1 Serii numerice Definiţii. Exemple... 45

Analizǎ matematicǎ Chiş Codruţa

2

Cuprins 1 Serii numerice 5 1.1 Definiţii. Exemple....................... 5 1.2 Criterii de convergenţǎ pentru serii cu termeni pozitivi... 8 1.3 Criterii de convergenţǎ pentru serii cu termeni oarecare... 16 1.4 Probleme propuse........................ 21 2 Serii de puteri 23 2.1 Suma unei serii de puteri.................... 28 2.2 Operaţii cu serii de puteri................... 29 2.3 Derivarea seriilor de puteri................... 29 2.4 Integrarea seriilor de puteri.................. 30 2.5 Probleme propuse........................ 31 3 Formula lui Taylor 35 3.1 Serii Taylor pentru funcţii de douǎ variabile......... 38 3.2 Probleme propuse........................ 38 4 Noţiuni de topologie în R n 41 5 Funcţii de mai multe variabile 45 5.1 Definiţii. Exemple....................... 45 5.2 Probleme propuse........................ 46 6 Limite. Continuitate 49 6.1 Limita unei funcţii într-un punct............... 49 6.2 Continuitate........................... 51 6.3 Probleme propuse........................ 53 3

4 CUPRINS 7 Derivate parţiale 55 7.1 Derivate parţiale de ordinul întâi............... 55 7.2 Derivate parţiale de ordin superior.............. 57 7.3 Gradient. Diferenţialǎ..................... 59 7.3.1 Diferenţierea funcţiilor compuse............ 62 7.4 Hessiana unei funcţii într-un punct.............. 64 7.5 Probleme propuse........................ 65 8 Extreme locale ale funcţiilor de mai multe variabile 67 8.1 Extreme necondiţionate.................... 68 8.2 Extreme condiţionate...................... 71 8.3 Probleme propuse........................ 75 9 Elemente de calcul integral 77 9.1 Primitive............................. 77 9.1.1 Primitive reductibile la primitivele funcţiilor raţionale 79 9.2 Funcţii integrabile. Integrala definitǎ............. 80 9.3 Aplicaţii ale integralelor definite................ 83 9.3.1 Aria subgraficului unei funcţii continue şi pozitive.. 83 9.3.2 Lungimea graficului unei funcţii derivabile cu derivata continuǎ......................... 83 9.3.3 Volumul unui corp de rotaţie.............. 84 9.3.4 Aria suprafeţelor de rotaţie.............. 84 9.3.5 Centre de greutate................... 84 10 Ecuaţii diferenţiale 87 10.1 Introducere în teoria ecuaţiilor diferenţiale.......... 87 10.2 Ecuaţii diferenţiale de ordinul I................ 89 10.2.1 Ecuaţii cu variabile separabile............. 89 10.2.2 Ecuaţii diferenţiale omogene.............. 92 10.2.3 Ecuaţii diferenţiale liniare de ordinul I........ 93 10.2.4 Ecuaţii diferenţiale de tip Bernoulli.......... 95 10.3 Modele matematice ale creşterii populaţiei.......... 97 10.3.1 Modelul lui Malthus.................. 97 10.3.2 Modelul lui Verhulst.................. 97

1 Serii numerice 1.1 Definiţii. Exemple Definiţie. Fie (a n ) n 1 un şir de numere reale şi s n = n i=1 a i, n 1. Cuplul ((a n ) n 1, (s n ) n 1 ) se numeşte serie numericǎ şi se noteazǎ n 1 a n sau n a n sau n=1 a n. Elementul a n se numeşte termen general al seriei, elementele şirului (a n ) n 1 se numesc termenii seriei; elementele şirului (s n ) n 1 se numesc sumele parţiale ale seriei, iar elementul s n se numeşte suma parţialǎ de rang n. Definiţie. O serie de numere reale n 1 a n se numeşte convergentǎ dacǎ şirul (s n ) n 1 al sumelor parţiale este convergent; dacǎ şirul sumelor parţiale are limitǎ, aceastǎ limitǎ se numeşte suma seriei, şi scriem lim s n = s = a n = s. n n 1 În particular, lim s n = = a n =, n n 1 lim s n = = a n =. n n 1 Dacǎ şirul sumelor parţiale nu are limitǎ, atunci seria se numeşte oscilantǎ. Dacǎ o serie este oscilantǎ sau are suma ±, ea se numeşte divergentǎ. Exemplu. Dacǎ r R este un numǎr real, seria n=0 r n se numeşte seria geometricǎ de raţie r. 5

6 1. SERII NUMERICE Fie r = 1. Atunci suma parţialǎ de ordin n a seriei geometrice este s n = 1 + 1 +... + 1 = n + 1. }{{} n+1 Deoarece lim n (n + 1) =, seria n=0 1 n este diveregentǎ. Pentru r 1, suma parţialǎ de ordin n a seriei geometrice este s n = 1 rn+1 1 r. Propoziţie. Fie n=0 r n o serie geometricǎ. (i) Dacǎ r < 1, atunci seria geometricǎ este convergentǎ, cu suma 1 1 r. (ii) Dacǎ r 1, atunci seria geometricǎ este divergentǎ. Demonstraţie. (i) Dacǎ r < 1, atunci lim n r n+1 = 0, astfel cǎ lim n s n = 1 1, deci seria este convergentǎ, cu suma. 1 r 1 r (ii) Dacǎ r > 1, atunci lim n r n+1 =, deci suma este divergentǎ. Dacǎ r = 1, am vǎzut mai sus cǎ seria geometricǎ diverge. Dacǎ r = 1, atunci şirul sumelor parţiale alterneazǎ între valorile 0 ş1, deci şi aceastǎ serie este divergentǎ. Exemplu. 1 2 3 + ( 2 3 )2 = n=1 ( 2 3 )n = 1 1 ( 2 3 ) = 3 5. Observaţie. Uneori, aşa cum am vǎzut şi în exemplele de mai sus, primul termen al unei serii nu este neapǎrat a 1. n=1 ( 1 2 )n şi 1 n=2 sunt exemple ln n de asemenea serii. În al doilea caz, trebuie sǎ începem cu n = 2, deoarece 1 ln 1 nu este definit. Exemplu. Putem scrie numǎrul 1 3 ca 1 3 = 0, 33333... = 3 10 + 3 100 + 3 1000 +... + 3 10 +.... n Aceastǎ expresie este o serie, având termenul general a n = 3 10 n. Putem demonstra cǎ aceastǎ serie este convergentǎ: 3 10 + 3 100 + 3 1000 +... + 3 10 n +... = 3 10 (1 + 1 10 + 1 100 +... + 1 10 n +...) = = 3 ( 1 10 k=0 10 )k = 3 10 1 1 1 10 = 3 10 10 9 = 3 9 = 1 3.

1.1. DEFINIŢII. EXEMPLE 7 De altfel, orice numǎr subunitar x poate fi gândit ca suma unei serii convergente, deoarece dacǎ x = 0, a 1 a 2 a 3... a n..., atunci x = a 1 10 + a 2 100 + a 3 1000 +... + a n 10 +... = a n n 10. n O condiţie necesarǎ de convergenţǎ a unei serii numerice este urmǎtoarea: Propoziţie. Fie n 1 a n o serie convergentǎ de numere reale. Atunci şirul (a n ) n 1 este convergent la 0. Demonstraţie. Fie s = k=1 a k. Pentru douǎ sume parţiale consecutive avem atunci n=1 n s n = = (a 1 + a 2 +... + a n 1 ) + a n = s n 1 + a n, k=1 deci a n = s n s n 1. Atunci lim a n = lim (s n s n 1 ) = lim s n lim s n 1 = s s = 0. n n n n Rezultǎ atunci urmǎtoarea condiţie suficientǎ de divergenţǎ: Corolar. Fie n 1 a n o serie de numere reale. Dacǎ şirul (a n ) n 1 nu are limitǎ sau are limitǎ nenulǎ, atunci seria datǎ este divergentǎ. Observaţie. Dacǎ n 1 a n este o serie pentru care lim n a n = 0, nu rezultǎ neapǎrat cǎ seria datǎ este convergentǎ. Contraexemplu. Seria armonicǎ n 1 1 n este divergentǎ, cu suma n 1 1 n =, în ciuda faptului cǎ lim n 1 n = 0: Sǎ presupunem cǎ seria datǎ ar fi convergentǎ cu suma n 1 1 n Rezultǎ deci cǎ lim n s n = s. Dar s n = 1 + 1 2 + + 1 n. = s. Fie s 2n s n = 1 n + 1 + 1 n + 2 + + 1 2n > 1 2n + 1 2n + + 1 1 = n }{{ 2n} 2n = 1 2 n şi obţinem cǎ s 2n > 1 2 + s n, ( )n 1.

8 1. SERII NUMERICE Trecând la limitǎ în ultima relaţie, obţinem: s 1 2 + s, ceea ce este absurd. Prin urmare presupunerea facutǎ nu poate fi adevǎratǎ, deci seria armonicǎ este divergentǎ. O proprietate importantǎ a seriilor convergente este urmǎtoarea: Propoziţie. Fie n 1 a n şi n 1 b n douǎ serii convergente cu sumele s, respectiv t, şi fie α, β R. Atunci seria n 1(αa n + βb n ) este convergentǎ şi are suma αs + βt. Demonstraţie. Fie s n, respectiv t n, sumele parţialǎ de rang n ale celor douǎ serii. Atunci suma parţialǎ de rang n a seriei n 1(αa n + βb n ) este αs n + βt n, şi avem lim (αs n + βt n ) = α lim s n + β lim t n = αs + βt. n n n Corolar. Presupunem cǎ seria n 1(αa n + βb n ) este convergentǎ pentru anumite constante α, β R. Atunci n 1 a n este convergentǎ dacǎ şi numai dacǎ n 1 b n este convergentǎ. Observaţie. Din convergenţa seriei n 1(αa n + βb n ) nu rezultǎ însǎ convergenţa seriilor n 1 a n şi n 1 b n. Contraexemplu. Seria n 1(( 1) n + ( 1) n+1 ) este convergentǎ, în timp ce seriile n 1( 1) n şi n 1( 1) n+1 sunt divergente. 1.2 Criterii de convergenţǎ pentru serii cu termeni pozitivi Definiţie. Spunem cǎ seria n 1 a n este cu termeni pozitivi dacǎ orice termen al sǎ este pozitiv: a n > 0, ( )n 1. Propoziţie. Şirul sumelor parţiale ale unei serii cu termeni pozitivi este strict crescǎtor. Demonstraţie. Fie (s n ) n 1 şirul sumelor parţiale ale unei serii cu termeni pozitivi n 1 a n. Atunci s n+1 s n = a n+1 = s n+1 > s n, n 1,

1.2. CRITERII DE CONVERGENŢǍ PENTRU SERII CU TERMENI POZITIVI9 deci şirul (s n ) este crescǎtor. Corolar. O serie cu termeni pozitivi are întotdeauna sumǎ(finitǎ sau nu). Câteva criterii pentru studiul seriilor cu termeni pozitivi sunt: C1) Seria n 1 a n cu termeni pozitivi este convergentǎ dacǎ şi numai dacǎ şirul (s n ) n 1 al sumelor parţiale este mǎrginit. Demonstraţie. Şirul (s n ) al sumelor parţiale este monoton, astfel cǎ el este convergent dacǎ şi numai dacǎ este mǎrginit. Proprietatea enunţatǎ rezultǎ atunci imediat. C2) Primul criteriu al comparaţiei. Fie n 1 a n, n 1 b n douǎ serii de numere reale nenegative, astfel încât ( )n 0 N : a n b n, ( )n n 0. Atunci au loc proprietǎţile: (a) n 1 b n convergentǎ = n 1 a n convergentǎ. (b) n 1 a n divergentǎ = n 1 b n divergentǎ. Demonstraţie. Dacǎ notǎm cu s n, respectiv t n, sumele parţiale de rang n ale seriilor n 1 a n şi n 1 b n, atunci din inegalitatea din enunţ rezultǎ cǎ s n s n0 t n t n0, ( )n n 0. (a) Dacǎ seria n 1 b n este convergentǎ, atunci lim n t n <, de unde rezultǎ cǎ lim n s n = t n + s n0 t n0 <, deci n 1 a n este convergentǎ. (b) Dacǎ seria n 1 a n este divergentǎ, atunci lim n s n =, de unde rezultǎ cǎ lim n t n = s n + t n0 s n0 =, deci n 1 b n este divergentǎ. Exemplu. Sǎ studiem convergenţa sau divergenţa seriei n=1 1 n. 1 Deoarece n 1, ( )n 1, şi deoarece seria 1 n n=1 n rezultǎ cǎ n 1 n=1 este divergentǎ. este divergentǎ, Exemplu. Vom studia natura seriei 1. n=1 n! Dacǎ n 4, atunci n! 2 n 1, deci 1. Deoarece seria 1 n! 2 n n=1 este o 2 n serie geometricǎ, cu raţia 1 < 1, ea este convergentǎ, de unde rezultǎ cǎ 2

10 1. SERII NUMERICE seria n=1 1 n! este convergentǎ. Observaţie. Dacǎ pentru un numǎr natural oarecare N, seria n=n+1 a n este convergentǎ, atunci seria n=1 a n este convergentǎ. De asemenea, dacǎ seria n=n+1 a n este divergentǎ, atunci seria n=1 a n este divergentǎ. Adunarea unui numǎr finit de termeni la o serie nu afecteazǎ deci convergenţa sau divergenţa seriei. Definiţie. Spunem cǎ douǎ serii de numere reale n 1 a n, n 1 b n au aceeaşi naturǎ dacǎ ambele sunt convergente sau ambele sunt divergente. Notaţie. Notǎm acest lucru prin n 1 a n n 1 b n C3) Al doilea criteriu al comparaţiei. Fie n 1 a n, n 1 b n douǎ serii de numere reale nenegative astfel încât Atunci au loc urmǎtoarele: a n lim = l. n b n (a) Dacǎ 0 < l <, cele douǎ serii au aceeaşi naturǎ. (b) Dacǎ l = 0 şi n 1 b n este convergentǎ, atunci n 1 a n este convergentǎ. (c) Dacǎ l = şi n 1 b n este divergentǎ, atunci n 1 a n este divergentǎ. a Demonstraţie. (a) Deoarece lim n n bn = l, existǎ un numǎr natural N, astfel încât an b n (l l, l + l ), ( )n N. Prin urmare au loc 2 2 l b 2 n a n 3lb 2 n, ( )n N. Deoarece seria n 1 b n are evident aceeaşi naturǎ ca şi seriile n 1 l b 2 n şi n 1 3lb 2 n, pe baza primului criteriu de comparaţie rezultǎ afirmaţia din enunţ. (b) Dacǎ l = 0, atunci existǎ un numǎr natural N, cu proprietatea cǎ a n bn < 1, ( )n N. Dar atunci a n < b n, ( )n N, de unde aplicând primul criteriu de comparaţie se obţine proprietatea enunţatǎ. (c) Dacǎ l =, atunci existǎ un numǎr natural N, cu proprietatea cǎ a n bn > 1, ( )n N. Dar atunci a n > b n, ( )n N, de unde aplicând primul criteriu de comparaţie se obţine proprietatea enunţatǎ. Exemplu. Vom arǎta cǎ n n 1 este divergentǎ. n 2 +1 Fie a n = n, b n 2 +1 n = 1. Atunci lim n n an b n = 1, deci seriile n 1 a n şi n 1 b n au aceeaşi naturǎ. Dar n 1 1 este divergentǎ, deci şi n n 1 este divergentǎ. n n 2 +1

1.2. CRITERII DE CONVERGENŢǍ PENTRU SERII CU TERMENI POZITIVI11 C4) Al treilea criteriu al comparaţiei. Fie n 1 a n, n 1 b n douǎ de numere reale nenegative, astfel încât : Atunci au loc proprietǎţile: ( )n 0 N : a n+1 a n b n+1 b n, ( )n n 0. (a) n 1 b n convergentǎ = n 1 a n convergentǎ. (b) n 1 a n divergentǎ = n 1 b n divergentǎ. Demonstraţie. Inegalitatea poate fi transcrisǎ în forma a n+1 a n b n+1 b n, ( )n n 0 a n+1 b n+1 a n b n, ( )n n 0, de unde rezultǎ cǎ an b n an 0 b n0, ( )n n 0, adicǎ a n a n0 b n b n0, ( )n n 0. Deoarece seriile n 1 a n şi n 1 an a n0, respectiv n 1 b n şi n 1 bn b n0 au aceeaşi naturǎ, din ultima inegalitate şi primul criteriu de comparaţie rezultǎ afirmaţiile din enunţ. C5) Criteriul condensǎrii. Fie n 1 a n o serie de numere reale pozitive, ai cǎrei termeni formeazǎ un şir descrescǎtor, convergent cǎtre 0. Atunci seria n 1 a n are aceeaşi natura ca şi seria n 0 2 n a 2 n. Demonstraţie. Deoarece şirul sumelor parţiale al seriei n 1 a n este monoton, seria este convergentǎ dacǎ şi numai dacǎ şirul sumelor parţiale este mǎrginit, sau, ceea ce este echivalent(datoritǎ monotoniei), dacǎ şi numai dacǎ şirul sumelor parţiale are un subşir mǎrginit. Deoarece şirul (a n ) este descrescǎtor, avem inegalitǎţile 2 k a 2 k s 2 k+1 s 2 k 2 k a 2 k+1, ( )k N. Adunând inegalitǎţile acestea pentru k = 0, n 1, obţinem atunci n 1 2 k a 2 k s 2 n 1 n 2 k a k=0 2 2 k, ( )n N. k=1

12 1. SERII NUMERICE Din primul criteriu de comparaţie deducem atunci cǎ seriile n 1 a n n 0 2 n a 2 n au aceeaşi naturǎ. şi Aplicaţie(Seriile armonice generalizate). Fie α > 0 un numǎr real pozitiv. Seria n 1 1 se numeşte seria armonicǎ n α generalizatǎ de grad α. Termenii ei sunt pozitivi şi descresc cǎtre 0, astfel cǎ putem folosi criteriul condensǎrii pentru a studia convergenţa ei. Prin urmare n 1 1 n 2 n 1 α n 0 (2 n ). α Studiem acum seria n 0 2 n 1 (2 n ) α. Avem n 0 2 n 1 (2 n ) = ( ) 2 n = ( ) 1 n. α n 0 2 α n 0 2 α 1 Aceasta este o serie geometricǎ, de raţie 1 2 α 1. Ea este convergentǎ dacǎ şi numai dacǎ raţia este subunitarǎ. Aceastǎ condiţie este în cazul nostru 1 2 α 1 < 1 2α 1 > 1 α 1 > 0 α > 1. Am obţinut deci urmǎtorul rezultat: Seria armonicǎ generalizatǎ de grad α este C6) Criteriul rǎdǎcinii(al lui Cauchy). convergentǎ, dacǎ α > 1 divergentǎ, dacǎ α 1 Fie n 1 a n o serie de numere reale pozitive şi fie l = lim n a n. Atunci: (a) Dacǎ l < 1, seria n 1 a n este convergentǎ. (b) Dacǎ l > 1, seria n 1 a n este divergentǎ. (c) Dacǎ l = 1, natura seriei n 1 a n poate fi oricare. Demonstraţie. (a) Dacǎ l < 1, atunci existǎ n 0 N cu proprietatea cǎ n an < l+1, ( )n n 2 0. Dar atunci are loc ( ) n l + 1 a n <, ( )n n 0. 2 Deoarece seria n=1 ( l+1 2 )n este geometricǎ, cu raţia subunitarǎ, ea este o serie convergentǎ, şi atunci din primul criteriu de comparaţie rezultǎ cǎ seria n=1 a n este convergentǎ. (b) Dacǎ l > 1, atunci pentru orice n 0 N fixat putem gǎsi n N cu

1.2. CRITERII DE CONVERGENŢǍ PENTRU SERII CU TERMENI POZITIVI13 n n 0 astfel încât a n > 1. Dar atunci nu putem avea lim n a n = 0. Prin urmare, conform criteriului necesar de convergenţǎ, seria n=1 a n nu este convergentǎ. (c) Dacǎ l = 1, este suficient sǎ indicǎm douǎ serii cu aceastǎ proprietate, dintre care una sǎ fie convergentǎ, iar cealaltǎ sǎ fie divergentǎ. Considerǎm seriile n=1 1 n şi n=1 1 n 2. Deoarece pentru orice funcţie polinomialǎ P cu coeficientul dominant pozitiv are loc lim n n P (n) = 1, rezultǎ cǎ lim n 1 n = lim n 1 n 2 convergentǎ. = 1, dar prima serie este divergentǎ, iar a doua În foarte multe situaţii este utilǎ urmǎtoarea C6 ) Variantǎ practicǎ a criteriului rǎdǎcinii Fie n 1 a n o serie de numere reale pozitive astfel încât existǎ limita l = lim n n a n. Atunci: (a) Dacǎ l < 1, seria n 1 a n este convergentǎ. (b) Dacǎ l > 1, seria n 1 a n este divergentǎ. (c) Dacǎ l = 1, natura seriei n 1 a n poate fi oricare. Exemplu. n 1 nα 2 n este convergentǎ, α R. Într-adevǎr, n an = n n α 2 n 1 2 < 1 = Exemplu. n 2 1 (lnn) n = n 1 este convergentǎ. n α 2 n convergentǎ. 1 Observǎm în primul rând cǎ seria începe de la n = 2 deoarece (ln 1) 1 definit. n an = n 1 (ln n) n = 1 ln n = n 2 1 (ln n) n 0 < 1 = convergentǎ. C7) Criteriul raportului(al lui d Alembert). Fie n 1 a n o serie de numere reale pozitive. Atunci: nu este

14 1. SERII NUMERICE (a) Dacǎ lim a n+1 a n < 1, seria n 1 a n este convergentǎ. (b) Dacǎ ( )n 0 N, astfel încât a n+1 a n 1, ( )n n 0 seria n 1 a n este divergentǎ. (c) Dacǎ lim a n+1 a n = 1, natura seriei n 1 a n poate fi oricare. Demonstraţie. (a) Dacǎ lim a n+1 < 1, atunci existǎ n 0 N astfel încât a n a n+1 a n < l+1 2, ( )n n 0. Dar atunci a n+1 < l + 1 a n 2 = ( l+1 2 )n+1 ( l+1 2 )n, ( )n n 0. Deoarece seria n=1 ( l+1 2 )n este convergentǎ, din al treilea criteriu de convergenţǎ rezultǎ cǎ seria n 1 a n este convergentǎ. (b) Dacǎ ( )n 0 N, astfel încât a n+1 a n 1, ( )n n 0, atunci rezultǎ cǎ a n a n0, ( )n n 0. Dar atunci nu putem avea lim n a n = 0. Prin urmare, conform criteriului necesar de convergenţǎ, seria n=1 a n nu este convergentǎ. (c) Seriile 1 şi 1 n=1 n n=1 au proprietatea cǎ lim a n+1 n 2 a n ele este divergentǎ, iar a doua este convergentǎ. = 1. Prima dintre Ca în cazul criteriului rǎdǎcinii, şi pentru criteriul raportului avem o C7 ) Variantǎ practicǎ a criteriului raportului Fie n 1 a n o serie de numere reale pozitive astfel încât existǎ limita l = a lim n+1 n a n. Atunci: (a) Dacǎ l < 1, seria n 1 a n este convergentǎ. (b) Dacǎ l > 1, seria n 1 a n este divergentǎ. (c) Dacǎ l = 1, natura seriei n 1 a n poate fi oricare. Exemplu. Arǎtǎm cǎ n 1 n 2 n Cu notaţia a n = n 2 n, avem este convergentǎ. a n+1 a n = n + 1 2n 1 2 < 1 = = n 1 C8) Criteriul lui Kummer. n 2 n convergentǎ. Fie n 1 a n o serie de numere reale pozitive.

1.2. CRITERII DE CONVERGENŢǍ PENTRU SERII CU TERMENI POZITIVI15 (a) Dacǎ existǎ un şir (t n ) de numere pozitive, un numǎr r > 0 şi n 0 N cu proprietatea cǎ t n a n atunci seria n 1 a n este convergentǎ. a n+1 t n+1 r, ( )n n 0, (b) Dacǎ existǎ un şir (t n ) de numere pozitive cu proprietatea cǎ seria n=1 1 t n este divergentǎ şi un numǎr natural n 0 N cu proprietatea cǎ t n a n atunci seria n 1 a n este divergentǎ. a n+1 t n+1 0, ( )n n 0, a Demonstraţie. (a) Din inegalitatea t n n a n+1 t n+1 r, deducem cǎ de unde obţinem şirul de inegalitǎţi ra n+1 t n a n t n+1 a n+1, ( )n n 0, ra n0 +1 t n0 a n0 t n0 +1a n0 +1 ra n0 +2 t n0 +1a n0 +1 t n0 +2a n0 +2......... ra n+1 t n a n t n+1 a n+1. Adunând aceste inegalitǎţi, obţinem cǎ r(s n s n0 ) t n0 a n0 t n+1 a n+1 t n0 a n0, ( )n n 0, deci s n s n0 + 1 r t n 0 a n0, ( )n n 0, adicǎ şirul sumelor parţiale este mǎrginit, şi cum el este şi monoton crescǎtor, este convergent. Seria n 1 a n este deci convergentǎ. a (b) Inegalitatea t n n a n+1 t n+1 0 este echivalentǎ cu an a n+1 t n+1 t n sau t n t n+1 a n+1 a n. Deoarece seria 1 n=1 t n este divergentǎ, din al treilea criteriu de comparaţie rezultǎ cǎ seria n 1 a n este divergentǎ. C9) Criteriul lui Raabe şi Duhamel. Fie n 1 a n o serie de numere reale pozitive. (a) Dacǎ existǎ un numǎr ρ > 1 şi un numǎr natural n 0 N astfel încât ( ) an n 1 ρ, ( )n n 0, a n+1

16 1. SERII NUMERICE atunci seria n 1 a n este convergentǎ. (b) Dacǎ existǎ un numǎr natural n 0 N astfel încât atunci seria n 1 a n este divergentǎ. n ( ) an 1 1, ( )n n 0, a n+1 Demonstraţie. Aplicǎm criteriul lui Kummer, considerând şirul t n = n. Putem scrie t n a n a n+1 t n+1 = n ( ) an 1 1. a n+1 (a) Notând r = ρ 1, avem r > 0 şi este îndeplinitǎ condiţia t n a n a n+1 t n+1 r, ( )n n 0, care conform criteriului lui Kummer ne asigurǎ convergenţa seriei date. (b) Dacǎ n ( a n a n+1 1 ) 1, t n a n şi seria n 1 a n este divergentǎ. ( )n n 0, atunci a n+1 t n+1 0, ( )n n 0, Variantǎ practicǎ a criteriului Raabe-Duhamel Fie n 1 a n o serie de numere reale pozitive şi sǎ presupunem cǎ existǎ l = lim n n( an a n+1 1). Atunci: (a) Dacǎ l > 1, atunci seria n 1 a n este convergentǎ. (b) Dacǎ l < 1, atunci seria n 1 a n este divergentǎ. (c) Dacǎ l = 1, natura seriei n 1 a n poate fi oricare. 1.3 Criterii de convergenţǎ pentru serii cu termeni oarecare Definiţie. O serie n 1 a n de numere reale se numeşte serie absolut convergentǎ dacǎ are proprietatea cǎ seria n 1 a n este convergentǎ. O serie convergentǎ n 1 a n cu proprietatea cǎ seria n 1 a n este divergentǎ se numeşte serie semiconvergentǎ.

1.3. CRITERII DE CONVERGENŢǍ PENTRU SERII CU TERMENI OARECARE17 Definiţie. Un şir (u n ) n 1 se numeşte şir fundamental(sau şir Cauchy) dacǎ este satisfǎcutǎ urmǎtoarea condiţie: ( )ε > 0 = ( )n ε : u n+p u n < ε, ( )n n ε, p N. Se poate demonstra cǎ un şir de numere reale este convergent dacǎ şi numai dacǎ este fundamental. In cazul seriilor obţinem atunci urmǎtorul criteriu de convergenţǎ: C1) Criteriul lui Cauchy. Fie n 1 a n o serie de numere reale. Atunci n 1 a n este convergentǎ dacǎ şi numai dacǎ ( )ε > 0 = ( )n ε 1 : n+p a k < ε, ( )n n ε, p N. k=n+1 Corolar. Orice serie absolut convergentǎ este convergentǎ. Corolar. Printr-o permutare a termenilor unei serii absolut convergente se obţine tot o serie absolut convergentǎ, având aceeaşi sumǎ. C2) Criteriul lui Abel. Dacǎ seria de numere reale n 1 a n are şirul sumelor parţiale (s n ) n 1 mǎrginit, iar (α n ) n 1 este un şir de numere pozitive descrescǎtor la 0, atunci seria n 1 α n a n este convergentǎ. Definiţie. O serie n 1 a n se numeşte serie alternantǎ dacǎ are loc relaţia a n a n+1 < 0, ( )n 1. O asemenea serie se scrie u 1 u 2 + u 3 u 4 +... + u 2n 1 u 2n +..., unde u n > 0, ( )n 1 sau u n < 0, ( )n 1. Pentru serii alternante are loc urmǎtorul criteriu de convergenţǎ: C3) Criteriul lui Leibniz. Fie n 1( 1) n a n o serie alternantǎ de numere reale. Dacǎ şirul (a n ) n 1 este monoton convergent la zero, atunci seria este convergentǎ.

18 1. SERII NUMERICE Exemplu. Seria n 1( 1) n 1 n este convergentǎ, deoarece şirul ( 1 n ) n 1 descreşte cǎtre zero.

1.3. CRITERII DE CONVERGENŢǍ PENTRU SERII CU TERMENI OARECARE19 CRITERII DE CONVERGENŢǍ (Tabel recapitulativ) Criterii Descriere Exemple şi comentarii Criteriul de Seria n=0 r n este n=0 1 este 2 n convergenţǎ convergentǎ, cu suma convergentǎ, cu suma 2 pentru seriile 1 dacǎ r < 1 1 r geometrice divergentǎ dacǎ r 1 n=0 2 n este divergentǎ Criteriul Dacǎ (a n ) n 1 nu converge Dacǎ a n 0 atunci suficient la 0, atunci n=0 a n n=0 a n poate fi de divergenţǎ este divergentǎ. convergentǎ( 1 n=0 ) n 2 sau divergentǎ( 1 ) n=0 n Criteriul Dacǎ 0 a n b n, ( )n Nu este necesar ca comparaţiei (sau a n+1 a n b n+1 b n, ( )n) a n b n (sau a n+1 a n b n+1 b n, şi n=0 b n este convergentǎ, etc.) pentru toţi n N, atunci n=0 a n ci doar pentru n N, este convergentǎ. Dacǎ 0 b n a n, ( )n unde N N este fixat (convergenţa sau (sau a n+1 a n b n+1 b n, ( )n) divergenţa unei serii şi n=0 b n este divergentǎ, nu este afectatǎ atunci n=0 a n de valorile primilor este divergentǎ. câtorva termeni) Criteriul de n=0 1 n este α Seriile armonice convergenţǎ divergentǎ dacǎ α 1 generalizate se folosesc pentru serii convergentǎ dacǎ α > 1. pentru studiul naturii armonice generalizate unor serii cu ajutorul criteriilor de comparaţie

20 1. SERII NUMERICE Criteriul Dacǎ a n 0, b n 0 Acest criteriu se foloseşte comparaţiei şi existǎ l > 0 pentru a studia natura unei cu limitǎ astfel încât serii n=0 a n şi a lim n n bn = l, putem gǎsi o serie atunci seriile n=0 b n, astfel încât n=0 a n, n=0 b n (a) cunoaştem natura sunt fie ambele convergente, fie ambele divergente seriei n=0 b n a (b) Limita lim n n bn uşor calculabilǎ Criteriul Dacǎ a n > 0 şi Dacǎ l = 1, atunci raportului lim n a n+1 a n = l, seria poate fi (D Alembert) atunci n 1 a n este convergentǎ( n=1 1 n 2 ) convergentǎ sau divergentǎ( n=1 1 n ). dacǎ l < 1 şi divergentǎ dacǎ l > 1. Criteriul Dacǎ a n > 0 şi Dacǎ l = 1, atunci rǎdǎcinii l = lim n n a n, seria poate fi (Cauchy) atunci n 1 a n este convergentǎ( 1 n=1 ) n 2 convergentǎ sau divergentǎ( 1 ). n=1 n dacǎ l < 1 şi * Criteriul rǎdǎcinii divergentǎ dacǎ l > 1. se aplicǎ cel mai frecvent atunci când a n este de forma a n = (...) n ( 1 (ln n) n = ( 1 ln n )n ) Criteriu pentru Seria n 1( 1) n a n, Dacǎ a n 0 serii alternante cu a n 0, este seria este divergentǎ. (Leibniz) convergentǎ dacǎ Criteriul lui Leibniz (i) lim n a n = 0 şi (ii) (a n ) n 1 este descrescǎtor se aplicǎ numai dacǎ termenii seriei sunt cu semne alternante este Criteriul Dacǎ n 1 a n Pentru studiul convergenţei convergenţei converge, atunci seriei n 1 a n absolute n 1 a n converge se pot folosi criteriile absolut de convergenţǎ

1.4. PROBLEME PROPUSE 21 1.4 Probleme propuse Calculaţi sumele urmǎtoarelor serii 1. n 0 1 4 n 2. n 2 1 2 n 3. n 0 100 5 n 4. n 2 5. n 0 1 6. (n+1)(n+2) n 2 1 n(n+1) 2 (n+3) 3 n 7. n 4 5(n 2) 6 (n+1) 8. n 0 5n 100 9. n 3 1 n(n 1) 10. n 0 ( 1 2 n + 1 5 n ) Studiaţi natura urmǎtoarelor serii 11. n 1 2n n 2 12. n 1 rn nr, r (0, 1) 13. n 1 rn n r, r 1 14. n 2 n! n n 15. n 1 nn (2n)! 16. n 1 en n 5 17. n 1 en n! 18. n 1 n 2 3 10 k 19. n 2 n 20. (ln n) n n 1 3n +n n!+2 21. n 1 4n n 3 22. n 1 n ln n n 3 +1 23. n 1 34n+5 n n 24. n 1 n2 n! (2n)! 25. n 1 (2n)! n 2 n! 26. n 1( n! n n ) n 27. n 1( nn n! )n 28. n 2 e n (ln n) n (ln n) n n 2 29. n 1 30. n 1( n 3n+2 )n Aflaţi care dintre urmǎtoarele serii sunt convergente, absolut convergente,

22 1. SERII NUMERICE respectiv divergente 31. n 1( 1) n 32. n 1 ( 1) n+1 2n 33. n 2 35. n 2 ( 1) n n ln n ( 1) n n ln n 34. n 1 36. n 1 ( 1) n n 3 2 ( 1) n ln n n 37. n 1 ( 1) n+1 5n 4 38. n 1 sin nπ 2 39. n 0 cos nπ 2 40. n 1 ( 3) n n! 41. n 1 n! ( 3) n 42. n 1 ( 2) n n 2 43. n 1 n 2 ( 2) n 44. n 2 ( 1) n+1 n(n+1) 45. n 2 47. n 1 ( 1) n n 2 n 3 +1 sin( nπ 7 ) n 3 46. n 1 48. n 1 cos( nπ 6 ) n 2 ( 1) n (n+2) n(n+1) 49. n 2 ( 1) n n(n+1) (n+2) 3 50. n 2 ( 1) n n(n+1) (n+2) 4 51. n 1 ( 1) n 2 n n 52. n 1 ( 1) n+1 n! 53. n 1 55. n 2 ( 1) n n n 54. ( 1) n n n! n 1 n+3 ( 1) n (n 2 +3) n 3 +4

2 Serii de puteri Definiţie. Fie a un numǎr real oarecare şi (a n ) n N un şir de numere. Numim serie de puteri(sau serie Taylor) centratǎ în punctul a, cu coeficienţii a n, seria a n (x a) n, n=0 în care numǎrul x R reprezintǎ o variabilǎ. Exemplu. Seriile urmǎtoare sunt câteva serii de puteri centrate în 0: 1 + x + x 2 +... + x n +... 1 x 3 + x2 5... + ( 1)n xn 2n+1 +... 1 + x 1! + x2 2! +... + xn n! +... Definiţie. MacLaurin. Seriile de puteri centrate în punctul 0 se mai numesc şi serii Definiţie. (i) Spunem cǎ o serie de puteri converge în punctul x dacǎ seria n=0 a n (x a) n este convergentǎ. În caz contrar spunem cǎ seria diverge în x. (ii) Spunem cǎ o serie de puteri converge pe o mulţime D dacǎ ea converge în orice punct x D. Exemplu. Vom încerca sǎ determinǎm punctele x R în care converge seria de puteri n=0 x n 3 n = 1 + x 3 + x2 3 2 + x3 3 3 +... 23

24 2. SERII DE PUTERI Soluţie. Al n-lea termen al seriei este a n = xn 3 n. Aplicǎm criteriul raportului pentru a studia convergenţa seriei Avem x n n=0 3 n. a n+1 lim n a n x = 3. Deducem cǎ pentru x R cu x < 3, seria iniţialǎ este absolut convergentǎ, iar dacǎ x > 3, deoarece lim n a n = 0, seria este divergentǎ. Sǎ considerǎm acum separat cazul când x = 3. Pentru x = 3, seria iniţialǎ de puteri devine x n 3 = 3 n n 3 = 1 n, n n=0 care este evident divergentǎ. Pentru x = 3, n=0 care diverge de asemenea. x n 3 n = n=0 n=0 ( 3) n 3 n = n=0 ( 1) n, n=0 Problema centralǎ în studiul seriilor de puteri este determinarea mulţimii numerelor reale pentru care seria este convergentǎ. Definiţie. Mulţimea { } K = x R a n (x a) n -convergentǎ, n=0 se numeşte mulţimea de convergenţǎ a seriei. Observaţie. Oricare ar fi n=0 a n (x a) n o serie de puteri centratǎ în punctul a, are loc a K, deoarece pentru x = a, seria de puteri devine a 0 + 0 + 0 +... + 0 +... Prin urmare, K este o mulţime nevidǎ. Lemǎ. (i) Dacǎ o serie de puteri n=0 a n (x a) n converge într-un punct t R, atunci ea converge absolut în orice punct x R cu x a < t a.

(ii) Dacǎ o serie de puteri n=0 a n (x a) n diverge într-un punct t R, atunci ea diverge în orice punct x R cu x a > t a. Demonstraţie. (i) Din criteriul necesar de convergenţǎ rezultǎ cǎ lim n a n (t a) n = 0. Prin urmare existǎ n 0 N cu proprietatea cǎ a n (t a) n < 1, ( )n n 0. Pentru n n 0 avem atunci cǎ a n (x a) n = a n (t a) n (x a) n (t a) n = a n(t a) n x a n x a < t a t a Deoarece seria geometricǎ x a n=0 n de raţie subunitarǎ este convergentǎ, t a din primul criteriu al comparaţiei şi inegalitatea de mai sus rezultǎ cǎ seria n=0 a n (x a) n este absolut convergentǎ. (ii) Dacǎ seria n=0 a n (x a) n ar fi convergentǎ, atunci ar rezulta, conform punctului (i), cǎ seria n=0 a n (t a) n ar fi absolut convergentǎ, şi deci convergentǎ. Acest lucru ar contrazice însǎ ipoteza. Prin urmare, presupunerea cǎ seria n=0 a n (x a) n ar fi convergentǎ nu poate fi corectǎ, deci n=0 a n (x a) n este divergentǎ. 25 n. Teorema I a lui Abel. Pentru orice serie de puteri n=0 a n (x a) n existǎ un numǎr R, cu 0 R, astfel încât a) Seria este absolut convergentǎ pe intervalul deschis (a R, a + R). b) Seria este divergentǎ pentru orice x cu x a > R. Demonstraţie. Fie { } R = sup t a [0, ) a n (t a) n - convergentǎ. n=0 Din lema de mai sus rezultǎ cǎ numǎrul R verificǎ toate afirmaţiile din enunţul teoremei. Definiţie. Numǎrul R din enunţul teoremei de mai sus se numeşte raza de convergenţǎ a seriei de puteri, iar intervalul deschis I = (a R, a + R) se numeşte intervalul de convergenţǎ al seriei de puteri. Observaţie. Afirmaţia teoremei I a lui Abel se poate sintetiza în relaţia ( )R [0, ] : (a R, a + R) K [a R, a + R]. Observaţie. În cazul când R (0, ), teorema lui Abel nu spune nimic despre convergenţa sau divergenţa seriei de puteri în capetele

26 2. SERII DE PUTERI a R şi a + R ale intervalului de convergenţǎ. Convergenţa seriei de puteri în aceste puncte se studiazǎ separat, folosind diverse criterii de convergenţǎ(cum ar fi criteriul necesar, criteriile de comparaţie, Raabe-Duhamel, Leibniz,... ). Este utilǎ şi urmǎtoarea Propoziţie. Dacǎ seria de puteri este absolut convergentǎ într-unul dintre capetele a R sau a + R ale intervalului de convergenţǎ, atunci ea este absolut convergentǎ şi în celǎlalt capǎt. Demonstraţie. Avem cǎ a n (a R a) n = a n ( R) n = a n R n = a n (a + R a) n, de unde rezultǎ cǎ afirmaţia propoziţiei este trivialǎ. Raza de convergenţǎ a unei serii de puteri este datǎ de Teorema lui Cauchy şi Hadamard. Fie n=0 a n (x a) n o serie de puteri şi R raza sa de convergenţǎ. Dacǎ notǎm ω = lim n a n, atunci R = 1 ω. (Folosim aici convenţiile uzuale 1 0 =, 1 = 0.) Demonstraţie. Fie x R un numǎr real oarecare. Atunci lim n a n (x a) n = x a lim n a n = x a ω. (i) Dacǎ x a < 1 ω, atunci lim n a n (x a) n < 1, de unde, conform criteriului rǎdǎcinii, rezultǎ cǎ seria n=0 a n (x a) n este absolut convergentǎ. (ii) Dacǎ x a < 1 ω, atunci lim n a n (x a) n > 1, de unde rezultǎ cǎ termenul general al seriei n=0 a n (x a) n nu converge la 0, deci seria este divergentǎ. Din cele demonstrate la (i) şi (ii) obţinem cǎ numǎrul R = 1 ω

27 este raza de convergenţǎ a seriei date. Exemplu. 1) Pentru seria 1 + x + x 2 +... + x n +... = x n n=0 avem n a n = 1, ( )n 2, deci ω = 1, şi atunci R = 1. 2) Pentru n a n = n 1, ω = lim n 1 n! n! 1 + x 1! + x2 2! +... + xn n! +... = = 0, şi R =. n=0 1 n! xn, Uneori raza de convergenţǎ poate fi gǎsitǎ pe o cale ceva mai simplǎ: Propoziţie. Fie n=0 a n (x a) n o serie de puteri. Dacǎ existǎ limita lim n a n+1 a n, atunci a n+1 ω = lim n a n, deci pentru raza de convergenţǎ R = 1 ω a n R = lim n a n+1. avem în acest caz Exemplu. Determinǎm mulţimea de convergenţǎ a seriei de puteri x 1 + x2 2 + x3 3 +... + xn n +... Coeficientul termenului general al seriei date este a n = 1. Deoarece existǎ n a lim n+1 n n a n = lim n = 1, avem ω = 1, deci R = 1. Intervalul n+1 de convergenţǎ este deci I = ( 1, 1) şi pentru mulţimea de convergenţǎ K avem I K [ 1, 1]. Rǎmâne sǎ mai studiem convergenţa seriei de puteri în capetele intervalului de convergenţǎ. Pentru x = 1, seria de puteri devine seria armonicǎ, care este divergentǎ. Deci 1 K. Pentru x = 1, seria de puteri devine o serie alternantǎ, pentru care modulele termenilor formeazǎ un şir descrescǎtor, convergent la 0. Conform criteriului lui Leibniz, aceasta este o serie convergentǎ, deci rezultǎ cǎ 1 K. Am dedus astfel cǎ mulţimea de convergenţǎ a seriei de puteri date este K = [ 1, 1).

28 2. SERII DE PUTERI 2.1 Suma unei serii de puteri Definiţie. Fie n=0 a n (x a) n o serie de puteri şi K mulţimea sa de convergenţǎ. Pentru fiecare x K sǎ notǎm σ(x) = a n (x a) n = a 0 + a 1 (x a) + a 2 (x a) 2 +... + a n (x a) n +... n=0 Am definit astfel o funcţie σ : K R : x σ(x). Funcţia aceasta se numeşte suma seriei de puteri n=0 a n (x a) n. Observaţie. Suma unei serii de puteri este o funcţie definitǎ numai pe mulţimea de convergenţǎ a seriei de puteri, deşi funcţiile putere a n (x a) n care sunt termenii seriei de puteri sunt definite pe întreaga mulţime R a numerelor reale. Exemplu. 1) Seria 1 + x + x 2 +... + x n +... = x n n=0 are mulţimea de convergenţǎ este K = ( 1, 1). Pentru orice x K, seria corespunzǎtoare(care este o seria geometricǎ) are suma σ(x) = 1 + x + x 2 +... + x n +... = 1 1 x. Funcţia f : R \ {1} R : x 1 1 x un alt domeniu de definiţie. este însǎ diferitǎ de σ, deoarece are Funcţia sumǎ σ asociatǎ unei serii de puteri are urmǎtoarele proprietǎţi: Propoziţie. Suma σ unei serii de puteri n=0 a n (x a) n este o funcţie continuǎ pe intervalul de convergenţǎ. Teorema II a lui Abel. Fie n=0 a n (x a) n o serie de puteri şi R raza sa de convergenţǎ. Dacǎ seria este convergentǎ în punctul a R(sau în a+r), atunci suma σ a seriei este continuǎ în acest punct. Observaţie. Prin urmare, suma unei serii de puteri este o funcţie continuǎ pe întregul ei domeniu de definiţie.

2.2. OPERAŢII CU SERII DE PUTERI 29 2.2 Operaţii cu serii de puteri Propoziţie. Fie n=0 a n (x a) n şi n=0 b n (x a) n douǎ serii de puteri centrate într-un acelaşi punct a, şi fie α un numǎr real nenul oarecare. Dacǎ R 1 şi R 2 sunt razele de convergenţǎ ale celor douǎ serii, atunci: 1) raza de convergenţǎ R a seriei sumǎ n=0 (a n + b n )(x a) n verificǎ inegalitatea R inf(r 1, R 2 ). 2) raza de convergenţǎ a seriei α a n (x a) n = αa n (x a) n n=0 n=0 este R 1. 3) raza de convergenţǎ R a seriei produs n=0 c n (x a) n, ai cǎrei coeficienţi sunt daţi prin n c n = a 0 b n + a 1 b n 1 +... + a n b 0 = a k b n k, verificǎ inegalitatea R inf(r 1, R 2 ). Observaţie. Mulţimea seriilor de puteri centrate într-un punct formeazǎ un spaţiu vectorial în raport cu operaţiile de adunare (1) şi înmulţire cu scalari (2), respectiv un inel în raport cu operaţiile de adunare (1) şi înmulţire (3). k=0 2.3 Derivarea seriilor de puteri Definiţie. Fie n=0 a n (x a) n o serie de puteri: a 0 + a 1 (x a) + a 2 (x a) 2 +... + a n (x a) n +... Seria care are ca termeni derivatele termenilor acestei serii, a 1 + 2a 2 (x a) + 3a 3 (x a) 2 +... + na n (x a) n 1 +... este de asemenea o serie de puteri, pe care o vom numi seria derivatelor seriei n=0 a n (x a) n. Pentru cele douǎ serii are loc atunci urmǎtoarea

30 2. SERII DE PUTERI proprietate: Propoziţie. Dacǎ n=0 a n (x a) n este o serie de puteri, având suma σ, atunci: 1) Seria derivatelor are aceeaşi razǎ de convergenţǎ. 2) Funcţia σ este derivabilǎ pe intervalul de convergenţǎ, şi derivata sa σ coincide pe acest interval cu suma seriei derivatelor. Corolar. O serie de puteri poate fi derivatǎ termen cu termen. Exemplu. Seria derivatelor a seriei de puteri 1 + x + x 2 +... + x n +... este 1 + 2x + 3x 2 +... + nx n 1 +... Deoarece pentru suma primei serii de puteri avem 1 + x + x 2 +... + x n +... = 1, ( )x ( 1, 1), 1 x suma seriei derivatelor va fi 1 + 2x + 3x 2 +... + nx n 1 +... = 2.4 Integrarea seriilor de puteri 1, ( )x ( 1, 1). (1 x) 2 Propoziţie. Dacǎ n=0 a n (x a) n este o serie de puteri, având suma σ, atunci: 1) Seria n=0 a n n+1 (x a)n+1 este o serie de puteri cu aceeaşi razǎ de convergenţǎ. 2) Suma ξ a seriei n=0 a n n+1 (x a)n+1 este o primitivǎ a funcţiei σ. Corolar. O serie de puteri poate fi integratǎ termen cu termen. Exemplu. Considerǎm seria de puteri 1 x 2 + x 4 x 6 +... + ( 1) n x 2n +... care este convergentǎ pentru x ( 1, 1). Suma ei este 1 x 2 + x 4 x 6 +... + ( 1) n x 2n +... = 1, ( )x ( 1, 1). 1 + x2

2.5. PROBLEME PROPUSE 31 Integrând termen cu termen în ultima relaţie, obţinem arctg(x) = x x3 3 + x5 5 x7 x2n+1 +... + ( 1)n +..., ( )x ( 1, 1). 7 2n + 1 Deoarece pentru x = 1, seria 1 1 3 + 1 5 1 7 +... + ( 1)n 1 2n+1 +... este convergentǎ(conform criteriului lui Leibniz), din teorema a II-a a lui Abel deducem cǎ π 4 = arctg(1) = lim x 1 arctg(x) = = lim (x x3 x 1 3 + x5 5 x7 x2n+1 +... + ( 1)n 7 2n + 1 +...) = = 1 1 3 + 1 5 1 7 +... + ( 1)n 1 2n + 1 +... Am obţinut deci identitatea π 4 = 1 1 3 + 1 5 1 7 +... + 1 ( 1)n 2n + 1 +..., care a fost descoperitǎ de Leibniz. Pentru demonstraţia convergenţei seriei din membrul drept, el a folosit pentru prima datǎ criteriul de convergenţǎ pentru serii alternante care astǎzi îi poartǎ numele. 2.5 Probleme propuse Determinaţi intervalele de convergenţǎ şi domeniile de convergenţǎ ale urmǎtoarelor serii de puteri:

32 2. SERII DE PUTERI 1. n=0 x n 2. n=1 x n n2 n 3. n=1 x 2n 1 2n 1 5. n=1 ( 1) n 1 x n n 4. n=1 2 n 1 x 2n 1 (4n 3) 2 6. n=0 (n+1) 5 x 2n 2n+1 7. n=0 ( 1) n (2n + 1) 2 x n 8. n=0 x n n! 9. n=0 n!x n 10. n=1 x n n n 11. n=1 ( n 2n+1 )2n 1 x n 12. n=0 3 n2 x n2 13. n ( x n=1 n+1 2 )n 14. n!x n n=1 n n 15. n=2 x n 1 n3 n ln(n) 16. n=0 x n! 17. n=0 n!x n! 18. n=1 x n2 2 n 1 n n 19. n=1 x nn n n 21. n=1 (x 3) n n5 n 23. n=1 ( 1) n 1 (x 2) 2n 2n 20. n=1 ( 1) n 1 (x 5) n n3 n 22. n=1 (x 1) n n9 n 24. n=1 (x+3) n n 2 25. n=1 n n (x + 3) n 26. n=1 (x+5) 2n 1 2n4 n 27. n=1 (x 2) n (2n 1)2 n 28. n=1 ( 1) n+1 (2n 1) 2n (x 1) n (3n 2) 2n 29. n=1 n!(x+3) n n n 30. n=1 (x+1) n (n+1)ln 2 (n+1) 31. n=1 (x+2) n2 n n 32. n=1 (1 + 1 n )n2 (x 3) n Prin derivare sau integrare, sǎ se calculeze sumele seriilor de puteri:

2.5. PROBLEME PROPUSE 33 33. x + x2 2 3 +... + xn +... n 34. x x2 2 3... + ( 1)n 1 xn +... n 35. x + x3 3 5 +... + x2n 1 +... 2n 1 36. x x3 3 5 x2n 1... + ( 1)n 1 2n 1 37. 1 + 2x + 3x 2 +... + (n + 1)x n +... 38. 1 3x 2 + 5x 4... + ( 1) n 1 (2n 1)x 2n 2 +... 39. 1 2 + 2 3x + 3 4x 2 +... + n(n + 1)x n 1 +... Gǎsiţi sumele seriilor: 40. 1 x + 2 x 2 + 3 x 3 +... + n x n +... 41. x + x5 + x9 +... + x4n 3 +... 5 9 4n 3 42. 1 1 + 1... + ( 1) n 1 1 +... 3 3 5 3 2 (2n 1) 3 n 1 43. 1 + 3 + 5 +... + 2n 1 +... 2 2 2 2 3 2 n

34 2. SERII DE PUTERI

3 Formula lui Taylor Definiţie. Fie f : I R o funcţie, derivabilǎ de n ori într-un punct a I. Pentru fiecare x I putem atunci defini polinomul T n (x) = f(a) + f (a) 1! (x a) + f (a) (x a) 2 +... + f (n) 2! n! (a)(x a)n. Polinomul T n (x) se numeşte polinomul Taylor de gradul n(sau de ordinul n) asociat funcţiei f în punctul a. Definiţie. Dacǎ pentru fiecare x I notǎm atunci vom putea scrie f(x) = f(a) + x a f (a) + 1! oricare ar fi x I. R n (x) = f(x) T n (x), (x a)2 f (a) +... + 2! (x a)n f (n) (a) + R n (x), n! Aceastǎ egalitate se numeşte formula lui Taylor de ordinul n corespunzǎtoare funcţiei f în punctul a. Funcţia R n se numeşte restul de ordinul n al formulei lui Taylor. Observaţie. Polinomul lui Taylor T n (x) are proprietatea cǎ T (k) n (a) = f (k) (a), ( )k = 0, n. Corolar. Restul de ordinul n al formulei lui Taylor este o funcţie derivabilǎ de n ori în punctul a şi R (k) n (a) = 0, ( )k = 0, n. 35

36 3. FORMULA LUI TAYLOR Observaţie. proprietatea Pentru restul R n de ordin n al formulei lui Taylor are loc lim x a R n (x) (x a) n = 0. Propoziţie. Dacǎ f este derivabilǎ de n ori în punctul a I, atunci existǎ o funcţie α(x) definitǎ pe I astfel ca lim α(x) = 0 = α(a) x a şi astfel ca pentru orice x I sǎ avem f(x) = f(a) + x a f (a) + 1! + (x a)n f (n) (a) + n! (x a)2 f (a) +... + 2! (x a)n α(x). n! În continuare vom presupune cǎ f este derivabilǎ de n + 1 ori pe întreg intervalul I. Pentru restul de ordinul n al formulei lui Taylor vor fi atunci valabile urmǎtoarele formule: 1) Pentru orice numǎr natural p, cu 1 p n + 1 existǎ ξ cuprins între a şi x astfel cǎ R n (x) = (x a)p (x ξ) n p+1 f (n+1) (ξ). n!p În aceastǎ formǎ, R n se numeşte restul lui Schlömlich-Roche pentru formula lui Taylor. 2) Dacǎ în formula de mai sus punem p = 1, obţinem restul lui Cauchy pentru formula lui Taylor: R n (x) = (x a)(x ξ)n f (n+1) (ξ). n! 3) Dacǎ în formula de la 1) luǎm p = n + 1, obţinem restul lui Lagrange pentru formula lui Taylor R n (x) = (x a)n+1 f (n+1) (ξ). (n + 1)! Observaţie. Punctul intermediar ξ depinde de a, x, n şi p. Prin urmare, punctul ξ nu este neapǎrat acelaşi pentru cele trei formule de mai sus. Observaţie. Deoarece ξ este cuprins între a şi x, existǎ un numǎr θ(care depinde de asemenea de a, x, n şi p) astfel încât 0 < θ < 1 şi ξ = a + θ(x a).

Dacǎ notǎm h = x a, atunci ξ = a + θh, şi formula lui Taylor se va scrie f(a + h) = f(a) + h 1 f (a) + h2 hn f (a) +... + 2 n! f (n) (a) + R n, unde restul R n poate avea una din formele: R n = hn+1 (1 θ) n p+1 f (n+1) (a + θh) n!p (Schlömlich-Roche); R n = hn+1 (1 θ) n f (n+1) (a + θh) n! (Cauchy); R n = hn+1 (a + θh) (n+1)! (Lagrange). Exerciţiu. Scrieţi formula lui Taylor cu restul lui Lagrange în punctul 0 pentru urmǎtoarele funcţii: 1) f : R R, f(x) = e x. 2) f : R R, f(x) = sin(x). 3) f : R R, f(x) = cos(x). 4) f : ( 1, ) R, f(x) = ln(1 + x). 37 Definiţie. Fie f : I R o funcţie indefinit derivabilǎ într-un punct a I. Atunci putem considera seria urmǎtoare: f(a) + x a f (a) + 1! (x a)2 f (a) +... + 2! (x a)n f (n) (a) +... n! Aceastǎ serie de puteri se numeşte seria Taylor a funcţiei f în punctul a. Ea are o razǎ de convergenţǎ 0 R, o mulţime de convergenţǎ nevidǎ K care conţine cel puţin punctul a, şi un interval de convergenţǎ (a R, a + R) K. Pe mulţimea K este definitǎ funcţia sumǎ T a acestei serii de puteri. Sumele parţiale ale seriei Taylor a funcţiei f în punctul a sunt evident polinoamele Taylor asociate funcţiei f în punctul a. Deoarece pentru numere x aflate aproape de numǎrul a, polinoamele T n (x) aproximeazǎ din ce în ce mai bine funcţia f(x), se pune întrebarea dacǎ vom putea scrie f(x) = T (x), ( )x I K. Rǎspunsul la aceastǎ întrebare este dat de urmǎtoarea Teoremǎ. Seria Taylor a funcţiei f în punctul a este convergentǎ într-un punct x I K cǎtre valoarea f(x) a funcţiei f în x dacǎ şi numai dacǎ valorile în x ale resturilor R n ale formulelor lui Taylor formeazǎ un şir (R n (x)) convergent cǎtre 0.

38 3. FORMULA LUI TAYLOR 3.1 Serii Taylor pentru funcţii de douǎ variabile Dezvoltarea în serie Taylor a unei funcţii f(x, y) în jurul unui punct (a, b) are forma f(x, y) = f(a, b) + 1 [(x a) 1! x + (y b) ]f(a, b)+ y + 1 2! [(x a) x +(y b) y ]2 f(a, b)+...+ 1 n! [(x a) x +(y b) y ]n f(a, b)+..., unde [(x a) x + (y b) y ş.a.m.d. ]f(a, b) = f x f (a, b)(x a) + (a, b)(y b), y [(x a) x + (y b) y ]2 f(a, b) = 2 f x 2 (a, b)(x a)2 + +2 2 f x y (a, b)(x a)(y b) + 2 f y 2 (a, b)(y b)2, 3.2 Probleme propuse 1. Arǎtaţi cǎ i) e x = 1 + x + x2 +... + xn +..., ( )x R 1! 2! n! ii) sin(x) = x x3 + x5 n 1 x2n 1... + ( 1) +..., ( )x R 3! 5! (2n 1)! iii) cos(x) = 1 x2 + x4... + ( 1) n x2n +..., ( )x R 2! 4! (2n)! iv) ln(1 + x) = x x2 + x3... + 2 3 ( 1)n 1 xn +..., ( )x ( 1, 1] n v) ln(1 x) = x x2 x3... xn..., ( )x [ 1, 1) 2 3 n vi) (1 + x) m = 1 + mx + m(m 1) x 2 +... + m(m 1)...(m n+1) x n +..., ( )x 1! 2! n! ( 1, 1) 2. Determinaţi dezvoltǎrile în serie MacLaurin ale urmǎtoarelor funcţii, indicând şi intervalele în care este valabilǎ fiecare dezvoltare:

3.2. PROBLEME PROPUSE 39 i) f(x) = a x ; ii) f(x) = sin(x + π 4 ); iii) f(x) = cos(x + a); iv) f(x) = sin 2 (x); v) f(x) = ln(2 + x); vi) f(x) = 2x 3 vii) f(x) = 3x 5 ; x 2 4x+3 (x 1) 2 ; viii) f(x) = cos2 (x); ix) f(x) = x ; x) f(x) = 1 1+x 2 4 x 2 ; xi) f(x) = ch(x); xii) f(x) = sh(x); xiii) f(x) = ln( 1+x 1 x ); xv) f(x) = ln(x + 1 + x 2 ); xiv) f(x) = (1 + x) ln(1 + x); xvi) f(x) = arctg(x); xvii) f(x) = arcsin(x); xviii) f(x) = ln(1 + x 2x 2 )); xix) f(x) = (1 + x)e x ; xx) f(x) = 3 8 + x. 3. Scrieţi primii trei termeni nenuli ai dezvoltǎrilor în serie MacLaurin ale urmǎtoarelor funcţii: i)f(x) = tg(x); ii)f(x) = th(x); iii)f(x) = ln(cos(x)); iv)f(x) = e cos(x) ; v)f(x) = e sin(x). 4. Dezvoltaţi funcţia f(x) = x 3 2x 2 5x 2 în serie de puteri ale lui x+4. 5. Dezvoltaţi funcţia f(x) = ln(x) în serie de puteri ale lui x 1. 6. Dezvoltaţi funcţia f(x) = 1 x în serie de puteri ale lui x 1. 7. Dezvoltaţi funcţia f(x) = 1 x 2 în serie de puteri ale lui x + 1. 8. Dezvoltaţi funcţia f(x) = 1 x 2 +3x+2 în serie de puteri ale lui x + 4. 9. Dezvoltaţi funcţia f(x) = x în serie de puteri ale lui x + 2. 10. Dezvoltaţi funcţia f(x) = cos(x) în serie de puteri ale lui x π 2. 11. Dezvoltaţi funcţia f(x) = ln(x) în serie de puteri ale lui 1 x 1+x. 12. Dezvoltaţi funcţia f(x) = x 1+x în serie de puteri ale lui x. 1+x 13. Folosind dezvoltarea funcţiei arctg(x), aflaţi numǎrul π cu o zecimalǎ exactǎ.

40 3. FORMULA LUI TAYLOR 14. Folosind dezvoltarea funcţiei e x, aflaţi numǎrul e cu trei zecimale exacte. 15. Dezvoltaţi în serie de puteri ale lui x şi y urmǎtoarele funcţii: i) f(x, y) = sin(x) sin(y), ii) f(x, y) = ln(1 x y + xy), iii) f(x, y) = sin(x 2 + y 2 ), iv) f(x, y) = arctg( x+y 1 xy ) v) f(x, y) = 1 x+y 1+x y. 16. Fie f(x, y) = ax 2 + 2bxy + cy 2. Dezvoltaţi f(x + h, y + k) în serie de puteri ale lui h şi k. 17. Dezvoltaţi e x+y în serie de puteri ale lui x 2 şi y + 2. 18. Dezvoltaţi sin(x + y) în serie de puteri ale lui x şi y π 2. 19. Scrieţi formula lui Taylor de ordinul doi în punctul (0, 0) pentru urmǎtoarele funcţii: i) f(x, y) = e x cos(y), ii) f(x, y) = (1 + x) 1+y.

4 Noţiuni de topologie în R n Spaţiul vectorial R n are o structurǎ de spaţiu euclidian definitǎ de produsul scalar şi de norma asociatǎ. Cu ajutorul normei se poate defini pe R n o distanţǎ: d : R n R n R, d(x, Y ) = X Y, ( )X, Y R n. Proprietǎţile funcţiei distanţǎ sunt: 1) d(x, Y ) 0, ( )X, Y R n. 2) d(x, Y ) = 0 X = Y. 3) d(x, Y ) = d(y, X), ( )X, Y R n. 4) d(x, Y ) d(x, Z) + d(z, Y ), ( )X, Y, Z R n. O funcţie cu proprietǎţile funcţiei distanţǎ de mai sus se mai numeşte şi metricǎ, şi spunem cǎ (R n, d) este un spaţiu metric. Definiţie. Fie X R n şi r R +. Bila deschisǎ de centru X şi razǎ r este mulţimea B(X, r) = {Y R n d(x, Y ) < r}. Bila închisǎ de centru X şi razǎ r este mulţimea B(X, r) = {Y R n d(x, Y ) r}. Sfera de centru X şi razǎ r este mulţimea S(X, r) = {Y R n d(x, Y ) = r}. 41

42 4. NOŢIUNI DE TOPOLOGIE ÎN RN Definiţie. Fie X R n şi V R n. V se numeşte vecinǎtate a lui X dacǎ existǎ r > 0 cu proprietatea cǎ B(X, r) V. Mulţimea vecinǎtǎţilor punctului X o vom nota cu V(X), iar dacǎ V este o vecinǎtate a lui X, vom scrie V V(X). Definiţie. O mulţime D R n se numeşte mulţime deschisǎ dacǎ este vecinǎtate pentru orice punct al sǎu, i.e. ( )X D ( )r > 0 : B(X, r) D. Vom nota cu D mulţimea mulţimilor deschise incluse în R n. Complementarele mulţimilor deschise se numesc mulţimi închise. O mulţime compactǎ este o mulţime închisǎ şi mǎrginitǎ. Propoziţie. Mulţimile deschise incluse în R n au urmǎtoarele proprietǎţi: 1) R n, D. 2) Dacǎ D 1, D 2 D, atunci D 1 D 2 D. 3) Dacǎ (D i ) i I D este o familie oarecare de mulţimi deschise, atunci i I D i D. Definiţie. O familie T de submulţimi ale lui R n care satisface condiţiile din propoziţia de mai sus, se numeşte topologie pe R n. Observaţie. Mulţimea D a mulţimilor deschise din R n formeazǎ deci o topologie pe R n. Definiţie. Perechea (R n, D) fomeazǎ un spaţiu topologic. Definiţie. Fie M R n o submulţime oarecare a spaţiului topologic (R n, D). Interiorul lui M(notat Int(M)) este cea mai mare mulţime deschisǎ conţinutǎ în M. Avem Int(M) = {X R n M V(X)}. Exteriorul lui M(notat Ext(M)) este interiorul mulţimii complementare lui M în R n : Ext(M) = {X R n ( )r > 0 : B(X, r) M = }.

43 Închiderea(sau aderenţa lui M)(notatǎ M) este cea mai micǎ mulţime închisǎ care conţine M şi este complementara exteriorului mulţimii M: M = {X R n ( )r > 0 = B(X, r) M } = = {X R n ( )V V(X) = B(X, r) M }. Mulţimea punctelor de acumulare a lui M(notatǎ M ) este M = {X R n ( )V V(X) = B(X, r) M \ {X} }. Frontiera lui M(notatǎ F r(m)) constǎ din punctele aderente atât lui M, cât şi complementarei lui M: F r(m) = {X R n ( )V V(X) = B(X, r) M B(X, r) \ M}. Mulţimea punctelor izolate ale mulţimii M(notatǎ Iz(M)) constǎ din punctele aderente ale lui M care nu sunt puncte de acumulare: Iz(M) = M \ M.

44 4. NOŢIUNI DE TOPOLOGIE ÎN RN

5 Funcţii de mai multe variabile 5.1 Definiţii. Exemple Definiţie. Fie D R n o submulţime a spaţiului R n. O funcţie f : D R se numeşte funcţie(scalarǎ) de n variabile. Mulţimea D este domeniul de definiţie al lui f, notat Dom(f), iar mulţimea {f(x) X D} se numeşte imaginea funcţiei f, şi o notǎm Im(f). Observaţie. Uneori nu se indicǎ domeniul de definiţie al unei funcţii, ci doar spaţiul R n în care este inclus acesta. În acest caz se considerǎ de regulǎ cǎ domeniul de definiţie este domeniul maxim de definiţie, pentru care au sens toate calculele care se fac pentru determinarea imaginii unui vector prin funcţia a cǎrei lege de corespondenţǎ este indicatǎ. Exemplu. 1) Pentru funcţia f : R 4 R, definitǎ prin f(x 1, x 2, x 3, x 4 ) = x 2 1 + x 2 2 + x 2 3 + x 2 4, domeniul de definiţie este R 4, iar imaginea este R +. 2) Fie f : D R 4 R, datǎ de legea de corespondenţǎ f(x 1, x 2, x 3, x 4 ) = 1 x 2 1 + x 2 2 + x 2 3 + x 2 4 1. Domeniul de definiţie nu este indicat, astfel cǎ trebuie considerat ca fiind domeniul maxim de definiţie al expresiei care defineşte legea de corespondenţǎ prin care este definitǎ funcţia. Astfel, Dom(f) = {X R 4 x 2 1 + x 2 2 + x 2 3 + x 2 4 1 0} = 45

46 5. FUNCŢII DE MAI MULTE VARIABILE = {X R 4 d(x, 0) 1} = R 4 \ S(0, 1). Imaginea funcţiei f este R \ ( 1, 0]. Definiţie. Fie f : D R n R o funcţie de n variabile. Graficul funcţiei f este mulţimea G f = {(X, x n+1 ) R n+1 X D, x n+1 = f(x)}. Exemplu. Graficul funcţiei f : B(0, 1) R 2 R, definitǎ prin f(x) = 1 X 2 este semisfera superioarǎ S + (0, 1) R 3. Definiţie. Fie f : D R n R o funcţie de n variabile şi α R. Linia de nivel α a lui f este mulţimea L α (f) = {(x 1, x 2,..., x n ) = X D, f(x) = α}. Ea se mai numeşte preimaginea(sau imaginea inversǎ) a lui α şi se mai noteazǎ şi f 1 (α). 5.2 Probleme propuse Determinaţi domeniile şi imaginile funcţiilor urmǎtoare 1. f(x, y) = x 2 + y 2 ; 2. f(x, y) = 1 + x + y; 3. f(x, y) = x y ; 4. f(x, y) = 1 x 2 4y 2 ; 5. f(x, y) = 1 x 2 + 4y 2 ; 6. f(x, y) = sin(x + y); 7. f(x, y) = e x + e y 1 ; 8. f(x, y) = ; (x 2 y 2 ) 3/2 x+y 9. f(x, y) = tan(x y); 10. f(x, y) = x y ; x y 11. f(x, y) = x+y ; 12. f(x, y) = sin 1 (x + y);

5.2. PROBLEME PROPUSE 47 13. f(x, y) = cos 1 (x y); 14. f(x, y) = y x ; 15. f(x, y) = x2 y 2 x+y ; 16. f(x, y) = ln(1 + x2 y 2 ); 17. f(x, y) = x 2y + 2y x ; 18. f(x, y, z) = x + y + z; 19. f(x, y, z) = 1 x + y + z; 20. f(x, y, z) = ; x2 +y 2 +z 2 1 21. f(x, y, z) = ; 22. f(x, y, z) = x 2 y 2 z 2 ; x2 y 2 +z 2 23. f(x, y, z) = ln(x 2y 3z + 4); 24. f(x, y, z) = xy z ;