B) VEKTORSKI PRODUKT 1. 1) Pravilo desnega vijaka

Σχετικά έγγραφα
Matematika 1. Gregor Dolinar. 2. januar Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. Gregor Dolinar Matematika 1

1 Ponovitev matematike za kemijske inženirje

Dolžina (= velikost, = absolutna vrednost, = norma) vektorja je dolžina daljice, ki predstavlja vektor, t.j.:

Gimnazija Krˇsko. vektorji - naloge

VEKTORJI. Operacije z vektorji

Dani vektor lahko ponazorimo z usmerjeno daljico, ki se začne v poljubni točki - pravimo tudi, da vektor vzporedno premaknemo v dano začetno točko.

Olga Arnuš Mirjam Bon Klanjšček Bojana Dvoržak Darjo Felda Sonja France Mateja Škrlec MATEMATIKA 2

Kotni funkciji sinus in kosinus

II. ŠTEVILSKE IN FUNKCIJSKE VRSTE

SATCITANANDA. F = e E sila na naboj. = ΔW e. Rudolf Kladnik: Fizika za srednješolce 3. Svet elektronov in atomov

Zaporedja. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 22. oktober Gregor Dolinar Matematika 1

Matematika I. NTF Načrtovanje tekstilij in oblačil Zapiski ob predavanjih v šolskem letu 2006/07

Odvod. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 5. december Gregor Dolinar Matematika 1

KODE ZA ODKRIVANJE IN ODPRAVLJANJE NAPAK

MATEMATIKA III Zapiski za ustni izpit

Diferencialna enačba, v kateri nastopata neznana funkcija in njen odvod v prvi potenci

POGLAVJE 7. Nedoločeni integral. 1. Definicija, enoličnost, obstoj

= + injekcija. Rješenje 022 Kažemo da funkcija f ima svojstvo injektivnosti ili da je ona injekcija ako vrijedi

Analiza I. Josip Globevnik Miha Brojan

Funkcije. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 21. november Gregor Dolinar Matematika 1

III. ODVODI FUNKCIJ ENE REALNE SPREMENLJIVKE

2.6 Nepravi integrali

Funkcijske vrste. Matematika 2. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 2. april Gregor Dolinar Matematika 2

1 Seštevanje vektorjev in množenje s skalarjem

Analitička geometrija i linearna algebra. Kartezijev trodimenzionalni pravokutni koordinatni sustav čine 3 međusobno okomite osi: Ox os apscisa,

DOMAČA NALOGA pri predmetu Statika in Kinematika

Odvod. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 10. december Gregor Dolinar Matematika 1

Linearne preslikave. Poglavje VII. 1 Definicija linearne preslikave in osnovne lastnosti

Osnove elektrotehnike I parcijalni ispit VARIJANTA A. Profesorov prvi postulat: Što se ne može pročitati, ne može se ni ocijeniti.

Vektorski prostori s skalarnim produktom

Podobnost matrik. Matematika II (FKKT Kemijsko inženirstvo) Diagonalizacija matrik

Tretja vaja iz matematike 1

c = α a + β b, [sustav rješavamo metodom suprotnih koeficijenata]

Rijeseni neki zadaci iz poglavlja 4.5

Neodreeni integrali. Glava Teorijski uvod

1. Trikotniki hitrosti

Matematika 1. Gabrijel Tomšič Bojan Orel Neža Mramor Kosta

Kotne in krožne funkcije

Izbrana poglavja iz matematike

Booleova algebra. Izjave in Booleove spremenljivke

NAVOR NA (TOKO)VODNIK V MAGNETNEM POLJU

Funkcije. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 14. november Gregor Dolinar Matematika 1

Delovna točka in napajalna vezja bipolarnih tranzistorjev

ΖΕΡΔΑΛΗΣ ΣΩΤΗΡΙΟΣ ΤΟ ΟΥΤΙ ΣΤΗ ΒΕΡΟΙΑ (1922-ΣΗΜΕΡΑ) ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗ

ANALIZA 2. Zapiski predavanj. Milan Hladnik

Matematika 4 Zapiski s predavanj prof. Petra Legiše

LESARSKA ŠOLA MARIBOR M A T E M A T I K A USTNA VPRAŠANJA S PRIMERI ZA POKLICNO MATURO 2009/2010

I. INTEGRIRANJE FUNKCIJ

Rješenje: F u =221,9 N; A x = F u =221,9 N; A y =226,2 N.

FKKT Matematika 2. shxdx = chx+c. chxdx = shx+c. tanxdx = ln cosx +C. cotxdx = ln sinx +C. sin 2 x = cotx+c. cos 2 x = tanx+c. = 1 2 2a ln a+x a x

Vektori u ravnini. - Nije bitan redoslijed AB ili BA

Definicija. definiramo skalarni produkt. x i y i. in razdaljo. d(x, y) = x y = < x y, x y > = n (x i y i ) 2. i=1. i=1

V tem poglavju bomo vpeljali pojem determinante matrike, spoznali bomo njene lastnosti in nekaj metod za računanje determinant.

ČETVOROUGAO. β 1. β B. Četvorougao je konveksan ako duž koja spaja bilo koje dve tačke unutrašnje oblasti ostaje unutar četvorougla.

3. VAJA IZ TRDNOSTI. Rešitev: Pomik v referenčnem opisu: u = e y 2 e Pomik v prostorskem opisu: u = ey e. e y,e z = e z.

IZPIT IZ ANALIZE II Maribor,

VAJE IZ MATEMATIKE za študente gozdarstva. Martin Raič

A MATEMATIKA Zadana je z = x 3 y + 1

- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova)

FURIJEOVI REDOVI ZADACI ( II

PIRAMIDA I ZARUBLJENA PIRAMIDA. - omotač se sastoji od bočnih strana(najčešće jednakokraki trouglovi), naravno trostrana piramida u omotaču

SKUPNE PORAZDELITVE VEČ SLUČAJNIH SPREMENLJIVK

OSNOVE TRIGONOMETRIJE PRAVOKUTNOG TROKUTA

Osnove elektrotehnike uvod

Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz matematike za srednju skolu 2. ARITMETICKI I GEOMETRIJSKI NIZ, RED, BINOMNI POUCAK. a n ti clan aritmetickog niza

Linearna algebra. Bojan Orel Fakulteta za računalništvo in informatiko

VALJAK. Valjak je geometrijsko telo ograničeno sa dva kruga u paralelnim ravnima i delom cilindrične površi čije su

Odred eni integrali. Osnovne osobine odred enog integrala: f(x)dx = 0, f(x)dx = f(x)dx + f(x)dx.

Elementi spektralne teorije matrica

ТЕМПЕРАТУРА СВЕЖЕГ БЕТОНА

Integralni račun. Nedoločeni integral in integracijske metrode. 1. Izračunaj naslednje nedoločene integrale: (a) dx. (b) x 3 +3+x 2 dx, (c) (d)

NEKAJ TEORETIČNIH OSNOV IN PRAKTIČNIH PRIMEROV ZA UPORABO RAVNOTEŽNIH POGOJEV ZA RAČUN PREVRNITVE TELES, REAKCIJ IN NOTRANJIH SIL.

Na pregledni skici napišite/označite ustrezne točke in paraboli. A) 12 B) 8 C) 4 D) 4 E) 8 F) 12

STATISTIKO UNIVERZITETNA ŠTUDIJSKA PROGRAMA LABORATORIJSKA BIOMEDICINA IN KOZMETOLOGIJA 1. LETNIK

TRDNOST (VSŠ) - 1. KOLOKVIJ ( )

Iterativno reševanje sistemov linearnih enačb. Numerične metode, sistemi linearnih enačb. Numerične metode FE, 2. december 2013

d(o,1) = i = 1. Uvođenjem koordinatizacije operacije s vektorima sveli smo na operacije s brojevima: ako je [ ] [ ]

1 3D-prostor; ravnina in premica

dužina usmjerena (orijentirana) dužina (zna se koja je točka početna, a koja krajnja) vektor

ΓΗ ΚΑΙ ΣΥΜΠΑΝ. Εικόνα 1. Φωτογραφία του γαλαξία μας (από αρχείο της NASA)

*M * Osnovna in višja raven MATEMATIKA NAVODILA ZA OCENJEVANJE. Sobota, 4. junij 2011 SPOMLADANSKI IZPITNI ROK. Državni izpitni center

Naloge iz vaj: Sistem togih teles C 2 C 1 F A 1 B 1. Slika 1: Sile na levi in desni lok.

REŠITVE 1 IZRAZI 1.1 PONOVITEV RA»UNANJA Z ALGEBRSKIMI IZRAZI 1.2 KVADRAT DVO»LENIKA 1.3 PRODUKT VSOTE IN RAZLIKE DVEH ENAKIH»LENOV

Funkcije. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 12. november Gregor Dolinar Matematika 1

Univerza v Ljubljani FS & FKKT. Varnost v strojništvu

MATEMATIKA 1 UNIVERZITETNI ŠTUDIJSKI PROGRAM BIOKEMIJA 1. LETNIK

( ) p a. poklopac. Rješenje:

Mimoilazni pravci. Ela Rac Marinić Kragić, Zagreb

1. VAJA IZ TRDNOSTI. (linearna algebra - ponovitev, Kroneckerjev δ i j, permutacijski simbol e i jk )

IZVODI ZADACI ( IV deo) Rešenje: Najpre ćemo logaritmovati ovu jednakost sa ln ( to beše prirodni logaritam za osnovu e) a zatim ćemo

GRANIČNE VREDNOSTI FUNKCIJA zadaci II deo

F(x) = f(x) dx. Nedoločenega integrala velikokrat ne moremo zapisati kot kombinacijo elementarnih funkcij, kot na primer integrale sin x

13. Jacobijeva metoda za računanje singularnega razcepa

Kinematika materijalne toke. 3. dio a) Zadavanje krivocrtnog gibanja b) Brzina v i ubrzanje a

II. LIMITA IN ZVEZNOST FUNKCIJ

P r s r r t. tr t. r P

Deformacija trdnih snovi

KOTNI FUNKCIJI SINUS IN COSINUS

Državni izpitni center SPOMLADANSKI IZPITNI ROK *M * NAVODILA ZA OCENJEVANJE. Sreda, 3. junij 2015 SPLOŠNA MATURA

Kontrolne karte uporabljamo za sprotno spremljanje kakovosti izdelka, ki ga izdelujemo v proizvodnem procesu.

Transcript:

B) VEKTORSKI PRODUKT 1 1) Prvilo desneg vijk Vsi smo že videli vijk, nekteri kkšneg privili, tisti, ki teg še niste storili, p prosite kog, ki se n vijke spozn, d vm pokže privijnje vijk. Večin vijkov je desnih. To pomeni, d g privijmo, ko g vrtimo v negtivni smeri ( ) in odvijmo, ko g vrtimo v pozitivni smeri ( ). Temu dejstvu prvimo prvilo desneg vijk. Povzemimo še s sliko: Slik 1: Pri vrtenju v pozitivni smeri odvijmo, pri vrtenju v negtivni smeri p privijmo. 2) Definicij in lstnosti Nj ost in vektorj, ki ležit v rvnini in imt zčetek v točki O te rvnine. Vektorj nj oklept kot = (, ), 0 π. Z vektorjem in sestvimo nov vektor, imenujmo g vektorski produkt vektorjev in, in g oznčimo z. 1 Poglvje o vektorskem produktu ni ovezno. Klju temu p se g potrudite prerti. O upornosti oste tisti, ki oste študirli nrvoslovje, sodili ksneje. Le to nj izdmo, d je npr. v fiziki nvor vektorski produkt ročice in sile ( M = r F ), mgnetn sil n vodnik je vektorski produkt smeri tok in gostote mgnetneg polj ( F m = l I B), vrtiln količin je vektorski produkt ročice in gilne količine ( Γ = r G), itd. 1

Definicij 1 : Vektor im: smer, ki je prvokotn n rvnino vektorjev in, smisel določen po prvilu desneg vijk, ko vektor zvrtimo z kot v smer vektorj, dolžino (velikost), ki je enk ploščini prlelogrm, ki g ustvrit vektorj in : = sin. Neposredni, lhko dokzljivi, posledici definicije st nslednji trditvi: Vektorski produkt kolinernih vektorjev je vektor 0, t.j.: = 0. 0 = 0 = 0. Zpišimo in dokžimo lstnosti vektorskeg produkt: Trditev 1 : Z vektorski produkt vektorjev veljjo nslednje lstnosti: ) ntikomuttivnost: = ( ), ) homogenost: (m ) = (m ) = m( ), m R, c) distriutivnost: ( + c) = + c. Dokz: ) Res, velikosti oeh vektorjev st ploščin prlelogrm s strnicm in ter kotom, smer je z o prvokotn n, smisl p st rvno nsprotn; zto ) drži (glej desno sliko). ) Dolžin: m > 0 (m ) = m sin = m sin = m. m < 0 (m ) = m sin(π ) = m sin = m. Podono je (m ) = m. 2

Smisel: Nj o njprej m > 0. Potem im m isti smisel kot, zto imt (m ) in m( ) isti smisel; če je m < 0 imt (m ) in m( ) nsprotni smisel (glej desno sliko). Smer vseh vektorjev (m ), (m ) in m( ) je prvokotn n rvnino vektorjev in, zto je enk. c) Distriutivnost pokžimo v treh korkih: 1. kork nj o nslednj trditev: m m > 0 m ( ) m π m( ) m < 0 Trditev 2 : Nj o e enotski vektor, ki je prvokoten n rvnino, x p poljuen vektor. Vektorj postvimo v skupno izhodišče O. Vektor x nj o projekcij vektorj x n rvnino, vektor x p doimo tko, d x zvrtimo v pozitivni smeri z kot π okoli nosilke vektorj e. Tedj 2 je x = e x. e = 1 x e x' π/2 Ο x'' Dokz: Dolžin x je enk x, t p je enk x sin (slik). Enko vrednost im tudi dolžin e x = e x sin = x sin, sj je e = 1. Zto x = e x. Vektor x je očitno prvokoten n rvnino vektorjev e in x, p tudi smisel je prvi. Zto je x = e x. 2. kork Oznčimo x = + c. Vektorji x, in c sestvljjo prostorski trikotnik, npr. OAB. Trikotnik prvokotno projecirmo n rvnino ; nstne OA B, ki g zvrtimo v pozitivni smeri okoli nosilke vektorj e z prvi kot. Doimo OA B. 3

B B' c A x A' x ' A'' e Ο x '' B'' Strnice OA B so x, in c in znje velj: x = + c. Tod trditev 2 prvi: x = e x, = e in c = e c. Zto je: x = + c e ( + c) = e + e c. 3.kork: Zdnjo enčo ( e ( + c) = e + e c) pomnožimo z, upoštevjmo, d je = e in homogenost, p pridelmo distriutivnostni zkon. Kko p je z socitivnostjo? Zčnimo z nslednjo trditvijo: Trditev 3 : Nj ost in nekolinern vektorj, ki ležit v rvnini. Nj o c 0 prvokoten n rvnino. Potem velj: Poljuen vektor x, ki je prvokoten n vektor c, leži v rvnini. Dokz: Vektorji, in c so nekoplnrni, zto ostjjo ntnko določen števil m, n in p, d velj: x = m + n + p c. Zdnjo enčo sklrno množimo s c, upoštevjmo x c (zto x c = 0), c (zto c = 0) in c (zto c = 0), p doimo: 0 = x c = m c + n c + p c c = p c 2 Zčetek in konec zdnje verige enč pove: p = 0, zto: x = m + n, kr pove, d x leži v rvnini vektorjev in, t.j. v rvnini, q.e.d. 2 Trditev pokže, d v splošnem z vektorski produkt socitivnostni zkon ne velj. Res: vektor x = ( c) je prvokoten n vektor c, t p je prvokoten n rvnino vektorjev in c. Zto x leži v rvnini vektorjev in c (trditev 1). Podono sklepmo, d vektor y = ( ) c leži v rvnini vektorjev in, ki p je v splošnem rzličn od rvnine vektorjev in c. Tko v splošnem x y. 2 Krtic q.e.d. pomeni: quod errt demonstrndum = kr je ilo tre dokzti. 4

3) Vektorski produkt v zi { i, j, k Definicij vektorskeg produkt in vektorjev { i, j, k nm prikže nslednjo poštevnko: i j k i 0 k j j k 0 i k j i 0. Vzemimo, d je = ( 1, 2, 3 ) in = ( 1, 2, 3 ). Z upoštevnjem ntikomuttivnosti, distriutivnosti in homogenosti vektorskeg produkt izpeljemo: = ( 1 i + 2 j + 3 k) (1 i + 2 j + 3 k) = (1 2 )( i j ) + ( {{ 1 3 )( i {{ k ) + +( 2 1 )( j i ) + ( {{ 2 3 )( j k) + ( {{ 3 2 )( k {{ i ) + ( 3 2 )( k j ) = {{ = k = i = ( 2 3 3 2 ) i ( 1 3 3 1 ) j + ( 1 2 2 1 ) k. V prvem rzredu smo rzliko dveh produktov cd zpisli z dvovrstno determinnto: cd = c d. = j = k = i = j Z dvovrstnimi determinntmi je potem : = 2 3 2 3 i 1 3 1 3 j + 1 2 1 2 k li ( = 2 3 2 3, 1 3 1 3, 1 2 1 2 ). Z primer izrčunjmo ( 1, ( 0, 2) (1, 2, 1): 0 2 ( 1, 0, 2) (1, 2, 1) = 2 1, 1 2 1 1, 1 0 1 2 ) = ( 4, 1, 2). 5