţean de Matematică Academician Radu Miron Vaslui, noiembrie Subiecte clasa a VII-a Concursul Interjudeţean de Matematică Academician Radu Miron Vaslui, -3 noiembrie 0 Subiecte clasa a VII-a. Fie în exteriorul triunghiului ascuţitunghic ABC, triunghiurile dreptunghice ABP şi ACT cu ipotenuzele

Διαβάστε περισσότερα

Algebră liniară CAPITOLUL 3

Algebră liniară CAPITOLUL 3 Algebră liniară CAPITOLUL 3 TRANSFORĂRI LINIARE 3.. Definiţia transformării liniare Definiţia 3... Fie V şi W două spaţii vectoriale peste un corp comutativ K. O funcţie u: V W se numeşte transformare

Διαβάστε περισσότερα

Ecuaţii diferenţiale de ordinul întâi rezolvabile prin metode elementare

Ecuaţii diferenţiale de ordinul întâi rezolvabile prin metode elementare Capitolul 1 Ecuaţii diferenţiale de ordinul întâi rezolvabile prin metode elementare Definiţia 1.0.1 O ecuaţie diferenţialǎ de ordinul întâi este o relaţie de dependenţǎ funcţionalǎ de forma g(t, x, ẋ)

Διαβάστε περισσότερα