Polioame Fiboacci, polioame ciclotomice Loredaa STRUGARIU, Cipria STRUGARIU 1 Deoarece şirul lui Fiboacci este cuoscut elevilor îcă dicl.aix-a,iarrădăciile de ordiul ale uităţii şi polioamele ciclotomice sut î materia prevăzută la cl. a X-a petru olimpiada de matematică, cosiderăm că abordarea uui asemeea subiect este utilă atât elevilor cât şi profesorilor. Vom prezeta câteva rezultate privid polioamele Fiboacci şi cele ciclotomice şi legătura ditre ele. 1. Polioame Fiboacci - defiire, legătura cu triughiul lui Pascal. Polioamele Fiboacci sut defiite pri relaţia de recureţă F +1 (x) =xf (x)+f 1 (x), cu F 1 (x) =1 şi F 2 (x) =x (1) saupriurmătoarea formulă explicită [( 1)/2] X µ 1 F (x) = =0 µ 1 ude [x] este partea îtreagă aluix, iar C 1. F 0 =0. Observaţie. Polioamele Fiboacci pot fi defiite pri relaţia de recureţă x 2 1, (2) Se covie ca F (x) =xf 1 (x)+f 2 (x), cu F 0 (x) =0 şi F 1 (x) =1. (1 0 ) Exemple: F 1 (x) =1, F 2 (x) =x, F 3 (x) =x 2 +1, F 4 (x) =x 3 +2x, F 5 (x) =x 4 +3x 2 +1 etc. Luâd x =1î (2), obţiem F (1) = F, ude F este şirul lui Fiboacci. Lema 1 (proprietatea de divizibilitate). Dacă m este divizor al lui, atuci F m este divizor al lui F. Dacă p este u umăr prim, atuci F p (x) este poliom ireductibil. Teorema 1. Fie F 0, F 1, F 2,... polioamele Fiboacci peste câmpul Galois de dimesiue 2. Atuci, avem: 1) F 2+1 sut sigurii termei de grad par şi u sut divizibili cu x; F 2 sut sigurii termei de grad impar, 0; 2) F t + F +t = xf F t, petru 0 t ; 3) F 2 = xf, 2 petru 0; 4) F 2+1 = F 2 + F+1, 2 petru 0; 5) F m (x) =F m (x) F (xf m (x)), petru petru m, 0; 6) F 2m p = xf m F m p + F p, petru 0 p m; 7) F 2m+p = xf m F m+p + F p. µ kπ Rădăciile poliomului F (x) sut de forma x k = 2i cos, petru k = 1,..., 1. Petru p umăr prim, aceste rădăcii sut de 2i ori partea reală a 1 Profesori, Colegiul Naţioal "Eudoxiu Hurmuzachi", Rădăuţi (Suceava) 8
rădăciilor poliomului ciclotomic de ordiul p. Aalizâdcoeficieţii primelor polioame Fiboacci se observă legătura ditre triughiul lui Pascal şi aceste polioame: F 1 (x) =1x 0 F 2 (x) =1x 1 F 3 (x) =1x 2 + 1x 0 F 4 (x) =1x 3 + 2x F 5 (x) =1x 4 + 3x 2 + 1x 0 F 6 (x) =1x 5 + 4x 3 + 3x 1 F 7 (x) =1x 6 + 5x 4 + 6x 2 + 1x 0 F 8 (x) =1x 7 + 6x 5 + 10x 3 + 4x 1 F 9 (x) =1x 8 + 7x 6 + 15x 4 + 10x 2 + 1x 0 F 10 (x) =1x 9 + 8x 7 + 21x 5 + 20x 2 + 5x 1. A. N. Philippou şi asociaţii săi [4] au studiat polioamele Fiboacci de ordiul k, k 2, pecarele-audefiite astfel: F (k) 0 (x) =0,F (k) 1 (x) =1 F (k) P (x) = x k F (k) (x), =1 =2, 3,...,k; (3) F (k) P (x) = k x k F (k) (x), =1 = k +1,k+2,... Observaţie. Petru k =2acestea se reduc la F (x), iarpetruk =1se reduc la şirul lui Fiboacci F (k) de ordiul k. 2. Polioame ciclotomice - defiire, proprietăţi. Petru fiecare umăr atural 1 rădăciile complexe ale ecuaţiei x =1se umesc rădăciile de ordi ale uităţii. Acestea sut umere complexe de forma x k =cos 2kπ 2kπ + i si, k =1, 2,..., 1. (4) Mulţimea acestor rădăcii se otează cu U = {x C x =1}. Teorema 2. Mulţimea U este u grup ciclic faţă deîmulţirea umerelor complexe, umit grupul rădăciilor de ordiul ale uităţii. Propoziţie. Fie U = x k =cos 2kπ 2kπ + i si ; k =1, 2,..., 1.ª.Atuci hx k i = U (k, ) =1. (5) Grupul ciclic U are ϕ () geeratori, ude ϕ () este umărul umerelor aturale maimicica, relativ prime cu (idicatorul lui Euler). Cele ϕ () rădăcii de ordiul ale uităţii care geerează grupul U,adică umerele complexe de forma x k =cos 2kπ 2kπ + i si,k=1, 2,..., 1, (k, ) =1. (6) se umesc rădăciile primitive de ordiul ale uităţii. Notăm cu P mulţimea rădăciilor primitive de ordiul ale uităţii şi cu ζ orădăciă primitivă (oarecare) de ordiul a uităţii. 9
Teorema 3. P = o ζ k 0 k 1, (k, ) =1. (7) Observaţie. Dacă = p = umăr prim, atuci P p = U p \{1}. Teorema 4. 1) S P d = U, 2) P d1 T Pd2 =, d 1, d 2 divizori aturali ai lui, d 1 6= d 2. Poliomul moic ale cărui rădăcii sut rădăciile primitive de ordiul ale uităţii, se umeste al -lea poliom ciclotomic şi are forma Φ (X) = Y (X ζ), N. (8) ζ P Gradul poliomului ciclotomic Φ (X) este egal cu cardialul mulţimii P, adică ϕ (). Teorema 5 (relaţia lui Dedekid). X 1= Y Φ d (X) (9) ude produsul se face după toţi divizorii aturali ai lui. Demostraţie. Folosid descompuerea î factori a poliomului X 1 şi Teorema 4, avem X 1= Y ζ U (X ζ) = Y (X ζ) = ζ S P d Y Y (X ζ) = Y Φ d (X). ζ P d Teorema 6. Petru p>0, umăr prim, avem: Φ p (X) =X p 1 + X p 2 + + X +1. (10) ³ Observaţie. Φ p k (X) =Φ p X pk 1, k N, p umăr prim, p>0. Exemple. Primele 10 polioame ciclotomice: Φ 1 (X) =X 1 Φ 2 (X) =X +1 Φ 3 (X) =X 2 + X +1 Φ 4 (X) =X 2 +1 Φ 5 (X) =X 4 + X 3 + X 2 + X +1 Φ 6 (X) =X 2 X +1 Φ 7 (X) =X 6 + X 5 + X 4 + X 3 + X 2 + X +1 Φ 8 (X) =X 4 +1 Φ 9 (X) =X 6 + X 3 +1 Φ 10 (X) =X 4 X 3 + X 2 X +1. Teorema 7 (relaţia lui Möbius-Dedekid). Petru orice N există relaţia: Φ (X) = Y X d 1 µ( d ), (11) 10
ude µ : N { 1, 0, 1} este fucţia lui Möbius, dată pri 1, dacă =1, µ () = ( 1) k,dacă = p 1 p 2 p k (p 1,p 2,...,p k prime disticte), 0, dacă se divide pri patratul uui umar prim. Alte proprietăţi ale polioamelor ciclotomice: 1) Φ (X) Z [X], N, 2) Φ (X) este ireductibil î ielul Z [X], N, 3) Φ (X) este u poliom reciproc, 2, 4) Petru N şi p>0 u umăr prim avem: i) dacă p divide, Φ p (X) =Φ (X p ), ii) dacă p u divide, Φ p (X) = Φ (X p ) Φ (X), 5) Φ 2 (X) =Φ ( X), petru>1, umăr atural impar. 3. Legătura ditre polioamele Fiboacci şi polioamele ciclotomice. Această legătură afostexpusădek. Kuwao î The Desig of Mathematic Workshop (î apoeză), Scietist, 2004 şi apoi preluată dek. Motose î [3]. Cosiderâd două variabile x şi y şi otâd cu X = x + y şi Y = xy, vomdefii polioamele simetrice F (X, Y ) pri F (X, Y )= x y x y, (12) umite polioame Fiboacci de două variabile. Exemple. F 0 =0, F 1 =1, F 2 = x + y = X, F 3 = x 2 + y 2 + xy = X 2 Y etc. Lema 2. i) F m+ = F m F +1 YF m 1 F, petru 0 şi m 1; î particular, F +2 = XF +1 YF. (13) ii) Dacă m este divizor al lui, atucif m este divizor al lui F. Demostraţie. i) direct pri îlocuire î formula (12). ii) Deoarece x m y m este divizor al lui x y,rezultăafirmaţia. Observaţie. Dacă cosiderăm î formula (13) X = 1 şi Y = 1, obţiem şirul lui Fiboacci, fapt petru care polioamele F (X, Y ) au fost umite polioame Fiboacci. O altă formă a polioamelor Fiboacci de două variabile este: F (x, y) = [( 1)/2] X =0 µ 1 x 2 1 y, 1. (14) Î mod iductiv, vom defii polioamele ciclotomice de două variabile Φ 1 (x, y) =x y, x y = Y Φ d (x, y). (15) Lema 3. i) Φ (x, y) = Q x d y d µ( d ). ii) Φ (x) =Φ (x, 1). iii) Φ (x, y) =Φ (y,x), petru 2. 11
Demostraţie. i) rezultă di formula de iversiue a lui Möbius, iar ii) di i) şi defiiţia lui Φ (x). iii) decurge di puctul i) şi formula P µ d =0petru 2. Deoarece polioamele Φ (x, y) sut simetrice petru 2, putem defii polioamele P (X, Y ) ude X = x + y, Y = xy astfel îcât Φ (x, y) =P (X, Y ). De exemplu, P 6 = x 2 + y 2 xy = X 2 3Y. Teorema 8. Vom covei ca P 1 =1.Atuci,avem: 1) P este ireductibil î Z [X, Y ]; 2) F = Q P d ; 3) P = Q F µ( d ) d ; 4) (F m,f )=F (m,),ude(,) reprezită c.m.m.d.c.; î particular (F,F +1 )= 1. Demostraţie. 1) P Z [X, Y ] di defiiţie. Dacă P = ST, cus, T Q[X, Y ] polioame ecostate, atuci Φ (x)= Φ (x, 1)= P (x+1,x)= S (x+1,x) T (x+1,x) petru polioamele ecostate S (x +1,x),T (x +1,x) Q [x], cotrar ireductibilităţii peste Q. 2) Rezultă diurmătoarea ecuaţie: F (X, Y )= x y x y = Y Φ d (x, y) =Y P d (x, y). 1 3) Rezultă di formula de iversiue a lui Möbius. 4) Dacă mai îtâi cosiderăm P d = P d 0 atuci avem: Φ d (x) =Φ d (x, 1) = P d (x +1,x)=P d 0 (x +1,x)=Φ d 0 (x) şi astfel d = d 0.DiLema2,ii), ştim că F (m,) este divizor comu al lui F m şi F. Dacă P d este divizor comu al lui F m şi F, atuci d este divizor comu al lui m şi şi deci d este divizor al lui (m, ). AstfelP d este divizor al lui F (m,). Deci, dacă D este divizor comu al lui F m şi F,atuciD este divizor al lui F (m,), deoarece D este u produs al polioamelor ireductibile disticte P d, ceea ce implică afirmaţia. Bibliografie 1. T. M. Apostol - Resultats of Cyclotomic Polyomials. Proc. Amer. Math. Soc. 24(1970), 457-462. 2. T. Koshy - Fiboacci ad Lucas Numbers with Applicatios. New York: Wiley, 2001. 3. K. Motose - O values of cyclotomic polyomials. VII, Math J. Okayama Uiv., 2004. 4. A. N. Philippou, C. Georghiou, G. N. Philippou - Fiboacci polyomials of order k, multiomial expasios ad probability, Iterat. J. Math. Math. Sci., 6(1983), 545-550. 5. M. Ţea - Rădăciile uităţii, Soc. Şt. Mat., Bucureşti, 2005. 6. W. A. Webb, E. A. Parberry - Divizibility Properties of Fiboacci Polyomials, Fiboacci Quarterly 7.5 (1969), 457-463. 7. http://mathworld.wolfram.com 12