Περιεχόμενα μεθόδευση του μαθήματος

Περιεχόμενα μεθόδευση του μαθήματος. Πως ορίζεται η έννοια. Το όριο. To f() f() ; f() εφόσον υπάρχει είναι μονοσήμαντα ορισμένο; εξαρτιέται από τα άκρα α, β των ( α, ) και (, β ) ;. Πως ορίζονται τα πλευρικά όρια;. Αν f() [ f( ) ] ; 5. Αν f() f( h) ; h 6. Όριο σταθερής συνάρτησης στο Χ 7. Όριο ταυτοτικής συνάρτησης στο Χ 8. Όριο πολυωνυμικής συνάρτησης στο Χ 9. Ιδιότητες ορίων (πρόσεξε τη προϋπόθεση για την οποία ισχύουν οι ιδιότητες). Ποιο είναι το Κριτήριο Παρεμβολής. Με τι ισούται το ημ ημ( α) ημ( α),, ; α. Ξέρεις ότι. ;. Όριο στο Χ από την γραφική παράσταση. Όριο στο Χ με εφαρμογή των ιδιοτήτων και κανόνων των ορίων 5. Όριο στο Χ σε συναρτήσεις πολλαπλού τύπου 6. Απροσδιόριστη μορφή / σε ρητές συναρτήσεις 7. Απροσδιόριστη μορφή / σε άρρητες συναρτήσεις με όμοιας τάξης ριζικά 8. Απροσδιόριστη μορφή / σε άρρητες συναρτήσεις με διάσπαση 9. Απροσδιόριστη μορφή / σε άρρητες συναρτήσεις με διαφορετικής τάξης ριζικά. Τριγωνομετρικά όρια. Όρια με απόλυτα. Κριτήριο παρεμβολής. Μηδενική επί φραγμένη. Τεχνική του Θέτω 5. Αλλαγή μεταβλητής 6. Όρια με παραμέτρους oριακή τιμή συνάρτησης Σελίδα

ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΟ ΟΡΙΟ ΣΤΟ ΟΡΙΣΜΟΣ Έστω μια συνάρτηση f, η οποία είναι ορισμένη (τουλάχιστον) σε ένα σύνολο της μορφής ( a, ) (, β ) Αν οι τιμές της πλησιάζουν όσο θέλουμε έναν αριθμό, καθώς οι τιμές του προσεγγίζουν με οποιονδήποτε τρόπο τον αριθμό (χωρίς να είναι ίσες με το ), τότε λέμε ότι το όριο της f όταν το τείνει στο είναι το και γράφουμε f(). Έστω μια συνάρτηση f ορισμένη (τουλάχιστον) σε y ένα διάστημα της μορφής α, ). Αν οι τιμές της C f ( πλησιάζουν όσο θέλουμε έναν αριθμό, καθώς το πλησιάζει το από αριστερά ( < ), λέμε ότι το αριστερό πλευρικό όριο της f στο είναι το και γράφουμε: f() o Έστω μια συνάρτηση f ορισμένη (τουλάχιστον) σε ένα διάστημα της μορφής (, β ). Αν οι τιμές της πλησιάζουν όσο θέλουμε έναν αριθμό, καθώς το πλησιάζει το από δεξιά ( > ), λέμε ότι το δεξιό πλευρικό όριο της f στο είναι το και γράφουμε: f() o Έστω τώρα μια συνάρτηση f, η οποία είναι ορισμένη (τουλάχιστον) σε ένα σύνολο της μορφής α, ) (, ). Από τους ορισμούς που δόθηκαν προκύπτει ότι: ( β f() αν και μόνο αν o f() o f() o ΣΧΟΛΙΑ. Αποδεικνύεται ότι αν υπάρχει το όριο μιας συνάρτησης f στο, τότε είναι μοναδικό, είναι ανεξάρτητο από τα άκρα α, β των διαστημάτων ( α, ) και (, β ) στα οποία ορίζεται η f. Αν μια συνάρτηση f είναι ορισμένη σ ένα διάστημα της μορφής α, ) ενώ δεν ( ορίζεται σε διαστήματα της μορφής (, β ), το θα μπορεί να προσεγγίσει το μόνο από αριστερά (για < ). Στην περίπτωση αυτή, αν υπάρχει το αριστερό πλευρικό όριο της f έχουμε f() f(). o o l l O oριακή τιμή συνάρτησης Σελίδα

Αν μια συνάρτηση f είναι ορισμένη σ ένα διάστημα της μορφής (, β ) ενώ δεν ορίζεται σε διαστήματα της μορφής ( α, ), το μπορεί να προσεγγίσει το μόνο από δεξιά (για > ). Στην περίπτωση αυτή, αν υπάρχει το δεξιό πλευρικό όριο της f έχουμε f() f(). o o Από τον ορισμό προκύπτει ότι: f() [ f( ) ] και f() f( h h) Για τη σταθερή συνάρτηση έχουμε c c για κάθε IR Για την ταυτοτική συνάρτηση ισχύει: για κάθε Για κάθε πολυωνυμική συνάρτηση P() ισχύει P() P( ), για κάθε IR IR Ακόμα: ημ ημ, συν συν, για κάθε IR ΘΕΩΡΗΜΑ Πρόσεξε: Ας υποθέσουμε ότι για τις συναρτήσεις f και g υπάρχουν τα όρια στο και ότι f (), g() Τότε υπάρχουν τα όρια στο των συναρτήσεων α) β) γ) δ) f ν ν g, αf, fg, f / g, f, f, f και ισχύουν τα εξής: (f() g()) f() g() (αf()) α f () α (α ΙR ) (f()g()) f() g() f () g() f () g() ( ). oριακή τιμή συνάρτησης Σελίδα

ε) f () ν ν f () (ν IN ) ν στ) { f () } { f () } ν (ν IN ) ζ) ν f () ν f () (εφ' όσον f () κοντά στο ). (ν IN ) Οι ιδιότητες (α) και (γ) ισχύουν και για περισσότερες από δύο (πεπερασμένες το πλήθος) συναρτήσεις. Κριτήριο Παρεμβολής Θεώρημα: Έστω οι συναρτήσεις f, g, h. Αν ισχύει g() f () h() κοντά στο και g() h(), τότε f (). o y l O C h C f C g ημ Με τη βοήθεια του κριτηρίου παρεμβολής αποδεικνύεται ότι: ημ(α) και γενικά για κάθε πραγματικό αριθμό α (το α εκφράζεται σε ακτίνια) Πρόσεξε: ημ(α) ημ(α) ημ(α) α α α α α Σπουδαία παρατήρηση: Για κάθε πραγματικό αριθμό είναι: ημ και η ισότητα ισχύει μόνο για. oριακή τιμή συνάρτησης Σελίδα

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ. Όταν εργαζόμαστε με πεπερασμένα όρια στο IR διακρίνουμε τις ακόλουθες περιπτώσεις ή συνδυασμούς τους: Α. Δίνεται η γραφική παράσταση της συνάρτησης. Έχουμε δύο κύριες περιπτώσεις:. Αν το πεδίο ορισμού της συνάρτησης δεν περιέχει ένα τουλάχιστον σύνολο της μορφής (α, ) (, β) ή (α, ) ή (, β), τότε το όριο δεν έχει νόημα.. α) Η συνάρτηση ορίζεται σε διάστημα της μορφής (α, ). Καθώς το κινείται στον άξονα προσεγγίζοντας το από αριστερά, εξετάζουμε αν οι τιμές f() κινούμενες στον άξονα y y προσεγγίζουν έναν αριθμό l. Τότε το αριστερό όριο της στο είναι l : f() l β) Η συνάρτηση ορίζεται σε διάστημα της μορφής (, β). Καθώς το κινείται στον άξονα προσεγγίζοντας το από δεξιά, εξετάζουμε αν οι τιμές f() κινούμενες στον άξονα y y προσεγγίζουν έναν αριθμό l. Τότε το δεξιό όριο της στο είναι l : f() l γ) Η συνάρτηση ορίζεται σε σύνολο της μορφής (α, ) (, β). Υπολογίζουμε τα πλευρικά όρια της συνάρτησης και εξετάζουμε αν είναι ίσα. Αν f() f() l, τότε f() l Αν Εφαρμογή f() f(), τότε δεν υπάρχει το όριο f(). oριακή τιμή συνάρτησης Σελίδα 5

Β. Δίνεται η τιμή f() μιας συνάρτησης ή δίνεται μια αλγεβρική παράσταση και ζητείται το όριό της στο IR. Εργαζόμαστε ως εξής: Προσδιορίζουμε, αν είναι εύκολο, το πεδίο ορισμού της συνάρτησης ή της παράστασης, ώστε να εξασφαλίσουμε ότι ορίζονται κοντά στο, οπότε έχει νόημα η αναζήτηση του ορίου. Αν το πεδίο ορισμού της συνάρτησης δεν περιέχει ένα τουλάχιστον σύνολο της μορφής (α, ) (, β) ή (α, ) ή (, β), τότε το όριο δεν έχει νόημα Στη συνέχεια διακρίνουμε τις επόμενες έξι κατηγορίες ή συνδυασμούς τους: η κατηγορία. Εφαρμογή των ιδιοτήτων και κανόνων των ορίων. Αν η συνάρτηση ή η παράσταση προκύπτουν από τις βασικές συναρτήσεις δηλαδή από: πολυωνυμική συνάρτηση, ρητή συνάρτηση, τριγωνομετρική συνάρτηση, λογαριθμική συνάρτηση, εκθετική συνάρτηση, απόλυτη τιμή συνάρτησης, ρίζα συνάρτησης ή ακόμα από τις πράξεις τους ή από συνθέσεις τους και εφαρμόζονται οι κανόνες και οι ιδιότητες των ορίων, χωρίς να προκύπτει απροσδιόριστη μορφή, τότε το όριο υπολογίζεται απ ευθείας από τον επόμενο κανόνα: Γενικός κανόνας Για όλες τις γνωστές συναρτήσεις, όταν η τιμή f ( ) έχει νόημα στο IR, τότε το όριο ισούται με αυτή: f()f( ). Εφαρμογή oριακή τιμή συνάρτησης Σελίδα 6

η κατηγορία. Για τις συναρτήσεις πολλαπλού τύπου: Εφαρμογές --5 Όταν το είναι σημείο αλλαγής κλάδου, τότε υπολογίζουμε τα πλευρικά όρια Αν f() f() l, τότε f() l Αν f() f(), τότε δεν υπάρχει το όριο f(). Όταν το δεν είναι σημείο αλλαγής κλάδου, τότε το όριο υπολογίζεται από τον αντίστοιχο κλάδο. Εφαρμογή Εφαρμογή oριακή τιμή συνάρτησης Σελίδα 7

Εφαρμογή 5 Δίνεται η συνάρτηση f με α β, < f() α β, >. Να βρεθούν οι τιμές των α, β IR, ώστε η f να έχει όριο στο και η C f να διέρχεται από το Α(, 6). Τα πλευρικά όρια της συνάρτησης στο είναι: f () α β α Πρέπει ( ) β f () α β ( ) α β f () f () α β α β α β () Αφού η C f περνάει από το Α(, 6) τότε: f()6 α β 6 () α β α Από () και () έχουμε το σύστημα : α β 6 β oριακή τιμή συνάρτησης Σελίδα 8

η κατηγορία. Απροσδιόριστη μορφή τύπου. f () Ορισμός: Απροσδιόριστη μορφή τύπου λέγεται η περίπτωση του ορίου g() με f() και g(). Γενικός κανόνας. Ο υπολογισμός ορίου τύπου γίνεται με την απλοποίηση του f () κλάσματος. Σκοπός μας είναι να παραγοντοποιήσουμε αριθμητή και g() παρονομαστή εμφανίζοντας κοινό παράγοντα το o και στη συνέχεια να τον απλοποιήσουμε. Διακρίνουμε τις επόμενες τέσσερις γενικές υποκατηγορίες. α) Ρητές συναρτήσεις. Εφαρμογές 6-7) Απλοποίηση παραγοντοποίηση Παραγοντοποίηση τριωνύμου:α βγα( )( ) α, όπου, είναι οι ρίζες του. Ταυτότητες: α β (αβ)(αβ), α β (αβ)(α αββ ), α β (αβ)(α αββ ) Εφαρμογή 6 Να βρεθούν τα όρια : 7 6 α) β) Κλασικές μέθοδοι: κοινός παράγοντας, ομαδοποίηση, χρήση ταυτοτήτων, παραγοντοποίηση τριωνύμου Διαίρεση πολυωνύμων με το σχήμα HORNER στο Συνδυασμός των παραπάνω περιπτώσεων. 7 6 α) Έστω f(). Είναι ( ) ( 7 6), δηλαδή, έχουμε απροσδιοριστία τύπου και oριακή τιμή συνάρτησης Σελίδα 9

ρ Με το σχήμα του Horner γράφουμε την ταυτότητα της διαίρεσης ( ):() Είναι: ()( ) Ακόμα: ()(), οπότε ()()() Η f έχει πεδίο ορισμού το σύνολο AIR {,, }. Ομοίως, με το σχήμα Ηorner βρίσκουμε 76()()() Έτσι, για κάθε AIR{,, } είναι ( )( )( ) ( )( ) f() ( )( )( ) ( )( ) και επομένως ( )( ) f () ( )( ) ( ) β) Θέτουμε f(). Εύκολα διαπιστώνουμε ότι έχουμε απροσδιοριστία τύπου, οπότε, χρησιμοποιώντας το σχήμα Horner, παραγοντοποιούμε αριθμητή και παρονομαστή, ώστε να εμφανίσουμε τον παράγοντα και να τον απλοποιήσουμε. Είναι ( ) ( ) και ( ) ( ) Η f έχει πεδίο ορισμού το σύνολο ΑIR{}. Είναι f() ( ) ( ) ( ( ) ), για κάθε A και επομένως 6 f () oριακή τιμή συνάρτησης Σελίδα

Εφαρμογή 7 Nα βρεθεί το όριο: ( ν ) ν( ) ν ( ) ν( ) Θέτουμε f() ορισμού είναι το σύνολο Α IR {} Επειδή ( ) το πεδίο ν ν ν Από την ταυτότητα ( )(... ) ν ν ν ( ) ν( ) [( )(... )] ν( ) ν ν ( ) [(... ) ν] Άρα για κάθε A είναι ν ν ( ) [(... ) ν] f() ( ) ( ν ν... ) ν και επομένως: ν ν f () [(... ) v] (... ) ν όροι v ν ν έχουμε β) Άρρητες συναρτήσεις Ορισμός. Άρρητη λέγεται κάθε παράσταση, η οποία περιέχει την μεταβλητή ή μια παράσταση της μεταβλητής σε υπόρριζο. Σε άρρητες παραστάσεις η παραγοντοποίηση γίνεται πολλαπλασιάζοντας του όρους κλάσματος με τις λεγόμενες «συζυγείς» παραστάσεις των παραγόντων που μηδενίζονται. «συζυγείς» παραστάσεις Παράσταση Συζυγής παράσταση Παράσταση Συζυγής παράσταση α β α β α β α αβ β α β β α α β α ± β α β κλπ α ± β αβ oριακή τιμή συνάρτησης Σελίδα α β α α β β κλπ

Απλά ριζικά (ίδιας τάξης)(εφαρμογές 8-9-) Εφαρμογή 8 Nα βρεθούν τα όρια : α) 7 β) 9 α) Θέτουμε f() 7. H f έχει πεδίο ορισμού το σύνολο ΑIR{}. Είναι ) ( και ) 7 (, δηλαδή, έχουμε απροσδιοριστία τύπου. Για κάθε A έχουμε f() ( ) 7 7 7 ( ) 7 9 ( )( ) ( ) 7 7 επομένως f() 7 8 6 β) Θέτουμε f() 9 με πεδίο ορισμού το σύνολο Α [ ) ( ),,. Ακόμη έχουμε απροσδιόριστη μορφή τύπου Για κάθε A f() ( ) ( )( ) 9 9 9 ( )( ) ( ) ( )( ) 9 9 9 9 ( )( ) 9

οπότε f().6 Εφαρμογή 9 Αν f() με f() κοντά στο, να βρεθεί το όριο: f() f() Αρχικά έχουμε απροσδιοριστία τύπου, αφού το όριο του αριθμητή και του παρονομαστή είναι. f () ( f () )( f () ) ( f () )( f () ) f () f () f () f () Τότε, f () f () ( )( ) f () ( f () ) f () Εφαρμογή Αν f() και να υπολογιστεί το f(). να βρεθεί το πεδίο ορισμού της συνάρτησης Πρέπει - ή ή ή > Το πεδίο ορισμού είναι το σύνολο Α (, ). oριακή τιμή συνάρτησης Σελίδα

oριακή τιμή συνάρτησης Σελίδα Η απροσδιοριστία είναι τύπου, και, ενώ κανείς θα περίμενε η άρση της απροσδιοριστίας να γίνει μέσω συζυγών παραστάσεων, κάτι τέτοιο δεν συμβαίνει. Αυτό, γιατί δεν τείνει στο μηδέν μόνο ο αριθμητής και ο παρονομαστής, αλλά και όλοι οι όροι που τους συγκροτούν. Γι αυτό, και λόγω του πεδίου ορισμού, μπορούμε να παραγοντοποιήσουμε απ ευθείας: f() ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) Έτσι, f () 5 f () 5 5 Εφαρμογή (διάσπαση) Αν f() να βρεθεί το πεδίο ορισμού της συνάρτησης και να υπολογιστεί το όριο f(). Πρέπει > > ή > Η f έχει πεδίο ορισμού το σύνολο Α ( ),. Για κάθε A έχουμε ( Διάσπαση ): f() ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )

Τότε f() f() Εφαρμογή (διαφορετικής τάξης ριζικά) 6 Να βρεθεί το 6 Εύκολα διαπιστώνεται ότι έχουμε απροσδιοριστία τύπου. Το Ελάχιστο Κοινό Πολλαπλάσιο των δεικτών των ριζών,, 6 είναι 6. Θέτουμε 6 ψ. 6 Επειδή, ψ, είναι ψ, οπότε 6 6 6 ( ) ( 6 6 ψ ψ ψ ψ ψ ψ ψ ψ ( ψ ) ( ψ ) ψ ψ ( ψ )( ψ ) ψ ( ψ ) ψ ψ ( ) γ) Όρια τριγωνομετρικών παραστάσεων Ορισμός. Τριγωνομετρική παράσταση λέμε κάθε παράσταση, η οποία περιέχει έναν τουλάχιστον τριγωνομετρικό αριθμό της μεταβλητής ή μιας παράστασης της μεταβλητής. Οι απροσδιόριστες μορφές τύπου υπολογίζονται με τα όρια Δεν υπάρχουν τα όρια ημ ημ(α), α εφ αημ, α συν ημ, συν ± ± oριακή τιμή συνάρτησης Σελίδα 5

Απλά τριγωνομετρικά όρια (Εφαρμογές --5) Εφαρμογή Να βρεθούν τα όρια : εφ α) β) ημ γ) ( σφ) Σε όλα τα παραπάνω όρια έχουμε απροσδιοριστία τύπου. α) ημ ημ ημ β) Θέτουμε f () και εφ, τότε: f () f() ημ εφ ημ συν συν ημ συν ημ συν γ) f () σφ και εφ εφ εφ (β) f() εφ εφ Εφαρμογή Να βρεθούν τα όρια 5συν ημ α) ημ β) ημ oριακή τιμή συνάρτησης Σελίδα 6

5συν ημ α) Έστω f() με πεδίο ορισμού το σύνολο Α I R *. Είναι ημ 5 συν ημ και ημ, δηλαδή, έχουμε απροσδιοριστία ( ) ( ) τύπου. Διαιρούμε τους όρους του κλάσματος δια : Τότε 5συν ημ f() ημ f() 5 συν 5συν ημ ημ ημ ημ 5 συν ημ ημ 5 β) Έστω f () ημ με πεδίο ορισμού το σύνολο Α I R *. Έχουμε απροσδιοριστία τύπου. Για κάθε και f() ημ ημ ημ f() A, ημ ημ Εφαρμογή 5 (κάνουμε αλλαγή της μεταβλητής και εφαρμόζουμε το ) ημ( 5 6) Να βρεθεί η τιμή του ορίου: 6 8 oριακή τιμή συνάρτησης Σελίδα 7

Για κάθε IR {,, } πολλαπλασιάζουμε τους όρους του κλάσματος με τον παράγοντα 5 6. ημ( 5 6) ημ( 5 6) 5 6 [ το δεύτερο κλάσμα είναι της μορφή ς / ] 6 8 5 6 6 8 ημ ( 5 6) ( )( ) 5 6 ημ( 5 6) 5 6 Θέτουμε 5 6 u, οπότε Άρα, ημ( 6 8 ( )( ). u ( ) 5 6 ημ( 5 6) ημu 5 6 u u ( 5 6) 5 6) ημ 5 6 ημu u u και έτσι, δ) Όρια με απόλυτες τιμές. (Εφαρμογές 6-7-8) i) Αν προκύπτει απροσδιόριστη μορφή και δεν μηδενίζεται παράσταση που περιέχεται σε απόλυτη τιμή, τότε περιορίζουμε κατάλληλα τις τιμές του "κοντά" στο και απαλείφουμε τα απόλυτα. ii) Αν προκύπτει απροσδιόριστη μορφή και μηδενίζεται παράσταση που περιέχεται σε απόλυτο, τότε παίρνουμε πλευρικά όρια. (περιορίζοντας κατάλληλα το ώστε να απαλείψουμε τα απόλυτα) Εφαρμογή 6 Να βρεθούν (αν υπάρχουν) τα όρια : 5 α) β) oριακή τιμή συνάρτησης Σελίδα 8

α) ( ), οπότε 5 5 Παρατηρούμε ότι δεν υπάρχει απροσδιοριστία και το όριο βρίσκεται με αντικατάσταση. β) Θέτουμε f () με πεδίο ορισμού Α IR {}. Έχουμε απροσδιοριστία τύπου και το είναι ρίζα μιας παράστασης που περιέχεται σε απόλυτο. (αρκεί σε ένα). Θα βρούμε τα πλευρικά όρια της συνάρτησης. Πίνακας με τα πρόσημα των παραστάσεων που περιέχονται σε απόλυτη τιμή. Αν (,) τότε f () ( ) και, έτσι f () Αν (,) f () τότε ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) και, έτσι f () ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) Επειδή f () f () δεν υπάρχει το f () oριακή τιμή συνάρτησης Σελίδα 9

Εφαρμογή 7 Να βρεθεί, αν υπάρχει, το : 6 8 Θέτουμε f() Είναι ( ) 6 8 με πεδίο ορισμού το ΑIR{} και 6 8 δηλαδή έχουμε απροσδιοριστία τύπου και η παράσταση 6 8 αλλάζει πρόσημο εκατέρωθεν του. Πίνακας με το πρόσημο της παράστασης που περιέχεται σε απόλυτη τιμή 68 Αν (,) τότε Αν (,) τότε Ώστε, f () 6 8 ( 6 8) f () f (),, ( )( ) ( ) Τα πλευρικά όρια της συνάρτησης είναι: f () και f () ( ) ( ) ( ) (,) (,) Αφού f () f () δεν υπάρχει το f () oριακή τιμή συνάρτησης Σελίδα

Εφαρμογή 8 Να βρεθεί, αν υπάρχει, το: 5 Θέτουμε f() 5 με πεδίο ορισμού ΑIR{, }. Έχουμε απροσδιοριστία τύπου και παρατηρούμε ότι όλες οι παραστάσεις που περιέχονται σε απόλυτη τιμή δεν μηδενίζονται για. Για να γράψουμε τον τύπο της συνάρτησης χωρίς την χρήση απόλυτων τιμών εργαζόμαστε ως εξής: Είναι ( ) 8 < οπότε από το θεώρημα «όριο και διάταξη»κοντά στο έχουμε <, έτσι, κοντά στο Ακόμα, ( 5) < Τελικά οπότε για τον ίδιο, όπως παραπάνω, λόγο 5 5, κοντά στο ( 5) f (), κοντά στο ( )( ) ( )( ) Στη συνέχεια, με το σχήμα του Horner ή με οποιοδήποτε άλλο τρόπο π. χ. διτετράγωνη εξίσωση: ( )( ) παραγοντοποιούμε τον αριθμητή: ( )( )( ) Οπότε, για κάθε ( )( )( ) ( )( ) f () ( )( ) και ( )( ).7 f () 8 oριακή τιμή συνάρτησης Σελίδα

η κατηγορία. Το κριτήριο παρεμβολής. Με το κριτήριο παρεμβολής υπολογίζονται: α) Όρια με διπλές ανισώσεις: f () g() h() β) Οι μορφές [f () συνg()] ή [f () ημg()] με f () (Γινόμενο μηδενικής επί φραγμένηςμηδενική) Υπολογίζονται όπως το κλασικό όριο ημ το αποτέλεσμα είναι πάντοτε ). Εφαρμογές σε όρια με διπλές ανισώσεις (εφαρμογές 9--) Εφαρμογή 9 Να βρεθεί το όριο της συνάρτησης f στην αντίστοιχη θέση όταν για κάθε IR ισχύει: α) 6 f() 5, f() 8 γ) 7 5, f() β) ( ) f() 7 9, α) Η δοσμένη ανισότητα γράφεται : 6 f () 5 5 Επειδή 6 και ( 5 5) 9 ( ) 9 σύμφωνα με το κριτήριο παρεμβολής είναι: f () 9 β) Έχουμε ( ) f () ( 7 ) Η λύση της ανίσωσης αυτής, ως προς f(), εξαρτάται από το πρόσημο του (). Διακρίνουμε τις περιπτώσεις: αν < τότε <. Λύνουμε ως προς f(): oριακή τιμή συνάρτησης Σελίδα

Είναι και f () 7 Από κριτήριο παρεμβολής προκύπτει 7 7 f () ( )( 7 ) 7 6 9 ( )( ) f () αν > τότε >. Λύνουμε ως προς f(): Είναι f () ( 7 ) και Από κριτήριο παρεμβολής προκύπτει f () Οι σχέσεις () και () δίνουν: f () γ) Πρέπει κοντά στο να είναι f(). Είναι 7 και ( ) () ( 7 ) () ( ) 5 6 f () 8 Άρα, από το κριτήριο παρεμβολής. Στην συνέχεια εργαζόμαστε f () κατά τα γνωστά, δηλαδή: f () 8 Θέτουμε h() και λύνουμε ως προς f(): f () ( f () ) f () 8 h() f () 8 h()f () h() f () h()f () h() 8 f ()( h() ) h() 8 oριακή τιμή συνάρτησης Σελίδα

Είναι f () h() 8 h() h() οπότε f() h() 8 8 h( ) Εφαρμογή Αν για κάθε IR είναι: f () 6f() 9, να αποδείξετε ότι f() Από την σχέση f () 6f () 9 έχουμε διαδοχικά: f () 6f () 9 f () ( ) f () f () f () f () ( ) και ( ) από το κριτήριο παρεμβολής είναι f () Εφαρμογή Αν για κάθε IR είναι f () > και g() > με f() g() αποδείξετε ότι: f () g () f () g() f () g () f () g () f ()g() Είναι < f () g() f () g() Άρα [ f () g() ] f () g() να f () g() oριακή τιμή συνάρτησης Σελίδα

< f () g () f () g() f () g() και ( () g() ) f f () g() Από το κριτήριο παρεμβολής είναι: Παρατήρηση: f () g( ) f () g () Αυτή είναι μια ειδική περίπτωση στο κριτήριο παρεμβολής η μικρότερη μηδενικής όπως χαρακτηριστικά λέγεται. Γενικά αν το ζητούμενο είναι f () βρίσκουμε παράσταση μεγαλύτερη της f() (αν f() > ) ή του τετραγώνου της f () ( ειδικά, αν f() < ) της οποίας το όριο είναι μηδέν. Στη συνέχεια εφαρμόζουμε το κριτήριο παρεμβολής. Είναι πάντοτε f () f ()g (), αφού g () Πρόταση. Αν g() και f() g() κοντά, τότε θα είναι και f () Απόδειξη. Από την σχέση f () g() προκύπτει g() f () g() και επειδή g() από το κριτήριο παρεμβολής είναι f (). Εφαρμογές μηδενικής επί φραγμένης (εφαρμογές --) Εφαρμογή (μάθε καλά τη τεχνική) Να αποδείξετε ότι ημ, όπου ν * IN Θέτουμε f () ημ με πεδίο ορισμού το σύνολο Α I R * A είναι ημ, έχουμε: f () ημ ημ. Επειδή για κάθε oριακή τιμή συνάρτησης Σελίδα 5

Άρα και f () f() και ( ) Από το κριτήριο παρεμβολής παίρνουμε: f () ή ημ Εφαρμογή Να αποδείξετε ότι * συν, όπου ν IN Θέτουμε f () ν συν με πεδίο ορισμού το σύνολο Α I R *. Για κάθε A είναι f () ν ν ν ν συν συν Άρα και f () ν ( ) ν ν και f () oριακή τιμή συνάρτησης Σελίδα 6 ν ν Από το κριτήριο παρεμβολής παίρνουμε: ν f () ή συν Εφαρμογή Να βρεθεί το όριο ημ. ημ Θέτουμε f () Άρα f () ημ ημ ημ ημ με πεδίο ορισμού το Α ημ ημ ημ ημ π π,,.

Όμως, ημ f () ημ ημ ημ, οπότε f () ημ και ημ ημ Από το κριτήριο παρεμβολής παίρνουμε f() 5 η κατηγορία. Η τεχνική του «Θέτω» (εφαρμογές 5-6-7) Δίνεται το όριο μιας παράστασης που περιέχει μια συνάρτηση f() ή παραμέτρους και μας ζητείται να βρούμε το f () ή τις τιμές των o παραμέτρων. Στις ασκήσεις αυτής της κατηγορίας θέτουμε την παράσταση της οποίας έχουμε το όριο, ως g() και στη συνέχεια τη λύνουμε, κατά περίπτωση, ως προς f() ή ως προς μια παράμετρο. Υπολογίζουμε τα όρια των δύο μελών της τελευταίας ισότητας εφαρμόζοντας, πλέον, τις γνωστές ιδιότητες των ορίων. Εφαρμογή 5 f() 5 Αν 5 να βρείτε τα όρια : f() 5 α) f () β) α) Θέτουμε g() Άρα Ώστε f () 5 f () 5 f () () με. Είναι g() 5. Λύνουμε ως προς f() () 5 ( ) g() f () ( ) g() 5 f () () ( ) g() 5 5 5 5 oριακή τιμή συνάρτησης Σελίδα 7

β) Έτσι, () f () 5 [( ) g() 5] 5 ( ) g() 5 ( )[ ] g() 5 g() 5 5 f () 5 g() 5 55 Εφαρμογή 6 Αν f ()( 7 ) g() και 7 Εργαζόμενοι κοντά στο έχουμε: 7. Είναι h() και Θέτουμε h()f() ( ) να βρείτε το ( f() g() ) h() f () 7 g() Θέτουμε φ(). Είναι φ () 7 και χ g() ( ) φ() h() f().g() ( ) φ() h(). φ() 7 7 h() φ() ( )( ) h() φ() Έτσι 8 ( f()g() ) h() φ() 7 5 5 Εφαρμογή 7 f() Αν, και, f() κοντά στο, να βρεθεί το f() oριακή τιμή συνάρτησης Σελίδα 8

Θέτουμε f () h() (). Είναι f () h( h() και f () h() () ( ) ) ( ) Είναι f (). Έτσι στο ζητούμενο όριο διαπιστώνουμε ότι έχουμε απροσδιοριστία τύπου. Έχουμε διαδοχικά: ( )( )( ) ( )( )( ) ( )( ) ( )( ) f() f() f() f() f() f() ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) h() h() f() f() Έτσι ( ) ( ) ( ) h() h() f() f() f () h() ( ). f () 6 η κατηγορία. Αλλαγή μεταβλητής όριο σύνθετης συνάρτησης (εφαρμογές 8-9) Για να υπολογίσουμε το όριο f(g()) εργαζόμαστε ως εξής: Θέτουμε g()u ( Aλλαγή της μεταβλητής του ορίου σε u ) υπολογίζουμε το g()u. Υπολογίζουμε το f(u) f(g()) u u Συνήθως, εφαρμόζουμε αλλαγή μεταβλητής, όταν μέσα στο όριο επαναλαμβάνεται η παράσταση g() της μεταβλητής. Εφαρμογή 8 oριακή τιμή συνάρτησης Σελίδα 9

Αν f() 5 να βρεθεί το f() ημ ημ Eίναι κατά σειρά Θέτουμε άρα f () ημ ημ u άρα f () u και ημ f () ημ ημ ημ u ( ). Ακόμα f () f (u) f (u) 5 u u u u ημ και f () ημ ημ f () ημ ημ Εφαρμογή 9 f() Για κάθε IR {, } ισχύει η ισότητα f()f(), και 5. Να βρεθούν : f () α) το όριο f() β) το όριο f () Θέτουμε h() f () ( ) h() () Ακόμα α) Από τις () και () είναι f() f () f ( ) β) () [ αφού f() f ( ) ] h()5 () oριακή τιμή συνάρτησης Σελίδα

Θέτουμε u () και έχουμε u ( ) άρα u. Τότε ( ) ( ) f () f ( ) u Δηλαδή f () 5 Γ Όρια με παραμέτρους. f (u) f (u) 5 u u u α) Όταν δίνεται συνάρτηση πολλαπλού τύπου, τότε εργαζόμαστε όπως στην ακόλουθη εφαρμογή: Εφαρμογή Να βρεθούν οι αριθμοί α, β I R, ώστε να υπάρχουν τα όρια της συνάρτησης α - β, - f() 5, < α - β, > στα σημεία και, Πρέπει f () f () και f () f () Είναι: και f () ( f () α - β) α - β - ( 5) άρα αβ αβ () Ομοίως : f () ( 5) άρα αβ () f () ( α - β) -α - β Λύνουμε το σύστημα των () και () και βρίσκουμε α, β oριακή τιμή συνάρτησης Σελίδα

β) Όταν δίνεται το όριο μιας παράστασης, τότε θέτουμε την παράσταση ως g() και εργαζόμαστε όπως στην ακόλουθη εφαρμογή: Εφαρμογή 5 λ Αν α αριθμών λ, α. με α IR, βρείτε τις τιμές των πραγματικών Θέτουμε f () 5 λ,. Είναι f () α (). Έχουμε: 5 λ f () ( ) f () 5 λ οπότε: [( ) f ()] ( 5 λ ) λ λ Τότε f () 5 λ ( ), άρα α. 5 6 ( )( ) oριακή τιμή συνάρτησης Σελίδα