. ΑΣΚΗΣΕΙΣ - ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΗ.Να υπολογιστούν οι παράγωγοι των συναρτήσεων που ορίζονται από τους τύπους 9 7 b k bk θετικές σταθερές lo / /. Να υπολογιστούν η πρώτη και η δεύτερη παράγωγος των συναρτήσεων που ορίζονται από τους παρακάτω τύπους 7 b R b θετικές σταθερές b b. Να προσδιοριστούν τα b R ώστε η συνάρτηση b να είναι παραγωγίσιμη στο. Η ένταση του ηλιακού φωτός ελαττώνεται σύμφωνα με τον τύπο I I όπου I είναι η ένταση του φωτός στην επιφάνεια της λίμνης και I η ένταση του φωτός σε βάθος. Να υπολογιστεί ο ρυθμός μεταβολής του I ως προς. Σε ποιο βάθος ο ρυθμός μεταβολής θα μηδενιστεί;
. Ένας πληθυσμός από αρσενικές φώκιες αυξάνει σύμφωνα με την εξίσωση Βρείτε το ρυθμό αύξησης μετά από και χρόνια. Πότε επιτυγχάνεται ο μέγιστος ρυθμός αύξησης;. Έστω Ν ο αριθμός των αυγών που αποθέτει ένα πουλί. Το ποσοστό των νεογέννητων πουλιών που επιβιώνουν Ν είναι συνάρτηση του Ν. Ο συνολικός αριθμός των νεογέννητων που επιβιώνουν είναι SΝ=Ν. Να βρεθεί πόσα νεογέννητα θα επιβιώσουν όταν ένα πουλί αποθέτει ή αυγά. Να βρεθεί S Ν. Να γίνει η γραφική παράσταση της SΝ. Ποια νομίζετε ότι είναι η καλύτερη στρατηγική για κάθε πουλί; Χρησιμοποιείστε τους παρακάτω τύπους για το Ν. α 8 β γ 7. Να βρεθούν τα όρια των παρακάτω συναρτήσεων καθώς το πλησιάζει το και καθώς το πλησιάζει το άπειρο. Χρησιμοποιείστε τον κανόνα του L Hopil κατάλληλα. / 8. Να βρείτε τα κρίσιμα σημεία των παρακάτω συναρτήσεων. Χρησιμοποιήστε το κριτήριο της δεύτερης παραγώγου για να βρείτε τα τοπικά ακρότατα. c h b 9. Να βρεθούν τα ολικά μέγιστα και ελάχιστα των παρακάτω συναρτήσεων στο δοσμένο διάστημα. Να βρεθεί η καμπυλότητα και να γίνει η γραφική παράσταση των συναρτήσεων στο δοσμένο διάστημα. c h F. Να γίνει η μελέτη και η γραφική παράσταση των συναρτήσεων 8 W
Απαντήσεις. 7 9 7 9 9 k b k bk lo / / / / /. 7 b b R b R R b b b b b b b b b
. Για να είναι παραγωγίσιμη στο = θα πρέπει να είναι και συνεχής στο = δηλαδή lim lim. Θα πρέπει +b=ή b=-. Η συνάρτηση τότε γράφεται Η συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη στο = αν το όριο έχουμε: lim υπάρχει. Για τα μονόπλευρα όρια lim lim lim lim lim lim lim Το αμφίπλευρο όριο υπάρχει όταν =. Επομένως η είναι παραγωγίσιμη στο = για = και b = -.. Η ένταση του ηλιακού φωτός ελαττώνεται σύμφωνα με τον τύπο I I. O ρυθμός ελάττωσης di di της έντασης του φωτός με το βάθος είναι I. lim ασυμπτωτικά πλησιάζει το. d d. Ο ρυθμός αύξησης του πληθυσμού είναι: 7. Αρχικά ο ρυθμός αύξησης του πληθυσμού είναι φώκιες / χρόνο. Μετά από ένα χρόνο 7 φώκιες / χρόνο. Μετά από δύο χρόνια 87.9 φώκιες / χρόνο. Πιθανό μέγιστο όταν. Αυτό συμβαίνει όταν. Επειδή για και για ο ρυθμός αύξησης είναι μέγιστος... τη χρονική στιγμή και ισούται με 9 φώκιες / χρόνο..
. α S=9 S= S=. S =-. Κάθε πουλί θα πρέπει να αποθέσει περίπου έξι αυγά για να μεγιστοποιήσει τον αριθμό των νεογέννητων που επιβιώνουν η συνάρτηση S παίρνει μέγιστο στο Ν=. β S=7 S= S=7. S =/+ που είναι πάντα θετική. Φαίνεται ότι κάθε πουλί θα πρέπει να αποθέτει όσο πιο πολλά αυγά μπορεί. γ S=9 S= S=9. S =-Ν /+Ν. Φαίνεται ότι κάθε πουλί θα πρέπει να αποθέσει περίπου τρία αυγά για να μεγιστοποιήσει τον αριθμό των νεογέννητων που επιβιώνουν η συνάρτηση S παίρνει μέγιστο στο. 7. lim lim lim lim L' Hopil lim lim lim lim lim lim lim lim lim lim lim L' Hopil lim lim lim lim lim lim / / / lim lim lim lim lim 8. H είναι θετική σ όλο το πεδίο ορισμού της συνάρτησης. Δεν υπάρχουν κρίσιμα σημεία. =/ είναι κρίσιμο σημείο. Η συνάρτηση έχει τοπικό μέγιστο στο =/. c c = - και = είναι κρίσιμα σημεία. c -= - c =. Η συνάρτηση έχει τοπικό μέγιστο στο = - και τοπικό ελάχιστο στο =.
Τα κρίσιμα σημεία είναι = - και =. -=/ = -/. Η συνάρτηση έχει τοπικό ελάχιστο στο = - και τοπικό μέγιστο στο =. h h Η h γίνεται μηδέν μόνο για =. Επειδή h => η συνάρτηση έχει τοπικό ελάχιστο στο =. b b Τα κρίσιμα σημεία είναι = - και =. b -=-/ b =. Η συνάρτηση έχει τοπικό μέγιστο στο = - και τοπικό ελάχιστο στο =. 9. Οι παράγωγοι των συναρτήσεων έχουν υπολογιστεί στην άσκηση 8. Η συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα στο [] και έχει ολικό μέγιστο στο = και ολικό ελάχιστο στο = τα άκρα του διαστήματος. Το γράφημα της είναι κοίλο < Η συνάρτηση έχει ολικό μέγιστο στο =/ / =/ και ολικά ελάχιστα στο = και = = =. Το γράφημα της είναι κοίλο < Η συνάρτηση c είναι γνησίως αύξουσα στο -- και και γνησίως φθίνουσα στο -. Έχει ολικό μέγιστο στα σημεία = - και = c-=c= και ολικό ελάχιστο στα = - και = c-=c=-. Το γράφημα της c είναι κοίλο για αρνητικές τιμές του c < και κυρτό για θετικές τιμές του c >. Η συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα στο και γνησίως φθίνουσα στο. Επίσης = =/ και =/. Η συνάρτηση έχει ολικό μέγιστο στο = και ολικό ελάχιστο στα =. Το γράφημα της είναι κοίλο στο διάστημα και κυρτό στο.
7 Η συνάρτηση h είναι γνησίως αύξουσα στο [] και έχει ολικό μέγιστο στο = και ολικό ελάχιστο στο = τα άκρα του διαστήματος. Το γράφημα της h είναι κυρτό h > F F Η συνάρτηση F είναι γνησίως φθίνουσα στο και γνησίως αύξουσα φθίνουσα στο. H F δεν είναι παραγωγίσιμη στο =. Η συνάρτηση έχει ολικό ελάχιστο στο = και ολικά μέγιστα στα άκρα του διαστήματος = και =.. 8 8 Στο = η συνάρτηση έχει ελάχιστο. Η ευθεία = - είναι κατακόρυφη ασύμπτωτη. Μέγιστο στο =. Σημεία καμπής = - και =. = οριζόντια ασύμπτωτη.
8 8 W W W Σημείο καμπής στο =/.