PRIMJER 3. MATLAB filtdemo

PRIMJER 3. MATLAB filtdemo

Prijenosna funkcija (IIR) Hz () =, 6 +, 3 z +, 78 z +, 3 z +, 53 z +, 3 z +, 78 z +, 3 z +, 6 z, 95 z +, 74 z +, z +, 9 z +, 4 z +, 5 z +, 3 z +, 4 z 3 4 5 6 7 8 3 4 5 6 7 8

Prijenosna funkcija (FIR) Hz ()= b z i i i..4. -.7 3. -.4 4..5 5.. 6. -.4 7..7 8..34 9. -.3 -.4.47.38 3 -.78 4 -.3 5.4 6 -. 7 -.48 8.67 9.7 -.5 -.76.7 3.4 4 -.43 5 -.4 6.673 7 -.6 8 -.6 9.3 3.4839 3.4839 3.3 33 -.6 34 -.6 35.673 36 -.4 37 -.43 38.4 39.7 4 -.76 4 -.5 4.7 43.67 44 -.48 45 -. 46.4 47 -.3 48 -.78 49.38 5.47 5 -.4 5 -.3 53.34 54.7 55 -.4 56. 57.5 58 -.4 59 -.7 6.4

Usporedba IIR / FIR - - -4-4 -6-6 -8-8 - - -..4.6.8. -..4.6.8. - -4-6 -8 - - - - -3-4 -5-4..4.6.8-6..4.6.8.

Nerekurzivni digitalni filtri

Primjer - aritmetička sredina u s = u + u + + u M M u F u s

Interesantan je sustav koji služi za glačanje (usrednjavanje) slučajnih varijacija u signalu. M-point moving average system [ ] yn = [ ] + [ ] + [ ] + + [ + ] un un un un M M ili M yn= un i M [ ] [ ] i= M M yn= un i= hi un i M [ ] [ ] [ ] [ ] i= i= [] hi Sustav ima konačan impulsni odziv - FIR sustav

Primjer - MATLAB amplituda orginalni signal 7 6 5 4 3 3 4 5 vremenski indeks n amplituda.4. -. šum -.4 3 4 5 vremenski indeks n

Primjer - nastavak amplituda 8 6 4 3 4 5 vremenski indeks n amplituda 7 6 5 4 3 3 4 5 vremenski indeks n orginalni signal orginalni signal šum signal + šum y[n] - izlaz iz moving average filtra

FIR sustav za M= Pogledajmo o kojem se sustavu radi: Uzmimo M= [ ] = [ ] [ ] = hi [] y n h i u n i i= = M = = = = u[ n i] [ ] i= u n i = i =

FIR sustav za M=... y[ n] = u[ n i] = i = [ ] jωn = e u n n ( jωn j ( n ) e e ω ) jωn = + = ( jω e e ) ( ω = + e ) e H( e jω ) j jω n + =

FIR sustav za M=... Isto pomoću Z-transformacije Y( z) = ( + z ) U( z) ( ) H z z = e j ω H( e jω )

FIR sustav za M=... ( jω) ( jω e ) H e = + = = e e + e e ω ω ω ω j j j j = e e + e j ω j ω j ω cos ω = = cos ω ω e j Niskopropusni filtar

FIR sustav za M=... ( jω ) H e = ω ω j cos e Amplitudna karakteristika, M= Fazna karakteristika, M= Amplituda.8.6.4..π.4π.6π.8π π frekvencija Faza u stupnjevima - -4-6 -8.π.4π.6π.8π π frekvencija

FIR sustav za proizvoljni M Za proizvoljni M vrijedi: j jωn ( ω ) [ ] h[ n] H e = h n e = n =, n M = M =, inače M jω n... = e = M n = M ω sin = M ω sin ( ) e j M ω

FIR sustav za proizvoljni M... ( jω ) H e Amplitudna karakteristika M ω sin = M ω sin e ( jω ) H e ω j ( M ) M ω sin = M ω sin Amplitudno-fazna karakteristika Fazna karakteristika θ ( ω) = ( M ) ω + π gdje je μ( ω ) M i = μ step u ω ω πi M

FIR sustav za proizvoljni M... Amplituda Amplitudna karakteristika.8 M=5.6 M=4.4..π.4π.6π.8π π Faza u stupnjevima 5-5 - -5 - Fazna karakteristika M=5 M=4.π.4π.6π.8π π frekvencija frekvencija

Grupno kašnjenje Daljnji parametar za karakterizaciju filtara je grupno kašnjenje. mjera linearnosti fazne funkcije ( ) τω θ = d dω za prije navedeni primjer: τω ( ) = M ( ω) c, gdje je θ ( ω ) c faza

Projektiranje FIR filtra Pretpostavimo signal koji je suma kosinusnih signala { } μ ( ) [ ] = [ ] + [ ] = ( ) + ( ) u n u n u n cos, n cos,4 n n Pretpostavimo da želimo sustav (filtar) koji će: - gušiti signal u [n] (kosinus kutne frekv., rad/sec) - propuštati signal u [n] (kosinus kutne frekv.,4 rad/sec) Radi jednostavnosti uzmimo: - red filtra N= (tri uzorka impulsnog odziva) - impulsni odziv filtra [ ] [ ] α [ ] h = h = h = β

Projektiranje FIR filtra... Jednadžba diferencija ovog sustava je: [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] y n = h u n + h u n + h u n = [ ] [ ] [ ] = α u n + β u n + α u n a pripadna frekvencijska karakteristika ( ) [ ] [ ] [ ] jω jω jω H e = h + h e + h e = ( jω e ) jω = α + + β e = jω jω e + e jω jω = α e + β e = = α cos ω + β e jω ( ( ) )

Projektiranje FIR filtra... Amplitudna i fazna karakteristika filtra su ( ) cos( ) H e jω = α ω + β θ( ω ) = ω Iz zahtjeva na filtar određujemo α i β H( e j, ) = α cos (, ) + β = } H e j 4, = α cos, 4 + β = ( ) ( ) što daje [ ] [ ] [ ] α = 6, 7695 β = 3, 456335 ( ) [ ] y n = 6,7695 u n + u n + 3,456335 u n

Projektiranje FIR filtra... Uz pobudu: [ ] = cos(, ) + cos(,4 ) { } μ ( ) u n n n n Amplituda 4 3 - Ulazni signali - 4 6 8 Vremenski indeks n Ulaz u [n] Ulaz u [n] Ulaz u[n]=u [n]+u [n] Amplituda 4 3 - - Ulazni signal / filtrirani signal 4 6 8 Vremenski indeks n Ulaz u[n]=u [n]+u [n] Izlaz y[n]

FIR-filtri filtri s linearnom fazom simetrija impulsnog odziva je nužan preduvjet za linearnu fazu ovisno o tipu simetrije impulsnog odziva definiramo četiri tipa FIR filtra sa realnim impulsnim odzivom duljine N+

Tipovi FIR-filtara > Tip -simetričan impulsni odziv - neparan broj uzoraka impulsnog odziva > Tip -simetričan impulsni odziv - paran broj uzoraka impulsnog odziva > Tip 3 - antisimetričan impulsni odziv - neparan broj uzoraka impulsnog odziva > Tip 4 - antisimetričan impulsni odziv - paran broj uzoraka impulsnog odziva

Tip FIR filtra impulsni odziv zadovoljava slijedeći uvjet h[ n] = h[ N n], n N za daljnje razmatranje pretpostavimo N=8. U tom slučaju prijenosna funkcija filtra je ( ) [ ] [ ] [ ] [ 3] [ 4] 5 6 7 8 + h[] 5 z + h[] 6 z + h[] 7 z + h[] 8 z 3 4 H z = h + h z + h z + h z + h z +

Tip FIR filtra... Prema definiciji tipa FIR filtra za N=8 vrijedi [ ] [ ] [ ] [ ] h = h[ 8], h = h[ 7], h = h[ 6], h 3 = h[ 5], te se prethodni izraz može pojednostaviti ( ) ( 8) [ ] ( 7 = [ ] + + + ) + + h[ ] ( ) []( 3 ) [ 4] H z h z h z z 6 3 5 4 z + z + h z + z + h z = 4 ( 4 4) 4 [ ] ( 3 3) [ ] ( ) [] 3 ( ) [ 4] = h[ ] z z + z + h z z + z + 4 4 4 +h z z + z + h z z + z + h z = { ( ) [ ] ( ) 4 4 4 3 3 = z h[ ] z + z + h z + z + [ ] ( ) []( 3 ) [ 4]} + h z + z + h z + z + h

Tip FIR filtra... Pripadna frekvencijska karakteristika { ( jω ) j4 ω [ ] cos( 4ω) [ ] cos( 3ω) H e = e h + h + ili u općem slučaju [ ] cos( ω) [] cos( ω) [ ]} + h + h 3 + h 4 N / H e e a m m m = ( jω) jnω/ = [ ] cos( ω ) a[ ] = h N, a[ m] = h N m, m N

Tipovi FIR-filtara... Tip - simetričan impulsni odziv - neparan broj uzoraka h[n] 6 34 5 7 8 n N=8 N / H e e a m m m = ( jω) jnω/ = [ ] cos( ω ) a[ ] = h N, a[ m] = h N m, m τω ( ) = N Centar simetrije (4) N

Tipovi FIR-filtara... Tip - simetričan impulsni odziv - paran broj uzoraka h[n] 34 5 6 7 n N=7 H ( N ) + = m = / ( jω ) jn ω / e e b[ m ] cos b[ m] = h N + m, m τω ( ) = N Centar simetrije (3,5) ω N m +

Tipovi FIR-filtara... Tip 3 - antisimetričan impulsni odziv - neparan broj uzoraka h[ n] = h[ N n], n N h[n] Centar antisimetrije (4) 5 8 34 6 7 n N=8 N / H e e e c m m m = ( jω ) jnω / jπ / = [ ] sin ( ω ) c[ m] = h N m, m τω ( ) = N N

Tipovi FIR-filtara... Tip 4 - antisimetričan impulsni odziv - paran broj uzoraka h[n] Centar antisimetrije (3,5) 4 7 3 5 6 n N=7 ( N + ) / ( jω ) jnω / jπ / H e = e e d [ m] sin ω m m = d[ m] = h N + m, m N + τω ( ) = N

Tipovi FIR-filtara... h[n] h[n] Tip 6 Tip 34 5 7 8 n 34 5 6 7 n h[n] Centar simetrije (4) Tip 3 Tip 4 Centar antisimetrije (4) 3 4 5 6 7 8 n h[n] Centar simetrije (3,5) Centar antisimetrije (3,5) 4 7 3 5 6 n