Σεραφείµ Καραµογιάς Ι ΑΝΙΚΟ ΦΙΛΤΡΟ ΒΑΣΙΚΗΣ ΖΩΝΗΣ - ΚΑΤΩΠΕΡΑΤΟ ΦΙΛΤΡΟ H ( όου είναιησυχνόηααοκοής. e j,, < > H ( arg H ( κλίση - αοκοής αοκοής Η είδραση ου φίλρου σε ένα σήµα εισόδου, µε φασµαικό εριεχόµενο ενοισµένο σηζώνη, είναιµιαχρονικήκαθυσέρηση. x ( H ( y ( x ( Εφαρµογές ου µεασχηµαισµού Fourier 4-3
Σεραφείµ Καραµογιάς x ( H ( argh( y ( κλίση x ( H ( argh( y ( κλίση x ( x( + x ( H ( argh( y ( y( + y( κλίση Εφαρµογές ου µεασχηµαισµού Fourier 4-4
Σεραφείµ Καραµογιάς x ( H ( argh( y ( x ( H ( argh( y ( x ( x( + x ( H ( argh( y ( y( + y ( Εφαρµογές ου µεασχηµαισµού Fourier 4-5
Σεραφείµ Καραµογιάς x ( sin ( X (, <, αλλιɺ ς Π x ( X ( Ολίσθησησοχρόνογιακάθεραγµαικόαριθµό είναι x F ( j e X ( h( sin[ ( ( ] H ( Π j e ( C Εφαρµογές ου µεασχηµαισµού Fourier 4-6
Το αοέλεσµα ης αραθύρσης Η κρουσική αόκριση ου ιδανικού καεραού φιλρού [ ( ] sin ( h ( sin ( Σεραφείµ Καραµογιάς h ( H ( + Το αοέλεσµα ης αραθύρσης arg H ( T Εφαρµογές ου µεασχηµαισµού Fourier 4-7
Σεραφείµ Καραµογιάς Ιδανικά φίλρα H ( H ( αοκοής αοκοής Ιδανικό βαθυεραό φίλρο Ιδανικό υψιεραό φίλρο H ( H ( αοκοής αοκοής αοκοής Ιδανικό ζνοεραό φίλρο Ιδανικό ζνοφρακικό φίλρο Εφαρµογές ου µεασχηµαισµού Fourier 4-8
Σεραφείµ Καραµογιάς Πραγµαικά φίλρα H ( LPF H ( HPF αοκοής αοκοής Πραγµαικό βαθυεραό φίλρο Πραγµαικό υψιεραό φίλρο H ( ΒPF H ( ΒRF αοκοής αοκοής αοκοής Πραγµαικό ζνοεραό φίλρο Πραγµαικό ζνοφρακικό φίλρο Εφαρµογές ου µεασχηµαισµού Fourier 4-9
Άσκηση Να βρεθεί ο ανάυγµα σε ριγνοµερική σειρά ης άσης υ( υ ( V Σεραφείµ Καραµογιάς T T T 4 Αό ο Παράδειγµα 3.6 έχουµε x( T T T T T T x ( + os os 3 + os 5 T 3 T 5 T Παραηρούµεόιηάσηεισόδουυ( είναιέναεριοδικόσήµαµε /Τ. T 4T a a a a k Το ανάυγµα σε σειρά Fourier ης άσης εισόδου είναι υ ( V os ( os (3 + os( 5 3 5 Εφαρµογές ου µεασχηµαισµού Fourier 4-
Σεραφείµ Καραµογιάς Άσκηση 4.5 υ ( V υ j υ ( ( e, < 4 H (, > 4 Ηάσηεισόδουυ( είναιέναεριοδικόσήµαµεκυκλικήσυχνόηα /Τ. Το ανάυγµα σε σειρά Fourier ης άσης εισόδου είναι Εειδήησυχνόηααοκοήςουιδανικούκαεραούφίλρουείναι j 4, αό x ( + + os os os 3 5 υ( ( ( 3 ( 5 H ( e H (, < > ο ιδανικό καεραό φίλρο διέρχοναι µόνο οι δύο ρώοι όροι, µε χρονική, καθυσέρηση. Έσιηέξοδοςουφίλρουείναι υ ( ( ( o os os3 3 y ( x ( Εφαρµογές ου µεασχηµαισµού Fourier 4-
Σεραφείµ Καραµογιάς Άσκηση υ ( V υ ( sin 4 ( υ ( h ( ( Ηάσηεισόδουυ( είναιέναεριοδικόσήµαµεκυκλικήσυχνόηα /Τ. Το ανάυγµα σε σειρά Fourier ης άσης εισόδου είναι h ( F e, < H ( ο ιδανικό καεραό φίλρο διέρχοναι µόνο οι δύο ρώοι, όροι, > µε χρονική καθυσέρηση. Έσιηέξοδοςουφίλρουείναι x ( H ( y x ( Εειδήησυχνόηααοκοήςουιδανικούκαεραούφίλρουείναι j 4, αό + + os os os 3 5 υ( ( ( 3 ( 5 υ ( ( ( o os os3 3 ( Εφαρµογές ου µεασχηµαισµού Fourier 4-
Σεραφείµ Καραµογιάς Άσκηση 4.6 υ ( V x ( y ( d y ( + d y ( x ( Ηάσηεισόδουυ( είναιέναεριοδικόσήµαµε /Τ. Το ανάυγµα σε σειρά Fourier ης άσης εισόδου είναι Σο Παράδειγµα 4. έχουµε υολογίσει ην αόκριση συχνόηας ου συσήµαος ρώης άξης x ( os ( + + os os os 3 5 υ( ( ( 3 ( 5 H H ( ( + j y ( H ( os[ + arg H ( ] Εφαρµογές ου µεασχηµαισµού Fourier 4-3
Σεραφείµ Καραµογιάς Αν η είσοδος ου συσήµαος είναι η αρµονική συνισώσα υ ( ( os ( όε η έξοδος ου συσήµαος είναι y ( H ( os [ ] [ ] + argh ( os 4 Με όµοιο ρόο υολογίζουµε ην αόκριση y n ( για κάθε αρµονική συνισώσα υ n (, n, 3, ουσήµαοςεισόδουυ( καιχρησιµοοιώναςηνιδιόηαης γραµµικόηας υολογίζουµε ην έξοδο ου συσήµαος ( ( ( y os [ ] + 4 os 3 an 3 3 Εφαρµογές ου µεασχηµαισµού Fourier 4-4
Άσκηση 4.7 x ( x ( e 5 u ( H ( Σεραφείµ Καραµογιάς x ( y( Ο ΜF ου σήµαος εισόδου και ο µέρο ου µεασχηµαισµού είναι X,+ j ( και X ( Η ολική ενέργεια ου σήµαος εισόδου είναι E εισ, 4 + Η ενέργεια ου σήµαος εισόδου µορεί να υολογισεί και σο εδίο ν συχνοήν x( d 4 e d e 5 5 E εισ 4 4 an bx 4 4 d d 5an (5 5, +, + a dx a + b x ab [ ] Εφαρµογές ου µεασχηµαισµού Fourier 4-5
Σεραφείµ Καραµογιάς Ο µεασχηµαισµός Fourier ου σήµαος εξόδου είναι Y ( H ( X (, +,, j αλλις ɺ Θεώρηµα ου Parseval E x x( d X ( d X ( d H ολική ενέργεια ου σήµαος εξόδου είναι E εξόδ. C [ ] 4 5an (5 5 an (5 4 4 4 d d, +, + C C C C Εειδήηενέργειαουσήµαοςεξόδουρέειναείναιίσηµεηµισήηςενέργειας ου σήµαος εισόδου, έχουµε ην εξίσση 4 5 an (5 5 α όουροκύει, rad se Εφαρµογές ου µεασχηµαισµού Fourier 4-6
Να βρεθεί η κρουσική αόκριση και η αόκριση συχνόηας ου συσήµαος. Είσοδος x ( δ ( Σύσηµα καθυσέρησης καά δ ( δ ( δ ( Σύσηµα ολοκλήρσης ( d Περιγραφή ου συσήµαος σο εδίο ου χρόνου. y ( h( Π Έξοδος y ( h( / ( δ ( ξ δ ( ξ dξ u ( u ( Σεραφείµ Καραµογιάς Είσοδος H ( H 3 ( j Έξοδος H ( e j Περιγραφή ου συσήµαος σο εδίο συχνόηας. H ολική ( e j j e j e j e j j sin e j sin ( j e Εφαρµογές ου µεασχηµαισµού Fourier 4-7