1 Kinematika krutog tela

Transcript

1 M. Tadić, Predavanja iz Fizike 1, ETF, grupe P2 i P3, IV predavanje, Kinematika krutog tela Kruto telo je sistem materijalnih tačaka čija se međusobna udaljenost ne menja tokom vremena. Kruta tela ne menjaju niti oblik niti zapreminu tokom kretanja. Kinematika krutog tela se bavi: analizom kinematskih karakteristika kretanja (brzine i ubrzanja) krutog tela kao celine; analizom kretanja bilo koje tačke krutog tela. Da bi se odredio položaj krutog tela u prostoru potrebno je poznavati položaj tri u opštem slučaju nekolinearne tačke tela. Slika 1: Određivanje položaja krutog tela. Posmatrajmo telo prikazano na slici i izaberimo 3 tačke ovog tela: A, B i C. Vektori položaja ovih tačaka su: A: r A = (x A,y A,z A ); B: r B = (x B,y B,z B ); C: r C = (x C,y C,z C ). Kruto telo je sistem materijalnih tačaka čija je međusobna udaljenost konstantna: d AB = r AB = r B r A = const; d BC = r BC = r C r B = const; d CA = r CA = r A r C = const. Ovde d ij, i,j = A,B,C označavaju međusobna rastojanja tačaka A, B i C. Za poznata (konstantna) rastojanja d AB, d BC i d CA : (x B x A ) 2 +(y B y A ) 2 +(z B z A ) 2 = d 2 AB, (1a) (x C x B ) 2 +(y C y B ) 2 +(z C z B ) 2 = d 2 BC, (1b) (x A x C ) 2 +(y A y C ) 2 +(z A z C ) 2 = d 2 CA. (1c) 1

2 Slika 2: Translatorno kretanje krutog tela. Definicija broja stepeni slobode. Broj nezavisnih parametara kojima se određuje položaj tela prema izabranom sistemu referencije naziva se broj stepeni slobode. U opštem slučaju kretanja krutog tela u prostoru broj stepeni slobode jednak je 6. Posebni oblici kretanja krutog tela su: translacija; rotacija oko fiksne ose; komplano (planarno) kretanje. 2 Translatorno kretanje krutog tela Definicija translatornog kretanja. Kretanje je translatorno ako bilo koja duž provučena kroz telo i čvrsto vezana za njega ostaje paralelna samoj sebi (zadržava isti pravac) tokom kretanja. Tokom translatornog kretanja sve tačke krutog tela imaju istu brzinu i isto ubrzanje. Da bismo ovo dokazali posmatrajmo kretanje tačke B krutog tela (videti sliku) koje se kreće translatorno. Vektor položaja ove tačke je: r B = r A + r AB. (2) Za translatorno kretanje: r AB = const. (3) Prvi izvod vektora položaja r B je, prema tome: d r B dt = d r A dt + d r AB, (4) dt odnosno: Dakle, r B = r A + r AB. (5) v B = v A = v, (6) 2

3 gde je sa v označena zajednička brzina svih tačaka krutog tela. Ukoliko se poslednja relacija diferencira po vremenu: a B = a A = a, (7) gde je a zajedničko ubrzanje svih tačaka krutog tela. Iz (6) i (7) sledi da je translatorno kretanje krutog tela opisano kretanjem bilo koje tačke tog tela. Definicija brzine i ubrzanja translacije. Zajednička brzina i zajedničko ubrzanje svih tačaka krutog tela pri translaciji nazivaju se brzina i ubrzanje translacije, respektivno. Broj stepeni slobode kod translatornog kretanja krutog tela jednak je 3 (to su 3 koordinate bilo koje tačke krutog tela). 3 Rotaciono kretanje krutog tela oko fiksne ose Definicija rotacionog kretanja oko fiksne (nepokretne) ose. Telo rotira oko fiksne ose ako sve tačke tela (osim tačaka na osi) obavljaju kružno kretanje oko te ose, prelazeći u istim vremenskim intervalima iste uglove. Slika 3: Rotaciono kretanje krutog tela oko fiksne ose. Položaj krutog tela koje rotira oko fiksne ose u bilo kom trenutku potpuno je određen pomoću ugla ϕ, koji se naziva ugao rotacije tela. Treba poznavati ϕ = ϕ(t). (8) Kinematkse karakteristike rotacije krutog tela oko fiksne ose su ugaona brzina tela ω i ugaono ubrzanje tela α. Periferna brzina proizvoljne tačke tela (A) je: v A = r A = ω r A. (9) Periferno ubrzanje tačke A je: a A = r A = α r A + ω ( ω r A ). (10) Broj stepeni slobode za rotaciju krutog tela oko fiksne ose jednak je 1. 3

4 4 Planarno (komplano) kretanje krutog tela Definicija planarnog (komplanog) kretanja. Planarno (komplano) kretanje krutog tela je takvo kretanje kod koga se sve tačke tela kreću paralelno fiksnoj ravni (P). Slika 4: Planarno kretanje krutog tela. Kod planarnog kretanja trajektorije tačaka krutog tela su linije u fiksnim ravnima paralelnim ravni P. Pri analizi planarnog kretanja krutog tela dovoljno je posmatrati samo kretanje jednog preseka tela (S) koji je paralelan ravni P i koji se kreće u ravni xy. Položaj preseka S u ravni xy potpuno je određen položajem proizvoljne duži AB u tom preseku, a položaj duži AB može se specificirati pomoću koordinata jedne tačke tela (na primer tačke A) i ugla θ koji duž AB zaklapa sa x osom. Tačka A se tada naziva pol. Koordinate tačke A, x A i y A, kao i ugao θ menjaju se u funkciji vremena: x A = x A (t), y A = y A (t), θ = θ(t). (11a) (11b) (11c) Ovo su parametarske jednačine planarnog kretanja krutog tela. Slika 5: Uz dokaz istovetnosti ugaone brzine i ugaonog ubrzanja oko bilo koje ose kroz bilo koji pol. Svako planarno kretanje krutog tela je kombinacija translatornog i rotacionog kretanja. Pri analizi planarnog kretanja krutog tela bilo koju tačku tela možemo izabrati za pol. Rotaciona komponenta kretanja ne zavisi od izbora pola. Drugim rečima, kruto telo ima istu ugaonu brzinu i isto ugaono ubrzanje oko bilo koje ose kroz bilo koji pol. Da bismo ovo pokazali izaberimo najpre tačku A kao pol i odredimo orijentaciju duži AB u odnosu na osu x (ugao θ). Označimo ugaonu brzinu i ugaono ubrzanje rotacije ove duži sa ω i α, respektivno. 4

5 Za određivanje položaja preseka tela možemo umesto tačke A i duži AB koristiti tačku C i duž CD. Orijentacija duži CD određena je uglom θ 1 koji CD zaklapa sa x osom: θ 1 = θ β. (12) Ugao β = const, jer su duži AB i CD čvrsto vezane za telo, tako da se ugao između njih ne menja. Ako diferenciramo jednakost (12) po vremenu: odnosno 0 dθ 1 dt = dθ dt dβ dt, (13) ω 1 = ω. (14) Diferenciranje ove jednakosti po vremenu daje: α 1 = α. (15) Bez obzira što su rotacione komponente kretanja iste, treba uočiti da tačke A i C u opštem slučaju nemaju istu brzinu i ubrzanje: v C v A, (16) a C a A. (17) Slika 6: Brzina proizvoljne tačke krutog tela koje se kreće planarno. Izračunajmo sada brzinu proizvoljne tačke krutog tela koje se kreće planarno. Ako je tačka A pol, vektor položaja proizvoljne tačke krutog tela B je: r B = r A + r AB. (18) Ovde je r AB vektor položaja tačke B u odnosu na tačku A (prema referentnom sistemu x Ay ). Treba uočiti da se sistem x Ay kreće translatorno u odnosu na sistem xoy. Brzina tačke B je: v B = r B = d r B dt = d dt ( r A + r AB ) = v A + v BA, (19) gde je v BA brzina tačke B u odnosu na tačku A. S obzirom da tačka B rotira oko tačke A, v BA je periferna (linijska) brzina, v BA = r AB = d r AB dt = ω r AB, (20) 5

6 normalna na vektor r AB. Dakle, brzina tačke B je: v B = v A + ω r AB. (21) Brzina proizvoljne tačke krutog tela pri planarnom kretanju. Brzina proizvoljne tačke krutog tela (B) pri planarnom kretanju jednaka je vektorskoj sumi brzine bilo koje druge tačke tela (A) (uzete kao pol), koja se nalazi u istom preseku kao B paralelnom ravni P i periferne brzine tačke B pri rotaciji oko tačke A. 5 Kotrljanje Kotrljanje je vrsta planarnog kretanja krutog tela i stoga predstavlja kombinaciju translacije i rotacije. Posmatrajmo kotrljanje krutog tela (valjka ili lopte, na primer) po ravnoj horizontalnoj podlozi. Slika 7: Brzina proizvoljne tačke na površini krutog tela koje se kotrlja bez proklizavanja. Pogodno je da se za opis kretanja izabere tačka C (centar lopte ili valjka) kao pol. Intenzitet brzina tačke B na obodu valjka koja u datom trenutku ima položaj kao na slici u odnosu na tačku C je: v BC = v AC = ωr, (22) gde je A tačka koja je u istom trenutku u kontaktu sa podlogom, R je poluprečnik tela koje se kotrlja, a ω je intenzitet ugaone brzine tela koje se kotrlja (podsetimo se da je kod planarnog kretanja ugaona brzina ista oko bilo koje ose kroz bilo koji pol). Ako tačka A ne klizi po podlozi radi se o kotrljanju bez proklizavanja (kotrljanju bez klizanja): v A = 0, (23) odnosno v A = 0. (24) Ovo je uslov za kotrljanje bez proklizavanja. S obzirom da je brzina tačke A jednaka v A = v C + v AC, (25) na osnovu uslova v A = 0 sledi: v AC = v C, (26) 6

7 odnosno intenzitet brzine tačke A u odnosu na tačku C je: v AC = ωr = v C. (27) Jednakost v C = ωr (28) je uslov za kotrljanje bez proklizavanja, ekvivalentan uslovu v A = 0. S obzirom da je v BC = v AC : v AC = ωr = v C. (29) Brzina tačke B je: v B = v C + v BC. (30) Koristeći činjenicu da je periferijski ugao polovina centralnog ugla nad istim lukom, sledi da je ugao između vektora v C i v BC jednak 2β. Pored toga, v C = v BC, pa sledi: v B = 2v C cosβ. (31) Treba primetiti da najveću brzinu ima tačka D koja je u datom vremenskom trenutku vertikalno iznad tačke C, v D = 2v C. Tačka A je trenutni pol, a osa koja prolazi kroz ovu tačku naziva se trenutna osa rotacije. Na osnovu uslova za kotrljanje bez proklizavanja v C = ωr sledi (diferenciranjem po vremenu): a C = αr, (32) gde je α ugaono ubrzanje valjka. Složeno kretanje U mehanici je često pogodno istovremeno pratiti kretanje u odnosu na dva sistema reference: sistem reference koji je nepokretan; sistem reference koji se kreće u odnosu na nepokretni sistem reference. Ovakvo opisivanje (predstavljanje) kretanje naziva se složeno kretanje. Složeno kretanje se sastoji iz relativnog i prenosnog kretanja. Kretanje objekta prema pokretnom sistemu reference naziva se relativno kretanje. Karakteristike relativnog kretanja su: relativna trajektorije r ; relativna brzina v r ; relativno ubrzanje a r. Karakteristike kretanja prema nepokretnom sistemu reference su: 7

8 Slika 8: Opis kretanja materijalne tačke u odnosu na inercijalni i neinercijalni referentni sistem, S is, respektivno. apsolutna (rezultantna) trajektorija r; apsolutna (rezultantna) brzina v a ; apsolutno (rezultantno) ubrzanje a a. Kretanje pokretnog sistema reference zajedno sa svim tačkama prostora fiksiranog u odnosu na njega prema nepokretnom sistemu reference je prenosno kretanje. Karakteristike prenosnog kretanja su: kretanje O prema O ( R); prenosna brzina v p (ili u); prenosno ubrzanje a a (ili A). 6 Inercijalni sistemi reference Definicija inercijalnih sistema. Inercijalni sistemi reference su oni koji ne ubrzavaju jedan u odnosu na drugog. Praktični inercijalni sistem reference u Sunčevom sistemu je heliocentrični sistem reference. Pol ovog sistema je u centru Sunca, a Dekartove koordinatne ose su usmerene ka tri nepokretne udaljene zvezde. Za rešavanje većine problema pogodniji je inercijalni sistem vezan za površinu Zemlje, koji je vrlo probližno inercijalni. Odstupanja su uglavnom posledica rotacije Zemlje oko svoje ose. Tako je ubrzanje tačke na površini Zemlje usled njene rotacije (periferna brzina tačke na površini Zemlje usled Zemljine rotacije je v z 460 m/s, a poluprečnik Zemlje R Z = 6370 km). Primetimo da Zemlja rotira i oko Sunca. Pri tome, ubrzanje tačaka na Zemlji je a ZS = m/s 2 (periferna brzina Zemlje pri rotaciji oko Sunca je v ZS 30 km/s, a poluprečnik Zemljine orbite R SZ = km). Primetimo naposletku da je ubrzanje centra Sunca pri njegovoj rotaciji oko centra galaksije jednako a SG = 2, m/s 2 (periferna brzina Sunca je v SG 250 km/s, a udaljenost Zemlje od centra galaksije je R GS = s.g. = 2, m. 8

9 7 Slaganje brzina i ubrzanja Posmatrajmo translatorno kretanje sistema reference S u odnosu na sistem reference S koji je inercijalni i uslovno neporektan. Brzina ovog sistema reference, tj. svake njegove tačke, dakle i pola O, u odnosu na sistem S je v p. Vektor položaja materijalne tačke u odnosu na sistem S je: r = R+ r. (33) Diferencirajmo sada po vremenu ovu jednakost: r = R+ r, (34) odnosno: v a = v p + v r. (35) Ovaj rezultat predstavlja teoremu o slaganju brzina. Iako je pretpostavljeno translatorno kretanje pokretnog sistema reference, teorema ima opšte važenje, i kada je kretanje pokretnog sistema reference kombinovano translatorno i rotaciono. Diferencirajmo izraz po teoremi o slaganju brzina po vremenu: v a = v p + v r. (36) Prvi izvod apsolutne brzine po vremenu je apsolutno ubrzanje a a, dok je prvi izvod v r po vremenu relativno ubrzanje: Dakle, za translatorno kretanje važi: a r = d v r dt. (37) a a = a p + a r, (38) odnosno apsolutno ubrzanje tačke jednako je vektorskoj sumi relativnog i prenosnog ubrzanja. Primetimo da poslednji izraz za a a važi samo za translatorno kretanje pokretnog sistema reference. U opštem slučaju kombinovanog translatornog i rotacionog kretanja pokretnog sistema reference izraz za a a ima komplikovaniji oblik: a a = a p + a r + a C (39) i predstavlja matematički zapis Koriolisove teoreme, gde je a C Koriolisovo ubrzanje. Koriolisovo ubrzanje će biti detaljnije analizirano na predavanju posvećenom neinercijalnim referentnim sistemima. Dinamika materijalne tačke Dinamika proučava uslove pod kojima se obavlja kretanje i uzroke kretanja materijalnih objekata. Dinamika se deli na: dinamiku materijalne tačke; dinamiku sistema materijalnih tačaka. 9

10 Podoblast dinamike sistema materijalnih tačaka je dinamika krutog tela. Dinamika se zasniva na Njutnovim zakonima kretanja. Ovi zakoni se niti izvode niti dokazuju, već su logički sudovi postularno dati uopštavanjem velikog broja eksperimentalnih činjenica. Njutnovi zakoni u potpunosti opisuju kretanje materijalnih tačaka. Bitno je napomenuti da svi Njutnovi zakoni važe u inercijalnim sistemima reference. 8 Sila Definicija sile. Sila je kvantitativna mera interakcije (međusobnog delovanja) između tela i okoline. Slika 9: Slaganje sila. Sila je vektorska veličina i mora se znati njen intenzitet, pravac i smer. Najčešće korišćen simbol za silu je F, a merna jedinica za silu je njutn (N): [F] = N. (40) Sile se geometrijski sabiraju što se naziva slaganje sila. Ako dve sile, F1 i F 2 deluju u istoj tački (imaju istu napadnu tačku) rezultujuća sila (rezultanta) je: F (ext) rez = F 1 + F 2. (41) Treba primetiti da su sve sile koje deluju na materijalnu tačku spoljašnje (eksterne), dok je kod mehaničkog sistema (i krutog tela, kao posebnog slučaja mehaničkog sistema) potrebno razlikovati spoljašnje od unutrašnjih (internih) sila koje deluju između materijalnih tačaka koje čine mehanički sistem. Slaganje sila se može uopštiti za više od dve sile, pa se može formulisati princip superpozicije sila. Princip superpozicije sila. Ukoliko više sila ( F 1, F 2,... F n ) deluje na telo u istoj tački učinak je isti kao da jedna sila, koja je vektorska suma svih sila ( F (ext) rez = n i=1 F i ), deluje u istoj tački. Na osnovu principa superpozicije sila moguće je svaku silu razložiti na komponente, tj svaka sila se može zameniti njenim komponentama koje deluju u istoj tački. 10

11 Slika 10: Razlaganje sila na komponente. 9 Njutnovi zakoni 9.1 I Njutnov zakon Njutnov zakon. Svako telo ostaje u stanju mirovanja ili se kreće ravnomerno pravolinijski ako na telo ne deluju spoljašnje sile ili je njihova rezultanta jednaka nuli. Opšta pojava da tela ne menjau stanje mirovanja ili ravnomernog pravolinijskog kretanja naziva se inercija. Osobina (određenog) tela da se protivi promeni stanja svog kretanja naziva se inertnost (tog) tela. Mera inertnosti tela je masa, koja se najšešće označava sa m. SI merna jedinica za masu je kg: [m] = kg. (42) 9.2 II Njutnov zakon II Njutnov zakon. Proizvod mase i ubrzanja tela jednak je sumi svih sila koje deluju na telo. m a = n F i. (43) S obzirom da je a = r, a n i=1 F i = F (ext) rez, II Njutnov zakon može se pisati u obliku: i=1 m r = F (ext) rez. (44) II Njutnov zakon predstavlja osnovni zakon mehaničkog kretanja, koji povezuje uzrok, što je suma svih spoljašnjih sila (rezultujuća sila F (ext) rez ), sa posledicom, što je ubrzanje a. Ukoliko je poznato F (ext) rez, na osnovu (44) može se odrediti trajektorija, tj. r(t). Stoga se II Njutnov zakon naziva jednačina kretanja 1 ili Njutnova jednačina. Pored F (ext) rez tela. (uzrok) i a (posledica) u Njutnovoj jednačini figuriše masa m, koja predstavlja osobinu 1 Treba praviti razliku između II Njtunovog zakona kao (diferencijalne) jednačine kretanja i parametarskih jednačin kretanja koje predstavljaju funkcije vremena. 11

12 II Njutnov zakon podrazumeva da je masa tela konstantna. Prema specijalnoj teoriji relativnosti masa se menja u funkciji brzine objekta v prema: m(v) = m 0 (45) 1 v2 /c2, gde je m 0 masa mirovanja, a c brzina svetlosti. Samo za v c, m = m 0 = const i važi II Njutnov zakon u formi jednačine (43). U opštem slučaju, međutim, II Njutnov zakon ima oblik: Ovde p označava vektor količine kretanja (impuls, linearni moment): 2 d p dt = F (ext) rez. (46) p = m v. (47) Jednačina (46) se izvodi u specijalnoj teoriji relativnosti, a za m = const svodi se na oblik II Njutnovog zakona dat jednačinom (43). 3 II Njutnov zakon u obliku datom jednačinom (46) povezuje uzrok, što je rezultantna spoljašnja sila F (ext) rez, sa posledicom, što je elementarna (diferencijalno mala) promena količine kretanja d p. Kasnije će ovaj rezultat biti formulisan u posebnu teoremu o kretanju materijalne tačke. Slika 11: Ilustracija II Njutnovog zakona. Drugi oblik II Njutnovog zakona. Brzina promene količine kretanja tela jednaka je rezultantnoj spoljašnjoj sili koja deluje na telo. Ako je m = const prema II Njutnovom zakonu sledi da su ubrzanje i elementarna promena količine kretanja kolinearni sa F (ext) rez, kao što je prikazano na slici. Pored toga, lako se ustanovi da je njutn: kao i da je jedinica za količinu kretanja: [F] = N = kgm s 2, (48) [p] = kgm s. (49) Primetimo da je Njutnova jednačina linearna diferencijalna jednačina, pa se može primeniti princip superpozicije sila. Da bismo pokazali kako se ovaj princip primenjuje na Njutnovu jednačinu pretpostavimo da na objekt 2 Primetimo da izraz za linearni moment ima isti oblik u klasičnoj mehanici i teoriji relativnosti. 3 Zanimljivo je da je Njutn svoj osnovni zakon kretanja upravo napisao u formi (46). 12

13 deluje više sila, F 1, F 2,..., F n, za koje pretpostavljamo da su nezavisne jedna od druge (suprotan primer je sila trenja). Ako svaka sila ponaosob deluje na telo, ubrzanja tela su: S druge strane, ako jedna sila F (ext) rez m a 1 = F 1, ako sila F 1 samo deluje na telo; (50) m a 2 = F 2, ako sila F 2 samo deluje na telo; (51).. (52) m a n = F n ako sila F n samo deluje na telo;. (53) = n i=1 F i deluje na telo, ubrzanje tela je: a = 1 m F (ext) rez = 1 m n F i = i=1 n F n i m = a i. (54) Dakle, ubrzanje tela na koje istovremeno deluje više nezavisnih sila jednako je zbiru ubrzanja tela usled svake sila ponaosob. Ovaj iskaz predstavlja princip nezavisnog dejstva sila. i=1 i=1 Slika 12: Ilustracija uz dokaz invarijantnosti izraza za silu po II Njutnovom zakonu. Primetimo da II Njutnov zakon važi u inercijalnim sistemima referencije. Posmatrajmo dva takva sistema, pokretni sistem referencije S čija je brzina konstantna u odnosu na (uslovno) nepokretni sistem referencije S, u = const. (55) Ubrzanje tela u sistemu S, u oznaci a, jednako je ubrzanju tela u sistemu S, u oznaci a: u = const a = a. (56) Prema II Njutnovom zakonu, koji važi u oba posmatrana inercijalna sistema referencije: F (ext) rez = m a = m a = F (ext) rez, (57) odakle sledi: F (ext) r = F (ext) rez. (58) 13

14 Dakle, izraz za rezultantnu silu invarijantan u različitim sistemima reference. Poslednji rezultat služi kao osnov za formulaciju Galilejevog principa relativnosti. Galilejev princip relativnosti. Osnovni zakoni mehaničkog kretanja su isti u inercijalnim sistemima reference. 14