METODA FUNCTIILOR GENERATOARE

METODA FUNCTIILOR GENERATOARE LIVIU I. NICOLAESCU ABSTRACT. In aceasta nota vom descriem o tehnica deosebit de flexibila de abordare a multor probleme de combinatorica enumerativa. CONTENTS Introducere. Serii formale si serii convergente de puteri 2 2. Funcţii generatoare 6 3. Ecuaţii cu diferenţe 0 4. Formula de inversiune a lui Lagrange 2 5. Siruri de polinoame 9 6. Operatori invarianti la translatii 30 7. Exemple 40 References 46 INTRODUCERE In randurile care urmeaza dorim sa prezentam cititorului o tehnica remarcabil de eficace in abordare a multor probleme din combinatorica. Metoda este veche de cateva sute de ani si a fost folosita de clasici ai matematicii ca Newton, Bernoulli, Euler, Gauss, Riemann pentru a demonstra rezultate surprinzatoare. Probabil ca prima manifestare a acestei metode este formula binomului lui Newton care spune ca numarul := n!!(n! este coeficientul lui t in polinomul ( + t n, adica ( + t n = t. In limbaj modern, putem spune ca functia ( + t n este functia generatoare a numerelor ( ( ( n n n,,...,. 0 n Din acest motiv, aceste numere se mai numesc si coeficienti binomiali. Faptul ca functia generatoare (+t n are o forma asa de simpla conduce la o multitudine de consecinte pentru coeficientii binomiali. Date: March 2007.

2 LIVIU I. NICOLAESCU Metoda functiilor generatoare are la baza o idee foarte simpla. Unui sir de numere reale a 0,a,..., ii asociem o expresie de forma a(t = a 0 + a t + a 2 t 2 +, pe care o numim functia sau seria generatoare a acestui sir. Putem gândi o astfel de serie ca un polinom de grad infinit. O astfel de expresie se numeste serie formala de puteri pentru ca nu ne intereseaza convergenta ei. De foarte multe ori aceste serii au forme foarte simple care ne permit sa tragem concluzii despre sirul original {a n } mai greu de obtinut pe alte cai. In prima parte a lucrarii discutam seriile formale si operatiile pe care le putem efectua cu ele. Ilustram aceste idei pe multe situatii concrete care apar in probleme de combinatorica si algebra. In cea de a doua parte a lucrarii discutam siruri de polinoame de o singura variabila. Aceasta parte a lucrarii este putin mai dificila. Desi rezultatele sunt vechi de cateva sute de ani, le abordam dintr-un un punct de vedere foarte modern initiat acum doua-trei decenii. Nivelul de abstractie este ceva mai ridicat, si probabil ca cititorul va trebui sa se adapteze la un mod de gandire radical diferit de cel intalnit matematica de liceu, desi nivelul de cunostiinte nu depaseste de matematica de liceu. De aceea incurajam foarte mult cititorul sa rezolve exercitiile pe care le-am presarat de-a lungul prezentarii. Sunt probleme clasice, interesante in sine, dar care vor ajuta si la asimilarea acestui nou punct de vedere. Aceste probleme sunt comparabile ca nivel de dificultate cu probleme de olimpiada, faza nationala sau internationala. Pentru mai multe informatii privind acest subiect recomandam [, 2, 4, 5] care ne-au servit ca ghid in organizarea acestei lucrari.. SERII FORMALE SI SERII CONVERGENTE DE PUTERI Definiţia.. O serie formala de puteri cu coeficienti reali este o expresie de forma a(t = a n t n = a 0 + a t + a 2 t 2 +. Mai sus, t este o variabila formala. Mulţimea seriilor formale de puteri se noteaza cu R[[t]]. unde Sa observam ca exista niste operatii naturale pe aceasta multime. Putem aduna doua serii (a 0 + a t + a 2 t 2 + + (b 0 + b t + b 2 t 2 + = c 0 + c t + c 2 t 2 +, c n = a n + b n, n 0. Putem de asemenea inmulti doua serii formale ca si cum am inmulti doua polinoame unde si in general (a 0 + a t + a 2 t 2 + (b 0 + b t + b 2 t 2 + = c 0 + c t + c 2 t 2 +, c 0 = a 0 b 0, c = a 0 b + a b 0,c 2 = a 0 b 2 + a b + a 2 b 0, c n = a 0 b n + a b n + + a n b 0 = a b n, n 0. Aceste operatii sunt comutative, asociative distributive etc. In limbaj modern, spunem ca R[[t]] este un inel comutativ cu unitate. Pentru a opera cu seriile formale de puteri este convenabil sa introducem notiunea de jet

METODA FUNCTIILOR GENERATOARE 3 Definiţia.2. Pentru orice intreg nenegativ si pentru orice serie formala a(t = a 0 + a t + a 2 t 2 + R[[t]], definim -jetul lui a ca fiind polinomul de grad cel mult, J a(t =:= a 0 + a t + + a t. Jeturile unei serii sunt importante datorita urmatorului fapt elementar. Teorema.3 (Principiul separarii formale. Fie u, v R[[t]]. Urmatoarele afirmatii sunt echivalente. (au = v. (b J u = J v, 0. Remarca.4. Credem ca ar trebui sa explicam cititorului motivul pentru care rezultatul de mai sus se numeste principiu al separararii. Motivul este simplu. Rezultatul de mai sus spune ca putem distinge (sau separa doua serii u, v uitandu-ne la jeturile lor. Mai precis, putem decide daca u v intr-un numar finit de pasi, in sensul ca trebuie sa existe un intreg pozitiv astfel incat J u J v. Teorema de mai sus este un caz foarte special al unui rezultat fundametal in algebra numit teorema de intersectie a lui Krull. Propoziţia.5. Sa presupunem ca u(t = u 0 + u t + R[[t]] este o serie formala de puteri cu proprietatea ca u 0 0, adica J 0 (u(t 0. Atunci exista o unica serie formal v(t R[[t]] cu proprietatea ca u(tv(t =. (. Vom nota v(t := u(t si vom spune ca v este inversa multiplicativa a seriei u(t. Demonstraţie. O serie v(t = v 0 + v t + v 2 t 2 + satisface (. daca si numai daca satisface urmatorul sir de egalitati u 0 v 0 =, u 0 v n + u v n + + u n v 0 = 0, n. Prin urmare, coeficientii v n satisfac relatia de recurenta v 0 = u 0, v n = u 0 ( u v n + + u n v 0. (.2 Prin urmare seria v(t ai carei coeficienti sunt definiti unic de (.2 satisface ecuatia (.. Remarca.6. Rezultatul de mai sus se poate reformula in limbaj modern spunand ca elementele u(t R[[t]] cu proprietatea ca J 0 (u(t 0 sunt elemente inversabile ale inelului R[[t]]. Este usor de vazut ca acestea sunt toate elementele inversabile ale acestui inel. Definiţia.7. O serie de puteri a(t = a n t n se numeste convergenta daca exista un numar real positiv r astfel incat, pentru orice numar t ( r, r, sirul de numere reale σ n a(t = a 0 + a t + + a n t n este convergent. Vom nota cu σ a(t limita acestui sirului σ n a(t, si o vom numi suma seriei. De asemenea, vom nota cu R{t} submultimea lui R[[t]] constand din serii convergente.

4 LIVIU I. NICOLAESCU Exemplul.8. (a Seria geometrica g(t := + t + t 2 + este convergenta pentru orice t < iar suma ei este t. (b Seria e(t := +! t + 2! t2 + este convergenta pentru orice numar real t, iar suma ei este e t. Are loc urmatorul rezultat a carui demonstratie o lasam cititorului ca un exercitiu. Teorema.9. (a Suma si produsul a doua serii convergente este o serie convergenta. (b O serie de puteri a(t = a n t n este convergenta daca si numai daca exista un numar real pozitiv c astfel incat a n+ c a n, n 0. (c Daca seria a(t este convergenta pentru t ( r,r, atunci suma ei este o functie infinit differentiabila f(t : ( r,r R, iar coeficientii a n sunt descrisi de formula MacLaurin d n a n := t=0 n! dt n f(t. Partea (a a teoremei de mai sus se poate reformula spunand ca submultimea R{t} este un subinel al lui R[[t]]. De multe ori, cand avem de a face cu o serie convergenta a(t a carei suma este o functie f(t, in loc sa folosim notatia mai precisa vom folosi notatia mai simpla Astfel, in loc sa scriem vom scrie σ a(t = f(t a(t = f(t. σ ( + t + t 2 + = t + t + t 2 + = t. Exerciţiul.0. Fie α un numar real. Folosind Teorema.9 aratati ca seriile p α (t = + α! α(α t + t 2 + 2! α(α (α 2 t 3 + 3! L(t = n t n n sunt convergente, iar sumele lor sunt unde log este logaritmul natural. p α = ( + t α, L(t = log( + t,

METODA FUNCTIILOR GENERATOARE 5 Pe multimea R[[t]] putem defini operatia de derivare formala D : R[[t]] R[[t]], D(a 0 + a t + a 2 t 2 + = a + 2a 2 t + 3a 3 t 2 +. Propoziţia.. Operatia de derivare formala este liniara, adica D(λa + µb = λda + µdb, a,b R[[t]], λ,µ R, si satisface regula lui Leibniz D(a b = (Dab + a(db, a,b R[[t]]. Exerciţiul.2. Demonstrati propozitia de mai sus folosind principiul separararii formale. Are loc urmatorul rezultat. Teorema.3. Daca seria formala a(t R[[t]] este convergenta si are suma s(t atunci si seria formala Da(t este convergenta, iar suma ei este ds dt. Demonstratia necesita unele notiuni mai avansate de analiza si de aceea nu o prezentam. Cititorul curios poate consulta orice tratat de analiza reala, ca de exemplu [3, Chap. XII] Exemplul.4. Seria a(t = + t + t 2 + converge la t. Prin urmare derivata formala este convergenta iar suma ei este Da(t = + 2t + 3t 2 + d dt t = ( t 2 Mai general, seria formala D a(t este convergenta, iar suma ei este! ( t +. Aceasta ultima egalitate se poate rescrie sub forma Impartind prin! deducem!t 0 + 2 3 t + + (n + (n + t n + = ( t + = + ( + t + + ( n +! ( t +. t n +. (.3 Formula de mai sus se poate obtine si din Exercitiul.0 alegand α = ( +. Sa observam acum ca ( ( t + = t m + ( = t m j. m 0 Coeficientul lui t n din produsul de mai sus este egal cu coeficientul lui t n al seriei din partea stanga a egalitatii (.3. Acest coeficient este ( n+. Pe de alta parte, coeficientul t n din produsul de mai sus are o interpretare combinatorica. El este egal cu numarul de monoame de forma t m0 t m t m cu proprietatea ca m 0 + + m = n. Putem reformula acest lucru mult mai intuitiv. Avem ( + cutii etichetate cu numerele 0,,...,. Dorim sa aflam in cate moduri putem distribui n bile identice in aceste (+ cutii distincte. O distributie este data de colectia ordonata de numere (m 0,m,...,m, unde m j este numarul de bile din cutia j. Ajungem astfel la un rezultat j=0 m j 0

6 LIVIU I. NICOLAESCU combinatoric binecunoscut: numarul de distributii de n bile identice in ( + cutii diferite este egal cu ( n+. 2. FUNCŢII GENERATOARE Putem in fine introduce personajul principal al acestei lucrari. Definiţia 2.. Functia generatoare a unui sir {a n } este seria formala Fg(a n ;t = a 0 + a t + a 2 t 2 +. Functia generatoare de tip exponential a unui sir {a n }, este functia generatoare a sirului { an n! }. Vom nota functia generatoare de tip exponential prin Fg exp, astfel ca Exemplul 2.2. (a Daca a n =, n 0 atunci Fg exp (a n ;t = Fg( a n ;t. n! Fg(a n ;t = + t + t 2 + = t, Fg exp(a n ;t = e t. Mai general, pentru orice numar real r avem egalitatile Fg(r n ;t = + rt + r 2 t 2 + = rt, Fg exp(r n ;t = e rt. (b Pentru orice siruri (a n, (b n, si pentru rice numar real c au loc egalitatile Fg(a n + b n ;t = Fg(a n : t + FG(b n ;t, Fg(ca n ;t = cfg(a n ;t. Exerciţiul 2.3. Aratati ca daca si numai daca t n ( c n n! = t j a j j! c n = j 0 ( 0 a b n. t b,! Exerciţiul 2.4. Sa consideram un sir {a n } a carui functie generatoare este a(t = a 0 + a t + a 2 t 2 +. Atunci functia generatoare a sirului de sume partiale este s n = a 0 + a + + a n s(t = a(t. t Observatiile foarte simple de mai sus ne permit deja sa tragem niste concluzii remarcabile. Exemplul 2.5 (Numerele lui Fibonacci. Sa consideram sirul lui Fibonacci definit de conditiile intiale, F 0 = F = F 2 si relatia de recurenta F n+2 = F n+ + F n. (2.

METODA FUNCTIILOR GENERATOARE 7 Sa notam cu F(t functia generatoare a sirului lui Fibonacci. Daca inmultim (2. cu t n+2 obtinem F n+2 t n+2 = t(f n+ t n+ + t 2 (F n t n. Sa sumam egalitatea de mai sus dupa n = 0,,2,.... Obtinem F 2 t 2 + F 3 t 3 + F 4 t 4 = t(f t + F 2 t 2 + F 3 t 3 + t 2 (F 0 + F t + F 2 t 2 + Egalitatea de mai sus se poate rescrie F(t (F 0 + F t = t(f(t F 0 + t 2 F(t F(t ( + t = (t + t 2 F(t t F(t( t t 2 =. Deducem de mai sus urmatoarea egalitatea surprinzatoare. F(t = t t 2. Recunoastem la numitor ecuatia caracteristica a recurentei lui Fibonacci. Putem descompune functia rationala de mai sus in fractii simple. Notam cu r,r 2 radacinile ecuatiei caracteristice r 2 r = 0. Are loc egalitatea t t 2 = ( r t( r 2 t. Deducem ca ( t t 2 = ( r t( r 2 t = A r t + B r 2 t = A( r 2t + B(t r t t t 2 { A + B = r 2 A + r B = 0. Determinantul acestui sistem este r r 2 de unde rezulta ca Prin urmare A = r r r 2, B = r 2 r 2 r. F(t = r r r 2 r t + r 2 r 2 r r 2 t = r ( r r r t n n + r ( 2 r 2 r 2 r 2t n n. Rezulta de aici binecunoscuta formula F n = rn+ + rn+ 2. r r 2 r 2 r Exemplul 2.6 (Relatiile lui Newton. Polynoamele simetrice elementare in n variabile r,...,r sunt date de relatiile c 0 =, c (r,...,r n = r + + r n, c (r,...,r n = r i r i. Este binecunoscut faptul ca aceste expresii satisfac relatiile lui Viète i <i 2 < <i n C(t = ( r t( r 2 t ( r n t = c 0 c t + c 2 t 2 + + ( n c n t n. Asa numita teorema fundamentala a polinoamelor simetrice spune ca orice polinom simetric S in variabilele r,...,r n se poate exprima ca un polinom in variabilele c,...,c n, S(r,...,r n = S(c,...,c n.

8 LIVIU I. NICOLAESCU Mai mult, daca S are coeficienti intregi, atunci si S are coefficienti intregi. De exemplu, r 2 + r2 2 + + r2 n = c2 2c 2. (2.2 Acum cateva sute de ani Isaac Newton a descris un procedeu foarte elegant de a exprima polinoamele simetrice p (r,...,r n = r + r 2 + + r n, 0, ca polinoame in variabilele c i. Astfel, egalitatea (2.2 se poate rescrie ca p 2 = c 2 2c 2. Chiar si cazul urmator, al polinomului p 3, pare a fi destul de complicat. Newton a avut inspiratia sa descrie polinoamele p r nu pe rand, unul cate unul, ci toate deodata, folosind functia lor generatoare, P(t = p 0 + p t + p 2 t 2 +, careia i-a gasit o descriere foarte simpla. Iata argumentul lui Newton. Sa observam in primul rand ca Prin urmare, P(t = n + (r + + r n t + (r 2 + + r 2 2t 2 + = ( + r t + rt 2 2 + + + ( + r n t + rnt 2 2 = r t + + r n t P(t n = Derivand polinomul C(t obtinem ( r t = = d dt C(t = d dt = n ( r t = r t r t = r ( r 2 t ( r n t r 2 ( r t( r 3 t ( r n t r n ( r t ( r n t, de unde deducem, C (t C(t = r r t = (t tc C(t = P(t n = Acum putem rescrie ultima egalitate sub forma Daca ne reamintim ca tc (t = C(t(P(t n. C(t = c t + c 2 t 2, tc (t = c t + 2c 2 t 2 3c 3 t 3 +, si P(t n = p t + p 2 t 2 + deducem c t 2c 2 t 2 + 3c 3 t 3 = ( c t + c 2 t 2 (p t + p 2 t 2 +. Relatiile lui Newton se obtin identificand coeficientii lui t in cele doua parti ale egalitatii de mai sus. p = c, p 2 p c = 2c 2, p 3 p 2 c + p c 2 = 3c 3, p p c + + ( p c = ( + c, n (2.3a

METODA FUNCTIILOR GENERATOARE 9 p p c + + ( n p n c n = 0, > n. De exemplu, avem p 3 = p 2 c p c 2 + 3c 3 = c (c 2 2c 2 c c 2 + 3c 3 = c 3 3c c 2 + 3c 3. Exerciţiul 2.7. Descrieti p 4 ca un polinom in variabilele c,c 2,c 3,c 4. (2.3b Exerciţiul 2.8. Sa presupunem ca sunt date n multimi finite A,...,A n. Notam I n := {,2,...,n}, A := i In A i. Pentru orice submultime S {, 2,..., n} notam cu r(s cardinalul multimii D S = { a A; a A s, s S, a A, if S }, iar cu R(S cardinalul multimii A S := A j. j S (a Folosind principiul includerii-excluderii demonstrati ca r(s = T S( T S R(T. (b Demonstrati ca r(sx S = R(T(x T, x R. S I n T I n m m FIGURE. Regiuni interzise pe o tablă de şah de tip n n. Exerciţiul 2.9. Sa consideram o tabla de şah de tip n n. Numim distributie neagresiva de turnuri pe aceasta tabla o distributie de n turnuri incat nu exista doua turnuri pe aceeasi linie sau coloana. Definim o regiune a tablei de sah ca fiind a submultime a multimii tuturor celor n 2 patratele (vezi Fig. Pentru o regiune A a tablei de sah si orice intreg 0 introducem urmatoarele notatii. r (A := numarul de distributii neagresive cu proprietatea ca exact turnuri se gasesc in regiunea A. R (A := numarul de distributii neagresive cu proprietatea ca cel putin turnuri se gasesc in regiunea A. r A (x = 0 r (Ax, R A (x = 0 R (Ax. Observati ca r A (0 este numarul de distributii neagresive cu proprietatea ca nici unul din turnuri nu se afla in regiunea interzisa A. Polinomul r A (x se numeste polinomul turnurilor asociat regiunii A.

0 LIVIU I. NICOLAESCU (a Aratati ca pentru orice regiune A a tablei de sah are loc egalitatea r A (x = R A (x, 0. (b Calculati r A (x cand A este fie multimea vida, fie una din regiunile colorate cu gri in Figure. 3. ECUAŢII CU DIFERENŢE Sa consideram un sir de numere reale {a n }. Sa notam cu a(t := Fg(a n ;t functia generatoare a acestui sir. Putem considera sirul diferentelor ( a n = a n+ a n, n = 0,,2,.... Putem sa ne gandim la sirul { ( a n } ca fiind derivata sirului {an }. Dorim sa exprimam functia generatoare a diferentelor finite cu ajutorul functiei generatora a sirului initial. Sa notam cu a(t seria generatoare a sirului de diferente fiunite Sa observam ca ( ta(t = ( t(a 0 + a t + a 2 t 2 + = a 0 + (a a 0 t + (a 2 a t 2 + = a 0 + t a(t. Deducem ca ( t a(t = a(t t t a 0 = q(ta(t t a 0, (3. unde u q(t este functia rationala t t. Putem defini inductiv derivatele de ordin superior De exemplu, ( + a n := ( ( a n. ( 2 a n = ( a n+ ( a n = (a n+2 a n+ (a n+ a n = a n+2 2a n+ + a n. Notam cu a(t functia generatoare a sirului a. Aplicand (3. iterativ deducem Are loc deci identitatea Corolarul 3.. a(t = q a(t t ( a 0 = q 2 2 a(t { } q( 2 a 0 + ( a 0 t = q a + { } q a 0 + q 2 ( a 0 + + ( a 0 t a(t = q a(t t ( a n = j=0 Demonstraţie. Din identitatea (3.2 deducem q j ( j a 0, q := t. (3.2 t j=0 t a(t = ( t a(t }{{} I a n+j, n, 0. (3.3 n j ( t j t j ( j a 0. j=0 } {{ } II

METODA FUNCTIILOR GENERATOARE Termenul ( a n este coeficientul lui t +n in seria t a(t. Observand ca II este un polynom de grad mai mic decat, deducem ca ( a n trebuie sa fie egal cu coeficientul lui t +n in I. Folosind binomul lui Newton deducem ca acest coeficient este egal cu expresia din partea dreapta a egalitatii (3.3. Definiţia 3.2. Spunem ca un sir {a n } satisface o ecuatie cu diferenţe omogena de ordin daca exista niste constante reale c 0,c,...,c, c 0 astfel incat c ( a n + c ( a n + + c ( a n + c 0 a n = 0, n 0. (3.4 Daca sirul {a n } cu functia generatoare a(t satisface ecuatia (3.4 atunci rezulta din (3.2 ca seria a(t satisface ecuatia 0 = l=0 c l ( q l a(t t l q l j ( j a 0, q = t. t j=0 Inmultim ambele parti ale egalitatii de mai sus cu t si deducem Prin urmare 0 = ( l c l t l ( t l a(t t l t j ( t l j ( j a 0 l=0 ( c l t l ( t l a(t = l=0 j=0 l c l t l t j ( t l j ( j a 0 l= Sa observam ca termenul din partea dreapta a egalitatii de mai sus este un polinom r(t de grad mai mic decat ai carui coeficienti sunt complet si unic determinati de derivatele initiale Ajungem la urmatoarea concluzie. j=0 a 0,( a 0,...,( a 0. Corolarul 3.3. Daca sirul {a n } satisface ecuatia cu diferente (3.4 atunci functia lui generatoare a(t este o functie rationala de forma a(t = r(t c ( t + c t( t + + c 0 t, unde gradul numaratorului r(t este mai mic decat gradul numitorului. Exerciţiul 3.4. (a Aratati ca pentru orice polinom de grad u(t = u t + u t + u 0, u 0, exista constantele c 0,...,c unic determinate de egalitatea u t + u t + u 0 = c ( t + c t( t + + c 0 t. (b Aratati ca un sir de numere reale {a n } satisface o relatie de recurenta de forma u a n+ + u a n+ + + u 0 a n = 0, n 0, (3.5

2 LIVIU I. NICOLAESCU daca si numai daca satisface o ecuatie cu diferente de forma (3.4. Deduceti ca un sir {a n } satisface o relatie de recurenta de forma (3.5 daca si numai daca functia lui generatoare are forma a(t = unde gradul lui r este mai mic decat. r(t u t + u t + u 0, Exerciţiul 3.5. Aratati ca urmatoarele afirmatii sunt echivalente. (a Sirul {a n } satisface ecuatia cu diferente (b Exista constante c 0,c,...,c astfel incat a n = c j = j j=0 (c Exista constante d 0,d...,d astfel incat ( + a n = 0, n 0 a n = c n, n 0. d j n j, n 0. j=0 Exerciţiul 3.6. Sa consideram sirul {a n } care satisface relatia de recurenta Aratati ca satisface ecuatia cu diferente a n+2 = 5a n+ 6a n, n 0. ( 2 a n 3( a n + 2a n = 0, n 0. Exerciţiul 3.7. Pentru orice intregi 0 < n notam cu f n, numarul de submultimi de cardinal ale multimii {,..., n} cu proprietatea ca nu contin nici o pereche de numere consecutive. Aratati ca + f n, =, si unde {F n } este sirul lui Fibonacci. f n, = F n+2, 4. FORMULA DE INVERSIUNE A LUI LAGRANGE Pentru a formula rezultatul principal al acestei sectiuni trebuie sa facem cateva observatii preliminare. Definim o serie Laurent formala ca fiind o expresie de forma a t + a + t + + a t + a 0 + a t + a 2 t 2 +. O serie Laurent formala este cu alte cuvinte suma dintre o serie formala de puteri si un polinom in t. Notam cu R[[t,t ] multimea seriilor Laurent formale. Sa observam ca putem aduna si inmulti doua serii formale ca si cum are fi polinoame, iar multimea R[[t,t ] devine inel comutativ cu unitate cand este inzestrata cu operatiile de adunare si inmultire.

METODA FUNCTIILOR GENERATOARE 3 Operatorul de derivare formala D se extinde in mod evident si la seriile Laurent. Propozitia. se extinde si la cazul seriilor Laurent. In particular, D satisface regula lui Leibniz si pentru produsul a doua serii Laurent. Daca a(t este o serie Laurent formala, iar este un intreg, vom nota cu [t ]a coeficientul lui t in dezvoltarea lui a. Coeficientul lui t in a(t se numeste reziduul seriei Laurent a si il vom nota cu Res a. Propoziţia 4.. Daca a(t = a 0 + a t + a 2 t 2 + R[[t]] este o serie formala de puteri atunci a n = [t n ]a(t = n! [t0 ](D n a. Definiţia 4.2. Pentru orice intreg vom spune ca o serie Laurent u este O(, si scriem u = O(, daca are forma u(t = t a(t, a(t R[[t]]. Cu alte cuvinte, u(t = O( u(t = u t + u + t + +. De exemplu, faptul ca o serie Laurent a este o serie formala de puteri, adica nu apar puteri negative ale lui t, se poate scrie a = O(0. Putem reformula principiul separarii formale folosind notatia O. Teorema 4.3 (Principiul separarii formale in notatia O. Fie u,v R[[t]]. Atunci u = v u(t v(t = O(, 0. Sa observam ca daca v(t = v t + v 2 t 2 + = O(, iar u(t = u 0 +u t+u 2 t 2 + = O(0 este o serie formala oarecare, atunci putem defini compunerea lor u v(t := u 0 + u (v t + v 2 t 2 + + u 2 (v t + v 2 t 2 + 2 + = u 0 + (u v t + (u v 2 + u v 2 + u 2v 2 t2 +. Coeficientul lui t in u v este descris de un polinom universal in variabilele u,...,u, v,...,v. Teorema 4.4 (Derivarea compunerii. Fie u R[[t]] si v R[[t]] astfel incat v = O(. Atunci Exerciţiul 4.5. Sa presupunem ca u,v R[[t]], iar v = O(. (a Aratati ca pentru orice intreg pozitiv are loc egalitatea D(u v = ( (Du v (Dv. (4. J (u v (J u v = O( +, (4.2 unde reamintim ca J este notatia pentru -jet. (b Demonstrati egalitatea (4. folosind (4.2 si principiul separarii formale. Exemplul 4.6 (Puterile intregi ale unei serii Laurent. Sa presunem ca v(t = O(. Atunci, pentru orice intreg > 0 putem defini seria ( + v [ ] ca fiind compunerea ( + v [ ] := u v(t, u(t = ( + t = + ( n t n.

4 LIVIU I. NICOLAESCU Lasam cititorului sa verifice folosind principiul separarii formale ca pentru orice intreg pozitiv are loc egalitatea ( + v [ ] ( + v =, adica seria ( + v [ ] este inversa seriei ( + v in inelul R[[t]]. Din aceasta cauza vom scrie ( + v in loc de ( + v [ ]. Mai general, daca c 0, putem defini (c + v [ ] := c ( + c v [ ]. In particular, deducem ca daca u = u 0 + u t + u 2 t 2 + R[[t]] este o serie formala astfel incat J 0 u = u 0 0, atunci putem defini u(t n ca o serie formala, pentru orice intreg n. In plus, au loc egalitatile u n u n =, n Z. Daca mai sus alegem n > 0, si apoi derivam folosind regula lui Leibniz deducem (Du n u n + u n (Du n = 0 = u n (Du n = nu n (Duu n = nu (Du. Inmultind ambele parti ale ultimei egalitati cu u n obtinem Am demonstrat astfel urmatorul fapt. Du n = nu n (Du. Du m = mu m (Du, m Z \ {0}, u R[[t]], J 0 u 0. (4.3 Sa observam ca daca u(t este o serie Laurent formala, atunci o putem decrie ca un produs u(t = t (q 0 + q t +, unde este un intreg, iar q 0 0. Daca n este un intreg, putem defini u n prin egalitatea u n := t n (q 0 + q t + n. Egalitatea (4.3 se extinde si la acesta situatie mai generala. Definiţia 4.7. O serie u = u t + u 2 t 2 + = O( se numeste inversabila functional (sau pe scurt, f-inversabila, daca exista o serie v = v t + v 2 t 2 + = O(, astfel incat u v(t = v u(t = t. Vom folosi notatia v(t = u (t, si vom spune ca v(t este inversa functionala a seriei u(t. Exerciţiul 4.8 (Teorema functiilor implicite formale. Aratati ca o serie u(t = O( este f- inversabila daca si numai daca [t]u 0, adica coeficientul lui t in u nu este zero. In acest caz u admite o unica inversa functionala. Remarca 4.9. Sa presupunem ca u(t este o serie formala care admite o inversa functionala v. Atunci seria u este convergenta, daca si numai daca seria v este convergenta. Acest fapt este cunosctut in analiza sub numele de teorema functiilor real analitice implicite.

METODA FUNCTIILOR GENERATOARE 5 Dorim sa rezolvam urmatoarea problema. Daca u(t = u t + u 2 t 2 + este o serie f-inversabila (adica u 0 sa se descrie coeficietii seriei inverse in functie de coeficietii seriei u(t. Problema de mai sus se poate rezolva prin metoda coeficientilor nedeterminati, dar calculul coeficietilor inversei u devine oribil de complicat. Formula de inversiune a lui Lagrange descrie in esenta un algoritm de calcul al coeficientilor seriei inverse care de multe ori produce rezultate interesante. In demonstratia acestui algoritm vom avea nevoie de urmatorul fapt elementar dar fundamental. Lema 4.0 (Teorema formala a reziduurilor. (a Daca a(t este o serie Laurent, atunci reziduul derivatei Da este zero, adica Res Da = 0. (b Daca seria u R[[t]] este f-inversabila atunci are loc egalitatea Res u Du =. Demonstraţie. Partea (a rezulta din observatia ca monomul t nu este derivata nici unei serii Laurent. Pentru a demonstra partea (b, scriem u sub forma u = u t + u 2 t 2 + = t (u + u 2 t +, }{{} r unde u 0 deoarece u este f-inversabila. Atunci u = t r, Du = r + tdr = u Du = t + r Dr. Sa observam ca r Dr R[[t]], si prin urmare Res r Dr = 0 = Res u Du = Res(t + r Dr = Res t =. Teorema 4. (Formula de inversiune a lui Lagrange. Fie u(t = u t + u 2 t 2 + R[[t]] o serie f-inversabila, adica u 0. Notam cu s(t = s t + s 2 t 2 + inversa ei functionala. Daca scriem u(t sub forma atunci u(t = t r(t, r(t = u + u 2 t + u 3 t 2 +, ns n = n[t n ]s(t = Res u n = [t n ]r(t n. Demonstratie. Sa scriem Atunci are loc egalitatea Derivand obtinem Inmultind cu u n deducem s(t = s m t m. m t = s(u(t = m s m u m. = ms m u m Du. m u n = ms m u m n Du. m

6 LIVIU I. NICOLAESCU Sa observam ca daca m n, atunci u m n Du = m n Dum n, si din teorema formala a reziduurilor deducem Res u m n Du = 0, m n. Deducem ca Res u n = ns n Res u Du. Folosind partea (b a teoremei formale a reziduurilor deducem ns n = Res u n = Res(t n r n = [t ] ( t n r(t n = [t n ]r(t n. Exerciţiul 4.2. Sa presupunem ca seria u(t R[[t]] este f-inversabila, si sa notam v := u. Folosind tehnica de demonstratie a Teoremei 4. aratati ca [t n ]v = ( t n n [tn ] = u n [t ]u n. (4.4 In particular, daca u(t are forma u(t = t f(t, f(t = f 0 + f t + R[[t]], f 0 0, atunci [t n ]v = n [tn ]f(t n. (4.5 Exemplul 4.3. Formula de inversiune se poate intelege cel mai bine daca o ilustram pe un exemplu. Sa presupunem ca o serie formala de puteri s(t satisface o ecuatie de forma s = t( + as l, unde l este un intreg, iar a 0 un numar real. Daca definim u(t := t( + at l, deducem ca u(s(t = t adica s este inversa functionala a seriei u. Putem scrie s = s t + s 2 t 2 +, iar formula de inversiune a lui Lagrange ne spune ca s n = n [tn ]( + at nl. Daca l > 0, atunci deducem din formula binomului lui Newton ca s n = l a n = l + a n. (4.6 n n nl + n Daca l < 0, atunci din egalitatea (.3 deducem ( + at n l = ( m + n l ( m a m t m, m m 0

METODA FUNCTIILOR GENERATOARE 7 si prin urmare s n = n ( n + n l 2 n ( a n = n( l + ( n( l + n ( a n (4.7 Exemplul 4.4. Seria de puteri este inversabila. Inversa ei este seria formala unde u(t = t! t2 + 2! t3 3! t4 + = te t r(t = r t + r 2 t 2 +, r n = n [tn ]e nt = nn. n! Exemplul acesta este foarte interesant din cauza ca seria u(t apare in combinatorica in problema numararii arborilor, adica a grafurilor conexe care nu au cicluri. Exemplul 4.5 (Numerele lui Catalan. Pentru orice intreg n vom nota cu C n numarul de posibilitati de descompunere a unui polygon convex cu n + 2 varfuri etichetate, in n triunghiuri, cu ajutorul cu ajutorul a (n diagonale care nu se intersecteaza. Astfel de triangulari le vom numi triangulari simple. Numerele C n se numesc numerele lui Catalan. Figura 2 arata ca C = si C 2 = 2. 2 3 4 4 2 3 2 3 FIGURE 2. Triangulari ale unui polygon convex cu ajutorul diagonalelor. Sa construim functia generatoare C(t = C t + C 2 t 2 +. Dorim sa gasim o relatie de recurenta pentru numerele lui Catalan pe care sa o putem exprima in termeni de functii generatoare. Vom nota cardinalul unei multimi A cu A.

8 LIVIU I. NICOLAESCU (n+2 (n+2 0 0 τ τ v τ = FIGURE 3. Triunghiul τ. Fixam n 2. Numarul C n+ este numarul de triangulari simple ale uni poligon convex P cu (n + 3 varfuri 0,,...,(n + 2. Notam cu T multimea acestor triangulari. Pentru orice triangulare τ T, latura [0,(n + 2] a poligonului P apartine exact unui singur triunghi al triangularii τ. Notam acest triunghi cu τ, iar cu v τ varful lui τ diferit de 0 si (n + 2; vezi Figura 3. Este evident ca Pentru orice {,2,...,n + } notam Are loc egalitatea v τ {,2,...,n + }. T := { τ T; v τ =, }. n+ T = T. =2 Distingem doua cazuri. Cazul. =,(n+. Fie τ T. In acest caz tringhiul τ are o singura latura care este diagonala a lui P. Aceasta diagonala imparte P in doua parti: triunghiul τ si un poligon cu (n + 2 varfuri. Deducem ca T = C n, =,(n +. Cazul 2. 2 n. In acest caz, diagonalele [0,] si [,(n + 2] impart P in doua poligoane convexe: un poligon P cu (+ varfuri, 0,...,, si un poligon P cu (n+3 varfuri,,...,(n+ 2. Rezulta ca T = C C n+. Deducem din discutia de mai sus ca n C n+ = 2C n + C C n+ = 2C n + C j C n j, n 2. =2 Inmultind egalitatea de mai sus cu t n+, si apoi sumand dupa n 2 deducem identitatea pe care o putem rescrie n 2C n+ t n+ = 2t n 2C n t n + t n 2 j= C j C n j t n, (n C(t t 2t 2 = C(t C t C 2 t 2 = 2t ( C(t C t + tc(t 2 j= = C(t t = 2tC(t + tc(t 2 = C(t = t ( + C(t 2.

METODA FUNCTIILOR GENERATOARE 9 Suntem exact in situatia descrisa in Exemplul 4.3, cazul l = 2, a =. Deducem din (4.6 C n = ( 2n + = ( 2n. 2n + n n + n Drum pe deasupra diagonalei Drum pe sub diagonala FIGURE 4. Drumuri laticiale. Exerciţiul 4.6. Fie P si Q doua puncte laticiale in plan, adica P,Q Z 2. Un drum laticial de lungime n de la P la Q este un sir de puncte P 0,P,...,P n Z 2 cu urmatoarele proprietati. P 0 = P, P n = Q. Pentru orice =,...,n, avem fie P = P + (,0, fie P = P + (0,. Cu alte cuvinte de-a lungul unui drum, pasii au lungime si sunt indreptati fie catre Est, fie catre Nord. Sa notam cu T(Q,P numarul de drumuri laticiale de la P la Q care nu trec deasupra diagonalei y = x (vezi Figura 4. Aratati ca daca aratati ca P = (0,0, Q = (n,n T(Q,P = C n = ( 2n. n + n 5. SIRURI DE POLINOAME In aceasta sectiune initiem descrierea unui formalism modern care se ascunde in spatele multor probleme din combinatorica. Intr-o forma sau alta, aceste trucuri erau cunoscute marilor clasici ca Euler, Lagrange, Gauss, Cauchy. In cele ce urmeaza vom conveni ca gradul polinomului trivial p = 0 este. Definiţia 5.. (a Un sir bazic de polinoame este un sir de polinoame p n (x R[x], n 0 cu proprietatea ca grad p n (x = n, n 0. Sirul bazic se numeste normalizat daca p 0 (x =, p n (0 = 0, n.

20 LIVIU I. NICOLAESCU (b Un sir binomial este un sir bazic normalizat {p n (x} cu proprietatea ca p n (x + y = p (xp n (y, n 0, x,y R. (5. (c Dat fiind un sir basic {p n (x}, definim functia lui generatoare prin P x (t := Fg exp (p n (x;t = p n (xt n. n! Aceasta serie poate fi gandita in doua moduri: fie ca o serie de puteri ai carui coeficieti sunt polinoame, fie ca o familie de serii de puteri parametrizata de variabila x. Exemplul 5.2. (a Formula binomului lui Newton ne spune ca sirul de polinoame,x,x 2,... este un sir binomial. Functia lui generatoare este +! xt + 2! (xt2 + = e tx. (b Sa presupunem ca g(t R[[t]] este o serie f-nversabila, Pentru x R fixat formam seria formala Atunci G x (t admite o dezvoltare de forma unde {p n (x} este un sir basic normalizat. Sa observam ca g(t = g t + g 2 t 2 +, g 0. G x (t := e xg(t. G x (t = p 0 (x + p (x t + p 2(x t 2 +,! 2! G x (tg y (t = e (x+yt = Pe de alta parte ( p (x G x (tg y (t =! 0 = ( p (xp n (y t n = (!(n! p n (x + y t n n! t ( +j=n j 0 p j (y t j j! p (xp n (y Rezulta ca sirul de polinoame {p n (x} este un sir binomial. Sa observam ca situatia (b contine ca un caz special situatia (a. Pentru a vedea acest lucru consideram seria M x (t = x ntn n! = ext. Rezulta ca daca alegem g(t de forma cea mai simpla posibila, g(t = t, obtinem sirul binomial fundamental {x n }. (c Pentru orice n definim [x] n := x(x (x n +. Pentru uniformitate definim [x] 0 =. Sa observam ca sirul {[x] n } este un sir bazic normalizat. Vom arata prin doua metode diferite ca sirul [x] n este un sir binomial. t n n!.

METODA FUNCTIILOR GENERATOARE 2 Prima metoda este prin inductie. Trebuie sa demonstram identitatea [x + y] n = [x] n [y], x,y R, n Z 0. Daca fixam x arbitrar, este suficient sa demonstram ca aceasta identitate este valabila pentru orice y intreg nenegativ. Vom arata prin inductie dupa y ca identitatea de mai sus este valabila pentru orice n. Cand y = 0 afirmatia este triviala. Pentru pasul inductiv sa observam ca pentru orice numar real z are loc identitatea [z + ] n [z] n = n[z] n, n. Prin urmare, [x + (y + ] n = [x + y] n + n[x + y] n = = [x] n [y] + = [x] n [y] = = [x] n [y] + n [x] n [y + ]. Cealalta metoda de demonstratie foloseste functia generatoare a acestui sir S x (t = t n [x] n n!. [x] n [y] = ( [x] n [y] + [y] Conform Exercitiului.0, pentru x fixat, seria S x (t este convergenta cand t <, iar suma ei este functia t ( + t x. Daca scriem ( + t x = e x log(+t observam ca ne aflam exact in situatia descrisa in exemplul (b unde g(t = log( + t = t + t2 2 + t3 3 +. Aceasta arata din nou ca sirul {[x] n } este binomial. Exemplul 5.2(b ne arata ca daca Fg exp (p n (x;t are forma P x (t = e xs(t, s(t R[[t]], s(t = O(, [t ]s(t 0 atunci sirul {p n (x} este binomial. In cele ce urmeaza, dorim sa producem alte criterii de recunoastere ale sirurilor binomiale. Definiţia 5.3. Un operator admisibil este o aplicatie care satisface urmatoarele conditii. L este liniar, adica, grad Lp grad p, p R[x]. L : R[x] R[x], R[x] p Lp L(λp + µq = λlp + µlq, λ,µ R, p,q R[x].

22 LIVIU I. NICOLAESCU (b Un operator diferential este un operator admisibil L care satisface conditiile L = 0, grad Lp = grad p, p R[x], grad p > 0. Vom nota cu Op multimea operatorilor admisibili si cu DiffOp multimea operatorilor diferentiali. Compunerea a doi operatori admisibili S,T este un operator admisibil S T. Pentru a simplifica notatia, vom scrie ST in loc de S T. De asemenea, vom folosi notatia Definim Exemplul 5.4. (a Operatorul S := } S S {{ S}. Op := { T Op : grad Tp = grad p, p R[x] }. D x : R[x] R[x], D x p = dp dx este un operator diferential. (b Operatorul : R[x] R[x], ( p(x = p(x + p(x este operator diferential. (c Pentru un numar real h definim E h : R[x] R[x] prin egalitatea (E h p(x = p(x + h. E h este un operator admisibil numit operatorul de translatie cu h. Sa observam ca unde ½ este aplicatia identica R[x] R[x]. (d Operatorul lui Bernoulli = E ½, B : R[x] R[x], p x+ este un operator admisibil care pastreaza gradul, adica B Op. (e Dat fiind un operator diferential L, si o serie formala de puteri u(t = u n t n, x p(tdt putem forma operatorul admisibil u(l = u n L n, a carui actiune pe un polinom p este data de u(lp = u 0 p + u Lp + + u n L n p +. Sa observam ca suma de mai sus este finita pentru ca L n p = 0, pentru orice n > grad p. De exemplu, are loc egalitatea E h = e hdx. (5.2 Pentru a vedea acest lucru, folosim formula lui Taylor care spune ca (E h p(x = p(x + h = h n n! p(n (x = h n n! (Dn xp(x = ( h n n! Dn x p(x.

METODA FUNCTIILOR GENERATOARE 23 In particular, rezulta ca = e Dx ½. (5.3 Exerciţiul 5.5. Aratati ca daca L DiffOp, iar u,v R[[t]], atunci u(lv(l = (u v(l si u(l = 0 u = 0. Propoziţia 5.6. Orice operator T Op este inversabil, iar inversul lui este un operator admisibil care pastreaza gradul. Demonstraţie. Sa observam mai intai ca T este injectiv. Intr-adevar, daca Tp = Tq atunci T(p q = 0 = grad(p q = grad 0 = = p q = 0. Sa notam cu R[x] n multimea polinoamelor de grad n. Este clar ca T : R[x] n R[x] n, si vom arata ca aplicatia T : R[x] n R[x] n este surjectiva. Consideram matricea A = (a ij 0, i,j n definita de egalitatile Tx j = a ij x i, j = 0,...,n. Sa observam ca daca atunci unde i=0 q(x = q 0 + q x + + q n x, Tq = p 0 + + p n x n, p 0 p. p n = A q 0 q. q n. (5.4 Privim egalitatea (5.4 ca pe un sistem liniar, in care necunoscutele sunt coeficientii q i. A rezolva ecuatia Tq = p, p R[x] n in care necunoscuta este polinomul q R[x] n, revine la a rezolva sistemul liniar (5.4. Deoarece T este injectiv, deducem ca sistemul de mai sus in care p j = 0 are doar solutia triviala q i = 0. Rezulta ca deta 0, adica matricea A este inversabila. Rezulta ca pentru orice polinom p R[x] n exista un singur polinom q R[x] n astfel incat Tq = p. Exemplul 5.7. (a Operatorul de translatie E h pastreaza gradul, E h Op. Prin urmare este bijectiv. Inversul lui este operatorul E h. (b Operatorul lui Bernoulli pastreaza gradul si prin urmare este inversabil. Sa observam ca D x B =, si deci putem scrie, formal B = D. Egalitatea de mai sus ar trebui pusa intre ghilimele fiindca operatorul de derivare D nu este inversabil.

24 LIVIU I. NICOLAESCU Sa presupunem ca {p n (x} este un sir bazic. Acestui sir ii asociem o aplicatie R = R {pn} : R[x] R[x], R ( a 0 + a x + + a n x n = a 0 p 0 + a p (x + + a n p n (x. Este evident ca R este un operator admisibil. Il vom numi reperul asociat sirului bazic {p n (x}. Sa observam ca R(x n = p n (x, n 0, si prin urmare grad Rq = grad q, q R[x], q 0. (5.5 Rezulta ca R Op. Folosind Propozitia 5.6 deducem urmatorul rezultat. Corolarul 5.8. Reperul R asociat unui sir basic {p n (x} este bijectiv, iar inversul lui este un operator admisibil R care satisface conditiile R p n = x n, n 0, grad R q = grad q, q R[x]. (5.6 Corolarul 5.9. Fie {p n } un sir basic. Orice polinom q de grad n se descompune unic sub forma unde q 0,...,q n sunt numere reale. Demonstraţie. Prin urmare q(x = q 0 p 0 (x + q p (x + + q n p n (x, x R, Polinomul Rq(x admite o descompunere unica de forma Rq(x = q x. q(x = R (Rq(x = q (Rx = q p (x. Sa presupunem ca p = {p n (x} si q = {q n (x} sunt doua siruri bazice cu repere R p si respectiv R q. Atunci avem un operator liniar T q/p : R[x] R[x], T p/q := R p R q Sa observam ca T q/p p n = R q ((R p p n = R q (x n = q n. Vom spune c T q/p este operatorul de tranzitie de la p la q. Acestui operator ii asociem matricea infinita definita de egalitatile A(q,p = (a ij 0 i,j q j = i a ij p i j=0 Aceasta este o matrice triunghiulara superior, adica are forma a 00 a 0 a 02 0 a a 2 A = 0 0 a 22. 0 0 0 a 33.......

METODA FUNCTIILOR GENERATOARE 25 Vom spune ca A(q, p este matricea tranzitiei de la p la q. Aceasta matrice este inversabila, iar inversa ei este matricea tranzitiei de la q la p. Sa observam ca operatorul reper asociat sirului {p n } este exact operatorul de tranzitie de la sirul canonic {x n } la sirul {p n (x}. Exemplul 5.0. (a Sa consideram sirurile bazice { p n (x = (x n } si { q n (x = x n }. Din formula binomului lui Newton deducem x n = ( + (x ( n n = (x m m m=0 si deducem ca matricea tranzitiei de la p la q este data de ( 0 ( ( 2 0 0 0 ( 0 ( 2 A = ( 0 0 2 2 ( 0 0 0 3 3....... Recunoastem mai sus triunghiul lui Pascal. Un sir de numere reale se poate gandi ca o matrice infinita cu o sigura linie X = [x 0,x ] Prodususl Y = XA este o matrice infinita cu o singura linie unde y n = Y = [y 0,y, ], x, n 0. Pentru a calcula matricea inversa a lui A folosim din nou formula lui Newton (x n = ( n x si deducem ca matricea inversa a lui A este ( 0 0 ( ( 2 0 0 ( 3 0 ( 0 ( 2 ( 3 B = A = ( 0 0 2 2 ( 3 2 ( 0 0 0 3 3 Rezulta ca.. X = (XAA = Y B,.....

26 LIVIU I. NICOLAESCU si deci x n = ( n y. Rezulta de aici formula de inversiune binomiala (comparati cu Exercitiul 3.5(b. y n = x, n 0 x n = ( n y, n 0. (5.7 Exerciţiul 5.. Consideram doua siruri de numere reale {x n } si {y n }. Formam seriilor lor generatoare de tip exponential x(t = t n x n n!, y(t = t n y n n!. Aratati ca y n = si deduceti de aici formula de inversiune binomiala. x, n 0 y(t = e t x(t Definiţia 5.2. Dat fiind un sir bazic {p n (x } cu reper R, definim L : R[x] R[x], L := RD x R si il vom numi operatorul fundamental al sirului {p n (x}. Propoziţia 5.3. Fie un sir basic normalizat {p n (x} cu operator fundamental L. Atunci au loc urmatoarele. (a L este un operator diferential care satisface Lp n = np n, n. (5.8 (b Daca L este un operator diferential care satisface (5.8, atunci L = L. Demonstraţie. (a Fie p un polinom de grad n. Atunci L(p = RD x (R p. Din (5.6 deducem ca grad R p = n, si prin urmare, Folosind (5.5 deducem ca grad D x (R p = n. grad Lp = grad RD x (R p = (n care arata ca L este operator diferential. Sa observam acum ca Lp n = RD x (R p n = RD x (x n = nrx n = np n (x. (b Fie L un operator diferential care satisface (5.8. Definim S = R LR. Atunci Aceasta arata ca Sx n = R (Lp n = R (np n = nx n. Sq = D x q, q R[x].

Cu alte cuvinte METODA FUNCTIILOR GENERATOARE 27 R LR = D x = L = RD x R = L. Exemplul 5.4. Operatorul fundamental al sirului {x n } este operatorul obisnuit de derivare D x. Deoarece [x] n = [x + ] n [x] n = n[x] n, deducem ca operatorul fundamental al sirului {[x] n } este. Propoziţia 5.5. Orice operator diferential L este operatorul fundamental al unui unic sir bazic normalizat. Demonstraţie. Vom construi inductiv un astfel de sir. Unicitatea va rezulta imediat din metoda de constructie. Vrem sa construim un sir bazic normalizat {p n (x}, astfel incat Lp n = np n, n. p 0 este unic determinat pentru ca p 0 =. Presupunem ca am determinat p 0,...,p n, si dorim sa-l gasim pe p n. Observam ca p 0,p,...,p n formeaza o baza a spatiului R[x] n constand din polinoame de grad n. Cautam p n sub forma p n (x = ax n + c n p n (x + + c p (x + c 0. Deoarece dorim ca p n (0 = 0, si deja stim ca p (0 = 0, n, deducem ca c 0 = 0. Polinomul L(x n are gradul n, si deci admite o descompunere de forma L(x n = l 0 + l p (x + + l n p n (x, l n 0. Coeficientii l i trebuiesc ganditi ca fiid cunoscuti, pentru ca operatorul L este cunoscut. Dorim sa determinam numarul a si coeficentii c in functie de numerele l i. Deducem ca n np n (x = Lp n (x = al(x n + c p (x = n = al n p n (x + (al + c p (x Rezulta a = n, c = al = nl, =,...,n. l n l n Propozitiile 5.3 si 5.5 implica existenta unei bijectii = operatori diferentiali siruri bazice normalizate. Aceasta bijectie va juca un rol fundamental in cele ce urmeaza. Sa consideram un sir bazic normalizat {p n (x} cu operatorul de referinta R si operator fundamental L. Sa observam ca L p m = [m] p m, 0 < n. In particular, deducem ca Prin urmare (L p m x=0 = p m (x = 0 { n! = m 0 m. (L p m x=0 p (x.!.

28 LIVIU I. NICOLAESCU Daca inmultim egalitatea de mai sus cu o constanta q m, si apoi sumam dupa m = 0,...,n obtinem q 0 p 0 (x + + q n p n (x = ( L (q 0 p 0 (x + + q n p n (x x=0p (x.! 0 Sa notam Deducem Din Corolarul 5.9 deducem ca q(x := q 0 p 0 (x + + q n p n (x. q p (x = q(x = ( L q(x x=0p (x.! 0 0 ( L q(x x=0 q =.! Corolarul 5.6. Fie {p n (x} un sir bazic normalizat cu operatorul fundamental L. Atunci pentru orice polinom q(x de grad n are loc descompunerea q(x = A (qp (x, A (q :=!( L q x=0 p. In particular, daca q = {q n (x} este un sir bazic, atunci matricea de tranzitie de la p la q este descrisa de numerele a n = A (q n = ( L q n! x=0. Rezultatul de mai sus pune in evidenta o aplicatie S : R[x] R, p(x = p(0. Aceasta aplicatie se numeste aplicatia de specializare in 0. Mai general, pentru orice a R definim S a : R[x] R, S a p := p(a, p R[x]. S a se numeste aplicatia de specializare in a. Concluzia Corolarului 5.6 se poate rescrie q(x = 0! S(L qp (x, q R[x] (5.9 Remarca 5.7. Putem folosi ultima egalitate pentru a reformula constructia sirul bazic normalizat {p n } asociat unui operator diferential L descrisa in Propozitia 5.5. Mai exact, avem si folosind (5.9 deducem formula inductiva p 0 =, (n +! SLn+ (x n+ p n+ (x = x n+! SL (x n+ p (x Reamintim ca expresiile SL (x sunt numere reale care se obtin calculand valoarea in x = 0 a polinomului L (x n+ care are gradul n +.

METODA FUNCTIILOR GENERATOARE 29 Exemplul 5.8 (Numerele Stirling de tipul 2. Sa consideram sirul bazic normalizat {[x] n }. Atunci, pentru orice intreg nenegativ are loc o descompunere x n = S,n [x], x R. Numerele (S,n = n! ( d dx [x] n x=0 se numesc numerele Stirling de tipul 2. Matricea S = (S,n 0,n este matricea tranzitiei de la sirul bazic {[x] n } la sirul bazic {x n }. Numere Stirling de tipul 2 sunt numere intregi pozitive care au o interpretare combinatorica foarte interesanta. Sa consideram o multime finita N de cardinal N = n, si o multime finita R de cardinal R = r. Notam cu R N multimea tuturor functiilor f : N R. Dupa cum este bine cunoscut, R N = r n. Pentru orice submultime K R notam cu Sur(N, K multimea surjectiilor N K. Cardinalul multimii Sur(N,K depinde doar de cardinalul n a lui N si de cardinalul a multimii K. Sa notam c,n := Sur(N,K, n := N, := K. Vrem sa aratam ca c,n =!S,n. Intr-adevar avem r n = R N = Sur(N,K = K R Prin urmare, au loc egalitatile S,n [r] = r n = K R, = K c,n = ( r c,n = c,n! [r], n,r Z, n,r. [r]! c,n. De aici rezulta egalitatea!s,n = Sur(N,K, n = N, = K. Acum putem oferi o interpretare combinatorica a numerelor S,n. Sa presupunem ca avem n bile diferite si vrem sa le distribuim in cutii identice astfel incat fiecare cutie contine cel putin o bila. Afirmam ca numarul acestor distributii este exact S,n. Etichetam bilele cu numere {,2,...,n} si cutiile cu numere {,2,...,}. Sa observam ca fiecarei surjectii f : {,2,...,n} {,...,} ii corespunde o distributie de bile proprietatile dorite: bila i se duce in cutia f(i. Pe de alta parte, doua surjectii f,g : {,2,...,n} {,...,} conduc la aceeasi distributie de bile daca putem obtine g din f printr-o re-etichetare a cutiilor, adica daca exista o permutare λ : {,2..., } {,2...,}, astfel incat, g = λ f. Deoarece exista! re-etichetari, deducem ca numar de distributii a n bile distincte in cutii identice astfel incat nici o cutie sa nu fie goala, este egal cu! Sur(N,K = S,n, n = N, = K.

30 LIVIU I. NICOLAESCU Exerciţiul 5.9. Folosind formula de inversiune binomiala (5.7 aratati ca numerele Stirling de tipul 2 satisfac egalitatea S n, = ( ( j j n.! j j=0 Exerciţiul 5.20. Sa formam serille formale de puteri S (t = S,n n! tn,. n (a Folosind definitia combinatorica a numerelor Stirling de tipul 2 aratati ca S,n = S,n + S,n si apoi deduceti ca S (t =! (et,. (b Demonstrati egalitatea de mai sus folosind functia generatoare a sirului binomial {[x] n }. 6. OPERATORI INVARIANTI LA TRANSLATII In aceasta sectiune vom investiga legatura stransa dintre sirurile binomiale si o clasa speciala de operatori diferentiali. Definiţia 6.. Un operator admisibil T Op se numeste invariant la translatii daca E h T = TE h, h R, unde reamintim ca E h este operatorul de translatie (E h p(x = p(x + h, p R[x]. Vom nota cu Op inv multimea operatorilor admisibili invarianti la translatii, iar cu DiffOp inv mutimea operatorilor diferentiali invarianti la translatii. Sa analizam putin conditia de invarianţă la translatii. Daca T Op, iar p R[x]], atunci pentru orice numar real h deducem din formula lui Taylor ca (E h p(x = p(x + h = h n n! D xp(x, si prin urmare In mod asemanator deducem (TE h p(x = (E h Tp(x = h n n! T(Dn x p(x. h n n! Dn x(tp(x. Rezulta ca T este invariant la translatii daca si numai daca h n n! T(Dn xp(x = h n n! Dn x(tp(x, h R, p R[x]. (6. Din egalitatea de mai sus deducem ca daca operatorul T comuta cu D x, i.e., TD x = D x T, atunci T este invariant la translatii.

METODA FUNCTIILOR GENERATOARE 3 Exemplul 6.2. Operatorii D x, sunt operatori diferentiali invarianti la translatii. Operatorul Bernoulli B este de asemenea un operator invaraint la translatii. Exerciţiul 6.3. (a Aratati ca daca S,T Op inv iar c R atunci cs, S + T, ST Op inv. Deduceti ca multimea Op inv cu operatiile de adunare si compunere este un inel cu unitate. (b Aratati ca daca L DiffOp inv atunci pentru orice serie formala u(t = u 0 + u t + R[[t]] operatorul admisibil u(l este invariant la translatii. In particular, operatorii de forma u(d x sunt invarianti la translatii. (c Aratati ca T Op este invariant la translatii daca si numai daca T comuta cu D. (Indicatie: Folositi identitatea D x p = lim h 0 h (E h ½p, p R[x]. Urmatorul rezultat arata de ce suntem interesati in operatori invarianti la translatii. Teorema 6.4. Sa presupunem ca {p n (x} este un sir bazic normalizat cu operator fundamental L. Atunci urmatoarele afirmatii sunt echivalente. (a L este invariant la translatii. (b {p n (x} este sir binomial. Demonstraţie. (a = (b. Sa observam ca p n (x + y = p (xp n (y, n 0, x,y R. p n (x + y = (E y p n (x. Acum folosim identitatea (5.9 in care q(x = (E y p n (x si deducem p n (x + y = (E y p n (x = 0! S(L E y p n p (x Deoarece L este invariant la translatii, deducem ca L E y = E y L, si prin urmare p n (x + y = 0! S(E yl p n p (x. Reamintindu-ne ca L este operatorul fundamental al sirului {p n (x}, deducem ca L p n = [n] p n. Pe de alta parte, pentru orice polinom p are loc egalitatea S(E y p = S y p = p(y. Deducem p n (x + y = 0 [n]! (S yp n p (x = p (xp n (y. 0 (b = (a. Stim deci ca {p n } este un sir binomial si trebuie sa aratam ca pentru orice polinom q are loc egalitatea E y Lq = LE y q, y R (6.2 Deoarece orice polinom q se scrie ca o combinatie liniara in polinoamle p n, q(x = q n p n (x, n R

32 LIVIU I. NICOLAESCU este suficient sa verificam egalitatea (6.2 doar in cazul special cand q(x este egal cu unul din polinoamle bazice p n (x. In acest caz avem n (E y Lp n (x = n(e y p n (x = np n (x + y = n p (xp (y Pe de alta parte, (E y p n (x = p n (x + y = p (xp n (y In egalitatea de mai sus y este fixat, iar numerele p n (y trebuiesc gandite ca fiind constante. Deducem (LE y p n (x = p n (y(lp (x = p n (yp (x. = n = ( n n p (xp n (yn p (xp (y = (E y Lp n (x. Sa presupunem ca L este un operator diferential invariant la translatii, iar {p n (x} este sirul basic asociat. Atunci {p n } este sir binomial si prin urmare satisface egalitatile p n (x + h = p n (xp (h =! (L p n (xp (h. 0 0 Daca fixam h putem rescrie egalitatea de mai sus sub forma E h p n = 0 Orice polinom p se scrie ca o combinatie liniara finita p (h L p n, n 0,.! p = c n p n. Deducem E h p = E h Am obtinut astfel urmatorul rezultat. n p n = c n E h p n = c = p (h L ( c n p n =! 0 0 c n ( 0 p (h L p.! p (h L p n! Propoziţia 6.5 (Formula lui Taylor generalizata. Sa presupunem ca L este un operator diferential invariant la translatii iar {p n (x} este sirul binomial asociat lui L. Atunci are loc egalitatea E h p = 0 p (h L p, p R[x].! Sa presupunem ca L DiffOp inv. Exercitiul 6.3 arata ca operatorii de forma u(l, u R[[t]], sunt operatori admisibili invarianti la translatii. Rezultatul care urmeaza va arata ca acestia sunt toti operatorii admisibili invarianti la translatii.