Cuprins 1 Operaţii cu numere reale 1 11 Radicali, puteri 1 111 Puteri 1 112 Radicali 1 12 Identităţi 2 13 Inegalităţi 3 2 Funcţii 4 21 Noţiunea de funcţii 4 22 Funcţii injective, surjective, bijective 5 23 Compunerea funcţiilor 5 24 Funcţia inversă 6 3 Ecuaţii şi inecuaţii de gradul întâi 7 31 Ecuaţii de gradul întâi 7 32 Inecua tii de gradul întâi 8 33 Modul unui număr real 9 4 Numere complexe 10 41 Forma algebrică 11 42 Puterile numărului i11 43 Conjugatul lui z 11 44 Modulul unui număr complex 12 45 Forma trigonometrică 13 46 Formula lui Moivre 14 47 Forma exponenţială 14 48 Ecuaţia binomă 15 5 Progresii 15 51 Progresiile aritmetice 15 52 Progresiile geometrice 16 6 Logaritmi 17 61 Ecuaţii şi inecuaţii logaritmice fundamentale 18 62 Ecuaţii şi inecuaţii exponenţiale fundamentale 19
7 Geometrie 19 71 Vectori 19 72 Adunarea vectorilor 21 73 Teoreme cu vectori 26 74 Geometrie analitică în plan şi în spaţiu 28 741 Plan determinat de un punct şi doi vectori necolinari paraleli cu planul 29 742 Plan determinat de trei puncte necolinare 31 743 Ecuaţia planului prin tăieturi 32 744 Ecuaţia generală a planului 32 745 Poziţia planelor 33 75 Ecuaţia dreptei 34 751 Ecuaţia dreptei determinat de un punct şi de un vector paralel cu dreapta 34 752 Ecuaţia dreptei determinat de două puncte diferite 35 753 Ecuaţia generală a dreptei 35 754 Ecuaţia dreptei în plan 36 755 Ecuaţia dreptei determinat de două puncte diferite 37 756 Unghul determinat de două drepte 37 76 Distanţa la un punct la o dreaptă (în plan) 38 761 Ecuaţia bisectoarei (în plan) 38 77 Distanţa la un punct la o dreaptă (în spaţiu) 39 78 Cercul 39 79 Elipsa 40 710 Hiperbola 41 711 Parabola 42 712 Alte aplicaţii cu vectori 43 8 Metoda inducţiei matematice 44 81 Axioma de recurenţă a lui Peano44 82 Metoda unducţiei matematice 44 83 Variantă a metodei inducţiei matematice 44 9 Analiză combinatorie 44 91 Permutări 44 92 Aranjamente 45 93 Combinări 45 94 Binomul lui Newton 45 95 Suma puterilor asemenea ale primelor n numere naturale 46 10 Polinoame 47 101 Forma algebrică a unui polinom 47
102 Divizibilitatea polinoamelor 47 103 Rădăcinile polinoamelor 48 104 Ecuaţii algebrice 49 105 Polinoame cu coeficienţi din R, Q, Z 49 11 Permutări, matrici, determinanţi 50 111 Permutări50 112 Matrici 51 113 Determinanţi 53 114 Inversa unei matrici 54 1141 Tr(A) 54 1142 Determinantul şi rangul 55 12 Sisteme liniare 57 121 Notaţii 57 122 Compatibilitatea 57 123 Sisteme omogene (b i =0) 58 13 Trigonometrie 58 131 Aplicaţii ale trigonometriei în geometrie 59 14 Analiză matematică 62 141 Recurenţe 62 1411 Recurenţe de ordin 1 62 1412 Recurenţe de ordin al doilea 62 142 Limita de şiruri 62 1421 Limite generale, criterii de convergenţă 63 143 Limite de funcţii 66 1431 Operaţii cu limite de funcţii 67 1432 Limite tip 67 144 Continuitatea funcţiilor 69 1441 Teoreme pentru continuitatea funcţiilor 69 145 Funcţii derivabile 71 1451 Definiţia derivatei într-un punct 71 1452 Reguli de derivare 71 1453 Derivatele funcţiilor elementare 72 1454 Derivatele funcţiilor compuse 73 1455 Derivatele de ordin superior ale unor funcţii elementare 74 1456 Proprietăţi ale funcţiilor derivabile 74 146 Integrale 75 1461 Primitive 75
15 Primitivele funcţiilor 75 151 Reguli pentru integrarea generală a funcţiilor 75 152 Primitivele funcţiilor raţionale 75 153 Integrale cu r=(x 2 +a 2 ) 1/2 76 154 Integrale cu s=(x 2 a 2 ) 1/2 77 155 Integrale cu t=(a 2 x 2 ) 1/2 78 156 Integrale cu R 1/2 =(ax 2 +bx+c) 1/2 79 157 Integrale cu R 1/2 =(ax+b) 1/2 79 158 Integrale de funcţii trigonometrice ce conţin numai sin 79 159 Integrale cu funcţii trigonometrice ce conţin numai cos 80 1510 Integrale cu funcţii trigonometrice ce conţin numai tan 81 1511 Integrale cu funcţii trigonometrice ce conţin atât sin cât şi cos 81 1512 Funcţii logaritmice 82 15121 Proprietăţi ale integralei definite 82 15122 Teorema Fundamentală 85 15123 Inegalităţi 85 1513 Alte teoreme 87 15131 Funcţii primitivabile 87 15132 Funcţii integrabile 88 15133 Arii 88 16 Structuri algebrice 89 161 Grupul 89 1611 Proprietăţi şi teoreme 90 162 Monoid 91 163 Inel 92 164 Corpuri 92 17 Spaţii vectoriale 93
1 Operaţii cu numere reale 11 Radicali,Puteri 111 Puteri 1 a m n = a m a n 2 a m b m = (a b) m 3 a m : a n = a m n 4 a m : b m = (a : b) m 5 a m = 1 a m 6 (a m ) n = a mn Puterile numerelor reale se extiind atât pentru exponenți raționali pozitivi sau negativi, cât şi pentru puterile reale fiind definite cu ajutorul şirurilor de puteri raționale Aceste puteri au proprietǎți identice cu exponenți numere naturale 112 Radicali n 1 a = a 1 n, a > 0; n 1 2 a = n 1 a = a 1 m ; 3 ( n a) n = a; n 4 a n b = n ab; 5 ( n 1 a )n = 1 a ; n 6 a n b n c = n abc; n 7 a : n b = n a b ; m 8 a n a = nm a n+m ; m 9 a : n a = nm a n m ; 10 n a nm = a m ; m 11 a n = a n m ; mn 12 a mp = n a p ; m 13 a p n b q = nm a pn b qm ; m 14 n a = nm a; 1
15 a 2 = a ; 2n+1 16 a = 2n+1 a; 17 a ± a+c a c b = 2 ± 2, c2 = a 2 b; 12 Identitǎţi Oricare ar fi x, y, z, t, a, b, c, d R şi n N avem: 1 a 2 b 2 = (a b)(a + b) 2 (a 2 + b 2 )(x 2 + y 2 ) = (ax by) 2 + (ay + bx) 2 3 a b b 3 = (a b)(a 2 + ab + b 2 ) 4 a 3 + b 3 = (a + b)(a 2 ab + b 2 ) 5 a 3 + b 3 + c 3 3abc = (a + b + c)(a 2 + b 2 + c 2 ab bc ca) 6 a b + b 3 + c 3 = (a + b + c) 3 3(a + b)(b + c)(c + a) 7 a 4 b 4 = (a b)(a + b)(a 2 + b 2 ) 8 a 4 + b 4 = (a 2 + b 2 ab 2)(a 2 + b 2 + ab 2) 9 a 5 b 5 = (a + b)(a 4 + a 3 b + a 2 b 2 + ab 3 + b 4 ) 10 a 6 + b 6 = (a 3 2ab 2 ) 2 + (b 3 2a 2 b) 2 11 a n b n = (a b)(a n 1 + a n 2 b + + ab n 2 + b n 1 ) 12 a 2n+1 + b 2n+1 = (a + b)(a 2 n a 2n 1 b + ab 2n 1 + b 2n ) 13 (a + b + c) 2 = a 2 + b 2 + c 2 + 2ab + 2bc + 2ac 2 n n n 14 a j x j = a 2 j j=1 15 (Hermite) x 2 j j=1 j=1 k=0 1 i<j n n 1 [ x + k ] = [nx], n (a i x j a j x i ) 2 cu [ ] notǎm partea întreagǎ Fie x un numǎr real Se numeşte parte întreagǎ a lui x, cel mai apropiat întreg mai mic sau egal cu x Se numeşte parte fracționară a lui x, diferența dintre numǎr şi partea lui întreagă Definiția este sugerată de Axioma lui Arhimede : Pentru orice numar real x, existǎ un numǎr întreg n, unic, astfel incat n x < n+1 2
11 Permutǎri, matrici, determinanţi 111 Permutǎri Definiţie 111 Fie A = {1, 2,, n}, σ se numeşte permutare de gradul n dacǎ σ : A A şi bijectivǎ ( σ = ) 1 2 n σ(a) σ(2) σ(n) S n mulțimea ( permutǎrilor ) de grad n; S n = n!; 1 A = e, permutarea identicǎ e = 1 2 n 1 2 n ; Compunerea permutǎrilor: ( ) Fie σ, τ S n atunci σ τ = 1 2 n σ(τ(1)) σ(τ(2)) σ(τ(n)) S n Transpoziții: Definiţie 112 Fie i, j A, i j, τ ij S n, τ ij se numeşte transpoziţie dacǎ: Observații: τ ij (k) = 1) (τ ij ) 1 = τ ij ; j, dacǎ k=i; τ ij (k) = i, dacǎ k=j; k, în celelalte cazuri ( 1 2 i k j n 1 2 j k i n 2) Numǎrul transpozițiilor de grad n este C 2 n Signatura(semnul) unei permutǎri:, ) Definiţie 113 Fie (i, j) AxA, i < j, (i, j) se numeşte inversiune a lui σ dacǎ σ(j) < σ(i) m(σ) numǎrul inversiunilor a lui σ : 0 m(σ) C 2 n = n(n 1) 2 ɛ(σ) = ( 1) m(σ) se numeşte signatura lui σ 50
Observații: 1) Permutarea σ se numeşte parǎ dacǎ ɛ(σ) = 1, respectiv imparǎ dacǎ ɛ(σ) = 1; 2) Orice transpoziție este imparǎ; 3) ɛ(σ) = σ(i) σ(j) ; i j 1 i<j n 4) ɛ(σ τ) = ɛ(σ) ɛ(τ) 112 Matrici Definiţie 114 Fie M = {1, 2,, m} şi N = {1, 2,, n} O aplicaţie A : MxN C, A(i, j) = a ij se numeşte matrice de tipul (m, n); cu m linii şi n coloane: a 11 a 1n a 21 a 2n a m1 a mn şi notǎm M m,n (C) mulţimea matricelor de tipul (m, n) cu elemente numere complexe Definiţie 115 Dacǎ m = n atunci matricea se numeşte pǎtraticǎ de prdinul n, iar mulţimea lor se noteazǎ M n (C) Definiţie 116 Douǎ matrici A, B M m,n (C) sunt egale dacǎ şi numai dacǎ a ij = b ij, (i, j) MxN Operații cu matrici: 1 (Adunarea:)Fie A, B M m,n (C) atunci C = A + B M m,n (C), unde c ij = a ij + b ij, 51
(i, j) M N este suma lor Proprietǎți: Pentru orice A, B, C M m,n (C) avem cǎ: (a) A + B = B + A (b) (A + B) + C = A + (B + C) (c) A + O = O + A = A(elementul neutru O = O m,n matricea nulǎ) (d) A + ( A) = ( A) + A = O (inversa lui A) 2 (Înmulțirea cu scalari): Fie A M m,n (C) şi λ C atunci B = λa M m,n (C), unde b ij = λa ij, (i, j) M N este produsul matricei A cu scalarul λ Proprietǎți: Pentru A, B M m,n (C) şi λ, µ C avem cǎ: (a) 1 A = A; (b) λ A = A λ; (c) (λ + µ)a = λa + µa; (d) λ(a + B) = λa + λb; (e) λ(µa) = (λµ)a = µ(λa) 3 (Transpusa unei matrici): Fie A M m,n (C) atunci t A M m,n (C) unde t a ij = a ji, (i, j) M N 4 (Înmulțirea matricelor): Fie A M m,n (C) şi B M n,p (C) atunci n C = A B M m,p (C), unde c ij = a ik b kj, (i, j) M N este produsul lor Proprietǎți: k=1 (a) (AB)C = A(BC); (b) AI n = I n (element neutru matricea unitate) I n = M m,n (C); 1 0 0 0 1 0 0 0 1 52
(c) (A + B)C = AC + BC; (d) A(B + C) = AB + AC 113 Determinanţi Fie M n (C) mulțimea matricilor pǎtrate de ordin n cu elemente din C: A = a 11 a 1n a 21 a 2n a n1 a nn M n(c); Definiţie 117 Se neşte determinantul matricii A numǎrul det A = σ S n ɛ(σ)a 1σ(a) a 2σ(2) a nσ(n) a 11 a 1n a 21 a 2n det A = a n1 a nn det A = a i1 A i1 + a i2 A i2 + + a in A in, unde A ij este complementul algebric al elementului a ij Dacǎ C = AB, atunci det C = det A det B(A, B, C M n (C)) Determinantul de ordin 2: a 11 a 12 a 21 a 22 = a 11a 22 a 12 a 21 Determinantul de ordin 3: a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 = a 11 a 22 a 33 + a 21 a 32 a 13 + a 12 a 23 a 31 a 31 a 22 a 13 a 11 a 32 a 23 a 21 a 12 a 33 53
are arie şi aria este b a (g(x) f(x))dx 16 Structuri algebrice 161 Grupul În matematică, un grup este o structură algebrică ce constă dintr-o mulțime şi o operație care combină două elemente ale mulțimii pentru a forma un al treilea element al aceleiaşi mulțimi Pentru a fi un grup, mulțimea şi operația trebuie să satisfacă o serie de condiții, denumite axiomele grupurilor, şi anume asociativitatea, elementul neutru şi elementul simetric Deşi acestea sunt proprietăți cunoscute ale multor structuri matematice, cum ar fi mulțimile de numere-de exemplu, mulțimea numerelor întregi împreunǎ cu operația de adunare formează un grup-formularea axiomelor este detaşatǎ de natura concretǎ a grupului şi de operația respectivǎ Aceasta permite manevrarea unor entități de origini matematice diferite într-o manieră flexibilǎ, pǎstrând în acelaşi timp aspecte structurale esențiale comune ale multor tipuri de obiecte Omniprezența grupurilor în numeroase domenii-atât matematice cât şi din afara matematicii-face din ele un principiu central de organizare în matematica contemporanǎ Un (G, ), format dintr-o mulțime G şi o lege de compoziție internǎ pe G, este grup dacǎ sunt satisfǎcute axiomele: Axioma închiderii: Oricare ar fi x şi y din G, şi rezultatul operației x y face parte din G Axioma asociativitǎții:oricare ar fi x,y,z din G, (x y) z = x (y z) Axioma elementului neutru Existǎ un element e în G, astfel încât e x = x e = x, oricare ar fi x din G Axioma elementelor simetrice: Oricare ar fi x din G, există y în G cu proprietatea cǎ x y = y x = e Dacă este satisfăcută şi axioma Axioma comutativității: Oricare ar fi x,y din G, x y = y x atunci grupul (G, ) se numeşte grup comutativ sau belian 89
1611 Proprietǎţi şi teoreme Teoremǎ 161 (Grupul lui Lorenz) Fie a > 0, G = ( a, a), x y = Atunci (G, ) este grup Abelian x+y 1+ xy a 2 Teoremǎ 162 Fie (G, ) şi fie H G Dacǎ H şi pentru orice x, y H avem x y H, şi pentru orice x H avem x 1 H, în acest caz H este subgroup a lui G şi notǎm cu H G Teoremǎ 163 Fie (G, ) un group, atunci H G este subgrup a lui G, dacǎ şi numai dacǎ, e H( e elementul neutru a lui G) şi pentru orice x, y H avem x y 1 H Teoremǎ 164 Fie (G, ) un group Fie Z G = {x G : x y = y x, y G}Atunci Z G este grup abelian Teoremǎ 165 Fie (G, ) un grup Atunci H = {e, a, a 2, a 3,, a n, } {a 1, a 2, } este subrup a lui G şi senumeşte subrup generat de a care se noteazǎ cu H = a Teoremǎ 166 Fie G un grup şi H, K G atunci (H K) G Teoremǎ 167 Fie (G, ) şi (G, ) grupuri Spunem cǎ grupurile G şi G sun izomorfe dacǎ şi numai dacǎ existǎ f : G G o funcţie bijectiǎ, pentru care f(x 1 x 2 ) = f(x 1 ) f(x 2 ), x 1, x 2 G şi f nu este bijectiǎ atunci f este morfism de grupuri Dacǎ G = G şi f este izomorfism, atunci f este automorfism Teoremǎ 168 Fie (G, ) şi (G, ) grupuri, fie f : G G un morfism Atunci f(e 1 ) = e 2, f(x 1 ) = [f(x)] 1, x G şi f(x n ) = [f(x)] n x G Teoremǎ 169 Fie ker(f) = {x G : f(x) = e 2 }, atunci ker G, respectiv Im(f) G Teoremǎ 1610 Fie (G, ) un grup şi H G un subrup al lui G şi fie xh = xh h H, x G x, y G atunci xh = yh, dacǎ şi numai dacǎ y 1 x H Teoremǎ 1611 (Lagrange) Fie (G, ) un grup finit şi fie H G un subrup a lui G Atunci H G, unde G numǎrul elementelor a lui G 90
Teoremǎ 1612 Fie G un grup cu n elemente Atunci ord(a) n, unde ord(a) = min{k : a k = e} Teoremǎ 1613 Dacǎ (G, ) este group cu G = p elemű csoport, unde p prim, atunci G ciclic Teoremǎ 1614 Fie G, G douǎ grupuri ciclic cu acelasi ordin Atunci G = G Teoremǎ 1615 (Cauchy) Fie (G, ) este grup finit cu ordin p, unde p este prim, p G, atunci x G, astfel încât ord(x) = p Definiţie 161 Fie (G, ) un grup şi p un numǎr prim, astfel încât G = p m r, p r, atunci un grup de ordin p m care este subgrup a lui G, atunci subgrupul se numeste subgrup Sylow de oridn p Teoremǎ 1616 (Feit-Thomson) Orice grup simplu cu ordin finit este abelian Teoremǎ 1617 Fie N G (H) = {g G ghg 1 = H} Dacǎ H G, atunci H N G (H) Teoremǎ 1618 Existǎ un morfism f : Q + Q surjectiv între (Q +, ) şi (Q, +) Teoremǎ 1619 Fie p un numǎr prim şi fie G = p 2 Atunci G este Abelian Teoremǎ 1620 Dacǎ G = Z n, atunci G este un grup cu ordin n Teoremǎ 1621 Dacǎ G = p 3, atunci x p Z(G) 162 Monoid În matematică monoid este o structură algebrică formată dintr-o mulțime S şi o lege de compoziție internă asociativă şi cu element neutru Astfel, un monoid este un semigrup cu element neutru Operația monoidului este adesea notată multiplicativ (de exemplu, ), adică rezultatul aplicării operației asupra perechii ordonate (x, y) este notat x y, x y sau chiar xy Reluând definiția, sunt îndeplinite următoarele reguli: 91
Lege de compoziție internă : A A A sau oricare ar fi x şi y două elemente din A, avem adevărată relația: x y A (Asociativitate)Oricare ar fi x, y şi z trei elemente din A, avem adevărată relația: x (y z) = (x y) z (Element neutru):există e un element din A astfel încât: oricare ar fi x un element arbitrar din A, avem relațiile: e x = x e = x 163 Inel Structura (A, +, )-t este inel dacǎ: (A, +) este Abelian (A, ) este monoid şi " " distributiv fațǎ "+": - x (y + z) = x y + x z, - (y + z) x = y x + z x x, y, z A dacǎ x y = y x, x, y A, atunci inelul este commutativ Exemple: 1 (Z, +, ) ; 2 (Z[i], +, ) unde Z[i] = {z = a + ib a, b Z} 3 (R n,, ); 4 (M n (R), +, ) ; 5 (Z n, +, ) Fie (A,, ) şi (A,, ) inele: Definiţie 162 f : A A -et este morfism de inele dacǎ f este bijectivǎ şi f(x y) = f(x) f(y), f(x y) = f(x) f(y), x, y A 164 Corpuri Fie (K, +, ) structurǎ algebricǎ şi, K K K, (x, y) x+y, K K K, (x, y) x y, K nevidǎ; 92