DINAMIKA. (Njutnovi zakoni, Ravnomerno kružno kretanje, inercijalne sile, dinamika rotacije)

Transcript

1 DINAMIKA (Njutnovi zakoni, Ravnomerno kružno kretanje, inercijalne sile, dinamika rotacije) 1. a) Koliku masu ima olovna kugla prečnika 2 cm? Gustina olova je kg/m 3. Koliki je impuls te kugle ako se njen centarkreće brzinom 10 m/s? Rešenje: m=47 g b) Koliki impuls ima gvozdena kocka ivice 5 cm koja, krećući se ravnomerno, pređe 5 m za 2 s? Gustina gvožđa je 7900 kg/m 3. Rešenje: p=0,47 kg m/s 2. a) Na telo koje miruje počne da deluje sila od 0,5 N. Posle kolikoo vremena će telo da ima impuls 5 kg m/s? Rešenje: t=10 s b) Impuls tela promeni se za 2 s sa 8 kg m/s na 12 kg m/s. Kolika sila je delovala na telo? Rešenje: 2 N 3. Metak mase 1 g uleće u dasku brzinom od 400 m/s, a izleće iz nje brzinom od 350 m/s. Ako se metak kroz dasku kretao 0,1 ms, kolika je srednja sila kojom je daska delovala na metak? Rešenje: F=500 N 4. a) Na telo mase 40 g deluju sile istih inteziteta 0,2 N. Ugao između pravaca delovanja sila je 120 o. Koliko je ubrzanje tela? Rešenje: a= 5 m/s 2 b) Na telo mase 2 kg deluju u međusobno normalnim pravcima sile od 3 N i 4 N. Koliko je ubrzanje tela? Rešenje: a= 2,5 m/s 2

2 5. Naći ubrzanje tela i silu zatezanja niti u sistemu prikazanom na slici ako je m 1 =2 kg i m 2 =4 kg. Mase niti i kotura, kao i trenje su zanemarljivi. Rešenje: a=3,3 m/s 2 ; F=13,3 N 6. Pod dejstvom sile 9 N, telo mase 300 g kreće se po kružnoj putanji prečnika 60 cm. Koliki je period tog kretanja? Rešenje: T=0,6 s 7. Za plafon lifta koji se kreće ubrzano naviše obešena je elastična opruga na čijem donjem kraju je teg. Koje sile deluju na teg u inercijalnom referentnom sistemu, a koje u referentnom sistemu vezanom za lift? Rešenje: INERCIJALNI SITEM: ma=f e -mg ; SISTEM VEZAN ZA LIFT: F i +mg=f e 8. Naći moment inercije i moment impulsa rotacije Zemlje oko svoje ose. Zemlju smatrati homogenom kuglom, poluprečnika 6370 km i mase 5,96x10 24 kg. Rešenje: I=9,7x10 37 kg m 2 ; L=7x10 33 kg m 2 /s 9. Koliko je ugaono ubrzanje točka momenta inercije 1 kg m 2 kada na njega deluje moment sile 0,5 Nm? Rešenje: α=0,5 rad/s Za koliko se promeni moment impulsa valjka kada na njega tokom 5 sekundi deluje moment sile 1 Nm? Rešenje: L=5 kg m 2 /s 11. Maseni točak ima moment inercije 70 kg m 2. Koliko je ugaono ubrzanje ako se za 10 sekundi ugaona brzina točka ravnomerno povećava od 0 do 30 rad/s? Koliki moment sile pri tome deluje na točak? Rešenje: α=3 rad/s 2 ; M=210 Nm

3 12. Zamajac momenta inercije 245 kg m 2 rotira učestanošću 20 s -1. Nakon jednog minuta od prestanka delovanja momenta sile koji je dovodio do rotacije, zamajac se zaustavi. Naći moment sila trenja i broj obrtaja zamajca do zaustavljanja. Rešenje: M=513 Nm ; N=600 obrtaja 13. Na disk poluprečnika 20 cm koji miruje počne da deluje tangencijalna sila 2 N. Posle koliko vremena će disk imati moment impulsa 1 kg m 2 /s? Rešenje: t=2,5 s 14. Zamajac rotira učestanošću 20 s-1 pri čemu je njegov moment impulsa 2000 kg m2/s. Kada prestane da deluje moment sile koji je dovodio do rotacije, zamajac se zaustavi posle 1000 obrtaja. Naći moment sila trenja i vreme koje protekne od prestanka delovanja obrtnog momenta do zaustavljanja. Rešenje: t=100 s ; M=20 Nm

4 3. DINAMIKA 3.6 DINAMIKA ROTACIJE MOMENT SILE Telo se može poistovetiti sa materijalnom tačkom samo kada se telo kreće translatorno. U slučaju rotacionog kretanja to se ne može učiniti. Uvodimo pojam krutog tela: Pod pojmom krutog tela podrazumevamo telo kod kojeg rastojanja između njegovih čestica (delića) ostaju stalna (nepromenjena) u toku delovanja sile (sila). Za opisivanje obrtanja tela koristimo veličinu koja se naziva moment sile i predstavlja proizvod intenziteta sile i kraka sile. Krak sile je najmanje (normalno) rastojanje od ose rotacije do pravca delovanja sile. Kod translatornog kretanja telo dobija ubrzanje duž pravca delovanja sile. Pravac delovanja sile (ili rezultante sila), a time i pravac kretanja tela kod translatornog kretanja nisu ograničeni (mogu biti proizvoljni). Da bi telo koje može da se obrće samo oko nepokretne ose ubrzano rotiralo sila ne može da deluje duž bilo kojeg već samo duž određenog pravca. Posmatraćemo slučaj rotacije tela oko ose čiji je položaj fiksiran u prostoru. Sila deluje na spoljašnji obod točka normalno na radijus. Veličina koja karakteriše rotaciju točka naziva se moment sile. Obično se označava sa. Intenzitet momenta sile u ovom slučaju je: Intenzitet momenta sile jednak je proizvodu intenziteta sile i najmanjeg rastojanja od ose rotacije do napadne tačke sile. U opštem slučaju sila nije normalna na radijus ali se može razložiti na dve komponente: jednu normalnu sa radijusom ( ) i jednu paralelnu sa radijusom ( ). Paralelna komponenta može translatorno da pomera osovinu ili da je deformiše ali nema uticaja na rotaciju, pa je intenzitet momenta sile jednak samo momentu njene normalne komponente.

5 U skladu sa definicijom intenziteta vektora koji je jednak vektorskom proizvodu druga dva vektora, moment sile se može smatrati vektorskim proizvodom vektora i što je prikazano na slici: Pravac momenta sile je normalan na ravan definisanu vektorima i, a smer momenta sile je određen pravilom desnog zavrtnja. Jedinica momnta sile je njutn puta metar (Nm). MOMENT INERCIJE Masa je mera inertnosti tela kod translatornog kretanja. Analogno tome, mera inertnosti kod rotacionog kretanja je moment inercije. Posmatramo dva diska, jedan aluminijumski a drugi gvozdeni istih poluprečnika. Treba delovati silom na obod diskova da bi oni rotirali jednakim ugaonim brzinama. Nije teško zaključiti da će za rotaciju diska od aluminijuma biti potrebna sila manjeg intenziteta. To znači da je gvozdeni disk inertniji, tj. da ima veću masu (da je tromiji). Ako su diskovi istih masa, to znači da je gvozdeni disk manjih dimenzija u odnosu na aluminijumski, pa je lakše zavrteti manji, u ovom slučaju, gvozdeni disk. U ovom slučaju, aluminijumski disk je inertniji. Slično važi i za disk i za prsten. Kada se na disk i prsten istih masa i poluprečnika deluje istim tangencijalnim silama, sporije će rotirati prsten, što znači da je on inertniji nego disk. Na osnovu navedenog zaključujemo da inertnost tela ne zavisi samo od mase nego i od raspodele mase u odnosu na osu rotacije. Zbog toga, za opisivanje inertnosti tela pri rotacionom kretanju, uvodimo novu veličinu koja se naziva moment inercije. Moment inercije je mera inertnosti tela pri rotacionom kretanju. Posmatramo točak koji rotira oko svoje ose simetrije. Izdelimo točak na deliće sa masama:,,,. Na svaki ta delić deluju odgovarajući momenti sila koji uslovljavaju rotaciju točka. Intenzitet momenta sile koji deluje na delić (česticu) mase, iznosi:

6 intenzitet tangencijalnog ubrzanja delića (čestice) koje je sa intenzitetom ugaonog ubrzanja povezan relacijom:. Zamenom u prethodnu jednačinu dobijamo: Izraz predstavlja moment inercije materijalne tačke (čestice, delića) u odnosu na osu rotacije koju označavamo sa. U opštem slučaju, moment inercije materijalne tačke u odnosu na neku osu iznosi: Moment inercije materijalne tačke u odnosu na neku osu jednak je proizvodu njene mase i kvadrata njenog rastojanja od te ose. Ukupan moment inercije tela (čestice) dobija se sabiranjem momenata inercije svih delića u odnosu na izabranu osu rotacije:, odnosno:, gde je Jedinica za moment inercije je kilogram puta metar na kvadrat ( ). Kada su tela homogena i pravilnog geometrijskog oblika, najjednostavnije je izračunati moment inercije u odnosu na osu koja prolazi kroz težište tela. Na slici su navedene formule momenta inercije za neka tela:

7 MOMENT IMPULSA Opšti zakon dinamike tela koje se kreće pravolinijski zapisuje se u obliku: Treba naći odgovarajuću relaciju u dinamici rotacije tela oko utvrđene ose. Pođemo li od intenziteta momenta sile u kojoj figuriše moment inercije: Gde je Ako ovu jednačinu zamenimo u prethodnu jednačinu za intenzitet momenta inercije dobijamo: U formulama i sila i moment sile su analogne veličine pa sledi da je impulsu kod translatornog kretanja analogna veličina koju nazivamo moment impulsa i najčešće je označavamo sa. Jedinica momenta impulsa je kilogram puta metar na kvadrat u sekundi. Impuls i moment impulsa su analogne veličine, kako po svojoj ulozi tako i po definiciji: impuls je proizvod mase i brzine tela, a moment impulsa je proizvod momenta inercije i ugaone brzine. Moment impulsa je vektorska veličina čiji se pravac i smer poklapaju sa pravcem i smerom ugaone brzine (vidi sliku).

8 MOMENT IMPULSA MATERIJALNE TAČKE Intenzitet momenta impulsa materijalne tačke mase koja se kreće po kružnoj putanji poluprečnika je: Pošto je, dobija se: Intenzitet momenta impulsa materijalne tačke koja se kreće po kružnoj putanji jednak je proizvodu intenziteta njenog impulsa i poluprečniku putanje. OSNOVNI ZAKON DINAMIKE ROTACIJE Ranije smo ustanovili da je osnovni Zakon dinamike translatornog kretanja (Drugi Njutnov zakon): Osnovni zakon dinamike rotacije je: F M Količnik promene momenta impulsa i vremenskog intervala u kome se ta promena desila (brzina promene momenta impulsa) jednak je momentu sile koja deluje na telo.

9 Kod rotacije oko fiksirane ose moment sile i moment impulsa imaju pravce ose rotacije. S obzirom na to, Zakon dinamike rotacije može da se zapiše i u skalarnom obliku: M ANALOGIJA IZMEĐU VELIČINA DINAMIKE TRANSLATORNOG I ROTACIONOG KRETANjA Kada uporedimo veličine i relacije koje karakterišu kretanje materijalne tačke (ili tela koje se kreće translatorno) s odgovarajućim veličinama i njihovim relacijama koje opisuju rotaciju tela oko određene ose, zapazićemo da među njima postoji analogija. Pri razmatranju rotacije tela oko ose u više navrata obraćali smo pažnju na ovu analogiju. Uporedne veličine i relacije za translaciju i rotaciju date su u tabeli.

10 4. STATIKA RAVNOTEŽA Oblast klasične mehanike u kojoj se proučavaju uslovi i vrste ravnoteže tela (materijalne tačke) naziva se statika. Za tela koja ne dobijaju ubrzanje iako na njih deluju sile nalaze se u stanju ravnoteže. Postoji statička i dinamička ravnoteža. 1. Statička ako telo na koje deluju sile ostaje u stanju mirovanja u odnosu na inercijalni referentni sistem. 2. Dinamička ako se telo kreće ravnomerno pravolinijski. U mehanici, a naročito u statici, ne obraća se pažnja na fizička svojstva i strukturu čvrstih tela, ukoliko se to izričito ne zahteva. Time se opravdava korišćenje pojma materijalne tačke. Pored toga, u statici postoji i pojam idealnog krutog tela (kraće kruto telo). Kruto telo je telo koje ne menja oblik i zapreminu pod delovanjem spoljašnjig sila. Razlikujemo tri položaja ravnoteže tela: 1. stabilna 2. labilna (nestabilna) 3. indiferentna VRSTE RAVNOTEŽE 1. Ako se telo izvede iz položaja ravnoteže, a potom, prepušteno samom sebi, ponovo vrati u prvobitan položaj, tada je taj položaj ravnoteže stabilan. 2. Telo se nalazi u nestabilnom (labilnom) položaju ravnoteže ako se izvedeno iz tog položaja, pa prepušteno samom sebi, nastavlja i dalje da se udaljava od prvobitnog položaja. 3. Ako se telo izvede iz indiferentnog u drugi položaj ono, prepušteno smaom sebi, ostaje i dalje u tom novom položaju. U tom slučaju je rezultanta težine tela i sile reakcije podloge uvek jednaka nuli.

11 POLUGA Poluga pripada vrsti prostih mašina. Kotur i točak su izvesne modifikacije poluge. Svako kruto telo koje može da se obrće oko tačke oslonca, odnosno ose obrtanja je primer poluge. U strogom smislu, pod polugom se podrazumeva šipka od čvrstog materijala čije se poprečne dimenzije mogu zanemariti u odnosu na njenu dužinu. Poluga je u ravnoteži kada je algebarski zbir momenata sila koje na nju deluju jednak nuli. TRENJE, SILA TRENJA Sila trenja ispoljava se u više oblika: sila trenja mirovanja, sila trenja klizanja, sila trenja kotrljanja i sila otpora sredine. SILA TRENJA MIROVANJA Na stolu se nalazi telo, na koje je zakačen dinamometar koji vučemo paralelno sa podlogom. Telo se nalazi u stanju mirovanja iako na njega deluju sile. Telo deluje silom pritiska na sto, ali delovanje te sile kompenzuje sila reakcije podloge (stola). Pored toga, deluju sila trenja FF tt i sila vuče FF kao na slici: Sa povećanjem sile vuče, povećava se sila trenja mirovanja sve dok se pri nekoj određenoj vrednosti te sile telo ne pokrene i ne počne da klizi. To znači da postoji maksimalna vrednost sile trenja mirovanja. Sila trenja mirovanja (statičkog trenja) jednaka je pointenzitetu i pravcu, a suprotnog smera sili koja deluje na telo paralelno sa dodirnom površinom tog tela sa podlogom (drugim telom). SILA TRENJA KLIZANJA Kada sila koja deluje na telo duž dodirne površine postane veća od maksimalne sile trenja mirovanja, telo počinje da se kreće i dobija ubrzanje. U trenutku kada telo počinje da se pomera, sila trenja mirovanja prelazi u silu trenja klizanja. Sila trenja klizanja srazmerna je sili pritiska, odnosno sili koja normalno deluje na dodirnu površinu tela (podlogu).

12 FF tt = μμμμ μμ - koeficijent trenja klizanja. Intenzitet sile trenja jednak je proizvodu koeficijenta trenja i sile (ili rezultante sila) koja normalno delluje na podlogu (dodirnu površinu tela). Koeficijent trenja klizanja karakteriše obe dodirne površine i zavisi od prirode materijala od kojeg su tela izrađena, kao i od stepena uglačanosti njihovih dodirnih površina. Određuje se eksperimentalno i uvek je manji od jedinice. Sila trenja klizanja suprotnog je smera od brzine kretanja tela. Eksperimentalno je utvrđeno da sila trenja klizanja ne zavisi od veličine dodirne površine. KRETANJE TELA POD UTICAJEM SILE TRENJA Posmatrajmo voz koji je u pokretu. Kada mašinovođa pritisne kočnicu, na kompoziciju voza deluje sila trenja između kočnica i točka i između točka i šina. Pod uticajem te sile (težina voza je kompenzovana silom reakcije šine, a otpor vazduha je praktično zanemarljiv) voz se zaustavlja nakon što je prešao određeno rastojanje put kočenja. Usled te sile voz se kreće negativnim ubrzanjem: FF tt - sila trenja mm - masa voza aa = FF tt mm Izaberimo koordinatnu x-osu, tako da se njen pozitivan smer poklapa sa smerom brzine kretanja voza. Pošto je sila trenja suprotno usmerena od smera brzine voza i ubrzanje koje ona saopštava je suprotno orjentisano u odnosu na smer brzine. To ubrzanje je negativno (usporenje) i iznosi: aa = vv vv 0 tt tt 0 vv 0 - intenzitet brzine voza u trenutku početka kočenja tt 0 vv intenzite brzine na putu kočenja u trenutku tt. Pošto je krajnja vrednost brzine voza nula (vv = 0) sledi:

13 aa = vv 0 tt tt 0, pa je FF tt mm = vv 0 tt tt 0 Odatle nalazimo vreme od početka kočenja do zaustavljanja voza: tt = tt tt 0 = mmvv 0 FF tt Sada se može naći i put kočenja pomoću formule za brzinu kod ravnomerno usporenog kretanja: vv = vv 0 2 2aaaa Pošto je vv = 0, to je: Ili: ll = vv 0 2 2aa = vv FF tt mm ll = mmvv FF tt Oz formule vidimo da je pređeni put, kada na telo deluje sila trenja put kočenja, srazmeran kvadratu brzine. Ako se intenzitet brzine udvostruči, put kočenja povećava se četiri puta.

14 4. STATIKA - ZADACI 1. Kako na materijalnu tačku treba da deluju sile od 2 N, 3 N i 5 N da bi tačka bila u ravnoteži? 2. Može li biti u ravnoteži telo na koje deluju: a) dve sile od po 20 N? b) dve sile, inteziteta 20 N I 15 N, u istom pravcu? c) dve sile, inteziteta po 20 N, u različitim pravcima? Rešenje: a) može b) ne može c) ne može 3. Za krajeve niti prebačene preko dva laka kotura obešeni su tegovi masa 60 g i 80 g. Kada se na nit između koturova obesi treći teg, ugao između niti je 90. Naći masu trećeg tega. Rešenje: Teg mase 40 kg obešen je pomoću dva užeta kao na slici. Naći sile zatezanja užadi. Rešenje: 462, Na dasci dužine 4 m I mase 30 kg klackaju se dva dečaka mase 30 kg i 40 kg. Gde treba da bude oslonac daske ako dečaci sede na krajevima? Rešenje: 1,8

15 6. Pod dejstvom horizontalne sile 0,5 N telo mase 0,5 kg kreće se ravnomerno po horizontalnoj podlozi. Koliki je koeficijent trenja? Rešenje: 0,1 7. Koeficijent trenja između kutije mase 2 kg i stola je 0,006. Koliki put pređe kutija za 1 s ako na nju počne da deluje sila 1,8 N u pravcu paralelnom sa podlogom? Rešenje: 15 cm 8. Odrediti ubrzanje tela i silu zatezanja niti u sistemu prikazanom na slici ako je 250, 400, a koeficijent trenja između tela i stola 0,03. Rešenje: 3,66 / ; 1,58 N 9. a) Koliko je ubzanje tela na strmoj ravni nagiba 30 ako je koeficijent trenja 0,3? b) Koliki je koeficijent trenja između tela I strme ravni nagiba 30 ako se telo niz tu ravan kreće ravnomerno? Rešenje: 2,4 / 0, Koeficijent trenja između točkova automobila i puta je 0,6. Koliko je dugačak trag kočenja na putu ako se pre kočenja automobil kretao brzinom 72 km/h? Rešenje: 33,3 m

16 5. GRAVITACIJA Poljski naučnik Nikola Kopernik, tvorac Heliocentričnog sistema, označio je kraj dominacije pogrešne geocentrične teorije, po kojoj se sve planete, Sunce i Mesec kreću oko Zemlje. Suština Kopernikovog sistema (Heliocentričnog sistema) izražena je stavovima: 1) Planete se kreću ravnomerno po kružnim putanjama oko Sunca. Ta kretanja su neprekidna i vremenski neograničena. 2) Poluprečnik Zemlje je neznatan u odnosu na poluprečnik njene putanje oko Sunca (poluprečnik Zemlje je oko km, a poluprečnik Zemljine putanje oko Sunca iznosi oko km). 3) Prividno kretanje nebeskih tela, pa i Sunca u odnosu na zvezde posledica je obrtanja Zemlje oko sopstvene ose i istovremenog kretanja oko Sunca. 4) Godišnje prividno pomeranje Sunca u odnosu na zvezde posledica je kretanja Zemlje oko Sunca, sa periodom jedne godine. Smenjivanje dana i noći uslovljeno je obrtanjem Zemlje oko svoje ose i time što je osvetljena Sunčevom svetlošću. KEPLEROVI ZAKONI Johan Kepler je na osnovu astronomskih podataka o kretanju planeta u Sunčevom (Kopernikovom) sistemu koje je sakupio Tiho Brahe ustanovio da su putanje planeta eliptičnog a ne kružnog oblika. On je definisao zakone kretanja planeta oko Sunca, koji su nazvani Keplerovi zakoni. Prvi zakon. - Planete se kreću oko Sunca po eliptičnim putanjama; u zajedničkoj žiži tih elipsi nalazi se Sunce. Tačka na eliptičnoj putanji u kojo je planeta najbliža Suncu naziva se perihel; njoj je suprotna tačka afel (najudaljenija od Sunca). Drugi zakon. - Svaka planeta se kreće tako da duž koja spaja planetu sa Suncem za isto vreme prebriše jednake površine. Znači, da su osenčene površine:.

17 Površina koju duž (radijus-vektor) Sunce - planeta prebriše u jedinici vremena zove se sektorska brzina. Primenom pojma sektorske brzine, Drugi Keplerov glasi: Sektorska brzina planete je konstantna: Treći zakon - Kvadrati vremena obilaženja ma koje dve planete oko Sunca srazmerni su kubovima velikih poluosa (približno poluprečnika) njihovih eliptičnih orbita.. U opštem slučaju:. Keplerovi zakoni omogućavaju da se na osnovu poznavanja položaja jedne planete u odnosu na Sunce i odgovarajućih vremena obilaženja oko Sunca (perioda) izračuna položaj druge planete. Na osnovu Drugog Keplerovog zakona zaključuje se da se planeta brže kreće ukoliko je bliža Suncu i da ima najveću brzinu u perihelu, a najmanju u afelu.

18 NJUTNOV ZAKON GRAVITACIJE Njutn je formulisao Zakon gravitacije, kasnije nazvan Njutnov zakon gravitacije. Intezitet gravitacione sile proporcionalan je masama dva tela, odnosno: ~ Centripetalno ubrzanje planeta obrnuto je proporcionalno kvadratu rastojanja planeta od Sunca. ~. Kako je gravitaciona sila (kao i sila uopšte) proporcionalna ubrzanju tela (planete), proizlazi da je i gravitaciona sila obrnuto srazmerna kvadratu udaljenosti planeta od Sunca, ili: ~. Njutn je na taj način otkrio zavisnost gravitacione sile od udaljenosti planeta od Sunca. Koristeći obe zavisnosti gravitacione sile: od masa Sunca i planete i od njihovog međusobnog rastojanja, Njutn je formulisao Opšti zakon gravitacije, koji važi za sva nebeska tela i za sva tela uopšte: ~. Intezitet sile uzajamnog privlačenja dve materijalne tačke, ili dva homogena tela sfernog oblika, srazmeran je proizvodu njihovih masa i obrnuto srazmeran kvadratu rastojanja među tim materijalnim tačkama (sfernim telima). Pravac te sile prolazi kroz materijlne tačke (odnosno kroz centre sfera), a smer ove sile koja deluje na oba tela je ka centru drugog tela. Koeficijent, u Zakonu gravitacije naziva se gravitaciona konstanta. Ona je brojno jednaka sili između tela jediničnih masa na jediničnom rastojanju γ 6,7 10.

19

20

21 KEPLEROVI ZAKONI Više od pola veka pre nego što je Njutn formulisao svoja tri zakona dinamike i zakon gravitacije, nemački naučnik Johan Kepler je postavio tri zakona o kretanju planeta oko Sunca na osnovu posmatranja i merenja parametara kretanja nebeskih tela. Prvi Keplerov zakon: Planete se kreću oko Sunca po eliptičnim putanjama u čijoj zajedničkoj žiži je Sunce. DrugiKeplerov zakon: Radijus-vektor bilo koje planete za isto vreme prebriše istu površinu. Drugim rečima, sektorska brzina planete je konstantna. Treći Keplerov zakon: Odnos kvadrata perioda obilaska planeta oko Sunca i trećeg stepena duže poluose eliptične putanje je konstanta. Elipsa je kriva linija u ravni, dakle svaka planeta se kreće u svojoj ravni. Položaj u kome je planeta najbliža Suncu zove se perihel a položaj u kome je najudaljenija od Sunca se zove afel. Planeta se brže kreće što je bliža Suncu. Najveća joj je brzina u perihelu a najmanja je u afelu. Suština Kopernikovog, heliocentričnog sistema počiva na stavovima: 1) Planete se kreću ravnomerno po kružnim putanjama oko Sunca. Ta kretanja su neprekidna i vremenski neograničena. 2) Poluprečnik Zemlje je neznatan u odnosu na poluprečnik njene putanje oko Sunca 3) Prividno kretanje nebeskih tela, pa i Sunca u odnosu na zvezde posledica je obrtanja Zemlje oko sopstvene ose i istovremenog kretanja oko Sunca. 4) Godišnje prividno pomeranje Sunca u odnosu na zvezde posledica je kretanja Zemlje oko Sunca, sa periodom jedne godine. Smenjivanje dana i noći uslovljeno je obrtanjem Zemlje oko svoje ose i time što je osvetljena Sunčevom svetlošću.

22 Njutnov zakon gravitacije Intezitet gravitacione sile proporcionalan je masama dva tela, odnosno: F ~m 1 m 2 Centripetalno ubrzanje planeta obrnuto je proporcionalno kvadratu rastojanja planeta od Sunca. a~1/r 2 Kako je gravitaciona sila (kao i sila uopšte) proporcionalna ubrzanju tela (planete), proizlazi da je i gravitaciona sila obrnuto srazmerna kvadratu udaljenosti planeta od Sunca. Njutn je na taj način otkrio zavisnost gravitacione sile od udaljenosti planeta od Sunca Njutnov zakon gravitacije: Bilo koje dve materijalne tačke međusobno se privlače gravitacionom silom. Pravac te sile prolazi kroz materijalne tačke, intenzitet je srazmeran masama materijalnih tačaka, a obrnuto srazmeran kvadratu rastojanja između njih. Univerzalnu gravitacionu konstantu je prvi izmerio engleski fizičar Kevendiš. Težina Q nekog objekta na ili iznad površine Zemlje (ili iznad nekog drugog svemirskog tela) je gravitaciona sila kojom Zemlja (i li dato svemirsko telo) deluje na objekat. To je sila kojom telo deluje na horizontalnu podlogu na koju je postavljeno usled privlačenja od strane Zemlje, odnosno sila kojom telo zateže konopac o koji je okačeno da visi. U slučaju da se zanemari rotacija Zemlje, nehomogenosti sastava i odstupanje od pravilnog sfernog oblika, težina Q objekta mase m na površini Zemlje (ili blizu površine, r R Z ) jednaka je gravitacionoj sili pa iz te jednakosti možemo izvesti izraz za gravitaciono ubrzanje:

23 RAD I SNAGA Snaga Jedinica za snagu u SI sistemu je VAT ( W ). Veće jedinice su kilovat KW, megavat MW, gigavat GW. W=J/s

24 KINETIČKA ENERGIJA Kada se telo kreće, kažemo da ima kinetičku energiju koja zavisi od njegove mase i brzine kojom se kreće. Jedinica za kinetičku energiju je Dzul. Veza kinetičke energije E k i impulsa p: Kinetička energija rotacionog kretanja: E k = p 2 /2m E krot = I w 2 /2 Gde je I moment inercije tela koje rotira ugaonom brzinom w.

25 POTENCIJALNA ENERGIJA

26 ZAKON ODRŽANJA MEHANIČKE ENERGIJE