OMBINATORIĂ Mulţimile ordoate care se formează cu elemete di elemete date se umesc permutări. P =! Proprietăţi 0! = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )! =!! =!! =! +... Submulţimile ordoate care se formează cu elemete di elemete date se umesc arajamete.! A = ( )( )... ( )! = + ( ) Proprietăţi 0 A = A A = =! ( ) factori A = + A formula de recureţă Submulţimile care se formează cu elemete di elemete date se umesc combiări.! A = =!! P ( ) Observaţie importată: Numărul total de submulţimi obţiute di elemete date este egal cu deci 0 + + +... + = + + +... = + + +... = Proprietăţi 0 = 0 = = = ( ) = = + formula combiărilor complemetare formula de recureţă
( ) ( ) Fie şi f : A B card, A = card B = Numărul total de fucţii este Numărul total de fucţii ijective este Numărul total de fucţii strict mootoe este Numărul de fucţii strict crescătoare=numărul de fuc ţii strict descrescătoa A ( = ) Numărul total de fucţii bijective este P PROBABILITĂŢI. re = umărul cazurilor favorabile c f P= = umărul cazurilor posibile ( totale ) c p. Se cosideră toate umerele aturale de câte trei cifre scrise cu elemete di mulţimea { ;}. Să calculeze probabilitatea ca, alegâd u astfel de umăr divizibil cu.. Să calculeze probabilitatea ca, alegâd u umăr di mulţimea { },,,..., 0 umăr raţioal.. Să calculeze probabilitatea ca, alegâd u umăr di mulţimea {,,,..., 0} umăr raţioal.. Să calculeze probabilitatea ca, alegâd u umăr di mulţimea {,,,..., } umăr iraţioal.. Să calculeze probabilitatea ca u elemet al mulţimii { 0;;;;; } acesta să verifice iegalitatea!< 0. 6. Să calculeze probabilitatea ca, alegâd uul ditre umerele, şi acesta să fie divizibil cu. 7. Să calculeze probabilitatea ca, alegâd u elemet al mulţimii { ;;;; } acesta să verifice iegalitatea. 8. Să calculeze probabilitatea ca, alegâd u elemet al mulţimii { ;;; } acesta să verifice iegalitatea!.. Să calculeze probabilitatea ca, alegâd uul ditre umerele P, A şi acesta să fie divizibil cu. 0. Să calculeze probabilitatea ca, alegâd u elemet al mulţimii { ;;;6 } acesta să verifice iegalitatea ( ) 0.. Să se calculeze probabilitatea ca alegâd u elemet al mulţimii A = {,,, }, acesta să verifice iegalitatea!<.. Să se calculeze probabilitatea ca alegâd u elemet al mulţimii A = {,,, }, acesta să verifice iegalitatea + >!.. Să se calculeze probabilitatea ca alegâd u elemet al mulţimii A = {,,, }, acesta să verifice iegalitatea >.. Să se calculeze probabilitatea ca alegâd u elemet al mulţimii A = {,,, }, acesta să verifice iegalitatea >!.. Să se calculeze probabilitatea ca alegâd u elemet al mulţimii {,,...,0} acesta să fie umăr prim. 6. Să se calculeze probabilitatea ca alegâd u umăr atural de două cifre acesta să fie cub perfect. 7. Să se determie probabilitatea ca, alegâd u elemet di mulţimea {,,, }, acesta să verifice egalitatea =.
8. Să se determie probabilitatea ca, alegâd u umăr ab di mulţimea umerelor aturale de două cifre, să avem a b. V. Să se determie probabilitatea ca, alegâd u umăr di mulţimea umerelor aturale de două cifre, acesta să fie pătrat perfect. V 0. Să se determie probabilitatea ca, alegâd u umăr di mulţimea umerelor aturale de trei cifre, acesta să aibă exact două cifre egale. V. Să se determie probabilitatea ca, alegâd u umăr ab di mulţimea umerelor aturale de două cifre, să avem a+ b=. V7. are este probabilitatea ca, alegâd u umăr di mulţimea { 0,,,...,7 }, umărul 7 să fie prim. V8. Să se determie probabilitatea ca, alegâd u umăr di mulţimea umerelor aturale de trei cifre, acesta să aibă toate cifrele pare. V,,,...,0 umărul + 6 să. Să se determie probabilitatea ca, alegâd u elemet di mulţimea { } fie pătrat perfect. V. Să se determie probabilitatea ca, alegâd u elemet di mulţimea { } 0,,,...,0, suma cifrelor lui să fie divizibilă cu trei. V 6. Să se calculeze probabilitatea ca, alegâd o mulţime di mulţimea submulţimilor evide ale mulţimii A =,,,,,6, aceasta să aibă toate elemetele impare. V { } 7. Să se calculeze probabilitatea ca, alegâd o mulţime di mulţimea submulţimilor evide ale mulţimii A =,,,,, aceasta să aibă produsul elemetelor 0. V0 { } 8. Să se determie probabilitatea ca, alegâd u elemet di mulţimea {, < 00} umăr raţioal. V. Se cosideră mulţimea A = { 0,,,...,00}. Să se determie probabilitatea ca, alegâd u elemet di mulţimea A divizibil cu. V 0. Să se determie probabilitatea ca, alegâd u umăr di mulţimea umerelor aturale de trei cifre, acesta să fie divizibil cu 0. V6,,,,,6 ab,. Se cosideră mulţimea A = { }. Să se determie probabilitatea ca, alegâd o pereche ( ) di produsul cartezia A A să avem egalitatea a+ b= 6. V0,,,,,6. Fie mulţimea A = { }. Să se calculeze probabilitatea ca, alegâd o pereche (, ) ab di mulţimea A A, produsul umerelor a şi b să fie impar. V. Să se determie probabilitatea ca, alegâd u umăr di mulţimea umerelor aturale de patru cifre, acesta să divizibil cu. V7 A =,,...,000. Să se calculeze probabilitatea ca, alegâd u elemet di mulţimea. Fie mulţimea { } { A} umăr raţioal. V. Să se determie probabilitatea ca, alegâd u umăr di mulţimea { },,...,0 divizibil cu şi cu. V0 6. Să se determie probabilitatea ca, alegâd u elemet al mulţimii divizorilor aturali ai umărului 6, acesta să fie divizibil cu. V A =,,,..., 00 7. Să se determie probabilitatea ca, alegâd u elemet al mulţimii { } multiplu de. V8 8. Să se determie probabilitatea ca, alegâd u elemet al mulţimii A = {,,6,...,00} divizibil cu, dar să u fie divizibil cu 8. V
. Fie mulţimea M = {,,,,,6}. Să se determie probabilitatea ca, alegâd ua ditre submulţimile mulţimii M, aceasta să aibă elemete. V6 0. Să se determie probabilitatea ca, alegâd u umăr di mulţimea umerelor aturale de trei cifre, acesta să aibă suma cifrelor egală cu. V6,, B =,6,7. Să se. Se cosideră mulţimea M a tuturor fucţiilor defiite pe A = { } cu valori î { } calculeze probabilitatea ca, alegâd o fucţie di mulţimea M, aceasta să fie ijectivă. V67. Să se determie probabilitatea ca, alegâd u umăr di mulţimea umerelor aturale pare de două cifre divizibil cu. V68 0,,,...,, aceasta să verifice. Să se calculeze probabilitatea ca, alegâd o cifră di mulţimea { } iegalitatea ( x+ )! x! 00. V6. Să se determie probabilitatea ca, alegâd u elemet al mulţimii A = { 0,,0,...,00} divizibil cu. V7. Să se calculeze probabilitatea ca alegâd u umăr di mulţimea umerelor aturale de două cifre, acesta să aibă ambele cifre impare. V8 6. Îtr-o ură sut de bile, iscripţioate cu umerele de la la. Să se calculeze probabilitatea ca extrăgâd o bilă di ură, aceasta să aibă scris pe ea u pătrat perfect. V8,,,...,00, acesta să u fie 7. Să se calculeze probabilitatea ca alegâd u umăr di mulţimea { } divizibil cu 7. V0 8. are este probabilitatea ca, alegâd u umăr di mulţimea umerelor aturale de la la 000, acesta să fie cub perfect? V. are este probabilitatea ca, alegâd u umăr di mulţimea umerelor aturale de trei cifre, prima sa cifră să fie umăr prim? V 0. are este probabilitatea ca, alegâd u umăr di mulţimea umerelor aturale de trei cifre, produsul cifrelor sale să fie impar? V. are este probabilitatea ca alegâd u umăr di mulţimea umerelor aturale de trei cifre, produsul cifrelor sale să fie impar. Bac00 π π π. Fie mulţimea A = 0,,, π,. are este probabilitatea ca, alegâd u elemet di mulţimea A, 6 acesta să fie soluţie a ecuaţiei si x+ cos x=? Bac00 ALTE EXERIŢII. Să se calculeze +. P A. Să se calculeze +.. Să se rezolve ecuaţia = 8,. 6. Să se determie umărul tuturor submulţimilor de elemete ce se pot forma cu elemete di mulţimea {,,,, }. 7. Se cosideră 0 pucte, oricare ecoliiare. âte drepte trec pri cel puţi pucte di cele 0. 8. Să se calculeze umărul submulţimilor mulţimii {,,, }. care au u umăr par eul de elemete.. Să se determie umărul atural ştiid că A = 0. + ( )! 60. Să se determie umărul atural ştiid că = 6. ( )! 6. Să se determie câte umere de câte trei cifre disticte se pot forma cu elemtele mulţimii {,,, }. 6. Să se determie câte umere de două cifre se pot forma cu elemetele mulţimii {,,, }.
+ 6. Să se rezolve ecuaţia,. 6. Să se calculeze + = 0 + A + 6 P x =, x. +. 6. Să se calculeze. 66. Să se calculeze A. 67. Să se rezolve ecuaţia 68. Se cosideră mulţimea A = {,,, }. Să se determie câte umere formate di cifre disticte se pot forma cu elemete ale mulţimii A. 6. Se cosideră mulţimea A = {,,,, }. Să se determie câte umere formate di cifre disticte se pot forma cu elemete ale mulţimii A. 70. Să se calculeze umărul submulţimilor cu elemete ale uei mulţimi cu 6 elemete. 7. Să se rezolve ecuaţia A =,. 7. Să se calculeze umărul submulţimilor cu elemete ale uei mulţimi cu elemete. 7. Să se verifice egalitatea = petru orice. + + 0, = + 7. Să se rezolve ecuaţia,. ( + )! 7. Să se rezolve ecuaţia = 6,.! 76. Să se determie î câte moduri se poate alcătui u cuvât format di trei litere disticte ale uui alfabet de şapte litere. 77. Să se determie î câte moduri pot fi alese două persoae ditr-u grup de 6 persoae. 78. Să se determie î câte moduri se poate alcătui u cuvât format di trei litere disticte ale uui alfabet de litere. 7. Să se rezolve ecuaţia = 6,. 80. Să se determie umărul tuturor segmetelor orietate eule care se pot forma cu elemetele uei mulţimi de pucte di pla, oricare ecoliiare. 8. Să se determie câte umere de patru cifre disticte se pot forma cu elemetele mulţimii {,,, }. 8. âte submulţimi cu două elemete are mulţimea A={,,,,, 6}? 8. Să se determie câte umere de trei cifre se pot scrie folosid doar elemete di mulţimea {; }. 8. Să se determie câte umere de trei cifre disticte se pot scrie folosid doar elemete di mulţimea {; ; }.! 8. Să se rezolve ecuaţia = ( )!,. 86. Să se determie umărul atural eul astfel îcât umărul submulţimilor cu elemete ale uei mulţimi cu elemete să fie egal cu 6. 87. Să se calculeze. 88. Să se calculeze 7 6 6 00. 0 0 8 8. Să se calculeze. 000 000 0. Să se calculeze 0 0 0.. Să se calculeze 0! +! +! +!.. Să se arate că +!. =. Să se calculeze.. Să se calculeze +.. Să se verifice că 6 6 + + =
6. Să se calculeze. 8 8 P + 7. Să se calculeze. A! +! 8. Să se calculeze. 8. Să se calculeze. A 0 00. Să se determie valorile aturale ale umărului astfel îcât = 8. 0. Să se calculeze P. 8 0. Să se calculeze. 0 0. Să se rezolve iecuaţia + 8, ude,. 0. Să se rezolve iecuaţia, ude,. 0. Se cosideră mulţimea A = {,,,...,0} 7 ale mulţimii A, care coţi elemetul. V :,,,,,, 7 +. Să se determie umărul submulţimilor cu trei elemete 06. Să se determie umărul fucţiilor f { } { } cu proprietatea că f ( ) f ( ) 07. âte umere aturale de trei cifre disticte se pot forma cu elemete ale mulţimii { } * 08. Să se determie petru care mulţimea { } elemete. V7 =. V,,6,8? V6,,..., are exact 0 de submulţimi cu două,,,7,? V8 0. âte umere aturale de patru cifre disticte se pot forma cu cifre di mulţimea { } 0. Să se arate că > V 7 7. Să se determie umărul fucţiilor f : { 0,, } { 0,, } care verifică relaţia ( ) f =. V. Să se determie umărul elemetelor uei mulţimi ştiid că aceasta are exact de submulţimi cu două elemete. V,,,7,? V. âte umere aturale de patru cifre se pot forma cu elemete ale mulţimii { }. Să se rezolve ecuaţia. Să se calculeze 6. Să se calculeze 7. Să se rezolve iecuaţia 8 0 =,. 6 + + V0 V. 8 7 7 *, 0. V6 < 0,, atural. V 8. Să se determie umărul fucţiilor f :{ 0,,,} { 0,,,} care au proprietatea f ( ) f ( ) V7 0 = =.. Să se determie umărul fucţiilor f :{ 0,,,} { 0,,,} care au proprietatea că ( 0) f este umăr impar. V8 0. Îtr-o clasă sut de elevi, ditre care sut fete. Să se determie î câte moduri se poate alege u comitet reprezetativ al clasei format di fete şi băieţi. V A =,, 0,,. Să se determie umărul fucţiilor pare f : A A. V. Fie mulţimea { }. Fie mulţimea {,,,,} proprietatea că f ( ) =. V A =. Să se determie umărul fucţiilor bijective f : A A, cu. Să se arate că, petru orice umăr atural,, are loc relaţia + = +. V8 :,, 0,,, f este umăr par. V. Să se determie umărul fucţiilor f { } { } petru care ( ) 6
. Să se determie umărul fucţiilor :{,,,} {,,,} f ( ) + f ( ) = 7. V 6. Se cosideră mulţimea A = { 0,,,,...,} 7. Se cosideră mulţimile A = { } şi { } f care au proprietatea că. Să se determie umărul submulţimilor mulţimii A care au elemete, di care exact sut umere pare. V,,, B =,,,,,6. Să se determie umărul fucţiilor strict crescătoare f : A B. V 8. Se cosideră mulţimile A = {,,, } şi B = {,,,,} descrescătoare f : A B, cu proprietatea că f ( ) =. V6. Se cosideră mulţimea M = { 0,,,,,}. Să se determie umărul tripletelor (,, ) proprietate că abc,, M şi a< b< c. V8! 0. Să se rezolve î mulţimea umerelor aturale iecuaţia x 08. V. Să se determie x, x astfel îcât + A = 0. V x x x. Să se determie x, x astfel îcât =. V60. Să se arate că (!) divide pe ( ). Să se determie x, x ştiid că. Să se calculeze 6. Să se calculeze A 0 0 0 6. V66. V70 7. Să se determie, astfel îcât 8. Să se calculeze. Să se arate că!, petru orice atural. V6 x x x x +. V6 8 + =. V7. Să se determie umărul fucţiilor strict +.... V7 0 00 008 007 00 00 00 00 00 00 a b * a+ b= a+ bpetru orice ab,. V7 abc cu 0. Se cosideră dreptele paralele d, d şi puctele disticte AB,, d, M, N, PQ, d. Să se determie umărul triughiurilor care au toate vârfurile î mulţimea celor şapte pucte date. V7. Să se arate că oricare ar fi atural,, are loc egalitatea =. V76. Să se calculeze A A. V77. Să se calculeze umărul diagoalelor uui poligo covex cu 8 laturi. V78. Să se determie,, astfel îcât să dividă +. V7. Să se calculeze umărul fucţiilor ijective f :{,,} {,,,,} cu proprietatea că ( ) V80 6. Să se calculeze + + +... +. V8. 0 6 6 6 6 6 7. Să se determie umerele aturale,, astfel îcât 8. âte elemete ale mulţimii A= { x x=,, 7 7 } =. V8 sut divizibile cu 7. V86. âte umere aturale de la la 00 sut divizibile şi 6 şi cu 8? V87 0. Să se arate că umărul A, este divizibil cu. V88. Să se calculeze umărul fucţiilor strict mootoe :{,,} {,6,7,8}. Să se calculeze. V 0. Să se determie umărul atural 0 6 8 0 0 0 0 0 f. V8 = + +. V f. 7
. Să se determie umerele aturale,, petru care. Să se calculeze A. V7 6 + = 0. V6 6. Să se determie umărul submulţimilor cu trei elemete al mulţimii { } u umăr par. V8 7. âte fucţii :{,,,,,6,7,8,,0} { 0,} f ( ) + f ( ) + f ( ) +... + f ( 0) =? V 8. Să se arate că divide umărul,,,, care coţi cel puţi f au proprietatea că + +... +. V00 0 6 00. Determiaţi umărul elemetelor mulţimii A = {,,,,..., } 60. âte elemete di mulţimea A = {,,,...,00} 6. Determiați, petru care 6. Se cosideră mulţimea A = {,,,...,0}. Bac00 sut divizibile cu sau cu? Bac00 + A = 8. Bac0. Determiați umărul de submulțimi cu elemete ale mulțimii A, submulțimi care coți exact umere impare. Model Bac0 BINOMUL LUI NEWTON 0 ( )...... T + a b 0 + + +... + = a + b = a + a b + a b + + a b + + ab + b Formula termeului geeral este : Suma coeficieţilor biomiali este: +. V0 6. Să se determie umărul termeilor raţioali di dezvoltarea ( ) 0 6. Să se determie a > 0 ştiid că termeul di mijloc al dezvoltării 88. V 6. Să se determie termeul care u coţie pe x di dezvoltarea x a + + x. V 66. Să se determie umărul termeilor raţioali di dezvoltarea biomului ( ) +. V 67. Să se determie umărul termeilor raţioali ai dezvoltării ( ) 00 +. V 68. Să se determie umărul termeilor iraţioali ai dezvoltării ( ) 6. Se cosideră dezvoltarea ( ) aceeaşi putere. V 70. Se cosideră dezvoltarea a. V6 a a +. V7 să fie egal cu x + y. Să se determie termeul care îi coţie pe x şi pe y la 7. Să se determie termeul care u-l coţie pe x di dezvoltarea +, a 0. Să se determie ragul termeului care-l coţie pe a 00 x +, x> 0. V7 x 8
7. Suma coeficieţilor biomiali ai dezvoltării ( x y) de rag. V6 7. âţi termei ai dezvoltării ( ) 7 este egală cu. Să se determie termeul + sut divizibili cu? V8 +. Bac00 7. Determiaţi umărul termeilor raţioali di dezvoltarea ( ) 7. Determiați umărul de termei rațiomali ai dezvoltării ( ) 0 76. + Bac 0