ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ον/μο:.. Ύλη: Συναρτήσεις-Στατιστική Είμαστε τυχεροί που είμαστε δάσκαλοι 5 Γ Λυκείου Γεν. Παιδείας -- Θέμα o : Α. i. Να διατυπώσετε το κριτήριο μονοτονίας. (5 μον.) ii. Να αποδείξετε ότι η παράγωγος της σταθερής συνάρτησης f () c είναι f '(). ( μον.) Β. Έστω,,... οι τιμές μιας μεταβλητής Χ που αφορά τα άτομα ενός δείγματος μεγέθους ν, όπου κ,ν μη μηδενικοί φυσικοί αριθμοί με. i. Τι εκφράζουν οι αθροιστικές συχνότητες ; ( μον.) ii. Να αποδείξετε ότι f f... f. ( μον.) iii. Ποιες είναι οι γραφικές παραστάσεις με τις οποίες παρουσιάζονται στατιστικά δεδομένα ;(αναφορικά) ( μον.) Γ. Να χαρακτηρίσετε με (Σ) Σωστό ή (Λ) Λάθος τις παρακάτω προτάσεις: i. Η σχετική συχνότητα μπορεί να πάρει και αρνητικές τιμές. Σ Λ ii.οι ποσοτικές μεταβλητές διακρίνονται σε ποιοτικές και διακριτές. Σ Λ iii.αν για μια συνάρτηση f ισχύουν f '( ) για (, ), f '() στο (α, ) και f '() στο (, ), τότε η f παρουσιάζει στο διάστημα (α,β) για = μέγιστο. Σ Λ iv. lim lim f () f (). g() lim g() Σ Λ v. (lne )'. Σ Λ (5μον=μον.) Τρίκαλα τηλ.-fa(4-67)
Θέμα ο : Στην τρίτη τάξη ενός Λυκείου των Τρικάλων οι 5 μαθητές έγραψαν στις Πανελλήνιες εξετάσεις στο μάθημα Μαθηματικά και στοιχεία Στατιστικής, ως εξής : Όλοι οι μαθητές έγραψαν 5 ή 6 ή 7 ή 8 ή 9 ή Οι 45 μαθητές έγραψαν το πολύ 9 Το 8% των μαθητών έγραψαν 9 ή Οι μαθητές έγραψαν το πολύ 7 Οι μαθητές που έγραψαν 6 είναι πενταπλάσιοι των μαθητών που έγραψαν 5 Οι 7 μαθητές έγραψαν τουλάχιστον 7 αλλά το πολύ 9 i.να κάνετε τον πίνακα συχνοτήτων ( v i,f i,f i %,F,F i i %,N i ). ( μον.) ii. Να κατασκευάσετε το διάγραμμα και το πολύγωνο συχνοτήτων. (8 μον.) iii. Να κατασκευάσετε διάγραμμα σχετικών αθροιστικών συχνοτήτων. (7 μον.) Θέμα ο : Α. Δίνεται η συνάρτηση f () ( )e i. Να μελετήσετε την f ως προς την μονοτονία και τα ακρότατα. ii. Να αποδείξετε ότι : ( ) e για κάθε. ( μον.) (5 μον.) Β. Έστω η συνάρτηση f () e,.να βρείτε το σημείο της καμπύλης της f, από το οποίο αν φέρουμε παράλληλες προς τους άξονες, το σχηματιζόμενο ορθογώνιο έχει μέγιστο εμβαδόν. ( μον.) Τρίκαλα τηλ.-fa(4-67)
Θέμα 4 ο : Στο διπλανό πίνακα δίνονται οι ημέρες μιας εκπαιδευτικής φοιτητικής εκδρομής στο εξωτερικό.δίνεται επίσης το ιστόγραμμα των αθροιστικών συχνοτήτων, από το οποίο έχουν χαθεί κάποια δεδομένα.αν γνωρίζουμε ότι : v i Ημέρες,4 v 4,8 v 8, v,6 v 4 6, v 5 Σύνολο v ( ) v lim To N ισούται με το ελάχιστο της συνάρτησης: f () 4 7 To v είναι ο ρυθμός μεταβολής της g() ( ) 44 για = Τότε : A. Να βρεθούν τα v,v,v,v 4,v 5,v (5 μον.) Β. Να κατασκευάσετε πίνακα συχνοτήτων, απόλυτων, σχετικών και αθροιστικών. (5 μον.) Γ. Να κατασκευάσετε το πολύγωνο αθροιστικών συχνοτήτων. (6 μον.) Δ. Να βρείτε : i. Το πλήθος των φοιτητών που πήγαν εκδρομή κάτω από ημέρες. ii. Το ποσοστό των φοιτητών που πήγαν εκδρομή τουλάχιστον 8 ημέρες. iii. Το πλήθος των φοιτητών που πήγαν εκδρομή το πολύ ημέρες. (=9 μον.) ΚΑΛΗ ΕΠΙΤΥΧΙΑ Τρίκαλα τηλ.-fa(4-67)
ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ (ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ) Είμαστε τυχεροί που είμαστε δάσκαλοι Θέμα ο : Α. i. Αν μια συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη σε ένα διάστημα Δ και ισχύει f '() για κάθε εσωτερικό σημείο του Δ, τότε η f είναι γνησίως αύξουσα στο Δ. Αν μια συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη σε ένα διάστημα Δ και ισχύει f '() για κάθε εσωτερικό σημείο του Δ, τότε η f είναι γνησίως φθίνουσα στο Δ. ii. Είναι f '() f ( h) f () c c lim lim h h h h Άρα f '(). Β. i. Οι αθροιστικές συχνότητες Ν i εκφράζουν το πλήθος των παρατηρήσεων που είναι μικρότερες ή ίσες της τιμής i. v v v ii. Είναι f f... f... v v v = v = v... v v v v iii. Οι γραφικές παραστάσεις με τις οποίες παρουσιάζουμε στατιστικά δεδομένα είναι : ραβδόγραμμα, διάγραμμα συχνοτήτων, κυκλικό διάγραμμα, σημειόγραμμα, χρονόγραμμα και ιστόγραμμα συχνοτήτων. Γ. i Λ, ii Λ, iii Σ, iv. Λ, v. Σ Θέμα ο : i. i v i N i f i f i % F i F i % 5,6 6,6 6 6 5 8,,6 6 7,4 4,6 6 8 6 6,,7 7 9 9 45,8 8,9 9 5 5, Σύνολο 5 - - - 4 Τρίκαλα τηλ.-fa(4-67)
5 μαθητές έγραψαν 5 ή 6 ή 7 ή 8 ή 9 ή άρα ν=5 45 μαθητές έγραψαν το πολύ 9(δηλ 5 ή 6 ή 7 ή 8 ή 9) άρα v v v v v 45 () 4 5 άρα v6 v 45 5 45 5 8 Το 8% των μαθητών, δηλαδή 5 =4 μαθητές έγραψαν 9 ή άρα v5 v6 4 v5 4 5 v5 9 μαθητές έγραψαν το πολύ 7 (δηλ 5 ή 6 ή 7) άρα v v v () Οι μαθητές που έγραψαν 6 είναι πενταπλάσιο των μαθητών που έγραψαν 5, άρα v 5v () 7 μαθητές έγραψαν τουλάχιστον 7 αλλά το πολύ 9(δηλ 7 ή 8 ή 9) άρα v v v 7 (4) 4 5 Η () () v v v v4 v5 45 v 5v (4) 7 45 6v 8 v Άρα v 5 5 Όμως η () v v v v 8 v άρα v4 5 ( 5 9 5) 6 vi Οπότε για τις σχετικές συχνότητες έχουμε : f i, f i% fi v και για τις αθροιστικές : v, N N v,... F f, F F f,... F i %= F i 5 Τρίκαλα τηλ.-fa(4-67)
ii. iii. Θέμα ο : A. f () ( )e, A f i. Βρίσκουμε την παράγωγο της f. f '() ( )'e ( )(e )' = e ( )e e ( 4) e ( )e ()'= e ( ) Βρίσκουμε τις ρίζες της παραγώγου : f '() e ( ) 6 Τρίκαλα τηλ.-fa(4-67)
Ο πίνακας προσήμων της f είναι : - e + + - _ + f () _ + f() Ο.Ε. + Η μονοτονία της f είναι : γνησίως φθίνουσα στο, γνησίως αύξουσα στο, άρα η f παρουσιάζει ολικό ελάχιστο για το 4 e f e e ii. Εφόσον η f παρουσιάζει ολικό ελάχιστο για f e θα είναι f () e e e ( )e e ( )e e ( )e Β. Έστω η f () e, και Μ(,f()) ένα σημείο αυτής. Tο εμβαδόν του ορθογωνίου θα είναι () e e, το για κάθε. Δηλαδή, 7 Τρίκαλα τηλ.-fa(4-67)
'() e ' ()' e e '= Είμαστε τυχεροί που είμαστε δάσκαλοι = e e e ( ) '() e ( ) Ο πίνακας προσήμων της E είναι : e + + - + _ E () + _ E() + Ο.Μ. Άρα η Ε παρουσιάζει ολικό μέγιστο για σημείo είναι,e δηλ., e.. Επομένως το ζητούμενο Θέμα 4 ο : Α. v= από το ραβδόγραμμα των αθροιστικών συχνοτήτων. ( ) ( ) v lim lim lim f () 4 7, A f '() ( 4 7)' 4 4 f '() 4 4 4 4 Ο πίνακας προσήμων της f είναι : f - + f () _ +. f() Ο.Ε. 8 Τρίκαλα τηλ.-fa(4-67)
Άρα η f παρουσιάζει ολικό ελάχιστο για = το f() 4 7 68 Άρα Ν =68, οπότε v N v 68 6 g() ( ) 44 Είμαστε τυχεροί που είμαστε δάσκαλοι Ο ρυθμός μεταβολής της g είναι g'() ( ) 44 Άρα v g'() 44 4 64 άρα v5 N5 N4 64 6 v4 ( 6 44 6) 5 Β. Ημέρες i v i N i f i f i % F i F i %,4,6 6,6 6 4,8 6 6 68,8 8,4 4 8, 44,,56 56,6 4 5 64,6 6,8 8 6, 8 6,8 8 Σύνολο - - - - Γ. 9 Τρίκαλα τηλ.-fa(4-67)
Δ. i. Κάτω από ημέρες πήγαν οι : Ν = φοιτητές. ii. Τουλάχιστον 8 ημέρες (δηλ. από 8 και πάνω ) πήγε εκδρομή το f % f 4 % f 5 % 6 8 66% iii. Για το πλήθος των φοιτητών που πήγαν εκδρομή το πολύ ημέρες, θέλουμε όλη τη πρώτη και όλη τη δεύτερη κλάση που είναι και μέχρι και 8 ημέρες κι άλλες ημέρες από την τρίτη κλάση.άρα : v v v 6 44 φοιτητές. 4 4 Τρίκαλα τηλ.-fa(4-67)