Brutus Demşoreanu. Mecanica analitică. - Probleme -

Brutus Demşoreanu Mecanica analitică - Probleme - TIMIŞOARA 003

Tehnoredactarea în L A TEX ε aparţine autorului. Copyright c 003, B. Demşoreanu

Cuprins 1 Mecanica newtoniană 5 1.1 Problema determinării mişcării........................... 5 1. Dinamica punctului material............................ 17 1.3 Sisteme de puncte - solidul rigid.......................... 9 Mecanica lagrangeeană 45.1 Ecuaţia generală a dinamicii............................ 45. Sisteme olonome. Forţe potenţiale şi nepotenţiale................ 58.3 Sisteme neolonome................................. 71.4 Sisteme naturale.................................. 74.5 Aplicaţii...................................... 95 3 Mecanica hamiltoniană 105 3.1 Ecuaţiile lui Hamilton. Paranteze Poisson..................... 105 3. Principiul variaţional al lui Hamilton........................ 114 3.3 Transformări canonice............................... 13 3.4 Metoda Hamilton-Jacobi.............................. 15 Bibliografie 136 3

Capitolul 1 Mecanica newtoniană 1.1 Problema determinării mişcării 1 Componentele vitezei şi acceleraţiei în coordonate curbilinii ortogonale. a. Coordonate polare r, θ). Notând cu e r versorul vectorului de poziţie al punctului şi cu e θ versorul unei direcţii perpendiculare pe e r orientată în sensul în care θ creşte, folosind figura rezultă : Prin derivare după timp se obţine : e r = cos θ ı + sin θ j e θ = sin θ ı + cos θ j 1) e r = θ sin θ ı + cos θ j ) = θ e θ e θ = θ cos θ ı + sin θ j ) = θ e r ) Pornind de la expresia vectorului de poziţie al punctului P în coordonate polare r = r e r, rezultă prin derivări succesive după timp şi folosind ) expresiile : v = r = ṙ e r + r e r = ṙ e r + r θ e θ a = r = r e r + ṙ e r + ṙ θ + r θ) e θ + r θ e θ = = r r θ ) e r + ṙ θ + r θ) e θ 3) 5

6 CAPITOLUL 1. MECANICA NEWTONIANĂ În consecinţă, componentele vitezei şi acceleraţiei punctului în coordonate polare vor fi : v r = ṙ a r = r r v θ = r θ ; θ a θ = ṙ θ 4) + r θ În particular, dacă traiectoria este un cerc de rază R, deci dacă mişcarea este circulară, atunci r = R, ṙ = 0, θ = ω, θ = ω = ε) : v r = 0 v θ = R θ = Rω ; a r = R θ = Rω a θ = R θ = R ω = Rε Se confirmă astfel faptul că în mişcarea circulară viteza are componentă numai după tangenta la traiectorie, iar acceleraţia are componente atât pe tangentă, cât şi pe raza vectoare, cea din urmă fiind orientată spre centrul cercului. Dacă în plus mişcarea circulară este şi uniformă ω = 0) se obţin rezultatele cunoscute : v r = 0 v θ = Rω ; a r = Rω a θ = 0 Dacă traiectoria este conţinută în planul xoy, atunci se deduce uşor următoarea expresie în coordonate polare a vitezei areolare : 5) 6) deci : Ω = 1 r v) = 1 [ r er ṙ e r + r θ e θ ) ] = 1 rṙ e r e r ) + 1 }{{} r θ er e θ ) 7) 0 Ω = 1 r θ k 8) unde k este versorul unei direcţii perpendiculare pe planul determinat de versorii e r şi e θ, adică viteza areolară este orientată după axa Oz. Se verifică direct că : Ω = 1 r θ 9) reprezintă aria măturată de raza vectoare în unitate de timp. b. Coordonate sferice r, θ, ϕ). Notând cu e r versorul vectorului de poziţie al punctului P, cu e θ versorul tangentei la meridian în sensul în care θ creşte şi cu e ϕ versorul tangentei la paralela în P cu orientarea în sensul în care ϕ creşte, folosind figurile rezultă : e r = sin θ e + cos θ k = sin θ cos ϕ ı + sin ϕ j ) + cos θ k e θ = cos θ e sin θ k = cos θ cos ϕ ı + sin ϕ j ) sin θ k e ϕ = sin ϕ ı + cos ϕ j Prin derivare după timp se obţine : e r = θ cos θ cos ϕ ı + sin ϕ j ) + ϕ sin θ sin ϕ ı + cos ϕ j ) θ sin θ k = 10) = θ e θ + ϕ sin θ e ϕ e θ = θ sin θ cos ϕ ı + sin ϕ j ) + ϕ cos θ sin ϕ ı + cos ϕ j ) θ cos θ k = = θ e r + ϕ cos θ e ϕ e ϕ = ϕ cos ϕ ı + sin ϕ j ) = ϕ sin θ e r + cos θ e θ ) 11) = ϕ sin θ e r ϕ cos θ e θ

1.1. PROBLEMA DETERMINĂRII MIŞCĂRII 7 Deoarece r = r e r, prin derivări succesive după timp şi folosirea expresiilor 11), rezultă : v = r = ṙ e r + r e r = ṙ e r + r θ e θ + r ϕ sin θ e ϕ a = r = r e r + ṙ e r + ṙ θ + r θ) e θ + r θ e θ + + ṙ ϕ sin θ + r ϕ sin θ + r θ ϕ cos θ) e ϕ + r ϕ sin θ e ϕ = = r r θ r ϕ sin θ) e r + ṙ θ + r θ r ϕ sin θ cos θ) e θ + 1) + ṙ ϕ sin θ + r θ ϕ cos θ + r ϕ sin θ) e ϕ În consecinţă, componentele vitezei şi acceleraţiei punctului în coordonate sferice vor fi : v r = ṙ a r = r r θ r ϕ sin θ v θ = r θ ; a θ = ṙ θ + r θ r ϕ sin θ cos θ 13) v ϕ = r ϕ sin θ a ϕ = ṙ ϕ sin θ + r θ ϕ cos θ + r ϕ sin θ Să se studieze mişcarea unui punct material de masă m în lungul axei Ox, dacă asupra lui acţionează o forţă care se opune mişcării şi a cărei mărime este proporţională cu pătratul vitezei momentane. Se cunosc condiţiile iniţiale xt 0 ) = x 0 şi ẋt 0 ) = ẋ 0. Rezolvare : Conform enunţului, ecuaţia de mişcare are forma generală : m ẍ = k ẋ ; k > 0 1) Transcriind ecuaţia sub forma : dẋ ẋ = k dt ) m

8 CAPITOLUL 1. MECANICA NEWTONIANĂ prin integrare după timp : ẋt) ẋt 0 ) t 1 ẋ dẋ = t 0 k dt 3) m rezultă : 1 1 ẋ 0 ẋ = k m t t 0) 4) unde s-a ţinut cont de condiţia iniţială ẋt 0 ) = ẋ 0. Dependenţa de timp a vitezei punctului va fi astfel : ẋ 0 ẋt) = 1 + kẋ 5) 0 m t t 0) Integrând încă odată după timp şi ţinând cont de condiţia iniţială xt 0 ) = x 0, rezultă : xt) = x 0 + m [ k ln 1 + kẋ ] 0 m t t 0) 6) Dependenţa de timp a acceleraţiei va fi dată de expresia : Se observă că : ẍt) = k m ẋ = k m ẋ 0 1 + kẋ 0 m t t 0) lim ẋt) = 0, lim ẍt) = 0 şi lim xt) = 8) t t t Deoarece este evident că punctul se va opri după un interval de timp finit, rezultatul apare paradoxal, însă el este corect în limitele ipotezei făcute în enunţ. În realitate, rezistenţa mediului este proporţionala cu pătratul vitezei doar la viteze mari, dependenţa devenind mult mai lentă pe măsură ce scade viteza. 3 Un punct material de masă m se mişcă în planul vertical xoz. El se află sub acţiunea forţei gravitaţionale G = m g, iar mediul exercită asupra sa o forţă orientată în sens opus mişcării, direct proporţională cu viteza momentană v. Cunoscând condiţiile iniţiale rt 0 ) = r 0 şi vt 0 ) = v 0, să se determine ecuaţia carteziană a traiectoriei. În cazul particular al aruncării oblice în sus, să se determine timpul de urcare, precum şi coordonatele punctului în care este atinsă altitudinea maximă. Rezolvare : Proiectând ecuaţia de mişcare pe axele Ox şi Oz, se obţine sistemul de ecuaţii scalare : m r = m g k r ; k > 0 1) ẍ + k m ẋ = 0 7) z + k m ż = g )

1.1. PROBLEMA DETERMINĂRII MIŞCĂRII 9 Ecuaţiile fiind independente, ele pot fi integrate separat. Soluţiile generale ẋt) şi żt) au expresiile : ẋ = C 1 e k m t ; ż = C e k m t mg k Impunând condiţiile iniţiale ẋt 0 ) = ẋ 0 şi żt 0 ) = ż 0, rezultă în final : 3) ẋt) = ẋ 0 e k m t t 0) ; żt) = ż 0 + mg k ) e k m t t 0) mg k 4) Integrând încă odată după timp şi luând în considerare condiţiile iniţiale xt 0 ) = x 0 şi zt 0 ) = z 0, rezultă ecuaţiile parametrice ale traiectoriei în planul xoz : xt) = x 0 + m k ẋ0 1 e k m t t 0) zt) = z 0 mg k t t 0) + m k ż 0 + mg k ) k 1 e m t t 0) Pentru a obţine ecuaţia carteziană a traiectoriei z = zx) va trebui eliminat timpul t. Din ecuaţia 5a) rezultă : 5) 1 e k m t t 0) k x x 0 = adică t t 0 = m m ẋ 0 k ln 1 k m ceea ce înlocuit în 5b) va conduce în final la expresia : z = z 0 + ż 0 + mg ) k m x x 0 ) + g ln 1 k ẋ 0 k m ) x x 0 ẋ 0 ) x x 0 ẋ 0 6) 7) În cazul în care corpul este aruncat oblic în sus : ẋ 0 0 şi ż 0 > 0, atunci pentru valori ale lui t în vecinătatea lui t 0 rezultă ż > 0, iar pentru t suficient de mare ca trebui ca ż < 0. Astfel la

10 CAPITOLUL 1. MECANICA NEWTONIANĂ începutul mişcării traiectoria este ascendentă, ca apoi să devină descendentă. Timpul t u în care punctul material urcă pe traiectorie va rezulta din impunerea condiţiei żt u ) = 0 : e k m t u t 0 ) = 1 1 + kż 0 mg adică t u = t 0 + m k ln 1 + kż ) 0 mg Coordonatele punctului A în care corpul atinge altitudinea maximă se determină înlocuind în soluţia generală 5) valoarea calculată a lui t u : x A = xt u ) = x 0 + ẋ0ż 0 g 1 + kż 0 mg z A = zt u ) = z 0 + m ) m k ż0 g ln k 1 1 + kż 0 mg 8) ) 9) 4 Oscilatorul armonic izotrop. Să se studieze proprietăţile mişcării unui punct material de masă m asupra căruia acţionează o forţă elastică F = k r ; k > 0, condiţiile iniţiale la momentul t 0 = 0 fiind r 0 şi v 0. Rezolvare : Ecuaţia generală de mişcare se transcrie în forma simplă : m r = k r ; k > 0 1) k r + ω r = 0 unde ω = m În coordonate carteziene soluţia generală se exprimă prin funcţii armonice : ) r = C 1 cos ωt + C sin ωt 3) valorile constantelor C 1 şi C rezultând din impunerea condiţiilor iniţiale : r = r 0 cos ωt + v 0 ω sin ωt 4) Se observă că traiectoria este o curbă închisă care se găseşte în planul determinat de vectorii r 0 şi v 0. Eliminând timpul cu relaţia sin ωt + cos ωt = 1, va rezulta ecuaţia unei elipse în planul mişcării de ex. planul xoy), având centrul în origine. Mişcarea pe elipsă este periodică, perioada având expresia T = π ω = π m k. În plus, se verifică direct că r v = r 0 v 0, ceea ce înseamnă că în cursul mişcării viteza areolară se menţine constantă. Dacă v 0 = 0 sau r 0 v 0 soluţia 4) descrie o mişcare armonică unidimensională oscilator armonic liniar). Admitând că suportul mişcării este axa Ox, ecuaţia 4) devine : x = x 0 cos ωt + v 0 ω sin ωt = a cosωt ϕ) unde Aici a reprezintă amplitudinea mişcării, iar ϕ este faza iniţială. x 0 = a cos ϕ v 0 ω = a sin ϕ 5)

1.1. PROBLEMA DETERMINĂRII MIŞCĂRII 11 Mişcarea relativă 5 Devierea spre Est a corpurilor în cădere liberă. Se studiază mişcarea unui punct material sub influenţa greutăţii în raport cu un sistem de referinţă solidar legat de Pământul considerat ca o sferă rigidă, omogenă, de rază R, care se roteşte cu viteză unghiulară constantă ω în jurul axei polilor. Se presupune câmpul gravitaţional omogen şi se neglijează rezistenţa aerului. Rezolvare : Se construieşte un sistem de referinţă având originea O într-un punct de pe suprafaţa Pământului aflat în emisfera nordică, axa Ox tangentă la meridianul locului şi orientată spre Sud, axa Oy tangentă la paralela locului şi orientată spre Est, axa Oz orientată în lungul verticalei geocentrice. Dacă nu se ia în considerare rotaţia Pământului, acest sistem de referinţă local poate fi considerat absolut şi mişcarea unui punct material lăsat să cadă liber din originea O este descrisă de ecuaţiile : x = 0, y = 0, z = 1 gt 1) În realitate traiectoria punctului nu este perfect verticală, constatându-se o uşoară deviere spre Est y > 0,, deviere datorată mişcării de rotaţie a Pământului în jurul axei polilor şi deci faptului că sistemul local Oxyz nu este inerţial. Neglijând mişcarea de revoluţie a Pământului, un sistem de referinţă inerţial poate fi considerat cel având originea O 1 în centrul Pământului, axa O 1 z 1 orientată pe direcţia Sud-Nord, axele O 1 x 1 şi O 1 y 1 în planul ecuatorial şi orientate spre două stele presupuse fixe. Sistemul local Oxyz efectuează o mişcare de rotaţie caracterizată prin vectorul ω, orientat paralel cu axa polilor şi având mărimea ω = ω = π 1. Notând cu λ latitudinea geocentrică şi cu ϕ longitudinea locului, din figură rezultă legătura dintre versorii axelor sistemului mobil Oxyz şi cei ai 86400 axelor sistemului fix O 1 x 1 y 1 z 1 : ı = sin λ cos ϕ ı 1 + sin λ sin ϕ j 1 cos λ k 1 j = sin ϕ ı 1 + cos ϕ j 1 ) k = cos λ cos ϕ ı1 + cos λ sin ϕ j 1 + sin λ k 1

1 CAPITOLUL 1. MECANICA NEWTONIANĂ Folosind definiţiile şi ţinând cont de faptul că ϕ = ω, pot fi deduse uşor expresiile componentelor vectorului ω care caracterizează rotaţia sistemului mobil : ω x = j k = ϕ cos λ = ω cos λ ω y = k ı = 0 3) ω z = ı j = ϕ sin λ = ω sin λ În consecinţă, vectorul rotaţie ω are expresia : ω = ω cos λ ı + ω sin λ k 4) lucru ce poate fi citit direct şi de pe figură. Pentru a scrie ecuaţiile de mişcare ale unui punct material în sistemul local Oxyz, punct având vectorul de poziţie rx, y, z), viteza v r ẋ, ẏ, ż) şi acceleraţia a r ẍ, ÿ, z) : m a r = F + F t + F c 5) vor trebui calculate expresiile forţelor complementare. Deoarece originea O efectuează o mişcare circulară uniformă ω = 0) pe paralela având raza R cos λ, acceleraţia a O a originii sistemului mobil va avea mărimea ω R cos λ, direcţia în lungul razei şi sensul spre axa O 1 z 1. Versorul acestei direcţii fiind e = sin λ ı + cos λ k, rezultă : a O = ω R sin λ cos λ ı ω R cos λ k 6) Dezvoltând produsele vectoriale, pentru forţele complementare se obţin expresiile : F t = m a t = m[ a O + ω r + ω ω r) ] = }{{} 0 = mω sin λ [R + z) cos λ + x sin λ] ı + mω y j + + mω cos λ [R + z) cos λ + x sin λ] k 7) F c = m a c = m ω v r = = mωẏ sin λ ı mωẋ sin λ + ż cos λ) j + mωẏ cos λ k Forţa F care acţionează asupra punctului este o forţă atractivă de tip newtonian orientată spre centrul Pământului care, prespunând că corpul nu se îndepărtează prea mult de origine, are expresia generală : F = fmm R k = mg k 8) unde g = fm este acceleraţia gravitaţională teoretică, iar M este masa Pământului. Reunind rezultatele, ecuaţiile scalare de mişcare au forma R : ẍ = ωẏ sin λ + ω sin λ [R + z) cos λ + x sin λ] ÿ = ωẋ sin λ + ż cos λ) + ω y z = g + ωẏ cos λ + ω cos λ [R + z) cos λ + x sin λ] 9)

1.1. PROBLEMA DETERMINĂRII MIŞCĂRII 13 Deoarece integrarea exactă a acestui sistem de ecuaţii diferenţiale neliniare este practic imposibilă, se va încerca o metodă aproximativă, soluţia urmând a fi căutată sub forma unei dezvoltări în serie de puteri în raport cu parametrul mic ω metoda lui Poincaré) : r = r 0 + ω r 1 + ω r + 10) Înlocuind dezvoltarea 10) în sistemul 9) şi egalând coeficienţii puterilor de acelaşi ordin în ω, rezultă succesiv următoarele sisteme de ecuaţii : ẍ 0 = 0 ẍ 1 = ẏ 0 sin λ ẍ = ÿ 0 = 0 z 0 = g ; ÿ 1 = ẋ 0 sin λ + ż 0 cos λ) z 1 = ẏ 0 cos λ ; ÿ = z = Rezolvarea primului sistem de ecuaţii conduce la obţinerea soluţiei în aproximaţia de ordinul zero. În această aproximaţie nu este luată în considerare rotaţia Pământului, pentru cazul căderii libere obţinându-se chiar soluţia 1). În aproximaţia de ordinul întâi soluţia se obţine folosind cel de al doilea sistem de ecuaţii, în care este înlocuită soluţia în aproximaţia de ordinul zero, ş.a.m.d. Dacă la momentul iniţial t 0 = 0 corpul porneşte din originea O cu viteza v 0, primul sistem din 11) conduce prin integrări succesive la soluţia evidentă : ẋ 0 = v 0 x ẏ 0 = v 0 y ż 0 = v 0 z gt ; x 0 = v 0 xt y 0 = v 0 yt 11) z 0 = v 0 zt 1 gt 1) Înlocuind această soluţie în cel de al doilea sistem din 11) şi ţinând cont că în această aproximaţie condiţiile iniţiale conţin valori nule, rezultă : x 1 = v 0 y sin λ t y 1 = vx 0 sin λ + vz 0 cos λ ) t + 1 g cos λ t3 13) 3 z 1 = vy 0 cos λ t Neglijând termenii de ordin superior, soluţia generală aproximativă) a sistemului 9) cu condiţiile iniţiale menţionate, va avea forma : x = v 0 xt + ωv 0 y sin λ t y = vyt 0 ω vx 0 sin λ + vz 0 cos λ ) t + 1 ωg cos λ t3 3 14) ) 1 z = vzt 0 g ωv0 y cos λ t Termenii care conţin pe ω reprezintă în primă aproximaţie influenţa rotaţiei Pământului asupra corpului lansat din O cu viteza iniţială v 0. Se observă că rezultatul 14) s-ar fi obţinut şi direct, dacă în sistemul 9) ar fi fost negjilaţi încă de la început termenii în ω. În cazul particular al căderii libere v 0 = 0), soluţia 14) se reduce la : x = 0 y = 1 ωg cos λ t3 3 15) z = 1 gt

14 CAPITOLUL 1. MECANICA NEWTONIANĂ Deoarece y > 0, efectul principal al rotaţiei Pământului se manifestă prin devierea spre Est a traiectoriei punctului material aflat în cădere liberă. Punctul nu va descrie verticala descendentă, ci un arc de curbă în planul yoz a cărui ecuaţie se obţine eliminând timpul din ultimele două ecuaţii 15) : 9 g 8 ω cos λ y + z 3 = 0 16) Un proiectil lansat în planul meridian : vx 0 0, vy 0 = 0, vz 0 0, va fi deviat din acest plan cu mărimea : y = ω vx 0 sin λ + vz 0 cos λ ) t + 1 3 ωg cos λ t3 17) Dacă lansarea se face după tangenta la meridian v 0 z = 0), în emisfera nordică sin λ > 0) şi spre Nord v 0 x < 0), atunci y > 0 şi devierea va fi spre Est. Rezultatul explică tendinţa apelor din emisfera nordică care curg spre Nord de ex. Dunărea la Cernavodă) de a eroda malul estic. 6 Pendulul Foucault. Se cere să se studieze influenţa rotaţiei Pământului asupra micilor oscilaţii ale unui pendul gravitaţional. Rezolvare : Neglijând termenii mici în ω, ecuaţia de mişcare a pendului în sistemul de referinţă local legat solidar de Pământul aflat în mişcare de rotaţie uniformă în jurul axei polilor) are forma generală : m a r = T + m g m ω v r 1) Prespunând că punctul de suspensie al pendulului se găseşte în originea O a sistemului, tensiunea în fir este : T = T r r = T r ) l unde l este lungimea firului considerat inextensibil. Ecuaţiile scalare de mişcare în sistemul Oxyz vor fi astfel : mẍ = T x + mωẏ sin λ l mÿ = T y l m z = T z l mωẋ sin λ + ż cos λ) mg + mωẏ cos λ 3) Condiţia de inextensibilitate a firului de suspensie : conduce prin derivare la egalitatea : Ţinânt cont de această relaţie, folosind ecuaţiile 3) rezultă : care prin integrare funizează integrala energiei : x + y + z = l 4) x ẋ + y ẏ + z ż = 0 5) mẋ ẍ + ẏ ÿ + ż z) + mgż = 0 6) 1 mẋ + ẏ + ż ) + mgz = mgh 7)

1.1. PROBLEMA DETERMINĂRII MIŞCĂRII 15 În ipoteza micilor oscilaţii şi considerând firul suficient de lung, se poate considera că x l ε, y l ε şi se pot neglija toţi termenii de ordinul ε sau mai mici. Din 4) prin dezvoltare în serie rezultă : z = l 1 x + y l 1 1 x + y ) l 8) l l Considerând o dezvoltare similară şi pentru h, rezultă în final că h z ε şi atunci : ceea ce înseamnă că cel puţin : ẋ + ẏ + ż 0 9) ẋ ε ; ẏ ε ; ż ε 10) Transcriind 5) sub forma : ż z l = ẋ x l ẏ y l ε 11) va rezulta că : ż ε 1) şi astfel se va putea considera în bună aproximaţie că mişcarea punctului se efectuează practic în planul xoy. Pe de altă parte, derivând încă odată pe 11) după timp, rezultă : ż l + z l z = ẋ l ẏ l x l ẍ y l ÿ 13) Deoarece din ecuaţiile 3a) şi 3b) rezultă că cel puţin ẍ ε şi ÿ ε, din 13) se obţine că z ε. Folosind acest rezultat, din 3c) rezultă pentru z l : Cu acest rezultat, primele două ecuaţii din 3) devin : T = mg 14) ẍ = g x + ωẏ sin λ l ÿ = g 15) l y ωẋ sin λ şi ele descriu mişcarea punctului în planul z = l. Ecuaţia vectorială de mişcare va fi : a r + g l r = ω 1 v r 16) unde ω 1 reprezintă componenta vectorială a vectorului rotaţie pe verticala locului. Dacă mişcarea este raportată la un sistem de axe O x y care se roteşte în planul z = l în jurul verticalei O z cu viteza unghiulară constantă ω 1, deci în sensul Est-Sud-Vest-Nord, atunci : v r = v r ω 1 r 17) a r = a r + ω 1 ω 1 r) ω 1 v r

16 CAPITOLUL 1. MECANICA NEWTONIANĂ Introducând aceste expresii în 16) şi observând că ω 1 r = 0, ecuaţia de mişcare în raport cu sistemul O x y va fi : ) g a r + l + ω 1 r = 0 18) S-a obţinut astfel o ecuaţie identică ca formă cu ecuaţia oscilatorului armonic. În funcţie de datele iniţiale, mişcarea în acest plan va fi fie unidimensională, fie o elipsă, perioada ei fiind : τ = π g l + ω 1 π l g 19) La rândul său, sistemul O x y va efectua o rotaţie completă în jurul axei O z în timpul : T = π ω 1 = π ω sin λ 0) 7 Variaţia acceleraţiei gravitaţionale cu latitudinea. Luându-se în considerare rotaţia Pământului în jurul axei polilor, se cere să se studieze poziţia de echilibru în O a unui punct material greu, suspendat de A printr-un fir inextensibil de masă neglijabilă v. figura). Rezolvare : Condiţia de echilibru relativ în sistemul local Oxyz are forma generală : F + F t = 0 1) Deoarece ω = 0 şi r = 0, forţa de transport F t se găseşte în planul meridian al locului şi are expresia : F t = m i a O = m i ω R cos λ e ) unde m i reprezintă masa inertă. În absenţa forţei de transport F t, deci neluând în considerare rotaţia Pământului, greutatea teoretică G = m g g, unde m g este masa grea, iar g = fm R k este acceleraţia gravitaţională teoretică, este echilibrată de tensiunea T din fir, ambele forţe aflându-se în planul meridian şi orientate după verticala teoretică O 1 O. În realitate, datorită existenţei forţei Ft, verticala practică OA nu coincide cu cea teoretică O 1 O, tensiunea T din fir fiind echilibrată de greutatea

1.. DINAMICA PUNCTULUI MATERIAL 17 practică G = m g g orientată după verticala practică, care face unghiul α cu verticala teoretică. În consecinţă forţa F din 1) va fi : condiţia de echilibru a punctului greu în O scriindu-se : F = G + T = G G = m g g g) 3) m g g g) + m i ω R cos λ e = 0 4) de unde rezultă expresia vectorială pentru acceleraţia gravitaţională practică : g = g + m i m g ω R cos λ e 5) Deoarece g e = g cosπ + λ) = g cos λ, mărimea acceleraţiei gravitaţionale practice va fi : g = g + mi m g ) ω 4 R cos λ g m i m g ω R cos λ 6) Se observă că doar la poli λ = ± π ) acceleraţia gravitaţională practică coincide cu cea teoretică, orientată spre centrul Pământului. Pentru a găsi valoarea unghiului α care măsoară devierea verticalei practice faţă de cea teoretică se porneşte tot de la relaţia 5), din care rezultă expresia : adică : sau : cos α = g + g gg cos α = g + g mi m g mi m g ) ω 4 R cos λ gg = ) ω 4 R cos λ 7) g sin α = m i ω R sin λ cos λ m g g ) mi m g g ω R cos λ Se observă că devierea este spre ecuator, are valoare maximă la latitudinea λ = 45 α 6 ) şi se anulează la ecuator şi la poli. Formula 9) a permis lui Eötvös să demonstreze experimental egalitatea numerică dintre masa inertă şi masa grea. Măsurând la aceeaşi latitudine unghiul α pentru puncte materiale de mase diferite, se constată că în toate cazurile acesta este acelaşi. În consecinţă masa inertă poate diferi de masa grea, indiferent de corp, cel mult printr-un factor care poate fi luat egal cu unitatea. 1. Dinamica punctului material 1 Oscilatorul armonic izotrop. Folosind coordonate polare, să se studieze mişcarea unui punct material de masă m asupra căruia acţionează o forţă elastică F = k r ; k > 0. 8) 9)

18 CAPITOLUL 1. MECANICA NEWTONIANĂ Rezolvare : Deoarece forţa elastică este de tip central, mişcarea este plană. Folosind coordonate polare, ecuaţia generală de mişcare m r = k r ; k > 0 transcrisă în forma simplă : este echivalentă cu sistemul de ecuaţii scalare : r + ω r = 0 unde ω = k m r r θ + ω r = 0 ṙ θ + r θ = 0 1) ) În cursul mişcării se conservă atât momentul cinetic, cât şi energia mecanică totală : r θ = C = Ω ) 1 mṙ + r θ ) + 1 mω r = h 3) constantele C şi h urmând a fi determinate din condiţiile iniţiale 1. Eliminând pe θ, rezultă o ecuaţie diferenţială în funcţia r = rt) : ṙ = ± C Funcţia θ = θt) va rezulta prin integrarea ecuaţiei : h 1 ) mc mω r 1 4) r θ = C r t) 5) în care urmează să fie înlocuită soluţia ecuaţiei 4). Pentru a obţine ecuaţia diferenţială a traiectoriei r = rθ), se trece la variabila independentă θ observând că : ṙ = dr dt dr = θ dθ = C 1 dr r dθ = C d ) 1 = C du dθ r dθ 1 Cele două integrale prime pot fi deduse direct din sistemul de ecuaţii ). Astfel, înmulţind b) cu r rezultă : Pe de altă parte, înmultînd a) cu mṙ şi b) cu mr θ : prin însumare se obţine : rṙ θ + r θ = d dt r θ) = 0 deci r θ = C mṙ r mrṙ θ + mω rṙ = 0 mṙ r + mrṙ θ + mr θ θ + mω rṙ = d dt mrṙ θ + mr θ θ = 0 [ 1 mṙ + r θ ) + 1 ] mω r = 0 6) deci 1 mṙ + r θ ) + 1 mω r = h

1.. DINAMICA PUNCTULUI MATERIAL 19 unde u = 1. Ecuaţia 4) devine : r du dθ = ) h mω u mc u 7) Prespunând că condiţiile iniţiale sunt astfel alese încât r începe prin a descreşte începând de la t 0, în ecuaţia 4) va figura semnul ), iar în ecuaţia 7) corespunde semnul +). Ultima ecuaţie se mai poate rescrie sub forma : sau cu schimbarea u = v : Deoarece : u 4 + v + dx ax + bx + c = 1 arcsin a prin integrarea ecuaţiei 9) rezultă : udu h mc u ω C dv h mc v ω C = dθ 8) = dθ 9) ax + b { a < 0 b 4ac + C pentru b 4ac > 0 arcsin v + h mc = θ θ 1 ) h m ω C 11) mc unde în θ 1 sunt comasaţi toţi termenii constanţi care conţin condiţii iniţiale. Efectuând notaţia : K = h m ω C 1) ecuaţia 11) se reduce la : 10) h mc v = K sin θ θ 1 ) 13) Deoarece v = u = 1, ecuaţia r = rθ) a traiectoriei punctului aflat sub acţiunea unei forţe r elastice, va avea forma generală : hr + Kr sin θ θ 1 ) mc = 0 14) ceea ce reprezintă ecuaţia unei elipse în coordonate polare cu centrul în origine. Pentru a determina caracteristicile elipsei, se trece la coordonatele carteziene : ecuaţia 14) transcriindu-se sub forma : x = r cosθ θ 1 ) y = r sinθ θ 1 ) 15) hx + hy + Kxy mc = 0 16) Ecuaţia redusă a elipsei se obţine din 16) efecuând o rotaţie a sistemului de coordonate în jurul originii şi determinând valoarea unghiului pentru care coeficientul termenului mixt se anulează.

0 CAPITOLUL 1. MECANICA NEWTONIANĂ Ţinând cont de formulele de transformare : x = x cos α y sin α y = x sin α + y cos α 17) ecuaţia 16) devine : h + K sin α)x + h K sin α)y + K cos α x y mc = 0 18) de unde rezultă valoarea căutată : cos α = sin α deci α = ± π 4 19) Făcând în 18) α = π, se obţine în final ecuaţia : 4 semiaxele elipsei fiind astfel : x mc h K + y mc h + K = 1 0) a = mc h K ; b = mc h + K 1) Perioada mişcării se obţine din egalitatea Ω = πab T = C, deci : T = πab C = π C mc h K = π ω = π m k ) Punctul supus la legături Pendulul matematic. Să se studieze mişcarea unui punct material de masă m constrâns să se găsească tot timpul pe o circumferinţă circulară verticală de rază l. Se consideră cunoscute poziţia şi viteza punctului la momentul iniţial t 0 = 0. Rezolvare : Poziţia punctului pe circumferinţă la orice moment t > t 0 este complet determinată de valoarea unghiului θ = θt) măsurat de la axa de referinţă Ox. La momentul iniţial t 0

1.. DINAMICA PUNCTULUI MATERIAL 1 poziţia punctului este dată de valoarea θt 0 ) = θ 0 şi el are viteza v 0 = v 0 = l θ 0 orientată după tangenta la circumferinţă. Ecuaţia de mişcare în absenţa frecării va avea forma : m a = m g + R 1) unde R este reacţia legăturii. Proiectând ecuaţia 1) pe tangentă şi pe normala principală rezultă : ml θ = mg sin θ ml θ = mg cos θ + R ) Prima ecuaţie, scrisă sub forma : θ + ω sin θ = 0 unde ω = g l 3) este cunoscută sub numele de ecuaţia pendulului şi ea permite determinarea mişcării θ = θt). Odată cunoscută soluţia ecuaţiei 3), din b) va rezulta dependenţa de timp a reacţiei legăturii : Rt) = ml θ + mg cos θ 4) Legătura fiind staţionară, iar forţa care acţionează asupra punctului potenţială, se va putea scrie că V = mgl mgx = mgl1 cos θ), integrala energiei având astfel expresia : 1 ml θ + mgl1 cos θ) = h 5) Folosind condiţiile iniţiale, ecuaţia 5) se transcrie după cum urmează : θ = θ 0 + 4ω sin θ 0 θ ) sin = 4ω k sin θ ) Legea de conservare poate fi dedusă direct, înmultînd 3) cu ml θ : ) ml d 1 θ θ + mgl θ sin θ = dt ml θ mgl cos θ = 0 deci : 1 1 ml θ mgl cos θ = h mgl adică ml θ + mgl1 cos θ) = h unde mgl este valoarea constantei care stabileşte nivelul de zero al energiei potenţiale. 6)

CAPITOLUL 1. MECANICA NEWTONIANĂ unde s-a făcut notaţia : k = θ 0 4ω + θ sin 0 = l θ 0 4g + θ sin 0 Se observă că valoarea constantei k este determinată în întregime de datele problemei şi de condiţiile iniţiale. Deoarece θ 0, analiza membrului drept al ecuaţiei 6) permite punerea în evidenţa a următoarelor situaţii posibile, în funcţie de valorile permise pentru k : a. k < 1 : mişcarea este oscilatorie, elongaţia unghiulară maximă având valoarea : 7) α = ± arcsin k 8) Făcând schimbarea de funcţie : sin θ = k sin ϕ 9) ecuaţia 6) devine : ϕ = ± ω 1 k sin ϕ 10) Din definiţia 9) rezultă că variaţia funcţiei ϕ este monotonă, semnul din 10) fiind determinat de condiţiile iniţiale. Alegând semnul +), prin integrare rezultă : ϕt) ϕ 0 dϕ 1 k sin ϕ ceea ce arată că soluţia se exprimă prin funcţii eliptice de speţa I. Perioada mişcării oscilatorii va fi dată de expresia : = ωt t 0 ) 11) T = 1 ω π 0 dϕ = 4 1 k sin ϕ ω π 0 dϕ 1 k sin ϕ 1) Integrala poate fi calculată observând că pentru k < 1 expresia de sub integrală poate fi dezvoltată în serie : 1 1 3 5 n 1) = 1 + k n sin n ϕ 1 k sin ϕ n=1 4 6 n π 13) sin n 1 3 5 n 1) ϕ dϕ = π 4 6 n aşa încât expresia 1) devine : 0 T = π ω 1 + n=1 [ ] 1 3 5 n 1) k n 4 6 n 14) În cazul micilor oscilaţii k 1) perioada T T 0 = π l ω = π nu depinde de amplitudinea g oscilaţiilor, deci în primă aproximaţie oscilaţiile pendulului sunt tautocrone.

1.. DINAMICA PUNCTULUI MATERIAL 3 b. k = 1 : mişcarea este neperiodică. Cu schimbarea de funcţie ϕ = θ, ecuaţia 6) devine : ϕ = ± ω cos ϕ 15) semnul fiind determinat de condiţiile iniţiale. Alegând semnul +) şi ţinând cont de formula dϕ ϕ cos ϕ = ln tg + π ) + C, integrala ecuaţiei 15) va fi : 4 ϕ tg + π ) [ ϕ0 = tg 4 + π )] e ωt t 0) 16) 4 Revenind la funcţia θt), se va obţine în final : θt) = π + 4 arctg {[ tg ϕ0 + π )] e ωt t 0) } 17) 4 Se observă că : lim θt) = π + π = π 18) t ceea ce era de aşteptat, deoarece corpul nu poate depăşi punctul de altitudine maximă de pe circumferinţă. c. k > 1 : mişcarea este rotatorie, sensul mişcării fiind determinat de condiţiile iniţiale. Problema determinării mişcării se reduce la cazul a) transcriind 6) în forma : θ = 4ω k 1 1 θ ) k sin 19) şi făcând schimbarea de funcţie ϕ = θ. Rezultă ecuaţia : ϕ = ± ωk 1 1 k sin ϕ 0) ceea ce indică faptul că şi în acest caz soluţia se exprimă prin funcţii eliptice de speţa I. Formula perioadei în cazul mişcării rotatorii va fi : T = 1 π dϕ ωk 0 1 1 k sin ϕ = π ωk 1 + n=1 = ωk π dϕ 0 1 1 k sin ϕ [ ] 1 3 5 n 1) k n 4 6 n = 1) Este interesant cazul particular k 1 când T π = πl, obţinându-se valoarea perioadei în θ 0 v 0 mişcarea circulară uniformă. În toate cazurile, dependenţa reacţiei legăturii R de timp şi deci de θ este : ) ) ) Rt) = 4mg k sin θ + mg 1 sin θ = mg 4k + 1 6 sin θ )

4 CAPITOLUL 1. MECANICA NEWTONIANĂ Se observă că pot exista valori ale unghiului θ pentru care în cursul mişcării reacţiunea trece printr-un zero şi îşi poate schimba semnul : 4k + 1 β = ± arcsin 3) 6 Dacă în cursul mişcării unghiul θ trece prin una din valorile date de ecuaţia 3), punctul ar putea părăsi circumferinţa circulară dacă legătura nu ar fi bilaterală. Pot fi distinse mai multe situaţii : a) k < 1 : mişcarea este oscilatorie, însă deoarece α β reacţiunea nu îşi poate schimba semnul în cursul mişcării, ea atingând valoarea minimă zero doar la limita k = 1, deci pentru α = ± π ; b) 1 < k < 1 : mişcarea este tot oscilatorie, însă deoarece acum α > β > π, vor exista întotdeauna două domenii + β < θt) < + α şi α < θt) < β pentru care R < 0 ; c) k = 1 : mişcarea este neperiodică şi în domeniul β < θt) π reacţiunea este negativă ; d) 1 < k < 5 : mişcarea este rotatorie, dar va exista întotdeauna un domeniu β < θt) < 4 π β pentru care R < 0 ; e) k 5 : reacţiunea nu-şi va schimba semnul indiferent de valoarea lui θt), ea anulându-se 4 doar la limita k = 5 pentru care β = ± π. 4 Dacă asupra punctului material acţionează şi o forţă de rezistenţă care se opune mişcării şi care este proporţională cu mărimea vitezei, ecuaţia de mişcare a punctului se scrie sub forma : Folosind notaţia uzuală µ = k, ecuaţia devine : m ml θ = mg sin θ k l θ 4) θ = g l sin θ µ θ 5) Va exista întotdeauna o valoare a timpului t, aşa încât pentru orice t > t să poată fi făcută aproximaţia sin θ θ mici oscilaţii). Ecuaţia 5) devine : θ + µ θ + g l θ = 0 ; t > t 6) Căutând o soluţie sub forma e λt, rezultă : λ 1, = µ ± µ ) g l 7) Pentru µ > g l, soluţia generală a ecuaţiei 6) este : θt) = e µ t µ ) µ ) C g 1 exp l t g + C exp l t ; t > t 8)

1.. DINAMICA PUNCTULUI MATERIAL 5 Mişcarea nu este periodică şi lim θt) = 0. Dacă însă µ g t <, soluţia generală a ecuaţiei 6) l se scrie : θt) = α e µ t ) cos g µ l t + β ; t > t 9) Funcţia 9) descrie o mişcare oscilatorie amortizată cu perioada : T 0 = π ) 30) g µ l 3 Să se determine viteza v 0 cu care un punct material este lansat de la baza unei circumferinţe circulare verticale de rază l, aşa încât după ce acesta părăseşte circumferinţa, traiectoria sa să treacă prin centrul circumferinţei. Se neglijează frecarea. Rezolvare : Deoarece legătura nu este bilaterală, punctul material părăseşte circumferinţa în momentul în care reacţiunea R se anulează. Conform rezultatelor din problema anterioară, valoarea unghiului pentru care R = 0 este dată de expresia : sin θ 1 = 4k + 1 6 unde k = l θ 0 4g = v 0 4gl > 1 1) Viteza unghiulară avută de punctul material în momentul părăsirii circumferinţei va fi : θ 1 = 4ω k sin θ ) 1 = ω k 1) 3 ; ω = g l ) Pe porţiunea P 1 O ecuaţiile parametrice ale traiectoriei vor fi : xt) = x 1 + ẋ 1 t + 1 gt yt) = y 1 + ẏ 1 t 3)

6 CAPITOLUL 1. MECANICA NEWTONIANĂ unde condiţiile iniţiale sunt date de expresiile : x 1 = l cos θ 1 ; ẋ 1 = l θ 1 sin θ 1 y 1 = l sin θ 1 ; ẏ 1 = l θ 1 cos θ 1 4) Eliminând timpul din ecuaţiile 3) va rezulta ecuaţia traiectoriei în planul xoy : x = x 1 + ẋ1 ẏ 1 y y 1 ) + g ẏ 1 y y 1 ) 5) Făcând aici x = y = 0 şi înlocuind condiţiile iniţiale 4), rezultă ecuaţia : care, ţinând cont de ), devine : sin θ 1 + θ 1 ω cos θ 1 = 0 6) 3 sin θ 1 + 4k 1) cos θ 1 = 0 7) Observând că : cos θ 1 = 1 sin θ 1 = 3 1 k ) ; sin θ 1 = 4 sin θ 1 θ cos 1 = 4 4k + 1 5 4k 6 6 din 7) rezultă ecuaţia pentru determinarea valorii lui k : 8) Deoarece k > 1, unica soluţie posibilă este : 16 k 4 16 k + 1 = 0 9) adică k = + 3 4 10) v 0 = + 3)gl 11) 4 Pendulul cicloidal Huygens). Un punct material se mişcă fără frecare sub influenţa greutăţii pe o cicloidă situată în plan vertical. Să se studieze proprietăţile mişcării dacă la momentul iniţial t 0 = 0 punctul porneşte din repaus. Rezolvare : Alegând sistemul de axe ca în figură, ecuaţiile parametrice ale cicloidei sunt : x = a1 + cos θ) y = aθ + sin θ) ; π θ π 1) Deoarece mişcarea punctului pe cicloidă se face fără frecare sub acţiunea forţei de greutate, energia mecanică totală se conservă : 1 mẋ + ẏ ) + mga x) = h )

1.. DINAMICA PUNCTULUI MATERIAL 7 Din ecuaţiile 1) prin derivare după timp rezultă : ẋ = a θ sin θ ẏ = a θ1 + cos θ) 3) Integrala energiei va căpăta astfel forma : ma θ 1 + cos θ) + mga1 cos θ) = h 4) sau ma θ cos θ + mga sin θ = h 5) Efectuând schimbarea de funcţie ecuaţia 5) devine : sin θ = u ; θ = 1 u u 6) 8ma u + mgau = h 7) Derivând relaţia obţinută după timp, rezultă ecuaţia diferenţială de ordinul doi : ü + g 4a u = 0 8) Având în vedere condiţiile iniţiale ut 0 ) = u 0, ut 0 ) = 0, soluţia generală a ecuaţiei 8) va fi : ) 1 g u = u 0 cos a t 9) sau sin θ = sin θ ) 0 1 g cos a t 10) Se constată că timpul necesar pentru ca corpul să ajungă în punctul inferior al cicloidei θ = 0) : t c = π a g 11) nu depinde de valoarea iniţială θ 0, mişcarea pe cicloidă fiind astfel tautocronă. Se observă de asemenea că mişcarea este periodică, perioada mişcării fiind : T = π a = 4π 1) 1 g g a

8 CAPITOLUL 1. MECANICA NEWTONIANĂ 5 Un punct material de masă m alunecă fără frecare pe o bară de masă neglijabilă, care se roteşte cu viteză unghiulară constantă ω în plan vertical. Considerând că la momentul iniţial t 0 = 0 bara se află în poziţie orizontală, iar punctul se găseşte pe bară la distanţa r 0 faţă de origine şi are viteza radială ṙ 0, să se scrie ecuaţia de mişcare a punctului pe bară şi să se determine dependenţa de timp a reacţiei legăturii. Rezolvare : Folosind coordonatele polare în planul yoz, ecuaţia de mişcare a punctului de masă m : m r = m g + R 1) va fi echivalentă cu sistemul de ecuaţii scalare : m r r θ ) = mg sin θ mṙ θ + r θ) = mg cos θ + R ) Conform datelor iniţiale : θ = ω ; θt) = ωt 3) şi sistemul ) devine : Ecuaţia 4a) are soluţia generală : r ω r = g sin ωt R = mg cos ωt + mωṙ rt) = C 1 e ωt + C e ωt + Impunând condiţiile iniţiale, rezultă sistemul de ecuaţii : 4) g sin ωt 5) ω care are soluţia : C 1 + C = r 0 ω C 1 C + g ) 6) = ṙ ω 0 C 1 = 1 r 0 + ṙ0 ω g ) ω C = 1 r 0 ṙ0 ω + g ) 7) ω

1.3. SISTEME DE PUNCTE - SOLIDUL RIGID 9 Soluţia ecuaţiei radiale va fi : rt) = 1 r 0 + ṙ0 ω g ) e ωt + 1 r ω 0 ṙ0 ω + Derivând soluţia 8) şi înlocuind în ecuaţia 4b) rezultă : Rt) = mg cos ωt + mω [ r 0 + ṙ0 ω 1.3 Sisteme de puncte - solidul rigid g ) e ωt + ω g ) e ωt r ω 0 ṙ0 ω + g sin ωt 8) ω g ) e ωt] 9) ω 1 O rachetă având masa M este lansată vertical de pe suprafaţa Pământului, având la momentul iniţial o cantitale µ 0 de combustibil. Presupunând constantă viteza relativă u de expulzare a gazelor, să se determine viteza finală a rachetei la epuizarea combustibilului, dacă masa acestuia variază după legea liniară µt) = µ 0 αt, α > 0. Se neglijează rezistenţa aerului, precum şi variaţia lui g cu altitudinea. Rezolvare : Ecuaţia generală a lui Meşcerski 3, proiectată pe verticală, va avea în condiţiile enunţate forma concretă : adică : [M + µt)] dv dt = [M + µt)] g dµ dt u 1) dv dt = g u dµ M + µt) dt Integrând şi ţinând cont că la momentul iniţial viteza este nulă, rezultă : ) vt) = gt u µt) dµ M + µt) = gt + u ln M + µ 0 M + µt) µ 0 3) Viteza finală, corespunzătoare momentului când s-a consumat întreaga cantitate de combustibil, va fi dată de formula : v f = gt f + u ln 1 + µ ) 0 4) M 3 Se consideră un corp care are masa m şi viteza v la momentul t, deci impulsul m v. În intervalul t este expulzată o particulă de masă m m < 0) cu viteza relativă u. Impulsul total al sistemului la momentul t + t este : m + m) vt + t) + m) v + u) Conform teoremei impulsului, variaţia impulsului în intervalul de timp t va fi : m + m) v + v) m v + u) m v = F t unde F reprezintă rezultanta forţelor exterioare aplicate. Împărţind cu t, trecând la limită t 0 şi neglijând termenul infinit mic de ordinul doi, rezultă ecuaţia lui Meşcerski : m d v dt = F + dm dt u

30 CAPITOLUL 1. MECANICA NEWTONIANĂ Rezultatul este cunoscut sub numele de formula lui Ţiolkovski. liniar cu viteza : t f = µ 0 α În condiţiile în care masa variază 5) Unghiurile Euler. Matricea de rotaţie Mişcarea unui sistem de referinţă mobil S în raport cu un sistem de referinţă fix S 1 având aceeaşi origine este descrisă de ecuaţiile ψ = ω 0 t, θ = θ 0, ϕ = ω 0 t, unde ψ, θ şi ϕ sunt unghiurile Euler. Un punct descrie în planul xoy, în sensul acelor de ceasornic, o traiectorie circulară de rază R, cu centrul în O şi cu viteza unghiulară constantă ω 0. Să se scrie ecuaţia de mişcare a punctului în raport cu sistemul fix şi să se calculeze componentele în raport cu S 1 pentru următorii vectori : v a, v r, v t, a a, a r, a t, a c. Rezolvare : Conform enunţului, ecuaţia de mişcare a punctului în sistemul S este : r = R cos ω 0 t ı sin ω 0 t j ) 1) deci : v r = ω 0 R sin ω 0 t ı + cos ω 0 t j ) a r = ω 0R cos ω 0 t ı sin ω 0 t j ) = ω 0 r ) Componentele versorilor ı, j şi k în sistemul S 1 se calculează folosind relaţia : ı j k = cos ω 0 t sin ω 0 t cos θ 0 sin ω 0 t cos ω 0 t 1 + cos θ 0 ) sin ω 0 t sin θ 0 sin ω 0 t cos ω 0 t 1 + cos θ 0 ) sin ω 0 t + cos ω 0 t cos θ 0 cos ω 0 t sin θ 0 sin ω 0 t sin θ 0 cos ω 0 t sin θ 0 cos θ 0 Făcând înlocuirile, vor rezulta expresiile : ı 1 j 1 k1 3) r = R cos ω 0 t ı 1 + sin ω 0 t j 1 ) v r = ω 0 R sin ω 0 t cos θ 0 ı 1 cos ω 0 t cos θ 0 j 1 sin θ 0 k 1 ) a r = ω 0R cos ω 0 t ı 1 + sin ω 0 t j 1 ) = ω 0 r 4)

1.3. SISTEME DE PUNCTE - SOLIDUL RIGID 31 Pe de altă parte, derivând succesiv 4a) rezultă : v a = ω 0 R sin ω 0 t ı 1 + cos ω 0 t j 1 ) a a = ω 0R cos ω 0 t ı 1 + sin ω 0 t j 1 ) = ω 0 r 5) Folosind definiţiile : se obţine : v a = v r + v t a a = a r + a t + a c 6) v t = v a v r = ω 0 R [ sin ω 0 t 1 + cos θ 0 ) ı 1 cos ω 0 t 1 + cos θ 0 ) j 1 sin θ 0 k 1 ] a t = a c 7) Deoarece în sistemul S 1 vectorul rotaţie ω are componentele : ω x1 = ω 0 sin ω 0 t sin θ 0 ω y1 = ω 0 cos ω 0 t sin θ 0 ω z1 = ω 0 1 + cos θ 0 ) 8) pentru acceleraţia Coriolis va rezulta expresia : a c = ω v r = ω 0R 1 + cos θ 0 )cos ω 0 t ı 1 + sin ω 0 t j 1 ) = ω 0 1 + cos θ 0 ) r 9) Ultimul rezultat putea fi obţinut direct, deoarece : a c = a t = [ ω r + ω ω r)] = ω r = ω 0 1 + cos θ 0 ) r 10) unde s-au folosit proprietăţile evidente ω r = 0 şi ω r = 0. Cinematica rigidului 3 Studiul cinematic al precesiei regulate. Un corp cu simetrie axială se sprijină în punctul fix O şi se roteşte în jurul axei proprii Oz cu viteză unghiulară constantă ϕ 0. La rândul său, axa Oz efectuează o mişcare de rotaţie în jurul axei fixe verticale Oz 1 cu viteza unghiulară constantă ψ 0, ea descriind un con cu deschiderea la vârf θ 0. Să se găsească locul geometric al vectorului rotaţie ω în raport cu sistemul de referinţă fix şi în raport cu cel solidar legat de rigid. Rezolvare : Conform enunţului, dependenţa de timp a unghiurilor Euler va fi exprimată de ecuaţiile : ψ = ψ 0 t, θ = θ 0, ϕ = ϕ 0 t 1) Proiecţiile vectorului rotaţie ω pe axele sistemului fix şi pe axele sistemului legat solidar de rigidul care se roteşte, vor fi : ω x1 = ϕ 0 sin ψ 0 t sin θ 0 ω y1 = ϕ 0 cos ψ 0 t sin θ 0 ; ω z1 = ϕ 0 cos θ 0 + ψ 0 ω x = ψ 0 sin ϕ 0 t sin θ 0 ω y = ψ 0 cos ϕ 0 t sin θ 0 ) ω z = ψ 0 cos θ 0 + ϕ 0

3 CAPITOLUL 1. MECANICA NEWTONIANĂ Mărimea vectorului ω va avea valoarea : ω = ψ 0 + ϕ 0 + ψ 0 ϕ 0 cos θ 0 3) Deoarece, în cursul mişcării, mărimea vectorului ω precum şi proiecţiile sale pe axele Oz 1 şi Oz se menţin constante, rezultă că unghiurile făcute de vectorul ω şi deci de axa instantanee de rotaţie cu axele Oz 1 şi Oz se menţin constante. În plus, deoarece ω este un vector în planul z 1 Oz, el va fi tot timpul perpendicular pe linia nodurilor, ceea ce se poate verifica şi direct. Este de aşteptat ca vectorul ω să descrie în jurul axei fixe verticale Oz 1 o mişcare de rotaţie cu viteza unghiulară constantă ψ 0, locul geometric corespunzător fiind un con circular drept cu vârful în O. Confirmarea analitică a acestei proprietăţi se bazează pe ecuaţia vectorială a locului geometric căutat : r = λ ω 4) unde r reprezintă vectorul de poziţie al unui punct situat pe suportul lui ω. Proiectând ecuaţia 4) pe axele sistemului fix, rezultă : x 1 ϕ 0 sin ψ 0 t sin θ 0 = ceea ce este echivalent cu a scrie : y 1 ϕ 0 cos ψ 0 t sin θ 0 = z 1 ϕ 0 cos θ 0 + ψ 0 = λ) 5) x 1 z 1 = ϕ 0 sin θ 0 ϕ 0 cos θ 0 + ψ 0 sin ψ 0 t, y 1 z 1 = ϕ 0 sin θ 0 ϕ 0 cos θ 0 + ψ 0 cos ψ 0 t 6) Eliminând timpul din aceste două ecuaţii, rezultă : x 1 + y 1 z 1 = ϕ 0 sin θ 0 ϕ 0 cos θ 0 + ψ 0 ) 7) ceea ce reprezintă ecuaţia unui con circular drept cu vârful în O conul herpolodic). Unghiul pe care generatoarea vectorul ω) îl face cu axa Oz 1 va fi : ctg γ 1 = z 1 x 1 + y 1 = ctg θ 0 + ψ 0 ϕ 0 sin θ 0 8)

1.3. SISTEME DE PUNCTE - SOLIDUL RIGID 33 Pentru a obţine locul geometric al vectorului rotaţie ω în raport cu sistemul solidar legat de rigid, ecuaţia 4) va fi proiectată pe axele sistemului mobil. Procedând analog, va rezulta : x + y = z ψ 0 sin θ 0 ψ 0 cos θ 0 + ϕ 0 ) 9) ceea ce reprezintă de asemenea ecuaţia unui con circular drept cu vârful în O conul polodic), a cărui generatoare face cu axa mobilă Oz unghiul : ctg γ = z x + y = ctg θ 0 + ϕ 0 ψ 0 sin θ 0 10) În cursul mişcării corpului, conul polodic se va rostogoli fără să alunece pe conul herpolodic, axa conului polodic rotindu-se cu viteza unghiulară ψ 0 în jurul axei conului herpolodic, ψ 0 reprezentând viteza precesiei. Rigidul supus la legături 4 Să se determine ecuaţia de mişcare a centrului unui disc circular omogen de rază a şi masă M, care se rostogoleşte fără alunecare pe un plan înclinat care face unghiul α cu orizontala. Rezolvare : Sistemul de referinţă fix se alege astfel încât axa O 1 x 1 să fie în lungul planului înclinat şi deci să facă unghiul α cu orizontala, axa O 1 y 1 să fie conţinută în planul respectiv, iar axa O 1 z 1 să fie perpendiculară pe acest plan. Sistemul mobil are originea în centrul discului, iar axele mobile Ox şi Oy sunt conţinute în planul discului. Din motive de simetrie r c = 0 şi atunci teorema impulsului se reduce la : M a O = F + R t + R n 1) unde F = M g, iar reacţiunea legăturii discul se rostogoleşte fără să alunece!) este descopusă în două componente, una tangenţială R t şi una normală R n la planul înclinat. Proiecţia pe axa O 1 x 1 conduce la ecuaţia : Mẍ O = Mg sin α R t ) Având în vedere figura, teorema momentului cinetic τ ω) + ω τ ω) = M O F ) + M O R t ) + M O R n ) 3)

34 CAPITOLUL 1. MECANICA NEWTONIANĂ se reduce la : τ ω) + ω τ ω) = r P R t 4) În raport cu sistemul de referinţă solidar legat de disc, tensorul de inerţie are elementele : 1 I 0 0 τ = 1 0 I 0 5) 0 0 I unde : I = I zz = a x + y ) dm = πρ Observând că în sistemul de referinţă mobil : 0 ω = 0, τ ω) = ϕ 0 0 0 I ϕ r 3 dr = π M πa a 4 4 = 1 Ma 6) deci ω τ ω) = 0 7) deoarece axa Oz este antiparalelă cu axa O 1 y 1, proiectând ecuaţia 4) pe axa O 1 y 1 va rezulta egalitatea : I ϕ = ar t 8) şi deci : R t = I a ϕ = 1 Ma ϕ 9) Ecuaţia legăturii rezultă din condiţia ca viteza absolută a punctului de contact P să fie nulă : Introducând aceste rezultate în ecuaţia ) : rezultă expresia acceleraţiei centrului discului : ẋ O a ϕ = 0 10) Mẍ O = Mg sin α 1 Mẍ O 11) ẍ O = g sin α 1) 3 Dacă la momentul iniţial t 0 = 0 punctul O se găseşte în repaus pe axa O 1 z 1, atunci ecuaţia de mişcare căutată este : x O t) = 1 3 g sin α t 13) 5 Să se studieze mişcarea unei sfere omogene de rază a care se poate rostogoli în plan vertical fără să alunece în interiorul unui cilindru circular gol de rază A > a, fixat în poziţie orizontală.

1.3. SISTEME DE PUNCTE - SOLIDUL RIGID 35 Rezolvare : În cursul mişcării, centrul sferei descrie un cerc de rază A a situat în planul vertical fix x 1 O 1 y 1 v. figura). Sistemul de referinţă mobil se alege astfel încât originea lui să se găsească în centrul sferei r c = 0), iar axa Oz să fie paralelă cu axa fixă O 1 z 1. Observând că : x O = A a) cos θ y O = A a) sin θ ẋ O = A a) θ sin θ ẏ O = A a) θ cos θ ẍ O = A a) θ sin θ A a) θ cos θ ÿ O = A a) θ cos θ A a) θ sin θ proiectând teorema impulsului pe axele sistemului fix rezultă : MA a) θ sin θ MA a) θ cos θ = Mg + R t sin θ R n cos θ MA a) θ cos θ MA a) θ sin θ = R t cos θ R n sin θ 1) ) Deoarece vectorul rotaţie are ca suport axa Oz, iar mărimea sa este θ ϕ, din teorema momentului cinetic va rezulta v. şi probl. anterioară) : I θ ϕ) = ar t 3) unde I este momentul de inerţie al corpului în raport cu axa Oz. În cazul sferei de rază a, valoarea sa va fi : I = I zz = 3 I O = 3 x + y + z ) dm = a 3 4πρ 0 r 4 dr = 3 4π M 4πa 3 3 a 5 5 = 5 Ma 4) Impunând condiţia ca la orice moment viteza absolută a punctului de contact P să fie nulă nu există alunecare!), va rezulta relaţia : A θ = a ϕ 5) Folosind ecuaţia 3) se va putea scrie : R t = A a) I a θ 6) Înlocuind rezultatul în ecuaţia b) se obţine : R n = MA a) θ MA a) 1 + I ) cos θ θ Ma sin θ 7)

36 CAPITOLUL 1. MECANICA NEWTONIANĂ Introducând expresiile lui R t şi R n în a), va rezulta ecuaţia de mişcare a punctului O : g θ + A a) 1 + I ) sin θ = 0 8) Ma Se observă că ecuaţia obţinută coincide ca formă cu ecuaţia pendulului matematic a cărui lungime ar fi : l = A a) 1 + I ) 9) Ma Ţinând seama de expresia 4) a momentului de inerţie în raport cu axa Oz pentru sferă, se obţine valoarea : l = 7 A a) 10) 5 6 Să se studieze mişcarea unei bare omogene grele de lungime l şi grosime neglijabilă, ale cărei extremităţi alunecă în plan vertical, sub influenţa greutăţii, pe doi pereţi perpendiculari între ei. Se va considera coeficientul de frecare : a) µ = 1, b) µ = 0. Rezolvare : Alegând sistemele de referinţă fix şi mobil ca în figură, se observă că originea O care coincide cu mijlocul barei) descrie un cerc de rază l. Coordonatele lui O vor fi : x O = l cos θ ; y O = l sin θ 1) de unde rezultă componentele acceleraţiei în sistemul de referinţă fix : ẍ O = l θ sin θ + cos θ ) ; ÿ O = l θ cos θ sin θ ) ) Din teorema impulsului vor rezulta ecuaţiile : M l θ sin θ + θ cos θ ) = R n R 1t = R n µr 1n M l θ cos θ θ sin θ ) 3) = Mg + R 1n + R t = Mg + R 1n + µr n

1.3. SISTEME DE PUNCTE - SOLIDUL RIGID 37 Vectorul rotaţie ω se calculează pornind de la expresiile : şi aplicând definiţia : ı = cos θ ı 1 sin θ j 1 j = sin θ ı 1 + cos θ j 1 4) ω z = ı j = θ 5) Ţinând cont că I O = 1 1 Ml, din teorema momentului cinetic va rezulta ecuaţia : M l 1 θ = l R 1t + R n ) sin θ l R t R 1n ) cos θ = = l µr 1n + R n ) sin θ l µr n R 1n ) cos θ 6) a) Cazul µ = 1. Înlocuind în 6) ecuaţiile 3) va rezulta în final : Obervând că se poate scrie : θ + 3 θ 6g l θ = d θ dt sin θ = 0 7) d θ = θ dθ = 1 d θ dθ ecuaţia 7) devine : d θ dθ + 6 θ = 1g sin θ 9) l şi are soluţia generală : θ = C e 6θ + 1g 6 sin θ cos θ) 10) 37l unde constanta C urmează să fie determinată din condiţiile iniţiale. Examinând ecuaţia 9) se observă că dacă θ 0 g sin θ 0 < 0, atunci l θ este o funcţie crescătoare şi bara va aluneca cu viteză din ce în ce mai mare până ajunge în poziţie orizontală. Dacă însă θ 0 g sin θ 0 > 0, atunci l θ descreşte şi există o valoare limită a unghiului θ pentru care bara se opreşte într-o poziţie oblică. b) Cazul µ = 0. Făcând aceleaşi înlocuiri, va rezulta ecuaţia diferenţială : 8) θ + 3g l cos θ = 0 11) Cu schimbarea ϕ = π + θ, ecuaţia 11) descrie mişcarea unui pendul matematic cu lungimea l = l care face unghiul ϕ cu verticala descendentă. Trecând la variabila independentă θ, se 3 obţine ecuaţia : d θ dθ + 3g cos θ = 0 1) l

38 CAPITOLUL 1. MECANICA NEWTONIANĂ care are soluţia θ = 0 pentru θ = π ) : θ = 3g 1 sin θ) 13) Funcţia θ este monoton crescătoare şi atinge valoarea maximă pentru θ = 0. Rigidul cu axă fixă 7 Pendulul fizic. Un rigid greu de masă M se poate roti liber în jurul unei axe orizontale fixe care este în acelaşi timp şi axă principală de inerţie. Să se studieze mişcarea rigidului şi variaţia reacţiunii. Rezolvare : Sistemul de referinţă fix se alege astfel încât axa Ox 1 să fie orientată pe verticală în jos, iar axa Oz 1 să fie orizontală. Axa Oz coincide cu axa Oz 1, iar axa mobilă Ox trece prin centrul de masă C al corpului, distanţa OC fiind notată cu l. Poziţia la un moment dat a rigidului în raport cu sistemul fix va fi precizată de valoarea unghiului θt) dintre axele Ox 1 şi Ox. Momentul greutăţii va fi astfel : M O G) = ı 1 j 1 k1 l cos θ l sin θ 0 Mg 0 0 iar ecuaţia de mişcare a pendulului fizic va avea expresia : = Mgl sin θ k 1 1) I zz θ + Mgl sin θ = 0 ) adică : θ + g sin θ = 0 unde l = I zz 3) l Ml Mărimea l poartă numele de lungime redusă şi reprezintă lungimea unui pendul matematic care ar oscila cu aceeaşi perioadă ca cea a pendulului fizic, în aceleaşi condiţii iniţiale. În aproximaţia micilor oscilaţii, perioada mişcării pendulului va fi : T = π l g = π Izz Mgl 4)

1.3. SISTEME DE PUNCTE - SOLIDUL RIGID 39 Folosind teorema lui Steiner, momentul de inerţie I zz în raport cu axa Oz, poate fi exprimat cu ajutorul momentului de inerţie Izz c în raport cu o axă paralelă la Oz, dar trecând prin centrul de masă C : I zz = Ml + Izz c 5) Împărţind cu Ml şi ţinând cont de definiţia 3), lungimea redusă poate fi scrisă sub forma : l = l + Ic zz Ml = l + l 1 unde l 1 = Ic zz Ml şi deoarece l 1 > 0, rezultă l > l. Dacă pendulul ar oscila în jurul unei axe paralele la axa Oz, care însă trece printr-un punct O 1 aflat pe axa Ox la distanţa l = l + l 1 de O, lungimea sa redusă va fi : 6) l 1 = l 1 + Ic zz = l 1 + Ic zz Ml 1 M Ml I c zz = l 1 + l = l 7) deci pendulul ar oscila cu aceeaşi perioadă în jurul oricăreia din axele considerate. Axa care trece prin O este numită axă de suspensie, iar axa paralelă care ar trece prin O 1 este numită axă de oscilaţie, cele două axe fiind reciproce. Proprietatea că axa de suspensie poate deveni la rândul ei axă de oscilaţie, şi invers, poartă numele de reversibilitate. Odată determinate poziţiile punctelor O şi O 1 în raport cu C, aşa încât în ambele situaţii perioada de oscilaţie să fie T, poate fi calculată valoarea acceleraţiei gravitaţionale : g = 4π l T = 4π l + l 1 T 8) Deoarece condiţia de reversibilitate pentru determinarea lui g este foarte dificil de realizat, în practică se preferă utilizarea unei metode, cunoscută sub numele de pendulul lui Kater, în care axele care trec prin O respectiv O 1, sunt succesiv axe de suspensie. Cunoscând distanţele l şi l 1 faţă de centrul de masă, urmează a fi determinate perioadele T şi T 1 ale mişcărilor în cele două situaţii. Folosind 6) şi 7) pot fi scrise relaţiile : care prin scădere conduc la egalitatea : l l = l + Ic zz M l 1 l 1 = l 1 + Ic zz M 9) l l l 1 l 1 = l l 1 10) Deoarece lungimile reduse sunt legate de perioadele corespunzătoare prin relaţiile : l = gt 4π şi l 1 = gt 1 4π 11) ecuaţia 10) devine : g 4π lt l 1 T 1 ) = l l 1 1)