Iegalitati I acest compartimet vor fi prezetate diverse metode de demostrare a iegalitatilor, utilizad metodele propuse vor fi demostrate atat iegalitati clasice precum si iegalitati propuse la diferite cocursuri de matematica. I. Mootoia fuctiilor Se presupue ca cititorul este familiarizat cu otiuea de mootoie a fuctiilor si proprietatile criteriile) fuctiilor mootoe. Problema. Sa se compare umerele e π si π e. Solutie. Se cosidera fuctia Deoarece derivata fuctiei f, f : [e; + ) R; f x) = xl x) x) l x x 2 fx) = l x x. = l x x 2 obtie valori egative petru orice x e; + ) si f este cotiua pe [e; + ) rezulta ca fuctia f este strict descrescatoare pe [e; + ). Pri urmare, cum e < π se obtie si deci e π > π e. fe) > fπ) l e e > l π π π l e > e l π Problema 2. Sa se studieze margiirea sirului umeric x = + 2 +... + ). Solutie. Iitial vom demostra iegalitatea I acest scop, cosideram fuctia l + x) x x ). ) f : [; + ) R; fx) = x l + x). Fuctia f este cotiue pe domeiul de defiitie, si petru orice x ; + ) are loc egalitatea f x) = + x = x + x, Copyright c 999 ONG TCV Scoala Virtuala a Taarului Matematicia http://math.ouret.md
de ude cochidem ca f x) > x ; + )). Pri urmare fuctia f este o fuctie strict crescatoare pe domeiul de defiitie Df), si deci fx) f) x ), de ude si rezulta iegalitatea ). I iegalitatea ) se cosidera x = =, 2,...) si se obtie Di iegalitatile 2) deducem l + ) l + ) l =, 2,...) =, 2,...). 2) l 2 l, l 3 l 2 2, l 4 l 3 3, 3)...... l + ) l. Se sumeaza parte cu parte a iegalitatile 3) si se obtie iegalitatea l + ) + 2 +... +. Cum lim l + ) = +, di ultima iegalitate rezulta ca sirul umeric x = + 2 +... + este emargiit. Cosecita: Seria = este o serie divergeta. Problema 3. iegalitatea J.Beroulli) Petru orice x > ; α > are loc iegalitatea I plus, egalitatea are loc umai petru x =. Solutie. Cosideram fuctia + x) α + αx. 4) fx) = + x) α αx, x [ ; + )), ude α > si α fixat i cotiuare. Calculam derivata acestei fuctii: f x) = α + x) α α = α + x) α ) x > ). Copyright c 999 ONG TCV Scoala Virtuala a Taarului Matematicia http://math.ouret.md 2
Deoarece α >, rezulta ca f x) < petru x ; ) si f x) > petru x ; + ) si pri urmare fuctia f este descrescatoare pe [ ; ] si crescatoare pe [; + ). De aici, cochidem ca petru orice x [ ; + ) \ {} are loc iegalitatea fx) > f), adica + x) α αx > + x) α > + αx x [ ; ) ; + ), α > ). Ramae de observat ca petru x = se obtie + x) α = + αx. Nota. Similar se demostreaza si iegalitatile + x) α + αx x ; < α < ), + x) α + αx x ; α < ). Problema 4. iegalitatea W.Youg) Daca p, q R\{, } poseda proprietatea p + q = ; a, b sut umere pozitive, atuci sut adevarate iegalitatile ab ap p + bq q petru p > ) 5) si ab ap p + bq q petru p < ) 6) Mai mult, egalitate se atige daca si umai daca a p = b q. Solutie. Cosideram cazul p >. Fixam u umar pozitiv a a > ) si examiam fuctia f : ; + ) R; fb) = ap p + bq q ab. Derivata acestei fuctii este f b) = b q a, si pri calcule elemetare se determia ca puctul b = a q este u puct de miim local. Astfel fb) fa q ) b > ). 7) Di iegalitatea 7) tiad seama ca p + q = se obtie a p p + bq q ab a >, b > ; p > ; p + q = ) si deci iegalitatea 5) este demostrata. Mai mult, di 7) rezulta ca egalitatea are loc umai i cazul i care b = a q, adica daca a p = b q. Copyright c 999 ONG TCV Scoala Virtuala a Taarului Matematicia http://math.ouret.md 3
Iegalitatea 6) se demostreaza i mod similar. Problema 5. Sa se demostreze iegalitatea si x x x R). 8) Solutie. Tiad seama ca fuctiile fx) = si x si gx) = x sut fuctii pare, este suficiet de demostrat egalitatea 8) petru x. I plus, cum si x, este suficiet de studiat cazul x. I acest scop, cosideram fuctia Derivata fuctiei f are forma f : [; ] R, fx) = x si x. f x) = cos x x [; ]). I baza margiirii fuctiei cosius cos x ; x R), deducem ca f x), care la radul implica ca fuctia f este mooto crescatoare pe domeiul de defiitie, si deci are loc iegalitatea fx) f) x [; ]), de ude rezulta iegalitatea iitiala. Problema 6. Sa se arate ca x si x, x [; ]) a 2 b c) + b 2 c a) + c 2 a b) >, daca a > b > c. Solutie. Examiam fuctia f : [; + ) R de forma ft) = b + t) 2 b c) + b 2 c b + t)) + c 2 b + t) b), ude a, b, c sut parametri reali ce verifica iegalitatea a > b > c. Similar problemelor precedete, se demostreaza ca fuctia f este strict crescatoare pe [; + ), si deci are loc iegalitatea fa b) > f). Ultima iegalitate este echivaleta cu iegalitatea di eut. II. Covexitatea Defiitie: Fuctia f : I R I u iterval al axei reale) se umeste covexa pe I daca petru orice x, x 2 I si orice λ λ 2 cu proprietatea λ, λ 2, si λ + λ 2 =, are loc iegalitatea fλ x + λ 2 x 2 ) λ fx ) + λ 2 fx 2 ). 9) Copyright c 999 ONG TCV Scoala Virtuala a Taarului Matematicia http://math.ouret.md 4
I cazul i care petru orice x x 2, λ λ 2 semul iegalitatii 9) este strict vom spue ca fuctia f este strict covexa pe I. Similar se defieste si otiuea de fuctie cocava strict cocava), schimbad semul iegalitatii i 9). Iegalitatea J. Jese. Fie fuctia f : I R covexa pe I. Atuci petru orice x j I j =,..., ) si orice λ j j =,..., ); λ +... + λ = are loc iegalitatea f λ j x j λ j fx j ). j= j= Criteriu de covexitate Fie f : I R, f cotiue pe I si poseda derivata de ordiul doi pe iti), ude iti) este iteriorul itervalului I, adica iti) = {x R ε > x ε, x+ε I)}. Fuctia f este covexa pe I daca si umai daca f x) x iti)). Mai mult daca f x) > x iti)) atuci fuctia f este strict covexa pe I. Nota. Afirmatiile similare cu iegalitatea Jese si criteriul aterior sut adevarate si petru fuctiile cocave covexe i jos). Problema 7. Iegalitatea Cauchy despre medii). Petru orice umere eegative x, x 2,..., x este adevarata iegalitatea a a 2... a a + a 2 +... + a. ) Altfel, media geometrica u itrece media aritmetica. Solutie. Daca uul ditre umerele a j este a j = petru u j {,..., }), atuci iegalitatea ) este evideta. Fie a j > j =,..., ). Cosideram fuctia fx) = l x x > ). Cum f x) = x 2 < rezulta ca fuctia f este cocava pe multimea ; + ). I baza iegalitatii Jese deducem l a j l a j, care implica iegalitatea ). j= Problema 8. Fie x,..., x umere eegative. Sa se arate ca fuctia j= x α f : [; + ) R; fα) = +... + x α este mooto crescatoare. Solutie. Fie < α < β. Cosideram fuctia hx) = x β α ) x ). Deoarece h x) = β β α α x β α 2 > x > ), rezulta ca h este covexa pe [; + ). Coform iegalitatii Jese cochidem h xα j hxα j ) j= Copyright c 999 ONG TCV Scoala Virtuala a Taarului Matematicia http://math.ouret.md 5 j= ) α
de ude rezulta j= xα j β α j= fα) fβ). xβ j, Problema 9. Sa se arate ca si α + si β + si γ 3 3 2, ude α, β, γ sut ughiurile iterioare a uui triughi. Solutie. Cosideram fuctia f : [; π] R; fx) = si x. Cum f x) = si x si f x) < petru x ; π), rezulta ca f este o fuctie cocava pe [; π]. I baza iegalitatii Jese se obtie α f 3 + β 3 + γ ) 3 3 fα) + 3 fβ) + 3 fγ), si π 3 si α + si β + si γ), 3 adica si α + si β + si γ 3 3 2. Problema. Sa se arate ca petru orice umere pozitive a j, b j j =,..., ) are loc iegalitatea ) a +... + a b +...+b ) a b ) a b.... b +... + b Solutie. Cosideram fuctia f : [; + ) R, fx) = l x. Aceasta fuctie este cocava a se vedea Problema 7) si i baza iegalitatii Jese si deci b f j aj b j f j= b +... + b b j j= b +... + b b b +... + b ) l a +... + a b +... + b j= b b j l a j b j, ) aj ) a +... + a b +...+b ) a b ) a b.... b j, b +... + b b b Copyright c 999 ONG TCV Scoala Virtuala a Taarului Matematicia http://math.ouret.md 6
Problema. Iegalitatea Göughes) Sa se demostreze ca este adevarata iegalitatea + a )... + a ) + a... a ) ude a j j =,..., ). Solutie. Fie f : R R, fx) = l + e x ). Sa cercetam covexitatea acestei fuctii. I acest scop, calculam a doua derivata a fuctiei f: f e x x) = x R). Cum f x) > + e x ) 2 petru orice x R, aplicad iegalitatea Jese, obtiem f l a j fl a j) j= l + e j= l a j j= l + a j= j) l + a... a ) l + a )... + a )) + a )... + a ) + a... a ). III. Ordoarea Afirmatia. Fie date doua cortegii de cate umere, astfel icat a a 2... a, b b 2... b. Desemam pri σ o suma de forma σ = a b i +... + a b i, ude i,..., i ) este o permutare a umerelor, 2,...,. Atuci S = max σ = a b +... + a b, s = mi σ = a b +... + a b. Problema 2. Sa se arate ca a b + c + b c + a + c a + b 3 2, daca a, b, c sut umere pozitive. Solutie. Deoarece iegalitatea este simetrica, fara restrictia geeralitatii vom presupue ca a b c. Atuci b + c c + a a + b. Copyright c 999 ONG TCV Scoala Virtuala a Taarului Matematicia http://math.ouret.md 7
Pri urmare a b + c + b c + a + c a + b b b + c + c c + a + a a + b si a b + c + b c + a + c a + b c b + c + a c + a + b a + b. Sumad parte cu parte ultimele doua iegalitati se obtie a 2 b + c + b a + c + c ) 3. a + b Problema 3. Sa se arate ca petru orice umere pozitive a, b, c, cu proprietatea a b c = are loc iegalitatea a 3 b + c) + b 3 c + a) + c 3 a + b) 3 2. Solutie. Similar Problemei 2 vom presupue a b c. Atuci, Pri urmare c b c ac + bc ab + bc ab + ac. cac + bc) bab + bc) aab + ac), si cum ab ac bc, i baza Afirmatiei se obtie ab cac + bc) + ab cac + bc) + ac bab + bc) + ac bab + bc) + bc aab + ac) bc aab + ac) ac cac + bc) + bc cac + bc) + Sumad parte cu parte ultimele doua iegalitati deducem ) ab 2 cac + bc) + ac bab + bc) + bc aab + ac) bc bab + bc) + ab bab + bc) + Coform iegalitatii Cauchy despre medii a se vedea Problema 7) avem c + b + a 3 3 a b c Astfel, di ) si 2) tiad seama ca a b c =, rezulta iegalitatea a 3 b + c) + b 3 a + c) + c 3 a + b) = ab cac + bc) + ab aab + ac) ac aab + ac). c + b + a. ) = 3. 2) ac bab + bc) + bc aab + ac) 3 2. Copyright c 999 ONG TCV Scoala Virtuala a Taarului Matematicia http://math.ouret.md 8
Problema 4. Fie a, b, c umere pozitive. Sa se demostreze ca a a b b c c) 2 a b+c b c+a c a+b. Solutie. Fara restrictia geeralitatii presupuem ca a b c. Atuci l a l b l c. Pri urmare, coform Afirmatiei, si Sumam parte cu parte, iegalitatile si obtiem a l a + b l b + c l c b l a + c l b + a l c a l a + b l b + c l c c l a + a l b + b l c. 2a l a + b l b + c l c) b + c) l a + c + a) l a + c + a) l b + a + b) l c, echivalet, l a a b b c c) 2 l a b+c b c+a c a+b), de ude rezulta a a b b c c) 2 a b+c b c+a c a+b. Problema 5. Sa se arate ca petru orice umere pozitive a, b, c este adevarata iegalitatea Solutie. Fie a b c. Atuci i baza Afirmatiei cochidem, a 3 b + b 3 c + c 3 a a 2 bc + b 2 ca + c 2 ab. a 2 b 2 c 2 si c b a a 2 a + b2 b + c2 c a2 c + b2 a + c2 b. Ultima iegalitate este echivaleta cu cea di eut. Problema 6. Fie {a, a 2,..., a } N. Sa se arate ca petru orice N are loc iegalitatea a k k 2 k. k= Solutie. Fie a i < a i2 <... < a i, ude i, i 2,..., i ) este o permutare a umerelor, 2,...,. Cum < 2 ) <... < 2, 2 Copyright c 999 ONG TCV Scoala Virtuala a Taarului Matematicia http://math.ouret.md 9 k=
rezulta k= a k k 2 k= a ik k 2 k= k k = 2 k. k= IV. Iegalitati clasice si aplicatii Problema 7. Iegalitatea Hölder) Sa se arate ca petru orice umere pozitive p, q cu proprietatea p + q = si orice umere reale a j, b j p a j b j a j p b j q j= j= j= j =,..., ) are loc iegalitatea q. 3) Solutie. Presupuem ca a j p si b j q i caz cotrar iegalitatea 3) este j= j= evideta). Di iegalitatea Youg a se vedea Problema 5), se obtie a j b j a j b j j= ) a k p p ) b k q q j= ) a k p p ) b k q q k= k= k= k= a j p bj q j= p + a k p q b k q = p + q =, k= k= de ude emijlocit rezulta iegalitatea 3). Problema 8. Sa se arate ca sirul x = + ) este crescator. Solutie. Coform iegalitatii Cauchy despre medii a se vedea Problema 7) au loc iegalitatile ) ) +... + + + + = + ) )... + ) + } {{} ori + + } {{ } ori + = + 2 +, de ude rezulta + ) ) + 2 + = + +, + ) Copyright c 999 ONG TCV Scoala Virtuala a Taarului Matematicia http://math.ouret.md
adica x x +. Problema 9. Sa se demostreze ca x + x 2 +... + x x 2 x 3 x + x, x 4) petru orice x k R; x k > k =,..., ). Solutie. Iegalitatea 4) rezulta imediat di iegalitatea Cauchy: x x 2 + x 2 x 3 +... + x x x x 2 x2 x 3... x x = Problema 2. Sa se arate ca petru orice umere pozitive a, a 2,..., a are loc iegalitatea a + a 2 +... + a ) +... + ) 2. a a Solutie. Coform iegalitatii Cauchy-Bueacovski cazul particular al iegalitatii Hölder, p = q = 2) obtiem 2 a = +... + ) 2 a a ) 2 +... + ) 2 ) 2 a ) 2) +... +. a a a a Problema 2. Sa se arate ca a + a 2 +... + a ) 2 2a 2 + a 2 2 +... + a 2 ) a + a 2 +... + a, a 2 + a 3 a 3 + a 4 a + a 2 ude a k k =, 2,..., ). Solutie. Coform iegalitatii Cauchy-Bueacovski iegalitatea Hölder i cazul p = q = 2) deducem a + a 2 +... + a ) 2 = a a 2 + a 3 +... + a a 2 + a 3 +... + a a a a 2 + a 3 ) +... + a 2 + a 3 a a + a 2 a a + a 2 a a + a 2 ) a a 2 + a 3 ) +... + a a + a 2 )) ) 2 a2 + a 2 2) + ) 2 a2 + a 2 3) +... + + 2 a2 + a 2 ) + ) 2 a2 + a 2 ) + 2 a2 + a 2 ) + 2))) 2 a2 + a 2 = a a + a 2 )) 2 = +... + a ) 2a 2 + 2a 2 2 +... + 2a 2 a 2 + a 3 a + a ). 2 Copyright c 999 ONG TCV Scoala Virtuala a Taarului Matematicia http://math.ouret.md
Problema 22. Sa se arate ca petru orice umere pozitive a j, b j j =,..., ) are loc iegalitatea a... a + b... b a + b )... a + b ). Solutie. I baza iegalitatii Göughes obtiem + a b )... + a b ) + a b... a b ), ) a + b )... a + b ) a... a + b... b, de ude rezulta ca a... a + b... b a + b )... a + b ).. Sa se demostreze iegalitatea Exercitii petru autoevaluare si x > x x3 6 x > ). 2. Sa se compare umerele a) l 998 l 999 si l 999 l 2, b) cossi 2) si sicos 2). 3. Sa se arate ca petru x > are loc iegalitatea + 2 l x x 2. 4. Fie x, x 2,..., x umere pozitive. Sa se demostreze ca fuctia f : R R, x α +... + x α ) α, α fx) = x... x, α =. este mooto crescatoare. Mai mult, fuctia f este strict crescatoare daca si umai daca x = x 2 =... = x. Copyright c 999 ONG TCV Scoala Virtuala a Taarului Matematicia http://math.ouret.md 2
5. Sa se demostreze iegalitatea si α si β si γ 3 3 8, ude α, β, γ sut ughiurile iterioare ale uui triughi. 6. Fie a, a 2,..., a umere reale cu proprietatile a k ; ) k =,..., ) si a 2 +...+a =. Sa se arate ca ) ) )... 2 ). a 2 a 2 2 7. Sa se demostreze iegalitatile a + b + c a2 + b 2 2c ude a, b, c sut umere pozitive. + b2 + c 2 2a a 2 + c2 + a 2 2b a3 bc + b3 ca + c3 ab, 8. Iegalitatea Cebasev) Daca a a 2... a ; b b 2... b, atuci a + a 2 +... + a )b + b 2 +... + b ) a b + a 2 b 2 +... + a b ). 9. Daca < a b c, atuci a l a +. Sa se arate ca b l b + c l c 3 a + b + c) l a + l b + l c ) a l c + 2 3 + 2 + 3 2 = 2, 3, 4,...).. Sa se arate ca petru orice umere eegative a, b, c are loc iegalitatea a + b)b + c)c + a) 8abc. 2. Sa se arate ca petru orice umere reale x,..., x are loc iegalitatea x +... + x ) 2 x 2 +... + x 2 ). b l b + c l a. 3. Sa se demostreze ca sirul x = + ) + este mooto descrescator. 4. Sa se arate ca ) +! < N). 5. Sa se demostreze ca petru orice umere pozitive a, a 2,..., a are loc iegalitatea a + a 2 a2 + a 3 a + a a + a + +... + + 2. a 3 a 4 a a 2 Copyright c 999 ONG TCV Scoala Virtuala a Taarului Matematicia http://math.ouret.md 3