STATISTIKA Doc.dr. Tadeja Kraner Šumenjak

Σχετικά έγγραφα
Anuška Ferligoj, Katja Lozar Manfreda, Aleš Žiberna: OSNOVE STATISTIKE NA PROSOJNICAH

Diferencialna enačba, v kateri nastopata neznana funkcija in njen odvod v prvi potenci

Numerično reševanje. diferencialnih enačb II

Odvod. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 5. december Gregor Dolinar Matematika 1

UNIVERZA V MARIBORU. Fakulteta za kmetijstvo in biosistemske vede. Jože Nemec STATISTIKA OBRAZCI IN TABELE

Tretja vaja iz matematike 1

16. Kapacitivnost. =, od koder je

SKUPNE PORAZDELITVE VEČ SLUČAJNIH SPREMENLJIVK

Funkcijske vrste. Matematika 2. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 2. april Gregor Dolinar Matematika 2

Funkcije. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 21. november Gregor Dolinar Matematika 1

8. Diskretni LTI sistemi

Zaporedja. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 22. oktober Gregor Dolinar Matematika 1

Funkcije. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 14. november Gregor Dolinar Matematika 1

Metoda najmanjih kvadrata

1. VAJA IZ TRDNOSTI. (linearna algebra - ponovitev, Kroneckerjev δ i j, permutacijski simbol e i jk )

Booleova algebra. Izjave in Booleove spremenljivke

KODE ZA ODKRIVANJE IN ODPRAVLJANJE NAPAK

Delovna točka in napajalna vezja bipolarnih tranzistorjev

KAPACITIVNOST(20).doc. 20. Kapacitivnost

p 1 ENTROPIJSKI ZAKON

NEPARAMETRIČNI TESTI. pregledovanje tabel hi-kvadrat test. as. dr. Nino RODE

Statistika 2, predavanja,

IZPIT IZ ANALIZE II Maribor,

STATISTIKA 5. predavanje. Doc.dr. Tadeja Kraner Šumenjak

SKLEP. Vrednosti eksperimentalni rezultatov so obremenjene z napako. Opisna statistika in kvaliteta procesov in meritev = 1

Katarina Košmelj UPORABNA STATISTIKA. Druga dopolnjena izdaja

REGRESIJSKA ANALIZA. U razvoju regresijske analize najznačajniju ulogu su imali: Carl Friedrich Gauss ( ) Francis Galton (

Regresija in korelacija

Odvod. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 10. december Gregor Dolinar Matematika 1

Gimnazija Krˇsko. vektorji - naloge

Integralni račun. Nedoločeni integral in integracijske metrode. 1. Izračunaj naslednje nedoločene integrale: (a) dx. (b) x 3 +3+x 2 dx, (c) (d)

Matematika 1. Gregor Dolinar. 2. januar Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. Gregor Dolinar Matematika 1

PRESECI SA PRSLINOM - VELIKI EKSCENTRICITET

*M * Osnovna in višja raven MATEMATIKA NAVODILA ZA OCENJEVANJE. Sobota, 4. junij 2011 SPOMLADANSKI IZPITNI ROK. Državni izpitni center

Funkcije. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 12. november Gregor Dolinar Matematika 1

Kotne in krožne funkcije

PONOVITEV SNOVI ZA 4. TEST

Multivariabilna logistična regresija s ponovitvijo linearne regresije

vsota je komutativna, asociativna,skalarno množenje pa distributivno če obstaja tak skalar,da velja a = cb in b = ca, ter če velja da so n

Funkcije več spremenljivk

Državni izpitni center SPOMLADANSKI IZPITNI ROK *M * NAVODILA ZA OCENJEVANJE. Sreda, 3. junij 2015 SPLOŠNA MATURA

1.3 Vsota diskretnih slučajnih spremenljivk

Na pregledni skici napišite/označite ustrezne točke in paraboli. A) 12 B) 8 C) 4 D) 4 E) 8 F) 12

Kontrolne karte uporabljamo za sprotno spremljanje kakovosti izdelka, ki ga izdelujemo v proizvodnem procesu.

3.2.1 Homogena linearna diferencialna enačba II. reda

Univerza v Ljubljani Fakulteta za kemijo in kemijsko tehnologijo Katedra za fizikalno kemijo

IZVODI ZADACI ( IV deo) Rešenje: Najpre ćemo logaritmovati ovu jednakost sa ln ( to beše prirodni logaritam za osnovu e) a zatim ćemo

PROCESIRANJE SIGNALOV

10. REGRESIJA I KORELACIJA

matrike A = [a ij ] m,n αa 11 αa 12 αa 1n αa 21 αa 22 αa 2n αa m1 αa m2 αa mn se števanje po komponentah (matriki morata biti enakih dimenzij):

Poglavje 5. Poglavje 5. Poglavje 5. c = 1! SPOMNIMO SE!!! Regulacijski sistemi. Regulacijski sistemi

Definicija. definiramo skalarni produkt. x i y i. in razdaljo. d(x, y) = x y = < x y, x y > = n (x i y i ) 2. i=1. i=1

PODATKI, FREKVENČNE PORAZDELITVE IN NJIHOV OPIS: MERE SREDNJE VREDNOSTI IN RAZPRŠENOSTI

Statistika 2 z računalniško analizo podatkov. Multipla regresija in polinomski regresijski model

3. STATISTIKE Z DVEMA SPREMENLJIVKAMA

Pošto pretvaramo iz veće u manju mjernu jedinicu broj 2.5 množimo s 1000,

MODEL JEDNOSTAVNE LINEARNE REGRESIJE

Prof. dr. sc. Maja Biljan-August Prof. dr. sc. Snježana Pivac Doc. dr. sc. Ana Štambuk 2. IZDANJE. Poglavlje 2.

PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI. Sama definicija parcijalnog izvoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je,

Splošno o interpolaciji

Statistika II z računalniško analizo podatkov. Bivariatna regresija, tipi povezanosti

!"!# ""$ %%"" %$" &" %" "!'! " #$!

( , 2. kolokvij)

transformacija j y i x x promatramo dva koordinatna sustava S i S sa zajedničkim ishodištem z z Homogene funkcije Ortogonalne transformacije

vezani ekstremi funkcij

Zaporedja. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 15. oktober Gregor Dolinar Matematika 1

2. Pogreški pri merjenju in merilna negotovost

Vaje: Električni tokovi

Statistika 2 z računalniško analizo podatkov. Statistično sklepanje

Fazni diagram binarne tekočine

diferencialne enačbe - nadaljevanje

Matematika vaja. Matematika FE, Ljubljana, Slovenija Fakulteta za Elektrotehniko 1000 Ljubljana, Tržaška 25, Slovenija

Το άτομο του Υδρογόνου

Multivariatna analiza variance

1. Definicijsko območje, zaloga vrednosti. 2. Naraščanje in padanje, ekstremi. 3. Ukrivljenost. 4. Trend na robu definicijskega območja

2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x

Regularizacija. Poglavje Polinomska regresija

RAČUNANJE SA PRIBLIŽNIM VREDNOSTIMA BROJEVA

- Geodetske točke in geodetske mreže

IZRAČUNAVANJE POKAZATELJA NAČINA RADA NAČINA RADA (ISKORIŠĆENOSTI KAPACITETA, STEPENA OTVORENOSTI RADNIH MESTA I NIVOA ORGANIZOVANOSTI)

Klasični linearni regresioni model (KLRM)

Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju

Νόµοςπεριοδικότητας του Moseley:Η χηµική συµπεριφορά (οι ιδιότητες) των στοιχείων είναι περιοδική συνάρτηση του ατοµικού τους αριθµού.

1. Trikotniki hitrosti

Ovo nam govori da funkcija nije ni parna ni neparna, odnosno da nije simetrična ni u odnosu na y osu ni u odnosu na

Tabele termodinamskih lastnosti vode in vodne pare

Matematika 1. Gabrijel Tomšič Bojan Orel Neža Mramor Kosta

pretok toka q t.j. število vozil, na časovno enoto gostota toka k t.j. število vozil na enoto dolžine hitrost toka v

KOMUTATIVNI I ASOCIJATIVNI GRUPOIDI. NEUTRALNI ELEMENT GRUPOIDA.

8. MULTIVARIATNE METODE 8.1. Uvod Zakaj jih uporabljati

UNIVERZA V MARIBORU FAKULTETA ZA KEMIJO IN KEMIJSKO TEHNOLOGIJO MATEMATIKA III

CM707. GR Οδηγός χρήσης SLO Uporabniški priročnik CR Korisnički priručnik TR Kullanım Kılavuzu

МЕХАНИКА НА ФЛУИДИ (AFI, TI, EE)

vaja Kvan*ta*vno določanje proteinov. 6. vaja Kvan*ta*vno določanje proteinov. 6. vaja Kvan*ta*vno določanje proteinov

SISTEMI DIFERENCIJALNIH JEDNAČINA - ZADACI NORMALNI OBLIK

Mašinsko učenje. Regresija.

- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova)

Jednostavna regresiona analiza

Statistika II z računalniško analizo podatkov

41. Jednačine koje se svode na kvadratne

Transcript:

STATISTIKA 8.3.0 Doc.dr. Tadeja Kraer Šumejak

REGRESIJA IN KORELACIJA

KORELACIJSKA ANALIZA (al aalza kovarace) Proučuje povezaost dveh statstčh spremeljvk X Y a populacj, k sta dvostrasko odvsa pojava. To pome, da obee spremeljvke mamo za odvso al pa za eodvso spremeljvko (obe spremeljvk sta eakovred). PRIMER: vša teţa otrok, prodaja masla margare.

REGRESIJSKA ANALIZA Proučuje odos med dvema aključma spremeljvkama, scer, med odvso eo al več eodvsm (pojasjevalm) spremeljvkam. Ta odos se proučuje tako, da se uporablja regresjsk model. S pomočjo tega modela pa apovedujemo vredost odvse spremeljvke z ee al več eodvsh spremeljvk. Gre za prlagajaje ustreze matematče fukcje emprčm podatkom. PRIMER: admorska vša vplva a kolčo padav, dodatek gojla vplva a prdelek.

REGRESIJSKI MODELI Ločmo jh glede a: ŠTEVILO SPREMENLJIVK Bvarata regresja Multvarata regresja GLEDE NA VRSTO ODVISNE SPREMENLJIVKE Regresja-umerča (ormalo porazdeljea) Logstča regresja (odvsa spremeljvka ma bomsko porazdeltev) GLEDE NA OBLIKO Leara Neleara (kvadrata, kubča, ekspoeta, )

ENOSTAVNA LINEARNA REGRESIJA O lear regresj govormo, ko regresjska fukcja predstavlja regresjsko premco.

PRI OPAZOVANJU DOLŢINE NEKRAJŠIH CEPIČEV IN MASE CEPIČEV KULTIVARJA 'RENSKI RIZLING' NA LOKACIJI VIRŠTANJ SMO DOBILI PODATKE, PRIKAZANE V PREGLEDNICI: Dolža cepčev (cm) Masa cepčev (g) 5,04 5,078 7,4 6,94 9,5 8,49,34 9,6 0,38 8,564,06 8,8 0, 8,464 8,84 7,704 0,68 8,908 0,34 8,434

Podatke ajprej grafčo prkaţmo v razseve grafkou:

Očto je, da leţe točke v okolc premce, kar pome, da je med pojavoma leara odvsost. Premco, k se dam točkam ajbolje prlega, meujemo regresjska premca. Odvsost dveh pojavov lahko zapšemo z eačbo: = f() + e V gorjem zrazu je f() fukcjsk del povezave, e pa velkost slučajh vplvov (ezah, epojasjeh). Slučaj vplv, k odklajajo točke od premce, b lahko bl a prmer mkrosestava tal, zdravstveo staje, geetska struktura posameze trte podobo. Če so slučaj vplv majh je odvsost med pojavoma velka.

DOLOČANJE REGRESIJSKE PREMICE Regresjska premca ', k se tem točkam prlega ma oblko: ' = a + b Med točkam lahko potegemo več regresjskh premc, k se bodo tem točkam bolje al slabše prlegale. Zato moramo določt krterj, k bo eolčo določal, katera premca se dam točkam ajbolje prlega.

Najpogosteje uporabljamo krterj, k zahteva, da mora bt vsota kvadratov odstopaj od regresjske premce mmala. Ta krterj meujemo metoda ajmajšh kvadratov. Matematčo ga zapšemo takole: m F( a, b) m (, ) m ( a b ) smo ozačl vredost zmerjee odvse spremeljvke pr -t vredost eodvse spremeljvke

b a a F ) ( ) )( ( b a b F 0 ) ( b a 0 ) ( b a Da bo to veljalo, morata bt parcala odvoda eaka č. Zato je

Od tod dobmo sstem ormalh eačb za a b: a b a b Da lahko ta sstem eačb zapšemo, moramo zračuat vsote:

5,04 5,078 5,406 5,786084 5,593 7,4 6,94 50,9796 48,9364 49,56588 9,5 8,49 90,6304 7,4064 80,84384,34 9,6 8,5956 83,0456 03,37544 0,38 8,564 07,7444 73,34096 88,8943,06 8,8,336 66,064384 89,89568 0, 8,464 04,4484 7,63996 86,5008 8,84 7,704 78,456 59,3566 68,0336 0,68 8,908 4,066 79,35464 95,3744 0,34 8,434 06,956 7,3356 87,0756 94,56 79,83 99,47 650,0758 775,87 0 a + 94,56 b = 79,83 94,56 a + 99,47 b = 775,87 a=,567 b=0,5770 ' =,567 + 0,577

Skušajmo določt oba parametra a eostavejš ač. Najprej lahko ugotovmo, da sta artmetč sred varac obeh spremeljvk eak: ( ) ( ) Podobo strukturo kot varac za obe spremeljvk ma tud zraz: c ( )( )

Kolčo c meujemo kovaraca. Izraz za kovaraco lahko preoblkujemo tako, da ajprej pomoţmo zraza v oklepajh: c c c Če upoštevamo zraze za zraču artmetčh sred, lahko zapšemo:

( ) b a b a b b Pomoţmo prvo ormalo eačbo z drugo z dobmo: Vsota gorjh eačb je

Od tu lahko določmo parameter b: b b b c Če števec meovalec delmo z dobmo:

Če sedaj prvo ormalo eačbo delmo z, dobmo: a b a b a b a b Točka T(, ) leţ a regresjsk premc

KOEFICIENT DETERMINACIJE Regresjsk model je lahko boljš al slabš. Koefcet s katerm mermo learo povezavo določeo z regresjsko premco, meujemo determacjsk koefcet al koefcet določeost.

Varaco spremeljvke Y meujemo skupa varaca, katera se zračua po formul ( ) To skupo varaco lahko zapšemo kot vsoto dveh varac, scer pojasjee epojasjee ( ) e ( )

) ( T(, ) ( ) ( ) ( )

e r e. Prv sumad a des stra am pove kolkše del varace je pojasje, zato ta kvocet meujemo tud determacjsk koefcet, k ga bomo ozačl kot (, ).

Determacjsk koefcet račuamo po avad po tej formul, k je eostavejša od prejšje. r c Navado se zraţa v odstotkh zraţa odstotek varablost odvse spremeljvke, k je pojasje z regresjskm modelom. Preostal del varablost odvse spremeljvke z modelom pojasje. Izračuajte kolkše del varablost mase cepčev pojas dolţa cepčev? Kolkše del varablost mase cepčev s tem modelom pojasje?

e r e e r ( ) r e

S pomočjo regresjske premce lahko apovemo maso cepčev pr dolţ cepčev 8 cm. Prede se lotmo apoved, razmslmo, kje je doblje model reale. Model je veljave le a območju, k ga določajo vredost eodvse spremeljvke v podatkh. Dobmo točkovo oceo. ' = 7,43 V praks skoraj pojavov, k b bl fukcjsko poveza, zato apoved toča.

Med kolčo dodatka določee sestave v kokošj hra teţo kokoš smo ekspermetalo ugotovl asledje povezave: kolča dodatka 9 7 6 3 teţa kokoš 650 640 60 650 60 680 Ugotovte: a) oblko povezave. b) kolkšo teţo jajc lahko prčakujemo pr 0 eotah dodatka v hra? c) Kolkše del varablost odvse spremeljvke je pojasje z modelom?

STATISTIČNO SKLEPANJE PRI ENOSTAVNI LIN. REGRESIJI Pr lear regresj lahko zvedemo sklepaje z vzorca a populacjo, če prvzamemo asledje predpostavke: X slučaja spremeljvka Y je slučaja spremeljvka. Pr vsak vredost z defcjskega območja je slučaja spremeljvka Y porazdeljea ormalo. Njea povpreča vredost je a premc, stadard odklo σ pa je za vse vredost eak. Vredost za Y so pr razlčh med seboj eodvse.

p(=c) Prkaz porazdeltve odvse spremeljvke pr razlčh vredosth eodvse spremeljvke. 6 4 0 0 8 6 4 0 0 4 6 8

Zgorje predpostavke lahko povemo tud drugače: Porazdeltev slučajh vplvov (ostakov) e je ormala, s povprečjem 0 stadardm odkloom σ, so vredost e med seboj eodvse.

Grafč prkaz opremlje s stadardzram vredostm ostakov (resdualov) Če je regresjska eačba ustreza se varablost odvse spremeljvke e spremja s spremembo vredost eodvse spremeljvke, e b smelo bt obeega dokaza za vzorec a grafčem prkazu stadardzrah ostakov.

STANDARDNA NAPAKA REGRESIJE Stadard odklo ormale porazdeltve spremeljvke Y pr vredost, torej kolčo σ meujemo stadarda apaka regresje. Oceo za stadardo apako dobmo a osov epojasjee varace, k mer razpršeost točk okol premce. Teorja pokaţe, da eprstrasko oceo varace regresje zračuamo s ( )

Izpeljemo lahko formulo: s ( r ) S pomočjo te ocee lahko zračuamo terval zaupaja za apoved vredost spremeljvke Y pr določeem. O tervalh zaupaja za apoved ajdete v kjg Katare Košmelj, Uporaba statstka.

Tabela ANOVA S pomočjo tabele aalze varace testramo ustrezost regresjskega modela. Postavmo dve hpotez H o : b=0 H : b 0 Zama as torej, al je predpostavka, da je med pojavoma leara odvsost pravla. Če sprejmemo čelo hpotezo, je vredost spremeljvke odvsa le od slučajh vplvov.

Izvor varace Ocea vsote kvadratov Regresja Števlo prostosth stopej Ocea varace F F krtč s ( ' ) s ( ' ) s Okol regresje ( ') - se ( ') Skupaj ( ) - e tabelraa vredost Če je zračuaa vredost F večja od krtče vredost F(, -) pr da stopj tvegaja, lahko zaključmo, da je statstčo začla varablost spremeljvke astala zarad leare odvsost med spremeljvkama (model je ustreze). V prmeru, da je zračuaa vredost F majša od krtče vredost F(, -), pa lahko sprejmemo hpotezo, da lear model ustreze.

Naš prmer s SPSS-om Ostak so eodvs.

Ostak so ormalo porazdelje.

Vdmo, da je z dam regresjskm modelom pojasjee 9,3% varablost spremeljvke Y. s

Model je ustreze.

Povejmo še: S t-testom testramo čel hpotez za posameza parametra H 0 : b=0 H 0 : a=0