Dobijanje empirijskih formula iz eksperimentalnih podataka

Doae emprsh formula z espermetalh podataa Zadata ftovaa espermetalh podataa Nea smo u clu aalze zavsost f() ee fzče velče od druge fzče velče, zvršl z merea dol taelu sa parovma zmereh vredost posmatrah velča: 3... 3... odoso espermetalh tačaa M (, ),,,...,. Postupa formulsaa fuce fˆ ( ), oa aprosmra epozatu zavsost f(), tao da odstupaa espermetalh vredost od račush procea doeh z e: ( ),, e fˆ,..., (.) udu u određeom smslu mala, azva se ftovae espermetalh podataa. Dale odarau fucu fˆ ( ), ou azvamo emprsa formula prlagođavamo (ftuemo, od eglese reč ft) espermetalm podacma. o emprsu formulu tražl u olu poloma, a ao rteruum za doro ftovae uzel uslov da odstupaa (.) udu edaa ul, rezultat o terpolaco polom P - (). Međutm terpolaco polom su adevate emprse formule er, ema smsla tačo reproduovat espermetale tače, oe svaao sadrže ezeže slučae greše merea, emprsa formula č graf e prolaz roz edu espermetalu taču M (, ), al prolaz lzu svh tačaa M,,,..., zravava (uglačava) loale epravlost, oe potču od grešaa merea, za razlu od terpolacoog poloma (Sla.). Iterpolaco polom, aročto vsoog stepea (već ro espermetalh tačaa) vugau t. poazuu estreme tače, oe su rezultat 44

stvare veze zmeđu mereh velča, ego zahteva da polom prođe roz sve tače, oe sadrže greše merea. ŷ ˆ fˆ ( ) e fˆ ( ) P - () Sla. - Emprsa formula terpolaco polom pogodo odaraa emprsa formula često, ar prlžo, odražava stvaru međuzavsost posmatrah velča, za razlu od terpolacoog poloma, o ema avu teoretsu osovu. Tao parametr adevate emprse formule mau određe fzč smsao za razlu od oefceata terpolacoog poloma. Na prmer z Clapero-ove (Klapero) edače: gde su, p dp dt RT h sp - lateta toplota sparavaa h sp V L ( z z ) z L, z V - fator stšlvost lučale tečost suvozasćee pare R - uverzala gasa ostata oa egzato opsue zavsost apoa pare ee čste supstace p od temperature T, tegracom uz aprosmace: z L, z V, h sp cost., se doa pozata Clausus-Claperoova edača za apo pare, oa dae dore procee u olast sh temperatura: l p Parametar B ma začee ezdmezoe latete toplote sparavaa posmatrae supstace, B T B h sp /R 45

Prolem ftovaa espermetalh podataa ouhvata dva zadata: zor tpa (ola) emprse formule, određvae epozath parametara u odarao formul a osovu usvoeog rteruma dorog ftovaa.. IZBOR EMPIRIJSKE FORMULE Pr zoru ola emprse formule fˆ ( ), ao pomoć se orste: teoretsa zaa o međuzavsost posmatrah velča, grafč praz espermetalh tačaa, umerč rterum Grafča aalza Poređeem grafa razlčth fuca sa zamšleom lom oa spaa ucrtae espermetale tače M (, ) može se često suzt zor mogućh ola zavsost. Naedostav prmer e pravolsa zavsost, ao ucrtae tače M a dagramu padau oo zamšlee prave le. Numerč rterum Kao emprse formule se ead rau polom, al e terpolaco, već pogodo odaraog žeg stepea. Pr zoru stepea poloma umerč rterum e: prlža ostatost podeleh razla eog reda, odoso u slučau evdstath tačaa, prlža ostatost oačh razla eog reda (vd Pogl..4). Prmer : Meree su ocetrace reatata (mol/m 3 ) u razlčtm vremesm mometma (m) ao započaa ee hemse reace: 7 7 7 3 37 83.7 7.9 63. 54.7 47.5 4.4 36.3 Potreo e odarat ol emprse formule. U odsustvu teoretsh zaa o međuzavsost, često se ra polomsa zavsost, ao se mogu uočt prlžo ostate podelee l oače razle. Izračuata e taela oačh razla uapred do razla 3. reda, za date podate. Uočavamo prlžu ostatost oačh razla. reda, pa se dat podac mogu ftovat polomom. stepea: ( ) a+ c f ˆ + 46

3 7 83.7 -.8.. 7.9-9.7.. 7 63. -8.5.3 -. 54.7-7.. -. 7 47.5-6.. 3 4.4-5. 37 36.3 Prmer : Kao što smo aglasl, pr zoru emprse formule trea orstt raspoložva teoretsa zaa o međuzavsost posmatrah velča. U Prmeru se rad o zavsost ocetrace reatata, c od vremea t, oa se teorets doa tegracom dferecalog lasa reatata: dc dt r ( c) gde e r(c) zraz za rzu hemse reace. o la u ptau reaca. reda, r c, tegracom dol espoecalu vremesu zavsost: ( ) c c t ( t) c e gde e c početa ocetraca reatata. Dale, ao pretpostavmo da se reaca ou sptuemo prlžo poaša ao reaca prvog reda, oda e adevata emprs model za ftovae raspoložvh espermetalh podataa: ( ) ae f ˆ Dat e Mathcad dagram - sa ucrtam espermetalm tačama 8 6 4 3 4 Sla. uz Prmer - Espermetal podac Dagram e u suprotost sa pretpostavom, er zamšlea rva duž oe leže espermetale tače po olu odgovara grafu espoecale fuce. Za oačo prhvatae espoecalog modela eophod su precz rterum. Logartmovaem pretpostavlee zavsost doamo: l l a+ 47

o posmatra model o adevata, ova promelva Y l learo zavsla od : Y l a+ Zato ćemo espermetale tače ucrtat u dagram -Y l u l-log dagram -: 4.5 l( ) 4 3.5 3 4 3 4 Sla. uz Prmer - Dagram trasformsah espermetalh podataa l-log dagram orgalh podataa Pošto tače prlžo leže duž ee prave, možemo da prhvatmo emprsu formulu, oa se azra a reac prvog reda. To potvrđue umerč rterum da su oače razle prvog reda za taelu - log prlžo ostate: Y log Y 7 83.7.93 -.6 7.9.863 -.6 7 63..8 -.63 54.7.738 -.6 7 47.5.677 -.6 3 4.4.67 -.57 37 36.3.56. LINERIZOVNE DVOPRMETRSKE EMPIRIJSKE FORMULE Emprsu formulu oa sadrž parametara zvaćemo - parametarsa emprsa formula. Tao e formula u Prmeru troparametarsa a formula u Prmeru e dvoparametarsa. Dvoparametarsa emprsa formula, se eada, pogodom smeom promelvh: (, a ) fˆ, (.) (, ), Y Y ( ) X X, (.3) 48

može "spravt" l learzovat, t. prevest u pravolsu zavsost: gde su ov parametr ee fuce starh: Y + BX (.4) (, ), B B( a ) a, (.4a) Opsa postupa se zove learzaca l spravlae emprse formule. Na prmer, ao odaraa emprsa formula ma ol: gde su (, ), ϕ(, ) ψ (, ) a + ϕ(, ) ψ lo ave fuce, očgledo se ameće smea: (, ), Y ψ(, ), a B X ϕ, U Ta.. su date smee za spravlae eh dvoparametarsh emprsh formula. Taela. - Smee za learzacu dvoparametarse emprse formule rva smea prava. a Y log X log Y log a+ X. a) ) a ae Y Y log l X X Y log a+ log X Y l a+ X 3. a + / Y X / Y a + X 4. Y / X Y a + X a+ 5. a+ Y / X / Y + ax 6. a+ Y / X Y a + X 7. a+ Y / X / Y + ax 8. a+ Y / X Y a + X 9. log + a Y X log Y a + X U Prmeru smo dsutoval prmeu espoecale emprse formule (druga vrsta taele), prmel datu smeu grafč umerč rterum za proveru adevatost formule. 49

Zadata. Predložt smee promelvh za learzacu formule: Rešee: a ( + ) Polazo edač su evvalete edače: + + + + a a a a Smeom, Y formula se learzue: Y + B a ov parametr su: a a, B a Zadata. Merea e sla (D) oom a ravu ploču delue flud o e opstruava, pr razm rzama (cm/s) struaa fluda: 4 5 45 7.35.8 5.3 5 5 98 Potreo e odarat dvoparametarsu emprsu formulu, oa prlžo opsue zavsost (). Rešee: Ucrtaćemo espermetale tače u dagram - : 5 4 6 8 Dagram uazue a elearu vezu po olu zamšlee rve duž oe leže espermetale tače, to mogla t stepea zavsost, ( ) a 5

s ozrom da rva prlžo prolaz roz oordat početa (,). Learzova ol pretpostavlee formule doa se smeama datm u. vrst taele sledeć ora e ucrtavae espermetalh tačaa u log - log dagram l u X Y dagram, gde su X Y ove promelve X log, Y log: log( ).5.5 log( ) Sla uz Zadata. - Dagram trasformsah espermetalh podataa log-log dagram orgalh podataa Pošto tače u ovm dagramma prlžo leže duž ee prave, prhvatamo emprsu fomulu: ( ) a f ˆ Zadata.3 Odarat dvoparametarsu formulu za ftovae espermetalh podataa: Rešee:..5.5.5 3 3.5 4 4.5 5.833.667.54.45.33.86.48...8.67 Ucrtaćemo espermetale tače u dagram a osovu ola zamšlee rve roz te tače odarat edu l vše formula avedeh u tael, a zatm ao learzace odarah formula, prmeom grafčog rteruma apravt oača zor..8.6.4. 3 4 5 Sla. uz Zadata.3 - Espermetale tače Dagram uazue a moguće postoae horzotale asmptote. Horzotalu asmptotu mau formule 4, 5, 6 7 u tael, al edo graf formule 4 e prolaz roz 5

oordat početa, što e u sladu sa espermetalm tačama. Dale ramo formulu: fˆ ( ) a+ Learzaca formule se postže smeom Y /. Ucrtavamo tače u dagram - Y pošto oe prlžo leže a pravo, oačo prhvatamo formulu. 6 4 3 4 5 Sla uz Zadata.3 - Trasformsae espermetale tače.3 METOD NJMNJIH KVDRT Kao mera odstupaa odarae emprse formule sa uupo (+) parametara,...,, : (,,,..., ) fˆ (, ) ( + ) fˆ < (.6) od espermetalh tačaa pogodo e uzet sumu vadrata odstupaa: [ fˆ (, )] S( ) e (.7) - vetor parametara, [ ],,,..., Prema metod amah vadrata (MNK), aole (optmale) vredost parametara,,..., u odarao emprso formul (.6) su oe za oe suma vadrata odstupaa ma mmum: S [ ] ( ) fˆ (, ) m 5

Nepozat parametr se doau z eophodog uslova mmuma fuce S: odoso: fˆ [ ( )] ( ) fˆ,,,...,,,,..., (.8) fˆ [ ( )] ( ) fˆ,,,...,,,,...,,,..., (.9) Jedače (.9) se azvau ormale edače oe su u opštem slučau eleare, u slučau egzstece vše rešea posmatraog sstema, t. vše loalh mmuma fuce S (,,..., ), ra se oo rešee oe dae amau vredost mmuma (gloal mmum). Kao mera valteta ftovaa espermetalh podataa doeom emprsom formulom, orst se srede vadrato odstupae formule od espermetalh vredost, defsao ao: s e ( + ) [ ˆ f (, ) ] ( + ) (.) Velča u meocu, oa predstavla razlu roa espermetalh tačaa uupog roa parametara u formul se u statstc azva ro stepe sloode. Uolo e s mae, utolo ea emprsa formula ole ftue espermetale podate, pa se oo orst pr poređeu razlčth emprsh edača za ste espermetale podate..4 EMPIRIJSK FORMUL LINERN PO PRMETRIM Opšt ol emprse formule leare po parametrma e: ( ) ϕ ( ) fˆ (.) gde su ϕ (),,,..., lo ave fuce, oe e sadrže parametre,,,..., Na prmer, formula: e leara po parametrma, do e formula: ˆ f + ( ) + l 53

fˆ ( ) + + eleara po parametrma. Pošto e za formulu ola (.): (,, ) fˆ,..., ϕ ( ) ormale edače (.9) su leare po tražem parametrma: ϕ ( ) ϕ ( ) +... + ϕ ( ) ϕ ( ) +... + ϕ ( ) ϕ ( ) ϕ ( ),,,..., o uvedemo ozae: ( ϕ, ϕ ) ϕ ( ) ϕ ( ), r, s, r s r s,..., (, ϕ ) ϕ ( ), s, s s,..., (.a) (.) ormale edače u matrčo form zgledau: Φ d (.3) Φ [( ϕ, ϕ )] +, +,,,..., (.3a) (, ϕ ),, d,..., (.3) (+) (+) matrca sstema, Φ e očgledo smetrča pošto e, ( ϕ, ϕ ) ( ϕ, ϕ ), r, s, r s s r,..., Tao e vetor tražeh parametara, rešee learog sstema (.3): Zadata.4 Dat su podac o apou pare etaa: Φ d (.4) Potreo e metodom amah vadrata odredt parametre u fomul: Rešee: T(K) 9 3 4 5 6 p(ar).347.74 3.34 4.9 7. 9.675 3. 7. l p a+ T+ c l T o uvedemo smeu lp, T, rezultat e formula leara po parametrma: 54

( ) a+ + c l a fuce uz parametre su: ϕ ( ), ϕ ( ), ϕ ( ) l( ) Da defsal matrcu sstema ormalh edača vetor sloodh oefceata, potree su am vredost fuca ϕ u svm tačama odoso tr vetora φ, φ φ ao vetor vredost uvedee promelve lp u svm tačama : 5.63 3 5 3 4.76 3 4.545 3 5.394 φ φ φ Y 4.348 3 5.438 5.48 4.67 3 4 3 3.846 3 5.47 5.98 5.347 5.5 5.56.979.7766.6.5935.946.695.5665.84 U sladu sa edačama (.a,) (.3a,), poed elemet matrce sstema se doau ao razlčt salar prozvod vetora φ, φ φ : φ φ Φ : φ φ φ φ φ φ Φ φ φ φ φ φ φ φ φ φ φ 8.3593 43.8694.3593.6395 4.944 43.8694.944 34.343 a slood oefcet salarm možeem vetora Y vetorma φ, φ φ redom Y φ 3.4964 d : Y φ d.5754 Y φ 73.7735 Rešee formraog sstema ormalh edača (3) dae tražee parametre u emprso formul: a a 3.838 : Φ d.934 3 c c.64 Izračuaćemo vetor apsoluth procetualh odstupaa račush od espermetalh prtsaa: ep rac a+ T c T e e p p p e + l, δ, p,..., 55

.349.7 3.335 4.9 4.9 p rac p e δ 7. 7. 8 3 9.684 9.675 3.4 3. 9 3 7.3 7. 4 3.347.74 3.34 3 3 3 5 3.7 ao srede vadrato odstupae (.) doee formule: ( ) e s : s. 4 3 o uvedemo ( +) matrcu espermeta, X,.5.4.5..9.3 X [ ϕ ( )], +,,,...,,,,..., (.5) ča - ta vrsta sadrž vredost redom svh fuca ϕ,,..., u espermetalo tač, možemo zvest ompat postupa za geersae sstema ormalh edača, pogoda za realzacu u Mathcad-u. Lao e poazat da se matrca sstema ormalh edača vetor sloodh oefceata mogu zračuat z matrce espermeta, ao: gde e vetor espermetalh vredost. T T Φ X X, d X (.6) Zadata.5 Dat su espermetal podac o apou pare ezola (mmhg) a razlčtm temperaturama ( C): T -36.7-9.6 -.5 -.6 7.6 5.4 6. 4. 6.6 8. p 5 4 6 4 76 Metodom amah vadrata odredt parametre u Rdelovo (Redel) edač za apo pare: log p + + log T+ 3T T Rešee: (Prat., XX-). 56

57 Polomsa formula U polomso formul - tog stepea ( ) f ˆ (.7) fuce ϕ su: ( ) ϕ pa se elemet (+) (+) matrce sstema ormalh edača vetora sloodh oefceata doau ao: s r d r r s r r s s r,,...,,,, Φ Φ + (.8) Na prmer, sstem ormalh edača za vadratu formulu zgleda: 4 3 3 (.9) Pravolsa formula Ovo e aedostvaa polomsa zavsost,. stepea: ( ) f ˆ + (.) Imamo: ( ) ( ) ϕ ϕ,, pa sstem ormalh edača zgleda: (.) a egovo rešee:

, (.) Zadata.6 Za podate z Prmera defsat metodom amah vadrata emprsu formulu ola: a) poloma. stepea: f ˆ( ) a+ + c ) espoecale fuce: f ˆ ( ) ae Uporedt tačost formula procet ostatu rze posmatrae hemse reace, pod pretpostavom da e oa prvog reda. Rešee: a) Račuamo sume eophode za defsae sstema ormalh edača (.9): s : s ( ) : s 3 ( ) 3 : s 4 : s : s : s : Sstem ormalh edača zračuavae parametara: ( ) ( ) 4 Φ : s s s 3 Φ 54 4.88 3.736 5 d : s s s 3 s s 4 7 4.88 3 54.736 5 4.88 3 3.7959 6 s s s d 399.7 7.6889 3.86543 5 a c : Φ d a c.794.666.338 Zaoružvae doeh vredost a 4 začae cfre: a : roud ( a, ) : roud (, 3) c : roud ( c, 5) Izračuavae odstupaa sredeg vadrata odstupaa: rac : ( a + + c ) e : rac ( e ) s : s 4.98 3 3 83.697 7.883 63.38 rac 54.76 e 47.455 4.37 36.348 a c.8.67.338 3.38 3.7.38.6.45.83.48 58

) Smea promelvh zračuavae parametara: Y : l( ) B : Y ( ) Y Parametr u learzovao formul : Y B : B 4.63.8 Parametr u orgalo formul ( vd taelu): a : ep( ) : B a.78.8 a : roud ( a, ) : roud (, 5) a.7.8 Izračuavae odstupaa sredeg vadrata odstupaa: rac : ( a ep( ) ) e : rac 83.587 7.66 63.6 rac 54.94 e 47.77 4.487 36.64.3.4.39.4.7.87.36 ( e ) s : s.46 Pošto e sredevadrato odstupae za prvu formulu zato mae od oog za drugu, prva (polomsa) formula ole ftue espermetale podate. U espoecalo formul, oefcet - ma začee ostate rze hemse reace prvog reda. Dale, za posmatrau reacu prlžo. reda, za ostatu rze smo dol:.8 m - Zadata.7 Iz podataa u Zadatu.4, zračuat sredu vredost latete toplote sparavaa etaa u opsegu temperatura - 5K. Rešee: Sredu latetu toplotu sparavaa ćemo dot ao vredost parametra B u emprso formul (Klauzusova edača za apo pare): l p B T 59

oa ftue espermetale podate o apou pare u zadatom opsegu temperatura. T(K) 3 4 5 p(ar).74 3.34 4.9 7. 9.675 3. Da smo proverl prmelvost Klauzusove edače ucrtaćemo tače u dagram -, gde su ove promelve l p, /T. Pošto tače prlžo leže duž prave, formula e prmelva. l( p) 3.35.4.45 T 5 4.76 4.545 : 3 4.348 4.67 4.777.6.594.946.7.566 Izračuavae parametara u formul: B : ( ) Parametr u formul : : roud (, 3) B : roud ( B, 3) B : B : B B B 9.769.786 3 9.7.786 3 Sreda lateta toplota sparavaa etaa: J R : 8.34 h mol K sp : B R h sp.485 4 J mol K.5 EMPIRIJSK FORMUL S VIŠE NEZVISNIH PROMENLJIVIH, LINERN PO PRMETRIM Formula sa m ezavso promelvh (+) parametara, (,,... ) ϕ (, ) m,... f ˆ (.3) m 6

l, ( ) ϕ ( ) fˆ (.3a) ma st ol ao formula sa edom ezavsom promelvom (.). Tao se (+) (+) sstem ormalh edača formra pomoću edača (.3-.3), gde su: ( ϕr, ϕs ) ϕr (,,..., m, ) ϕs (,,..., m, ), r, s,,..., (, ϕs ) ϕs (,,..., m, ), s,,..., (.4a) (.4) l pomoću formula (.6), gde ( +) X matrca espermeta: [ + ϕ (,,..., m, )],,,...,,,,..., ao oloe ma vetore vredost fuca ϕ (),,..., u espermetalh tačaa (,,..., m, ),,...,. Zadata.8 Taela espermetalh vredost 3 ezavso promelve velče odgovaraućh vredost velče, oa od h zavs e: 3. 5..6 4. 5. 3.7 3. 7. 4... 5.5..5 6..5 5. Potreo e odredt parametre u learo emprso fomul: Rešee: (,, 3 ) a+ c3 + Fuce u emprso formul su: ϕ (), ϕ (), ϕ () 3 pa su vetor vredost fuca u espermetalm tačama: 6

φ 3.7 φ 4 φ 5 6..6.5 Matrca vetor sloodh oefceata sstema ormalh edača doau se ao salar prozvod: 5 4. 3..5 :.. :.. Φ, : φ φ d : φ 9 Φ 7 8.4.36 d 39. 7.36 39. 56.5 4.5 66.85 89 Traže parametr: a c : Φ d a c.576.8.97 Espermetale račuse vredost zavso promelve odstupaa: rac e.574 -.574 5 4.95.75 7 7.8 -.8 9.89.7.5.5 -. 5 5.95 -.95 Koačo, prmetmo da learu po parametrma formulu (.3) uve možemo da zamemo evvaletom edostavom learom formulom: f ( ) ˆ X (.5) uvođeem ovh ezavso-promelvh X,,,..., smeom: (,..., ),, X ϕ m,..., (.5a) 6

.6 METOD NJMNJIH KVDRT U MTHCD-u Formule sa edom ezavso promelvom, leare po parametrma Za zračuavae parametara u emprso formul learo po parametrma (.), metodom amah vadrata, u Mathcad-u služ fuca lft sa argumetma, redom: - uređe vetor espermetalh vredost ezavso promelve - odgovarauć vetor espermetalh vredost zavso promelve Φ - vetor fuca, Φ [ ϕ ( )] +,,,,..., Fuca vraća vetor vredost parametara:,,,..., Zadata.9 Rešt Zadata.5, orsteć fucu lft. Rešee: Mathcad (Prat., XX-3) Odseča ag u pravolso zavsost Odseča ag u pravolso zavsost (.) mogu se dot, pomoću fuca tercept slope sa argumetma, redom, če e začee sto ao od fuce lft, l, pomoću fuce le, sa stm argumetma, oa vraća vetor, č e prv elemet odseča, a drug ag. Zadata. a) Podate z prethodog zadata ftovat Klaperoovom edačom: log p + T orsteć Mathcad fuce tercept, slope le. ) Izračuat parametre u formul pomoću fuce lft c)uporedt valtete ftovaa dath podataa Rdelovom (Zadac.5.9) Klaperoovom formulom Formule sa edom ezavso promelvom, eleare po parametrma o formula e leara po parametrma, e parametr se doau teratvm postupom (ormale edače (.9), oe se rešavau su eleare), pomoću fuce geft č su parametr redom: - uređe vetor espermetalh vredost ezavso promelve 63

- odgovarauć vetor espermetalh vredost zavso promelve p - vetor polazh procea za parametre,,,..., F - vetor fuca, č e prv elemet emprsa formula, a preostalh (+) elemeata su parcal zvod formule po parametrma,,...,, redom Fuca vraća vetor zračuath vredost parametara,,,..., Zadata. a) Izračuat parametre u elearzovao Rdelovo edač za apo pare ezola, p + T+ logt+ 3T z podataa dath u Zadatu.5, orsteć fucu geft. ) Uporedt valtet ftovaa Rdelovh formula, doeh learom (Zadata.9) elearom MNK c) Isptat efeat smavaa parametra TOL a valtet doee eleare formule. Formule sa vše ezavso promelvh Za zračuavae parametara u emprso formul sa vše ezavso promelvh, learo l elearo po parametrma, orst se SOLVE BLOCK u ome se doau vredost parametara,,,...,, o mmzuu fucu S() (.7), tao što se umesto fuce Fd, a aaloga ač pozva fuca Merr oa prlžo "rešava" edaču: S() tao što prlžo alaz vetor, o dae amau moguću vredost fuce S(). Da se locralo želeo od vše mogućh rešea elearog prolema, uutar SOLVE BLOCK-a se mogu, orsteć Bulove operatore, defsat ogračea u vez sa vredostma tražeh parametara,,,...,. Kao od oršćea fuce Fd, posto mogućost zora ede od tr pouđee umerče metode (Pogl. 9.5). Zadata. Potreo e a az espermetalh vredost Reoldsovog roa Re, Pradtlovog roa Pr Nuseltovog roa Nu (Prat., XXI-) zračuat parametre u rteralo edač: Nu Re Pr a) Izračuat tražee parametre z learzovae rterale edače ) Izračuat parametre elearom MNK, pomoću SOLVE BLOCK-a sa fucom Merr provert efeat promee umerče metode vredost parametra TOL a valtet rešea (vredost fuce S()) c) Uporedt valtete ftovaa edača doeh learom elearom MNK Rešee: Mathcad (Prat.,XXI-4) 64

lteratvo, mmzaca fuce S() može se zvest pomoću fuce Mmze, č su parametr, redom: F - fuca oa se mmzue, prethodo defsaa (ovde S()) - polaza procea vetora vredost ezavso promelvh, u oma fuca F() ma mmum, ovde procea vetora Fuca vraća vetor zračuath oordata mmuma. o se žele postavt ogračea a vredost parametara, fuca se pozva a rau SOLVE BLOCK-a, u ome su, spod Gve formulsaa ogračea. Kao od oršćea fuca Fd Merr, a aaloga ač se može zarat eda od vše umerčh metoda Zadata.3 a) Nać parametre rterale edače z prethodog zadata, elearom MNK, pomoću fuce Mmze provert efeat zora umerče metode mmzace velče parametra TOL. ) Uporedt rešee sa om doem u prethodom zadatu () Rešee: Mathcad (Prat.,XXI-5) ZDCI. Izvest formulu za određvae parametra a u learo emprso formul a z espermetal tacaa (,,, ), metodom amah vadrata (MNK): Rešee: a. Date su, espermetalo određee adsorovae olče (m) NO a sla gelu, pr razlčtm parcalm prtscma (p) NO u vazduhu, a 5 C atm. p(mmhg) : 4 6 8 g NO m.4.9.65.6 3.65 4.85 g sla gela a) Metodom amah vadrata, za date podate odredt parametar u edostavo emprso emprrso formul: m p ) Learom MNK, za date podate odredt parametre m u Frodlhovo zoterm, m p c) Uporedt valtete ftovaa emprsh formula doeh u a) ) Rešee: a).36 ).5,.39 65

c) s a.55, s.4.3 Reaca zmeđu etle dromda () alum odda (B) se odva u tečo faz u prsustvu 99% metaola a 6 C. C H 4Br + 3KI CH 4 + KBr + KI 3 + 3B C + D + E Meree se ocetrace etle dromda C u šaržom reatoru u fuc vremea t. Počete ocetrace reataata su le: C.864 mol/m 3, C B.53 mol/m 3. Iz zmereh ocetraca račuat su stepe overze etle romda X, X C C C doee su sledeće vredost. Vreme, t (s) Koverza, X 9.7.863 4.5.363 47.7.499 55.8.457 6..489 7.9.5396 83.7.5795 Teors zraz za stepee overze u fuc vremea, doe tegracom etčog zraza, za razlčte pretpostavlee parcale redove posmatrae reace su: Parc. redov zraz za rzu reace: po, po B, r C ) ( Teorsa edača: l t X po, po B ( r C C X B ) 3 l M CB t, M ( M 3) C X C a) Na osovu espermetalh podataa grafčog rteruma odarat parcale redove reace, odoso adevata zraz za rzu reace. ) Za oa modela zračuat z espermetalh podataa ostatu rze reace potvrdt zor u a) poređeem valteta ftovaa. Rešee: a) e prmećue se razla zmeđu modela ). (model, s.9-4 ),.84 (model, s.5-3 ).4 U STM postupu su meree temperature t do oe predestlše zaprems udeo ee afte : :..5.95 66

t, C : 7 85 potreo e z espermetalh podataa, learom MNK zračuat parametre u emprso edač: β t t p T α[ l( ) ], gde e T t t t p - temperatura početa destlace t - temperatura raa destlace Rešee: Za temperature početa ( ) raa destlace ( ) usvoee su procee sa grafa (t p 65 C, t p 9 C) doee su vredost parametara: α. 39, β.96 p.5 Dat su zmere parcal prtsc p (atm) odgovarauće olče hesaa c(mol/g), adsorovae po g sla gela a ormalom prtsu temperatur 7 C. Potreo e metodom amah vadrata odredt parametre a u emprso formul (Lagmrova zoterma): ap c + p p, atm..4.8.3.56.6 c 5, mol/g.5 6. 7. 34.6 43. 47.3 a) Poazat da se uvođeem ove zavso promelve: trasformsat u evvaletu, learu po parametrma. ) Odredt tražee parametre leraom MNK. Rešee : ) a 5.93-4, 85., polaza formula može p.6 Polazec od reacoe smeše oa sadrž samo reatate B u ocetracama, 3 C CB. mol m, određvae su olče doeog prozvoda C po edc zapreme (, mol/m 3 ) u povrato reac, + B C () odgovarauće rze reace (mol/m 3 h) : :...4.6.8 :.6.79.44.84.38. a) Potreo e provert pretpostavu da e zavsost rze posmatrae hem. reace od olče doeog produta: ( ) ( C ) () (gde su epozate ostate rza drete suprote reace), pogodom smeom promelvh, oa zavsost () prevod u pravolsu. 67

) Polazeć od learzovae formule Y (X), gde su X Y ove promelve, metodom amah vadrata procet ostate zračuat odgovarauć sred vadrat odstupaa račush espermetalh vredost rze reace,. c) Odredt ostate u () metodom amah vadrata, polazeć od orgalh podataa (,), uporedt sred vadrat odstupaa sa om doem u ) orazložt hov odos. Rešee: a) podelt levu desu strau edače sa (C - ) ).5,.3, s.3 c).5,.9, s.37.7 Polazec od reacoe smeše oa sadrž supstace B u ocetracama, 3 3 C.8mol m, CB.5 mol m, meree su ocetrace supstace (mol/m 3 ) u tou vremea t (m) zvođea povrate reace, B rad određvaa ostat rze drete suprote reace : t: 3 5 C :.8.6.543.57.5.5 Podac poazuu da e ao m postguta reacoa ravoteža ( sastav reacoe smeše se vše e mea u tou vremea) da e ravoteža ocetraca supstace : 3 C e.5 mol m. Pozato e da su dreta suprota reaca elemetare, t. prvog reda, pa e rza promee ocetrace supstace data dferecalom edačom: dc dt C CB, C () C čom tegracom se doa sledeća edača oa opsue promeu ocetrace reatata u tou vremea : e C C l e + C C ( ) t () a) Polazeć od () relace za ravotežu ostatu K : e CB + C C K () C e pomoću metode amah vadrata odredt ostate ( m - ) ( m - ) ) Formulsat elearu edaču čm se rešavaem, z dath espermetalh podataa, metodom amah vadrata, zračuava parametar a + u fuc C (t) doeo z (). c) Izračuat parametar a z ) rešavaem doee edače pomoću fuce root. d) Izračuat parametar a z ) pomoću fuce geft. Rešee: a).74,.5 e e at ) C C + ( C C) e c) a.5 68

d) a.5.8 Podac za reacu slea sa romom a 7 C su dat u tael. Materal las šaržog reatora e: dcbr CBr () dt gde e C ocetraca roma u mol/dm 3, e ostata rze e red reace. Br a) Odredt dc Br dt za sve vredost t u tael dferecraem uog splaa (sa fucom csple) ) Odredt z learom MNK c) Odredt elearom MNK upored valtet ftovaa sa om o e ostvare learom MNK. Vreme t (m) Kocetraca Br (mol/dm 3 ) Vreme t (m) Kocetraca Br (mol/dm 3 ).3335 9.6.49.5.965 7..6 4.5.66 3..53 6.33.45 38..83 8..5 4..767.5.5 45..75..9 47..678 3.5.794 57..553 5.6.63 63..48 7.85.5 Rešee: ).95,.55, s.9-4 c).94,.55, s.95-4.9 Potreo e podate o specfčm toplotama T(K) 3 4 5 6 7 8 9 c p.47.34.37.9.6.36.8.4.94 ftovat polomom stepea m, orsteć fucu lft a) Odredt oefcete u polomu 3. stepea, P 3 (T). ) Odarat optmala stepe poloma m z uslova da e za ta polom srede vadrato odstupae emprse formule od espermetalh podataa: s mmalo e ( m + ) [ P ( )] m ( m + ) c) Poovt ) orsteć fuce regress terp Rešee: a).984 -.5 +.78 -.993 3 69

) polom 8-og stepaa (prolaz roz sve tače) pa će odstupae espermetalh od teorsh vredost t edao.. Dat su apo para oaa: t, C p, mmhg t, C p, mmhg 4.5 57.76 5 8.6 3.88 6 9.77 3.87 7 47.9 3 43.9 8 7.7 4 565.8 9 8.53 5 744.6 Potreo e date podate ftovat toaovom edačom za apo pare: B l p, C + T T u stepema K a) Poazat da se toaova edača može prevest u evvaleta ol, leara po parametrma: gde e: l p l p a+ + c T T a, C B, c C (Pomoć: pomožt polazu edaču sa (C+T)...) ) Korsteć learu multvaralu (vše ezavso promelvh) MNK z dath podataa odredt parametre, B C rešavaem odgovaraućeg sstema ormalh edača. c) Learom multvaralom MNK odredt parametre, B C, orsteć fucu merr. d) Korsteć fucu geft, polazeć od vredost parametra doeh u ) c), odredt popravlee vredost parametara. Rešee: ) 5.97, B 3.9 3, C -7.57 c) sto ao pod ) d) 5.97, B 3.9 3, C -7.53. Potreo e apoe para oaa (prethod prolem) ftovat Harlaherovom edačom za apo pare oa e mplcta po p: B p l p + + C l( T ) + D, T u stepema K. T T a) Korsteć pogodu smeu zavso promelve, zračuat learom edovaralom MNK parametre, B C, ao se za parametar D uzme vredost z lterature, D 8.69. ) Izračuat sva četr parametra learom multvaralom MNK rešavaem odgovaraućeg sstema ormalh edača. c) Odredt parametre learom multvaralom MNK orsteć fucu merr. 7

d) Polazeć od rezultata doeh u ) c) odredt tražee parametre pomoću eleare multvaraule MNK. e) Uporedt srede vadrata odstupaa formula doeh u a), c) d) Rešee: a) 74., B -8 3, C -8 ) 83., B -8.43 3, C -9.35, D 9. c) sto ao pod ) d) 76.4, B -8. 3, C -8.38, D 3. e) s a.7, s,c., s d 9-4. Merea e početa rza reace (-r ) za reacu u gaso faz: P (torr) P B (torr) -r (torr/s) 6.4 8.647.895.88 6.8.639.895 4.65 6.55. Odredt parametre u emprso formul: a β r P PB Rešee: leara MNK: 6.5-3, α.49, β.5, eleara MNK: 6.4-3, α.49, β.5, 7