CONICE. DEFINITII CA LOCURI GEOMETRICE SI PROPRIETATI. 1. Elipsa. Cadrul de lucru al acestui curs este un plan an euclidian orientat E 2 =

CONICE. DEFINITII CA LOCURI GEOMETRICE SI PROPRIETATI 1. Elips Cdrul de lucru l cestui curs este un pln n euclidin orientt E = ( ( E ) ) E,, <, >, Φ. Denition 1.1. Se consider dou puncte distincte F, F E cu d(f, F ) = c > 0 si un numr > c. Se numeste elips locul geometric l punctelor plnului E pentru cre sum distntelor l punctele xe F, F este constnt si egl cu : (1.1) E = P E d(p, F ) + d(p, F ) = } Punctele F, F se numesc focrele elipsei, drept F F x focl si c distnt focl. Pentru ne convinge c locul geometric denit nterior este o multime nevid, e O mijlocul segmentului (F F ), e A, A F F stfel inct d(o, A) = d(o, A ) = si A F O F A. Evident A, A E. Putem s mi construim usor lte dou puncte ce prtin elipsei: e B, B } intersecti dintre meditore segmentului (F F ) si cercul cu centrul in F, de rz. Evident B, B E. Aceste ptru puncte A, A, B, B se numesc vrfurile elipsei. Pentru construi elips putem folosi un elipsogrf. Cpetele unui r inextensibil de lungime se xez in cele dou focre. Intindem rul cu vrful unui creion. In miscre s, creionul v descrie pe foie o elips. Drepr F F se numeste x trnsvers, ir meditore segmentului (F F ) - x conjugt. Ecutiile elipsei. Pentru pute determin ecutiile elipsei vom x un reper ortonormt stfel: origine v punctul O, mijlocul segmentului (F F ), ī = 1 F F si j ī, j = 1 stfel inct ī, j} e o bz pozitiv. Notm F F cu (xoy) xele de coordonte. In rport cu cest reper punctele construite pn cum u coordontele F (c, 0), F ( c, 0), A(, 0), A (, 0), B(0, b), B (0, b), unde m nott (1.) b = c Numim semix mre elipsei si b semix mic. 1

CONICE. DEFINITII CA LOCURI GEOMETRICE SI PROPRIETATI Ecuti cnonic Fie P (x, y) un punct l elipsei. Atunci (x c) + y + (x + c) + y =. Pstrm un singur rdicl in membrul stng l eglittii, poi ridicm mbii membri l ptrt. Dup reducere termenilor semene, izolm din nou un rdicl si obtinem: (1.3) (x + c) + y = cx +. Ridicm din nou l ptrt mbii membri i eglittii, reducem termenii semene si rezult: ( c )x + y ( c ) = 0. Inlocuind in cest ecutie c = b si imprtind mbii membri l b obtinem ecuti cnonic elipsei: (1.4) + y b = 1 Reciproc, s rtm c orice punct le crui coordonte veric ecuti (1.4) prtine elipsei. Fie P 0 (x 0, y 0 ), cu (1.5) + y 0 b = 1. Notm d(p 0, F ) + d(p 0, F ) =. Repetnd clculele nteriore, deducem (1.6) unde m nott b = ( ) c. x x 0 x 0 ( ) + y 0 (b ) = 1, Scznd reltiile (1.5) si (1.6), combinnd convenbil termenii, obtinem x 0 Dr (b ) ( ) = b, deci ( ) = (b ) b, de unde rezult ( 1 1 ( 1 b 1 (b ) ) = 0. ) ( ) + y 0 ) ( ) (( ) x 0 + y ( ) 0 (b ) b = 0. Din (1.5) rezult c x 0 si y 0 nu se nulez simultn, deci ( ) = 0 = d(p 0, F ) + d(p 0, F ) =, deci P 0 E.

CONICE. DEFINITII CA LOCURI GEOMETRICE SI PROPRIETATI 3 Din ecuti cnonic elipsei rezult: dc Q(x, y) E Q 1 ( x, y) E, deci Oy este x de simetrie pentru elips; dc Q(x, y) E Q (x, y) E, deci Ox este x de simetrie pentru elips; dc Q(x, y) E Q 3 ( x, y) E, deci O este centru de simetrie pentru elips. Denim interiorul elipsei si exteriorul elipsei IntE = ExtE = P (x, y) P (x, y) x } + y b 1 < 0 x } + y b 1 > 0. Ecutiile explicite Din (1.4) deducem c y = b ( 1 x ). Observm c pentru c un punct P (x, y) s prtin elipsei de semix mre, este necesr c x. In ceste conditii, extrgnd rdiclul in eglitte de mi sus, obtinem y = b x. Astfel, pentru y 0, vem y = b x, ir pentru y < 0, vem y = b x. Am obtinut ecutii explicite pentru cele dou rce de elips, cel inclus in semiplnul superior si cel inclus in semiplnul inferior. Ecutiile prmetrice Se pote usor veric c punctele de coordonte ( cos t, b sin t), cu t [0, π] veric ecuti cnonic elipsei, deci ecutiile prmetrice le elipsei sunt x = cos t, y = b sin t, t [0, π]. Remrk. Pentru intelege semnicti prmetrului t, rezolvti urmtore problem ce v v d si o metod de constructie prin puncte elipsei. Se consider dou cercuri concentrice, de rze b <, cu centrul O. Fixm un sistem de xe cu origine in O. Semix (Ox tie cercul de rz in A. O semidrept mobil cu origine in O se roteste in jurul lui O. Poziti ei este dt de unghiul t pe cre il fce cu (Ox. E tie cercul de rz b in M si cercul de rz in N. Prlel l OA prin M si perpendiculr din N pe OA se intersectez in P. Vericti c x P = cos t si y P = sin t. Deci P prtine elipsei de semixe, b.

CONICE. DEFINITII CA LOCURI GEOMETRICE SI PROPRIETATI 4 Directorele elipsei S revenim l ecuti (1.3) pe cre o rescriem (x + c) + y = c x + c, x d(p, F ) = ed(p, δ ), unde P (x, y) e un punct rbitrr l elipsei, e = c si δ : x = c. Deci orice punct P l elipsei re propriette c rportul dintre distnt de l P l punctul x F si distnt de l P l drept x δ este constnt si egl cu e. Dc tunci cnd m determint ecuti cnonic elipsei m pstrt in membrul stng l eglittii celllt rdicl, m obtinut (x c) + y = c x c, dic d(p, F ) = ed(p, δ), cu δ : x = c. Numim e = c (0, 1) excentricitte elipsei, ir dreptele δ, δ directorele elipsei. Vom demonstr l nlul cursului c si reciproc cestui rezultt este vlbil, pentru e (0, 1). Intersecti dintre o drept si o elips. In continure vom studi intersecti dintre elips (E) x + y b = 1 si drept (d) y = mx + n. Pentru gsi coordontele eventulelor puncte comune rezolvm sistemul formt din cele dou ecutii. Eliminnd necunoscut y, obtinem ecuti (1.7) ( m + b )x + mnx + (n b ) = 0. Fie discriminntul ecutiei de mi sus. Dc > 0, intersecti dintre drept si elips const in dou puncte distincte P 1, P. Spunem in cest cz c drept este secnt elipsei. Dc < 0, ecuti nu re solutii rele, deci drept nu intersectez elips. Spunem in cest cz c drept este exterior elipsei. Czul mi interesnt este cnd = 0, deci cnd intersecti dintre drept si elips este un punct dublu T }. In cest cz drept este tngent elipsei. Ecuti mgic tngentelor de pnt dt l elips Obtinem = 0 n = m + b n = m + b, deci exist dou tngente l elips de pnt m: (1.8) (d 1 ) y = mx + m + b, (d ) y = mx m + b.

CONICE. DEFINITII CA LOCURI GEOMETRICE SI PROPRIETATI 5 Tngent l elips intr-un punct l ei Dc P 0 (x 0, y 0 ) E, ecuti tngentei l elips in punctul P 0 se obtine din ecuti elipsei prin dedublre: (1.9) (d 0 ) xx 0 + yy 0 b 1 = 0. Pentru demonstr c drept de ecutie (1.9) este tngent elipsei, rezolvm sistemul formt din ecuti elipsei si ce dreptei d 0. Folosind fptul c x 0 dublu, si nume P 0. Vericti! + y 0 b Tngentele l elips dintr-un punct exterior cestei = 1, rezult c intersecti dintre drept si elips este un punct Fie cum P (x 0, y 0 ) ExtE si (d) y y 0 = m(x x 0 ) o drept rbitrr prin P 0. Impunem c d s e tngent elipsei. Deci inlocuim y = y 0 + mx mx 0 in ecuti elipsei obtinnd o ecutie de grdul doi in x. Discriminntul cestei trebuie s e zero, conditie ecchivlent cu (1.10) m ( x 0) + mx 0 y 0 + b y 0 = 0. Deorece P este exterior elipsei x + y b 1 > 0, rezult c ecuti (1.10) re discriminnt strict pozitiv, deci re dou solutii rele distincte, m 1 si m. Rezult c exist dou tngente duse din P 0 l elips, de ecutii (1.11) y y 0 m 1 (x x 0 ) = 0, y y 0 m (x x 0 ) = 0. Ecuti ptrtic tngentelor l elips dintr-un punct exterior ei (fculttiv) Inmultind cele dou ecutii (1.11) si inlocuind din (1.10) m 1 + m = x0y0 x 0 ptrtic: si m 1 m = b y 0, obtinem ecuti x 0 ( x 0)(y y 0 ) + x 0 y 0 (x x 0 )(y y 0 ) + (b y 0)(x x 0 ) = 0. Fie T 1, T cele dou puncte de tngent.

CONICE. DEFINITII CA LOCURI GEOMETRICE SI PROPRIETATI 6 Polr unui punct in rport cu o elips (fculttiv) Vom demonstr c ecuti dreptei T 1 T se obtine din ecuti elipsei prin dedublre in P (x 0, y 0 ) ExtE. Presupunem c T 1 (x 1, y 1 ) si T (x, y ). Deorece P T 1 si P T sunt tngente elipsei, ir T 1, T E, rezult c ecutiile celor dou tngente sunt: xx 1 + yy 1 b 1 = 0, xx + yy b 1 = 0. Fie drept de ecutie (d 0 ) xx0 + yy0 b 1 = 0. Din cele dou reltii nteriore, rezult c T 1, T d 0, deci d 0 = T 1 T. Drept T 1 T se numeste polr lui P in rport cu elips. Norml l elips intr-un punct l ei Denition 1.. Fie P 0 (x 0, y 0 ) E. Norml in P 0 l elips este perpendiculr in P 0 pe tngent l elips in P 0. Din ecuti (1.9) deducem c pnt tngentei l elips in P 0 este b x 0 y 0, deci pnt normlei l elips in P 0 este y 0 b x 0. Astfel, ecuti normlei in P 0 l elips este y y 0 = y 0 b x 0 (x x 0 ). Tem: demonstrti propriette optic elipsei: norml si tngent l elips intr-un punct rbitrr P 0 l cestei sunt bisectore interior si respectiv bisectore exterior unghiului F P 0 F.. Hiperbol Denition.1. Se consider dou puncte distincte F, F E cu d(f, F ) = c > 0 si un numr rel strict pozitiv < c. Se numeste hiperbol locul geometric l punctelor plnului pentru cre diferent distntelor l punctele xe F, F este constnt si egl cu : (.1) H = P E d(p, F ) d(p, F ) = } Punctele F, F se numesc focrele hiperbolei, drept F F x focl si c distnt focl. C si l elips, vom determin A, A F F stfel inct d(o, A) = d(o, A ) = si F A O A F, unde O este mijlocul segmentului (F F ). Evident A, A H. Punctele A, A se numesc vrfurile hiperbolei.

CONICE. DEFINITII CA LOCURI GEOMETRICE SI PROPRIETATI 7 Pentru construi hiperbol prin puncte, procedm stfel: legem un punct rbitrr M pe x focl, diferit de focre, poi intersectm cercul de centru F si rz AM cu cercul de centru F si rz A M. Demonstrti c punctele obtinute prtin hiperbolei. Remrk. Dc dorim s construim mecnic o portiune din hiperbol, procedm stfel. Alegem dou re inextensibile de lungimi diferite, stfel inct diferent lungimilor lor s e. Fixm cte un cpt l ecrui r in cte un focr, trecem mbele re printr-un inel xt in vrful P l unui creion, poi innodm cpetele libere le relor. Intindem mbele re, tinnd nodul N intr-o mn si creionul cu vrful pe foie in cellt mn. Portiunile de re intinse intre nodul N si inelul P vor st lturte, ir celellte portiuni din re vor merge un de l inel l F, cellt de l inel l F. Miscnd creionul, vom trs o portiune dintr-o rmur hiperbolei, deorece diferent d(p, F ) d(p, F ) este ceesi c diferent lungimilor relor intregi (din ecre s- scos ceesi buct P N). Dc xm invers in cele dou focre extremittile relor, obtinem o portiune din cellt rmur hiperbolei. Ecutiile hiperbolei. Pentru pute determin ecutiile hiperbolei vom x un reper ortonormt stfel c si in czul elipsei: origine v O, mijlocul segmentului (F F ), ī = 1 F F si j ī, j = 1 stfel inct ī, j} e o F F bz pozitiv. Notm cu (xoy) xele de coordonte. In rport cu cest reper punctele construite pn cum u coordontele F (c, 0), F ( c, 0), A(, 0), A (, 0). Ecuti cnonic Fie P (x, y) un punct l elipsei. Atunci (x c) + y (x + c) + y = ±. Pstrm un singur rdicl in membrul stng l eglittii, poi ridicm mbii membri l ptrt. Dup reducere termenilor semene, izolm din nou un rdicl si obtinem: (.) ± (x c) + y = cx. Ridicm din nou l ptrt mbii membri i eglittii, reducem termenii semene si rezult: Notm (c )x y + ( c ) = 0. (.3) b = c Obtinem ecuti cnonic hiperbolei: x (.4) y b = 1 Reciproc, demonstrti c si l elips c orice punct le crui coordonte veric ecuti (.4) prtine hiperbolei. Numrul se numeste semix mre, ir b semix mic. Observm c nu neprt > b, denumire dtorndu-se importntei lui in denire hiperbolei.

CONICE. DEFINITII CA LOCURI GEOMETRICE SI PROPRIETATI 8 Din ecuti cnonic hiperbolei rezult c Ox si Oy sunt xe de simetrie, ir O este centru de simetrie pentru hiperbol. Denim interiorul hiperbolei si exteriorul hiperbolei IntH = ExtH = P (x, y) P (x, y) x } + y b 1 > 0 x } + y b 1 < 0. Din ecuti cnonic mi observm c dor x Ox tie hiperbol, nu si x Oy. Deci, spre deosebire de elips, hiperbol re dor dou vrfuri. Ecutiile explicite ( ) Din (.4) deducem c y = b x 1. Observm c pentru c un punct P (x, y) s prtin hiperbolei de semix mre, este necesr c x (, ] [, + ). In ceste conditii, extrgnd rdiclul in eglitte de mi sus, obtinem y = b x. Astfel, pentru y 0, vem y = b x, ir pentru y < 0, vem y = b x. Folosindu-ne de ceste ecutii putem reprezent grc hiperbol. Observm c dreptele sunt simptote oblice pentru hiperbol. ( 1 ) y = b x, ( ) y = b x Ecutiile prmetrice Remintim deniti functiilor trigonometrice cosinus hiperbolic si sinus hiperbolic: ch : R [1, ), ch(t) = et + e t, sh : R R, sh(t) = et e t. Deorece ch (t) sh (t) = 1, t R, rezult c putem prmetriz rmur x hiperbolei prin x = ch(t), y = bsh(t), t R,

CONICE. DEFINITII CA LOCURI GEOMETRICE SI PROPRIETATI 9 ir rmur x prin x = ch(t), y = bsh(t), t R. Remrk. Prezentm o lt reprezentre prmetric hiperbolei, pentru cre vom d si o interpretre prmetrului. Se consider dou cercuri concentrice, cu centrul comun O, de rze < b. Fixm un reper ortonormt cu xele (xoy). O semidrept cu origine in O se roteste in jurul lui O. Intr-o pozitie intermedir fce unghiul τ cu (Ox si intersectez cercul de rz in P ir cercul de rz b in Q. Tngentele in P, respectiv R l cele dou cercuri tie (Ox in T, respectiv S. Pe perpendiculr in T pe Ox se i punctul M stfel inct d(m, T ) = d(q, R). Demonstrti c x M = d(o, T ) = sec τ, y M = d(m, T ) = d(q, R) = b tn τ, τ [0, π]\ π, 3π }. Vericti c x M si y M de mi sus veric ecuti cnonic hiperbolei. Deci M ( sec τ, b tn τ) H. Am obtinut stfel si o metod de constructie hiperbolei prin puncte. Pentru obtine prmetrizre precedent, fcem schimbre de prmetru t = ln tn( π 4 τ ). Directorele hiperbolei Rescriem ecuti (.) stfel: (x c) + y = c x c, x (, ] [, ) d(p, F ) = ed(p, δ), unde P (x, y) e un punct rbitrr l hiperbolei, e = c si δ : x = c. Deci orice punct P l hiperbolei re propriette c rportul dintre distnt de l P l punctul x F si distnt de l P l drept x δ este constnt si egl cu e. Anlog se pote obtine c d(p, F ) = ed(p, δ ), cu δ : x = c. Numim e = c (1, ) excentricitte hiperbolei, ir dreptele δ, δ directorele hiperbolei.

CONICE. DEFINITII CA LOCURI GEOMETRICE SI PROPRIETATI 10 Hiperbol conjugt unei hiperbole dte. Fie hiperbol (H) x y b = 1. Atunci hiperbol (H ) y b x = 1 se numeste hiperbol conjugt lui H. Observm c x trnsvers lui H este Oy. Dorim s reprezentm grc pe H. Fie S d simetri ortogonl ft de prim bisectore d : y = x. E re ecutiile x = y, y = x. Atunci S d (H ) este o hiperbol de ecutii x b y = 1. Acest re focrele de coordonte (c, 0), ( c, 0), unde c = + b. Atunci hiperbol H re focrele F (0, c), F (0, c). Vrfurile lui H sunt B(0, b), B (0, b). Anlog ecutiile simptotelor lui S d (H ) sunt y = ± b x, deci ecutiile simptotelor lui H sunt x = ± b y y = ± b x. Deci H si H u celesi simptote. Rtionnd nlog determinm directorele hiperbolei conjugte: y = ± b c si excentricitte ei e = c b. Intersecti dintre o drept si o hiperbol. In continure vom studi intersecti dintre hiperbol (H) x y b = 1 si drept (d) y = mx + n. Pentru gsi coordontele eventulelor puncte comune rezolvm sistemul formt din cele dou ecutii. Eliminnd necunoscut y, obtinem ecuti (.5) (b m )x mnx (n + b ) = 0. Fie discriminntul ecutiei de mi sus. Poziti dreptei d ft de hiperbol e dt de semnul lui. Dc d nu intersectez hiperbol, numim drept d exterior hiperbolei, dc intersecti dintre d si H este formt din dou puncte distincte, d este secnt hiperbolei. Mi interesnt este czul = 0 cnd intersecti dintre drept si hiperbol este un punct dublu T }. In cest cz drept este tngent hiperbolei. Ecuti mgic tngentelor de pnt dt l hiperbol Obtinem = 0 n = m b. Observm deci c nu pentru orice pnt m, drept d pote tngent hiperbolei. O conditie necesr pentru c d : y = mx + n s e tngent hiperbolei este m (, b ) ( b, ). In cet cz exist dou tngente l hiperbol de pnt m: (.6) (d 1 ) y = mx + m b, (d ) y = mx m b. Tngent l hiperbol intr-un punct l ei Dc P 0 (x 0, y 0 ) H, ecuti tngentei l hiperbol in punctul P 0 se obtine din ecuti cestei prin dedublre: (.7) (d 0 ) xx 0 yy 0 b 1 = 0.

CONICE. DEFINITII CA LOCURI GEOMETRICE SI PROPRIETATI 11 C si l elips, putem determin tngentele duse dintr-un punct exterior l hiperbol si s scriem ecuti ptrtic cestor. De semene se pote deni polr unui punct in rport cu hiperbol si deduce ecuti ei prin dedublre in punctul respectiv din ecuti hiperbolei. Denition.. Fie P 0 (x 0, y 0 ) H. Norml in P 0 l hiperbol este perpendiculr in P 0 pe tngent l hiperbol in P 0. Din ecuti (.7) deducem c pnt tngentei l hiperbol in P 0 este b x 0 y 0, deci pnt normlei l hiperbol in P 0 este y 0 b x 0. Astfel, ecuti normlei in P 0 l hiperbol este y y 0 = y 0 b x 0 (x x 0 ). Tem: demonstrti propriette optic hiperbolei: tngent si norml l hiperbol intr-un punct rbitrr P 0 l cestei sunt bisectore interior si respectiv bisectore exterior unghiului F P 0 F. 3. Prbol Denition 3.1. In plnul E se consider o drept δ si un punct F / δ. Prbol este locul geometric l punctelor din plnul E situte l egl distnt de punctul F si de drept δ: P = P E d(p, F ) = d(p, δ)}. Punctul F se numeste focrul prbolei si drept δ directore prbolei. Spunem c prbol re excentricitte e = 1. Fie l perpendiculr din F pe δ si E piciorul cestei. Notm cu O mijlocul segmentului (F E). Evident O este un punct l prbolei, numit vrful prbolei. Fie p = d(f, δ). Numim p prmetrul prbolei. Remrk. Descriem in continure o metod de constructie mecnic prbolei. Se i un echer ABC cu unghiul drept in A si se sez cu ctet (AB) pe drept δ. Un r inextensibil de lungime d(a, C) este prins cu un cpt de echer in C si cu celllt in focrul F. Cu vrful P l unui creion intindem rul stfel inct s i form unui unghi cu o ltur pe AC. Cnd echerul lunec de- lungul dreptei δ, P v descrie prbol cu focrul F si directore δ.

CONICE. DEFINITII CA LOCURI GEOMETRICE SI PROPRIETATI 1 Ecutiile prbolei. Pentru obtine ecuti cnonic prbolei considerm reperul cu origine in O, semix pozitiv (Ox = (OF si Oy Ox si orientt stfel inct s obtinem un reper pozitiv. In rport cu cest reper focrul re coordontele F ( p, 0) si directore re ecuti δ : x = p. Punctul P (x, y) prtine prbolei dc si numi dc (x p ) + y = x + p. Ridicnd cest ecutie l ptrt obtinem (3.1) y px = 0. Reciproc, e P 0 (x 0, y 0 ) un punct ce veric y0 px 0 = 0. Fie punctul F ( p, 0) si drept δ : x = p. Clculm d(p 0, F ) = (x 0 p ) + y0. Inlocuim y 0 = px 0 si obtinem d(p 0, F ) = x 0 + px 0 + p 4 = x0 + p = d(p 0, δ). Rezult c P 0 prtine prbolei de focr F si directore δ. Ecutiile explicite si prmetrice Pentru reprezent grc prbol determinm ecutiile ei explicite. In primul rnd, pentru c P (x, y) s prtin prbolei este necesr c x 0. In cest cz y = px. Observm din (3.1) c Ox este x de simetrie pentru prbol ir Oy este tngent l prbol in vrful ei. O prmetrizre simpl pentru prbol se obtine stfel: x = t p, y = t, t R. Intersecti dintre o drept si prbol. Punctele de intersectie dintre prbol si drept (d) y = mx + n u bscisele solutii le ecutiei m x + (mn p)x + n = 0. In functie de semnul discriminntului = p pmn obtinem c drept d este exterior, tngent su secnt prbolei. Mi exct, pentru m 0 vem = 0 n = p m. Deci, dt m nenul, exist o singur tngent l prbol, de pnt m, si cest re ecuti (3.) y = mx + p m. Tngent in P 0 (x 0, y 0 ) P l prbol se obtine prin dedublre in P 0 din ecuti prbolei yy 0 p(x + x 0 ) = 0,

CONICE. DEFINITII CA LOCURI GEOMETRICE SI PROPRIETATI 13 deci norml in P 0 l prbol re ecuti y y 0 = y 0 p (x x 0). Tem: demonstrti propriette optic prbolei: tngent si norml l prbol intr-un punct rbitrr P 0 l ei sunt bisectore interior si respectiv exterior unghiului F P 0 G, unde G e piciorul perpendiculrei din P 0 pe directore. Deniti comun elipsei, hiperbolei si prbolei. Theorem 3.. Fie o drept δ, un punct F exterior cestei si un numr strict pozitiv e. Demonstrti c locul d(p,f ) geometric l punctelor P din pln cu propriette c rportul d(p,δ) = e este: () o hiperbol, dc e > 1; (b) o elips, dc e < 1; (c) o prbol, dc e = 1. Proof. Considerm reperul cu x bsciselor perpendiculr din F pe δ, origine un punct deocmdt next pe cest perpendiculr, si Oy Ox. Presupunem c in rport cu cest reper F (c, 0) si δ : x = d. Atunci P este un punct l locului geometric dc si numi dc (x c) + y = e x d. Ridicnd cest reltie l ptrt rezult (3.3) (1 e )x + y + (de c)x + c d e = 0. Dc e 1 legem O stfel inct de c = 0, deci c d e = e d (e 1) si ecuti (3.3) devine x d e + y d e (1 e ) = 1. Dc e (0, 1) rezult c P prtine unei elipse, ir dc e > 1 rezult c P prtine unei hiperbole. Observm c = e d = c e. Dc e = 1, ecuti (3.3) devine y + x(d c) + c d = 0. Alegem O stfel inct d = c, deci ecuti devine y px, cu p = c. In czul cest P prtine unei prbole. Reciproc, m demonstrt dej c dc P prtine unei elipse, unei hiperbole ori unei prbole, el re propriette d(p,f ) d(p,δ) = e, cu e = c in primele dou czuri si e = 1 pentru prbol. 4. Exemple (1) Determinti focrele, vrfurile, simptotele (dc exist) si directorele urmtorele conice. Apoi reprezentti grc conicele. x 1 = 0; b) g) x = 4y; h) x = 16y. ) x 16 + y 4 9 + y 5 x 1 = 0; c) 5 y y 4 1 = 0; d) 9 x 7 1 = 0; e) y = 4x; f) y = 6x; Rezolvre: ) Este vorb despre o elips cu x focl Ox. Din ecuti cnonic deducem = 4, b =, c = b = 3. Deci F ( 3, 0), F ( 3, 0) sunt focrele elipsei, ir A(4, 0), A ( 4, 0), B(0, ), B (0, ) cele ptru vrfuri. Directorele elipsei sunt perpendiculre pe Ox si u ecutiile x = 8 3 3 si x = 8 3 3. Excentricitte elipsei este e = 3. b) Dt elips de ecutie cnonic (E) x 9 + y 5 1 = 0, observm c numitorul coecientului lui x este mi mic dect cel l coecientului lui y. Pentru reprezent grc E putem s considerm simetric ei E ft de prim x = y, bisectore. Ecutiile simetriei ortogonle ft de prim bisectore sunt y si cest este o izometrie, deci = x,

CONICE. DEFINITII CA LOCURI GEOMETRICE SI PROPRIETATI 14 E este tot o elips (congruent cu ce initil): (E ) x 5 + y 9 1 = 0. Determinnd elementele cestei elipse, obtinem elementele corespunztore elipsei initile. Dc dorim s vem celesi formule pentru directore si excentricitte c l ) putem not cu cel mi mre numr ce pre l numitorii ecutiei cnonice lui E, dic = 5 si b = 9. Deci c = 4. Atunci focrele lui E sunt pe Oy si u coordontele F (0, 4) si F (0, 4), vrfurile de pe x focl sunt A(0, 5), A (0, 5), ir celellte dou vrfuri sunt B(3, 0), B ( 3, 0). Excentricitte este e = 4 5, ir directorele u ecutiile: y = ± 5 4. c) Conic este o hiperbol cu x focl Ox. Avem = 5, b =, deci c = + b = 3. Rezult c focrele sunt F (3, 0), F ( 3, 0), ir vrfurile A( 5, 0), A ( 5, 0). Asimptotele u ecutiile y = ± 5 5 x, directorele: x = ± 5 3 si excentricitte e = 3 5 5 > 1. d) Conic este o hiperbol cu x focl Oy, de ecutie cnonic y b x = 1. Deci b = 3, = 7, c = 4. Rezult F (0, 4), F (0, 4), vrfurile B(0, 3), B (0, 3), simptotele: y = ± 3 7 x si directorele y = ± 9 4. Urmtorele conice sunt tote prbole. Primele dou u c x de simetrie pe Ox, urmtorele dou pe Oy. e) Prmetrul prbolei este p =, deci focrul este F (1, 0) si directore re ecuti: x = 1. Prbol este situt in semiplnul x 0. f) Ecuti cnonic este de tipul y = px, deci prbol este situt in semiplnul x 0 si p = 3. Avem F ( p, 0) = F ( 3, 0) si directore x = 3. g) Ecuti cnonic este de tipul x = py si prbol este situt in semiplnul y 0. Avem F (0, p ) = F (0, 1), δ : y = 1. h) Ecuti cnonic este x = py, prbol ind situt in semiplnul y 0. F (0, p ) = F (0, 4) si δ : y = 4. () Fie hiperbol (H) x y = 0. ) Determinti coordontele focrelor, vrfurilor, ecutiile simptotelor si directorelor si reprezentti grc conic. b) Scrieti ecutiile tngentei si normlei l hiperbol in M(, 1). c) Determinti ecutiile tngentelor l hiperbol prlele cu drept y = 3x 3. d) Scrieti ecutiile tngentelor l hiperbol duse din punctul N(0, 1). Rezolvre: ) Din ecuti cnonic hiperbolei (H) x y 1 = 1 observm c x focl este Ox. Deorece =, b = 1 rezult c = + b = 3. Deci focrele sunt F ( 3, 0), F ( 3, 0), vrfurile A(, 0), A (, 0). Ecutiile simptotelor sunt ( 1, ) y = ± x, ecutiile directorelor (δ 1, ) x = ± 3 3 ir excentricitte hiperbolei este e = 6 > 1. b) Vericm c M H, deci ecuti tngentei in M l hiperbol se obtine prin dedublre in M: (d) x y = 0 x y 1 = 0. Observm c pnt tngentei d este m = 1, deci pnt normlei d in M l H este m = 1. Deducem de ici ecuti normlei (d ) y 1 = (x ) x + y 3 = 0. c) Ni se cer ecutiile tngentelor l H de pnt m = 3. In primul rnd vericm m > b. Inlocuim m = 3 in ecutiile (.6) si obtinem ecutiile celor dou tngente: y = 3x + 17, y = 3x 17. Determinti punctele in cre cele dou tngente tie hiperbol si observti c ele sunt simetrice fr de O. d) Metod I: Vericm c N ExtH.

CONICE. DEFINITII CA LOCURI GEOMETRICE SI PROPRIETATI 15 Fie δ o drept orecre ce trece prin N(0, 1). Deci e re ecuti (δ) y 1 = m(x 0) y = mx + 1. Determinm prmetrul rel m din conditi c δ s tie hiperbol intr-un punct dublu. y = mx + 1 x y = 0 y = mx + 1 (1 m )x 4mx 4 = 0 Impunem conditi c discriminntul ecutiei de grdul doi in x s e nul: 4m + 4 = 0 m 1, = ±1. Astfel cele dou tngente u ecutiile (δ 1 ) y = x + 1, (δ ) y = x + 1. Metod II: Folosim ecuti mgic tngentelor l hiperbol de pnt dt. Dc δ este un din tngentele cutte, rezult c ecuti ei re un din formele (.6). Deci (δ) y = m 1 x + m 1 1 su (δ) y = m x m 1. Punem conditi c N s prtin lui δ. De ici rezult 1 = ± m 1 m = ±1. Inlocuind in ecutiile de mi sus obtinem ecutiile ptru drepte: y = x ± 1, y = x ± 1. Vericm cre dintre ceste trec prin N si obtinem celsi rezultt c l prim metod. Metod III: Fie T 1, T punctele de contct dintre hiperbol si cele dou tngente l H duse din N. Stim tunci c ecuti dreptei T 1 T se obtine prin dedublre din ecuti hiperbolei in N, deci (T 1 T ) : y + 1 = 0. Determinm coordontele punctelor T 1, T rezolvnd sistemul formt din ecuti dreptei T 1 T si ecuti hiperbolei si obtinem T 1 (, 1), T (, 1). Cele dou tngente cerute sunt dreptele NT 1 si NT, deci putem scrie ecutiile lor cunoscnd dou puncte pentru ecre dintre ele. (3) Se d prbol (P) y 8x = 0. ) Determinti coordontele focrului si ecuti directorei. b) Scrieti ecuti tngentei l prbol prlel cu drept y x = 0. c) Determinti ecutiile tngentelor l prbol duse din P ( 1, 1). Solutie: ) Prmetrul prbolei este p = 4, deci F (, 0) si directore (δ) x =. b) Folosind ecuti (3.) cu m = obtinem y = x + 1. c) Prezentm dor o metod de rezolvre. Tngent de pnt m l prbol re ecuti y = mx + p m. Acest trece prin P ( 1, 1) dc si numi dc m + m = 0 m = su m = 1. Cele dou tngente cutte sunt y = x 1 si y = x +. (4) Fie elips (E) x 4 + y 9 1 = 0. Determinti ecutiile tngentelor l elips prlele cu drept y = x + 1. Rezolvre: Observm c elips re x focl Oy, deci dc notm = 3 si b =, ecutiile tngentelor de pnt dt m sunt Obtinem deci pentru m = 1: (d 1 ) x = my + m + b, (d ) x = my m + b. (d 1 ) x = y + 13, (d ) x = y 13. References [1] A. Myller, Geometrie nlitic, Ed. Didctic si Pedgogic, Bucuresti, 197; [] E. Murgulescu, N. Donciu, Culegere de probleme de Geometrie Anlitic si Diferentil I, Ed. Didctic si Pedgogic, Bucuresti, 1971.