MEHANIKA KOTRLJANJA TOČKA Kako se određuje smer tangencijalne reakcije?
MEHANIKA KOTRLJANJA TOČKA Smer reakcije je uvek suprotan dejstvu koje teži da izazove klizanje! Sve ovo važi bez obzira na smer ugaone brzine! Aktivno spoljno dejstvo (sila ili moment) teži da izazove klizanje točka. Tangencijalna reakcija podloge se po smeru suprotstavlja tom klizanju.
MEHANIKA KOTRLJANJA TOČKA Kotrljanje krutog točka po krutoj podlozi F C M,ω C T M pogonski moment ω - ugaona brzina F C sila kojom vozilo deluje na točak T tangencijalna reakcija podloge na dejstvo M i F C J C ω = M r T m x = m r ω = T F C M > 0 pogonski točak M = 0 slobodan točak M < 0 kočeni točak Ulazne veličine: M, F C Odrediti: T, ω M r FC & = = J + mr ω 2 C T = M 1 r J C J & x r C + mr Nije ucrtano a podrazumeva se da postoji: vertikalno opterećenje točka i vertikalna reakcija podloge! 2 + F C J C J C + mr 2
MEHANIKA KOTRLJANJA TOČKA Kotrljanje krutog točka po krutoj podlozi Za M > 0 F C M,ω C Slučajevi: T M r FC & = = J + mr ω 2 C & x r T = M 1 r za ω = 0 biće: M < r F C ω < 0 trenutno ne razmatramo... M = r F C ω = 0, T = T statičko M > r F C ω > 0, T < T statičko J C J M T = r C + mr 2 + F C J C J C + mr - statička reakcija! Slučajevi: F C = 0...(nije realno za vozilo!) M = 0...(slobodan točak!) Dovedeni moment je u celini na raspolaganju za realizaciju tangencijalne reakcije T (na račun koje se savlađuje sila F C!) 2 Deo dovedenog momenta se potroši na ugaono ubrzanje, a ostatak je na raspolaganju za reakciju T (na račun koje se savlađuje sila F C!) Pri ubrzanom kretanju važi: veće J C manje T (pri konstantnom M!) manje F C koje možemo da savladamo!
MEHANIKA KOTRLJANJA TOČKA Kotrljanje krutog točka po krutoj podlozi M,ω Isto to, na drugi način... F C C T M r FC & = J + mr & x r J + & C ω = (m ) x = F 2 2 C C r r M Uočiti analogiju sa zakonom kretanja materijalne tačke! Ubrzavanje: E K = E K,transl + E Kr,ot m + J C /r 2 ekvivalentna masa M - pogonska (ili obimna ) sila r
MEHANIKA KOTRLJANJA TOČKA Kotrljanje točka po deformabilnoj podlozi Kretanje van tvrdih puteva ne spada u problematiku kursa!
MEHANIKA KOTRLJANJA TOČKA Kotrljanje deformabilnog točka po krutoj podlozi Realan slučaj! Razlika u odnosu na prethodno razmatrani slučaj: unutrašnje trenje u pneumatiku energetski gubici! POJAVA OTPORA KOTRLJANJA
VISKOELASTIČNOST GUME Efekat istovremenog prisustva elastičnog i viskoznog dejstva Gumeni uzorak ispitujemo naizmeničnim istezanjem i sabijanjem Izvor: Nadine Koprowski-Theiß, dr. dis.
VISKOELASTIČNOST GUME HISTEREZIS mera energetskih gubitaka usled unutrašnjeg trenja F Pri opterećivanju uzorka savlađujemo elastičnu silu i silu unutrašnjeg trenja F δ δ Pri rasterećivanju vraća nam se rad elastične sile, ali sada taj rad savlađuje i silu unutrašnjeg trenja Sila pri rasterećivanju je manja za istu veličinu deformacije Razlika mera gubitaka
MEHANIKA KOTRLJANJA TOČKA Vertikalno opterećenje deformabilnog točka koji miruje na krutoj podlozi Raspodela opterećenja je simetrična Rezultanta je sučeona sa spoljnim opterećenjem Sistem je u statičkoj ravnoteži ELASTIČNA SILA JE TIM VEĆA ŠTO JE VEĆA DEFORMACIJA L F = C L
MEHANIKA KOTRLJANJA TOČKA Kotrljanje deformabilnog točka po krutoj podlozi v F = -k v MODEL PRIGUŠNA SILA DISIPATIVNI OTPOR (rasipanje energije) HISTEREZIS L F = C L ELASTIČNA SILA KONZERVATIVNI OTPOR (pri rasterećivanju vraća mehanički rad uložen pri opterećivanju)
Kotrljanje deformabilnog točka po krutoj podlozi uticaj histerezisa ULAZAK U ZONU KONTAKTA: ELASTIČNA + PRIGUŠNA SILA IZLAZAK IZ ZONE KONTAKTA: ELASTIČNA - PRIGUŠNA SILA F PRIG F REZ F PRIG F EL F EL F REZ POSLEDICA: ASIMETRIČNA RASPODELA VERTIKALNE REAKCIJE
Kotrljanje deformabilnog točka po krutoj podlozi uticaj histerezisa Težište krive zakonitosti kontinualnog opterećenja se premešta ISPRED ose simetrije točka, a time i rezultujuća vertikalna reakcija! Posledica: vertikalna reakcija stvara moment koji se suprotstavlja kotrljanju točka NASATANAK OTPORA KOTRLJANJA (OTPOR HISTEREZISA) Ovo važi uvek! (pogonski, kočeni, slobodan točak) Ovo važi uvek! (pogonski, kočeni, slobodan točak) Tj. položaj vertikalne reakcije određen je samo smerom obrtanja ali ne i smerom dejstva momenta na točak!
Kotrljanje deformabilnog točka po krutoj podlozi Kolika je tangencijalna reakcija u pojedinim slučajevima? Slobodan točak Pogonski točak Kočeni točak Ustaljeno kretanje Ubrzano ili usporeno kretanje
Kotrljanje deformabilnog točka po krutoj podlozi Radijus deformisanog pneumatika Slobodni radiujus: r 0 Statički radijus: r ST = r 0 f (f radijalni ugib pneumatika duž vertikalne ose) r ST Dinamički radijus: r D = O K / (2π) (O K obim kotrljanja) U opštem slučaju je r D r ST! trenutni centar se u opštem slučaju ne podudara sa sredinom kontaktne površine Statički radijus predstavlja krak tangencijalne reakcije podloge u odnosu na centar točka. Dinamički radijus povezuje obrtno (ω) sa translatornim (v) kretanjem točka. r ST može da se izmeri geometrijski r D određuje se ispitivanjem točka u kotrljanju
Kotrljanje deformabilnog točka po krutoj podlozi Dinamički radijus pneumatika Određuje se ispitivanjem Navodi se u katalogu proizvođača Posledica složene deformacije oboda pneumatika r D r ST U eksploataciji su varijacije male, deklarisana vrednost se može smatrati konstantnom sa zadovoljavajućom tačnošću USVOJIĆEMO POJEDNOSTAVLJENJE: r D r ST!
Kotrljanje deformabilnog točka po krutoj podlozi Odnos dinamičkog i statičkog radijusa pneumatika Primer 1: Izvor: Adams 2012, Using PAC2002 Tire Model Primer 2: traktorski točak 480/70 R 24, pritisak 1,5 bar Promena G T sa 10kN na 20kN promena r D za 2% Izvor: Ferhadbegović, Böhler
Kotrljanje deformabilnog točka po krutoj podlozi NEPOGONSKI TOČAK (slobodno kotrljanje) ω SILE KOJE DELUJU NA TOČAK: F X A G T R X r D G T vertikalno opterećenje točka R Z vertikalna reakcija podloge F X horizontalna reakcija između vozila i točka (ovde: sila kojom vozilo povlači točak) R X tangencijalna reakcija između točka i podloge e ekscentricitet vertikalne reakcije r D dinamički radijus točka R Z e U daljim razmatranjima će za krak tangencijalne sile biti usvojen r D, na osnovu približne jednakosti r D r ST
Kotrljanje deformabilnog točka po krutoj podlozi NEPOGONSKI TOČAK (slobodno kotrljanje) ω Ustaljeno kretanje (statika): ΣZ i R Z = G T G T ΣX i R X = F X ΣM A e R Z = r D F X /r D F X R Z A R X r D e rd R X = e G r D T = f koeficijent otpora kotrljanja e Koeficijent f empirijsko određivanje odnosa e/r D uz uzimanje u obzir ostalih uzroka nastanka otpora kotrljanja točka. f G T F ft SILA OTPORA KOTRLJANJA TOČKA
Kotrljanje deformabilnog točka po krutoj podlozi NEPOGONSKI TOČAK (slobodno kotrljanje) F X A ω G T f G T F ft SILA OTPORA KOTRLJANJA TOČKA Sila otpora kotrljanja proporcionalna je koeficijentu otpora kotrljanja i vertikalnom opterećenju točka. r D R X e G = T= f G r T = F ft D R Z e R X Tangencijalna reakcija slobodnog točka jednaka je sili otpora kotrljanja. Obično je f 0,01 detaljnije u nastavku...
Kotrljanje deformabilnog točka po krutoj podlozi NEPOGONSKI TOČAK (slobodno kotrljanje) ω F X = R X = f G T = F ft G T aktivna sila koju moramo saopštiti slobodnom F X točku da bi se kotrljao A r D R Z e R X Uslov za nastanak sile R X je trenje (prijanjanje) između točka i podloge - na podlozi bez trenja slobodan točak se ne bi kotrljao već bi klizao translatorno!
Kotrljanje deformabilnog točka po krutoj podlozi POGONSKI TOČAK PRI USTALJENOM KRETANJU (v=const) M T ω G T M T pogonski obrtni moment na točku F X horizontalna reakcija između vozila i točka (ovde: sila kojom vozilo zadržava točak) F X r D ΣZ i R Z = G T R X ΣX i R X = F X ΣM A M T = e R Z + r D F X /r D R Z e M T FO r definicija D F O obimna (vučna) sila na točku fiktivna (tj. računska) veličina!
Kotrljanje deformabilnog točka po krutoj podlozi POGONSKI TOČAK PRI USTALJENOM KRETANJU (v=const) M T ω G T R Z = G T, R X = F X M T = e G T + r D R X /r D R X = M r D T e r D G T R X F X r D R X = F O F f stvarna tangencijalna reakcija na pogonskom točku R Z e Tangencijalna reakcija pogonskog točka jednaka je obimnoj sili (tj. odnosu pogonskog momenta i dinamičkog radijusa točka), umanjenoj za vrednost sile otpora kotrljanja.
Kotrljanje deformabilnog točka po krutoj podlozi POGONSKI TOČAK PRI UBRZANOM KRETANJU (a>0) M T ω UTICAJ MOMENTA INERCIJE Druga jednačina ravanskog kretanja za točak: G T J ω& = r R M + M C D X f T R X F X r D MT M f = e G T FO ω& > 0 r D R Z e R X = F O - F f - JC ω& r D stvarna tangencijalna reakcija na pogonskom točku pri ubrzanom kretanju Deo pogonskog momenta saopštenog točku se troši na savlađivanje MOMENTA INERCIJE tj. na ubrzanje obrtnih masa, drugi deo se troši na savlađivanje sopstvenog otpora kotrljanja točka; ostatak R X je na raspolaganju za savlađivanje otpora F X i transl. ubrzanje točka
Kotrljanje deformabilnog točka po krutoj podlozi KOČENI TOČAK PRI USTALJENOM KRETANJU (v=const) M K ω G T Slučaj: kočenje na nizbrdici radi održavanja brzine M K kočni moment na točku F X horizontalna reakcija između vozila i točka (ovde: sila kojom vozilo gura točak) F X r D ΣZ i R Z = G T ΣX i R X = F X ΣM A r D F X = M K + e R Z /r D R X R Z e MK r D F K definicija F K kočna sila na točku fiktivna (računska) veličina!
Kotrljanje deformabilnog točka po krutoj podlozi KOČENI TOČAK PRI USTALJENOM KRETANJU (v=const) M K ω G T R X = M r D K + e r D G T F X r D R X = F K + F f stvarna tangencijalna reakcija na kočenom točku R Z e R X Tangencijalna reakcija kočenog točka jednaka je odnosu kočnog momenta i dinamičkog radijusa točka, uvećanom za vrednost otpora kotrljanja.
Kotrljanje deformabilnog točka po krutoj podlozi KOČENI TOČAK PRI USPORENOM KRETANJU (a<0) M K ω UTICAJ MOMENTA INERCIJE Druga jednačina ravanskog kretanja za točak: G T J C ω& = r D R X M M f K F X r D M f = e G T F K M r D K ω& < 0 R X R Z e R X = F K + F f - J C ω& r D stvarna tangencijalna reakcija na kočenom točku pri usporenom kretanju Analogija sa ubrzanjem: deo kočnog momenta se troši na usporavanje obrtnih masa, ostatak je na raspolaganju za translatorno usporenje R X ; otpor kotrljanja pomaže kočenju!
OTPOR KOTRLJANJA TOČKA
Raspored kontaktnih pritisaka za radijalni i dijagonalni pneumatik DIJAGONALNI PNEUMATIK RADIJALNI PNEUMATIK INFORMATIVNO Izvor: Walentowitz SMER KRETANJA SMER KRETANJA Pojednostavljeni prikaz
Otpor kotrljanja točka vrednosti i uticajni faktori 1000 kg 10 kg ZA PROSEČAN PNEUMATIK NA PROSEČNOJ TVRDOJ PODLOZI I DO ODREĐENE BRZINE VAŽI: f 0 0,01 Šta tačno znači do određene brzine? u nastavku... Orijentaciono 100 km/h
Otpor kotrljanja točka vrednosti i uticajni faktori INFORMATIVNO ORIJENTACIONE VREDNOSTI ZA f (za male brzine)
Otpor kotrljanja točka vrednosti i uticajni faktori UTICAJ BRZINE Pri početnom porastu brzine za širi dijapazon blag porast; pri većim brzinama nagli! Izvor: Genta/Morello
Otpor kotrljanja točka vrednosti i uticajni faktori UTICAJ BRZINE Izvor: Reimpell
Otpor kotrljanja točka vrednosti i uticajni faktori UTICAJ BRZINE Empirijska relacija opšti oblik: f = C 0 +C 1 v+c 2 v 2 +C 3 v 3 +C 4 v 4 +... Primer: f = f 0 +C 1 v+c 2 v 4, v (km/h) f 0 = 0,01 C 1 = 5,42 10-6 C 2 = 1,05 10-11
Otpor kotrljanja točka vrednosti i uticajni faktori UTICAJ BRZINE Izvor: Genta / Morello Šta ograničava maksimalnu brzinu kretanja za određeni pneumatik? Formira se stojeći deformacijski talas koji dovodi do razaranja pneumatika! Pri neodgovarajućim pritiscima može doći do pregrevanja i devulkanizacije zbog pretvaranja deformacijskog rada u toplotu!
Otpor kotrljanja točka vrednosti i uticajni faktori UTICAJ PRITISKA Viši pritisak manja deformacija manji otpor kotrljanja Vrednosti ograničene zahtevima za prijanjanje, udobnost, habanje Izvor: Genta / Morello
Otpor kotrljanja točka vrednosti i uticajni faktori UTICAJ BRZINE I OPTEREĆENJA ZA PNEUMATIKE KOMERCIJALNIH VOZILA INFORMATIVNO Izvor: Genta / Morello, Walentowitz p = 7,5 bar Moguće objašnjenje za pad f sa porastom v: merenja vršena u stacionarnom stanju uticaj povišene temperature, pritisak porastao u odnosu na nazivni Uticaj temperature objašnjenje u nastavku
Otpor kotrljanja točka vrednosti i uticajni faktori UTICAJ VERTIKALNOG OPTEREĆENJA INFORMATIVNO Povećanje opterećenja: analogno sniženju pritiska (dužina kontaktne zone raste) Za v = 30 km/h = const Izvor: Genta / Morello Empirijska relacija: Uticaj pritiska i opterećenja na f se ne razmatra računski pod pretpostavkom da je pritisak prilagođen datom opterećenju! (defleksija ostaje približno ista)
Otpor kotrljanja točka vrednosti i uticajni faktori UTICAJ TEMPERATURE INFORMATIVNO f T Q ; T p f - do formiranja ravnotežnog stanja f 0.012 C(r) 0.011 0.01 0.009 0.008 0.007 0.006 0.005 0.004 0.003 t (s) Izvor: B.Wagner Primer: za brzinu od 140 km/h ravnotežna temperatura je reda veličine 100 C (Genta / Morello, str. 84)
Otpor kotrljanja točka vrednosti i uticajni faktori UTICAJ KONSTRUKTIVNIH PARAMETARA PNEUMATIKA Koeficijent f opada sa: INFORMATIVNO povećanjem dimenzija pneumatika smanjenjem odnosa visine prema širini (ukrućenje boka, manji histerezis) poboljšanjem sastava smeše gume smanjenje histerezisa Struktura otpora histerezisa: 50% - gazeći sloj 20% - pojas 10% - karkasa 10% - bok
Otpor kotrljanja točka vrednosti i uticajni faktori UTICAJ VRSTE I STANJA PODLOGE neravna podloga povećan histerezis prisustvo vlage (otpor vodenog filma, prilepljivanje pneumatika za tlo) meka podloga uticaj deformacije 0.4 f (-) 6.00-16 0.3 0.2 Pesak 7.50-28 0.1 Beton Srednje tvrda zemlja 0 100 200 300 Pritisak vazduha (kpa)
Otpor kotrljanja točka ostali izvori nastanka bočno povođenje točka ( scrubbing off speed ) geometrija točka (bočni nagib, usmerenost) prisustvo primesa na čvrstoj podlozi (potiskivanje vodenog filma, sloja peska i sl.) kratkotalasne neravnine podloge (pojačan uticaj histerezisa) trenje klizanja u kontaktnoj površini (tangencijalne def. u gazećem em sloju) trenje u ležaju točka zaostali moment kočenja itd.
OTPOR KOTRLJANJA - REZIME f 0,01 v Glavni eksploatacioni faktori koji utiču na otpor kotrljanja: brzina pritisak vertikalno opterećenje RAZMATRA SE RAČUNSKI OBIČNO SE NE RAZMATRAJU RAČUNSKI smatra se da su međusobno usklađeni