Modelarea şi Simularea Sistemelor de Calcul Distribuţii ( lab. 4) În practică eistă nenumărate eperienţe aleatoare care au un câmp de evenimente nenumărabil şi implicit sistemul complet de evenimente aleatoare este nenumărabil. Acest fapt face necesară considerarea unei variabile aleatoare a cărei valori acoperă o mulţime continuă de numere reale (un interval închis). În orice proces de productie, va eista întotdeauna o anumita rata de variatie naturala, care apare indiferent de modul în care a fost proiectat sau implementat procesul sau cât de corect a fost întretinut. Variatia este incontrolabila si este o urmare a diverselor cauze nesemnificative. Aceste variatii calitative se numesc variatii aleatoare si sunt referite ca un sistem stabil de cauze întâmplatoare. Când ele sunt mici, se încadreaza între anumite limite, si nu cauzeaza neplaceri consumatorului, deci pot fi tolerate, si spunem ca procesul este sub control statistic. Apar însa si variatii calitative, care nu pot fi tolerate, deci trebuie identificate si eliminate. Ele se numesc variatii sistematice si pot veni de la una sau mai multe cauze posibile. Procesele care opereaza în prezenta lor spunem ca sunt în afara controlului. În controlul statistic se folosesc diferite modele probabilistice: distributii", care caracterizeaza variabile aleatoare si care sunt functii de probabilitate, ce eprima probabilitatea ca un esantion de dimensiune n sa contina parti necorespunzatoare. Distributia de probabilitate este, prin urmare, un mijloc de modelare a proceselor. În unele probleme de control al calitatii este utila aproimarea unei distributii cu alta. Pentru claculul acestor probabilităţi se poate defini o funcţie f:[a,b] R care atribuie fiecărei valori 0 [a,b] factorul de proporţionalitate f( 0 ) corespunzător probabilităţii ca variabila să ia valori în [ 0, 0 +d]. Funcţia f definită se numeşte funcţie densitate de probabilitate şi verifică proprietăţile : 1
1. Distribuţia uniformă O variabilă aleatoare are o distribuţie uniformă dacă poate lua echiprobabil orice valoare într-un interval (variabila este uniform distribuită în interval), adică f() = ct, cu [a,b]. Variabilele aleatoare pot fi considerate ca fiind funcţii de la un domeniu oarecare către mulţimea numerelor reale. Dacă a si b sunt capetele intervalului, atunci densitatea de probabilitate va fi:, X: 1, [a,b] b - a Valoarea medie a unei astfel de variabile este (a+b)/.. Distribuţia eponenţială O clasă importantă de probleme sunt acelea care urmăresc posibilitatea (probabilitatea) de apariţie a evenimentelor. De eemplu probabilitatea ca o masină (ero, imprimantă, etc.) să nu se strice într-o perioadă de timp. Distribuţia eponenţială se referă la distribuţia de timp între evenimente independente care apar cu o rată constantă. O variabilă continuă X are distribuţie eponenţială de parametru λ>0 dacă are funcţia de probabilitate de forma: λ ( ) = 1 e, 0 F Prin derivare se obţine densitatea de probabilitate: λ f( ) = λ e, 0 Valoarea medie a acestei variabile este 1/λ. Cea mai importantă proprietate a distribuţiei eponenţiale este lipsa de memorie (proprietatea Markov). Dacă considerăm ca fiind timpul, atunci faptul ca activitatea care respectă această distribuţie a fost în desfăsurare la un moment dat nu influentează viitorul activităţii. Cu alte cuvinte nu contează că activitatea a început cu un anumit timp în urmă, ea se comportă ca si cum ar începe în acest moment. Pentru a genera o distribuţie eponenţială cu media m=1/λ, pe baza unei distribuţii uniforme u în intervalul (0,1), se foloseste m*ln(u). 3. Distribuţia geometrică (distribuţia lui Pascal) Distribuţia geometrică este echivalentul discret al distribuţiei eponenţiale:
1 f ( ) = P( = X) = p q, unde p+q=1 si =1,,... Variabila discretă poate fi considerată ca inde într-o listă posibil infinită de eperimente independente, unde p este probabilitatea de succes, iar q=1-p este probabilitatea de esec. Funcţia de probabilitate este F(X) = 1 - q. Media acestei ditribuţii este 1/p. 4. Distribuţia binomială A fost studiată pentru prima dată de J. Bernoulli. Fie un eperiment şi A un eveniment asociat acestuia care se realizează cu probabilitatea p, iar evenimentul A, cu probabilitatea q (cu p+q =1). Dacă se efectuează n probe independente şi se notează cu X nr de realizăre ale lui A, atunci X poate lua valorile 0,1,,n. ţinând cont de modul în care se desfăşoară evenimentul (urma lui Bernoulli cu stări) şi de independenţa evenimentelor, se poate scrie: P(X=k) = C k n p k q n-k Deci variabila X are o distributie binomială de ordin n dacă ia valorile 0, 1,..., n cu probabilitatea: P k n p k k k q n ( = ) =, unde p+q=1. P() este un nr pozitiv şi reprezintă posibilitatea ca din n încercări evenimentul A să se producă de k ori, ştiind că probabilitatea evenimentului A este constantă în orice încercare şi este egală cu p. Funcţia de distribuţie este: n! k n= k f ( k) = p (1 p) k = 0 k!( n k)! F( ) = Distribuţiile Poisson si Gauss derivă din distribuţia binomială. Pentru valori mari ale lui n metoda de a crea tabelul asociat funcţiei nu este efcientă. O altă variantăa este de a simula etragerile cu revenire" şi de a număra de câte ori se produce evenimentul de probabilitate p. Pentru aceasta se consideră N ca fiind cel mai mic număr natural pentru care n1 = Np _si n = Np sunt şi ele numere naturale. Se construieşte un tabel cu n1+n elemente având următoarele valori: t 1 = = t n1 = 1, t n1+1 = = t n1+n = 0. Algoritmul pentru generarea unei valori este: :=0 For k:=1 to n do {u:=random i:=int(n*u)+1 :=+t[i] } 3
Return 5. Distribuţia Poisson (legea evenimentelor rare) O clasă importantă de probleme (de decizie) este caracterizată de o şansă foarte mică de a se petrece un eveniment particular (un accident). Distribuţia Poisson se referă la probabilitatea ca eact evenimente să aibă loc în decursul unei perioade de timp dacă acestea apar independent si cu o rată constantă. Ea a fost pusă în evidenţă în anul 1837. Este un caz limită al repartiţiei binomiale pentru n şi p 0 Procesele Poisson pot fi descrise de faptul că: 1. evenimentele sunt independente unul de altul (apariţia unui eveniment nu determină si apariţia altuia).. teoretic un număr infinit de apariţii a evenimentelor pot avea loc într-un interval 3. probabilitatea unei apariţii a unui eveniment într-un interval este proporţională cu mărimea intervalului Densitatea distribuţiei Poisson are epresia: n ( np) n a a n a a f ( ) = p q = q = (1 ) = e!!! n! Deci o variabilă care poate lua valorile 0, 1,,..., are o distribuţie Poisson de parametru λ>0 dacă: k λ ( λ )( e ) P( X = k) =, k = 0,1,... k!, λ reprezintă media distribuţiei (în general, în simulări reprezintă numărul mediu de sosiri în unitatea de timp). În foarte multe cazuri reale în care apar situaţii de asteptare (de coadă), se poate considera că numărul de elemente ce intervin în coadă (masini, oameni, etc.) urmează un model Poisson. De eemplu dacă se consideră că media masinilor care sosesc într-o benzinărie în unitatea de timp (o ora de eemplu) este λ atunci: P(n sosiri) n λ = λ e / n! O variantă a algoritmului de generare este următoarea: u:=random i:=0; p:=ep(-λ); f:=p While (u>f) do {i:=i+1; p:=p* λ /i; f:=f+p;} Return i 4
6. Distribuţia normală (Gauss) Distribuţia normală joacă un rol foarte important în statistică si s-a dovedit a fi un model foarte bun pentru multe distribuţii continue care se întâlnesc în realitate. Ea see foloseşte foarte mul în practică în tehnica măsurătorilor eperimentale şi modelarea fenomenelor socio-economice. Ea provine din distribuţia binomială pentru n mare. Funcţia de densitate este definită cu ajutorul a doi parametri reali m şi σ, unde σ>0. Tabloul distribuţiei este:, unde m media distribuţiei. 7. Distribuţia χ (Pearson) Se aplică pentru rezolvarea unor probleme de tipul verificării corespondenţei între distribuţia empirică şi cea teoretică. Ea se defineşte astfel: Fie o selecţie de mărime, unde variabilele aleatoare independente ( 1,,. n ) sunt valori caracteristice măsurate. Variabilele ( 1,,, n ) sunt legate de variabila aleatoare cu n grade de libertate (χ ) prin relaţia χ ( n ) = 1 + +... + n Densitatea distribuţiei este: n 1 1 f ( ) = e n n Γ( ) Funcţia de distribuţie se defineşte: F( ) = f ( ) d = Pr ob( χ ( ) < + d) 0 5
Cerinţele lucrării Se va completa aplicaţia din laboratoarele si 3 cu o nouă clasă, astfel încât generarea evenimentelor să se facă conform unei distribuţii Poisson, eponenţiale sau uniforme. 6