RA C5 4. Aaliza î im a iemelor liiare coiue şi ivariae Aaliza î im rereziă deermiarea răuului î im a iemelor coiderae, la divere iuri de emale de irare şi deermiarea ricialelor rorieăţi (abiliae, erformaţe de regim razioriu şi aţioar, ec.. 4.. Răuul î im. Comoea liberă şi forţaă a răuului uui iem Fie u iem diamic de ordiul, decri de ecuaţiile de are : _ dx ( x ( = [ x( x(... x ( ] ; = A x ( + bu (, x( = x d x ( ; y ( ; u ( ; ude _ y ( = c x ( A ; b ; c iar u (: coiuă Codiţia iiţială x = x( cocerează ioria iemului âă la iereează evoluţia iemului eru >. raiecoria de are, la u mome ee : A = + ( A ( τ x ( e x ( e bu( τ d τ = şi A A ( τ Dacă = şi x = x ( = x( = auci: x ( = e x + e bu( τ d A iar Φ ( = e, defieşe maricea de raziţie a ărilor au maricea fudameală a iemului. _ A y ( ( τ A y ( = c x ( = c e x + c e bu( τ dτ l y l comoea liberă a rauului (deide de codiţiile iiţiale şi maricea A y f comoea forţaă a rauului (deide de mărimea de comadă/ mărimea de irare şi realizarea iemului (A,b,c y f ( τ
RA C5 Dacă e leacă de la ecuaţiile de are cărora li e alică raformaa alace obţiem : X( x = A X( + b U( ( I A X ( x b U ( ( I A = ( + ( = + X ( I A x I A b U( Y( = c X( ( ( ( Y( = c I A x + c I A b U( H( Y( = c I A x + H( U( y ( = ( { Y } { ( } { } A ( y c I A x H U ( = + ( ( y ( = c e x + h u ( y ( y ( l ude ( { (} ( f { } A h = H = c I A b = c e bee fucţia odere (răuul iemului la imul Dacă codiţiile iiţiale u ule ( x = auci : y ( = l ( = f ( = { ( (} = ( ( = A ( τ ( τ y y H U h u c e bu dτ
RA C5 4.. Mărimi de irare adard î im coiuu irări oliomiale u ( = ( U( =, (! u(=( u( = u(= / 45 = = =3 irări armoice jω u ( = ( e = ( (coω+ ji ω U( =, ω jω u ( = ( co ω U( =, ω + ω ω u ( = (i ω U( =, ω + ω 3
RA C5 4.3. Răuul uui iem la irare oliomială Z ( Y( = H( U( cu H( = P( forma ireducibilă u ( = ( U( =, (! Z ( Z ( c c a a Y( = = = +... + +... + P( ( i ude ee iul fuciei de rafer au umarul olilor i origie iar ee umarul olilor diferii de zero. j ( j d H( Z( i cj = j H ( =, j.. j! j! d = şi ai =, i=.. P'( = i i y ( = c + ae j i i =! i= comoea comoea ermaea raziorie j ( j î codiţii iiţiale ule Dacă e coideră o irare reaă uiară: i y ( = H(( + ae i ( i= comoea ermaea comoea raziorie u ( = ( U( = dacă şi umai dacă iemul ee ric abil, adică Re( i <. P[H(] C şi deci Se obervă că dacă auci y( = H( ( = y ( Î coeciţă, răuul iemului, mai reci comoea lui forţaă (y f, ee coiui di doi ermei ce vor fi defiiţi ri: 4
RA C5 y ( = y ( = y ( + y ( ; x = ; y f l = y - comoea ermaeă a răuului; y - comoea raziorie a răuului. y l - comoea liberă a răuului. OBSERVAŢII :. Decomuerea y ( y l( yf( ce e obţie î orice codiţii. Decomuerea y ( y ( y ( = + ee o decomuere geerală = + u ee geerală; ea e obţie dacă iemul ee ric abil şi irarea ee daă, cu x(= ( y l =.. Î cazul aricular al uui emal reaă e irare, răuul iemului e mai umeşe rău idicial. 3. Se obervă la emal reaă e irare că dacă auci y( = H(( = y ( = co Aceaă mărime coaă defieşe regimul aţioar. Regimul aţioar ee u caz aricular de regim ermae şi aume eru irare reaă iar H( defieşe facorul de amlificare al iemului. 5
RA C5 4.4. Răuul uui iem la irare armoică jω u ( = ( e = ( (coω+ ji ω U( =, ω jω Y( = H( U( cu H( = ( ( Z P ireducibilă Y = Z ( Z ( a a a j P = = j + + + (... ( ω ( ω ( jω ( i Z( jω a = = H( jω P( jω Z( i ai = ; i =... ( jω P'( i i ude H(jω ee raformaa Fourier a fucţiei de rafer a iemului Deci: y ( H(j e j ω = ω + a ie i = y ( + y ( i= Comoea ermaeă va fi: ( ω arg( ( ( ω y ( = H( jω e = H( j e e jω j H jω jω = A( e e = A( ω e jϕω ( jω j( ω+ ϕω ( Relaţia araă că, dacă la irare, e alică u emal armoic de ulaţie ω, la ieşire e obţie u emal de aceeaşi ulaţie, defaza cu ϕ(ω şi modifica î amliudie cu A(ω. 6
RA C5 4.5. Aaliza î im a fucţiilor de rafer adard Fucţia de rafer a uui iem exrimaă ri ermei i bi i + Y( b +... + b + b b b H( = = = q m m U( ( am +... + a + a a q ai j ( + a Facorizâd olioamele de la umărăor la umior î fucţie de rădăciile imle au comlexe şi de ordiul de muliliciae, obţiem: cu H ( K K = G( = q q r ( + i ( + K - facorul de amlificare al iemului - coaa de im ( ( j l + + j + + l Se u î evideţă urmăorii ermei i: erme coa H K ( = K erme liber : iegraor HI ( erme liiar : - de îârziere de ordiul I H ( = + H = + - de aiciare de ordiul I ( erme cuadraic : - de îârziere de ordiul II Q ( H = = au derivaor ( H = + ς+ H = + ς+ - de aiciare de ordiul II ( Q iul fucţiei de rafer = umărul olilor î origie ai fucţiei de rafer. Ordiul fucţiei de rafer = ordiul ecuaţiei difereţiale di care -a obţiu ri raformaa alace fucţia de rafer. Deci eru D 7
RA C5 ieme fizic realizabile, m>, ordiul coicide cu gradul oliomului de la umiorul fucţiei de rafer. Răuul î im a ermeilor i A. Să e udieze răuul forţa y f ( al elemeului roorţioal, de îârziere de ordiul : dy( y ( K a + ay( = bu( H( = = d u ( + a b ude = [ ec ]; > ee coaa de im, iar K = > ee facorul a de amlificare. a irare e alică: a imul Dirac u ( = δ ( b reaă uiară u ( = ( a Dacă u ( = δ( U( = { u (} = { δ( } = - - - y( { Y( } { H( U( } { H( } auci : = = = = - K - K / K = = = e + / + b Dacă irarea iemului { } { } u ( = ( U( = u ( = ( = / K Y( = H( U( = = K ( + / + y ( = y ( = Y( = K ( e ( - / deci { } f Comoea ermaeă ee y ( = H( = K ( a iar comoea raziorie y K e / ( = ( 8
RA C5 u( y( y =H(=K y( g α=k/ K u(=( Afel, y = lim y( = lim y( = K iar dy( K e / d =, > agea î origie la graficul lui y( ee dy( gα = = d = K Ierecia dire agea î origie la graficul fucţiei y( i dreaa de y deermiă e axa imului u egme egal chiar cu coaa de im. Se oae ue deja că, e măura ce coaa de im creşe, răuul iemului ee di ce î ce mai le. Coveţioal e coideră că regimul razioriu a îcea auci câd y( τ y y, τ care defieşe duraa regimului razioriu (au imul razioriu şi ude uzual = 5 5[ ] au = [ ], ( %, ( %. Î cazul aceui iem, devie τ / e, τ > adică τ l = l ( 3 4 imul razioriu lim lim ( [ ] ε = ε( = u( y( = K % eroarea aţioară 9
RA C5 rebuie reţiuă şi relaţia dire olul iemului, ce ee = -/ < şi duraa regimului razioriu, care e exrima ri: 3 4 şi deci, e maura ce olul e ideărează de axa imagiară (i cadrul emilaului âg regimul razioriu ee mai cur. jω X =-/ σ B. Să e udieze răuul forţa y f ( al elemeului roorţioal, de îârziere de ordiul : a d y ( a dy ( a y b u ( ( d d y ( b b / a b a / a H( = = = = = u ( a + a + a + a / a + a / a a + a / a + a / a + + = ( ( ( ( ω = / ω H( + ζω + ω + ζ + = = b a a a a a a = ; ω = ; ζω = ; ω = ; ζ = = a a a a a a aa ude ω = [ec] - ee ulaţia aurală (au rorie, ω a a = ee coaa de im iar ζ = ee facorul de amorizare. Peru = H( = ω + ζω+ ω a aa
RA C5 ecuaţia caraceriică ee + ζω + ω = iar olii fucţiei de rafer, j = ζ ω ± ω ζ Alicâd o irare reaă { } { } auci u ( = ( U( = u ( = ( = / ω + ζω Y( = H( U( = = = + ζω = + ζω + ω + ζω + ω ζ ( + ζω + ( ω ζ ζ ( + ζω + ( ω ζ Răuul idicial ζω ζ y ( = yf ( = - { Y( } = e coω ζ + iω ζ ( ζ e ζ = + ζ ζ ζω i ω ζ arcg ( ζ ω a Regim eamoriza ζ =, =± jω y (= ( + ω ω = + ω ( ω y( = co ( b Regim ubamoriza ζ (, Polii u comlecşi j, = ± ζω ω ζ ζω ζ y( = e coω ζ + iω ζ ( ζ c Regim criic ζ = Polii u = = ω ω + ω ω y ( = = y ( = ( e ( + ω ( ( + ω ( + ω d Regim ura amoriza ζ >. Polii devi reali şi diicţi, = ζω ± ω ζ
RA C5 e ζ y h arch ζ ζ ζω ( = ω ζ + ( jω jω jω a X X jω ω jω σ X ζω b X jω ω ζ jω ζ σ = X ω c ω σ u( y(.8.6.4 ζ= ζ=.5..8 ζ=.6.4 ζ=. 5 5 []
RA C5 Derivaa răuului ee : dy f d ( ω ζω = e iω ζ ζ şi ermie calculul exremelor fucţiei y f ( aie la momeele de im: π = =,,... ω ζ valoarea răuului ee : ( y ( = e ζω f.5 u( y( y δ δ maximele locale e obţi eru = m+, m N iar miimele locale eru = m, m N.5 5 5 [] Primul maxim ee : y = y + = + e max δ ζπ ζ Performaţele regimului diamic: urareglajul σ y y y δ y y y max max = = = = e ζπ ζ imul rimului maxim au de aigere a abaerii maxime a mărimii de ieşire i regim razioriu σ ; duraa regimului razioriu defiia ri imul ce e curge di momeul alicării exciaţiei (irarea e caalul de referiţa i îă cid ieşirea ira îr-o badă de ± ( 5% y ; y = e Πζ ζ ζω ; e l ζω = 3... 4 ζω 3
RA C5 deide de abcia olilor comlecşi adică o de deărarea de axa imagiară ca şi i cazul iemului de ordiul I. idicele de ocilaţie Ψ rereziă variaţia relaivă a amliudiilor a două deăşiri ucceive de acelaşi em a valorii de regim aţioar, ψ δ = δ δ δ = δ Πζ 3Πζ Πζ ζ ζ δ = y( y = e, δ = y( y = e ψ = e 3 erioada ocilaţiilor eru regimul ocila amoriza = ω ζ umarul de ocilaţii N dacă răuul raverează de u umar fii de ori comoea aţioară; Pe lâgă aceşi idici de caliae riciali, e mai o defii şi alţii cum ar fi: - imul de abilire: momeul î care e aige eru rima daă valoarea aţioară a ieirii; - imul de creşere: valoarea ubageei duă la y( la,5 y, agea fiid limiaă de axa şi de axa y. Arecierea aceor idici de caliae e face e baza răuului idicial al iemului Performaţele regimului aţioar: - eroarea aţioară - valoarea erorii de reglare î regim aţioar (eerurba, abiliza ( lim lim lim ε = ε( = u( y( = ε( 4