REZOLVAREA NUMERICĂ A ECUAŢIILOR ŞI SISTEMELOR DE ECUAŢII ALGEBRICE NELINIARE Forma geerală a ecuaţiei: cu : I R R Î particular poliom / adus la o ormă poliomială dar şi ecuaţiile trascedete Rezolvarea ecuaţiei găsirea zerourilor ucţiei adică a valorilor c care satisac Categorii de metode de rezolvare umerică a ecuaţiilor algebrice eliiare: a metode de separare sau localizare a soluţiilor ecuaţiei de izolare a uor subdomeii ale domeiului de deiiţie I care să coţiă câte uul di zerourile ucţiei a se vedea şirul lui Rolle; b metode de determiare cu o precizie a priori iată a uei soluţii care a ost izolată î prealabil porid de la o valoare aproimativă a acesteia; c metode de determiare a tuturor soluţiilor aplicabile de regulă î cazul î care este u poliom
Rezolvarea umerică a ecuaţiilor şi sistemelor de ecuaţii algebrice eliiare Soluţie aproimativă Se presupue că c este valoarea eactă a uei soluţii a ecuaţiei iar c' o valoare aproimativă a acestei soluţii Soluţia aproimativă se poate deii: o valoare c': c' c < ε cu ε > şi c; o valoare c': c' < ε cu ε > şi c Modul : Modul :
Metode de calcul al uei soluţii reale a uei ecuaţii algebrice eliiare Metode de calcul al uei soluţii reale a uei ecuaţii algebrice eliiare Soluţia reală a ecuaţiei separată î prealabil î itervalul [a b]: [a b] Două metode de partiţioare a itervalului: Metoda bisecţiei îjumătăţirii itervalului Este destiată rezolvării ecuaţiei petru care s-a separat î prealabil o soluţie î itervalul [a b]: a b < Se cosideră cotiuă pe [a b]; soluţia va i determiată cu erorile admise ε petru soluţie şi ε petru ucţie Trăsătură caracteristică: porid de la [a b] la iecare pas se restrâge domeiul î care se caută soluţia pri îjumătăţirea itervalului de la pasul aterior pâă la atigerea preciziei dorite Avataj: simplă Dezavataj: slab covergetă Algoritmul metodei bisecţiei etape:
4 Rezolvarea umerică a ecuaţiilor şi sistemelor de ecuaţii algebrice eliiare I Se iiţializează limitele itervalului de căutare r şi s cu valorile limitelor itervalului î care s-a separat soluţia: r a s b idicele superior iteraţia curetă II La pasul de calcul se determiă oua valoare a soluţiei: r s 4 III La acelaşi pas se calculează şi r - oile limite ale itervalului de căutare: dacă r - < r r - şi s ; 5 dacă r - > r şi s s - ; 6 dacă r - calcul termiat şi c ; 7 IV Procesul de calcul se cosideră termiat câd sut îdepliite codiţiile 8 şi / sau 9: s r ε ; 8 ε 9 Iterpretarea geometrică a metodei bisecţiei:
Metode de calcul al uei soluţii reale a uei ecuaţii algebrice eliiare 5 Eemplu: Se cosideră ecuaţia: tg petru care s-a separat o soluţie î itervalul [ ] Să se determie soluţia ecuaţiei utilizâd metoda bisecţiei erorile admise iid ε - şi ε - Soluţie: Se parcurg etapele metodei bisecţiei: I Iiţializări: r s r s Iteraţia : r s II ; III r 9885 r > r s s
6 Rezolvarea umerică a ecuaţiilor şi sistemelor de ecuaţii algebrice eliiare Se veriică dacă sut îdepliite codiţiile de termiare 8 şi 9: r s > ε şi > ε Nu sut îdepliite algoritmul se cotiuă cu: Iteraţia : r s II 5 ; III 5 974 r r < r r s 5 r s 5 > ε şi 974 > ε Se trece la iteraţia următoare: Iteraţia : r s II 5 ; III 5 r r > r 5 s s 5 r s 5 > ε şi > ε Algoritmul se cotiuă Iteraţia 4: 4 r s II 75 ;
Metode de calcul al uei soluţii reale a uei ecuaţii algebrice eliiare 7 III 4 75 7 r 5 4 r > r 4 4 75 s 4 s 5 r 4 s 4 5 > ε şi 4 75 > ε Erorile au scăzut îsă u suiciet de mult petru ca cele două codiţii de termiare să ie îdepliite alte iteraţii Metoda alsei poziţii metoda coardei metoda secatei metoda împărţirii itervalului î părţi proporţioale Avataj: mai rapid covergetă Trăsătură caracteristică: porid de la [a b] la iecare pas se restrâge domeiul de căutare a soluţiei pri împărţirea itervalului de la pasul aterior î raportul valorilor ucţiei la capetele itervalului Iterpretarea geometrică:
8 Rezolvarea umerică a ecuaţiilor şi sistemelor de ecuaţii algebrice eliiare Coarda: b a a b a a abscisa puctului de itersecţie cu O: a b b a b a Algoritmul metodei alsei poziţii etape: I Se iiţializează limitele itervalului curet de căutare r şi s : r a s b şi se calculează r şi s II La u pas oarecare al procesului iterativ de calcul se calculează oua valoare a soluţiei: r s s s r r III La acelaşi pas se calculează rezultâd oile limite ale itervalului de căutare r şi s coorm 5 7 împreuă cu r şi s IV Calculul se termiă câd sut îdepliite codiţiile 8 şi / sau 9
Metode de calcul al uei soluţii reale a uei ecuaţii algebrice eliiare 9 Eemplu: Se cosideră ecuaţia de la eemplul aterior; să se rezolve utilizâd metoda alsei poziţii Soluţie: Se aplică metoda alsei poziţii: I Iiţializări: r s şi se calculează valorile ucţiei î r şi s : r 9885 s 885 Petru se repetă etapele II IV pâă câd codiţiile etapei IV sut îdepliite: Iteraţia : II Se determiă cu : r s s s r r 885 9885 885 9885 457 III Se determiă valoarea ucţiei î : 475 46 r < di 5: r r s 457 şi valorile corespuzătoare ale ucţiei : r 9855 s 457 46 Se veriică codiţiile de termiare a algoritmului: r s 457 > ε 46 > ε 8 şi 9 u sut satisăcute iteraţia următoare:
Rezolvarea umerică a ecuaţiilor şi sistemelor de ecuaţii algebrice eliiare Iteraţia : II Se determiă : r s s r s r III Se determiă : 46 457 9885 46 9885 764 764 65 r > di 6: r 764 s s 457 r 764 65 s 457 46 Se veriică di ou codiţiile de termiare a calculelor: r s 587 > ε 65 > ε 8 şi 9 u sut satisăcute iteraţia următoare: Erorile au scăzut semiicativ scăderea lor iid mai rapidă decât î cazul metodei bisecţiei îsă îcă u s-a ajus la îdepliirea codiţiilor de termiare a calculelor algoritmul se cotiuă Geeralităţi privid soluţioarea umerică a sistemelor de ecuaţii algebrice eliiare Fora implicită a uui sistem de ecuaţii algebrice eliiare de ordiul îtodeaua posibilă:
Geeralităţi privid soluţioarea umerică a sistemelor de ecuaţii algebrice eliiare! """"""""!! de variabile cotiue Notaţii matriceale: # # orma compactă a sistemului: : D R R Forme itermediare: i i 4 Determiarea uei soluţii a sistemului găsirea uui set de valori: c c c c # 5 care satisac c Categorii de metode umerice: I metode de separare a uei / uor soluţii de iteres;
Rezolvarea umerică a ecuaţiilor şi sistemelor de ecuaţii algebrice eliiare II metode de determiare cu o precizie iată a priori a uei soluţii separate î prealabil Î categoria II: a metode bazate pe eprimarea eplicită ecivaletă a ecuaţiilor sistemului metode de aproimaţii succesive; b metode care utilizează derivatele parţiale ale ucţiilor i metode de tip Newto; c metode de descreştere sau de coborâre sau de gradiet Doar a şi b Metode bazate pe eprimarea eplicită ecivaletă a ecuaţiilor sistemului Se cere să se determie o soluţie c a sistemului separată î prealabil î domeiul D [ a i b i ] R i cu erorile maim admise ε petru valorile variabilelor şi ε petru valorile ucţiilor Trăsătură caracteristică: îlocuirea eprimărilor implicite ale ecuaţiilor sistemului cu eprimările eplicite ecivalete:
Metode bazate pe eprimarea eplicită ecivaletă a ecuaţiilor sistemului g g g! """""""""!! cu g i i cotiue Notaţie: g g g g # eprimarea matriceală: D R g cu orma itermediară: i g i i 4 Eprimările eplicite sut îtotdeaua posibile şi î plus ueori sut posibile mai multe variate! Algoritmul metodei aproimaţiilor succesive î versiuea Jacobi I Se iiţializează cu D idicele superior iteraţia curetă: # 5
4 Rezolvarea umerică a ecuaţiilor şi sistemelor de ecuaţii algebrice eliiare II La u pas oarecare al procesului iterativ de calcul se determiă oile valori ale variabilelor: i g i! i 6 III Calculul este termiat atuci câd sut îdepliite codiţiile 7 şi / sau 8: i i ε i 7 i ε i 8 Codiţiile de covergeţă suiciete: g i j < i j 9 Metoda aproimaţiilor succesive î versiuea Gauss- Seidel Diereţă: relaţia 6 care devie: i g i! i i! i apar valorile oi ale variabilelor care au ost recalculate deja la iteraţia Eemplu: Să se rezolve sistemul algebric eliiar:
Metode bazate pe eprimarea eplicită ecivaletă a ecuaţiilor sistemului 5 8 l 5 cu metoda Gauss-Seidel cu erorile maime admise ε şi ε cuoscâd că s-a separat o soluţie î domeiul D [; ] [; ] [; ] Soluţie: Rescrierea sistemului îtr-o ormă cu eprimarea eplicită a variabilelor de orma : 8 l 5 5 Iteraţia : I Se iiţializează de eemplu cu: Valorile ucţiilor şi petru valorile iiţiale ale variabilelor: 5 5 l 777 8 8
6 Rezolvarea umerică a ecuaţiilor şi sistemelor de ecuaţii algebrice eliiare Observaţie: Iiţializarea se poate ace şi cu alte valori şi se pot urmări eectele asupra evoluţiei covergeţei procesului de calcul î ucţie de aceste valori iiţiale Iteraţia : II Se utilizează : 5 5 5 5 86 l 86 l 44 8 86 44 8 85 Se calculează erorile: 86 69 > ε 44 5577 > ε 85 865 > ε 786 > ε 6 > ε 7 > ε Codiţiile de termiare a calculelor u sut îdepliite ecesară cotiuarea algoritmului cu iteraţia următoare: Iteraţia : II Se calculează utilizâd :
Metode bazate pe eprimarea eplicită ecivaletă a ecuaţiilor sistemului 7 5 5 5 44 85 5 86 65 l 65 l 85 8 8 65 8 85 8 699 Se determiă erorile: 65 86 8 > ε 8 44 6 > ε 699 85 96 > ε 4 > ε 6 > ε 9 > ε Erorile au scăzut dar u sut îcă îdepliite codiţiile de termiare a procesului de calcul etapele II şi III ale algoritmului se repetă petru 4 Iteraţia : II Se calculează : 5 5 5 9 589 5 45 45 l 45 l 589 9 8 45 9 589 8 589 Se determiă erorile:
8 Rezolvarea umerică a ecuaţiilor şi sistemelor de ecuaţii algebrice eliiare 45 45 ε 9 9 ε 589 589 ε 8 ε ε 4 ε Erorile calculate sut mai mici sau cel mult egale cu erorile maim admisibile algoritmul se opreşte soluţia aproimativă: 44 9 589 4 Metode de tip Newto Versiuea clasică a metodei lui Newto utilizează eplicit derivatele parţiale de ordiul I ale ucţiilor i i Se presupue că s-a ajus la pasul al procesului iterativ de calcul ultima valoare aproimativă a soluţiei iid - Se doreşte determiarea uei corecţii - care adăugată la - să coducă la soluţia eactă c:
4 Metode de tip Newto 9 c - - 4 Dezvoltâd î serie Taylor ucţiile i i î veciătatea lui - ic i - - i i i i i " " 4 Dacă di această dezvoltare se reţi doar termeii care coţi derivatele de ordiul I restul termeilor se eglijează se poate aproima acea valoare a lui - care u va mai coduce la soluţia eactă c ci la oua valoare aproimativă a soluţiei evidet mai buă decât - î cazul covergeţei relaţiile 4 coduc la sistemul liiar de ordiul î ecuoscutele! : " """""""""""""""""""" " " 4
Rezolvarea umerică a ecuaţiilor şi sistemelor de ecuaţii algebrice eliiare ude toate derivatele sut calculate î - Matricea Jacobia: J " " " " " " " 44 sistemul 4 se poate rescrie sub ormă restrâsă: J 45 Algoritmul versiuii clasice a metodei lui Newto: I Se iiţializează cu D idicele superior iteraţia curetă II La u pas oarecare al procesului iterativ de calcul se calculează elemetele vectorului - şi matricea J - petru - III La acelaşi pas se rezolvă sistemul 45 oile valori ale variabilelor: 46 Calculul este termiat câd sut îdepliite codiţiile 47 şi / sau 48:
4 Metode de tip Newto i i ε 47 i i ε 48 Eemplu: Să se rezolve sistemul de ecuaţii di eemplul aterior utilizâd metoda clasică a lui Newto cu erorile maim admise ε şi ε cuoscâd că s-a separat o soluţie î domeiul D [; ] [; ] [; ] Soluţie: Se parcurg etapele algoritmului: I Se ace iiţializarea: Iteraţia : II Se calculează elemetele vectorului : 8 77697 5 8 l 5 şi elemetele matricei Jacobia: 8 5 5 4 J
Rezolvarea umerică a ecuaţiilor şi sistemelor de ecuaţii algebrice eliiare sistemul 45 devie: 8 8 77697 5 5 III Se rezolvă sistemul 76 44 445 oile valori ale lui : 784 5757 6555 Îsă 445 > ε > ε > ε u sut îdepliite codiţiile de termiare a calculelor algoritmul se cotiuă cu iteraţia următoare: Iteraţia : II Se calculează elemetele vectorului şi ale matricei Jacobia: 748 847 7 8 l 5
4 Metode de tip Newto 568 6555 5757 7 54 5757 784 5 4 J sistemul 45: 748 568 6555 5757 847 7 54 7 5757 784 III Rezolvarea sistemului 69 84 498 oile valori ale lui : 65 97 557 Îsă di ou 498 > ε > ε > ε calculele se cotiuă cu iteraţia următoare Alte variate ale metodei lui Newto: elimiarea calculului derivatei