TRIGONOMETRIJA (A) Merske enote KOTNE FUNKCIJE POLJUBNO VELIKEGA KOTA stopinja [ ] radian [rad] 80 80 0. Izrazi kot v radianih. 0 90 5 0 0 70. Izrazi kot v stopinjah. 5 8 5 (B) Definicija kotnih funkcij sinus in kosinus Točko T (, 0) zavrtimo za kot α okro koordinatnea izhodišča v točko T. Vrednost funkcij sinus in kosinus definiramo kot: sin α je ordinata točke T cos α je abscisa točke T Po Pitaorovem izreku velja: sin α + cos α. (, ) ( cosα, sinα ) T T (C) Vrednosti kotnih funkcij za nekatere ostre kote Pokaži izpeljavo. α [ ] 0 0 5 0 90 α [rad] 0 sin α 0 cos α 0 tan 0 cot ni def. ni def. 0
(D) Kotne funkcije kotov večjih od 90 Ko spreminjamo velikost kota α, se spreminjajo vrednosti kotnih funkcij sinα in cosα: 0 sin narašča pada pada narašča cos pada pada narašča narašča Predznak kotne funkcije: sin α cos α. Izračunaj cos α, če je sin α in je < α <. 5. Zapiši natančno vednost sin α, če je α in cosα. 5
Kotne funkcije kotov, večjih od, lahko prevedemo na kotne funkcije ostrih kotov: < < < < < < + sin ( ) sin sin ( + ) sin sin( ) sin sin cos cos ( ) cos cos( + ) cos cos ( ) cos 5. Izrazi z vrednostmi iste funkcije ostrea kota ter natančno izračunaj: sin50 cos0 sin 00 cos 0 sin 7 sin 7 cos Če je kot β za kot α večji od katereakoli večkratnika polnea kota ( β α + k ; ) tea kota k krat zavrtel okoli izhodišča, potem pa opisal še kot α., se bo premični krak Vrednost funkcije sinus in kosinus se ne spremeni, če vrednosti kota prištejemo večkratnik kota : α + k α sin cos ( ) sin ( α + k ) cosα; Zato pravimo, da sta sinus in kosinus periodični funkciji z osnovno periodo.
. Izrazi z vrednostmi iste kotne funkcije ostrea kota. sin 850 cos cos5 cos95 8 7 sin sin 7 (A) Funkcija sinus Definicija: Graf funkcije sinus: GRAFA IN LASTNOSTI FUNKCIJ SINUS IN KOSINUS Funkcijo sinus smo definirali kot ordinato točke T, v katero se točka T (, 0) zasuka po vrtenju za kot α. Definirana je na množici realnih števil, zaloa vrednosti pa je interval [-, ]. f : IR [, ] f : a sin - -/ / / - - - - Krivulji take oblike pravimo sinusoida. Lastnosti funkcije sinus: ničle ima pri: k ; 0 maksimum doseže pri ma + k ; minimum - doseže pri min + k ; je periodična z osnovno periodo je liha, saj je sin sin za vsak ( ) je omejena, spodnja meja je -, zornja meja je. Nariši funkcije: f ( ) ( ) sin sin Zapiši najmanjšo in največjo vrednost, ki jo zavzamejo dane funkcije.. Za katere vrednosti ima funkcija f sin vrednost? ( ). Dana je funkcija ( ) sin + f. a. Na intervalu, nariši raf funkcije f. b. Zapiši ničle ter njeno zaloo vrednosti. c. Na katerem intervalu je funkcija naraščajoča? d. Poišči presečišča z rafom funkcije ( ).
5 (B) Funkcija kosinus Definicija: Funkcijo kosinus smo definirali kot absciso točke T, v katero se točka T (, 0) zasuka po vrtenju za kot α. Definirana je na množici realnih števil, zaloa vrednosti pa je interval [-, ]. f : IR [, ] f : a cos Graf funkcije kosinus: Graf funkcije kosinus ima enako obliko kot raf funkcije sinus, le da je premaknjen za v levo. - -/ / / - - - - Lastnosti funkcije kosinus: ničle ima pri: 0 + k ; maksimum doseže pri ma k ; minimum - doseže pri min + k ; je periodična z osnovno periodo je soda, saj je za vsak ( ) cos cos je omejena, spodnja meja je -, zornja meja je. Nariši raf funkcije. f ( ) cos ( ) cos + Zapiši ničle, periodo in zaloo vrednosti danih funkcij.. Reši enačbe. cos cos f ( ) cos [, ]. Dana je funkcija. a. Na intervalu nariši raf funkcije f. b. Zapiši abscise maksimumov in minimumov funkcije f in njene ničle. c. Na katerem intervalu je funkcija padajoča? d. Poišči presečišča z rafom funkcije ( ).
.5.5.5 0.5 -/5 -/5 -/5 /5 /5 /5 /5 /5 7/5 8/5 9/5 /5 /5 8 7 5-0.5 - -.5 - -.5 - -.5 - -/ / / 5/ 7/ 9/ 5 - - - - -5 - -7 8.5.5.5 0.5 -/5 -/5 -/5 /5 /5 /5 /5 /5 7/5 8/5 9/5 /5 /5-0.5 - -.5 - -.5 - -.5.8... 0.8 0. 0. 0. / - -/ / / 5/ 7/ 9/ -0. -0. -0. -0.8 - -. -. -. -.8.5.5.5 0.5 -/5 -/5 -/5 /5 /5 /5 /5 /5 7/5 8/5 9/5 /5 /5.5.5 0.5-0.5 - -.5 - -.5 - -.5 - -/ / / 5/ 7/ 9/ 5-0.5 - -.5 - -.5 TRIGONOMETRIJA. (A) () A sin in () A cos GRAFI FUNKCIJ OBLIKE () A sin ω in () A cos ω ( ) Asin Zled : ( ) sin ; ; A h( ) sin A k ( ) sin ; A Z [,] razte v smeri ordinatne osi h, skrčitev v smeri ordinatne osi Z [, ] Z k razte v smeri ordinatne osi in zrcaljenje čez abscisno os Graf funkcije ( ) Asin dobimo tako, da osnovni raf f ( ) sin : raztenemo vzdolž ordinatne osi, če je A > skrčimo vzdolž ordinatne osi, če je 0 < A < skrčimo vzdolž ordinatne osi in zrcalimo čez abscisno os, če je - < A < 0 raztenemo vzdolž ordinatne osi in zrcalimo čez abscisno os, če je A < - Število A imenujem amplituda. ( ) Acos Enako velja tudi za funkcijo. ( ) cos ; ; A h( ) cos A k( ) cos ; A Z Z h, Z, [,] k razte v smeri ordinatne osi skrčitev v smeri ordinatne osi skrčitev v smeri ordinatne osi in zrcaljenje čez abscisno os f ( ) cos. Dana je funkcija. a. Nariši njen raf. b. Zapiši ničle, minimume in maksimume funkcije. c. Zapiši zaloo vrednosti funkcije. d. V isti koordinatni sistem nariši še raf funkcije zaloo vrednosti. ( ) : a f ter določi periodo in
.5.5 0.5 /5 -/5 -/5 /5 /5 /5 /5 /5 7/5 8/5 9/5 /5 /5 /5 /5-0.5 - -.5 -.8... 0.8 0. 0. 0. -/5 -/5 -/5 /5 /5 /5 /5 /5 7/5 8/5 9/5 /5 /5-0. -0. -0. -0.8 - -. -. -. -.8.8... 0.8 0. 0. 0. - -/ / / 5/ 7/ 9/ -0. -0. -0. -0.8 - -. -. -. -.8 TRIGONOMETRIJA. 7 (B) () sin ω in () cos ω ( ) sinω Zled : ( ) sin ; ω h( ) sin ; ω ( ) k sin ; ω.5.5.5.5 0.5 0.5 -/5 -/5 -/5 /5 /5 /5 /5 /5 7/5 8/5 9/5 /5 /5 - -/ / / 5/ 7/ 9/ 5 /5 -/5 -/5 /5 /5 /5 /5 /5 7/5 8/5 9/5 /5 /5-0.5-0.5 - - - -.5 -.5 - - - -.5 -.5 skrčitev v smeri abscisne osi za faktor perioda je skrčitev v smeri abscisne osi za faktor perioda je razte v smeri abscisne osi za faktor ½ perioda je V splošnem velja: če je ω >, re pri funkciji () sin ω za skrčitev osnovne funkcije sin vzdolž abscisne osi, če je 0 < ω <, re pri funkciji () sin ω za razte vzdolž abscisne osi.. Število ω imenujemo frekvenca. Perioda funkcije () sin ω je ω ( ) cosω Enako velja tudi za funkcijo. ( ) cos ; ω h( ) cos ( ) ; ω k cos ; ω skrčitev v smeri abscisne osi za faktor perioda je skrčitev v smeri abscisne osi za faktor perioda je razte v smeri abscisne osi za faktor ½ perioda je. Zapiši osnovno periodo in amplitudo danih funkcij. sin cos sin cos. Zapiši ničle in abscise minimumov in maksimumov danih funkcij. cos sin
8. Dana je funkcija f : a cos. a. Zapiši ničle, abscise minimumov in maksimumov funkcije f. b. Nariši raf funkcije f. c. Na katerem intervalu je funkcija padajoča? d. V isti koordinatni sistem nariši še raf funkcije : a f. ( ) 5. V istem koordinatnem sistemu nariši rafa funkcij ( ) f ( ) < ( ). Na katerem intervalu je? f, :[, ] IR ; f ( ) sin + in. Nariši raf funkcije f ( ) sin. FUNKCIJI TANGENS IN KOTANGENS (A) Kotne funkcije kotov večjih od 90 Kotne funkcije kotov, večjih od, lahko prevedemo na kotne funkcije ostrih kotov: < β < < β < < β < β α β + α β α tan β tan ( α ) tanα ( α ) tan α tan + tan ( α ) tanα cot β cot ( α ) cotα cot ( + α ) cotα cot( α ) cotα
9. Izrazi z vrednostmi iste kotne funkcije ostrea kota ter natančno izračunaj. tan50 tan 00 cot0 cot 0 tan 7 cot 7 cot (B) Funkcija tanens sin Definicija: Funkcija tanens je kvocient funkcij sinus in kosinus: tan. cos Definirana je povsod razen v ničlah imenovalca: D f IR + k ;, zaloa vrednosti pa so vsa realna števila. V točkah, kjer ni definirana ima funkcija pole (navpične asimptote). Ničle funkcije tanens so ničle števca: k k Z. Graf funkcije tanens: { ; } -/ - -/ / / - - Lastnosti funkcije tanens: je periodična s periodo : sin ( ) ( + ) sin tan + tan cos( + ) cos je odsekoma zvezna funkcija je liha funkcija: sin ( ) ( ) sin tan tan cos( ) cos je odsekoma naraščajoča funkcija ni omejena zaloa vrednosti je množica realnih števil ( ) tan. Dana je funkcija. f a. Natančno izračunaj f. b. Zapiši ničle in pole funkcije ter nariši njen raf.. V istem koordinatnem sistemu nariši raf funkcije ter zapiši koordinate presečišč. f [, ] IR : ; f : a tan in premice f, :[, ] IR f : a tan ( ) ter zapiši njuna presečišča. Na katerih intervalih je f ( ) > ( )?. V istem koordinatnem sistemu nariši rafa funkcij ; in 5. Natančno izračunaj. 5 7 tan tan 7 sin cos50 + tan 0 tan 5 + sin 0 sin 0 cos 5 tan 585
0 (C) Funkcija kotanens cos Definicija: Funkcija kotanens je kvocient funkcij kosinus in sinus: cot tan. sin tan Definirana je povsod razen v ničlah imenovalca: IR k;, zaloa vrednosti pa so vsa D f { } realna števila. V točkah, kjer ni definirana ima funkcija pole (navpične asimptote). Ničle funkcije kotanens so ničle števca: + k ;. Graf funkcije kotanens: -/ - -/ / / - - Lastnosti funkcije kotanens: je periodična s periodo : cot ( + ) cot tan( + ) tan je odsekoma zvezna funkcija je liha funkcija: cos ( ) ( ) cos cot cot sin( ) sin je odsekoma padajoča funkcija ni omejena zaloa vrednosti je množica realnih števil f, :[, ] IR ; f : a cot in ( ) cos ter zapiši nuna presečišča. Na katerem intervalu je f ( ) > ( )?. V istem koordinatnem sistemu nariši rafa funkcij (D) Zveze med kotnimi funkcijami cot tan sin + cos + tan + cot cos sin 7. Poenostavi. cos ( + tan ) tan sin cos ( tan ) sin + cos tan tan cos tan sin sin tan tan + tan 8. Izračunaj α sin in cosα, če je kot α tan α 9. Izračunaj tan α, če je α top in sin α. 5 0. Izračunaj tan α, če je α oster in cos α. oster in.
(A) Adicijski izreki za sinus kotov ADICIJSKI IZREKI sin ( α + β ) sinα cos β + cosα sin β sin( α β ) sinα cos β cosα sin β (B) Adicijski izreki za kosinus kotov ( α + β ) cosα cos β sinα sin β cos( α β ) cosα cos β sinα sin β cos + (C) Adicijski izreki za tanens kotov (D) Vaje tan tanα + tan β tanα tan β ( α + β ) tan( α β ) tanα tan β + tanα tan β. Izračunaj cos ( + ), če je sin in cos ter je,.. Izračunaj sin5.. Izračunaj tan α + in tan α, če je tanα. (E) Kotne funkcije dvojnih kotov Sinus dvojnea kota: sin α sinα cosα Kosinus dvojnea kota: Tanens dvojnea kota: cos α cos α sin α tan tanα tan α α. Izračunaj tan α, če je α oster in cos α. 5. Izračunaj tan α, če je kot α top in sin α. 5. Izračunaj sin α in cosα, če je cosα in < α <.
(A) Definicija TRIGONOMETRIČNE ENAČBE V trionometričnih enačbah nastopajo neznanke v arumentih kotnih funkcij. Rešitev trionometrične enačbe je družina kotov, saj vedno upoštevamo periodičnost trionometričnih funkcij. (B) Reševanje osnovnih trionometričnih enačb a. sin a a Enačba ima rešitev le v primeru, da je. Za 0 < a < ima enačba rešitve: arcsin a + k, arcsin a + k, Za a so rešitve enačbe: + k, Za a so rešitve enačbe: + k, Za a 0 ima enačba rešitve: k, b. cos a Enačba ima rešitev le v primeru, da je Za a ima enačba rešitve: a., ± arccos + k, c. tan a Vse rešitve enačbe so: arctan + k, d. cot a Reševanje te enačbe navadno prevedemo na reševanje enačbe a 0 tan a pri pooju, da je. (C) Vaje sin tan tan sin 0 cos 0 cos 7 cos + 0
NAKLONSKI KOT PREMICE IN KOT MED DVEMA PREMICAMA (A) Naklonski kot premice Vsako enačbo premice, ki ni vzporedna ordinatni osi, lahko zapišemo v eksplicitni obliki: k + n ; k, n IR Smerni koeficient k odloča o naklonskem kotu premice in je enak diferenčnemu kvocientu: Δ k Δ Diferenčnemu kvocientu je enak tudi tanens naklonskea kota α: Δ tan α Δ Iz enakosti lahko sklepamo, da je smerni koeficient enak tanensu naklonskea kota α: k tanα (B) Kot med premicama α Naklonski kot prve premice je, zato velja α k, naklonski kot drue premice je α, zato velja tanα k. Ker je zunanji kot v trikotniku enak vsoti notranjih nepriležnih kotov, α α velja med koti, in φ zveza: α tan α + φ φ α α Če uporabimo adicijski izrek za tanens razlike kotov, dobimo: tanα tanα k k tanφ tan( α α) + tanα tanα + k k Po doovoru iščemo ostri kot med premicama, zato velja: k k tanφ + k k Vzporedni premici imata enak smerni koeficient: koeficienta obratni in nasprotni števili: k. k k k, če pa sta premici pravokotni, sta njuna smerna (C) Vaje. Poišči naklonski kot danih premic.. Izračunaj kote med premicama., + 5, + + 0, +. Kolikšen kot oklepa premica + z ordinatno osjo?. Določi naklonski kot premice, ki poteka skozi točki A (, -) in B (, ).
5. Dana je premica + 5. Zapiši eksplicitno enačbo premice, ki poteka skozi točko T (-, 5) in je: a. pravokotna na dano premico, b. vzporedna na dano premico.. Zapiši enačbo simetrale daljice s krajiščema A (-,) in B (,-).