ΟΡΙΑ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΒΑΣΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Αν για την συνάρτηση f ισχύει ( ) το f () Έστω η συνάρτηση υπάρχει το f () 7 ( k ) f = 4 για κάθε Î R να βρεθεί 7 49 f () = να βρεθεί ο k Î R ώστε να 7 Έστω η συνάρτηση f( ) α) Να δείξετε ότι f( ) ì < = í 5 > î = β) Να βρείτε το 8f 4f ( ) ( ) 4 A Αν hm( ac) hm( bc) hm( gc) για κάθε χ ÎÂ να αποδείξετε ότι: α = β γ B Να βρείτε το λ ÎÂ * αν γνωρίζετε ότιhm ( lc) hm ( c) 4lc για κάθε χ ¹ 5 Για την f ισχύουν ότι: hm f() hm παρακάτω: f() i) ii) Να βρεθούν τα f() hm 6 Οι συναρτήσεις f g είναι ορισμένες σε σύνολο της μορφής U( á) αν για κάθε Î U( á) όρια f ( ) και g ( ) ισχύει: ( ) ( ) f ( ) g ( ) = f ( ) να υπολογιστούν τα 7 Έστω η συνάρτηση f ορισμένη στο R για την οποία ισχύει f () çì για κάθε Î R * Να βρεθεί (αν υπάρχει) το f () æ ö 8 Να βρείτε το όριο çhmc sun è c ø f 9 Έστω συνάρτηση f ορισμένη στο R για την οποία ισχύει () f να βρεθεί το () = Δίνεται η συνάρτηση f: Â Â με (f() ) = Να αποδειχθεί ότι: f ( ) ( ) f f ( ) =
Δίνεται συνάρτηση g : R R με: g() = Θεωρούμε επίσης και τη συνάρτηση: α) f ( ) α) Αν f ( ) g( ) g() f() = Να βρείτε τα όρια: g() = κî Â και β) Να βρείτε τα α βî Â ώστε β) 4 f ( ) g() = να δείξετε ότι a b = ì 6 8 a 4 Δίνεται η συνάρτηση: f ( ) = í 4 8 î για την οποία υπάρχει το f ( ) b 4 α) Να βρείτε τους πραγματικούς αριθούς α και β β) Να βρείτε αν υπάρχει το f ( ) f ( ) f()= an < an an < < c > 4 Δίνεται συνάρτηση f που ορίζεται κοντά στο για την οποία ισχύει ότι f ( ) = Να αποδείξετε ότι: i) f ( ) = ii) f ( ) = β) Δίνεται συνάρτηση g : R R για την οποία ισχύει: 4 f ( ) f ( ) Να βρείτε το f ( ) 5 Έστω η συνάρτηση ( ) ìhm sun < = í > o î f α) Να εξετάσετε αν υπάρχει το όριο της f στο f β) Να βρείτε το [ ( ) ( )] f f() 6 Αν για τη συνάρτηση f: Â Â είναι όρια: f( ) f( ) hmc i) c hmc f() ημχ f ( ) f( ) iii) f ( ) f( ) hm c c ii) = να υπολογίσετε τα hmcf() 5ημ c c
7 Ένα f : ( ) με f () < > Ποιο το f ( ) 8 Δίνονται οι συναρτήσεις fg με f () = kαι g() = i) Να οριστεί η συνάρτηση h = fog ii) Να βρεθεί το h() æ ö 9 Να βρείτε τους αβ ώστε ç (α β) = è ø Να βρείτε του km ώστε: i) ( k m) = 4 ii) ( k m) = Αν f( ) hm³ sun ( ) " ÎÂ * και f( ) = L να βρείτε το L Εάν f ( ) ¹ Ποιο το f ( ); Δίνεται συνάρτηση f : R R για την οποία ισχύει: hm 8 7 f() f ( ) α) Να αποδείξετε ότι: = β) Να βρείτε το όριο: f () hm f() 4 για κάθε χ> και ( f ( ) ) = 6 f() 4 Δίνεται συνάρτηση f : R R για την οποία ισχύει: = f ( ) α) Να βρείτε το β) Να βρείτε την τιμή του a Î R για την οποία ισχύει: f ( ) a = f ( ) ì ³ l f = í < l î Αν η f είναι συνεχής στο = l 5 Έστω η συνάρτηση ( ) α)υπολογίστε την τιμή του λ f ( ) 7 f( ) hm β)βρείτε τα f hm ( ) όπου l <
6 Δίνεται η συνάρτηση f( ) = a aîâ α) Να υπολογίσετε την τιμή του α αν γνωρίζουμε ότι ( ) f β) Για την τιμή του α που βρήκατε να μελετήσετε ως προς τη ì 6 a συνέχεια τη συνάρτηση g( ) = í >a î 7 Οι συναρτήσεις fg είναι ορισμένες στο R και για κάθε ισχύει ότι: ( f() ) ( g() ) ημ = f() g() ημ να δείξετε ότι είναι και οι δυο συνεχείς στο = 8 Δίνεται συνεχής συνάρτηση f : R R για την οποία ισχύει: f ( ) Î hm για κάθε R α) Να βρείτε την τιμή f () β) Να βρείτε την τιμή του aî R ώστε η συνάρτηση: ì f ( ) hm hm g( ) = í î a an ¹ an = να είναι συνεχής 9 Δίνεται συνάρτηση f : R R για την οποία ισχύει: f ( ) hm = και: f ( y) = f ( ) f ( y) y( y) 4 για κάθε y Î R Να αποδείξετε ότι: α) η f είναι συνεχής στο β) η f είναι συνεχής στο R Δίνεται περιττή συνάρτηση f : R R συνεχής στο για την οποία ισχύει: f ( ) = 9 α) Να βρείτε την τιμή f () β) Να αποδείξετε ότι η f είναι συνεχής στο f ( ) γ) Να υπολογίσετε το όριο 4 4 f ( ) f () hm( ) δ) Να υπολογίσετε το όριο: 4 Έστω οι συνεχείς συναρτήσεις fg : Â Â `που ικανοποιούν τη σχέση = f () g() = για κάθε ÎÂ Αν η γραφική παράταση της f τέμνει τoν άξονα ' σε δύο σημεία Α και Β εκατέρωθεν της αρχής των αξόνων να δείξετε ότι η γραφική παράσταση της g τέμνει τον άξονα σε ένα τουλάχιστον σημείο μεταξύ των Α και Β
Έστω η συνεχής συνάρτηση :[ ] Â f() f Αν = 5 και η γραφική παράσταση της f τέμνει τον άξονα y y στo A() να δείξετε ότι η ευθεία e : y = και η C f έχουν ένα τουλάχιστον κοινό σημείο Έστω η συνεχής συνάρτηση :[ ] Â f για την οποία f () ισχύει = και hm f () για κάθε Î [ ] Να δείξετε ότι η γραφική παράσταση της f τέμνει την ευθεία e : y = σε ένα τουλάχιστον σημείο με τετμημένη στο διάστημα () 4 Δίνεται συνεχής συνάρτηση f :[ a b] R με < a < b τέτοια ώστε ο b if ( b ) αριθμός: z = να είναι πραγματικός Να αποδείξετε ότι: a if ( a) α) af ( b ) bf ( a) = β) υπάρχει ένα τουλάχιστον Î [ a b] έτσι ώστε: f ( ) = 5 Δίνεται μιγαδικός αριθμός z για τον οποίο ισχύει: iz 4 i = 5 α) Να βρείτε τον γεωμετρικό τόπο των εικόνων του μιγαδικού z β) Να βρείτε τη μέγιστη και την ελάχιστη τιμή του z γ) Για οποιονδήποτε μιγαδικό αριθμό z που βρίσκεται στον παραπάνω γεωμετρικό τόπο να αποδείξετε ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον Î[] ώστε: 4 7sun ( p) = z 6 Δίνεται συνεχής συνάρτηση f : R R με f ( ) ¹ για κάθε Î R για ( ) f ( ) την οποία ισχύει: = 8 Να βρείτε: α) την τιμή f() β) το όριο [ f () 5] 7 Δίνεται η συνεχής συνάρτηση f : R R για την οποία ισχύει: f () f () hm = sun Î R και f () = Α Να δείξετε ότι: η g() = f () hm Î R διατηρεί σταθερό πρόσημο και: f () = hm Β Να βρεθούν τα όρια: f() και f() 8 Έστω η συνεχής συνάρτηση f :R R για την οποία ισχύει f ( ) f ( ) Α Να δείξετε ότι ( ) = για κάθε Î R f ¹ για κάθε Î R Β Αν f ( ) > τότε να βρείτε: i τον τύπο της f ii το ( ) f hm
9 Έστω η συνεχής συνάρτηση f για την οποία ισχύει f () = f() () για κάθε Î R και f () = Α Να βρείτε το τύπο της f Β Να βρείτε τα όρια f () f() hm Γ Να δείξετε ότι υπάρχει Î ( ) τέτοιο ώστε f( ) e = 4 Έστω η συνεχής και γνησίως φθίνουσα συνάρτηση f : [ ] Â δείξετε ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον Î ( ) τέτοιο ώστε 6f( ) = f( ) f() f() 4 Έστω η συνεχής συνάρτηση f : [ ] Â τουλάχιστον [ ] ( Να Να δείξετε ότι υπάρχει ένας Î τέτοιος ώστε f ) = f() f() f( = Βρείτε: 4 Έστω η συνάρτηση f( ) α) Tο πεδίο ορισμού της f β) Tο ( ) γ) Το [ ln ln ] 4 Δίνεται η συνάρτηση: f ( ) = ln ln( ) α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f β) Να υπολογίσετε τα όρια: i) f ( ) 44 Έστω η συνάρτηση f () = e ln Α Να δείξετε ότι η f είναι γν αύξουσα Β Να βρείτε το σύνολο τιμών της f ii) ) 4 f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) 5 Γ Να δείξετε ότι η εξίσωση e ln = έχει μοναδική ρίζα æ ö Δ Να βρείτε το f ç è ø 45 Δίνεται συνάρτηση f συνεχής στο R με σύνολο τιμών το R για την οποία ισχύει ότι: f ( ) f ( ) = 5 για κάθε Î R α) Να αποδείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα β) Να εξηγήσετε γιατί η f είναι αντιστρέψιμη και να ορίσετε την γ) Να αποδείξετε ότι οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων f και f τέμνονται σε ένα μόνο σημείο με τετμημένη Î ( ) f ( ) hm δ) Να βρείτε το όριο 4 f
46 Δίνεται συνεχής συνάρτηση f:ràr για την οποία ισχύει f ( ) hm = 4 5 hm για κάθε Î R α Να βρείτε τον τύπο της f () β Να υπολογίσετε τα όρια: f ( ) και f () γ Να αποδείξετε ότι η εξίσωση f ( ) = έχει μια τουλάχιστον θετική ρίζα 47 Δίνεται συνεχής συνάρτηση: f :[ ] R για την οποία ισχύει: f ( ) = 4 για κάθε Î[] και επιπλέον η γραφική παράσταση της f τέμνει τον άξονα y y στο σημείο με τεταγμένη α)να βρείτε τις ρίζες της εξίσωσης f ( ) = β) Να αποδείξετε ότι f ( ) > για κάθε Î() γ) Να βρείτε τον τύπο της f f ( ) δ) Να υπολογίσετε το όριο hm hm 48 Δίνεται η συνεχής και γνησίως φθίνουσα συνάρτηση f: [8] R με f() ¹ για κάθε Î[8] και ο μιγαδικός αριθμός: z = f()f(4) 64 f(8) i Αν η εικόνα του μιγαδικού αριθμού Z ανήκει στην ευθεία y= τότε να αποδείξετε ότι: α) f()f(4)f(8) = 64 β) f() > για κάθε Î[8] γ) υπάρχει Î(8) τέτοιο ώστε : f( )=4 δ) δειξετε οτι f () > 4 και f (8) < 4 ε) υπάρχει Î[8] τέτοιο ώστε : f( )= 49 Έστω συνάρτηση f συνεχής στο και γνησίως μονότονη για την οποία ισχύει f f = 6f 4f Δείξτε ότι: ( ) ( ) ( ) ( ) Α f ( ) = και f ( ) = Β Η f είναι γνησίως φθίνουσα Γ Υπάρχει ένα μόνο ( ) Î τέτοιο ώστε ( ) f Δ Υπάρχει ένα μόνο Î ( ) τέτοιο ώστε ( ) = æö æö æö 5f = fç fç fç èø èø è4ø ( ) Ε Η f αντιστρέφεται και να λύσετε την ανίσωση ( ) f f 4 > 5 Δίνεται συνάρτηση f με τύπο : z Î C * f ( ) z 5 5 = z με Î R και
ΕΝα εξετάσετε ως προς τη μονοτονία τη συνάρτηση f ΕΝα βρείτε το σύνολο τιμών της f ΕΝα αποδείξετε ότι η εξίσωση f ( ) = έχει μία ακριβώς ρίζα στο διάστημα ( z ) 5 f ( ) z Ε4Αν = να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των εικόνων hm του μιγαδικού z 5 Δίνεται μιγαδικός αριθμός z ¹ i και συνάρτηση γνησίως αύξουσα για την οποία ισχύει ότι: z i f ( ) iz f ( ) = z i zi για κάθε Î R α) Να αποδείξετε ότι z i = iz β) Να αποδείξετε ότι ο αριθμός z είναι πραγματικός æ ö γ) Να βρείτε την τιμή f ç è ø δ) Να λύσετε την ανίσωση f (8 ) < f : R R συνεχής και ε) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση f ( ) = έχει μία τουλάχιστον λύση 5 Δίνεται συνεχής συνάρτηση f: και μιγαδικός αριθμός z ¹ για f hm = f για κάθε Î και τους οποίους ισχύουν: ( ) ( ) f ( ) z = z Να αποδείξετε ότι z = Α Να αποδείξετε ότι ο αριθμός Β Να βρείτε το όριο f ( hm) w = ( z i) z Γ Να αποδείξετε ότι η εξίσωση: ( ) τουλάχιστον λύση στο [ ] είναι πραγματικός 5 z 4i = έχει μία 5 Θεωρούμε συνάρτηση f συνεχή και γνησίως μονότονη στο διάστημα []για την οποία ισχύει f () f () = 6 f () 4 f () ΕΗ f είναι γνησίως φθίνουσα ΕΥπάρχουν μοναδικά και στο διάστημα () τέτοια ώστε: αη γραφική παράσταση της f τέμνει την y= σε μοναδικό σημείο με τετμημένη æ ö æ ö æ ö β f ( ) = f ç 4 f ç 5 f ç è e ø èp ø è ø ΕΝα λυθεί η ανίσωση f ( f (ln 4) ) >
Ε4Ορίζουμε τους μιγαδικούς z = f ( ) if ( ) με Î[] α Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των εικόνων των μιγαδικών z β Να βρείτε τη μέγιστη και την ελάχιστη τιμή του z5